Mathematik 1 - Mohamed Naji
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BWL Mathematik 1 Dozent Mohamed Naji [email protected] http://iba-nuernberg.fu-academy.de http://www.naji.net16.net http://infonaji.comlu.com 31. März 2017 Internationale Berufsakademie (IBA) der F+U Unternehmensgruppe gGmbH University of Cooperative Education Vorwort Jedes Kapitel enthält eine Vielzahl von Beispielen und Aufgaben mit Lösungen, die das Gefühl für die Beherrschung und die Anwendbarkeit des fachlichen Kernstoffes stärken sollen. In vielen Fällen werden nur die Grundideen einer Lösung vorgestellt. Die fehlende Vorführung soll ein Anreiz für die Studierenden sein, sich diese selbst zu überlegen. Studieren bedeutet ja, eigenständig (unter Anleitung) Problemlösungsideen zu verstehen, anzuwenden und weiter zu entwickeln Zuhören bzw. das Lehrbuch lesen und Verstehen ist zwar wichtig, aber der Vorlesungsstoff anhand von Aufgaben selber machen und einüben ist noch viel wichtiger. Im Vergleich: Wenn Sie die Linksdrehung beim Tangotanzen lernen wollen, brauchen Sie jemanden, der Ihnen zeigt, wie’s geht und auf was es ankommt, aber Sie werden es nur durch viel eigenes Üben lernen und mit dem Vorlesungsstoff ist es genauso. Die Vorlesung macht nur die Tür auf zum Selbststudium. An den Hausaufgaben üben Sie nicht nur Begriffe, Konstruktionen und Konzepte der Vorlesung ein, Sie trainieren auch Ihre Problemlösefähigkeiten und das Übertragen von Lösungsstrategien aus einem Problemfeld in ein anderes, vornehm ausgedrückt den Transfer. Ganz wichtig auch: Richtiges Formulieren erwirbt man nicht allein durch Zuschauen, es muss durch eigenes Versuchen gelernt werden. Deswegen sollten Sie zwar mit anderen über den Vorlesungsstoff kommunizieren (das müssen Sie Ihr ganzes Leben lang tun), aber anschliessend müssen Sie selbständig und alleine Ihre Aufgaben aufschreiben. Im Vorlesungsstoff gibt es zwischen Unverständnis und Verständnis kaum Zwischenstufen. Ein Problem verursacht entweder Panik oder ist trivial, ein von Studenten häufig benutztes Wort. In vielen Fällen führt ein gutes Beispiel, aber vor allem ein selber gelöstes Problem, plötzlich zu einem grossen Fortschritt im Verständnis. Deswegen sind Übungsaufgaben zusammen mit Hilfen zur Lösung so wichtig für das Studium. Und: Sie dürfen sich nicht daran stören, wenn die Übungsaufgaben zu einfach sind. Das zeigt doch nur, das Sie bis jetzt über den Berg sind und sich die Bemerkung trivial erlauben können. Für andere ist dasselbe Problem ein Albtraum. Seien Sie ehrlich mit sich selber und lügen Sie sich nicht an, indem Sie sich vorgaukeln, die Aufgaben vollständig verstanden zu haben, obwohl Sie einen Lösungsweg „nur“nachvollzogen haben. Sie sind aus dem Sammler– und Jäger–Zeitalter heraus. Heutzutage wird entdeckt und entwickelt. Als zukünftiger Absolvent werden Sie entwickeln müssen und nicht nur nachlesen, was andere vor Ihnen bereits herausgefunden haben. Weiter möchte ich Sie auffordern, immer dann Fragen zu stellen, wenn Sie etwas nicht mehr verstehen. Sie müssen wissen, dass nur diejenigen, die auch etwas begreifen, Fragen stellen. Ich gehe davon aus, dass die Umkehrung dieser Aussage auch zutrifft. Berechnungen und Konstruktionen werden überwiegend mit Softwarewerkzeugen durchgeführt. Dadurch steht die Vermittlung von Rechenschemata und Rechentricks heute nicht mehr im Vordergrund. Computer machen den Stoff aber nicht überflüssig, im Gegenteil: Das Kapital des Studiums liegt im Verständnis des Lehrstoffs. Das Wissen über die Modellierung und die Kenntnis unterschiedlicher Berechnungsverfahren sowie die Fähigkeit zu einer souveränen Interpretation der Ergebnisse I zeichnen einen guten Absolventen aus. „Die Gesetze der Natur sind in der Sprache der Mathematik geschrieben.“(Galileo Galilei) Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessern, wurde die äussere Form strukturiert: Definitionen, Sätze, Beispiele, Bemerkungen, Korollare, Lemmata und Propositionen sind in jedem erststelligen Unterkapitel ohne Rücksicht auf den Typ fortlaufend durchnummeriert. So folgen in Unterkapitel 2.3 nacheinander Beispiel 2.3.1, Bemerkung 2.3.2, Definition 2.3.3 usw. Formeln, Gleichungen, Tabellen, Algorithmen und Abbildungen sind fortlaufend durchnummeriert und zwar mit Rücksicht auf deren Typ und deren Unterkapitel. Zahlen in eckigen Klammern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Schluss. ferner gelten die folgenden Typografische Konventionen: Zitaten und Aussagen sind Schräggestellt. Eigennamen z.B. von Personen werden in serifenlose Schrift gekennzeichnet. Schlüsselwörter und <tags> sind fett gedruckt. Kapitälchen Schrift wird verwendet für • Klassen– und methodenNamen • Pfad–, Datei–, Tool–, Firmen– und Programmnamen • Attributen–, Domain–, Variablen– und Packetnamen, Datenbanken, Datentypen, Umgebungsvariablen, Tags und Anweisungen kursive Schrift wird verwendet für • Neue Begriffe, die definiert werden • Betonungen im Fliesstext Schreibmaschinenschrift (also tt = Teletyper = Fernschreiber) wird verwendet für • Kommandozeilen und Optionen, die wörtlich eingetippt werden sollen • Erzeugte Ausgabe einer zuvor gemachten Eingabe oder eines erstellten Programms. externe Links z.B. zu einer Website sind in dieser Farbe markiert. . Im Symbolverzeichnis im Kapitel 54 ab Seite 219 sind viele Symbole auf einen Blick aufgelistet. im Kapitel Personverzeichnis habe ich die Geburts– und Todesjahre einiger bedeutender Mathematiker, Informatiker, Physiker, Chemiker, Wirtschaftler, Statistiker und anderer Wissenschaftler aufgelistet, die Sie von Zeit zu Zeit in diesem Skriptum finden werden. Damit haben Sie die Möglichkeit, sich ein Bild von der historischen Abfolge wissenschaftlicher Entdeckungen machen zu können. Auf der sehr interessanten Seite http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html finden sich auch zahlreiche biografische Angaben zu den meisten berühmten Mathematikern. Viele Informatiker sind unter http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kategorie:Informatiker zu finden Einige muslimische Wissenschaftler sind unter https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Muslim_scientists zu finden und noch ein Hinweis: Das Skriptum begleitet die Vorlesung, aber es soll sie nicht ersetzen. Die Hinweise vieler Leserinnen und Leser auf Fehler und Verbesserungsmöglichkeiten waren für mich sehr wertvoll. Oft existieren auch noch Schreibfehler, welche zu Verwechselungen führen können (z.B. w statt ω bzw. x1 statt x1 ). Da ich allerdings damit rechnen muss, dass trotz aller Sorgfalt der Fehlerteufel nicht untätig geblieben ist, danke ich schon jetzt allen Leserinnen und Lesern für entsprechende Korrekturhinweise, konstruktive Kritik oder Verbesserungsvorschläge, z.B. per Email ([email protected]). Als Textverarbeitung wurde eine LATEX-version (MikTex) eingesetzt. Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . Listings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Summenzeichen . . . . . . . . . . 1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . 1.2 Gausssche Summe . . . . . . . . 1.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . 1.4 Einige wichtige Summen . . . . . 1.5 Doppelsumme . . . . . . . . . . . 1.6 Ohne Formel . . . . . . . . . . . . 1.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Aufgabe 1.1 . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Lösung der Aufgabe 1.1 . . . . . . 2 Arithmetische Folge . . . . . . . . 2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . 2.2 explizite Formel . . . . . . . . . . 2.3 Summenformel . . . . . . . . . . . 2.4 allgemeines Anfangsglied . . . . . 2.5 Anwendung 1: Einfache Verzinsung 2.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Aufgabe 2.1 . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Lösung der Aufgabe 2.1 . . . . . . 3 Geometrische Folge . . . . . . . . 3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . 3.2 explizite Formel . . . . . . . . . . 3.3 Summenformel . . . . . . . . . . . 3.4 Anwendung 1: Zinszins . . . . . . 3.5 Anwendung 2: Periodische Zahlen 3.6 Anwendung 3: Die Eulersche Zahl 3.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Aufgabe 3.1 . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Lösung der Aufgabe 3.1 . . . . . . 4 Logische Aussagen und Symbole . 4.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . 4.2 verknüpfte Aussagen . . . . . . . . 4.2.1 Negation . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Konjunktion . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Disjunktion . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Implikation . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . 4.3 Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Kommutativität . . . . . . . . . . . 4.3.2 Assoziativität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III IV X XII XIII 1 1 1 2 2 3 5 9 9 9 11 11 11 12 12 12 14 14 14 15 15 15 16 16 16 17 19 19 19 21 21 21 21 22 23 23 24 24 24 25 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.4 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.5.6 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.12.1 7.12.2 7.12.3 7.12.4 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.4.1 Idempotenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distributivität . . . . . . . . . . . . . . . . Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . De Morgan’schen Gesetze . . . . . . . . . . weitere Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . Operationstafel . . . . . . . . . . . . . . . . äquivalente logische Aussagen . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 4.1 . . . . . . . . . . . Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . . Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften der Mengenoperationen . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 5.1 . . . . . . . . . . . Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 6.1 . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 6.2 . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 6.3 . . . . . . . . . . . Das Rechnen mit Zahlen . . . . . . . . . . . Allgemeine Rechenregeln . . . . . . . . . . Ausmultiplizieren mit Hilfe vom Pfeilsystem Kürzen von Brüchen . . . . . . . . . . . . . gemischte Zahlen vs. Brüche . . . . . . . . Brüche vergleichen . . . . . . . . . . . . . . Das Rechnen mit Klammern . . . . . . . . . Klammern auflösen . . . . . . . . . . . . . Ausklammern eines gemeinsamen Faktors . Mehrmals ausklammern . . . . . . . . . . . Die Binomischen Formeln . . . . . . . . . . Wurzelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . Der Betrag einer reellen Zahl . . . . . . . . Die Anordnung der reellen Zahlen . . . . . . Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzierung vor Punkt– vor Strichrechnung Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 7.1 . . . . . . . . . . . Aufgabe 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 7.2 . . . . . . . . . . . quadratische Gleichungen mit einer Variable allgemeine Form: abc–Formel . . . . . . . . Quadratische Ergänzung . . . . . . . . . . . Quadratische Gleichung mit Parameter . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 25 26 26 28 30 30 30 31 31 32 34 36 36 37 39 39 41 46 50 51 51 51 51 52 52 53 54 54 56 56 56 57 57 58 58 58 59 59 62 62 63 64 66 66 66 66 67 68 68 69 69 72 72 8.4.2 8.4.3 8.4.4 10 10.1 10.2 10.3 10.3.1 10.3.2 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.5.1 11.5.2 15 Lösung der Aufgabe 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynom–division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Platzsparende Schema für Polynom–division . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horner–Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . einstufiges Horner–Schema zur Berechnung von Funktionswerten Mehrstufiges Horner–Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . weitere Nullstellen mittels Horner–Schema . . . . . . . . . . . . Entwicklung um eine Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a1 =d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 Typ 1: b 1 x + c1 a1 = dx + e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Typ 2: b 1 x + c1 a2 a1 + =d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Typ 3: b 1 x + c1 b 2 x + c2 a3 x + b3 a1 x + b1 a2 x + b2 + =d+ 15.4 Typ 4: . . . . . . . . 