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02.10.2015 Vorlesung 5 Karim Kouz WS 2015/2016: Grundlagen der medizinischen Biophysik (IX, X, XI) E-Lehre 2 Karim Kouz WS 2015/2016: Grundlagen der medizinischen Biophysik 1 Elektrischer Strom • Ein elektrischer Strom beschreibt einen effektiven Ladungstransport durch eine gegebene Fläche hindurch • Als Ladungsträger dienen typischerweise Elektronen oder Ionen • Nicht jede Bewegung von Ladungsträgern ist zwangsläufig ein Strom! Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Tipler, Paul A.; Mosca, Gene; Kommer, Christoph (2015): Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure. 7. Aufl. Hg. v. Jenny Wagner. Springer Spektrum 02.10.2015 3 • Die freien Elektronen (Leitungselektronen) in einem Stück Kupferdraht bewegen sich ungeordnet auf Grund ihrer thermischen Energie mit Geschwindigkeiten in der π Größenordnung 106 . Ein effektiver Ladungstransport findet π jedoch nicht statt – somit fließt auch kein Strom! • Wird eine Batterie in die Leiterschleife eingesetzt, so erhält diese eine Potentialdifferenz zwischen den beiden Polen aufrecht – innerhalb der Leiterschleife besteht nun ein elektrisches Feld, unter dem sich die freien Elektronen bewegen – es fließt ein Strom! Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Physik; Halliday, Resnick, Walker; WILEY-VCH Elektrischer Strom 4 2 02.10.2015 Stromstärke (I) Die Stromstärke ist definiert als die Ladungsmenge Δq die während der Zeit Δt durch eine gedachte Querschnittsebene eines Leiters tritt: πΌ= • βπ π΄πππππ/π΄ βπ‘ Als technische Stromrichtung wird die Bewegung der positiv geladenen Ladungsträger bezeichnet – die Elektronen bewegen sich jedoch in die andere Richtung! Beachte: Ein Stromstärkemessgerät (Amperemeter) wird in Reihe geschaltet! Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: http://www.elektronik-kompendium.de/sites/grd/1505051.htm • 5 Driftgeschwindigkeit • Wirkt in einem Leiter kein äußeres elektrisches Feld, so bewegen sich seine Ladungsträger aufgrund ihrer thermischen Energie rein zufällig im Raum = kein effektiver Ladungstransport = kein Stromfluss • Wird ein äußeres elektrisches Feld angelegt und ein Strom beginnt zu fließen, besteht nach wie vor eine ungeordnete Bewegung • Diese ist jedoch durch eine Driftgeschwindigkeit überlagert, die dem äußeren elektrischen Feld entgegengesetzt ist und letztlich für den effektiven Stromfluss verantwortlich ist • Die Geschwindigkeit der Elektronen aufgrund ihrer thermischen Energie liegt im Bereich von km/s, die Driftgeschwindigkeit jedoch nur im Bereich von mm/s! Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 6 3 02.10.2015 • Wird an ein Objekt eine elektrische Spannung angelegt, so verändert sich der hindurchfließende Strom hinsichtlich seiner Stromstärke proportional zur Spannung • Je größer die angelegte Spannung, desto größer ist die daraus resultierende Stromstärke • Die Proportionalitätskonstante wird als elektrischer Widerstand bezeichnet: π =π βπΌ • Der elektrische Widerstand hat die Einheit Ohm Ω Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Widerstand_(Bauelement) Ohmsches Gesetz 7 Spezifischer Widerstand • Der elektrische Widerstand eines Leiters hängt u.a. von dessen Geometrie ab: ο Je größer die Querschnittsfläche (A), desto geringer ist der Widerstand ο Je länger der Leiter (l), desto größer ist der Widerstand π =πβ π π΄ • ρ ist der spezifische Widerstand und eine von