ELA I - Gleichstromlehre

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Modul:
ELA 1
Semester:
Wintersemester 06/07
Kurs:
Elektrotechnik
Dozent:
H. Senn
Gleichstromlehre
Theorie-Mitschrift
Martin Züger
ELA 1: Elektrotechnik
27.02.2007
Dieses Dokument beinhaltet die im Unterricht besprochene Theorie des Kurses
Elektrotechnik: Gleichstromlehre aus dem Modul ELA 1, welche ich
zusammenfassend mitgeschrieben habe. Es ist daher gut möglich, dass sich hin und
wieder einzelne Fehler eingeschlichen haben. Wer solche findet, Ergänzungen
anbringen möchte oder sonstige Vorschläge hat, melde sich bitte per Email bei mir:
[email protected] Entstanden ist diese Mitschrift während dem Wintersemester
2006/2007. Sie kann frei nach der Creative Commons Attribution 2.5 License
weitergegeben und verändert werden.
Martin Züger, Februar 2007
Die in der Fusszeile angegebenen Seitenzahlen beziehen sich auf dieses Buch:
Grundlagen der Elektrotechnik
von Gert Hagmann
12. Auflage
ISBN: 9783891047071
Inhaltsangabe.doc
Martin Züger
ELA 1: Elektrotechnik
27.02.2007
Gleichstromlehre
Inhaltsverzeichnis
Grundlagen
Elektrische Ladung
Elektrische Stromdichte
Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen
Elektrisches Potential
Elektrische Spannung
Ohmsches Gesetz
Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit
Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes
Widerstandstypen
Elektrische Arbeit / Energie
Elektrische Leistung
Wirkungsgrad
Bezugssinn & Pfeilsysteme
Kirchhoff!sche Gesetze
Ideale elektrische Quellen
Lineare elektrische Quellen
Berechnungen
Reihenschaltung (Serieschaltung)
Parallelschaltung
Dreieck/Stern-Umwandlung
Netzwerkberechnung
Überlagerungssatz
Ersatzspannungsquelle
Inhaltsverzeichnis.doc
1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
6
7
8
9
10
10
11
12
13
14
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
30.10.2006
Grundlagen Gleichstromkreis I
Elektrische Ladung
Bei zeitlich konstanter Stromstärke I beträgt die während einer Zeit t durch den Querschnitt
eines Leiters strömende Ladung:
Q= I"t
SI-Einheit: [Q] = 1 As = 1 C (Coulomb)
Die kleinstmögliche negative elektrische Ladung ist die eines Elektrons, die Elementarladung:
!
e = 1,602 "10#19 C
Elektrische Stromdichte
Verteilt sich der elektrische Strom I gleichmässig auf den zur Verfügung stehenden
Leiterquerschnitt A, so stellt
!
I
J=
A
SI-Einheit: [J] = A/m2
Technische Einheit: [J] = A/mm2
den auf die Flächeneinheit entfallenden Strom dar. Man bezeichnet diese Grösse als
elektrischhe Stromdichte.
!
Strömgeschwindigkeit der Elektronen
Jedes Elektron benötigt eine bestimmte Zeit t, um einen Leiter vollständig zu durchwandern
und somit den Weg l zurückzulegen. Die gleiche Zeit wird benötigt um die Ladung Q
vollständig durch den Strömungsquerschnitt A zu bewegen. Für die Stromstärke gilt daher:
I=
Q N "e e" n" A" l
=
=
= e" n" A"v
t
t
t
Hierin stellt v=l/t die mittlere Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen dar. Man bezeichnet
sie auch als mittlere Driftgeschwindikeit:
vD =
!
I
J
=
e" n" A n"e
und die Stromdichte:
J = n " e " vD
SI-Einheiten: [n] = mm-3 ; [v] = m/s
!
Grundlagen Gleichstromkreis I.doc
!