2 c1 x + d 1 c2 x + d 2 c3 x + d 3 x + e3 15.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.1 Aufgabe 15.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.2 Lösung der Aufgabe 15.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz . . . . . . . 24.1 Fakultäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.3 Das Pascalsche Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.4 Der binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.5 einige Additionssätze über Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . 24.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.1 Aufgabe 24.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.2 Lösung der Aufgabe 24.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3 Einige Rezepte und Rechenregeln für Grenzwerte . . . . . . . . 30.3.1 Rezept 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.2 Rezept 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.3 Rezept 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.4 Rezept 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.5 Rezept 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.6 Rezept 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.7 Rezept 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.8 Rezept 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.9 Rezept 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.10 Rezept 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.11 Rezept 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.12 Rezept 12: Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 72 72 74 74 74 76 76 76 77 77 79 79 80 81 81 81 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 87 88 88 88 88 89 89 91 93 94 94 94 95 95 96 96 96 97 97 97 97 98 98 98 99 100 100 100 30.4 30.5 30.5.1 30.5.2 30.6 30.7 30.7.1 30.7.2 31 31.1 31.2 31.3 31.4 31.5 31.6 31.7 31.8 31.9 31.10 31.10.1 31.10.2 32 32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.5.1 32.5.2 33 33.1 33.2 33.3 33.4 33.5 33.6 33.7 33.7.1 33.7.2 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.4.1 34.4.2 35 35.1 35.2 35.3 35.4 35.5 35.5.1 35.5.2 36 36.1 Praxisbezug: der Grenzwert in der Wirtschaft . . . . Berechnung vom Umfang und Fläche eines Kreises 1. Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbezug: der Grenzwert in der Wirtschaft . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 30.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 30.1 . . . . . . . . . . . . . . Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungen einiger bekannten Funktionen . . . . . Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln . . . . . Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nullsteleln und Ableitungsfunktion . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 31.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 31.1 . . . . . . . . . . . . . . Extremstellen in der Wirtschaft . . . . . . . . . . . Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 32.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 32.1 . . . . . . . . . . . . . . Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen mit Logarithmen und exponentiell . . . allgemeine Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . Extremstellen und Exponentialfunktion . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 33.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 33.1 . . . . . . . . . . . . . . Exponentielle Wachstums– und Abnahmeprozesse . Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . prozentuelle Abnahme . . . . . . . . . . . . . . . . prozentuelle Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 34.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 34.1 . . . . . . . . . . . . . . Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 35.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 35.1 . . . . . . . . . . . . . . Einfache Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare (Einfache) Verzinsung . . . . . . . . . . . . VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Aufgabe 51.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Lösung der Aufgabe 51.1 . . . . . . . . . . . . . 52 Kolloquium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 vermischte Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Lösung zur Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Lösung zur Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . 53.5 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.6 Lösung zur Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . 53.7 Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.8 Lösung zur Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . 53.9 Aufgabe 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.10 Lösung zur Aufgabe 23 . . . . . . . . . . . . . . 53.11 Aufgabe 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.12 Lösung zur Aufgabe 24 . . . . . . . . . . . . . . 53.13 Aufgabe 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.14 Lösung zur Aufgabe 25 . . . . . . . . . . . . . . 53.15 Aufgabe 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.16 Lösung zur Aufgabe 26 . . . . . . . . . . . . . . 53.17 Aufgabe 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.18 Lösung zur Aufgabe 67 . . . . . . . . . . . . . . 53.19 Aufgabe 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.20 Lösung zur Aufgabe 68 . . . . . . . . . . . . . . 53.21 Aufgabe 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.22 Lösung zur Aufgabe 69 . . . . . . . . . . . . . . 53.23 Aufgabe 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.24 Lösung zur Aufgabe 70 . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.1 Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2 Doppelsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.3 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.4 periodische Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . 55.5 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.6 Erweiterter Euklidscher Algorithmus . . . . . . . 55.7 Lineare ganzzahlige (Diophantische) Gleichungen 55.8 Das Pascalsche Dreieck . . . . . . . . . . . . . . 55.9 Der Binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . 55.10 Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . 55.11 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.12 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 170 170 170 171 171 173 175 175 175 176 176 181 181 182 188 189 189 189 190 190 191 191 191 191 192 192 192 192 192 193 194 194 194 196 199 202 205 208 211 214 218 219 237 238 238 238 238 238 238 239 239 239 239 239 239 55.13 Venn–Diagramm . . . . . . . . . . . . . . 55.14 Allgemeine Rechenregeln . . . . . . . . . 55.15 Arithmetische Folge . . . . . . . . . . . . 55.16 Geometrische Folge . . . . . . . . . . . . 55.17 Verzinsung mit Zinseszins . . . . . . . . . 55.18 Lineare (Einfache) Verzinsung . . . . . . . 55.19 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . 55.20 Exponentielle Prozesse . . . . . . . . . . 55.21 Logische Aussagen und Symbole . . . . . 55.22 De Morgan’sche Gesetze . . . . . . . . . 55.23 Allgemeine Form: abc–Formel . . . . . . 55.24 Polynom–division . . . . . . . . . . . . . 55.25 Horner–Schema . . . . . . . . . . . . . . 55.26 Definitionsbereiche einiger Funktionen . . 55.27 Einige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . 55.28 Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . 55.29 Ableitungen einiger bekannten Funktionen 55.30 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . 55.31 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.32 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.33 Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.34 Nullsteleln und Ableitungsfunktion . . . . 55.35 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 55.36 Wende–/Sattelpunkt . . . . . . . . . . . . 55.37 Monotonieverhalten . . . . . . . . . . . . 55.38 Krümmungsverhalten . . . . . . . . . . . Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . Personverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 240 240 240 240 241 241 241 241 242 242 242 242 242 242 243 243 243 243 243 244 244 244 244 244 244 245 245 Abbildungsverzeichnis 4.2.1.1 4.2.2.1 4.2.3.1 Schaltung zu 0 und 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Schaltung zu UND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Schaltung zu ODER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2.0.1 5.2.0.2 5.2.0.3 5.2.0.4 5.2.0.5 5.3.0.1 5.4.2.1 Differenz A \ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Durchschnitt A ∩ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vereinigung A ∪ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . symmetrische Differenz von A und B . . . . . . . . . . . . Das Komplement von A bezüglich einer Menge B ist ∁B (A) Venn–Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Venn–Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.0.1 6.3.0.2 6.4.0.1 Zahlengerade der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Zahlengerade und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.2.0.1 7.10.0.1 7.10.0.2 7.10.0.3 Ausmultiplizieren mit Hilfe vom Pfeilsystem Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.1.1 Illustration des Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 30.5.1.1 30.5.2.1 Berechnung vom Umfang eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Berechnung der Fläche eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 31.1.0.1 31.6.0.1 31.7.0.1 31.8.0.1 f (a) Differenzenquotient f (x)− x−a Vorzeichen–Tabelle . . . . . Tangenten . . . . . . . . . . Normale . . . . . . . . . . 32.2.0.1 32.3.0.1 32.5.2.1 Abbildung zum Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Abbildung zum Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Abbildung zur Lösung der Aufgabe 32.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 33.2.0.1 33.3.0.1 33.5.0.1 Schaubild einiger Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Logarithmus und Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Schaubild einiger allgemeinen Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 34.1.0.1 34.1.0.2 Bakterienwachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 stetige exponentielle Abnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 35.1.0.1 35.1.0.2 35.2.0.1 Graph x = 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Der Zehner–; binäre Logarithmus und natürlicher Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Einige Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 36.1.0.1 Zahlungsstahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 32 33 33 34 35 37 56 63 64 64 106 110 113 115 37.1.0.1 Zahlungsstahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 51.1.0.1 51.2.2.1 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 53.18.0.1 53.20.0.1 53.22.0.1 53.24.0.1 Graph Graph Graph Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 205 211 217 Tabellenverzeichnis 4.2.1.1 4.2.2.1 4.2.3.1 4.2.4.1 4.2.5.1 4.4.0.2 4.4.0.3 4.4.0.5 4.4.0.6 4.5.0.1 4.5.0.2 4.6.2.1 Wahrheitstafel der Negation . . Wahrheitstafel der Konjunktion Wahrheitstafel der Disjunktion . Wahrheitstafel der Implikation . Wahrheitstafel der Äquivalenz . Operationstabelle . . . . . . . . Operationstabelle . . . . . . . . Operationstabelle . . . . . . . . Operationstabelle . . . . . . . . Wahrheitstafel beider Aussagen Wahrheitstafel beider Aussagen Wahrheitstafel . . . . . . . . . 