Kap. III: Der Satz von Euler/Fermat § 6. Der größte gemeinsame Teiler

Chr.Nelius : Kryptographie (SS 2009)
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Kap. III: Der Satz von Euler/Fermat
§ 6. Der größte gemeinsame Teiler
(6.1) DEF: a und b seien zwei beliebige ganze Zahlen. a heißt ein Teiler von b (in Zeichen
a | b) , wenn es eine ganze Zahl k gibt mit a · k = b .
Man sagt dann auch: “a teilt b” oder “b ist ein (ganzzahliges) Vielfaches von a”.
(6.2) BEM: a) a | b
⇐⇒
es gibt ein k ∈ Z mit a · k = b
b) Bei der Definition der Teilbarkeit kommt die Division nicht vor.
!
c) Es gilt: a | 0 für jede ganze Zahl a , insbesondere also 0 | 0 .
d) Ist 0 ein Teiler einer ganzen Zahl a , so folgt a = 0 .
(6.3) DEF: Seien a und b zwei beliebige ganze Zahlen. Eine ganze Zahl g heißt größter
gemeinsamer Teiler von a und b (in Zeichen g = ggT(a, b)) , wenn gilt:
GGT0 ) g ≥ 0
GGT1 ) g | a und g | b
GGT2 ) Für alle t ∈ Z mit t | a und t | b folgt t | g .
(6.4) SATZ: a) Zu je zwei ganzen Zahlen a und b existiert immer ein eindeutig bestimmter
ggT g , und es gibt Zahlen x, y ∈ mit der Eigenschaft
Z
g = xa + yb ,
(d.h. g läßt sich als ganzzahlige Linearkombination von a und b darstellen) .
b) Die Zahlen g, x und y in a) lassen sich mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnen.
(6.5) SATZ: Sind die ganzen Zahlen a und b nicht beide Null, so sind für g ∈
Aussagen äquivalent:
Z folgende
a) g ist der größte gemeinsame Teiler von a und b (im Sinne der Definition (6.3) )
b) g ist die größte Zahl in der Menge der gemeinsamen Teiler von a und b .
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(6.6) DEF: Zwei ganze Zahlen a und b heißen teilerfremd , wenn ggT(a, b) = 1 gilt.
(6.7) BEM: Zwei ganze Zahlen a und b sind genau dann teilerfremd , wenn es ganze Zahlen
x und y gibt mit
xa + yb = 1 .
(6.8) SATZ: Für a, b, c ∈
Z gelten die folgenden Aussagen:
a) a | c und b | c und ggT(a, b) = 1
b) a | (b · c) und ggT(a, b) = 1
=⇒
=⇒
(a · b) | c
a|c.
BEM: Ohne die Voraussetzung, dass die Zahlen a und b teilerfremd sind, gelten die obigen
Aussagen i.a. nicht:
Gegenbeispiel zu a) : 4 | 12 und 6 | 12 , aber 4 · 6 = 24 ist kein Teiler von 12 .
b) 6 | (4 · 9) , aber 6 6 | 4 und 6 6 | 9 .
Zwei Anwendungen:
(6.9) SATZ: Kürzungsregel
Seien a, b, c ∈
Z und n ∈ N . Sind dann c und n teilerfremd, so gilt:
(a · c) mod n = (b · c) mod n
=⇒
a mod n = b mod n
(6.10) SATZ: Seien a ∈
Z und n ∈ n . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
a) Es gibt ein x ∈
(a · x) mod n = 1 (d.h.a besitzt ein Inverses modulo n)
Z mit
b) ggT(a, n) = 1 .
BEM: Der Beweisteil b) =⇒ a) enthält ein Verfahren zur Berechnung des Inversen von a
modulo n.