Buch Seite 6 bis 11
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
03.11.2006
Grundlagen Gleichstromkreis II
Elektrisches Potential
Als elektrisches Potential bezeichnet man die potentielle Energie pro Elementarladung, die
mit einem Zeitinvarianten, d. h. statischen elektrischen Feld assoziiert ist. Es handelt sich um
ein Potentialfeld. Die Einheit wird üblicherweise in Volt angegeben:
"=
W
Q
SI-Einheit: [!] = 1 V (Volt)
Elektrische Spannung
Die elektrische Spannung ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viel Arbeit bzw.
Energie nötig ist, oder frei wird, wenn man ein Objekt mit einer bestimmten elektrischen
Ladung entlang eines elektrischen Feldes bewegt. Spannung ist also das spezifische
Arbeitsvermögen der Ladung. Sie ist auch die Differenz zweier Potentiale:
!
W1,2
U1,2 =
= "1 # " 2
Q
SI-Einheit: [U] = 1 V (Volt)
Grafische Darstellung „elektr. Potential & Spannung“
!
U1,2 = 13V
+
"1 = 10V
10V
" 2 = #3V
!
!
-3V
!
" 0 = 0V (Erde)
!
Grundlagen Gleichstromkreis II.doc
Buch Seite 12 und 13
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
03.11.2006
Grundlagen Gleichstromkreis III
Ohmsches Gesetz
In einem Gleichstromkreis sind Spannung und Strom in bestimmter Weise voneinander
abhängig:
U = R" I
SI-Einheiten: [U] = 1V; [R] = 1V/A = 1!; [I] = 1A
Der Kehrwert des ekektrischen Widerstandes wird als elektrischer Leitwert bezeichnet. Er
besitzt die Einheit Siemens:
!
G=
1
R
SI-Einheiten: [G] = 1 !-1 = 1 S (Siemens)
Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit
Der spezifische Widerstand (auch Resistivität genannt) ist eine temperaturabhängige
Materialkonstante mit dem Formelzeichen ! (griech. rho). Der elektrische Widerstand eines
homogenen elektrischen Leiters mit einem über seine Länge konstanten Querschnitt lässt sich
folgendermassen berechnen:
!
l
R20 = " 20 #
A
SI-Einheit: ["] = 1 !m
Technische Einheit: ["] = 1 !m = 10 6 "
# " mm 2
m
Der Kehrwert des spezifischen Widerstandes ist die elektrische Leitfähigkeit. Sie gibt die
Fähigkeit eines Stoffes an, elektrischen Strom zu leiten, d.h. in seinem Inneren die Bewegung
von Ladungsträgern zu ermöglichen. Die Leitfähigkeit
ist also:
!
!
"=
1
#
SI-Einheit: [#] = 1/!m = S/m
Der Leitwert eines homogenen elektrischen Leiters mit einem über seine Länge konstanten
Querschnitt lässt sich wie folgt berechnen:
!G = " # A = 1 # A
20
20
l $ 20 l
Grundlagen Gleichstromkreis III.doc
!
Buch Seite 13 bis 17
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
06.11.2006
Grundlagen Gleichstromkreis IV
Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes
Widerstands-Temperatur-Kennlinie eines metallenen Leiters für nicht allzu grosse Temperaturdifferenzen:
R
R2
R1
R2 " 2 # $
=
R1 " 1 # $
"
"1
"2
!
"
Ein elektrischer Widerstand ist grundsätzlich temperaturabhängig. So nimmt z.B. bei
metallischen Leitern der Widerstandswert bei steigender Temperatur zu. Bei Halbleitern (wie
!
! nimmt der Widerstandswert
!
z.B. Silizium oder Germanium)
hingegen
bei steigender
Temperatur ab. Allgemein gilt:
R2 = R1 " [1+ #1 ($ 2 % $ 1 )]
SI-Einheiten: [ " ] = 1K oder 1°C
Hierin bezeichnet man !1 als Widerstands-Temperaturkoeffizient. Er ist abhängig von der
Ausgangstemperatur " 1 :
!
!
"1 =
!
1
R2 $ R1
=
# 1 $ % R1 & (# 2 $ # 1 )
SI-Einheiten: [!1] = 1K-1 = 1°C-1; ["] = 1K; [ " ] = 1K
Wobei der Temperaturkennwert " eine Materialkonstante darstellt und z.B. für Kupfer 38K
beträgt.
!
