Aufgaben MSG–Kurs 11. Klasse, 2012/2013

Aufgaben MSG–Kurs 11. Klasse, 2012/2013
Holger Stephan∗, Berlin
Weierstraß–Institut für Angewandte Analysis und Stochastik
Aufgaben Klasse 11, 1. Blatt
Wiederholung
• Komplexe Zahlen
• Vektoren, Folgen, Summen, Reihen, ...
Aufgabe 1.1 (Oly.aufgabe 11. Klasse 2. Stufe)
Gegeben sind neun positive ganze Zahlen, die in einer solchen Reihenfolge angeordnet sind,
dass die Summe von jeweils drei aufeinander folgenden Zahlen gleich ist. Die erste Zahl in der
Reihenfolge ist 450, die letzte 50. Die Summe aller Zahlen beträgt 2010.
Man bestimme alle neun Zahlen.
Aufgabe 1.2 (Oly.aufgabe Ausland)
Löse die folgende diophantische Gleichung in natürlichen Zahlen n > 0, m > 0 und k > 1:
2n + 1 = mk
Aufgabe 1.3 Berechne formal den Wert der Potenzreihe
f (x) =
∞
X
(k + 1)xk = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + ...
k=0
Hinweis: Multipliziere die Reihe mit (1 − x).
Projekt “Kombinatorik, Analysis, lineare Algebra, Zahlentheorie”, Teil 1
Aufgabe 1.4
Es sei n ≥ 0 eine ganze Zahl und an die Anzahl der Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen
und Umfang n. Hierbei zählen kongruente Dreiecke als ein Dreieck.
Ermittle die ersten Glieder a0 , ..., a20 der Folge an .
∗
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Aufgaben Klasse 11, 2. Blatt
Aufgabe 2.1 (Aus der Wurzel 09/12)
Bestimme alle Nullstellen des Polynoms
P (x) = x4 − (λ + 1)x3 + (2λ + 1)x2 − 2λx + λ
Hinweis: Versuche die Gleichung P (x) = 0 bezüglich λ zu lösen. Warum führt das zum Ziel?
Aufgabe 2.2
Es sei p > 3 eine Primzahl. Beweise, daß man die Zahl 4p2 +1 als Summe von drei Quadratzahlen
darstellen kann.
Aufgabe 2.3
Für festes a, sei die Folge cn = 1 + a + a2 + ... + an−1 gegeben. Berechne die Potenzreihe
C(x) =
∞
X
cn xn
n=0
Projekt “Kombinatorik, Analysis, lineare Algebra, Zahlentheorie”, Teil 2
Aufgabe 2.4
Eine Folge (bn ), n = 0, 1, 2, ... sei gegeben durch
1 2
6n + 18n − 1 − 18(−1)n n − 27(−1)n − 36 cos(90◦ n) + 64 cos(120◦n) − 36 sin(90◦ n)
bn =
288
Berechne die ersten Glieder der Folge bn .
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 3. Blatt
Aufgabe 3.1
Es seien a, b und c drei teilerfremde (d.h., der ggT aller drei Zahlen ist 1) natürliche Zahlen
ab
= c. Beweise, daß a − b eine Quadratzahl sein muß.
mit a > b und a−b
Aufgabe 3.2
Es seien x und y zwei derartige natürliche Zahlen, daß die Summe der Brüche
x2 − 1 y 2 − 1
+
y+1
x+1
ganzzahlig ist. Beweise, daß dann auch jeder einzelne der beiden Brüche ganzzahlig ist.
Aufgabe 3.3
Es sei ein Quadrat 2ABCD in der Ebene und ein Punkt P irgentwo in dieser Ebene gegeben.
Der Abstand von P zu den Eckpunkten A, B, C, D sei a, b, c, d. Was ist der kleinste Wert, den
der Quotient a+c
annehmen kann.
b+d
Hinweis: Ein Drachenviereck ist ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
Beweise als erstes eine Identität über die Summen der Quadrate der Längen gegenüberliegender
Seiten eines Drachenvierecks.
Aufgabe 3.4
Zerlege die folgenden Brüche in Partialbrüche!
a)
x2 + 1
,
x(x2 − 1)
b)
x3
−
6x2
1
+ 11x − 6
Projekt “Kombinatorik, Analysis, lineare Algebra, Zahlentheorie”, Teil 3
Aufgabe 3.5
Eine rekursiv Folge 9-ter Ordnung (cn ), n = 0, 1, 2, ... sei gegeben durch die Anfangswerte ck = 0
für k = 0, ..., 7, c8 = 1 und die Rekursion
cn = cn−2 + cn−3 + cn−4 − cn−5 − cn−6 − cn−7 + cn−9
für n ≥ 9. Berechne die Glieder c9 , ..., c25 .
