2 Kinematik

14
Kolumne li
2 Kinematik
Einteilung und Übersicht der Mechanik
(Classification and overview of mechanics)
Die Mechanik ist das älteste Teilgebiet der Physik, mit dem man
sich bereits in der Antike beschäftigte. So war die Beobachtung
des Laufes der Sonne am Himmel für die Ägypter von entscheidender Bedeutung, um die jährliche Nilüberschwemmung vorherzusagen. Bei den Griechen versuchte ARISTOTELES die Bewegung
eines Körpers zu beschreiben.
Die Beschreibung der Bewegungen von Gegenständen auf der Erde und die für Himmelskörper wurden bis NEWTON klar auseinandergehalten. Erst NEWTON erkannte, dass alle Körper – irdische
wie himmlische – mit den selben Gesetzen beschrieben werden
können.
Dies war damit gleichbedeutend mit der Geburtsstunde der Mechanik. Damit konnte aber auch das Verhalten von Flüssigkeiten
und Gase gesetzmäßig erfasst werden, wie sich dann im Laufe der
nächsten Jahrhunderte zeigte.
Mechanik der
Flüssigkeiten
Hydrostatik
Hydrodynamik
Festkörper
Kinematik
Dynamik
Translation Rotation Statik
Statik
Aerostatik
Gase
Aerodynamik
Kinetik
Raumfahrt, Schwingungen und nicht zuletzt die Quantenmechanik (siehe „Moderne Physik“) weisen auf die Bedeutung dieses ältesten Teilgebietes der Physik hin. In diesem Band beschränken
wir uns großteils auf die Besprechung der Kinematik in einer Dimension (one-dimensional kinematics).
Es wird hier bereits die in Kap. 1.6 besprochene Vereinfachung zur
Beschreibung von Naturvorgängen angewendet. Eine Bewegung
kann natürlich in allen Richtungen ablaufen. Einfacher ist es, einen Körper entlang einer Geraden bewegen zu lassen.
Abb. 14.1 Mit Hilfe der Hydrodynamik können Turbinenschaufeln optimiert werden.
2.1 Die Arten der Bewegung
(Types of motion)
Fast alle Objekte, mit denen sich die Physik beschäftigt, bewegen
sich: Atome, Licht, Schall, Zahnräder, der Mond, Meteore, Galaxien.
Es ist daher notwendig, einen kleinen Überblick über die Arten
der Bewegung zu geben.
Man unterscheidet zwei Arten von Bewegungen (Abb. 15.1–6):
Abb. 14.2 Aus den Gesetzen der
Aerodynamnik kann man den
Luftwiderstand bestimmen.
15
2.1 Die Arten der Bewegung
Translation
Translational motion
Rotation
Rotational motion
Alle Punkte bewegen sich auf parallelen oder
kongruenten Bahnen.
Alle Punkte bewegen sich auf konzentrischen
Kreisen.
Abb. 15.1
Abb. 15.2
Die Orientierung des Körpers ändert sich nicht.
Die Orientierung ändert sich.
Abb. 15.3
Abb. 15.4
Die Bahnen der Punkte eines Körpers sind
gleich lang.
Die Länge der Bahn hängt vom Abstand von der
Drehachse ab.
Abb. 15.5
Abb. 15.6
Beispiele
Beispiele
• Kabinen des Riesenrades
• Seilbahngondel
• Personen auf Rolltreppe
• Kurve fahrendes Fahrzeug
• Zeiger einer Uhr
• alle Räder
16
2 Kinematik
2.2 Der Massenpunkt
(Single point; particle)
Abb. 16.1 Schleuderspur eines Autos
und die Bewegung seines Schwerpunktes. Beachte, welche Bahn er beschreibt.
Wenn wir komplizierte Bewegungen des Alltags beschreiben wollen, sind Näherungen nötig, um Ergebnisse zu erhalten. Entscheidend ist, dass diese Näherungen richtige und brauchbare Ergebnisse liefern. Wir können zur vereinfachten Beschreibung der Bewegung eines Körpers seine Ausdehnung vernachlässigen. Wir reduzieren dann die Gestalt des Körpers auf einen Punkt (Massenpunkt). Das ist fast immer sein Schwerpunkt. (An ideal particle is
regarded as a massive, pointlike object of no discernable size or
internal structure. It occupies only a single point in space.) Wir reduzieren dabei nicht nur die Gestalt der Körper auf den (gedachten) Massenpunkt, sondern wir nähern die teilweise sehr komplizierten Bahnformen eines ausgedehnten Körpers der einfacheren
Bewegung des Massenpunktes an. Wenn wir in den folgenden
Beispielen von einem Körper reden, so bestimmen wir eigentlich
nur die Kenngrößen eines Massenpunktes (seines Schwerpunktes).
Sprechen wir andererseits von einem Massenpunkt (Schwerpunkt),
so meinen wir den ganzen Körper.