Widerstandstypen
!
Temperaturkoeffizient
!1
Leitertyp
Abk.
Stoffe
Positiver Temp.koeffizient
!1 > 0
Kaltleiter
PTC
Metalle
Negativer Temp.koeffizient
!1 < 0
Heissleiter
NTC
Die meisten Halbleiter und
Elektrolyte
Temp. Koeffizient ungefähr 0
!1 ! 0
Spezial Leiter
Spezielle Legierungen: z.B.
Konstantan oder Manganin
Leiter, bei welchen der Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen (in der Nähe des
absoluten Nullpunkts) sprunghaft auf unmessbar kleine Werte abfällt, bezeichnet man als
Supraleiter.
Grundlagen Gleichstromkreis IV.doc
Buch Seite 18 bis 20
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
10.11.2006
Grundlagen Gleichstromkreis V
Elektrische Arbeit / Energie
Wird eine Ladung in einem elektrischen Feld bewegt, so wird elektrische Arbeit verrichtet:
W1,2 = U1,2 " Q = U1,2 " I " t
SI-Einheiten: [W] = 1Ws = 1Nm = 1VAs = 1J
Elektrische Leistung
Die in einer Zeiteinheit gelieferte (übertragene) Energie bezeichnet man als Leistung:
!
P=
W
=U" I
t
SI-Einheiten: [P] = 1W = 1Nm/s = 1J/s = 1VA
Als Nennleistung wird z.B. bei einem elektrischen Motor die Leistung bezeichnet, welche
permanent an der Motorenwelle abgenommen werden kann. Sie wird mit PN angegeben.
Wirkungsgrad
!
Der Wirkungsgrad ist allgemein das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand. Er wird verwendet,
um die Effizienz von Energiewandlungen beispielsweise von Wärme in mechanische Energie
aber auch für Energieübertragungen zu beschreiben.
Der Wirkungsgrad wird mit ! (Eta) bezeichnet und hat einen Wert zwischen 0 und kleiner 1
oder in Prozent ausgedrückt, zwischen 0 und weniger als 100.
W Nutz
Pab
"=
=
Pzu W Aufwand
SI-Einheit: ! besitzt keine Einheit, Angaben erfolgen als Zahlenwert oder in Prozent
Der Gesamtwirkungsgrad ist das Produkt der einzelnen Wirkungsgrade:
!
"Ges. = "1 # "2 # ...# "n
!
Grundlagen Gleichstromkreis V.doc
Buch Seite 21 bis 24
Martin Züger
!
NTB – Elektrotechnik
13.11.2006
Grundlagen Gleichstromkreis VI
Bezugssinn und Pfeilsysteme
In elektrischen Schaltungen werden Spannungs- und Stromrichtungen allgemein durch Pfeile
gekennzeichnet.
I
I
U1
!
I
U
!
U2
U
!
!
Erzeuger-Pfeilsystem
!
!
Verbraucher-Pfeilsystem
Der Spannungspfeil zeigt dabei üblicherweise vom höheren zum tieferen Potential. Der
Strompfeil gibt die Richtung des fliessenden Stromes an. Liegt nun jedoch eine Schaltung wie
oben gezeichnet vor, so hängt die Richtung (der Richtungssinn) des auftretenden Stromes von
der Höhe der Spannung U1 und U2 ab. In diesem Fall kann man für den Strom I willkürlich
eine Richtung vorgeben und bezeichnet diese dann als Bezugssinn. Fliesst der Strom
tatsächlich in der vorgegebenen Richtung, so hat I einen positiven Wert. Andernfalls ist I
negativ. Entsprechend kann man auch für Spannungen Bezugspfeile vorgeben.
In der rechten Seite der oben gezeichneten Schaltung haben die Bezugspfeile für U und I die
gleiche Richtung, man bezeichnet diese Pfeilordnung als Verbraucher-Pfeilsystem. Bei der
linken Seite zeigen die Bezugspfeile für U und I einander entgegen, man spricht vom
Erzeuger-Pfeilsystem.
Grundlagen Gleichstromkreis VI.doc
Buch Seite 24 und 25
Martin Züger
!