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 4. Blatt
Aufgabe 4.1 (Eine Oly.aufgabe von 2004)
Bestimme die Ziffer vor und die ersten beiden Ziffern nach dem Komma in der Dezimaldarstellung der Zahl
X=
√ 2004
1
3+ 5
2
Hinweis: Die Zahl X ist sehr nahe an einer ganzen Zahl. Finde eine ganzzahlige Folge, deren
2004-tes Glied diese ganze Zahl in der Nähe von X ist.
Aufgabe 4.2 (frei nach einer Aufgabe der St. Petersburger Olympiaden 1991, 8. Klasse)
Beweise folgende Ungleichung für natürliche n ≥ 2:
7
23 − 1 33 − 1 43 − 1
n3 − 1
2
6
≥ 3
· 3
· 3
··· 3
> =
9
2 +1 3 +1 4 +1
n +1
3
9
Aufgabe 4.3
Es sei (Fn )∞
n=0 = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...) die Fibonacci-Folge. Beweise
n X
n−k
Fn =
k
k=0
(1)
mit zwei Methoden:
1
a) Analytisch: Beweise, daß beide Folgen dieselbe erzeugende Funktion (Potenzreihe) 1−x−x
2
haben.
b) Kombinatorisch: Finde zwei kombinatorische Aufgaben für die linke bzw. rechte Seite von
(1) und beweise, daß beide Aufgaben die gleiche Lösung haben.
Projekt “Kombinatorik, Analysis, lineare Algebra, Zahlentheorie”, Teil 4a,b
Aufgabe 4.4
Def. 1) Es sei dn die Anzahl von Möglichkeiten, die Zahl n als geordnete Summe von Zweien,
Dreien oder Vieren darzustellen.
Bemerkung: Geordnete Summe bedeutet, daß die Summanden der Größe nach – absteigend –
geordnet sein sollen. D.h., die beiden Zerlegungen 9 = 2 + 4 + 3 und 9 = 2 + 3 + 4 zählen als
äquivalent zur absteigend geordneten Zerlegung 9 = 4 + 3 + 2.
Def. 2) Es sei en die Anzahl von nichtnegativen ganzzahligen Lösungen (a, b, c) der Gleichung
2a + 3b + 4c = n.
a) Beweise dn = en .
b) Berechne die ersten Glieder der Folgen dn (bzw. en ).
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Aufgaben Klasse 11, 5. Blatt
Aufgabe 5.1
Es seien x, y und z positive reelle Zahlen. Beweise die Ungleichung
r
q
√
√
2
3
x + y + 4 z ≥ 32 xyz
Hinweis: Diese Ungleichung läßt sich sehr leicht indirekt beweisen.
Aufgabe 5.2
Die Folge (an )∞
n=1 sei rekursiv gegeben durch:
a1 := 1, und an+1 =
1 2
a + 2n + 1 n ≥ 1
n2 n
Bestimme a2003 !
Aufgabe 5.3
Bestimme die Anzahl an von Möglichkeiten, die Zahl n als Summe zweierPnichtnegativer geordn
neter ganzer Zahlen darzustellen und berechne die Potenzreihe A(x) = ∞
n=0 an x .
Projekt “Kombinatorik, Analysis, lineare Algebra, Zahlentheorie”, Teil 5
Aufgabe 5.4
a) Zerlege das Polynom
P (x) = 1 − x2 − x3 − x4 + x5 + x6 + x7 − x9
in Faktoren.
b) Berechne die Potenzreihe
C(x) =
∞
X
cn xn
n=0
der Folge (cn ) aus Aufgabe 3.5.
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Aufgaben Klasse 11, 6. Blatt
Aufgabe 6.1
In einem spitzwinkligen Dreieck 4ABC sei P der Punkt, für den die Summe der Abstände zu
den Eckpunkten – also |P A| + |P B| + |P C| – minimal ist. Beweise, daß ^AP B = ^BP C =
^CP A = 120◦ . Wie kann man diesen Punkt konstruieren?
Aufgabe 6.2
x
Es sei die Funktion g(x) = 1+x
gegeben.