Beispiel 2.1
Explodiert ein Feuerwerkskörper, so bewegt sich der Schwerpunkt mit
unverminderter Geschwindigkeit (in Betrag und Richtung) weiter; unabhängig davon, in wie viel Teile und in welche Richtung die glühenden
Partikel fliegen.
Abb. 16.2
Beispiel 2.2
Die Fortschritte in der Teilchenphysik verdanken wir der Tatsache von
Beispiel 2.1. Werden Teilchen (z. B. Elektronen) aufeinander geschossen, so bleibt der Schwerpunkt der kollidierenden Elektronen „in der
Mitte“. Für die eigentliche Untersuchung sind die wegfliegenden
Teilchen interessant (siehe Impulserhaltungssatz, Kapitel 4.6)
Abb. 16.3
Beispiel 2.3
Der Schwerpunkt von Athleten in Sprungbewerben (Weit-,
Hochsprung) beschreibt eine Parabel (siehe Kapitel 2.7.4). Die
Bewegung der Arme oder Beine beeinflusst diese Bahn nicht.
Abb. 16.4
17
2.3 Die gleichförmige Bewegung
2.3 Die gleichförmige Bewegung
(Uniform motion)
Definition: Die Bewegung eines Körpers ist genau dann gleichförmig, wenn er in gleichen Zeiten gleiche Wege zurücklegt.
Der Quotient
„Zurückgelegte Wegdifferenz Δs durch die dazu benötigte
Zeitdifferenz Δt“ (1)
wird als Geschwindigkeit v definiert.
Die Gleichförmigkeit kann kürzer als „v = const“ geschrieben werden.
Geschwindigkeit v
Δs
s2 – s1
s
v = Δt = t2 – t1 bzw. v = t
Gleichförmige Bewegung
Δs
v = Δt = const
v ... Geschwindigkeit; [v ]= m/s
s ... Weg; [s ]= m
t ... Zeit; [t ]= s
Abb. 17.1 Die Position des Autos ist in gleichen Zeitabständen dargestellt.
Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist zwar 1 m/s, doch im täglichen Gebrauch („Umgangssprache“) benützt man Kilometer pro
Stunde (km/h) als Geschwindigkeitseinheit(2). Wie man leicht zeigen kann, gilt die Umrechnung
• 1 m/s = 3,6 km/h,
• 1 km/h = 1000 m/3600 s = 1/3,6 m/s = 0,28 m/s
Merk & Würdig
Mittlere Geschwindigkeit
average speed
Δs
v = Δt
Die mittlere Geschwindigkeit
berücksichtigt den Fall, dass
ein Körper nicht während der
gesamten Fahrstrecken mit
konstanter
Geschwindigkeit
unterwegs ist.
Ein Körper bewegt sich 24 m
weit mit 6 m/s, 40 m mit 5 m/s
und 10 m mit 10 m/s. Wie groß
ist v ?
Antwort: Δs = 70 m
s
s
s
Δt = v11 + v22 + v33
Momentangeschwindigkeit
instantaneous velocity
Δs
v = Δt
Um die augenblickliche Geschwindigkeit zu bestimmen,
muss Δt möglichst klein sein. Je
kleiner man Δt wählt, umso
eher entspricht die Größe der
Momentangeschwindigkeit.
Der mathematische Hintergrund ist anspruchsvoll (Differentialrechnung).
Δ darf weggelassen werden,
wenn ein Bezugspunkt
(s1 bzw. t1) Null ist.
Δt = 24 mm + 40 mm + 10 m
m = 13 s
6 s
Δs
5 s
10 s
74 m
v = Δt = 13 s = 5,69 m/s
v = 5,7 m/s
(1)
Der griechische Buchstabe Δ (groß Delta) wird üblicherweise für Differenzen benützt.
(2) Man vermeide unter allen Umständen die Bezeichnung „kmh“ oder „Stundenkilometer“!
1 m/s = 3,6 km/h
18
2 Kinematik
Diagramme
Um eine Bewegung anschaulich darzustellen, kann man entweder
eine Folge von Bildern nebeneinander legen (Abb. 18.1), ...
oder ein so genanntes s-t-Diagramm zeichnen. Dabei wird in Abhängigkeit der Zeit der zurückgelegte Weg bzw. in einem weiteren Diagramm – dem v-t-Diagramm – die gefahrene Geschwindigkeit in einem Koordinatensystem dargestellt.
Abb. 18.1
Beispiel
Bei einem Autorennen fährt ein Rennfahrer mit einer Geschwindigkeit von 60 m/s in die Zielgerade ein (Abb. 18.2.) Wir stellen
die letzten 300 m seiner Fahrt vor dem Ziel graphisch dar. Dazu
tragen wir den Ort des Autos in ein s-t-Diagramm ein. Die in gleichen Zeitintervallen Δt = 1 s zurück gelegten Wegstrecken Δs sind
gleich lang (vgl. die kongruenten Dreiecke im s-t-Diagramm).