NTB – Elektrotechnik
17.11.2006
Grundlagen Gleichstromkreis VII
Kirchhoff’sche Gesetze
Erstes Kirchhoff’sches Gesetz: Knotensatz
Die Summe der zufließenden Ströme in einem elektrischen Knotenpunkt ist gleich der
Summe der abfließenden Ströme. Versieht man zufließende Ströme mit anderem Vorzeichen
als abfließende Ströme, lässt sich allgemein sagen:
Die Summe aller Ströme in einem Knotenpunkt ist Null.
In Netzwerken mit reinen Gleichströmen kann vereinfachend für einen Knoten mit n Strömen
gesagt werden:
n
"I
k
=0
k=1
Der erste Kirchhoff gilt jedoch nicht nur für einfache Knoten, sonder auch wenn man z.B. bei
einer komplexeren Schaltung einen Teil abdeckt (mit einer „Hüllfläche“ versieht) und diese
Fläche als Knoten betrachtet.
!
Zweites Kirchhoff’sches Gesetz: Maschensatz
Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk
addieren sich zu Null. In einem Umlauf mit n Teilspannungen eines elektrischen
Gleichstromnetzes gilt folgende Formel:
n
"U
k
=0
k=1
Beispiel:
"U q + I # Ri + U = 0
!
Grundlagen Gleichstromkreis VII.doc
Buch Seite 25 bis 28
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
24.11.2006
Grundlagen Gleichstromkreis VIII
Ideale elektrische Quellen
Die idealen elektrischen Quellen sind rein theoretische Bauteile und werden ausschliesslich
für Ersatzschaltbilder verwendet. Eine ideale Spannungsquelle hat keinen Innenwiderstand
und liefert somit unabhängig von der angeschlossenen Last eine konstante Spannung. Eine
ideale Stromquelle hat hingegen einen unendlich hohen Innenwiderstand und liefert
unabhängig von der angeschlossenen Last einen konstanten Strom.
Ideale Spannungsquelle
Uq
Ideale Stromquelle
U
Iq
U
U = Klemmenspannung
I = Klemmenstrom
Uq = Quellenspannung
Iq = Quellenstrom
Bei der idealen Spannungsquelle entspricht
die Quellenspannung immer der
Klemmenspannung (also: Uq = U).
Bei der idealen Stromquelle entspricht der
Quellenstrom immer dem Klemmenstrom
(also: Iq = I).
Der Klemmenstrom I ergibt sich aus der
angehängten Last.
Die Klemmenspannung U ergibt sich aus der
angehängten Last.
Kennlinie:
Kennlinie:
U
U
Iq
Uq
I
I
Eigenschaften:
Eigenschaften:
Besitzt keinen Innenwiderstand: Ri = 0!
Der Innenwiderstand ist unendlich: Ri = !!
Grundlagen Gleichstromkreis VIII.doc
Buch Seite 28 bis 30
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
24.11.2006
Lineare elektrische Quellen
Bei einer linearen elektrischen Quelle hängen die an den Klemmen abgegebene Spannung U
und der Strom I von der angehängten Last ab. Eine lineare Spannungs- bzw. Stromquelle
weist folgende Kennlinie auf:
U
I
1. Ersatzschaltung (lineare Spannunsq.) 2. Ersatzschaltung (lineare Stromquelle)
IK = Iq =
Uq U0
=
Ri Ri
!"
!
Leerlauf:
I = 0 und U = U0 = Uq
Leerlauf:
I = 0 und U = U0 = Iq/ Gi
Kurzschluss:
U = 0 und I = IK = Uq/Ri
Kurzschluss:
U = 0 und I = IK = Iq
Klemmenspannung U:
Klemmenstrom I:
U = U q " Ri # I
I = I q " U # Gi
Folgende Aussagen gelten sowohl für eine lineare Spannungsquelle, als auch für eine lineare
Stromquelle.
Innenwiderstand Ri:
! U
"U
1
Ri = q =
=
Iq
"I
Gi
!
Quellenstrom Iq:
Uq
Iq =
Ri
!
Quellenspannung Uq:
U q = Ri " Iq
Grundlagen Gleichstromkreis VIII.doc
!