(k)
f (x) sei die k-te Komposition der Funktion f (x), d.h. es sei f (0) (x) = x, f (1) (x) = f (x),
f (2) (x) = f (f (x)), f (3) (x) = f (f (f (x))),..., f (k+1) (x) = f (k) (f (x)) = f (f (k) (x)).
Finde eine Funktion h(x), sodaß h(239) (x) = g(x) gilt.
Aufgabe 6.3
Bestimme die Anzahl an von Möglichkeiten, die Zahl n als ungeordnete Summe von ungeraden
Zahlen darzustellen.
Bemerkung: Ungeordnete Summe bedeutet, daß z.B. 1 + 3 und 3 + 1 zwei verschiedene solche
Darstellungen der Zahl 4 sind.
Projekt “Kombinatorik, Analysis, lineare Algebra, Zahlentheorie”, Teil 7
Aufgabe 6.4
Versuche, die Zusammenhänge der 6 Folgen aus dem Projekt zu verstehen:
1. (dn ) aus Aufgabe 4.4.a; Anzahl n = 4 + ... + 4 + 3 + ... + 3 + 2 + ... + 2
2. (en ) aus Aufgabe 4.4.b; Anzahl n = 4i + 3j + 2k
3. (an ) aus Aufgabe 1.4; Anzahl n = a + b + c, a ≥ b ≥ c > 0, b + c > a
4. (bn ) aus Aufgabe 2.4; bn =
1
(6n2
288
+ 18n − ... − 36 sin(90◦ n))
5. (cn ) aus Aufgabe 3.4; cn = cn−2 + cn−3 + cn−4 − cn−5 − cn−6 − cn−7 + cn−9
P
1
6. (fn ) aus nn=0 fn xn = (1−x2 )(1−x
3 )(1−x4 ) (Aufgabe 5.4)
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 7. Blatt
Neuer Text im Internet zur additiven Zahlentheorie!
Aufgabe 7.1
√
Es sei die Funktion g(x) = 1+x+2 x gegeben. Finde eine Funktion h(x), sodaß h(45) (x) = g(x)
gilt.
Hinweis: Siehe die Definition in Aufgabe 6.2
Aufgabe 7.2
Es sei fn die Fibonaccifolge mit f0 = f1 = 1. Beweise die Ungleichung
p
1
n
fn+1 > 1 + √
n
fn
Hinweis: Versuche die AM-GM Ungleichung auf Folgen der Form ( ff12 , ff32 , ff34 , ...) und ( ff02 , ff31 , ff24 , ...)
und die Rekursionsdarstellung der Fibonaccifolge anzuwenden.
Aufgabe 7.3
Berechne die Potenzreihe der Folge (an ) folgender kombinatorischer Aufgabe:
Bestimme die Anzahl an von Möglichkeiten, die Zahl n als geordnete Summe verschiedener
natürlicher Zahlen darzustellen.
Aufgabe 7.4
Berechne die Potenzreihe der Folge (bn ) folgender kombinatorischer Aufgabe:
Bestimme die Anzahl bn von Möglichkeiten, die Zahl n als geordnete Summe von ungeraden
Zahlen (die auch mehrfach vorkommen können) darzustellen.
Projekt “Kombinatorik, Analysis, lineare Algebra, Zahlentheorie”
Aufgabe 7.5
Versuche, die Zusammenhänge der 6 Folgen aus dem Projekt zu verstehen:
1. (dn ) aus Aufgabe 4.4.a; Anzahl n = 4 + ... + 4 + 3 + ... + 3 + 2 + ... + 2
2. (en ) aus Aufgabe 4.4.b; Anzahl n = 4i + 3j + 2k
3. (an ) aus Aufgabe 1.4; Anzahl n = a + b + c, a ≥ b ≥ c > 0, b + c > a
4. (bn ) aus Aufgabe 2.4; bn =
1
(6n2
288
+ 18n − ... − 36 sin(90◦ n))
5. (cn ) aus Aufgabe 3.4; cn = cn−2 + cn−3 + cn−4 − cn−5 − cn−6 − cn−7 + cn−9
P
1
6. (fn ) aus nn=0 fn xn = (1−x2 )(1−x
3 )(1−x4 ) (Aufgabe 5.4)
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 8. Blatt
Aufgabe 8.1
In einem spitzwinkligen Dreieck 4ABC sei P der Punkt, für den die Summe der Längen der
Lote von diesem Punkt auf die drei Seiten minimal wird. Wo liegt P ?