Abb. 18.3 s-t-Diagramm
Abb. 18.2 Grafische Darstellung der Bewegung eines Rennautos, das
mit gleichbleibender Geschwindigkeit (v = 60 m/s) die letzten 300 m
auf der Zielgeraden zurücklegt.
Abb. 18.4 s-t-Diagramm
Abb. 18.5 v-t-Diagramm
Was ein s-t-Diagramm aussagt
1) Wir erkennen in Abb. 18.3, dass das s-t-Diagramm (position-time-graph) einer geradlinigen gleichförmigen Bewegung eine Gerade ergibt. Man spricht von einem linearen Zusammenhang.
Diese Gerade ist nicht die geradlinige Bahn des Körpers!
2) Die Steigung (slope) der Geraden spiegelt die Geschwindigkeit
wieder. Je schneller – umso steiler (Abb. 18.3).
3) Wir können ablesen, wie lange der Fahrer für die Strecke benötigte oder welche Strecke er in einer bestimmten Zeit zurücklegt.
4) Die in gleichen Zeitintervallen zurückgelegten Strecken sind
gleich lang.
5) Wir können erkennen, in welche Richtung der Körper unterwegs ist (Abb. 18.4).
6) Im v-t-Diagramm ergibt sich der zurückgelegte Weg rechnerisch
als Flächeninhalt unterhalb der v-Kurve, hier eine Gerade parallel
zur Zeitachse. Diese Tatsache gilt allgemein und wird im nächsten
Kapitel verwendet (Abb. 18.5).
19
2.3 Die gleichförmige Bewegung
Abb. 19.2 Bei der Geschwindigkeit
kommt es auch auf die Orientierung an!
Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe ជv. Es ist also damit möglich und sinnvoll, die Bewegungsrichtung eines Gegenstandes anzugeben
(Abb. 19.2).
Abb. 19.1 Wegen der übersichtlichen Darstellung von Bewegungen werden s-t-Diagramme als graphische Fahrpläne verwendet. Graphischer
Fahrplan der ÖBB, beginnend um 12 Uhr
• Die Beschleunigung (siehe Kapitel 2.4) einer gleichförmigen Bewegung ist null (Abb. 19.4).
Abb. 19.3 „The speed is right but the
velocity is wrong.“
(mph = miles per hour)
Abb. 19.4
• Die gleichförmige Bewegung wird auch dann angewendet,
wenn sie hinreichend genaue Ergebnisse liefert. Z. B wird die
Beschleunigungs- und Bremszeit eines Zuges nach und vor Stationen nicht immer berücksichtigt; die Bewegung der Erde um
die Sonne wird als gleichförmig angenommen, man verwendet
die mittlere Geschwindigkeit.
Daher: Wegen der einfacheren Rechnung nimmt man vernachlässigbare Fehler in Kauf.
In der englische Sprache wird unterschieden (Abb. 19.3):
Geschwindigkeit als Betrag (speed)
und Geschwindigkeit als Vektor (velocity).
Beispiele von Geschwindigkeiten in m·s-1
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
3·108
Reizleitung in Nervenfasern
Lichtgeschwindigkeit im Glas
2·108
Geschwindigkeit eines Mofas
Geschwindigkeit der Erde um die Sonne
3·104
Gehgeschwindigkeit
102
10
1
Fluchtgeschwindigkeit eines Satelliten
104
Fallgeschwindigkeit einer Schneeflocke
10-1
Geschwindigkeit des Mondes um die Erde
103
Geschwindigkeit einer Weinbergschnecke
10-3
Geschwindigkeit des Elektronenstromes in Metallleitern
10-4
Schallgeschwindigkeit in Luft
Spitzengeschwindigkeiten im Autorennsport
3·102
102
Wachstumsgeschwindigkeit eines menschlichen Haares 3·10-9
Beispiel 2.4
Zwei Sportler A und B wollen entscheiden, wer von ihnen der schnellere ist. A läuft 60 m in 10 s,
B 100 m in 15 s. Wer ist schneller?
Man setzt die gegebenen Werte in die bekannte Gleichung ein.
s
60m
A: v = t = 10s = 6 m/s
100m
B: v = 15s = 6,7 m/s
B ist schneller.
20
2 Kinematik
Beispiel 2.5
Bei Unfällen ist immer wieder vom Sekundenschlaf als Ursache die Rede. Welchen Weg legt ein Autofahrer während einer Sekunde bei 100 km/h zurück?
v = 100 km/h = 100/3,6 m/s
t=1s
100
s = v·t ⇒ s = 3,6 m/s·1 s = 28 m
s = 28 m
Beispiel 2.6
Wie schnell ist (a) die Erde näherungsweise auf ihrem Weg um die Sonne, (b) wie schnell der Mond um
die Erde? Beide Geschwindigkeiten sind in m/s und in km/h anzugeben.