der Temperatur abhängige Materialkonstante • Bei den meisten Materialien nimmt der Widerstand mit steigender Temperatur zu Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 8 4 02.10.2015 • Die Geschwindigkeit mit der Nerven Informationen in Form eines Stromes weiterleiten, hängt u.a. von deren Geometrie ab • Dicke Axone leiten die Information viel schneller als dünne Axone • Motoneurone habe eine Leitgeschwindigkeit von durchschnittlich 100 m/s Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Verändert nach Neurowissenschaften; Bear, Connors; 3. Auflage; Springer-Verlag Anwendung: Nervenleitgeschwindigkeiten 9 Leitwert und Leitfähigkeit Elektrischer Leitwert: Kehrwert des elektrischen Widerstandes πΊ= • 1 π = πΌ π πππππππ /π Je größer der elektrische Leitwert, desto: ο Geringer ist der Widerstand des Leiters ο Besser leitet der Leiter den Strom • Elektrische Leitfähigkeit: Kehrwert des spezifischen Widerstandes π= 1 π π π Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Taschenatlas der Physiologie; S. Silbernagel; Thieme-Verlag • 10 5 02.10.2015 • Während eines Aktionspotentials, aber auch während vieler anderer Prozesse (z.B. Exocytose von Neurotransmittern), verändert die Zellmembran ihre Leitfähigkeit für Ionen • Die Veränderung der Leitfähigkeit führt dann zu multiplen Effekten: ο ο ο ο ο ο Muskelkontraktion Vesikelfreisetzung Regulation des Herzens (Frequenz, Herzkraft,…) Sehvorgang Geschmacksvorgang … Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Neurowissenschaften; Bear, Connors; 3. Auflage; Springer-Verlag Leitfähigkeiten der Zellmembran 11 • Reihenschaltung: • Für in Reihe geschaltete Widerstände gilt: Der Gesamtwiderstand ergibt sich durch Addition der Teilwiderstände π πππ πππ‘ = π 1 + π 2 +π 3 • Parallelschaltung: • Für parallel geschaltete Widerstände gilt: Der Gesamtwiderstand errechnet sich mit Hilfe der Reziprokregel 1 1 1 1 = + + π πππ πππ‘ π 1 π 2 π 3 Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: http://www.phynet.de/e-lehre/der-gesamtwiderstand-eines-stromkreises Schaltungen von Widerständen 12 6 02.10.2015 Das Joule‘sche Gesetz • Abhängig von dem Bauteil in einem Stromkreis wird die von dem elektrischen Feld verrichtete Arbeit zur Bewegung von Elektronen in eine andere Energie umgewandelt: ο Elektromotor: Mechanische Energie ο Ohmscher Widerstand: Wärmeenergie = Joule‘sche Wärme • Die Wärmeabgabe kommt dadurch zustande, dass Elektronen mit Atomrümpfen zusammenstoßen, dabei das Atomgitter in Schwingung versetzen und diese Schwingungsenergie schließlich in Form von Wärme abgegeben wird • Die von dem elektrischen Feld verrichtete Arbeit beträgt: ππππππ‘πππ πβ = π β πΌ β π‘ = π β π = π β πΌ2 β π‘ = • π2 βπ‘ π Die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit wird als Leistung bezeichnet: ππππππ‘πππ πβ = π β πΌ 13 Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 • Bei der Elektrochirurgie wird, mit Hilfe eines Kauters, Gewebe geschnitten bzw. eine Blutstillung durchgeführt • Dabei wird das Joule‘sche Gesetz als Grundlage der Funktionsweise benutzt • Eine lokal sehr hohe Stromdichte im Gewebe sorgt aufgrund eines relativ hohen Widerstands für eine lokale Erwärmung, die, sofern sie hoch genug ist, das Gerät zum Schneiden von Gewebe befähigt Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: http://www.smartandeasy.net/HF-Kauter-Hochfrequenz-Kauter Elektro-Kauter (Hitzekauter) 14 7 02.10.2015 • 1. Kirchhoffsches Gesetz = Knotenregel: ο Die Summe der Stromstärken der zufließenden Ströme vor einem Verzweigungspunkt ist gleich der Summe der Stromstärken der abfließenden Ströme nach dem Verzeigungspunkt Vereinfacht: Das was rein geht, muss auch wieder raus kommen! I4 I1 I2 I5 I3 πΌ1 + πΌ2 + πΌ3 = πΌ4 + πΌ5 oder πΌ1 + πΌ2 + πΌ3 − πΌ4 + πΌ5 = 0 Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: http://schulen.eduhi.at/riedgym/physik/10/elektrizitaet/ue_stromkreis/parallel/grundpara.htm 1. Kirchhoffsches Gesetz 15 • 2. Kirchhoffsches Gesetz = Maschenregel: ο Die Summe der Teilspannungen an den einzelnen Elementen in einem geschlossenen Stromkreis ist gleich Null ο Die Umlaufrichtung darf dabei willkürlich bestimmt werden, sie legt jedoch die Vorzeichen der Teilspannungen fest U2 U3 U4 π1 = π2 + π3 + π4 oder π2 + π3 + π4 + −π1 = 0 Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Verändert nach http://www.elektrotechnik-fachwissen.de/grundlagen/maschenregel.php 2. Kirchhoffsches Gesetz 16 8 02.10.2015 Laden eines Kondensators • Im offenen Stromkreis fließt kein Strom und der Kondensator ist nicht geladen – es besteht keine Potentialdifferenz zwischen den beiden Platten • Beim Schließen des Stromkreises setzt das von der Batterie entlang der Drähte erzeugte elektrische Feld die freien Elektronen in Bewegung: – Beachte: Es findet lediglich eine Umverteilung der Ladung statt – während des gesamten Prozesses entsteht keine Ladung und es wird auch keine Ladung vernichtet. Die Batterie ist wie ein kleiner Motor anzusehen, der Elektronen von Platte h zur Platte l „pumpt“. h l + Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Karim Kouz (09/2014) ο Das Feld treibt dabei die freien Elektronen von der Platte h zum positiven Pol der Batterie ο Dabei werden genauso viele Elektronen von dem negativen Pol auf die Platte l geschoben ο Die Anzahl der Elektronen auf der Platte l wird größer, auf der Platte h kleiner 17 Laden eines Kondensators • Während des Ladevorgangs erhöht sich die Potentialdifferenz zwischen den beiden Platten • Am Ende des Ladevorgangs entspricht die Potentialdifferenz zwischen den Platten der Potentialdifferenz zwischen den beiden Polen der Batterie • Es findet keine weitere Ladung mehr statt – + h l – h + Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Beachte: Ein Motor leistet nur so viel Arbeit wie er kann – die Batterie schafft es daher maximal die Potentialdifferenz zwischen den Platten zu schaffen, die sie selber besitzt (in diesem Schaltbild) Quelle: Karim Kouz (09/2014) l 18 9 02.10.2015 • RC-Glieder spielen eine große Rolle in der Elektrotechnik • In ihrer einfachsten Form bestehen sie aus einem Widerstand, der in Reihe mit einem Kondensator geschaltet ist Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: http://www.loetstelle.net/grundlagen/rcglied/rcglied.php RC-Kreis: Ladevorgang 19 • Am Anfang sei der Kondensator ungeladen: ππΆ = 0 π • Daher gilt nach der Maschenregel: ππ 0 = ππ΅ • Damit eine Spannung am Widerstand zu messen ist, π muss durch diesen ein Strom fließen: πΌ0 = π 0 π • Der durch den Widerstand fließende Strom lädt den Kondensator auf – die Ladung auf den Kondensatorplatten (mehr Elektronen auf der einen, weniger auf der anderen Platte) und somit die Potentialdifferenz zwischen den Platten erhöht sich Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Biophysik für Medizinier; S. Damjanovich; Medicina-Verlag RC-Kreis: Ladevorgang 20 10 02.10.2015 • Nach der Maschenregel gilt nun: ππ΅ = ππΆ + ππ • Die Spannung am Widerstand sinkt in dem Maße, wie sie an den Kondensatorplatten erscheint • Demzufolge sinkt auch die Stromstärke: I ↓= • Der Stromabfall bedeutet, dass sich der Kondensator immer langsamer auflädt • Die Kondensatorspannung nähert sich der Batteriespannung asymptotisch, die Stromstärke und die Spannung am Widerstand nähern sich Null asymptotisch ππ ↓ π π‘ • Für die Kondensatorspannung gilt: ππΆ = ππ΅ β 1 − π −π βπΆ Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Biophysik für Medizinier; S. Damjanovich; Medicina-Verlag RC-Kreis: Ladevorgang 21 • Der RC-Kreis kann entladen werden, indem die Spannungsquelle aus dem Stromkreis entfernt wird und dieser somit nur noch aus Kondensator und Widerstand besteht • Zu Beginn des Entladevorgangs sei der Kondensator maximal geladen • Der Kondensator verhält sich kurzfristig wie eine Spannungsquelle • Laut der Maschenregel gilt: ππΆ = −ππ • Die Spannung am Kondensator ist also gleich groß wie die Spannung an dem Widerstand, nur mit entgegengesetztem Vorzeichen Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Biophysik für Medizinier; S. Damjanovich; Medicina-Verlag RC-Kreis: Entladung 22 11 02.10.2015 • Der durch den geladenen Kondensator hervorgerufene Stromfluss ist dem des Ladevorgangs entgegengesetzt • Laut dem Ohmschen Gesetz gilt: βπΌ~βππ • Laut der Maschenregel gilt: ππΆ = ππ • Somit gilt insgesamt: βπΌ~βππ ~βππΆ • Je niedriger also die Kondensatorspannung durch den Entladevorgang wird, desto niedriger wird auch die Spannung am Widerstand und desto niedriger wird auch die Stromstärke im Stromkreis • Je niedriger die Stromstärke, desto langsamer entlädt sich der Kondensator • Für die Kondensatorspannung gilt: ππΆ = π0 β π −π βπΆ π‘ Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Biophysik für Medizinier; S. Damjanovich; Medicina-Verlag RC-Kreis: Entladung 23 • Die Zellmembran kann aus elektrischer Sicht als RCKreis angesehen werden • Ein in der Zellmembran lokalisierter Ionenkanal weist für bestimmte Ionen eine Leitfähigkeit auf (Kehrwert des Widerstandes!) • Die Membran besteht aus einer Lipid-Doppelschicht und ist für Ionen – sofern kein Kanal zur Verfügung steht – nicht durchlässig! • Die Ionenverteilung im Extra- und Intrazellularraum entscheiden sich grundlegend voneinander und sind die Grundlage für unser Leben Beachte: Permeabilität und Leitfähigkeit sind nicht gleich zu setzen. Eine Leitfähigkeit kann nur dann bestehen, wenn eine Permeabilität besteht. Fiktives Beispiel: Ist eine Zellmembran für Uran permeabel, d.h., sie besitzt einen Ionenkanal, Transporter,… für diesen Stoff, so besteht noch lange keine Leitfähigkeit. Erst wenn auch Uran in der Zelle vorhanden ist und dieses durch die Membran gelangt, kann von einer Leitfähigkeit gesprochen werden. Die Permeabilität kann also hoch sein, die Leitfähigkeit jedoch Null, wenn das entsprechende Ion nicht vorhanden ist. Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Verändert nach http://brain.exp.univie.ac.at/08_vorlesung_ws03/hauptseite.htm RC-Kreis: Anwendung 24 12 02.10.2015 • Aufgrund der ungleichen Ionenverteilung zwischen Extra- und Intrazellularraum findet an der Ober- und Unterseite der Membran eine Ladungstrennung statt • Die Membran kann an solchen Stellen, elektrisch gesehen, als Kondensator betrachtet werden • Eine Zelle hält in etwa eine Potentialdifferenz vom Betrag 70 mV aufrecht (dabei ist der Intrazellularraum negativ geladen gegenüber dem Extrazellularraum) Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Verändert nach http://brain.exp.univie.ac.at/08_vorlesung_ws03/hauptseite.htm; Neurowissenschaften; Bear, Connors; 3. Auflage; Springer-Verlag RC-Kreis: Anwendung 25 Grundlagen des Magnetismus Grundsätzlich gibt es 2 Ursachen des Magnetismus: ο Permanente Magnete (z.B. natürlich magnetisierte Steine) ο Durch bewegte Ladungsträger verursachte Magnetfelder Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Magnetit; https://lp.uni-goettingen.de/get/text/3791 • 26 13 • Elektrische Erscheinungen: • Magnetische Erscheinungen: ο Ladung: Positive und negative Ladung sind räumlich voneinander trennbar ο Nord- und Südpol sind nicht voneinander trennbar (keine Monopole!!) ο Kräfte: ο Kräfte: ο Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab ο Gleichnamige Pole stoßen sich ab ο Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an ο Ungleichnamige Pole ziehen sich an ο Feldlinien: ο Feldlinien: „Ü3-Regel“: Feldlinien münden in den grünen Süden! Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Magnetfelder durch Ströme • Versuch: ο Eisenpfeilspäne werden auf eine Platte gestreut, durch die senkrecht ein stromführender Leiter tritt • Beobachtung: ο Die Eisenpfeilspäne ordnen sich zu konzentrischen Kreisen um den Leiter herum an ο In die Nähe des Leiters gebrachte Magnetnadeln zeigen, dass die Feldlinien den nach oben gerichteten Strom gegen den Uhrzeigersinn umlaufen • Deutung: ο Ein stromdurchflossener Leiter ist von konzentrischen Magnetfeldlinien umgeben ο Die Richtung dieser Linien ist mit Hilfe der Rechte-Hand-Regel bestimmbar: ο Umfasst man den Leiter mit der rechten Hand in der Weise, dass der Daumen in (technische) Stromrichtung zeigt, so zeigen die um den Leiter gekrümmten Finger die Richtung der Feldlinien an Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Tipler, Paul A.; Mosca, Gene; Kommer, Christoph (2015): Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure. 7. Aufl. Hg. v. Jenny Wagner. Springer Spektrum Elektrische vs. magnetische Eigenschaften Quelle: http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/permanentmagnetismus; http://de.wikipedia.org/wiki/Monopol_(Physik); http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrisches_Feld; http://de.wikipedia.org/wiki/Magnetismus 02.10.2015 27 28 14 02.10.2015 Magnetische Flussdichte (Feldstärke) Experiment: ο Ein Aluminiumstab, der auf zwei Schienen liegt, wird in das innere (homogene) Magnetfeld eines Hufeisenmagneten gebracht ο Nach der Positionierung des Stabes wird an diesem bzw. an die Schienen eine Spannung angelegt, sodass der Stab von einem Strom durchflossen wird • Beobachtung: ο Nach dem Anlegen der Spannung rollt der Stab in Richtung der offenen Seite des Hufeisenmagneten ο Beim Tauschen der Stromrichtung rollt er in die andere Richtung ο Das Vertauschen der Magnetpole kehrt ebenfalls die Bewegungsrichtung des Stabes um Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Metzler Physik; J. Grehn, J. Krause; Schroedel-Verlag • 29 • Auf einen im Magnetfeld senkrecht zur Feldrichtung lokalisierten stromdurchflossenen Leiter wirkt eine Kraft, die senkrecht zum Leiter und senkrecht zum Feld gerichtet ist • Die Richtung der Kraft kann mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand angegeben werden: ο Daumen: Stromrichtung ο Zeigefinger: Feldrichtung