Aufgabe 8.2
Es sei a > 1 eine reelle Zahl und
x2 + a + 1
f (x) = √
x2 + a
eine auf R definierte Funktion. Bestimme ihr Minimum.
Aufgabe 8.3
Finde alle ganzzahligen Tripel (a, b, c), die Lösung der diophantischen Gleichung
a3 + b3 + c3 = 2011 sind.
Aufgabe 8.4
Es sei an die Anzahl von Möglichkeiten, die Zahl n als Summe der Zahlen 1, 2, ..., k mit
Vertauschungen darzustellen.
P
n
Bestimme die Potenzreihe A(x) = ∞
n=0 an x .
Projekt “Kombinatorik, Analysis, lineare Algebra, Zahlentheorie”
Aufgabe 8.5
Versuche, die Zusammenhänge der 6 Folgen aus dem Projekt zu verstehen:
1. (dn ) aus Aufgabe 4.4.a; Anzahl n = 4 + ... + 4 + 3 + ... + 3 + 2 + ... + 2
2. (en ) aus Aufgabe 4.4.b; Anzahl n = 4i + 3j + 2k
3. (an ) aus Aufgabe 1.4; Anzahl n = a + b + c, a ≥ b ≥ c > 0, b + c > a
4. (bn ) aus Aufgabe 2.4; bn =
1
(6n2
288
+ 18n − ... − 36 sin(90◦ n))
5. (cn ) aus Aufgabe 3.4; cn = cn−2 + cn−3 + cn−4 − cn−5 − cn−6 − cn−7 + cn−9
P
1
6. (fn ) aus nn=0 fn xn = (1−x2 )(1−x
3 )(1−x4 ) (Aufgabe 5.4)
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 9. Blatt
Aufgabe 9.1
In einem Dreieck 4ABC sei auf der Seite AB ein Punkt D und auf der Seite BC ein Punkt F
beliebig festgelegt. Es sei E der Mittelpunkt der Strecke DF . Beweise
|AD| + |F C| ≤ |AE| + |EC|
Aufgabe 9.2
Beweise, daß die Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen keine Quadratzahl sein
kann.
Aufgabe 9.3
Es sei c eine natürliche Zahl, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstelen läßt. Beweise,
daß sich dann auch cn für alle natürlichen n ≥ 1 als Summe zweier Quadratzahlen darstelen
läßt.
Hinweis: Benutze komplexe Zahlen.
Aufgabe 9.4
Wie bewiesen wurde, gilt für die Anzahl an von Möglichkeiten, eine Zahl n als ungeordnete
Summe von positiven ganzen Zahlen darzustellen, an = 2n−1 . Finde dafür einen kombinatorischen Beweis, indem Du eine eineindeutige Zuordnung zu einer anderen kombinatorischen
Aufgabe mit gleicher Lösung findest, z.B. der Anzahl von Teilmengen einer Menge mit n − 1
Elementen oder der Anzahl von (n − 1)-stelligen Dualzahlen (mit führenden Nullen).
Aufgabe 9.5
Bestimme die Anzahl an von Möglichkeiten, eine ZahlP
n als Summe gleicher Summanden darn
zustellen und ermittle formal die Potenzreihe A(x) = ∞
n=0 an x .
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 10. Blatt
Aufgabe 10.1
Beweise, daß man eine Zahl, die bei Division durch 8 den Rest 7 läßt oder das Vierfache einer
solchen Zahl ist, nicht als Summe von drei Quadratzahlen darstellen kann.
Aufgabe 10.2
Beweise, daß man eine natürliche Zahl der Form 1000k + j mit k ≥ 0 und j = 1, ..., 6 nicht als
Summe von (j − 1) oder weniger “Hoch-4-Zahlen” darstellen kann.
Aufgabe 10.3
Beweise die Ungleichung
sin 2◦ − cos 2◦ + 2 cos 1◦ − 2 sin 1◦ ≥ 1
Wie groß ist die numerische Differenz zwischen linker und rechter Seite?
Aufgabe 10.4
Gesucht ist eine reelle Funktion f (x), die für alle x 6= 0 und x 6= 1 die Funktionalgleichung
1
f
+ f (1 − x) = x
x
erfüllt.
Hinweis: Setze für x geeignete Ausdrücke ein. (Das ist die Standardmethode zum Lösen von
Funktionalgleichungen.)
