Modulare Arithmetik

KAPITEL 1
Modulare Arithmetik
1. Division mit Rest
Definition 1.1 (ggT). Es seien a, b ganze Zahlen, von denen mindestens eine
nicht Null ist. Die größte Zahl d ∈ N, die sowohl a als auch b teilt nennt man
größten gemeinsamen Teiler von a und b. Schreibweise ggT(a, b). Ist ggT(a, b) =
1 so sagt man a und b sind teilerfremd.
Satz 1.2 (Division mit Rest). Es seien a, b ∈ Z mit b 6= 0. Dann existieren
eindeutige q, r ∈ Z mit a = bq + r und 0 ≤ r < b.
Lemma 1.3. Sind a, b ∈ Z, b 6= 0 und a = bq + r, so gilt ggT(a, b) = ggT(b, r).
Lemma 1.4 (Lemma von Bezout). Es seien a, b ganze Zahlen von denen mindestens eine nicht Null ist. Dann gibt es s, t ∈ Z mit ggT(a, b) = sa + tb.
Lemma 1.5 (Lemma von Euklid). Es seien a, b ∈ Z mit ab 6= 0. Ist p ∈ P
Teiler von ab so ist p ein Teiler von a oder ein Teiler von b..
Satz 1.6 (Fundamentalsatz der Arithmetik (Gauß 1801)). Jede natürliche Zahl
n ≥ 2 lässt sich als das Produkt von Primzahlen darstellen. Diese Darstellung
ist bis auf Reihenfolge eindeutig.
5
2. Der Restklassenring
Definition 1.7. Es seien a, b ∈ Z und n ∈ N. a heißt kongruent zu b modulo
n, falls n|(a − b). In diesem Fall schreibt man a ≡ b mod n
Lemma 1.8. Es seien a, b, c, d ∈ Z und n ∈ N.
a) Gilt a ≡ b mod n und c ≡ d mod n so gilt a ± c ≡ a ± d mod n und
ac ≡ bd mod n.
b) Gilt ac ≡ ad mod n und sind n und a teilerfremd, so gilt c ≡ d
mod n.
Definition 1.9 (und Satz). Es sei n ∈ N. Durch a ≡ b mod n ist eine Äquivalenzrelation auf Z erklärt. Zu a ∈ N wird die Äquivalenzklasse [a]n := {b ∈
Z | a ≡ b mod n} Restklasse von a modulo n bezeichnet. Der entsprechende
Faktorraum wird mit Zn bezeichnet. Ist x ∈ {0, . . . , n − 1} ein Element aus [a]n
so nennt man a den kanonischen Repräsentanten von [a]n .
Satz 1.10. Auf Zn wird via [a] + [b] := [a + b] und [a][b] = [ab] eine Addition
und eine Multiplikation definiert. Bezüglich dieser Addition bzw. Multiplikation
gilt:
a) Zn ist ein kommutativer Ring mit 1.
b) Zn ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist.
Satz 1.11 (Satz von Wilson). p ∈ N ist genau dann eine Primzahl, wenn
(p − 1)! ≡ −1 mod p.
Anwendung: Für die Primzahlzählfunktion π gilt:
m X
(j − 1)!
(j − 1)! + 1
−
π(m) =
j
j
j=2