5 6 20 ( , ) ( ) = ⋅ + ⋅ + Ttm t m

Grundwissen Mathematik 7. Klasse
1. Algebra
1.1 Terme
Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt:
T (t, m ) = (t ⋅ 5 + 6) ⋅ 20 + m
(ausgesprochen: T von t und m)
Ein Term besteht aus Zahlen, (hier: 5, 6, 20), Klein-Buchstaben (hier t und m)
Klammern und Rechenzeichen (hier * und +).
Die Buchstaben a, b, c, …. x, y, z sind Platzhalter für Zahlen, man nennt sie Variable
(Veränderliche).
Zu jeder Variablen gehört eine Zahlenmenge, aus der man einsetzen darf,
die Definitionsmenge der Variablen.
Tritt dieselbe Variable mehrfach in einem Term auf, so ist stets dieselbe Zahl
einzusetzen: T(x) = x² - 4x T(2) = 2² - 4 * 2 = 4 – 8 = - 4
Der Malpunkt zwischen Zahlen und Variablen oder Klammern oder zwischen
Variablen und Klammern darf weggelassen werden, aber nicht der zwischen Zahlen.
1.2 Termumformungen
Zwei Terme heißen äquivalent, wenn für alle Werte aus der Definitionsmenge die
Terme denselben Wert haben.
Terme können mit Hilfe der Rechengesetze (KG, AG, DG) in äquivalente Terme
umgeformt werden.
Typen von Termumformungen:
1) Plusklammer: Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer
weggelassen werden:
3 + (8x – 7y² ) = 3 + 8x – 7 y²
2) Minusklammer: Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so werden alle
Vorzeichen/Rechenzeichen in der Klammer umgekehrt:
3 - (8x – 7y² ) = 3 - 8x + 7 y²
3) Multiplikation von Termen:
(-7axy²)(-0,5ay)(4x²) = + 14a²x³y³
Tipp: Vorzeichen, Zahl und Variablen nacheinander berechnen.
Spezialfall Potenzen:
(-2x)³ = (-2x)(-2x)(-2x) = - 8x³
4) Zusammenfassen von Summanden:
Nur möglich, wenn dieselben Variablen mit demselben Exponenten vorkommen.
Die Koeffizienten (d.h. die Zahlen vor den Variablen) werden addiert.
0,7x³y – 3xy - 2,7 x²y + 1,4 x²y + 5xy = 0,7x³y + 2xy -1,3x²y
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5) Multiplikation von Klammern:
Distributivgesetz: Faktor mal Klammer oder Klammer mal Faktor:
7x*(3x – 0,8a + 1) = (3x – 0,8a + 1)*7x = 21x² – 5,6ax + 7x
Produkte aus Summen/Differenzen: Jeder Summand der ersten Klammer wird mit
jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert und anschließend die Produkte
addiert:
(7 - 3x)(– 0,8a + 1) = 7*(-0,8a) + 7*1 – 3x*(-0,8a) – 3x*1 = -5,6a + 7 + 2,4ax – 3x
6) Ausklammern oder Faktorisieren:
(= Umkehrung des Distributivgesetzes)
Gemeinsame Faktoren einer Summe werden ausgeklammert:
21x² – 5,6ax + 7x = 7x*(3x – 0,8a + 1)
1.3 Gleichungen
Eine Gleichung besteht aus zwei durch ein Gleichheitszeichen verbundenen Termen
mit (bei uns nur) einer Variablen:
Beispiel:
x(3x-7,5) = 0
Die Menge der Zahlen, die man für die Variable einsetzen darf, ist die Grundmenge
der Gleichung.
Beispiel:
1
3
(x)=10 hat die Grundmenge Q\ {0;-5}
x
x+5
Eine Zahl aus der Grundmenge heißt Lösung der Gleichung, wenn die beiden
Terme rechts und links des Gleichheitszeichens beim Einsetzen der Zahl denselben
Wert haben.
Lösungen einer Gleichung findet man:
1) durch Probieren:
(x-1)² = 4 hat die Lösungsmenge
L= {3;-1}
2) wenn eine Seite der Gleichung = 0 ist durch Faktorisieren der anderen Seite:
x² + 2x = 0, also x(x+2) = 0 hat die Lösungsmenge L= {0;-2}
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3) durch systematisches Vereinfachen der Gleichungen durch die folgenden
Äquivalenzumformungen (die hinter dem Strich | angegeben sind):
a) auf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe Zahl oder derselbe Term
addiert oder subtrahiert:
aus 7x – 2 = 26 | +2
wird: 7x = 28
b) beide Seiten der Gleichung werden mit derselben Zahl (nicht Null) multipliziert.
x 2
5x 2i5
10
| *5
wird:
oder x=
=
=
aus
5 7
5
7
7
c) beide Seiten der Gleichung werden durch dieselben Zahl (nicht Null) dividiert:
aus: 7x = 28 |:7 wird: x = 4
Vor dem Vereinfachen durch Termumformung muss man oft noch Klammern
auflösen und Terme zusammenfassen:
1,5(x-3)=
2
x+2,1
5
Klammer auflösen
1,5x-4,5=
2
x+2,1
5
| *10
Achtung: Distributivgesetz!