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 11. Blatt
Aufgabe 11.1
Gegeben sind n ganze Zahlen a1 , a2 , ..., an . Dann gibt es stets eine Teilmenge dieser Zahlen,
deren Summe durch n teilbar ist.
Aufgabe 11.2
Zwei Personen A und B spielen ein Spiel: Auf ein Blatt werden 4 parallele gleichlange Strecken
gezeichnet, dann wird das Blatt in der Mitte (senkrecht zu den Strecken) gefaltet. Jetzt verbindet A die je zwei der vier Streckenenden auf der einen Seite miteinader und dann B auf
der anderen Seite (die Auswahl der Enden wird in beiden Fällen als zufällig, also gleichwahrscheinlich angenommen). Anschließend wird das Blatt auseinandergefaltet. Befindet sich jetzt
eine zusammenhängende Linie auf dem Blatt, gewinnt A, ansonsten B. Wessen Chancen sind
größer?
Aufgabe 11.3
Es seien a1 , ..., an positive reelle Zahlen. Beweise, daß das Polynom
f (x) = xn + a1 xn−1 − a2 xn−2 − a3 xn−3 − ... − an
höchstens eine reelle positive Nullstelle hat.
Aufgabe 11.4
Es sei N eine Menge mit n Elementen. Beweise, daß die folgenden Mengen alle die gleiche Anzahl
von Elementen haben (Wieviele nämlich?), indem Du eineindeutige Abbildungen zwischen ihren
Elementen findest.
1) Die Menge aller Permutationen von N.
2) Die Menge aller surjektiven (= umkehrbar eindeutigen) Funktionen f : N −
→ N.
N
3) Die Menge aller maximalen Ketten von Teilmengen in 2 (das ist die Menge der Teilmengen
von N). Bilde als erstes alle maximalen Ketten einer Menge mit drei Elementen {a1 , a2 , a3 }.
Erklärung: Es seien Ai Teilmengen einer Menge. Teilmengen A1 , ..., Ak bilden eine Kette,
wenn gilt A1 ⊃ ... ⊃ Ak . Eine Kette heißt maximal, wenn es keine Teilmenge B mit B ⊃ A1 ,
Ai ⊃ B ⊃ Ai+1 oder Ak ⊃ B gibt.
Zwei Ketten von Teilmengen sind verschieden, wenn sie sich in wenigsten einer Teilmenge
unterscheiden.
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 12. Blatt
Aufgabe 12.1
Eine Garnrolle besteht aus einem um eine Mittelachse gerollten Faden (Radius sei r) und
gleichgroßen Scheiben mit Radius R > r an den Seitenenden. In welche Richtung rollt die
Rolle, wenn sie auf rutschfester Unterlage liegt und man am Faden zieht?
Gibt es eine Situation, bei der die Rolle nicht rollen kann?
Tip: Das sollte man tatsächlich einmal praktisch probieren.
Aufgabe 12.2
Gesucht ist die kleinste positive natürliche Zahl n mit folgender Eigenschaft: Für eine beliebige
Menge aus n verschiedenen Zahlen a1 , a2 , ..., an ist das Produkt aller Differenzen ai − aj , i < j
durch 1991 teilbar.
Aufgabe 12.3
Löse folgendes Gleichungssystem in reellen Zahlen
x1 + x2
x2 + x3
x3 + x4
x4 + x5
x5 + x1
=
=
=
=
=
x23
x24
x25
x21
x22
Aufgabe 12.4
Für eine natürliche Zahl n ≥ 1 sei τ (n) die Anzahl ihrer Teiler.
Beweise formal folgende Identitäten:
X∞
n=1
τ (n)xn =
X∞
j=1
k
X∞
xj
k2 1 + x
x
=
k=1
1 − xj
1 − xk
Hinweis: Vergleiche auch Aufgabe 9.5.
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 13. Blatt
Start im neuen Jahr: 9. Januar 2013
Elternversammlung (mit Anmeldung!): Dienstag, der 15.01.2013, um 19.00 Uhr, Adlershof
Aufgabe 13.1
Ein Mann und eine Frau in Verkleidung“ unterhalten sich.
”
Ich bin in Wirklichkeit eine Frau“, sagt die Gestalt, die als Weihnachtsmann verkleidet ist.
”
Ich bin in Wirklichkeit ein Mann“, sagt die Gestalt mit dem Engelskostüm.