(a) r = 150 Millionen km = 1,5·1011 m
t = 1 a = 365 d = 365·86 400 s
s
2·π·r
2 · π · 1,5 · 1011 m
v = t = t ⇒ v = (365 ·86 400) s = 29 900 m/s
v ≈ 30 000 m/s
2 · π · 1,5 · 108 km
v = = 107 600 km/h
365 ·24 h
v ≈ 108 000 km/h
(b) r = 384 400 km = 3,84·108 m
t = 1 Monat = 30 d = 30·86 400 s
2 · π · 3,84 · 108 m
s
2·π·r
v = t = t ⇒ v = = 930 m/s
30 · 86 400 s
v = 930 m/s
v ≈ 3 350 km/h
Abb. 20.1 Das System Erde-Mond von der
Raumsonde „Mars Express“ aus aufgenommen.
Beispiel 2.7
Ein Radfahrer fährt eine Strecke von 60 km mit einer mittleren
Geschwindigkeit von 30 km/h. Bei der Rückfahrt ist er bereits müde
und erreicht nur eine mittlere Geschwindigkeit von 20 km/h.
Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit für die gesamte Strecke?
Zeichne von dieser Bewegung das s-t- und das v-t-Diagramm.
v1 = 30 km/h
s1 = s2 = s = 60 km
v2 = –20 km/h
Δs = 120 km
s
s
1
1
tges = v11 + v22 = s v1 + v2 ⇒ tges = 60 ·
冢
Δs
冣
冢
1
1
+ 30 km/h 20 km/h
冣= 5 h
120 km
v = Δt = 5 h = 24 km/h
v = 24 km/h = 6,7 m/s
Abb. 20.2
Beispiel 2.8
Max geht mit seinem Hund Flocki spazieren. Plötzlich sieht Flocki in 1 km Abstand die ihnen entgegen
kommende Susi und läuft auf sie zu. Bei ihr angekommen, kehrt er aber sofort wieder um, um zu Max
zurück zu laufen; bei diesem dreht er wiederum und sofort, bis alle drei in der Mitte zusammen treffen.
Welche Strecke hat Flocki bei seinem Hin- und Herlaufen zurückgelegt, wenn Max und Susi mit je 5
km/h und Flocki mit 15 km/h läuft?
Dieses Problem kann auch sehr aufwendig und langwierig gelöst werden. Oder – mittels Gedankenblitz
– sehr schnell: Bis zum Zusammentreffen in der Mitte bewegen sich alle drei gleich lange, aber Flocki
dreimal so schnell – folglich wird er auch dreimal soweit kommen. Max und Susi gehen je 0,5 km, deshalb läuft Flocki 1,5 km.
21
2.3 Die gleichförmige Bewegung
Übungen
Übung 2.1 Der Weltrekord im Laufen stand 1990 für die 100 m
Sprintdistanz auf 9,92 s, der für 1500 m auf 3 min 29,46 s. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeiten der Läufer auf diesen Distanzen in m/s und in km/h.
Übung 2.2 Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Punktes am
Äquator? (rErde = 6 380 km)
Übung 2.3 Beschreibe in Abb. 21.1 möglichst genau die Geschwindigkeiten der Körper 1 bis 5. Was kann man über den Beginn (zeitlich und örtlich) der Bewegung aussagen?
Übung 2.4 2 PKW, 200 km voneinander entfernt, bewegen sich
mit 40 km/h bzw. 60 km/h aufeinander zu.
(a) Wo und wann treffen sie einander?
(b) Das zugehörige s-t-Diagramm ist zu zeichnen.
Übung 2.5 In einem großen Konzertsaal hat Kurt nur eine Stehplatzkarte bekommen; er ist damit 40 m vom Sänger entfernt.
Das Konzert wird direkt übertragen und Kurts Brieffreund hört
die Übertragung in einem 1000 km entfernten Ort. Wer von beiden bekommt einen vom Sänger angestimmten Ton früher zu hören, wenn der Sänger direkt vor dem Mikrophon und Kurt direkt
vor dem Lautsprecher steht? (Schallgeschwindigkeit 340 m/s,
elektronische Übertragungsgeschwindigkeit 300 000 km/s)
Übung 2.6 Welche Strecke hat die Dame seit Beginn der Fahrt zurückgelegt (Abb. 21.2)?
Übung 2.7 Ein PKW kommt von einer Landstrasse (v = 100 km/h)
in ein Ortsgebiet (50 km/h), muss vor einer Ampel warten, fährt
weiter und beschleunigt nach der Ortstafel wieder auf der Landstraße auf 100 km/h. Zeichne von dieser Bewegung den prinzipiellen Verlauf der Kurven im s-t- und v-t-Diagramm. (Die Beschleunigungsphasen sind nicht zu berücksichtigen.)
Übung 2.8 Auszug aus den Schwimm-Wettkampfbestimmungen:
„§ 101 Wettkampfbahn Länge: 50 m ....“
Der Weltrekord in 1500 m Männer (Stand 2001) beträgt 14:34,56 s.
a) Wie viele Längen müssen geschwommen werden?
b) Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?
c) Wie lange braucht eine Schwimmer für einen Meter?