ο Mittelfinger: Kraftwirkung • Ruft ein Magnetfeld auf einen Leiter der Länge l, der senkrecht zu den Feldlinien orientiert und von einem Strom der Stromstärke I durchflossen ist, die Kraft F hervor, so hat das Feld die magnetische Feldstärke: π΅= πΉ πππ ππ/π πΌβπ Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Metzler Physik; J. Grehn, J. Krause; Schroedel-Verlag Magnetische Flussdichte (Feldstärke) 30 15 02.10.2015 Auf Ladungsträger, die sich im Magnetfeld bewegen, wirkt die Lorentz-Kraft, außer die Ladungsträger bewegen sich parallel zu den Feldlinien • Die Kraft steht senkrecht zur Feldrichtung des Magnetfeldes und senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen • Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter ergibt sich somit aus der Summe der Kräfte, die auf die bewegten Elektronen in diesem Leiter wirken • Die Lorentz-Kraft berechnet sich nach: πΉ = πΌ β π β π΅ β sin πΌ Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Magnetfeld einer langen Spule • Eine (klassische) Spule ist ein um einen Körper, der nicht unbedingt vorhanden sein muss, gewickelter Draht • Auch dieser Draht ist, wenn er von Strom durchflossen wird, von konzentrischen Magnetfeldern umgeben • Eine Spule, deren Länge l deutlich größer als ihr Durchmesser d ist, heißt lange Spule • Innerhalb der Spule ist ein homogenes Magnetfeld in Richtung der Spulenachse nachweisbar • Außerhalb der Spule ist das Feld wesentlich schwächer und ähnelt dem eines Stabmagneten Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Verändert nach http://real-physik.info/9-klasse/elektrizitaetslehre/magnetfeld-und-elektrischer-strom/ • Quelle: Metzler Physik; J. Grehn, J. Krause; Schroedel-Verlag Exkurs: Lorentz-Kraft 31 32 16 02.10.2015 Induktion • Experiment: • Beobachtung: ο Beim Annähern des Magneten zeigt das Messgerät einen Stromfluss an ο Beim Entfernen des Magneten zeigt das Messgerät erneut einen Stromfluss an, diesmal aber mit umgekehrtem Vorzeichen ο Ruht der Magnet, ist kein Stromfluss zu beobachten Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Physik; Halliday, Resnick, Walker; WILEY-VCH ο Eine Leiterschleife ist mit einem empfindlichen AmpereMeter verbunden ο Durch die Leiterschleife fließt kein Strom, da keine Spannungsquellen an sie angeschlossen sind ο Ein Magnet wird in die Nähe der Leiterschleife gebracht und das Ampere-Meter wird beobachtet 33 Induktion • Ein Strom tritt immer dann auf, wenn sich Magnet und Leiterschleife relativ zueinander bewegen • Hört die Relativbewegung auf, fließt auch kein Strom mehr • Eine schnellere Bewegung produziert auch einen höheren Strom • Sowohl beim Annähern als auch beim Entfernen fließt ein Strom, jedoch in umgekehrter Richtung • Nähert sich statt dem Nordpol der Südpol, so fließt ebenfalls ein Strom, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen im Vergleich zur Annäherung mit dem Nordpol • Der Strom in der Leiterschleife wird induzierter Strom genannt • Den Prozess, in dem der Strom erzeugt wird, nennt man Induktion • Energieerhaltungssatz: mechanische Energie wird in elektrische Energie umgewandelt Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 34 17 02.10.2015 • Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er seiner Ursache entgegenwirkt • Erklärung: ο Durch die Bewegung des Magneten mit dem um ihn vorhandenen magnetischen Feld wird ein Strom in der Leiterschleife induziert ο Der Stromfluss in der Leiterschleife