Buch Seite 28 bis 30
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
24.11.2006
Berechnungen Gleichstromkreis I
Reihenschaltung (Serieschaltung)
Gesamtwiderstand:
Bei in Serie geschalteten ohmschen Widerständen gilt im
Allgemeinen, dass der Gesamtwiderstand gleich der Summe der
Einzelwiderstände ist:
n
R = " Rk
k=1
Spannungsteilerregel:
!
Weiter gilt bei der Serieschaltung, dass sich die über den
Einzelwiderständen abfallenden Spannungen proportional sind
zu den entsprechenden Einzelwiderständen:
U1 R1
=
U 2 R2
bzw.
U 3 R3
=
U
R
Mit den Einzelleistungen ausgedrückt:
!
P1 R1
=
P2! R2
bzw.
P3 R3
=
P
R
Parallelschaltung
Gesamtwiderstand:
!
Bei parallel geschalteten ohmschen Widerständen gilt im
Allgemeinen, dass der Gesamtleitwert gleich der Summe der
Einzelleitwerte ist:
!
n
G = " Gk
bzw.
R=
k=1
1
n
k=1
Stromteilerregel:
!
1
"R
k
Die Ströme, welche in einer Parallelschaltung durch die
Einzelwiderstände fliessen sind indirekt proportional zu den
Einzelwiderständen:
!2
I1 R
=
I2 R1
bzw.
I3 R
=
I R3
Mit den Einzelleistungen ausgedrückt:
!
Berechnungen Gleichstromkreis I.doc
P1 R2
=
P!
R1
2
bzw.
P3 R
=
P R3
Buch Seite 31 bis 34
Martin Züger
!
!
NTB – Elektrotechnik
01.12.2006
Berechnungen Gleichstromkreis II
Dreieck/Stern-Umrechnung
Bei der Berechnung des Gesamtwiderstandes einer Widerstandsanordnung ist es in der Regel
möglich, schrittweise Reihen- und Parallelschaltungen zu jeweils einem Widerstand
zusammenzufassen. Bei einigen Schaltungen, wie z.B. Folgende ist dies jedoch nicht
möglich:
Um solche Probleme lösen zu können muss man eine Stern-Dreieck-Umwandlung oder eine
Dreieck-Stern-Umwandlung vornehmen.
Darstellung einer Dreieck- bzw. Sternschaltung
Stern ! Dreieck
Dreieck ! Stern
R1 " R2
R12 = R1 + R2 +
R3
R12 " R31
R1 =
R12 + R23 + R31
R23 = R2 + R3 +
R31 = R3 + R1 +
R2
Bei symmetrischer Schaltung:!
R" = 3# R*
!
!
R2 " R3
R1
R!
3 " R1
R2 =
R23 " R12
R12 + R23 + R31
R3 =
R31 " R23
R12 + R23 + R31
Bei symmetrischer Schaltung:
R* =
!
Buch Seite 35 bis 38
Berechnungen Gleichstromkreis II.doc
!
R"
3
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
11.12.2006
Berechnungen Gleichstromkreis III
Netzwerkberechnung
Durch Anwendung der Kirchhoff’schen Sätze lassen sich beinahe beliebig grosse Netzwerke
berechen. Dabei sind jedoch ein paar Regeln zu beachten:
In einem beliebigen elektrischen Netzwerk mit k Knoten kann man stets (k – 1) voneinander
unabhängige Knotengleichungen aufstellen.
In einem beliebigen elektrischen Netzwerk mit m Maschen lassen sich m voneinander
unabhängige Maschengleichungen (bzw. Umlaufgleichungen) aufstellen.
Um bei komplexen Netzwerken nicht die Übersicht zu verlieren zeichnet man am besten als
erstes einen vollständigen Baum ein. Darunter versteht man einen Linienzug, durch den
sämtliche Knoten des Netzwerkes verbunden werden, ohne dass geschlossene Schleifen
entstehen. Die Zweige des vollständigen Baumes nennt man Baumzweige, die im übrigen
Netzwerk vorhandenen Zweige heissen Verbindungszweige.