Übung 2.9 Zwei Freunde – Gerhard und Klaus – wollen die Gesetze der gleichförmigen Bewegung überprüfen und beschließen,
eine Strecke von 20 km unter folgenden Bedingungen zu durchfahren: Gerhard fährt mit seinem Rad zuerst 10 km mit 15 km/h,
dreht um und fährt wieder mit 15 km/h zurück. Klaus fährt mit
10 km/h bis zum Umkehrpunkt und dann mit 20 km/h zurück.
a) Wer ist schneller und um wie viel?
b) Wie schnell muss der langsamere zurückfahren, um zur gleichen Zeit wie sein Freund am Ziel anzukommen?
c) Das s-t-Diagramm ist zu zeichnen.
Übung 2.10 Ein Gepard verfolgt eine Gazelle. Zu Beginn der Verfolgung hat die Gazelle einen Vorsprung von 180 m und läuft
mit 54 km/h dem Gepard davon, der sie mit 72 km/h verfolgt.
Wie lange und wie weit muss der Gepard laufen, bis er die Gazelle eingeholt hat?
Übung 2.11 A cyclist moves at 12 m/s during 1 min and at 16 m/s
for 2 min. Find the average speed.
Abb. 21.1
„Wie soll ich 90 Kilometer in der
Stunde gefahren sein, wenn ich erst
seit 10 Minuten unterwegs bin?!“
Abb. 21.2
Abb. 21.3 Die schnellsten menschlichen Schwimmer erreichen 8 km/h –
ein Seglerfisch 110 km/h.
Abb. 21.4 Geparden erreichen kurzzeitig eine Geschwindigkeit von 100 km/h.
22
2 Kinematik
Beschleunigung a
2.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Die Veränderung einer
Geschwindigkeit Δv pro Zeiteinheit
nennt man Beschleunigung.
(Uniformly accelerated motion)
Δv
v –v
2
1
a = Δt = t2 – t1
Gleichmäßig beschleunigte
Bewegung
Δv
a = Δt = const
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für
Beschleunigung aus der
Ruhelage
v
a = t
Im Kapitel 2.3 wurde bereits darauf hingewiesen, dass ein Körper
selten bzw. nur näherungsweise seine Geschwindigkeit konstant
hält. Wir betrachten also jetzt den Fall, dass seine Geschwindigkeit nicht konstant ist. Wir beschränken uns allerdings auf den
Fall, dass sich die Geschwindigkeit gleichmäßig ändert und definieren:
Ein Körper bewegt sich genau dann gleichmäßig beschleunigt,
wenn er seine Geschwindigkeit pro Zeitintervall Δt um den gleichen Betrag Δv ändert.
vt
s = 2
a
t2
2
s=
v = 兹2as
苶
v(t)
a … Beschleunigung; [a] = m/s2
v … Geschwindigkeit; [v] = m/s
s … Weg: [s] = m
t … Zeit; [t] = s
t
Abb. 22.1 v-t-Diagramm
Abb. 22.2 Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungsfunktion für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Aus dem v-t-Diagramm kann der zurückgelegte Weg bestimmt
werden. Für jedes Zeitintervall Δt ist Δv gleich groß. Das v-t-Diagramm ist daher eine Gerade (Abb. 22.1). Der zurückgelegte Weg
vt
beträgt s = 2.
Setzt man diesen Weg s in die Gleichung v = a·t ein, so erhält man
a
den in der Zeit t zurückgelegten Weg s: s = 2 · t2. Der Zusammenhang zwischen s und t ist quadratisch (Abb. 22.2 oben).
a
Formt man die beiden Gleichungen v = at und s = 2 · t2 geeignet
um, so erhält man die so genannte zeitfreie Gleichung: v = 兹2as
苶.
a
Mit der Gleichung s = 2·t2 lässt sich jetzt auch das s-t-Diagramm
zeichnen. In Abb. 22.2 sind alle Diagramme zusammengefasst.
23
2.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Die Momentangeschwindigkeit eines gleichmäßig beschleunigten
Körpers ändert sich ständig. Dies lässt sich im s-t-Diagramm leicht
ablesen.
Abb. 23.1 Die Steigung der Tangente
zeigt die momentane Geschwindigkeit an.
Merk & Würdig
Alle diese Gleichungen von Seite 22 gelten unter der Voraussetzung, dass der Körper aus der Ruhelage heraus beschleunigt oder bis zum Stillstand abgebremst wird.
Wird die Geschwindigkeit größer, so spricht man von Beschleunigung: a > 0
Wird die Geschwindigkeit kleiner, so spricht man von Verzögerung: a < 0
Unter Geschwindigkeitsänderung (= Beschleunigung) versteht man sowohl eine Änderung des Betrages der Geschwindigkeit als auch eine Änderung der Richtung der Bewegung. Die Beschleunigung ist also ein Vektor a
ជ.