”
Wenn mindestens einer von beiden lügt, wer ist dann was?
Aufgabe 13.2
Beweise, daß es mit einem realen Würfel wahrscheinlicher ist, bei k Würfen stets die gleiche
Zahl zu würfeln als mit einem idealen Würfel!
Aufgabe 13.3
In einem Quadrat mit Seitenlänge 7 sind 51 Punkte markiert. Es ist zu zeigen, daß es unter
diesen Punkten stets drei gibt, die im Inneren eines Kreises mit Radius 1 liegen.
Aufgabe 13.4
Beweise: Es gibt ganze,
von
Zahlen a, b und c mit max{|a|, |b|, |c|} < 1000000
√
√ null verschiedene
−11
derart, daß |a + b 2 + c 3| < 10 .
Aufgabe 13.5
Es seien ak ∈ (−1, 1) mit k = 1, ..., n reelle Zahlen. Beweise die zyklische Ungleichung
Xn
k=1
Xn
1
1
≥
k=1 1 + a2
1 + ak ak+1
k
(hier gilt an+1 = a1 ).
Aufgabe 13.6
Beweise
cos 12◦ · cos 24◦ · cos 36◦ · cos 48◦ · cos 60◦ · cos 72◦ · cos 84◦ = 2−7
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 14. Blatt
Wiederholung: Kongruenzen, Zahlentheorie, siehe meine MSG-Seite
Aufgabe 14.1
Ein Bild ist aufzuhängen. An zwei nebeneinanderliegenden Ecken des Bildes wird ein ausreichend langer Faden festgemacht, an dem das Bild aufzuhängen ist. Das Bild soll mit zwei in
ausreichendem Abstand nebeneinanderliegenden Nägeln an der Wand derart festgemacht werden, daß es mit zwei Nägeln hängen bleibt, aber runterfällt wenn man einen der beiden Nägel
(egal welchen) herauszieht.
Bemerkung 1: Daß es sich um ein Bild handelt, ist im Detail unwichtig. Wichtig ist nur: Es
gibt einen Faden, an dessen beiden Enden eine Kraft in die gleiche Richtung, z.B. nach unten,
wirkt, damit Bewegung in die Sache kommt, sobald die Halterung beseitigt wird.
Bemerkung 2: Es müssen keine Knoten in den Faden gemacht werden. Man nimmt das linke
herunterhängende Ende des Fadens in die linke Hand, faßt den Faden etwas weiter rechts mit
der rechten und fängt an den Faden über die Nägel zu legen (oder auch mehrfach drumherumzuwickeln). Wenn das gemacht ist zieht man das rechte Ende des Fadens nach unten.
Zusatzaufgabe: Wie ist die Lösung für k nebeneinder liegende Nägel? Wieder soll das Bild
runterfallen, wenn man irgendeinen der Nägel entfernt.
Aufgabe 14.2
Man beweise: Jede natürliche Zahl n hat ein Vielfaches der Form 55...5500...00.
Aufgabe 14.3
Sei n ≥ 5 und sei a1 , a2 , ..., an eine Folge natürlicher Zahlen. Man beweise, daß man unter ihnen
eine nichtleere Teilmenge auswählen kann und diese Zahlen so addieren und/oder subtrahieren
kann, daß das Ergebnis durch n2 teilbar ist.
Aufgabe 14.4
Löse die diophantische Gleichung
144x − 233y = 1
Aufgabe 14.5
Löse die diophantische Gleichung
9976x − 6961y = 1
Aufgaben Klasse 11, 15. Blatt
Wiederholung: Kongruenzen, Zahlentheorie, siehe meine MSG-Seite
Aufgabe 15.1
Fortsetzung der Aufgabe 14.1
Beweise, daß es möglich ist, ein Bild mit den in Aufgabe 14.1 geforderten Bedingungen an k ≥ 1
Nägeln aufzuhängen, und dabei höchstens (3·2k−1 −2)-mal den Faden über die Nägeln zu legen.
Aufgabe 15.2
Fortsetzung der Aufgabe 14.1
Versuche ein Bild mit den in Aufgabe 14.1 geforderten Bedingungen an 3 Nägeln aufzuhängen,
und dabei weniger als 10 mal den Faden über die Nägeln zu legen.
Aufgabe 15.3
Gegeben seien 70 verschiedene positive Zahlen kleiner oder gleich 200. Man zeige, daß zwei von
ihnen eine Differenz von 4, 5 oder 9 haben.