10.1.0.1 10.2.0.1 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 11.1.0.1 11.1.0.2 11.2.0.1 11.3.0.1 Hornerschema Hornerschema Hornerschema Hornerschema 24.2.3.1 24.2.4.1 Das Pascalsche Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Das Pascalsche Dreieck mit Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 23 24 24 27 27 28 28 28 29 30 78 78 79 80 31.10.2.1 Hornerschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 31.10.2.2 Hornerschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 51.1.0.1 51.1.0.2 51.2.2.1 51.2.2.2 Hornerschema Hornerschema Hornerschema Hornerschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 177 183 184 53.18.0.1 53.18.0.2 53.20.0.1 53.20.0.2 53.22.0.1 53.22.0.2 53.24.0.1 53.24.0.2 Hornerschema Hornerschema Hornerschema Hornerschema Hornerschema Hornerschema Hornerschema Hornerschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 197 202 203 208 209 214 215 54.0.0.1 Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 XII Listings XIII Kapitel 1 Summenzeichen 1.1 Einführung Betrachten wir die Anzahl der Toren, die eine Fussballmannschaft jeden Spieltag innerhalb von 18 Spieltagen geschossen hat Bezeichnen wir die Anzahl der Tore im i–ten Spieltag mit ai (a1 ist die Anzahl der Tore im 1.ten Spieltag, a2 im zweiten, usw.), so gilt für die Gesamtanzahl der geschossenen Toren: A = a1 + a2 + · · · + a18 Die drei Punkte deuten die übrigen Summanden an (eigentlich müsste man ja 18 Summanden aufschreiben, da aber das Bildungsgesetz der Summe völlig klar ist, genügt es, ihren Anfang und ihr Ende aufzuschreiben) n P i=ℓ n P i=ℓ ai (gelesen: Summe über alle ai von i = ℓ bis i = n ist eine abgekürzte Schreibweise für aℓ + aℓ+1 + · · · + an , d.h. ai = aℓ + aℓ+1 + · · · + an , wobei i: Laufvariable, Laufindex ℓ: Startwert n: Endwert ai : Funktion bezüglich der Laufvariable Setzen Sie für i nacheinander alle ganzen Zahlen zwischen ℓ und n ein. Summieren Sie dann die so entstandenen Ausdrücke auf. Z.B. 9 P i=2 i2 = 22 + 32 + · · · + 92 1.2 Gausssche Summe setze S n = 1 + 2 + · · · + n Sn = Sn = 1 n + + 2S n = (n + 1) + 2 (n − 1) (n + 1) + + ... ... + + (n − 1) 2 + + n 1 + ... + (n + 1) + (n + 1) 1 . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Damit ist 2S n = n(n + 1) und daraus 2S n = 2 n(n+1) 2 1.3 Eigenschaften Die Bezeichnung des Summationsindex ist beliebig n P n P ai = i=ℓ j=ℓ aj = n P ak k=ℓ Bei Summen kann man den Index verschieben, ohne dass sich der Wert der Summe ändert: n P ai = i=ℓ n P n− Pj ak+ j k=ℓ− j ai = i=ℓ n+ Pj ak− j k=ℓ+ j Summen aufspalten n+s P ai = i=ℓ n P ai + i=ℓ n P i=ℓ bi = ai − n P bi = i=ℓ cai = c n P i=ℓ ai + n+s P ai i=s+1 (ai + bi ) i=ℓ i=ℓ i=ℓ n P n P s P n P i=ℓ n P (ai − bi ) ai i=ℓ leere Summe n−1 P ai = 0 i=n 1.4 Einige wichtige Summen b X k= k=a . b X k=a . n X k=1 (b + a)(b − a + 1) 2 c = c(b − a + 1) k2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (1.4.0.1) (1.4.0.2) (1.4.0.3) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 3 . für q , 1 gilt b X qk = k=a . für |q| < 1 gilt +∞ X k=a . qb+1 − qa q−1 (1.4.0.4) qa 1−q (1.4.0.5) qk = 1.5 Doppelsumme Bei Doppelsumme wird zuerst die innere Summe behandelt und dann die äussere. Wir erläutern die allgemeine Vorgehensweise anhand von Beispiele 6 P 8 P (ik − 3k + 4i − 2) i=1 k=3 = 6 P 8 P (ik − 3k + 4i − 2) 6 P 8 P ik − i=1 k=3 = i=1 k=3 = 6 P k=3 i=1 = 6 P i=2 = 3k + k=3 k−3 8 P (4i − 2) k=3 k+ k=3 8 P ! (4i − 2) k=3 (i33 − 3 ∗ 33 + (4i − 2) ∗ 6) 6 P (57i − 111) 6 P 57i − i=1 = 57 6 P i=1 = 57 ∗ = 531 ! − 3 (8+3)(8−3+1) + (4i − 2)(8 − 3 + 1) i (8+3)(8−3+1) 2 2 i=1 = 8 P 6 P i=1 = 8 P i 8 P ! i− 6 P 111 i=1 6 P 111 i=1 6(6+1) 2 − 111 ∗ 6 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 6 P i P (2i) i=1 k=1 = 6 P i P (2i) i=1 k=1 = 6 P ! (2i ∗ (i − 1 + 1)) i=1 = 6 P (2i2 ) i=1 =2 6 P i2 i=1 = 2 6(6+1)(2∗6+1) 6 = 182 6 P i P (2k) i=1 k=1 = 6 P i P (2k) i=1 k=1 = 6 P 2 i=1 = 6 P 6 P k k=1 i=1 = Pi 2 i(i+1) 2 ! ! (i(i + 1)) i=1 = 6 P (i2 + i) i=1 = 6 P i2 + i=1 = 6 P i i=1 6(6+1)(2∗6+1) 6 + 6(6+1) 2 = 112 Ferner gilt n P m P i=ℓ j=k ai, j = m P n P j=k i=ℓ ai, j 4 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net und n P m P ai b j = i=ℓ j=k 5 P 4 P n P i=ℓ ! ai ∗ m P bj j=k ! ji2 i=1 j=1 5 P = i=1 2 ! i ∗ 4 P j=1 ! j 5(5+1)(2∗5+1) 4(4+1) n P k2 = ∗ , denn i.a. gilt 6 2 = k=1 n(n+1)(2n+1) 6 = 55 ∗ 10 = 550 1.6 Ohne Formel Wenn keine Formel bekannt, dann kann man einfach einsetzen: 5 P i=3 (i + 1) ∗ 2i = (3 + 1) ∗ 23 + (4 + 1) ∗ 24 + (5 + 1) ∗ 25 + | {z } | {z } | {z } i=4 i=3 i=5 = |{z} 32 + |{z} 80 + |{z} 192 + i=3 i=4 i=5 = 304 5 P i=2 = i i+1 2 3 5 4 + + + + 2 + 1 |{z} 3 + 1 |{z} 4 + 1 |{z} 5+1 |{z} i=2 i=4 i=3 i=5 2 4 3 5 = + + + + 3 |{z} 4 |{z} 5 |{z} 6 |{z} i=2 = + 61 20 i=3 i=4 i=5 5 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 5 P 4 P ji2 i=1 j=1 ∗ 12 + 4 ∗ 12 + 2 ∗ 12 + 3|{z} = |{z} 1 ∗ 12 + |{z} |{z} i=1, j=2 i=1, j=1 i=1, j=3 i=1, j=4 3 ∗ 22 + |{z} 4 ∗ 22 + ∗ 22 + |{z} 1 ∗ 22 + 2|{z} |{z} i=2, j=2 i=2, j=1 i=2, j=4 i=2, j=3 1 ∗ 32 + 2|{z} ∗ 32 + |{z} 3 ∗ 32 + |{z} 4 ∗ 32 + |{z} i=3, j=1 i=3, j=2 i=3, j=3 i=3, j=4 3 ∗ 42 + |{z} 4 ∗ 42 + ∗ 42 + |{z} 1 ∗ 42 + 2|{z} |{z} i=4, j=2 i=4, j=1 i=4, j=4 i=4, j=3 1 ∗ 52 + 2|{z} ∗ 52 + |{z} 3 ∗ 52 + |{z} 4 ∗ 52 + |{z} i=5, j=1 i=5, j=2 i=5, j=3 i=5, j=4 = |{z} 1 + |{z} 2 + |{z} 3 + |{z} 4 + i=1, j=1 i=1, j=2 i=1, j=4 i=1, j=3 16 + 8 + |{z} 12 + |{z} 4 + |{z} |{z} i=2, j=1 i=2, j=2 i=2, j=3 i=2, j=4 9 + |{z} 36 + 18 + |{z} 27 + |{z} |{z} i=3, j=1 i=3, j=2 i=3, j=3 i=3, j=4 16 + |{z} 32 + |{z} 48 + |{z} 64 + |{z} i=4, j=1 i=4, j=2 i=4, j=3 i=4, j=4 25 + |{z} 50 + |{z} 75 + |{z} 100 + |{z} i=5, j=1 i=5, j=2 i=5, j=3 i=5, j=4 = 550 5 P 4 P i=1 j=1 = i2 j+1 12 12 12 12 + + + + 1 + 1 |{z} 2 + 1 |{z} 3 + 1 |{z} 4+1 |{z} i=1, j=1 i=1, j=2 i=1, j=3 i=1, j=4 6 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 22 22 22 22 + + + + 1 + 1 |{z} 2 + 1 |{z} 3 + 1 |{z} 4+1 |{z} i=2, j=1 i=2, j=2 i=2, j=3 i=2, j=4 32 32 32 32 + + + + 1 + 1 |{z} 2 + 1 |{z} 3 + 1 |{z} 4+1 |{z} i=3, j=1 i=3, j=2 i=3, j=3 i=3, j=4 42 42 42 42 + + + + 1 + 1 |{z} 2 + 1 |{z} 3 + 1 |{z} 4+1 |{z} i=4, j=1 i=4, j=2 i=4, j=3 i=4, j=4 52 52 52 52 + + + + 1 + 1 |{z} 2 + 1 |{z} 3 + 1 |{z} 4+1 |{z} i=5, j=1 i=5, j=2 i=5, j=3 i=5, j=4 1 1 1 1 + + + = + 2 3 4 5 |{z} |{z} |{z} |{z} i=1, j=1 i=1, j=2 i=1, j=3 i=1, j=4 4 4 +2 + |{z} +1 + |{z} 3 5 i=2, j=1 |{z} i=2, j=3 |{z} i=2, j=2 i=2, j=4 9 9 9 +3 + + + |{z} 2 4 5 |{z} i=3, j=2 |{z} |{z} i=3, j=1 i=3, j=3 i=3, j=4 16 16 +8 + +4 + |{z} |{z} 3 5 i=4, j=1 |{z} i=4, j=3 |{z} i=4, j=2 i=4, j=4 25 25 25 + + + +5 2 |{z} 3 |{z} 4 |{z} |{z} i=5, j=4 i=5, j=1 i=5, j=2 i=5, j=3 = + 847 12 7 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net P p2 p Primzahl p≤15 32 + |{z} = |{z} 22 + |{z} 52 + |{z} 132 72 + |{z} 112 + |{z} p=2 p=3 p=5 p=7 p=11 p=13 9 + |{z} = |{z} 4 + |{z} 25 + |{z} 49 + |{z} 169 121 + |{z} p=2 = 377 p=3 p=5 p=7 p=11 p=13 8 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 1.7 Übungen 1.7.1 Aufgabe 1.1 Berechnen Sie a) 8 P (2i − 3) i=3 b) 8 P 4 i=3 c) 5 P 2−i 35−i i=3 d) 4 P i=1 i2 i+2 − 5 P j=2 j( j−1) j2 1.7.2 Lösung der Aufgabe 1.1 a) 8 P (2i − 3) i=3 =2 8 P i− 8 P i− i=3 =2 i=3 8 P 3 i=3 8 P 3 i=3 − 3(8 − 3 + 1) = 2 (8+3)(8−3+1) 2 = 48 b) 8 P 4 i=3 = 4(8 − 3 + 1) = 24 c) i 5 P +243 + 61 i=3 = +243 5 P i=3 + 61 i 9 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = +243 ∗ + 61 5+1 3 − + 16 + 61 − 1 1 1 ) − (+ 216 ) (+ 46656 = +243 ∗ (+ 16 ) − 1 43 =+ 32 ≈ 1.34375 d) 4 P i2 i+2 i=1 = = = − 5 P j=2 j( j−1) j2 = − 2(2−1) + 6 9 + + 22 2+2 + 32 3+2 + 42 4+2 1 3 + 4 4 + 9 5 + 16 6 − 1 3 +1+ 9 5 + 8 3 = 4 + 59 − 30 60 + = 12 1+2 20 5 29 5 + − 9 5 − 2 4 − 1 2 + 2 3 40 60 + 45 60 + 30+40+45+48 60 30+40+45+48 60 22 + 12 16 + + 4 5 3 4 48 60 + 20 25 3(3−1) 32 + 4(4−1) 42 + 5(5−1) 52 10 Kapitel 2 Arithmetische Folge 2.1 Definition Eine Folge (an ) heisst arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Formel: an+1 = d + an mit d , 0 eine reelle Konstante und gegebenes a0 2.2 explizite Formel an = a0 + nd, dies lässt sich durch vollständige Induktion über n leicht zeigen a0 = an − nd n= an − a0 d= an − a0 d n Aus ak = a0 + dk und aℓ = a0 + dℓ folgt ak − aℓ = d(k − ℓ) d.h. d = ak − aℓ k−ℓ 11 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 2.3 Summenformel n P sn = ai i=0 = n P (a0 + id) i=0 = n P a0 + d i=0 n P i i=0 = (n + 1)a0 + d n P i i=1 = (n + 1)a0 + d n(n+1) 2 Damit ist sn = (n + 1)a0 + d n(n+1) 2 Daraus folgt n sn = (n + 1) a0 +a 2 sn = (n + 1) 2an2−nd 2.4 allgemeines Anfangsglied an = aℓ + (n − ℓ)d sℓ,n = n P i=ℓ n n ai = (n − ℓ + 1) aℓ +a = A aℓ +a 2 2 2.5 Anwendung 1: Einfache Verzinsung wird ein Kapital K mit Einfacher Verzinsung p% (Z.B. 5%) angelegt, so vermehrt sich das Kapital wie folgt: p Kapital am Ende des 1.ten Jahres K1 = K + K 100 p p p ) + K 100 = K + 2K 100 Kapital am Ende des 2.ten Jahres K2 = (K + K 100 .. . p p p ) + K 100 = K + nK 100 Kapital am Ende des n.ten Jahres Kn = (K + (n − 1)K 100 p Die Folge (Kn ) ist also eine arithmetische Folge mit K0 = K und d = K 100 12 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 13 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 2.6 Übungen 2.6.1 Aufgabe 2.1 Von einer Arithmetischen Folge kennt man a2 = 17.000000000 und a5 = 11.000000000 Berechnen Sie d, a0 , a8 und s8 2.6.2 Lösung der Aufgabe 2.1 Gegeben eine Arithmetische Folge mit ak = 17.000000000; k = 2; aℓ = 11.000000000; ℓ = 5 Aus ak = a0 + dk und aℓ = a0 + dℓ folgt ak − aℓ = d(k − ℓ) d.h. d = = ak − aℓ k−ℓ 17.000000000 − 11.00000 2−5 = −2.000000000 Nun gilt a0 = ak − dk = 17.000000000 + 2.00000 ∗ 2 = 21.000000000 a8 = a0 + d ∗ 8 = 5.000000000 = 117.000000000 s8 = (8 + 1)a0 + d 8(8+1) 2 14 Kapitel 3 Geometrische Folge 3.1 Definition Eine Folge (an ) heisst geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Formel: an+1 = q · an mit q , 1 eine reelle Konstante und gegebenes a0 3.2 explizite Formel an = qn · a0 a0 = an qn n= ln(an ) − ln(a0 ) ln(q) qa n n a0 , q= q ± n an , a0 n ungerade n gerade Aus ak = a0 ∗ qk und aℓ = a0 ∗ qℓ folgt d.h. aℓ ak = a0 ∗ qℓ a0 ∗ qk aℓ = qℓ−k ak 15 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 3.3 Summenformel sn = n P ai i=0 = n P i=0 = a0 qi · a0 n P qi i=0 n+1 = a0 1−q 1−q Damit ist n+1 sn = a0 1−q 1−q Daraus folgt n+1 sn = an q1−q n (1−q) sn = a0 −qan 1−q 3.4 Anwendung 1: Zinszins wird ein Kapital K zum Zinssatz p% (Z.B. 5%) angelegt, so vermehrt sich das Kapital wie folgt: K1 = K(1 + p 100 ) K2 = K(1 + p 2 100 ) Kapital am Ende des 2.ten Jahres p 2 100 ) Kapital am Ende des n.ten Jahres Kapital am Ende des 1.ten Jahres .. . Kn = K(1 + Die Folge (Kn ) ist also eine geometrische Folge mit K0 = K und q = 1 + 3.5 Anwendung 2: Periodische Zahlen 1) 0.1 = 0.1 + 0.01 + 0.001 + . . . = +∞ P i=1 0.1i p 100 16 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = +∞ P i=0 = i 17 ! 0.1 − 0.10 1 1−0.1 −1 = 19 , denn −1 < 0.1 < 1 2) 0.23 = 0.23 + 0.0023 + 0.000023 + . . . = 23(0.01 + 0.0001 + 0.000001 + . . . ) = 23 +∞ P 0.01i i=1 ! ! 0.01i − 0.010 i=0 1 −1 = 23 1−0.01 = 23 = 23 99 , +∞ P denn −1 < 0.01 < 1 3.6 Anwendung 3: Die Eulersche Zahl Jemand zahlt am 1. Januar einen CHF auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz p = 100% pro Jahr. Wie gross ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres? Bei jährlicher Verzinsung wächst die Kapital auf K1 = 1 · (1 + 1)1 = 2 Bei halbjährlicher Verzinsung wächst die Kapital auf K2 = 1 · (1 + 12 )2 = 2.25 Bei Vierteljahr Verzinsung wächst die Kapital auf K4 = 1 · (1 + 14 )4 = 2.44140625 Bei monatlicher Verzinsung wächst die Kapital auf K12 = 1 · (1 + 1 12 12 ) Bei wöchentlicher Verzinsung wächst die Kapital auf K52 = 1 · (1 + Bei täglicher Verzinsung wächst die Kapital auf K365 = 1 · (1 + 1 52 52 ) 1 365 365 ) Bei stündlicher Verzinsung wächst die Kapital auf K365∗24 = 1 · (1 + = 2.61303529022468 = 2.69259695443717 = 2.71456748202197 1 365∗24 365∗24 ) Bei minütlicher Verzinsung wächst die Kapital auf K365∗24∗60 = 1 · (1 + = 2.71812669161791 1 365∗24∗60 365∗24∗60 ) Bei sekundlicher Verzinsung wächst die Kapital auf K365∗24∗60∗60 = 1 · (1 + = 2.71827924266636 1 365∗24∗60∗60 365∗24∗60∗60 ) = 2.718281778469 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Die Folge an = (1 + e = 2.718281828459045 . . . 1 n n) 18 ist konvergent. Ihr Grenzwert ist eine irrationale Zahl und heisst Eulersche Zahl Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 3.7 Übungen 3.7.1 Aufgabe 3.1 Von einer Geometrischen Folge kennt man a2 = 10.000000000 und a6 = 160.000000000 Berechnen Sie q, a0 , a8 und s8 3.7.2 Lösung der Aufgabe 3.1 Gegeben eine Geometrische Folge mit ak = 10.000000000; k = 2; aℓ = 160.000000000; ℓ = 6 Aus ak = a0 ∗ qk und aℓ = a0 ∗ qℓ folgt d.h. aℓ a0 ∗ qℓ = ak a0 ∗ qk aℓ = qℓ−k ak d.h. q = ± =± s 4 s ℓ−k aℓ ak 160.000000000 10.000000000 = ±2.000000000 1. Fall q = +2.000 Nun gilt a0 = = ak qk 10.000000000 2.0000000002 = 2.500000000 a8 = a0 ∗ q8 = 640.000000000 8+1 s8 = a0 q q−1−1 = 1277.500000000 19 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 2. Fall q = −2.000 Nun gilt a0 = = ak qk 10.000000000 (−2.000000000)2 = 2.500000000 a8 = a0 ∗ q8 = 640.000000000 8+1 s8 = a0 q q−1−1 = 427.500000000 20 Kapitel 4 Logische Aussagen und Symbole 4.1 Aussagenlogik Aussagen sind Sätze, die entweder wahr (w) bzw. (1) oder falsch (f) bzw. (0) sind. Z.B. die Aussage „Zürich ist 2 [km] von Basel entfernt.