wiederum ist von konzentrischen Magnetfeldlinien umgeben ο Diese Magnetfeldlinien sind so orientiert, dass sie der Ursache des induzierten Stromes (der Bewegung des Magneten) entgegenwirken Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Physik; Halliday, Resnick, Walker; WILEY-VCH Lenz‘sche Regel 35 • Ein Wechselstromkreis ist ein Stromkreis, bei dem sich Stromstärke und Spannung periodisch ändern • Die Änderung erfolgt meist sinusförmig, ist jedoch nicht zwingend an die Sinusform gebunden Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: http://www.fremo-hemsbach.de/Wechselspannung_01.htm Wechselstromkreis 36 18 02.10.2015 Wechselstromkreis ο Stromstärke: πΌ = πΌπππ₯ β sin π β π‘ ο Spannung: π = ππππ₯ β sin(π β π‘ + π) • • • Umax π= Imax und Umax sind die Maximalwerte = Amplituden und werden auch Scheitelwerte genannt ω ist die Kreisfrequenz: π = 2 β π β π φ ist die Phasenverschiebung zwischen den zwei Schwingungen, da die Stromstärkeänderung nicht zwingend in Phase mit der Spannungsänderung sein muss 1 π Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Widerstand im Wechselstromkreis • Die Beziehung π = π β πΌ gilt für Gleichstrom und in jedem Moment auch für Wechselstrom • D.h. Spannung und Stromstärke schwingen ohne Phasenverschiebung: ο πΌ = πΌπππ₯ β sin(π β π‘) ο π = ππππ₯ β sin(π β π‘) π = Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 π ππππ₯ ππππ = = πΌ πΌπππ₯ πΌπππ Quelle: Verändert nach https://www.xplore-dna.net/mod/page/view.php?id=300 Falls die Änderung sinusförmig erfolgt, kann sowohl die Spannungs- als auch die Stromstärkeänderung mathematisch wie eine Schwingung beschrieben werden: Quelle: http://elektronik-kurs.net/elektrotechnik/phasenverhaltnisse-zwischen-spannung-und-strom-im-wechselstromkreis/ • 37 38 19 Wechselstromleistung am Ohmschen Widerstand • Für die elektrische Leistung gilt allgemein: π = π β πΌ • Im Wechselstromkreis ändern sich jedoch im Vergleich zum Gleichstromkreis U und I periodisch, sodass sich auch die momentane Leistung periodisch ändert • In der Praxis interessiert daher nicht der Momentanwert, sondern der zeitliche Mittelwert der Leistung (Wirkleistung) ππππ₯ = ππππ₯ β πΌπππ₯ π= 1 βπ βπΌ 2 πππ₯ πππ₯ Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Verändert nach http://elektronik-kurs.net/elektrotechnik/spannung-strom-und-leistung-im-wechselstromkreis/ 02.10.2015 39 Wirkleistung und Effektivwerte • Für die Wirkleistung am Ohmschen Widerstand gilt: π= • 1 ππππ₯ πΌπππ₯ βπ βπΌ = β = ππππ β πΌπππ 2 πππ₯ πππ₯ 2 2 Die effektive Spannung und Stromstärke sind eine Art Durchschnitt und entsprechen denjenigen Werten, bei denen ein Verbraucher unter Gleichspannung dieselbe Wärmeleistung aufnehmen würde Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 40 20 02.10.2015 Kondensator im Wechselstromkreis • Im Gegensatz zum Widerstand im Wechselstromkreis verlaufen Spannung und Stromstärke nicht in Phase: • Die Stromstärke läuft der Spannung also um π 2 voraus Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: https://www.elektronik-kompendium.de/sites/grd/1006231.htm ο Spannung: π = ππππ₯ β sin π β π‘ ο Stromstärke: πΌ = πΌπππ₯ β cos π β π‘ 41 Kapazitiver Widerstand (XC) • Im Gleichstromkreis wirkt ein Kondensator, sobald er aufgeladen ist, wie ein unendlich großer Widerstand und lässt keinen Strom mehr fließen • Im Wechselstromkreis ist dies anders: der Kondensator wird ständig aufund entladen und über den ganzen Zeitraum