Ergänzung & Ausblick
Kleine Physik des Autofahrens
a) Der Bremsweg sB bis zum Stillstand hängt quadratisch
von
v2
der gefahrenen Geschwindigkeit v ab: sB = 2
a
b) Der Reaktionsweg sR hängt linear von der gefahrenen
Geschwindigkeit ab sR = v·t. sges = sB + sR
sges = Anhalteweg
c) Daumenregel: Der Sicherheitsabstand in Meter soll die halbe
gefahrene Geschwindigkeit in km/h betragen.
Z. B. 100 km/h Ⳏ 50 m Abstand zum Vorderfahrzeug
Vergrößert ein Körper seine Geschwindigkeit um Δv, also von
v1 auf v2, entlang einer Strecke s, so muss wie folgt gerechnet
v
2
–v
„Fahrschulformeln“
v
sR = 3 · 1
0
sB =
v
v
· 10 10
sR = … Reaktionsweg, [sR] = m
sB = … Bremsweg, [sB] = m
v = … gefahrene Geschwindigkeit, [v] = km/h !!
2
2 1
werden: a = 2s
Beispiele für Beschleunigungen in m/s2
Aufprall eine Tennisballes auf eine Mauer bis 105
Beschleunigung bei Autounfällen
bis 103
Fallbeschleunigung auf der Erde
Bremsbeschleunigung eines Autos
10 = 1 g
bis 8
Fallbeschleunigung auf der Sonne
273 ≈ 28 g
Bewusstlosigkeit beim Menschen
ab 70
Beschleunigung bei einem Raketenstart
50
Fallbeschleunigung am Jupiter
26 ≈ 2,6 g
Beschleunigung eines Autos
Fallbeschleunigung am Mond
Beschleunigung der U-Bahn
Beschleunigung eines Güterzuges
bis 4
1
1,6 = 6 · g
1
10-1
24
2 Kinematik
Hinweis: Bei den folgenden Beispielen wird die Beschleunigung der Einfachheit halber als gleichmäßig
angenommen.
Beispiel 2.9
Ein trainierter Radfahrer startet bei einer Kreuzung bei Grün und erreicht nach 3 s eine Geschwindigkeit von 25 km/h. Laut PKW-Werbung soll ein Auto in 12, 5 s von 0 auf 100 km/h beschleunigen. Wer
beschleunigt besser?
Radfahrer: t = 3 s
v = 25 km/h = 25/3,6 m/s
v
25 m/s
2
a = t ⇒ a = 3,6·3 s = 2,31m/s
a = 2,3 m/s2
Der Radfahrer beschleunigt besser.
PKW: t = 12,5 s
v = 100 km/h = 100/3,6 m/s
v
100 m/s
2
a = t = 3,6·12,5 s = 2,2 m/s
a = 2,2 m/s2
Beispiel 2.10
Gute Läufer legen 100 m in 10 s zurück. Welche Beschleunigung ist dabei notwendig und welche maximale Geschwindigkeit erreicht ein Läufer, wenn er seinen Lauf zunächst auf einer Strecke von 6 m
gleichmäßig beschleunigt und dann den Rest der Strecke mit der erreichten Geschwindigkeit zum Ziel
läuft?
Die Strecke von 100 m zerfällt in 2 Stücke:
s1 = 6 m ... gleichmäßig beschleunigt
s2 = 94 m ... gleichförmig
vt
s
s
Für s1 gilt: s1 = 21 ⇒ t1 = 2 · v1; für s2 gilt: s2 = vt2 ⇒ t2 = v2
2s
s
Da t = t1 + t2 = v1 + v2 = 10 s, kann man sich durch Einsetzen von s1 und s2 die Geschwindigkeit be
2·6m
94 m
rechnen: v + v = 10 s ⇒ v = 10,6 m/s
v2
(10,6 m/s)2
= 9,36 m/s2 ⇒ a = 9,4 m/s2
Aus v = 兹2as
苶 ⇒ a = 2s = 2·6 m
Beispiel 2.11
A car accelerates from 12 m/s to 25 m/s (a) in 10 s, (b) in a distance of 100 m. What was its acceleration? How far did it travel in this time? Assume constant acceleration.
Δv = 13 m/s
(a) t = 10 s
(b)
s = 100 m
Δv
13 m/s
v 22 – v12
(25 m/s)2 – (12 m/s)2
2
2
a = Δt ⇒ a = a = 2
= = 2,405 m/s2 ⇒ a = 2,4 m/s2
10 s = 1,3 m/s ⇒ a = 1,3 m/s
s
2 · 100 m
Übungen
Abb. 24.1
Übung 2.12 Ein Auto beschleunigt von 0 auf 100 km/h (gleichmäßig) in 15 s. Berechne
a) die mittlere Beschleunigung.
b) den zurück gelegten Weg.
Übung 2.13 Berechne die mittlere Beschleunigung eines Düsenflugzeuges beim Start.