Die in den Verbindungszweigen fliessenden Ströme fasst man als Maschenströme
(Umlaufströme) auf und achten, dabei ist jedoch zu achten, dass jeder so gewählte
Umlaufstrom keine weiteren Verbindungszweige durchfliesst. Anschliessend können die
Maschengleichungen aufgestellt werden. Ebenso die Knotengleichungen. Insgesamt werden
so viele Gleichungen benötigt, wie unbekannte vorhanden sind! Aus diesen Gleichungen kann
man dann ein Gleichungssystem aufstellen, welches mit einem Taschenrechner oder mit
Matlab einfach gelöst werden kann.
Berechnungen Gleichstromkreis III.doc
Buch Seite 38 bis 52
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
15.12.2006
Berechnungen Gleichstromkreis IV
Überlagerungssatz
Neben der Berechnung eines Netzwerkes durch aufstellen von Maschen- und
Knotengleichungen und dem anschliessenden Lösen des Gleichungssystems gibt es noch
andere Möglichkeiten die Spannungen und Ströme in einem Netzwerk auszurechen, so z.B.
mit dem Überlagerungssatz.
Sind in einem linearen Netzwerk mehrere unabhängige Quellen vorhanden, so lässt sich
vielfach die Berechnung der Spannungen und Ströme dadurch vereinfachen, dass die Quellen
einzeln berücksichtigt werden.
In einem linearen Netzwerk kann jeder Strom und jede Spannung als Summe von Teilströmen
bzw. Teilspannungen angegeben werden. Dabei stellt jeder Summand den Betrag jeweils
einer unabhängigen Quelle zum Gesamtwert dar.
Für die Berechnung eines Teilstromes bzw. einer Teilspannung ist jeweils nur eine Quelle
aktiv. Die übrigen unabhängigen Quellen werden unwirksam gemacht: eine ideale
Spannungsquelle wird durch einen Kurzschluss, eine ideale Stromquelle durch eine
Unterbrechung ersetzt. Gesteuerte Quellen dürfen nicht unwirksam gemacht werden, sondern
müssen stets im Netz bleiben.
Siehe Beispiel-Aufgabe 2.13 im Buch auf Seite 61 & 62.
Berechnungen Gleichstromkreis IV.doc
Buch Seite 60 bis 63
Martin Züger
NTB – Elektrotechnik
01.12.2006
Berechnungen Gleichstromkreis V
Ersatzspannungsquelle
Jede beliebige elektrische Schaltung, die an nur zwei Punkten elektrisch zugänglich ist, oder
von nur zwei Punkten aus betrachtet wird, wird als Zweipol bezeichnet. Enthält eine solche
Anordnung keine Spannungs- oder Stromquellen, so spricht man von einem passiven,
andernfalls von einem aktiven Zweipol.
Ein passiver Zweipol stellt also eine beliebige Anordnung von Widerständen dar. Fasst man
sie zusammen, so erhält man den Ersatzwiderstand des Zweipols.
So wie jeder passive Zweipol durch einen Ersatzwiderstand dargestellt werden kann, lässt
sich jeder aktive Zweipol durch eine aus Spannungsquelle und einem Widerstand bestehende
Reihenschaltung nachbilden, die als Ersatzspannungsquelle bezeichnet wird.
Vorgehen beim Berechnen einer Ersatzspannungsquelle:
Als erstes Rechnen wir den Ersatzwiderstand aus. Dazu lösen wir sämtliche Strom und
Spannungsquellen aus der Schaltung (Spannungsquellen werden kurzgeschlossen,
Stromquellen durch einen Unterbruch ersetzt). Anschliessend wird von den zwei Polen aus
gesehen der Gesamtwiderstand berechnet. Beispiel:
Rie = ((R3 || R4 ) + R1 ) || R2
!
Anschliessend werden die Quellen wieder „eingesetzt“ und die Leerlaufspannung U0 (in der
Beispielschaltung die Spannung UAB) berechnet. Sie entspricht gerade der
Ersatzquellenspannung Uqe.
Berechnungen Gleichstromkreis V.doc
Buch Seite 65 bis 70
Martin Züger
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