ist ein Stromfluss zu messen • Der Widerstand, den ein Kondensator im Wechselstromkreis darstellt, wird als kapazitiver Widerstand bezeichnet • Der kapazitive Widerstand hängt von der Kapazität des Kondensators und der Kreisfrequenz des Stromes ab: 1 ππΆ = π βπΆ ππππ₯ ππππ π Beachte: Wenn die Kreisfrequenz gegen Null geht ππΆ = = ≠ („Gleichstrom“) dann geht XC gegen unendlich – πΌπππ₯ πΌπππ πΌ der Kondensator leitet den Gleichstrom nicht! Mit zunehmender Frequenz verkleinert sich XC. Den Gesamtwiderstand im Wechselstromkreis bezeichnet man als Impedanz! Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 42 21 02.10.2015 LC-Kreis • Der LC-Kreis besteht aus einer Reihenschaltung mit einer Spule und einem Kondensator: • Er wird auch als Schwingkreis bezeichnet, da er elektromagnetische Schwingungen erzeugen kann • Er dient u.a. im Ultraschallkopf zur Erzeugung von hochfrequenter Wechselspannung 43 Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 LC-Kreis a) Der Kondensator ist vollständig geladen und die Ladung auf den Platten ist maximal. Es fließt kein Strom. Die Energie des Magnetfelds ist Null, die des elektrischen Feldes maximal. Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Physik; Halliday, Resnick, Walker; WILEY-VCH • 44 22 02.10.2015 LC-Kreis b) Der Kondensator beginnt nun, sich über die Spule zu entladen. Durch die Spule fließt ein Strom. Mit abnehmender Kondensatorladung wird auch die Energie des elektrischen Feldes kleiner. Diese Energie wird auf das Magnetfeld übertragen, dass sich aufgrund des durch die Spule fließenden Stroms aufbaut. Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Physik; Halliday, Resnick, Walker; WILEY-VCH • 45 LC-Kreis c) Der Kondensator hat nun seine gesamte Ladung verloren und damit ist die Energie des elektrischen Feldes Null. Diese Energie erscheint nun vollständig in dem Magnetfeld, das nun seine maximale Stärke besitzt. Auch der durch die Spule fließende Strom hat seinen maximalen Wert. Die Spule erhält den Stromfluss aufrecht! Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Physik; Halliday, Resnick, Walker; WILEY-VCH • 46 23 02.10.2015 LC-Kreis d) Da die Spule den Strom aufrecht erhält, fließt also weiterhin Ladung von der einen Kondensatorplatte zu der anderen. Die Energie des Magnetfeldes wird also dazu verwendet, den Kondensator zu laden. Das elektrische Feld baut sich langsam wieder auf – der Strom nimmt dabei langsam ab. Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Physik; Halliday, Resnick, Walker; WILEY-VCH • 47 LC-Kreis e) Der Kondensator ist wieder vollständig geladen und die Energie des Magnetfelds ist jetzt vollständig in die Energie des elektrischen Feldes umgewandelt worden. Dieser Zustand entspricht dem Ausgangszustand – nur der Kondensator ist jetzt entgegengesetzt gepolt. Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 Quelle: Physik; Halliday, Resnick, Walker; WILEY-VCH • 48 24 02.10.2015 LC-Kreis • Die Frequenz mit der der Schwingkreis schwingt, lässt sich folgendermaßen bestimmen: π= 1 2βπβ πΏβπΆ L: Induktivität (Henry/H) • In einem idealen Schwingkreis ohne jeglichen Wirkwiderstand kommt es zu keinen Energieverlusten, sodass die Schwingung nie zum Stillstand kommt = ungedämpfte Schwingung • Dennoch gibt es immer Energieverluste die z.B. aufgrund des Eigenwiderstandes der Leiter auftreten, sodass die Schwingung eine gedämpfte Schwingung ist Karim Kouz, Biophysik WS2015/2016 49 25