15x-45=4x+21
| -4x
11x-45=21
| +45
11x=66
| :11
x=6
oder L= {6}
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2 Geometrie
Bei Konstruktionen werden folgende Farben verwendet:
Gegebene Punkte/Linien: blau
Zwischenergebnis: schwarz
Zwischenergebnis: grün
Zu konstruierende Punkte/Linien: rot
2.1 Achsenspiegelung
Zwei Punkte P und P’ liegen symmetrisch zu einer Geraden a, wenn die
Symmetrieachse a die Strecke [PP’] senkrecht halbiert.
Sind P und P’ symmetrisch zur Achse a, so hat jeder Punkt Q der Achse
a denselben Abstand von P wie von P’.
Alle Punkte, die von P denselben Abstand haben wie von P’,
liegen auf der Symmetrieachse a.
In zwei Figuren, die bzgl. einer Achse a symmetrisch sind, sind
entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel gleich
groß.
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2.1.1 Grundkonstruktionen zur Achsenspiegelung:
2.1.1.1 Konstruktion des Bildpunkts:
Wähle zwei Punkte M1
und M2 auf der Achse.
Zeichne den Kreis um M1
durch P und den Kreis um
M2 durch P.
Die beiden Kreise
schneiden sich in (P und
in) P’.
2.1.1.2 Konstruktion der Symmetrieachse:
Zeichne zwei Kreise mit
demselben, genügend großen
Radius um P und um P’.
Die Gerade durch die beiden
Schnittpunkte der Kreise ist die
Symmetrieachse a.
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2.2 Punktspiegelung
Zwei Punkte P und P’ liegen symmetrisch zu einem Symmetriezentrum
Z, wenn der Punkt Z der Mittelpunkt der Strecke [PP’] ist.
In zwei Figuren, die bzgl. eines Symmetriezentrums Z symmetrisch sind,
sind entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel
gleich groß.
2.2.1 Grundkonstruktionen zur Punktspiegelung:
2.2.1.1 Konstruktion des Bildpunkts:
Verbinde P und Z über Z hinaus.
Der Kreis um Z durch P schneidet
die Verbindungsgerade im Punkt P’.
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2.2.1.2 Konstruktion des Symmetriezentrums:
Verbinde P und P’.
Zeichne um P und P’ zwei Kreise mit
gleichem, genügend großem Radius.
Die Verbindungsgerade g der
Schnittpunkte der beiden Kreise
schneidet die Gerade PP’ im
Symmetriezentrum Z.
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2.3 Symmetrische Vierecke
• punktsymmetrisch bzgl.
des Diagonalenschnittpunkts S
• gegenüberliegende Seiten
sind parallel und gleich
lang
• gegenüberliegende Winkel
sind gleich groß
• benachbarte Winkel
ergänzen sich zu 180°
Parallelogramm
Raute
• ist ein Parallelogramm
zusätzlich:
• vier gleich lange Seiten
• achsensymmetrisch bzgl.
der Diagonalen
• ist ein Parallelogramm
zusätzlich:
• vier rechte Winkel
• achsensymmetrisch bzgl.
der Mittelsenkrechten der
Seiten
Hat alle Eigenschaften von
Rechteck und Raute, also:
• vier rechte Winkel
• vier gleich lange Seiten
• je zwei Seiten sind parallel
• punktsymmetrisch bzgl.
des Diagonalenschnittpunkts S
• achsensymmetrisch bzgl.
der Diagonalen und der
Mittelsenkrechten der
Seiten
Rechteck
Quadrat
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Drachenviereck
• achsensymmetrisch bzgl.
einer Diagonalen,
daher:
• je zwei gleich lange Seiten
• zwei gleich große Winkel
• zwei Seiten sind parallel
• die den Schenkel
anliegenden Winkel
ergänzen sich zu 180°
• im allgemeinen keine
Symmetrie
• hat alle Eigenschaften des
Trapezes
zusätzlich:
• die Mittelsenkrechte der
beiden parallelen Seiten ist
Symmetrieachse,
daher:
• zwei Seiten (Schenkel)
sind gleich lang
• je zwei Winkel sind gleich
groß
Trapez
Gleichschenkliges
Trapez
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2.4 Winkel
Winkel an
einer
Geradenkreuzung:
• Die Winkel α und β (bzw. β
und γ, ….) heißen
Nebenwinkel.