Aufgabe 15.4
Von den Eckpunkten eines regelmäßigen 250-Ecks wurden genau 16 gelb und alle anderen
blau gefärbt. Beweise, da es zu jeder solchen Färbung eine Drehung des 250-Ecks um seinen
Mittelpunkt gibt, bei der alle gelben Ecken in blaue ubergehen.
Aufgabe 15.5
Finde einen unendlichen Kettenbruch, der gleich
√
5 ist.
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 16. Blatt
Am 20. Februar 2013 kein MSG
Aufgabe 16.1
Welchen reellen Zahlen x und y entsprechen die unendlichen, periodischen Kettenbrüche
x = [a, b, a, b, a, b, ...]
x = [a, b, c, a, b, c, a, b, c, ...]
mit gegebenen positiven ganzen Zahlen a, b und c.
Aufgabe 16.2
Beweise:
√ Von sechs Punkten in einem 4 × 3-Rechteck haben zwei einen Abstand kleiner oder
gleich 5.
Mathematisches Prinzip: Konstruktion von Lyapunovfunktionen
Satz:
Eine streng monoton fallende Folge natürlicher Zahlen erreicht nach endlich vielen Schritten 0.
Beispielaufgabe:
In einer Kiste liegen Kugeln. Auf jeder steht eine natürliche Zahl ≥ 0. Zwei Personen A und
B spielen ein Spiel: A möchte die Kiste leeren, indem er eine Kugel nach der anderen daraus
entfernt. Ist die Kiste leer, hat er gewonnen. B darf für jede herausgenommene Kugel wieder
Kugeln mit einer geringeren Zahl als der die auf der Herausgenommenen steht hineinlegen
(steht auf der Herausgenommenen eine 0, darf er keine hineinlegen). Dazu stehen ihm Kugeln
mit Nummern in unbegrenzter Menge zur Verfügung. Ein Zug ist: A entfernt eine Kugel und B
legt wieder eine gewisse Anzahl hinein. Am Anfang liegen zufällig ausgewählte Kugeln in der
Kiste. Kann A gewinnen, wenn B:
a) Bei jedem Zug keine Kugel hineinlegen darf.
b) Bei jedem Zug genau eine Kugel hineinlegen darf.
c) Bei jedem Zug genau zwei Kugel hineinlegen darf.
d) Bei jedem Zug soviel Kugeln hineinlegen darf, wie die Nummer auf der Herausgenommenen
angibt.
e) Beliebig (aber endlich) viele Kugeln hineinlegen darf.
f) Beliebig (aber endlich) viele Kugeln hineinlegen darf und A nur mit verbundenen Augen die
Kugeln herausnehmen darf.
Aufgabe 16.3
Finde für die Fälle a), b), c), d) eine Lyapunovfunktion.
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 17. Blatt
Alle Aufgaben der Blätter 15 und 16 lösen, die noch nicht besprochen wurden:
Aufgabe 15.3
Aufgabe 15.4
Aufgabe 16.2
Aufgabe 16.3 Beweise, daß die besprochenen Funktionen tatsächlich Lyapunovfunktionen
sind.
Kugeln in der Kiste: Lösung der Fälle e), f)
Aufgabe 17.1
Löse das folgende System diophantischer Gleichungen:
2x + 8y + 3z = 1
3x + 2y + 4z = 1
Aufgabe 17.2
Die Seiten eines konvexen Vierecks ABCD sind alle kürzer als 24. Man zeige: Für jeden Punkt
P innerhalb des Vierecks gibt es einen Eckpunkt des Vierecks, von dem P einen Abstand kleiner
als 17 hat.
Aufgabe 17.3 Der Affe, die Matrosen und ein Haufen Kokosnüsse
Drei schiffbrüchige Matrosen retten sich auf eine einsame Insel und beginnen dort alsbald
mit dem Sammeln von Kokosnüssen. Ein Affe erkennt sehr schnell die Nahrhaftigkeit dieses
Unterfangens und schließt sich den Matrosen an. Bei Einbruch der Dunkelheit begeben sich die
3 zur Ruhe und beschließen, die Aufteilung der Kokosnüsse am nächsten Morgen vorzunehmen.