(Takeoff-Geschwindigkeit: 360 km/h; Länge der Startbahn: 2,1 km)
Übung 2.14 Die Bremsverzögerung eines Mopeds ist a = 5 m/s2,
die eines Autos bei trockener Fahrbahn a = 8 m/s2, bei nasser
Fahrbahn a = 4 m/s2. Wie schnell dürfen die Fahrer jeweils nur
fahren, um innerhalb von 20 m stehen bleiben zu können?
25
2.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Übung 2.15 Um die Geschwindigkeit von Autofahrern zu kontrollieren, wurde im Herbst 2003 erstmals die Methode Section
Control eingesetzt. Man bestimmt nicht die Momentangeschwindigkeit eines Fahrzeugs, sondern kontrolliert, ob nicht
auf der 2290 m langen Messstrecke die Fahrzeit bei der erlaubten Fahrgeschwindigkeit von 80 km/h überschritten wird.
a) Wie groß ist die erlaubte Fahrzeit?
b) Es wird vermutet, dass eine Überschreitung der Durchschnittsgeschwindigkeit um 3 % bereits zu einer Bestrafung
führt. Wie schnell war der Fahrzeuglenker unterwegs und welche Zeit hat er benötigt?
c) Ein Lenker will die Kontrolle überlisten und fährt die erste Teilstrecke mit 100 km/h, um dann die restliche Strecke von 200 m
entsprechend langsamer zu fahren. Welche Geschwindigkeit
muss er einhalten, um unterhalb der tolerierten Zeit zu bleiben?
d) Wegen eines Unfalls musste ein Autofahrer am Beginn der
Section Control anhalten. Welche (hypothetische) Maximalgeschwindigkeit kann er am Ende der Messstrecke erreichen, wenn
er die gesamte Strecke konstant beschleunigt und nicht wegen
Geschwindigkeitsübertretung bestraft werden will?
Abb. 25.1
Abb. 25.2 Analog Übung 2.17
Übung 2.16 Ein Motorboot fährt 5 Minuten lang mit v = 15 m/s,
bremst dann gleichmäßig innerhalb von 1 Minute auf 5 m/s, um
einen schmalen Kanal (s = 2 km) zu durchfahren. Es beschleunigt dann mit 0,2 m/s2 auf 20 m/s, um weitere 10 Minuten mit
dieser Geschwindigkeit weiter zu fahren. Welche Strecke hat es
dabei insgesamt zurückgelegt? Zeichne ein s-t-, v-t- und a-t-Diagramm für die gesamte geradlinige Bewegung.
Übung 2.17 Ein Fahrer fährt im Stadtgebiet mit der erlaubten
Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h und kann vor einem auftauchenden Passant gerade noch anhalten. Wäre er mit erhöhter Geschwindigkeit (v = 70 km/h) gefahren, hätte der das Hindernis überrollt. Mit welcher Geschwindigkeit wäre dies geschehen?
Übung 2.18 Berechne auf Grund der Daten (Abb. 25.3):
(a) Die mittlere Geschwindigkeit des Läufers beim Weltrekord.
(b) Die mittlere Geschwindigkeit des Läufers bei der Jahresweltbestleistung.
(c) Um wie viel Zentimeter ist der Läufer bei der langsameren
Zeit noch vor dem Ziel?
Abb. 25.3 Zu Übung 2.18
Aus einem Zeitungsbericht:
In Athen, wo er im Vorjahr seinen neuen
Weltrekord über 100 m in 9,79 Sekunden fixiert hatte, gewann Maurice Greene in der
neuen Jahresweltbestzeit von 9,91.
26
Abb. 26.1 Zu Übung 2.21
2 Kinematik
Übung 2.19 Ein Formel I Wagen beschleunigt nicht nur stark,
auch seine Verzögerungswerte sind beachtlich. In 0,44 s wird
die Geschwindigkeit von 309 km/h auf 227 km/h reduziert. Welcher Verzögerung entspricht dies? Wenn ein „normaler“ PKW
diese Verzögerung erreichen würde, wie lange wäre Bremsweg
und Bremszeit bei einer Ausgangsgeschwindigkeit von (a)
50 km/h, (b) 100 km/h?
Übung 2.20 In welcher kürzesten Zeit kann ein Körper eine
2 km lange Strecke zurücklegen, wenn seine Beschleunigung
niemals größer als 20 m/s2 sein darf, und er zu Beginn und am
Ende der Bewegung die Geschwindigkeit null haben soll?
Übung 2.21 Fährt das Fahrzeug durch eine Mulde oder über eine Kuppe (Abb. 26.1)?
Übung 2.22 A departing jet airplane has only 500 m of runway,
and must reach a speed of 200 km/h in order to take off. What
minimum acceleration should it be capable of?
Übung 2.23 A runner hopes to complete the 5000 m run in less
than 13 min. After exactly 11 min, there are still 800 m to go.
The runner must then accelerate at 0,2 m/s2. How long does he
have to accelerate in order to achieve the desired time?
2.5 Der freie Fall im Vakuum
(Free fall in vacuum)
Abb. 26.2 Historische Darstellung einer Fallröhre. Die
Luftpumpe
zum
Evakuieren der Röhre wurde jedoch erst
nach GALILEIS Tod erfunden.