“eine falsche Aussage „Dieser Satz hat fünf Wörter.“eine wahre Aussage „FC Basel wird in der nächsten Saison Fussballmeister.“ist zwar eine Aussage aber ob sie wahr ist, kann man derzeit nicht entscheiden Keine Aussagen sind beispielsweise die folgende Sätze: Fragesätze: „Welche Bank besitzt die grösste Macht?“ Aufforderungs–, Befehlssätze: „Bleiben Sie gesund!“ Wertungssätze: „Das Kleid ist teuer“ Wunschsätze: „Ich möchte in swiss Lotto gewinnen“ Inhärent widersprüchliche Sätze: „Dieser Satz ist falsch“ 4.2 verknüpfte Aussagen 4.2.1 Negation Betrachten wir die Aussage A: „Die Hose ist Blau“ Die Negation dieser Aussage ist B: „Die Hose ist nicht Blau“ man sagt B ist die Negation von A und notiert B = A = ¬A: nicht A Die Negation ist eine einstellige Operation, da sie auf eine Aussage angewendet wird, bewirkt die Umkehrung des Wahrheitswertes des betreffenden Aussage. Dies kann anschaulich anhand der Wahrheitstafel 4.2.1.1 auf Seite 22 21 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net i A A 0 0 1 1 1 0 Tabelle 4.2.1.1: Wahrheitstafel der Negation . 1 0 Abbildung 4.2.1.1: Schaltung zu 0 und 1 4.2.2 Konjunktion „Gesucht wird eine Sekretärin mit englischen und französischen Sprachkenntnisse“. A: „Gesucht wird eine Sekretärin mit englischen Sprachkenntnisse“ B: „Gesucht wird eine Sekretärin mit französischen Sprachkenntnisse“ C: „Gesucht wird eine Sekretärin mit englischen und französischen Sprachkenntnisse“ Notation C = A ∧ B: A und B A∧B i A B 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 3 1 1 1 0 Tabelle 4.2.2.1: Wahrheitstafel der Konjunktion . A B Abbildung 4.2.2.1: Schaltung zu UND 22 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 23 4.2.3 Disjunktion In einem Ferienort bekommt ein Feriengast eine gratis Mahlzeit, wenn er Geburtstag hat oder wenn er beim wöchentlich stattfindenden Skatturnier gewonnen hat. A: „Der Gast hat Geburtstag.“ B: „Der Gast hat das Skatturnier gewonnen.“ C: „Der Gast hat Geburtstag oder der Gast hat das Skatturnier gewonnen“ Hier genügt eine der beiden Forderungen, um eine gratis Mahlzeit zu bekommen. Es können aber auch beide Forderungen zugleich gelten. A ∨ B: A oder B A∨B i A B 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 1 0 Tabelle 4.2.3.1: Wahrheitstafel der Disjunktion . B A Abbildung 4.2.3.1: Schaltung zu ODER Bemerkung 4.2.3.1 Es gelten die Vorrangregeln: Die Klammer, dann NICHT, dann UND und dann ODER (mit geringsten Vorrang) 4.2.4 Implikation A: „Die Vorlesung fällt aus“ B: „Die Studenten sind froh.“ offensichtlich gilt die Implikation A ⇒ B; aber die Implikation B ⇒ A muss nicht gelten, da die Studenten froh sein können, wenn z. B. sie die Prüfung bestanden ist A ⇒ B: wenn A, dann B Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Die Implikation lässt sich als A ∨ B ausdrucken A∨B A⇒B 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 i A B 0 0 0 1 1 2 3 1 1 Tabelle 4.2.4.1: Wahrheitstafel der Implikation . 4.2.5 Äquivalenz A: „Student S. Tudi besteht die Prüfung in der Schweiz“ B: „Student S. Tudi hat mindestens die Note 4“ A ⇔ B: „Student S. Tudi besteht genau dann die Prüfung, wenn er mindestens die Note 4 hat“ A ⇔ B: A genau dann, wenn B A ⇔ B definiert als (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) Die Äquivalenz lässt sich als (A ∧ B) ∨ (A ∧ B) ausdrucken (A ∧ B) ∨ (A ∧ B) A⇔B 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 i A B 0 0 0 1 1 2 3 1 1 Tabelle 4.2.5.1: Wahrheitstafel der Äquivalenz . 4.3 Gesetze 4.3.1 Kommutativität A∨B= B∨A A∧B= B∧A 24 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 4.3.2 Assoziativität (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) 4.3.3 Idempotenz A∨A= A A∧A= A 4.3.4 Distributivität A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) in allgemein gilt (A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An ) ∨ (B1 ∧ B2 ∧ · · · ∧ Bk ) = (A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An ) ∧ (B1 ∨ B2 ∨ · · · ∨ Bk ) = 4.3.5 Absorption A ∨ (A ∧ B) = A A ∧ (A ∨ B) = A 4.3.6 De Morgan’schen Gesetze A∨B= A∧B V (Ai ∨ B j ) W (Ai ∧ B j ) 1≤i≤n 1≤ j≤k 1≤i≤n 1≤ j≤k 25 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net A∧B= A∨B 4.3.7 weitere Regeln A∨0 = A A∧0 = 0 A∨1 = 1 A∧1 = A A∨A= A A∧A= A A∨A=1 A∧A=0 A ∨ (A ∧ B) = A ∨ B A ∧ (A ∨ B) = A ∧ B 4.4 Operationstafel . Mit Hilfe der Operationstabelle i A B (0) ♥ ♥ ♠ ♥ (1) (2) (3) . und die Tatsachen ♠ = ♥ und ♥ = ♠ fertigen Sie eine Operationstabelle für A ⊙ B ♥ ♠ ♠ ♠ A⊙B ♥ ♥ ♠ ♠ 26 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Gegeben i A B (0) ♥ ♥ ♠ ♥ (1) (2) (3) ♥ ♠ ♠ ♠ A⊙B ♥ ♥ ♠ ♠ Tabelle 4.4.0.2: Operationstabelle . und ♠ = ♥ und ♥ = ♠ i A B (0) ♥ ♥ ♠ ♥ (1) (2) (3) ♥ ♠ ♠ ♠ A⊙B ♠ ♠ ♥ ♥ Tabelle 4.4.0.3: Operationstabelle . Mit Hilfe der Operationstabelle A⊙B i A B (0) ♥ ♥ ♠ ♥ ♥ i A B (0) ♥ ♥ A⊙B (1) (2) (3) ♥ ♠ ♠ ♠ ♥ ♠ ♠ . und die Tatsachen ♠ = ♥ und ♥ = ♠ fertigen Sie eine Operationstabelle für B ⊙ A Gegeben (1) ♥ ♠ ♥ ♠ 27 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ♠ (2) ♠ (3) ♥ ♥ ♠ ♠ Tabelle 4.4.0.5: Operationstabelle . und ♠ = ♥ und ♥ = ♠ i A B (0) ♥ ♥ ♠ ♥ ♥ (1) (2) ♠ (3) B⊙A ♠ ♠ ♥ ♠ ♥ ♠ Tabelle 4.4.0.6: Operationstabelle . 4.5 äquivalente logische Aussagen . C∨A∧B (A ∨ B) ∨ C 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 (5) 1 0 1 1 1 (6) 1 1 0 0 0 (7) 1 1 1 1 1 i A B C (0) 0 0 0 (1) 0 0 (2) 0 1 (3) 0 (4) 1 1 Tabelle 4.5.0.1: Wahrheitstafel beider Aussagen . Die Beiden logischen Aussagen sind äquivalent. . i A B C (0) 0 0 0 (1) 0 0 1 C∨A∧B (A ∨ B) ∨ C 1 1 1 1 28 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net (2) 0 1 0 1 1 (3) 0 1 1 1 1 (4) 1 0 0 1 0 (5) 1 0 1 1 1 (6) 1 1 0 0 1 (7) 1 1 1 1 1 Tabelle 4.5.0.2: Wahrheitstafel beider Aussagen . Die Beiden logischen Aussagen sind nicht äquivalent, denn die unterscheiden sich an der Stelle (6) . 29 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 4.6 Übungen 4.6.1 Aufgabe 4.1 Geben Sie eine Wahrheitstafel für (A ∧ B) ⇒ C 4.6.2 Lösung der Aufgabe 4.1 A∧B (A ∧ B) ⇒ C 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 6 1 0 1 0 0 1 7 1 1 0 0 0 1 8 1 1 1 0 0 1 i A B C A 1 0 0 0 1 2 0 0 1 3 0 1 4 0 5 0 Tabelle 4.6.2.1: Wahrheitstafel . 1 30 Kapitel 5 Grundbegriffe der Mengenlehre Nach Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre gilt 5.1 Definition Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die zu einer Menge zusammengefassten Objekte werden als Elemente der Menge bezeichnet. Gehört ein Element a zu einer Menge A, so symbolisiert man dies mit a ∈ A (gelesen: a ist Element von A) b < A (gelesen: b ist nicht Element von A) Mengen lassen sich auf zwei Arten definieren: durch Aufzählen Man schreibt ihre sämtliche Elemente auf und fasst sie mit Hilfe von geschweiften Klammern zusammen durch Beschreibung Man gibt die Eigenschaften an, welche die Elemente der zu definierten Menge, aber keine anderen Objekte besitzen. Dabei verwendet man die Schreibweise {x : . . . } und sagt: Die Menge aller Elemente x mit der Eigenschaft. . . Beispiel 5.1.0.1 1) K = Menge der Kantone der Schweiz. (durch Beschreibung) 2) A = Menge der am heutigen Tag arbeitslosen Personen im Kanton Aargau. (durch Beschreibung) 3) B = {a, 1, 2, b}. (durch Aufzählen) 4) L = {m, e, n, g} = Menge der Buchstabe des Wortes Menge. (durch Beschreibung) Bemerkung 5.1.0.2 jedes Element einer Menge darf in der aufzählenden Schreibweise nur einmal aufgeführt werden. So kommt im obigen Beispiel der Buchstabe e nur einmal vor, obwohl dieser Buchstabe im Wort Menge zweimal vorkommt. Eine Menge heisst endlich, wenn sie endlich viele Elemente hat, sonst heisst sie unendlich. 31 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 5.2 Mengenoperationen ∅ = {} leere Menge A ⊂ B heisst a ∈ A ⇒ a ∈ B (gelesen: A ist Teilmenge von B, bzw. A ist in B enthalten) Z.B. {1, 2} ⊂ {1, 2, 3} A = B heisst A ⊂ B und B ⊂ A Differenz A \ B = {x : x ∈ A und x < B} A B A\B Abbildung 5.2.0.1: Differenz A \ B Durchschnitt A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B} A B A∩B Abbildung 5.2.0.2: Durchschnitt A ∩ B 32 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 33 zwei Mengen A und B, die kein gemeinsames Element haben (d.h. A ∩ B = ∅), heissen disjunkt bzw. elementenfremd Vereinigung A ∪ B = {x : x ∈ A oderx ∈ B} A B Abbildung 5.2.0.3: Vereinigung A ∪ B symmetrische Differenz von A und B A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) A B A∆B Abbildung 5.2.0.4: symmetrische Differenz von A und B Als Mächtigkeit einer Menge A bezeichnet man die Anzahl der (unterscheidbaren) Elemente von A und benutzt dafür das Symbol card(A) z.B. Es gilt card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B), wenn A und B endlich sind kartesisches Produkt A × B = {(x, y) : x ∈ A und y ∈ B} (gelesen: A kreuz B) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Beispiel 5.2.0.1 Für A = {a, b, c} und B = {1, 2} gilt A × B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)} Achtung: A × B , B × A, wenn A , B Wenn A = {} oder B = {}, dann A × B = {} Es gilt card(A × B) = card(A) · card(B), wenn A und B endlich sind Potenzmenge Pot(A) = {X : X ⊂ A} Z.B. für A = {1, 2} gilt Pot(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} card(Pot(A)) = 2card(A) , wenn A endlich ist Pot(A) = {∅}, wenn A = ∅ Die Grundmenge G enthält alle betrachteten Elemente. Für A ⊂ G gilt Ac = ∁G (A) = G \ A = {x : x ∈ G und x < A}, das ist das Komplement von A bezüglich der Grundmenge G Das Komplement von A bezüglich einer Menge B ist ∁B (A) = {x : x ∈ B und x < A} A B C B (A) Abbildung 5.2.0.5: Das Komplement von A bezüglich einer Menge B ist ∁B (A) Oft sinnvoll ist die sog. disjunkte Vereinigung von Mengen: M = A ⊎ B, d.h. M = A ∪ B und A ∩ B = ∅ Zwei Mengen A und B heissen disjunkt, falls A ∩ B = ∅. Disjunkte Mengen werden mit ∐ notiert; d.h. A ∐ B 5.3 Eigenschaften der Mengenoperationen Kommutativgesetze A∩B= B∩A A∪B= B∪A Assoziativgesetze 34 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 35 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Distributivgesetze A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Die Morgan’sche Regeln (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc Transitivgesetz ((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C)) ⇒ A ⊂ C und noch mehr Regeln A∪∅ = A A∩∅ = ∅ A ⊂ (A ∪ B) B ⊂ (A ∪ B) (A ∩ B) ⊂ A (A ∩ B) ⊂ B A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) Mengen lassen sich gut durch Venn–Diagramm (Mengenschaubild) veranschlaulischen G A a 5 s 3 4 c 2 9 Abbildung 5.3.0.1: Venn–Diagramm Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 5.4 Übungen 5.4.1 Aufgabe 5.1 Für die Mengen A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, B = {k, l, m, g, h, i, j} und G = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, p, q, r, s, n, o} a) Fertigen Sie ein Venn–Diagramm (Mengendiagramm) an b) Berechnen Sie card(A) c) Berechnen Sie card(B) d) Berechnen Sie ∁G (A) e) Berechnen Sie ∁G (B) f) Berechnen Sie card(Pot(A)) g) Berechnen Sie card(Pot(B)) h) Berechnen Sie A ∪ B i) Berechnen Sie A ∩ B j) Berechnen Sie A \ B k) Berechnen Sie B \ A l) Berechnen Sie B∆A m) Berechnen Sie Pot(A ∩ B) n) Berechnen Sie A × B o) Berechnen Sie B × A p) Berechnen Sie card(A × B) q) Berechnen Sie card(B × A) r) Füllen Sie die Lücken (. . . . . . . . . ) mit ⊂, *, <, ∈, =, ∋ i) B . . . . . . . . . {h} ii) {u, g} . . . . . . . . . B iii) B . . . . . . . . . i iv) B . . . . . . . . . {m} 36 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 37 v) { j, m} . . . . . . . . . B vi) B . . . . . . . . . t 5.4.2 Lösung der Aufgabe 5.1 a) A a b e f c j d k l m B G i h g p q r s n o Abbildung 5.4.2.1: Venn–Diagramm . b) card(A) = 10 c) card(B) = 7 d) ∁G (A) = {k, l, m, p, q, r, s, n, o} e) ∁G (B) = {a, b, c, d, e, f, p, q, r, s, n, o} f) card(Pot(A)) = 1024 g) card(Pot(B)) = 128 h) A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m} i) A ∩ B = {g, h, i, j} j) A \ B = {a, b, c, d, e, f } k) B \ A = {k, l, m} l) B∆A = {k, l, m, a, b, c, d, e, f } m) Pot(A ∩ B) = {∅, { j}, {i}, {i, j}, {h}, {h, j}, {h, i}, {h, i, j}, {g}, {g, j}, {g, i}, {g, i, j}, {g, h}, {g, h, j}, {g, h, i}, {g, h, i, j}} n) A ∪ B × A ∪ B ⊇ A × B = {(a, k), (a, l), (a, m), (a, g), (a, h), (a, i), (a, j), (b, k), (b, l), (b, m), (b, g), (b, h), (b, i), (b, j), Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 38 (c, k), (c, l), (c, m), (c, g), (c, h), (c, i), (c, j), (d, k), (d, l), (d, m), (d, g), (d, h), (d, i), (d, j), (e, k), (e, l), (e, m), (e, g), (e, h), (e, i), (e, j), ( f, k), ( f, l), ( f, m), ( f, g), ( f, h), ( f, i), ( f, j), (g, k), (g, l), (g, m), (g, g), (g, h), (g, i), (g, j), (h, k), (h, l), (h, m), (h, g), (h, h), (h, i), (h, j), (i, k), (i, l), (i, m), (i, g), (i, h), (i, i), (i, j), ( j, k), ( j, l), ( j, m), ( j, g), ( j, h), ( j, i), ( j, j)} o) B ∪ A × B ∪ A ⊇ B × A = {(k, a), (k, b), (k, c), (k, d), (k, e), (k, f ), (k, g), (k, h), (k, i), (k, j), (l, a), (l, b), (l, c), (l, d), (l, e), (l, f ), (l, g), (l, h), (l, i), (l, j), (m, a), (m, b), (m, c), (m, d), (m, e), (m, f ), (m, g), (m, h), (m, i), (m, j), (g, a), (g, b), (g, c), (g, d), (g, e), (g, f ), (g, g), (g, h), (g, i), (g, j), (h, a), (h, b), (h, c), (h, d), (h, e), (h, f ), (h, g), (h, h), (h, i), (h, j), (i, a), (i, b), (i, c), (i, d), (i, e), (i, f ), (i, g), (i, h), (i, i), (i, j), ( j, a), ( j, b), ( j, c), ( j, d), ( j, e), ( j, f ), ( j, g), ( j, h), ( j, i), ( j, j)} p) card(A × B) = 70 q) card(B × A) = 70 r) i) B * {h} ii) {u, g} * B iii) B ∋ i iv) B * {m} v) { j, m} ⊂ B vi) B = t Kapitel 6 Zahlenmengen 6.1 Die natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . . } Menge der natürlichen Zahlen. N0 = {0, 1, 2, 3, . . . } Die Summe zweier natürlichen Zahlen ist eine natürliche Zahl. man sagt, die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen gegenüber der Addition. Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen auch gegenüber der Multiplikation. Bemerkung 6.1.0.1 Statt a · b schreiben wir ab die sog. Juxtaposition (kein Operation) Menge der natürlichen Zahlen ist nicht abgeschlossen auch gegenüber der Division. Daher hat man die sog. Division mit Rest (bzw. Euklidische Division) eingeführt: Zu zwei natürlichen Zahlen a; b gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen q; r mit 0 ≤ r < b, so dass a = q · b + r gilt. q nennt man den Quotienten und r den Rest bei Division (mit Rest) von a durch b. Notation r = mod (a, b) und q = div(a, b) Z.B. mod (14, 4) = 2, denn 14 = 3 · 4 + 2 Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen auch gegenüber der Division mit Rest. Dividiert man eine natürliche Zahl a ohne Rest durch eine natürliche Zahl b, so heisst a ein Vielfaches von b oder b ein Teiler von a. Notation b | a (gelesen: a ist teilbar durch b) Teilt eine Zahl a die Zahl b nicht, so notiert man a ∤ b Eine Zahl n heisst gerade, falls 2 | n Eine Zahl n heisst ungerade, falls 2 ∤ n Ein Teiler, der sowohl zu einer Zahl a als auch zu einer Zahl b gehört, heisst gemeinsamer Teiler von a und b T n = {x ∈ N : x | n}: Menge aller natürlichen Teiler der natürlichen Zahl n. 39 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 40 T 6 = {1, 2, 3, 6} Vn = {x · n | x ∈ N}: Menge aller natürlichen Vielfachen der natürlichen Zahl n. V5 = {5, 10, 15, . . . }: Menge aller natürlichen Vielfachen der natürlichen Zahl n. Eine natürliche Zahl n ≥ 2 heisst Primzahl, wenn 1 und n ihre einzigen positiven Teiler sind. Ist eine natürliche Zahl n ≥ 2 nicht Primzahl, so heisst sie zusammengesetzt. p Primzahl ⇒ p|a∨ p|b p | ab P = {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . . }: Menge aller Primzahlen. das ist die Menge aller natürlichen Zahlen, die genau zwei Teiler haben. Primzahlen bis 1000 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97; 101; 103; 107; 109; 113; 127; 131; 137; 139; 149; 151; 157; 163; 167; 173; 179; 181; 191; 193; 197; 199; 211; 223; 227; 229; 233; 239; 241; 251; 257; 263; 269; 271; 277; 281; 283; 293; 307; 311; 313; 317; 331; 337; 347; 349; 353; 359; 367; 373; 379; 383; 389; 397; 401; 409; 419; 421; 431; 433; 439; 443; 449; 457; 461; 463; 467; 479; 487; 491; 499; 503; 509; 521; 523; 541; 547; 557; 563; 569; 571; 577; 587; 593; 599; 601; 607; 613; 617; 619; 631; 641; 643; 647; 653; 659; 661; 673; 677; 683; 691; 701; 709; 719; 727; 733; 739; 743; 751; 757; 761; 769; 773; 787; 797; 809; 811; 821; 823; 827; 829; 839; 853; 857; 859; 863; 877; 881; 883; 887; 907; 911; 919; 929; 937; 941; 947; 953; 967; 971; 977; 983; 991; 997; Primzfaktorzerlegung Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von n bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig. Es ist bisher kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt, um die Primfaktorzerlegung einer beliebigen Zahl zu erhalten. Sind die Primfaktoren aufsteigend geordnet, spricht man auch von der kanonischen Primfaktorzerlegung. Man testet einfach, durch welche Primzahlen sich eine Zahl ohne Rest teilen lässt. Lässt die Zahl sich durch eine Primzahl ohne Rest teilen, so kann man mit dem Divisionsergebnis weiterrechnen, und das so lange, bis man als Divisionsergebnis eine Primzahl hat. Beispiel: Primfaktorzerlegung von 48. Zuerst testet man 48 auf Teilbarkeit durch 2. 48 ist durch 2 teilbar, und 48=2*24. Auch 24 ist durch 2 teilbar; es gilt: 24=2*12; also 48=2*2*12, und weiter 48=2*2*2*6=2*2*2*2*3. Da 3 eine Primzahl ist, kann man nun aufhören. Anderes Beispiel: Primfaktorzerlegung von 18. Es gilt: 18=2*9. 9 ist nicht durch 2 teilbar; also testet man mit der naechsten Primzahl weiter: 9 ist durch 3 teilbar, und 9=3*3, also 18=2*3*3. Beispiel 6.1.0.2 71825262019 = 71 ∗ 413 ∗ 533 Aber Menge der natürlichen Zahlen ist nicht abgeschlossen gegenüber der Subtraktion, denn 4 − 6 < N Daher hat man eine Obermenge von N definiert, nämlich Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 41 6.2 Die ganzen Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} Menge der ganzen Zahlen Vorzeichenregeln: +(+a) = a +(−a) = −a −(+a) = −a −(−a) = a (+a) · (+b) = a · b (−a) · (−b) = a · b (−a) · (+b) = −a · b (+a) · (−b) = −a · b Menge der ganzen Zahlen ist abgeschlossen auch gegenüber der Addition Menge der ganzen Zahlen ist abgeschlossen auch gegenüber der Multiplikation Menge der ganzen Zahlen ist abgeschlossen auch gegenüber der Subtraktion Menge der ganzen Zahlen ist nicht abgeschlossen auch gegenüber der Division ggT und kgV Der grösste gemeinsame Teiler ggT (a, b) zweier natürlicher Zahlen a und b ist die grösste natürliche Zahl, durch die sowohl a als auch b ohne Rest teilbar sind. Für a = b = 0 ist der grösste gemeinsame Teiler nicht definiert Den grösste gemeinsame Teiler ggT (a, b) zweier natürlicher Zahlen a und b lässt sich mit dem Euklidschen Algorithmus berechnen, das ist eine fortgesetzte Division mit Rest: a = q1 · b + r1 mit 0 < r1 < b b = q2 · r1 + r2 mit 0 < r2 < r1 r1 = q3 · r2 + r3 mit 0 < r3 < r2 .. . rn−1 = qn+1 · rn + rn+1 mit 0 < rn+1 < rn |{z} =ggT (a,b) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 42 rn = qn+2 · rn+1 + rn+2 mit rn+2 = 0 |{z} =0 ab kgV(a.b) = ggT (a, b) Beispiel 6.2.0.1 Beim Euklidschen Algorithmus wird wie folgt verfahren: Man teilt die grössere durch die kleinere Zahl. Geht die Division auf, ist der Divisor der ggT. Geht die Division nicht auf, bleibt ein Rest. Dieser Rest ist der neue Divisor. Der alte Divisor wird zum Dividenden. Nun setzt man das Verfahren fort. Der ggT ist das letzte Rest, der nicht Null ist. 370 = 1 ∗ 290 + 80 290 = 3 ∗ 80 + 50 80 = 1 ∗ 50 + 30 50 = 1 ∗ 30 + 20 30 = 1 ∗ 20 + 10 ⇐ ggT 20 = 2 ∗ 10 + 0 ggT (370, 290) = 10 Zwei natürliche Zahlen a und b sind teilerfremd, wenn ggT (a, b) = 1 Z.B. ggT (7, 13) = 1 und daher sind 7 und 13 teilerfremd Für das kleinste gemeinsame Vielfache gilt kgV(a, b) = a·b ggT (a,b) Lineare Kombination Die letzte Gleichung des Euklidschen Algorithmus wird gestrichen. Durch sukzessive Multiplikation (von unten nach oben!) mit den Faktoren c1 , . . . , cn und anschliessende Addition aller Gleichungen: Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net a = q1 b + r1 ; 0 < r1 < b | · cn = cn−2 − cn−1 q2 b = q2 r1 + r2 ; 0 < r2 < r1 | · cn−1 = cn−3 − cn−2 q3 r1 = q3 r2 + r3 ; 0 < r3 < r2 | · cn−2 = cn−4 − cn−3 q4 r2 = q3 r2 + r3 ; 0 < r4 < r3 | · cn−3 = cn−5 − cn−4 q5 .. . .. . .. . .. . .. . .. . rk−1 = qk+1 rk + rk+1 ; 0 < rk+1 < rk | · cn−k−2 = cn−k−4 − cn−k−3 qk+2 rk = qk+2 rk+1 + rk+2 ; 0 < rk+2 < rk+1 | · cn−k−1 = cn−k−3 − cn−k−2 qk+3 .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . rn−5 = qn−3 rn−4 + rn−3 ; 0 < rn−3 < rn−4 | · c4 = c2 − c3 qn−2 rn−4 = qn−2 rn−3 + rn−2 ; 0 < rn−2 < rn−3 | · c3 = c1 − c2 qn−1 rn−3 = qn−1 rn−2 + rn−1 ; 0 < rn−1 < rn−2 | · c2 = 1 − c1 q n rn−2 = qn rn−1 + rn ; 0 < rn < rn−1 | · c1 = −qn+1 rn−1 = qn+1 rn + rn+1 |{z} ; 0 < rn+1 < rn 43 =ggT (a,b)=d ❤ ✭ ❤r✭ + = ✭ qn+2 ✭ ❤ ❩ n+1 ❤ ✚ ✚ ❩ rn ✚ ❩ rn+2 ❅ |{z} ❅ =0 ❅ fallen viele Gleichungen weg und man erhält: cn a + cn−1 b = cn q1 b + d ⇒ cn a + (cn−1 − cn q1 )b = d |{z} | {z } =x =y Alternativ Berlekamp–Algorithmus: Mit x0 = 1; x1 = 0, xk+1 = xk−1 − qk xk und y0 = 0; y1 = 1, yk+1 = yk−1 − qk yk gilt xn+2 a + yn+2 b = ggT (a, b) (Beweis durch Vollständige Induktion zeigt man xk+1 a + yk+1 b = rk für k > 0) IA: k = 1 Aus a = q1 b + r1 folgt a − q1 b = r1 d.h. |{z} 1 a + (−q1 ) b = r1 |{z} =x2 IV: k → k + 1 =y2 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 44 xk+2 a + yk+2 b = (xk − qk+1 xk+1 )a + (yk − qk+1 yk+1 )b = (xk a + yk b) − qk+1 (xk+1 a + yk+1 b) = (xk a + yk b) − qk+1 (xk+1 a + yk+1 b), wegen Induktionsvoraussetzung | {z } | {z } rk−1 rk = rk−1 − qk+1 rk = rk+1 Für k = n + 1 gilt nun xn+2 a + yn+2 b = rn+1 == ggT (a, b) Beispiel 6.2.0.2 Die letzte Gleichung des Euklidschen Algorithmus wird gestrichen. Durch sukzessive Multiplikation (von unten nach oben!) mit den Faktoren c1 , . . . , c4 und anschliessende Addition aller Gleichungen: 370 = 1 ∗290 + |{z} 80 | · c4 = c2 − q2 c3 = 11 3 ∗80 |{z} + 50 | · c3 = c1 − q3 c2 = −3 1 ∗50 |{z} + 30 | · c2 = 1 − q4 c1 = 2 1 ∗30 |{z} + 20 | · c1 = −q5 = −1 1 ∗20 |{z} + 10 + ✚ ❩ 0 ❆ ✁ q1 290 = q2 80 = q3 50 = q4 30 = q5 ❩ 2✚ 0 ✚ = ✚ ❩ ❩ ❳ ✘ ✘10 ✘ 2 ∗❳ ❳ fallen viele Gleichungen weg und man erhält: 11 ∗ 370 + (−3) ∗ 290 = 11 ∗ 1 ∗ 290 + 10 ⇒ |{z} 11 ∗370 + (|{z} −14 ) ∗ 290 = 10 =x =y Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 45 Lineare ganzzahlige (Diophantische) Gleichungen ggT (a, b) = 1 ⇒a|c a | bc Da ggT (a, b) = 1, gibt es x, y ∈ Z mit ax + by = 1 ⇒ by = 1 − ax. Aber a | bc ⇒ bc = ka ⇒ byc = kya ⇒ (1 − ax)c = kya ⇒ c = (ky + xc)a Für alle ganze Zahlen a, b, c ist die Gleichung ax + by = c genau dann durch ganze Zahlen x und y lösbar, wenn ggT (a, b) | c Setze d = ggT (a, b), γ = dc , α = da und β = db . Es gibt ganze Zahlen s, t mit as + bt = d (Der erweiterte (Eukldische Algorithmus liefert eine Partikularlösung), d.h. asγ + btγ = dγ = c = ax + by ⇒ a(x − sγ) = b(tγ − y) ⇒ α(x − sγ) = β(tγ − y) ⇒ x − sγ = β ∗ k, denn ggT (α, β) = 1 und β | α(x − sγ) ⇒ x = sγ + β ∗ k Dies in α(x − sγ) = β(tγ − y) ergibt α(β ∗ k + sγ − sγ) = β(tγ − y) ⇒ αβ ∗ k = β(tγ − y) ⇒ αk = (tγ − y) ⇒ y = −αk + tγ Insgesamt gilt x = sγ + β ∗ k und y = −αk + tγ mit k ∈ Z Beispiel 6.2.0.3 Wir beginnen mit einem (klassischen) Beispiel: Ein Bauer bekommt die Aufgabe, auf dem Markt für 1000 Taler Ferkel, Enten und Tauben zu kaufen; und zwar genau 500 Tiere. Ein Ferkel kostet 10 Taler, eine Ente 3 Taler und eine Taube einen halben Taler. Bestimme alle Möglichkeiten - natürlich sollen die Tier lebendig und vollständig sein. Es gilt 19 f + 5e = 1500 mit t = 500 − e − f Gegeben 19e + 5 f = 1500 Setze a = 19, b = 5 und c = 1500 Der grösste gemeinsame Teiler von a und b ist d = ggT (a, b) = 1 Die Gleichung ist lösbar, da ggT (a, b) | c Der erweiterte Eukldische Algorithmus liefert eine Partikularlösung für 19e + 5 f = 1 und zwar 19 ∗ (−1) + 5 ∗ (4) = 1 Durch Multiplikation mit 1500 erhalten wir eine Partikularlösung für 19e + 5 f = 1500 und zwar 19 ∗ (−1500) + 5 ∗ (6000) = 1500 Damit gilt 19(−1500 − e) + 5(6000 − f ) = 0 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ 19(−1500 − e) = −5(6000 − f ) Es gilt nun −1500 − e = 5t mit t ∈ Z, denn ggT (19, 5) = 1 d.h. e = −1500 − 5t mit t ∈ Z und schliesslich f = 6000 + 19t mit t ∈ Z Beispiel 6.2.0.4 Gegeben 15x + 12y = 6 Setze a = 15, b = 12 und c = 6 Der grösste gemeinsame Teiler von a und b ist d = ggT (a, b) = 3 Die Gleichung ist lösbar, da ggT (a, b) | c Der erweiterte Eukldische Algorithmus liefert eine Partikularlösung für 15x + 12y = 3 und zwar 15 ∗ (1) + 12 ∗ (−1) = 3 Durch Multiplikation mit 2 erhalten wir eine Partikularlösung für 15x + 12y = 6 und zwar 15 ∗ (2) + 12 ∗ (−2) = 6 Damit gilt 15(2 − x) + 12(−2 − y) = 0 | : 3 ⇒ 5(2 − x) + 4(−2 − y) = 0 ⇒ 5(2 − x) = −4(−2 − y) Es gilt nun 2 − x = 4z mit z ∈ Z, denn ggT (5, 4) = 1 d.h. x = 2 − 4z mit z ∈ Z und schliesslich y = −2 + 5z mit z ∈ Z 6.3 Die rationalen Zahlen Q = { ab |a, b ∈ Z, b , 0} Menge der rationalen Zahlen Beachte a 0 ist nicht definiert, wohl aber 0 b,0 =0 + yx = ay+bx yb Menge der rationalen Zahlen ist abgeschlossen auch gegenüber der Addition a b a b · yx = ax yb Menge der rationalen Zahlen ist abgeschlossen auch gegenüber der Multiplikation − yx = ay−bx yb Menge der rationalen Zahlen ist abgeschlossen auch gegenüber der Subtraktion a b a b : x y = a b x y = a b · y x = ay xb 46 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Menge der rationalen Zahlen ist abgeschlossen auch gegenüber der Division Bruch Kürzen und erweitern Für eine rationale Zahl q gibt es viele äquivalente Darstellungen. So gilt z.B. 3 7 = 6 14 9 21 = = 12 28 −30 −70 = aber es gibt nur eine Darstellung q = Allgemein gilt x y x:ggT (x,y) y:ggT (x,y) = = a b Kehrwert a−1 = 1a b a Gleichheit x a b = y ⇔ ay = bx endlicher Dezimalbruch 865 0.865 = 1000 unendlich periodischer Dezimalbruch 4 0.12 = 33 , denn 1. Methode setze x = 0.12 Damit ist 1x = 0.12 und 100x = 012.12 somit gilt 100x − 1x = 12 d.h. x = 12 99 4 gekürzt x = + 33 2. Methode setze x = 0.12 Damit ist x = 0. + = = 0 1 + 0 1 + 12 1 12 1 ∞ P i=1 ∗ 1 100i 1 100−1 12 1 ∞ P i=1 1 100i mit teilerfremde a und b mit teilerfremde a und b Vorzeichenregeln −a a a b = − b = −b ( ba )−1 = a b 47 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net x = +0 + 48 4 33 4 zusammengefasst und gekürzt x = + 33 in allgemein gilt 0.a1 . . . an = 0.a1 . . . an b1 . . . bn = (a1 . . . an )10 10n − 1 (a1 . . . an b1 . . . bn )10 − (a1 . . . an )10 10n+m − 10m man kann jede rationale Zahl auf den sog. Zahlengeraden eintragen. siehe Abbildung 6.3.0.1 auf Seite 48 5. 5. 4. 4. 3. 3. 2. 2. 1. 0 1. 1 3 1 2 0 1 4 3 2 Abbildung 6.3.0.1: Zahlengerade der rationalen Zahlen Zahlenmengen lassen sich auf dem Zahlenstrahl anschaulich darstellen, indem man die Zahlen einzeichnet: Für die ganze Zahlen (Z) ergibt sich so eine unendliche Perlenkette in beide Richtungen, für die natürlichen Zahlen (N) eine Perlenkette von der Zahl 1 weg in positive Richtung. Auch die rationalen Zahlen (Q)lassen sich darstellen, allerdings nicht mehr so übersichtlich, wie im Falle der natürlichen oder ganzen Zahlen: Während nämlich z.B. zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen keine weitere natürliche Zahl liegt, gibt es zwischen zwei rationalen Zahlen immer eine weitere rationale Zahl! Daraus folgt, dass eine rationale Zahl q keine Nachbarn hat. Es lassen sich immer wieder neue rationale Zahlen finden, die noch enger bei q liegen, denn das arithmetische Mittel zweier verschiedener rationalen Zahlen a und b liegt zwischen diesen beiden Zahlen. Jede rationale Zahl entspricht ein Punkt auf den Zahlengeraden. Es stellt sich aber die Frage, ob auch jeder Punkt der Zahlengearden einer bestimmten rationalen Zahl entspricht, d.h. ob bei dieser Zuordnung keine Lücken auf der Zahlengeraden √ bleiben. Auf die Zahlengeraden lässt sich mit Zirkel und Lineal die Zahl r = 2 konstruieren, denn nach dem Satz von Pythagoras gilt r2 = 12 + 12 = 2, siehe Abbildung 6.3.0.2 auf Seite 49 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net −∞ b b 0 1 +∞ b √ 49 2 Abbildung 6.3.0.2: Zahlengerade und irrationale Zahlen √ Wir wollen „Die Zahl r = 2 ist keine√ rationale Zahl“durch Widerspruch beweisen, d.h. „Wenn a und b teilerfremde natürliche Zahlen sind (Aussage A), dann ist 2 , ab (Aussage B)“ Wir machen die Annahme: Es gäbe a, b ∈ N mit i): ggT (a, b) = 1 √ ii): 2 = ab Das ist Aussage (A ∧ B) √ Aus 2 = ba folgt durch quadrieren nun 2 = sein* und somit a = 2c a2 b2 d.h. a2 = 2b2 . Die Zahl a2 ist also gerade. Es muss also auch a gerade a = 2c in a2 = 2b2 einsetzen, ergibt 4c2 = 2b2 d.h. b2 = 2c2 und damit b = 2d Insgesamt gilt 2 | a und 2 | b und damit √ggT (a, b) ≥ 2 und das ist Widerspruch zu ggT (a, b) = 1. Die Annahme √ r = 2 ∈ Q muss also falsch sein, es gilt dann 2 < Q Es liegt hier ein Beweis durch Widerspruch vor! d.h. die Annahme A ∧ B ist falsch, damit ist A ∧ B ist bewiesen, d.h. A ⇒ B ist beweisen für jedes Element aus R gilt, dass man in einer Umgebung arbiträrer Grösse ein Element aus Q (und ein Element aus R \ Q) finden kann √ p keine rationale Zahl“durch Widerspruch beweisen, d.h. „Wenn a und b teileri.a. gilt „für p prim ist die Zahl r = √ fremde natürliche Zahlen sind (Aussage A), dann ist p , ab (Aussage B)“ Wir machen die Annahme: Es gäbe a, b ∈ N mit i): ggT (a, b) = 1 ii): √ p= a b Das ist Aussage (A ∧ B) Aus √ p= a b folgt durch quadrieren nun p = a2 b2 d.h. a2 = pb2 . Es gilt also p | a2 . und damit p | a und somit a = pc a = pc in a2 = pb2 einsetzen, ergibt p2 c2 = pb2 d.h. b2 = pc2 und damit b = pd Insgesamt gilt p | a und p | b und damit ggT (a, b) ≥ p > 1 und das ist Widerspruch zu ggT (a, b) = 1. Die Annahme √ √ r = p ∈ Q muss also falsch sein, es gilt dann p < Q * falls a ungerade, denn gilt a = 2k + 1 und damit a2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 also ungerade Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net noch allgemeiner gilt: für k paarweise verschiedene Primzahlen p1 , . . . , pk ist die Zahl r = Zahl √ 50 p1 ∗ · · · ∗ pk keine rationale und noch allgemeiner gilt: für k paarweise verschiedene Primzahlen p1 , . . . , pk ist die Zahl r = 0 < n1 , . . . , nk < n keine rationale Zahl q n pn11 ∗ · · · ∗ pnk k mit 6.4 Die reellen Zahlen R: Menge der reellen Zahlen I = R \ Q: Menge der irrationalen Zahlen R =Q⊎I = A⊎T √ − 2 √ 3 − 27 2 7 0.231 Q Z 7 0.123 −0.231 0 N0 N 2 1 π −1 −0.123 I e T Abbildung 6.4.0.1: Zahlenmengen Bis heute weiss man nicht, ob die Euler–Mascheronische Konstante rational oder irrational ist Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 6.5 Übungen 6.5.1 Aufgabe 6.1 Ergänzen Sie mit ∈, ⊂, ⊃ oder < a) 0. . . . . . N b) 1, 12 23. . . . . . Q c) N. . . . . . R d) Q. . . . . . Z e) ∅. . . . . . Q f) Q. . . . . . R 6.5.2 Lösung der Aufgabe 6.1 a) 0 < N b) 1.12 23 ∈ Q c) N ⊂ R d) Q ⊃ Z e) ∅ ⊂ Q f) Q ⊂ R 6.5.3 Aufgabe 6.2 Berechnen Sie a) b) ∞ P (+ 23 ) ∗ (+ 21 )i i=1 ∞ P 1 i ) (+ 12 ) ∗ (+ 10 i=4 51 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 6.5.4 Lösung der Aufgabe 6.2 a) ∞ P (+ 23 ) ∗ (+ 21 )i i=1 = + 32 ∗ = + 32 ∗ = + 32 ∗ ∞ P (+ 21 )i i=1 (+ 21 )1 1− 1 2 1 2 + 12 + = + 32 ∗ (+1) = + 23 b) ∞ P 1 i (+ 21 ) ∗ (+ 10 ) i=4 = + 21 ∗ = + 12 ∗ = + 12 ∗ ∞ P 1 i ) (+ 10 i=4 1 4 (+ 10 ) 1− 1 10 1 10000 9 + 10 + 1 = + 12 ∗ (+ 9000 ) 1 = + 18000 6.5.5 Aufgabe 6.3 Wandeln Sie die periodische Dezimalbrüche in einen gekürzten Bruch um 18.33123 52 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 6.5.6 Lösung der Aufgabe 6.3 1. Methode setze x = 18.33123 Damit ist 100x = 1833.123 und 100000x = 1833123.123 somit gilt 100000x − 100x = 1831290 d.h. x = 1831290 99900 gekürzt x = + 61043 3330 2. Methode setze x = 18.33123 Damit ist x = 18.33 + = = 1833 100 + 1833 100 + 123 100 123 100 x = + 1833 100 + ∞ P i=1 ∗ 1 1000i 123 100 ∞ P i=1 1 1000i 1 1000−1 41 33300 zusammengefasst und gekürzt x = + 61043 3330 53 Kapitel 7 Das Rechnen mit Zahlen 7.1 Allgemeine Rechenregeln +(+x) = x +(−x) = −x −(+x) = −x −(−x) = x (+x) · (+y) = x · y (−x) · (−y) = x · y (−x) · (+y) = −x · y (+x) · (−y) = −x · y (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by Bruch = Zähler Nenner , 0 a b = c d ⇔ ad = bc a c + b c = a+b c a c − b c = a−b c 54 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net a c ∗ b d = a∗b c∗d a b : c d = a b · −a b = − ba = −a −b = a b ka kb = a b d c = 55 ad bc a −b √x y ay = a x √ y ay = a 2 a x ∗ b x = (ab) x a x ∗ ay = a x+y ax = a x−y ay a0 = 1 1 ay = a−y Regel: Bei Multiplikation sollte man die Vorzeichen miteinander multiplizieren und die (nackte) Zahlen (bzw. Terme) miteinander multiplizieren. Z.B. (−2) ∗ (−a) = (−) ∗ (−1) ∗ (2 ∗ a) = 2a Vorsicht: Ein häufiger Fehler vieler Mathematik–Anfänger ist 2 · 3 · 4 , (2 · 3) · (2 · 4). Die Zwei darf nur einmal multipliziert werden. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 56 7.2 Ausmultiplizieren mit Hilfe vom Pfeilsystem ( a + b ) * ( c + d ) = ac+ad+bc+bd Abbildung 7.2.0.1: Ausmultiplizieren mit Hilfe vom Pfeilsystem 7.3 Kürzen von Brüchen 10 15 5 In der Mathematik schreibt eigentlich weder 30 42 noch + 14 noch 21 sondern 7 ; d.h. man sollte Brüche kürzen und das so weit wie möglich. In vielen Fällen kann man leicht ein gemeinsamer Faktor für den Zähler und den Nenner des Bruchs finden (z.B. mit Hilfe von Teilbarkeitskriterien*); Aber in in anderen Fällen wird das Finden von gemeinsamer Faktor nicht einfach. Eine Abhilfe schafft der sog. Euklid’scher Algorithmus: Division mit Rest: mod(a, b) = r, mit a = qb + r, wobei 0 ≤ r < b und a, b, r ∈ N Beispiel 7.3.0.1 Kürzen von 24681 Mit Hilfe des grössten gemeinsamen Teilers ggT 748224 1. Schritt: ggT(748224;24681) berechnen 748224 = 30 · 24681 + 7794 24681 = 3 · 7794 + 1299 7794 = 6 · 1299 + 0 ggT (748224; 24681) = 1299 2. Schritt: kürzen 24681 748224 = = 24681 : 1299 748224 : 1299 19 576 7.4 gemischte Zahlen vs. Brüche man spricht vom echten Bruch, wenn der Zaehler kleiner als der Nenner des Bruchs ist. * Eine Zahl ist z.B. durch 3 teilbar, wenn die Summe aller ihre Ziffer durch 3 teilbar ist Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net a bc = ac+b c , ac−b c , z.B. 2 53 = −3 23 = 57 a≥0 a<0 2·5+3 5 −3·3−2 3 = 13 5 = − 11 3 Es empfiehlt sich, eine gemischte Zahl in einem Bruch umzuwandeln. aber man kann einen Bruch in einer gemischte Zahl umwandeln: Falls a > b > 0, dann gilt a = qb + r mit 0 ≤ r < b und damit a b = q br 7.5 Brüche vergleichen Man kann zwei Brüche auf den gleichen Nenner bringen, indem man die Brüche mit passenden Zahlen erweitert. Das ist nützlich, wenn man z.B. wissen möchte, welcher Bruch grösser ist als ein anderer. Brüche gleichnamig machen bedeutet, Brüche erweitern, sodass die erweiterten Brüche den gleichen Nenner haben. Brüche heissen gleichnamig, wenn sie den gleichen Nenner haben. Dieser gleiche Nenner heisst gemeinsamer Nenner. Gleichnamige Brüche kann man gut vergleichen, denn a < b ⇒ ac < bc Wir ordnen die Brüche Zunächst machen wir 11 5 7 3 16 7 = = = Aus 11·3·7 5·3·7 7·5·7 3·5·7 = 16·3·5 7·3·5 231 105 < = 11 7 16 5 , 3, 7 11 7 16 5 , 3, 7 in absteigender Reihenfolge gleichnamig 231 105 245 105 = 240 105 240 105 < 245 105 gilt 11 5 < 16 7 < 7 3 7.6 Das Rechnen mit Klammern Beim Rechnen mit Klammern kommen zwei Aufgabenstellungen vor: Vorhandene Klammern sollen aufgelöst werden bzw. umfangreichere Ausdrücke sollen in Klammern eingeschlossen werden Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 58 7.6.1 Klammern auflösen Für die Addition und Subtraktion von Klammerausdrücken gilt die Regel: Steht vor einem Klammerausdruck ein Pluszeichen, so darf das zugehörige Klammerpaar einfach weggelassen werden. Steht jedoch ein Minuszeichen vor dem Klammerausdruck, dann müssen beim Weglassen der Klammern alle innerhalb der Klammer auftretenden Vorzeichen umgekehrt werden, die nicht wiederum innerhalb ein anderen Klammer stehen Bei der Multiplikation von Klammerausdrücken ist jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer zu multiplizieren. Beispiel 7.6.1.1 a + (b + c − d) = a + b + c − d Beispiel 7.6.1.2 a − (−b + c − d) = a + b − c + d Beispiel 7.6.1.3 x − (y + 3z − (−2x + (3x − 4y) + y)) + 4y = x − (y + 3z − (−2x + 3x − 4y + y)) + 4y Auflösen der Klammern in (3x − 4y) = x − (y + 3z − (x − 3y)) + 4y Zusammenfassen = x − (y + 3z − x + 3y) + 4y Auflösen der Klammern in (x − 3y) = x − (4y + 3z − x) + 4y Zusammenfassen = x − 4y − 3z + x + 4y Auflösen der Klammern = 2x − 3z Zusammenfassen Beispiel 7.6.1.4 x − (−y + 3z − (−2x + (3x − 4y) + y)) + 4y = x + y − 3z + (−2x + (3x − 4y) + y) + 4y Auflösen der äussern Klammern in (−y + 3z − (−2x + (3x − 4y) + y)), Beachte die Vorzeichen in (−2x + (3x − 4y) + y) bleiben unverändert = x + 5y − 3z + (−2x + (3x − 4y) + y) Zusammenfassen = x + 5y − 3z − 2x + (3x − 4y) + y Auflösen der äussern Klammern in (−2x + (3x − 4y) + y) = −x + 6y − 3z + (3x − 4y) Zusammenfassen = −x + 6y − 3z + 3x − 4y Auflösen der Klammern = 2x + 2y − 3z Zusammenfassen 7.6.2 Ausklammern eines gemeinsamen Faktors xay + tza = a(xy + tz) 7.6.3 Mehrmals ausklammern xa + xb − yb − ya = x(a + b) − y(a + b) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 59 = (x − y)(a + b) 7.6.4 Die Binomischen Formeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a2 − b2 = (a − b)(a + b) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) 7.7 Wurzelzeichen √ gilt nur wenn ≥ 0 √ (7.7.0.1) heisst die Wurzel (Quadratwurzel) von Die Zahl heisst der Radikant q √ kann rational sein wie 49 = 2 3 bzw. irrational sein wie √ 3 √ √ √ √ ·∆ ····· N = · ∆ ····· N (7.7.0.2) √ √ √ +∆, + ∆ (7.7.0.3) Vorsicht √ 2 = || = 0 − s , >0 , , = 0 ; || = (absoluter) Betrag von <0 √ = √ für∆ > 0 ∆ ∆ (7.7.0.4) (7.7.0.5) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 60 √ ( )2 = für ≥ 0 (7.7.0.6) √ √ √ √ c1 + c2 + · · · + ck = (c1 + c2 + · · · + ck ) (7.7.0.7) √ √ √ √ ( + ∆) ( + ∆) √ = √ √ √ √ = √ −∆ − ∆ ( − ∆)( + ∆) (7.7.0.8) √ √ √ √ ( − ∆) ( − ∆) √ = √ √ √ √ = √ −∆ + ∆ ( − ∆)( − ∆) (7.7.0.9) Erweiterungs-Tricks √ x=± a , x2 = a ⇒ x = 0 , unmöglich , Mit Hilfe von Formeln der Wurzelrechnung vereinfachen wir s = = = √ √ 11 − 7 )2 1−( 6 s √ √ 11 − 2 11 7 + 7 1− 36 s √ √ 36 − 11 + 2 11 7 − 7 36 s √ √ 11 + 2 11 7 + 7 36 s a>0 a=0 a<0 √ √ 11 − 7 1−( )2 6 (7.7.0.10) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 61 s √ √ ( 11 + 7)2 = 36 = √ √ 11 + 7 6 Auch s √ √ 2 + 2.5 1−( )2 lässt sich der Wurzelrechnung vereinfachen 3 s √ √ 2 + 2.5 1−( )2 3 = q 1− = q √ √ 9−2−2 2 2.5−2.5 9 = q √ √ 2−2 2 2.5+2.5 9 = q √ √ ( 2− 2.5)2 9 = √ √ | 2− 2.5| 3 = √ √ 2.5 − 2 √ √ 2+2 2 2.5+2.5 9 3 √ √ 10 − 8 = 6 √ √ 10 − 2 2 = 6 Die Gleichung x2n = b hat √ 2n zwei Lösungen : x1,2 = ± b, falls b > 0 eine einzige Lösung : x1 = 0, falls b = 0 (7.7.0.11) (7.7.0.12) keine Lösung, falls b < 0 (7.7.0.13) Die Gleichung x2n+1 = b hat √ 2n+1 b, falls b > 0 eine einzige Lösung :x1 = eine einzige Lösung :x1 = 0, falls b = 0 √ 2n+1 eine einzige Lösung :x1 = − −b, falls b < 0 (7.7.0.14) (7.7.0.15) (7.7.0.16) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 62 d.h. Die Gleichung x2n+1 = b hat p |b| 2n+1 |b|, falls b , 0 b eine einzige Lösung :x1 = 0, falls b = 0 eine einzige Lösung :x1 = 7.8 Der Betrag einer reellen Zahl x, |x| = 0, −x, fürx > 0 fürx = 0 fürx < 0 Z.B. | − 8| = 8; |2| = 2; |0| = 0 | − a| = |a| |a · b| = |a| · |b| a |a| = b |b| −|a| ≤ a ≤ |a| |a + b| ≤ |a| + |b| Für a > 0 gilt |x| = a ⇒ x = a oder x = −a Für a > 0 gilt |x| < a ⇒ −a < x < a Für a > 0 gilt |x| > a ⇒ x > a oder x < −a 7.9 Die Anordnung der reellen Zahlen Aus a < b und b < c folgt a < c Aus a < b folgt a + c < b + c für alle c ∈ R Aus 0 < a < b folgt 1 b < 1 a Aus a < b folgt ac < bc für alle c > 0 Aus a < b folgt ac > bc für alle c < 0 Aus a b < x y und b, y > 0 folgt ay < bx (7.7.0.17) (7.7.0.18) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 63 Aus a < b und x < y folgt a + x < b + y Aus 0 < a < b und 0 < x < y folgt ax < by Für alle x ∈ R gilt x ≤ x Die Aussage x < x ist falsch für x ∈ R Das Archimedische Axiom: Seien x, y ∈ R, x > 0, y > 0. Dann existiert eine natürliche Zahl n, so dass nx > y Für zwei beliebige reelle Zahlen a, b gilt genau eine der folgenden Alternativen: • a < b (a kleiner als b) • a = b (a gleich b) • a > b (a grösser als b) Beachte die Aussagen a < a, a > a und a , a sind falsch 7.10 Intervalle Die Menge der reellen Zahlen kann man auf einer Zahlengerade veranschaulichen. Jeder Punkt auf dieser Zahlengerade stellt eine reelle Zahl dar. −∞ bc bc -3 √ bc 3 -1 bc 0 bc bc 1 √ 2 bc bc e π +∞ Abbildung 7.10.0.1: Zahlenstrahl Die Menge aller reellen Zahlen, die zwischen zwei Grenzen a und b (mit a, b ∈ R ∪ {−∞; +∞}) liegt, wird als Intervall bezeichnet. Je nachdem, ob die Intervallgrenzen a und b zum Intervall gehören oder nicht, unterscheidet man verschiedene Intervallarten: abgeschlossen [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} offen ]a, b[= {x : a < x < b} links offen, rechts abgeschlossen ]a, b] = {x : a < x ≤ b} Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 64 links abgeschlossen, rechts offen [a, b[= {x : a ≤ x < b} [a, +∞[= {x : a ≤ x} ]a, +∞[= {x : a < x} ] − ∞, a[= {x : x < a} ] − ∞, a] = {x : x ≤ a} ] − ∞, +∞[= R −∞ bc bc bc -1 0 1 +∞ Abbildung 7.10.0.2: Menge −∞ -3 -1 2 3 5 6 −∞ Abbildung 7.10.0.3: Intervalle 7.11 Potenzierung vor Punkt– vor Strichrechnung in den arithmetischen Ausdrücke haben die Klammer die höchste Priorität. Ansonst gilt: Potenzierung vor Punkt– vor Strichrechnung, wobei die Auswertung von Links nach Rechts erfolgt. 2.0 − 3.0 − 4.0 ∗ 5.0 + 7.0 = 2.0 − 3.0 − (4.0 ∗ 5.0) + 7.0 = −14.000 2.0 − 3.0 − 4.0 : 5.0 + 7.0 = 2.0 − 3.0 − (4.0 : 5.0) + 7.0 = 5.200 2ˆ3 ∗ 4 = (2ˆ3) ∗ 4 = 32 2 ∗ 3ˆ4 = 2 ∗ (3ˆ4) = 162 + und - sind linksassoziativ: 2.0 − 3.0 − 4.0 = (2.0 − 3.0) − 4.0 = −5.000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 2.0 − 3.0 − 4.0 + 7 = ((2.0 − 3.0) − 4.0) + 7 = 2.000 Potenzierung ist rechtsassoziativ: 5ˆ4ˆ3ˆ2 = 5ˆ(4ˆ(3ˆ2)) = 59604644775390620 65 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 7.12 Übungen 7.12.1 Aufgabe 7.1 Berechnen Sie a) 3 4 + 4 5 − b) a a−c − b b−c c) ( 43 · 45 ) : 1 − 5 6 5 6 1 d) a b 1 1 + a b e) x x2 − 1 4 1 + 1−x x+1 + 7.12.2 Lösung der Aufgabe 7.1 a) 3 4 + 4 5 − 5 6 = 43 60 b) a a−c − b b−c = c(b−a) (a−c)(b−c) = 18 25 c) ( 43 · 45 ) : d) e) 1 a 1 a − + 1 b 1 b x x2 −1 = + 5 6 b−a a+b 1 1−x + 4 x+1 = 3 − 4x x2 − 1 7.12.3 Aufgabe 7.2 Machen Sie die (Wurzel–) Nenner rational und fassen Sie zusammen √ √ 15 − 33 √ √ 15 + 33 66 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 7.12.4 Lösung der Aufgabe 7.2 √ √ 15 − 33 √ √ 15 + 33 √ √ √ √ ( 15 − 33)( 15 − 33) = √ √ √ √ ( 15 + 33)( 15 − 33) √ 15 + 33 − 2 15 ∗ 33 = 15 − 33 = 48 − √ 32 ∗ 55 −18 √ 48 − 3 55 = −18 = 16 − √ 55 −6 67 Kapitel 8 quadratische Gleichungen mit einer Variable Im Jahr 830 schloss Al Chwarizmi die Arbeit an dem Buch Kitaab al–muchtasar fi hisab al–dschabr wa–l–muqabala (Rechnen durch Ergänzung und Ausgleich) ab. Es ist eine Zusammenstellung von Regeln und Beispielen. Sein - für die damalige Zeit ungewöhnliches - systematisch–logisches Vorgehen gab den Lösungsansätzen linearer und quadratischer Gleichungen eine völlig neue Richtung, nämlich der geometrischen Bearbeitung dieser Gleichungen, was zu einer neuen Form von Verständnis für diese Aufgabenklasse führt. 8.1 allgemeine Form: abc–Formel Rezept 8.1.0.1 Für die Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a , 1 berechnet man die Diskriminante D = b2 − 4ac Für a , 0 hat die Gleichung ax2 + bx + c = 0: √ √ √ −b− D −b+ D −b± D , falls D > 0: L = { , } • Zwei reelle Lösungen x1/2 = 2a 2a 2a • genau eine reelle Lösung x1 = x2 = −b 2a , falls D = 0: L = { −b 2a } • keine reelle Lösung, falls D < 0: L = {} Beispiel 8.1.0.2 7 − 4 · x − 3x2 = 0 Einsortieren! ⇒ −3 · x2 − 4 · x + 7 = 0 Es handelt sich um eine quadratische Gleichung in allgemeinen Form mit a = −3, b = −4 und c = 7 Diskriminante D = b2 − 4 · a · c = 100 Da D > 0, hat die Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar x1 = x2 = −b− √ b2 − 4ac 2a √ − b + b2 − 4ac 2a =1 = − 73 68 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Die Lösungsmenge ist L = {1; − 73 } 8.2 Quadratische Ergänzung Gegebene Sei y = at2 + bt + c mit a , 0 ⇒ y = a(t2 + ba t) + c, Ausklammern des Koeffizienten a b 2 b 2 b 2 ⇒ y = a(t2 + ab t + ( 2a ) − ( 2a ) ) + c, Addieren und Subtrahieren von ( 2a ) b 2 b 2 )) − ( 2a ) ) + c, Binomische Formel ⇒ y = a((t + ( 2a b 2 b 2 ⇒ y = (t + ( 2a )) − a( 2a ) + c, Ausmultiplizieren b 2 )) − ⇒ y = (t + ( 2a b2 4a + c, Zusammenfassen Beispiel 8.2.0.1 −5.0000x2 + 2.0000x + 0.2500 = −5.0000[x2 − 0.4000x − 0.0500] = −5.0000[x2 − 0.4000x + (−0.2000)2 − (−0.2000)2 − 0.0500] = −5.0000[(x2 − 0.4000x + (−0.2000)2) − (−0.2000)2 − 0.0500] = −5.0000[(x2 − 0.4000x + (−0.2000)2) − 0.0900] = −5.0000[(x − 0.2000)2 − 0.0900] = −5.0000(x − 0.2000)2 + 0.4500 8.3 Quadratische Gleichung mit Parameter . Beispiel 8.3.0.1 Bei der Gleichung 1.0000x2 + 1.0000yx − 1.2500y − 3.1250 = 0, wobei y ein Parameter ist. 69 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit α = 1.0000, β = 1.0000y und γ = −1.2500y − 3.1250 Diskriminante D = β2 − 4 · α · γ = 1.0000y2 + 5.0000y + 12.5000 man bekommt also eine weitere quadratische Gleichung Bei der Gleichung 1.0000y2 + 5.0000y + 12.5000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in y mit a = 1.0000, b = 5.0000 und c = 12.5000 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = −25.0000 Da D2 < 0, hat die quadratische Gleichung keine reelle Lösung Die gegebene Gleichung kann niemals eine einzige Lösung haben. Bei der Gleichung 1.0000x2 − 1.5000yx + 1.7500y − 2.7222 = 0, wobei y ein Parameter ist. handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit α = 1.0000, β = −1.5000y und γ = 1.7500y − 2.7222 Diskriminante D = β2 − 4 · α · γ = 2.2500y2 − 7.0000y + 10.8889 man bekommt also eine weitere quadratische Gleichung Bei der Gleichung 2.2500y2 − 7.0000y + 10.8889 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in y mit a = 2.2500, b = −7.0000 und c = 10.8889 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = −49.0000 Da D2 < 0, hat die quadratische Gleichung keine reelle Lösung Die gegebene Gleichung kann niemals eine einzige Lösung haben. Bei der Gleichung 1.0000x2 − 2.5000yx − 1.2500y − 0.5000 = 0, wobei y ein Parameter ist. handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit α = 1.0000, β = −2.5000y und γ = −1.2500y − 0.5000 Diskriminante D = β2 − 4 · α · γ = 6.2500y2 + 5.0000y + 2.0000 man bekommt also eine weitere quadratische Gleichung 70 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Bei der Gleichung 6.2500y2 + 5.0000y + 2.0000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in y mit a = 6.2500, b = 5.0000 und c = 2.0000 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = −25.0000 Da D2 < 0, hat die quadratische Gleichung keine reelle Lösung Die gegebene Gleichung kann niemals eine einzige Lösung haben. 71 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 8.4 Übungen 8.4.1 Aufgabe 8.1 Lösen Sie die Gleichung 1.000x2 − 5.000x + 6.000 = 0 8.4.2 Lösung der Aufgabe 8.1 bei der Gleichung +1 ∗ x2 − 5 ∗ x + 6 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit a = 1, b = −5 und c = 6 Diskriminante D = b2 − 4 · a · c = 1 Da D > 0, hat die Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar x1 = x2 = −b− √ b2 − 4ac 2a √ − b + b2 − 4ac 2a =2 =3 8.4.3 Aufgabe 8.2 Finden Sie reellen Zahlen x und y, so dass 8.4.4 Lösung der Aufgabe 8.2 x+y 2 = −2.5000 ⇒ x + y = −5.0000 ⇒ y = −5.0000 − x 2 xy = 0.3333 ⇒ xy = 6.0000 ⇒ x(−5.0000 − x) = 6.0000 x+y 2 = −2.5000 und 2 xy = 0.3333 72 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ x2 + 5.0000x + 6.0000 = 0 Bei der Gleichung 1.0000x2 + 5.0000x + 6.0000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 1.0000, b = 5.0000 und c = 6.0000 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 1.0000 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar x1 = −b− x2 = −b+ √ b2 − 4ac 2a √ = −3.0000 b2 − 4ac = −2.0000 2a 73 Kapitel 10 Polynom–division 10.1 Einführung Beispiel 10.1.0.1 . +2x3 −9x2 +12x +2x3 −5x2 −4x2 +2x +10x −4x2 +10x +0x - - −4 : (+2 ∗ x2 − 5 ∗ x + 2) = +1 ∗ x − 2 −4 −4 +0 Tabelle 10.1.0.1: Polynomdivision . +2 ∗ x3 − 9 ∗ x2 + 12 ∗ x − 4 = (+1 ∗ x − 2) · (+2 ∗ x2 − 5 ∗ x + 2) + (+0 ∗ x + 0) Dividend: +2 ∗ x3 − 9 ∗ x2 + 12 ∗ x − 4 Divisor: +2 ∗ x2 − 5 ∗ x + 2 Quotient: +1 ∗ x − 2 Rest: +0 ∗ x + 0 10.2 Platzsparende Schema für Polynom–division Es gibt auch eine Platzsparende Schema für Polynom–division Beispiel 10.2.0.1 . 