• Nebenwinkel ergänzen
sich zu 180°
• β und δ (bzw. α und γ)
heißen Scheitelwinkel
• Scheitelwinkel sind gleich
groß
• Die Winkel α1 und α2
(bzw. β1 und β2, …)
heißen Stufenwinkel.
• Stufenwinkel sind gleich
groß.
• Die Winkel α1 und γ2
(bzw. β2 und δ1, …)
heißen Wechselwinkel.
• Wechselwinkel sind
Scheitelwinkel von
Stufenwinkeln und daher
gleich groß.
• die Summe der
Innenwinkel eines
Dreiecks beträgt 180°
Winkel an
einer
Doppelkreuzung
(eine
Gerade
schneidet
zwei
parallele
Geraden)
Winkelsumme im
Dreieck
α + β + γ = 180°
• die Summe der
Innenwinkel eines Vierecks
beträgt 360°
Winkelsumme im
Viereck
α + β + γ + δ = 360°
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2.5 Besondere Dreiecke
• achsensymmetrisch bzgl.
einer
Mittelsenkrechten/Höhe/
Winkelhalbierenden
daher:
• zwei gleich lange Seiten
(Schenkel a = b)
Gleichschenkliges
Dreieck
• zwei gleich große Winkel
(Basiswinkel α = β)
Gleichseitiges
Dreieck
• achsensymmetrisch bzgl.
jeder
Mittelsenkrechten/Höhe/
Winkelhalbierenden
daher:
• drei gleich lange Seiten
(a = b = c)
• drei gleich große Winkel
(α = β = γ = 160°)
Rechtwinkliges
Dreieck
• die dem rechten Winkel
gegenüberliegende Seite
heißt Hypotenuse (hier:
Seite c)
• die beiden anderen Seiten
heißen Katheten (hier: die
Seiten a und b)
• die beiden nicht-rechten
Winkel sind immer spitz
und ergänzen sich zu 90°
(α + β = 90°)
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• Ein Dreieck ∆ABC hat
genau dann bei C einen
rechten Winkel, wenn C
auf dem Kreis mit der
Strecke [AB] als
Durchmesser liegt.
Rechtwinkliges
Dreieck mit
Thaleskreis
2.6 Kongruenz
• Zwei
deckungsgleiche
Figuren heißen
kongruent.
• In kongruenten
Figuren sind
entsprechende
Strecken gleich lang
und entsprechende
Winkel gleich groß.
• Die Flächen
kongruenter Figuren
sind gleich groß.
• Zwei n-Ecke sind
kongruent, wenn
alle entsprechenden
Seiten und Winkel
gleich groß sind.
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2.7 Kongruenzsätze für Dreiecke
Für zwei Dreiecke kann man in vier Fällen schon bei Übereinstimmung
von drei Größen sagen, dass sie kongruent sind, also in allen
entsprechenden Seiten und Winkeln übereinstimmen:
SSS – Satz:
Wenn Dreiecke in drei
Seitenlängen
übereinstimmen, so sind
sie kongruent.
(a=a’, b=b’, c=c’)
SWS – Satz:
Wenn Dreiecke in zwei
Seitenlängen und dem
eingeschlossenen
Winkel übereinstimmen,
so sind sie kongruent.
(b = b’, c = c’, α = α’)
WSW – Satz:
Wenn Dreiecke in zwei
Winkeln und einer
Seitenlänge
übereinstimmen, so sind
sie kongruent.
(α = α’, β = β’, b = b’)
SsW – Satz:
Wenn Dreiecke in zwei
Seitenlängen und dem
der größeren Seite
gegenüberliegenden
Winkel übereinstimmen,
so sind sie kongruent.
(b = b’, c = c’, β = β’)
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2.8 Grundkonstruktionen
2.8.1 Mittelsenkrechte
Die Symmetrieachse (s. oben) der
Punkte A und B ist die gesuchte
Mittelsenkrechte.
2.8.2 Winkelhalbierende
Zeichne um den Scheitelpunkt des
Winkels einen Kreis, der die beiden
Schenkel in zwei Punkten
schneidet.
Zeichne um die beiden
Schnittpunkte zwei Kreise mit
gleichem, genügend großem
Radius. Die beiden Kreise
schneiden sich in zwei Punkten.
Die Verbindungsgerade der beiden
Schnittpunkte ist die
Winkelhalbierende.
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2.8.3 Lot fällen
Spiegele P an der Achse g.
Die Verbindungslinie PP’ ist das
gesuchte Lot l.
2.8.4 Lot errichten
Die Winkelhalbierende (s. oben)
des 180°-Winkels bei P ist das
gesuchte Lot.
2.8.5 Tangente an einen Kreis (durch Kreispunkt)
Errichte das Lot (s.oben)
Im Punkt P auf die Gerade MP.
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