Eine besondere Form der gleichmäßig beschleunigten Bewegung
stellt der freie Fall dar. Dabei wird aus dem Weg s die Fallhöhe h
und aus der allgemeinen Beschleunigung a die Erd(fall)beschleunigung g. Dieser Bewegungstyp tritt genaugenommen nur bei
physikalischen Fallexperimenten im stoffleeren Raum auf. Diese
Bedingung kann man im Labor mit einer so genannten Fallröhre,
die evakuiert werden kann, erzielen. Eine Bleikugel und eine Vogelfeder werden in der evakuierten Röhre fallengelassen. Man
stellt fest, dass beide Körper gleich schnell fallen. Eine Tatsache,
die schon GALILEI vor ca. 400 Jahren erkannt hat. Er hatte dieses
Hilfsmittel – die Fallröhre – aber noch nicht zur Verfügung. Um
dies trotzdem zu beweisen, half er sich mit einem Gedankenexperiment.
Gedankenexperiment
Abb. 26.3
GALILEIO nahm an, dass schwere Massen schneller fallen, und argumentierte etwa so:
„Lässt man einen Ziegelstein von einem Turm fallen, so wird
der Ziegelstein nach einer bestimmten Fallzeit t mit einer bestimmten Endgeschwindigkeit v aufprallen. Lässt man zwei gleiche Ziegelsteine nebeneinander fallen, so wird jeder nach derselben Zeit t mit der gleichen Geschwindigkeit v aufprallen. Es
gibt keinen Grund anzunehmen, das sich Fallzeit t oder Fallgeschwindigkeit v ändern, wenn man die Ziegelsteine etwa mit einer Schnur fest verbindet und die nunmehr mit doppelter Masse fallen lässt.“ Er hat damit die anfängliche Behauptung, verschieden schwere Massen fallen verschieden schnell, widerlegt.
2.5 Der freie Fall im Vakuum
27
Merk & Würdig
Der Betrag der Fallbeschleunigung ist auf der Erdoberfläche
nicht konstant. Er nimmt vom Äquator zu den Polen hin zu.
(Werte siehe Seite 53, Übung 3.14)
Der Wert für die geographische Breite ϕ = 45° (etwa Wien)
beträgt 9,80629 m/s2. Als Näherungswert genügt 9,81 m/s2, für
Überschlagsrechnungen 10 m/s2.
Die Fallbeschleunigung wird durch die Anziehungskraft
der Erde auf Körper verursacht.
Die
Fallbeschleunigung nimmt mit dem Quadrat des
Abstandes von der Erdoberfläche ab. Hinweis: Diese Aussage
gilt (nur) für eine Erde, die exakt kugelförmig und homogen
ist (siehe Kapitel 6.1).
Die Fallhöhen nehmen quadratisch mit der Zeit zu.
Beispiel 2.12
Ein Stein fällt von einem hohen Turm im freien Fall. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.
(a) Wie groß ist die Geschwindigkeit nach zwei Sekunden?
(b) Welche Strecke hat er nach zwei Sekunden durchfallen?
(c) Welchen Weg fällt der Stein zwischen der dritten und
vierten Sekunde?
(d) Wie lange braucht der Stein, um eine Geschwindigkeit
von 30 m/s zu erreichen?
(a) t = 2 s
v = g·t ⇒ v = 9,81 m/s2·2 s = 19,62 m/s
v = 19,6 m/s
g
9,81 m/s2
(b) h = 2·t2 ⇒ h = 2 · (2 s)2 = 19,62 m
h = 19,6 m
g
9,81 m/s2
(c) Δs = s4 – s3 = 2· (t42 -t32) ⇒ Δs = 2 · (42 – 32) s2 = 34,33 m
Δs = 34,3 m
(d) v = g·t ⇒ t =v/g = 30 m/9,81 m/s2 = 3,058 s
t = 3,1 s
Beispiel 2.13
Laura ist sehr mutig. Sie lässt sich aus 10 m Höhe ins Wasser fallen.
a) Mit welcher Geschwindigkeit taucht sie ins Wasser?
(b) Wie lange braucht sie dazu?
(c) Das Becken ist 2,5 m tief. Wie stark muss sie verzögern?
2·1苶
(a) v = 兹2gh
苶 ⇒ v = 兹2·9,81
苶m/s
苶0
m = 14 m/s
v = 14 m/s = 50 km/h
g
(b) s = 2 · t2 ⇒ t = 兹2s/g
苶 ⇒ t = 兹2·10
苶/9,81
m苶m/s
苶2 = 1,427 s
t = 1,4 s
v2
(c) v = 兹2as
苶 ⇒ a = 2s ⇒ a = (14 m/s)2/(2⋅2,5 m/s2) = 39,2 m/s2
a = 39 m/s2
Abb. 27.1 Die ersten Sekunden nach
dem Absprung