Als die anderen schlafen, erhebt sich ein Matrose, geht zu den Nüssen, beruhigt den Affen mit
einer Kokosnuss und schafft seinen Anteil vorsichtshalber beiseite. Im Laufe der Nacht haben
die beiden anderen Kameraden - unabhängig voneinander - die selbe Idee. Auch sie verfahren
jeweils exakt so wie der erste Matrose: eine Nuss dem Affen, dann den eigenen Anteil sichern .
Am nächsten Morgen erheben sich die Freunde, schenken dem Affen eine Kokosnuss und teilen
die verbliebenen Nüsse brüderlich auf. Alle Aufteilungen der Nüsse konnten stets ohne Rest
vorgenommen werden.
Wieviel Nüsse hatten die Matrosen ursprünglich gesammelt?
Dr. Holger Stephan
e-mail: [email protected]
URL: http://www.wias-berlin.de/people/stephan/msg.htm
Aufgaben Klasse 11, 18. Blatt
Aufgabe 18.1
Finde die allgemeine Lösung folgender diophantischer Gleichung:
5x + 8y + 3z = 1
Aufgabe 18.2
Finde eine spezielle Lösung folgender diophantischer Gleichung:
225x + 157y = 71
Aufgabe 18.3
Wir streichen die erste Stelle der Zahl 71996 und addieren sie zu dem verbleibenden Rest. Das
machen wir solange, bis eine 10-stellige Zahl übrigbleibt. Beweise, daß in dieser Zahl wenigstens
eine Ziffer mehrfach auftritt.
Aufgabe 18.4 (Die schwerste IMO-Aufgabe 1986)
In den Eckpunkten eines regulären 5-Ecks steht je eine ganze Zahl. Die Summe aller 5 Zahlen sei
positiv. Falls in einem Eckpunkt eine negative Zahl steht (diese Zahl sei y), wird sie gemeinsam
mit den beiden Zahlen in den Nachbareckpunkten (das seien x und z) ausgetauscht nach der
Regel: (x, y, z) −
→ (x + y, −y, z + y). Beweise, daß es möglich ist, nach endlich vielen solchen
Operationen alle negativen Zahlen zu beseitigen.
Hinweis: Diese Aufgabe läßt sich mit einer Lyapunovfunktion lösen. Eine mögliche solche
Funktion ist (die Zahlen in den Eckpunkten seien x1 , ..., x5 )
F (x1 , ..., x5 ) = (x1 − x3 )2 + (x2 − x4 )2 + (x3 − x5 )2 + (x4 − x1 )2 + (x5 − x2 )2
Dieser Hinweis fehlte bei der IMO natürlich.
Dr. Holger Stephan
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Aufgaben Klasse 11, 19. Blatt
Aufgabe 19.1
An der Tafel stehen Plus- und Minuszeichen. In jedem Schritt werden zwei Zeichen gelöscht und
durch “−” ersetzt, wenn sie verschieden waren oder durch “+” ersetzt, wenn sie gleich waren.
Beweise, daß das letzte Zeichen an der Tafel nicht von der Reihenfolge des Löschens abhängt.
Aufgabe 19.2
Auf dem Tisch liegen a weiße, b blaue und c rote Spielsteine. In jedem Spielschritt dürfen
zwei Steine verschiedener Farbe vom Tisch genommen und durch einen Stein der dritten Farbe
ersetzt werden. Am Ende bleibt ein Stein auf dem Tisch. Welche Farbe – in Abhängigkeit von
a, b und c – hat er?
Aufgabe 19.3
In den Eckpunkten eines regulären n-Ecks liegen Damesteine. In jedem Spielschritt dürfen zwei
Steine um einen Platz in gegensätzliche Richtungen bewegt werden (die Steine werden dann
übereinander gelegt). Für welche n ist es möglich, alle Steine in einem Eckpunkt zu vereinen.
Aufgabe 19.4
Finde alle Paare ganzer Zahlen x und y, die Lösung folgender diophantischer Gleichung sind:
30x2 + 49xy + 20y 2 = 15
Aufgabe 19.5
Löse folgende Gleichungssysteme in reellen Zahlen in Abhängigkeit von a, b, c und d:
−2x1
x1
a)
x1
x1
+ x2
− 2x2
+ x2
+ x2
+ x3
+ x3
− 2x3
+ x3
+ x4
+ x4
+ x4
− 2x4
=
=
=
=
a
b
c
d
−2x1 + x2 + x3 = a
x1 − 2x2 + x3 = b
b)
x1 + x2 − 2x3 = c
Dr. Holger Stephan
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