74 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net +2x3 −9x2 +2x3 −5x2 - - +12x −4 +2x −4x2 +10x −4 −4x2 +10x +0x −4 +0 +2 ∗ x2 − 5 ∗ x + 2 +1 ∗ x − 2 Tabelle 10.2.0.1: Polynomdivision . +2 ∗ x3 − 9 ∗ x2 + 12 ∗ x − 4 = (+1 ∗ x − 2) · (+2 ∗ x2 − 5 ∗ x + 2) + (+0 ∗ x + 0) Dividend: +2 ∗ x3 − 9 ∗ x2 + 12 ∗ x − 4 Divisor: +2 ∗ x2 − 5 ∗ x + 2 Quotient: +1 ∗ x − 2 Rest: +0 ∗ x + 0 75 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 10.3 Übungen 10.3.1 Aufgabe 10.1 Führen Sie die Folgenden Polynom–divisionen aus: a) (x4 + 3x2 + 1) : (x3 + x + 1) b) (x6 − x5 − x4 − x3 − x2 + x) : (x4 − 2x3 + x2 − 2x + 1) 10.3.2 Lösung der Aufgabe 10.1 a) +4x4 +0x3 +3x2 +0x +1 +4x4 +0x3 +0x3 +4x2 −1x2 +4x −4x +1 +0x3 +0x2 +0x +0 2 −4x +1 : (+1x3 + 0x2 + 1x + 1) = +4x + 0 - - −1x b) +1x6 −1x5 −1x4 −1x3 −1x2 +1x6 −2x5 +1x4 +1x2 +1x5 −2x4 −2x3 +1x3 +1x5 −2x4 +1x3 - - +0x 4 +0x 3 +1x +0 −2x2 +1x +0 −2x2 +1x 2 +0x +0 +0x2 +0x2 −0x +0x +0 +0 +0x +0x4 −0x3 +0x3 : (+1x4 − 2x3 + 1x2 − 2x + 1) = x2 + x 76 Kapitel 11 Horner–Schema 11.1 einstufiges Horner–Schema zur Berechnung von Funktionswerten Beispiel 11.1.0.1 Berechnen Sie f (3) für f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 triviale Methode: Einsetzen in das Polynom; aber es gibt andere Methode f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 = x · (x · [2x − 9] + 12) + 4 f (3) = 3 · (3 · [2 · 3 − 9] + 12) − 4 f (3) = 3 · (3 · [2| · {z 3 −} 9] + 12) − 4 =−3 f (3) = 3 · (3 · [−3] + 12) − 4 f (3) = 3 · (3 · [−3] + 12) − 4 | {z } =3 f (3) = 3 · (3) − 4 f (3) = 5 die Methode wie folgend automatisieren: 1. Zuerst die erste Zeile mit den Koeffizienten des gegebenen Polynoms einfüllen; und zwar von links nach rechts 2. der erste Koeffizient des Polynoms wird in die ersten Zelle der dritten Zeile direkt übernommen 3. der zuletzt erhaltene Eintrag der dritten Zeile wird mit x0 multipliziert und in die zweite Zeile (jedoch um eine Zelle nach rechts versetzt) eingetragen. 4. In der nächsten noch leeren Zelle der dritten Zeile wird die Summe aus den darüber liegenden Zellen der ersten und zweiten Zeilen eingetragen siehe Tabelle 11.1.0.1 auf Seite 78 77 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net +2 x0 = (+3) -9 +12 ⊕ ⊕ ·(+3) ·(+3) ⇓ ⇓ +2 y = −3 +2 −3 = +3 -4 +3 ·(+3) = ⇓ +5 Tabelle 11.1.0.1: Hornerschema für f (x) = +2x3 − 9x2 + 12x − 4 und x0 = +3 Nutzen vom Horner –Schema • Funktionswert an der Stelle x0 : f (3) = 5 • Polynomdivision mit Rest von f (x) durch (x − x0 ): f (x) = (x − 3)(2x2 − 3x + 3) + 5 Beispiel 11.1.0.2 siehe Tabelle 11.1.0.2 auf Seite 78 +2 x0 = (− 32 ) -9 +12 ⊕ ⊕ ·(− 23 ) ·(− 23 ) ·(− 23 ) ⇓ ⇓ ⇓ +2 y = −12 +2 −12 = +30 -4 +30 = −49 Tabelle 11.1.0.2: Hornerschema für f (x) = +2x3 − 9x2 + 12x − 4 und x0 = − 32 f (− 32 ) = −49 f (x) = (x + 23 )(2x2 − 12x + 30) − 49 78 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 11.2 Mehrstufiges Horner–Schema +2 x0 = (+2) y -9 +12 ⊕ ⊕ +2 ·(+2) ·(+2) ⇓ ⇓ = +2 x0 = (+2) (+2) +2 +2 −1 ·(+2) ·(+2) ⇓ ⇓ = −1 +2 x0 = y = −5 ⊕ y −5 -4 +2 ·(+2) = ⇓ +0 = +0 +2 ·(+2) = ⇓ +2 +3 Tabelle 11.2.0.1: Hornerschema für f (x) = +2x3 − 9x2 + 12x − 4 und x0 = +2 aus der Tabelle 11.2.0.1 auf Seite 79 gilt f (x) = (x − 2)2 (2x − 1) Damit ist 2 eine zweifache Nullstelle von f (x) 11.3 weitere Nullstellen mittels Horner–Schema Aus der Tabelle 11.3.0.1 auf Seite 80 79 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net +2 x0 = +12 ⊕ ⊕ ·(+ 21 ) ·(+ 21 ) ·(+ 21 ) ⇓ ⇓ ⇓ +2 y (+ 12 ) -9 = +2 −8 = −8 +8 +2 −7 ⊕ x0 = y (+ 12 ) ·(+ 21 ) ·(+ 21 ) ⇓ ⇓ = +8 = +0 = −7 +2 -4 + 9 2 Tabelle 11.3.0.1: Hornerschema für f (x) = +2x3 − 9x2 + 12x − 4 und x0 = + 12 erkennt man f (+ 21 ) = 0 und f (x) = (x − 12 )(2x2 − 8x + 8) weitere eventuelle Nullstellen sind in 2x2 − 8x + 8 = 0 Es handelt sich um eine quadratische Gleichung in allgemeinen Form mit a = 2, b = −8 und c = 8 D = b2 − 4 · a · c = 0 Da D = 0, hat die Gleichung eine reelle Lösungen, und zwar x2 = x3 = −b 2a =2 die Nullstellen sind 2, 12 , 2 Die Nullstelle 2 kam also zweifach vor. 11.4 Entwicklung um eine Stelle . 80 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 11.5 Übungen 11.5.1 Aufgabe 11.1 Entwickeln Sie Horner–Schema für f (x) und x0 und finden Sie alle alle Nullstellen von f (x): f (x) = x4 − 3x2 − 10x − 24 und x0 ∈ {2, −2, 3, −3} 11.5.2 Lösung der Aufgabe 11.1 +1 x0 = (−3) y +1 +0 -3 -10 ⊕ ⊕ ⊕ +1 −3 ·(−3) ·(−3) ⇓ ⇓ = −3 = +6 +6 ·(−3) = ⇓ −28 -24 −28 ·(−3) = ⇓ +60 +x4 − 3x2 − 10x − 24 = (x + 3) · (+x3 − 3x2 + 6x − 28) + 60 +1 x0 = (−2) y +1 x0 = (−2) +0 -3 -10 ⊕ ⊕ ⊕ +1 ·(−2) ·(−2) ⇓ ⇓ = −2 ⊕ y +1 −2 +1 = +1 ⊕ −4 ·(−2) ·(−2) ⇓ ⇓ = −4 = +9 +x4 − 3x2 − 10x − 24 = (x + 2)1 · (+x3 − 2x2 + x − 12) + 0 +1 ·(−2) = ⇓ −12 +9 ·(−2) = ⇓ −30 -24 −12 ·(−2) = ⇓ +0 81 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net +1 x0 = (+2) y +1 +0 -3 -10 ⊕ ⊕ ⊕ ·(+2) ·(+2) ·(+2) ⇓ ⇓ +1 = +2 +2 = +1 +1 = ⇓ −8 -24 −8 ·(+2) = ⇓ −40 +x4 − 3x2 − 10x − 24 = (x − 2) · (+x3 + 2x2 + x − 8) − 40 +1 x0 = (+3) y +1 x0 = (+3) y +1 +0 -3 -10 ⊕ ⊕ ⊕ -24 +1 +3 +6 +8 ·(+3) ·(+3) ·(+3) ·(+3) ⇓ ⇓ = +3 = +6 = ⇓ +8 ⊕ ⊕ +6 +24 ·(+3) ·(+3) ·(+3) ⇓ ⇓ +1 = +6 = +24 +x4 − 3x2 − 10x − 24 = (x − 3)1 · (+x3 + 3x2 + 6x + 8) + 0 = ⇓ +80 = ⇓ +0 82 Kapitel 15 Bruchgleichungen 15.1 Typ 1: a1 b1 x + c1 =d Gegeben −2.000 3.000x+5.000 = 4.000 Die Bruchgleichung ist definiert auf die Menge D = R \ {−1.667}. −2.000 3.000x+5.000 = 4.000 ⇒ −2.000 = 4.000(3.000x + 5.000) ⇒ 12.000x = −22.000 ⇒ x = −1.833 L = {−1.833}, da die gefundene Lösung innerhalb von D liegt. 15.2 Typ 2: a1 b1 x + c1 = dx + e Gegeben 2.000 −1.000x+3.000 = −0.500x − 2.000 Die Bruchgleichung ist definiert auf die Menge D = R \ {3.000}. 2.000 −1.000x+3.000 = −0.500x − 2.000 83 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ 2.000 = (−0.500x − 2.000)(−1.000x + 3.000) ⇒ 0.500x2 + 0.500x − 8.000 = 0 Bei der Gleichung 0.500x2 + 0.500x − 8.000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit a = 0.5000000, b = 0.5000000 und c = −8 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 16.2500000 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar x1 = −b− x2 = −b+ √ b2 − 4ac = −4.5311289 2a √ b2 − 4ac = 3.5311289 2a L = {−4.531, 3.531} 15.3 Typ 3: a1 b1 x + c1 + a2 b2 x + c2 =d Gegeben −2.000 4.000x+0.500 + 2.000 −3.000x+4.000 = −1.000 Die Bruchgleichung ist definiert auf die Menge D = R \ {−0.125, 1.333}. −2.000 4.000x+0.500 + 2.000 −3.000x+4.000 = −1.000 ⇒ −2.000(−3.000x + 4.000 + 2.000(4.000x + 0.500)) = −1.000(4.000x + 0.500)(−3.000x + 4.000) ⇒ 12.000x2 − 28.500x + 5.000 = 0 Bei der Gleichung 12.000x2 − 28.500x + 5.000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit a = 12, b = −28.5000000 und c = 5 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 572.2500000 84 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 85 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar x1 = −b− x2 = −b+ √ b2 − 4ac = 0.1907605 2a √ b2 − 4ac 2a = 2.1842395 L = {0.191, 2.184} 15.4 Typ 4: a1 x + b1 c1 x + d1 + a2 x + b2 c2 x + d2 =d+ a3 x + b3 c3 x2 + d3 x + e3 Gegeben 1.000x − 2.000 −3.000x + 4.000 ⇒ + − 5.000x − 6.000 −7.000x + 8.000 = 2.500 + − 10.0000 + 9.0000 ∗ x +352.0000 − 572.0000 ∗ x + 231.0000 ∗ x2 − 5.000x − 6.000 − 10.0000 + 9.0000 ∗ x 1.000x − 2.000 + = 2.500 + −3.000x + 4.000 −7.000x + 8.000 11.000(+4.0000 − 3.0000 ∗ x)(+8.0000 − 7.0000 ∗ x) Die Bruchgleichung ist definiert auf die Menge D = R \ {1.333, 1.143}. − 5.000x − 6.000 − 10.0000 + 9.0000 ∗ x 1.000x − 2.000 + = 2.500 + −3.000x + 4.000 −7.000x + 8.000 11.000(+4.0000 − 3.0000 ∗ x)(+8.0000 − 7.0000 ∗ x) ⇒ (−176.0000 + 242.0000 ∗ x − 77.0000 ∗ x2 ) + (−264.0000 − 22.0000 ∗ x + 165.0000 ∗ x2 ) = (−10.0000 + 9.0000 ∗ x) + (+880.0000 − 1430.0000 ∗ x + 577.5000 ∗ x2 ), alle Brüche auf gemeinsame Nenner bringen. ⇒ −1310.0000 + 1641.0000 ∗ x − 489.5000 ∗ x2 = 0, zusammenfassen Bei der Gleichung −489.500x2 + 1641.000x − 1310.000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit a = −489.5000000, b = 1641 und c = −1310 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 127901 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar x1 = −b− √ b2 − 4ac = 2.0415041 2a Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net x2 = −b+ √ b2 − 4ac 2a 86 = 1.3108963 Gegeben 1.000x − 2.000 − 5.000x − 6.000 − 10.0000 + 9.0000 ∗ x + = 0.381 + −3.000x + 4.000 −7.000x + 8.000 +352.0000 − 572.0000 ∗ x + 231.0000 ∗ x2 ⇒ − 5.000x − 6.000 − 10.0000 + 9.0000 ∗ x 1.000x − 2.000 + = 0.381 + −3.000x + 4.000 −7.000x + 8.000 11.000(+4.0000 − 3.0000 ∗ x)(+8.0000 − 7.0000 ∗ x) Die Bruchgleichung ist definiert auf die Menge D = R \ {1.333, 1.143}. 1.000x − 2.000 −3.000x + 4.000 + − 5.000x − 6.000 −7.000x + 8.000 = 0.381 + − 10.0000 + 9.0000 ∗ x 11.000(+4.0000 − 3.0000 ∗ x)(+8.0000 − 7.0000 ∗ x) ⇒ (−176.0000 + 242.0000 ∗ x − 77.0000 ∗ x2 ) + (−264.0000 − 22.0000 ∗ x + 165.0000 ∗ x2 ) = (−10.0000 + 9.0000 ∗ x) + (+134.0952 − 217.9048 ∗ x + 88.0000 ∗ x2 ), alle Brüche auf gemeinsame Nenner bringen. ⇒ −564.0952 + 428.9048 ∗ x = 0, zusammenfassen Bei der Gleichung +428.905x − 564.095 = 0 handelt es sich um eine lineare Gleichung mit a = 428.9047619 und b = −564.0952381 Da a , 0, hat die lineare Gleichung eine einzige reelle Lösung x1 = −b a = 1.315 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 15.5 Übungen 15.5.1 Aufgabe 15.1 Lösen Sie die Bruchgleichung 2 −4x+5 =2 15.5.2 Lösung der Aufgabe 15.1 Gegeben 2.000 −4.000x+5.000 = 3.000 Die Bruchgleichung ist definiert auf die Menge D = R \ {1.250}. 2.000 −4.000x+5.000 = 3.000 ⇒ 2.000 = 3.000(−4.000x + 5.000) ⇒ −12.000x = −13.000 ⇒ x = 1.083 L = {1.083}, da die gefundene Lösung innerhalb von D liegt. 87 Kapitel 24 Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz 24.1 Fakultäten n! = n Y i (24.1.0.1) i=1 n! ist die Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe unter Berücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen Z.B. man kann die Objekte a,b,c auf 3! = 6 verschiedene Möglichkeiten anordnen: 1. abc 2. acb 3. bac 4. bca 5. cab 6. cba 0! = 1 aus gutem Grund (n + 1)! = (n + 1) · n! 24.2 Binomialkoeffizienten 24.2.1 Einführung n! = n k!(n−k)! = k 0, ! n, k ∈ N ∪ {0} (gesprochen n über k) n(n−1)...(n−k+1) , k! 0≤k≤n sonst 88 (24.2.1.1) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 89 n gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge), daher wird manchmal nk als „k aus n“gesprochen. siehe Abbildung 24.2.1.1 auf Seite 89 k werden k Objekten entnommen (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge) Aus einer Urne mit n Objekten Abbildung 24.2.1.1: Illustration des Binomialkoeffizienten 24.2.2 Symmetrie Mit Hilfe der Gleichung (24.2.1.1) auf Seite 88 bzw. der Illustration des Binomialkoeffizienten in der Abbildung 24.2.1.1 auf Seite 89 lassen sich die folgende Formeln über Binomialkoeffizienten herleiten: n 0 =1 n n n 1 =1 =n n n−1 n k = =n n n−k 24.2.3 Das Pascalsche Dreieck n k = n−1 k−1 + n−1 k k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 k = 10 k = 11 k = 12 k = 13 k = 24 k = 15 k = 16 k = 17 k = 18 k = 19 k = 20 k = 21 n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1 n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n=9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 n = 11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 n = 12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 n = 13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 n = 24 1 24 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 24 1 n = 15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 n = 16 1 16 120 560 1820 4368 8008 12440 12870 12440 8008 4368 1820 560 120 16 1 n = 17 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 n = 18 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1 n = 19 1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 n = 20 1 20 190 1240 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1240 190 20 1 n = 21 1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1 n = 22 1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 k = 22 1 Tabelle 24.2.3.1: Das Pascalsche Dreieck 1 1 1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net k=0 90 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 24.2.4 Der binomische Lehrsatz (a + b)n = n P n k n−k k a b k=0 (a − b)n = n P (−1)n−k k=0 n k ak bn−k 91 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 k = 10 k = 11 k = 12 k = 13 k = 24 n=1 a b n=2 a2 ab b2 n=3 a3 a2 b ab2 b3 n=4 a4 a3 b a2 b2 ab3 b4 n=5 a5 a4 b a3 b2 a2 b3 ab4 b5 n=6 a6 a5 b a4 b2 a3 b3 a2 b4 ab5 b6 n=7 a7 a6 b a5 b2 a4 b3 a3 b4 a2 b5 ab6 b7 n=8 a8 a7 b a6 b2 a5 b3 a4 b4 a3 b5 a2 b6 ab7 b8 n=9 a9 a8 b a7 b2 a6 b3 a5 b4 a4 b5 a3 b6 a2 b7 ab8 b9 n = 10 a10 a9 b a8 b2 a7 b3 a6 b4 a5 b5 a4 b6 a3 b7 a2 b8 ab9 b10 n = 11 a11 a10 b a9 b2 a8 b3 a7 b4 a6 b5 a5 b6 a4 b7 a3 b8 a2 b9 ab10 b11 n = 12 a12 a11 b a10 b2 a9 b3 a8 b4 a7 b5 a6 b6 a5 b7 a4 b8 a3 b9 a2 b10 ab11 b12 n = 13 a13 a12 b a11 b2 a10 b3 a9 b4 a8 b5 a7 b6 a6 b7 a5 b8 a4 b9 a3 b10 a2 b11 ab12 b13 n = 24 a24 a13 b a12 b2 a11 b3 a10 b4 a9 b5 a8 b6 a7 b7 a6 b8 a5 b9 a4 b10 a3 b11 a2 b12 ab13 b24 n = 15 a15 a24 b a13 b2 a12 b3 a11 b4 a10 b5 a9 b6 a8 b7 a7 b8 a6 b9 a5 b10 a4 b11 a3 b12 a2 b13 ab24 b15 n = 16 a16 a15 b a24 b2 a13 b3 a12 b4 a11 b5 a10 b6 a9 b7 a8 b8 a7 b9 a6 b10 a5 b11 a4 b12 a3 b13 a2 b24 ab15 b16 n = 17 a17 a16 b a15 b2 a24 b3 a13 b4 a12 b5 a11 b6 a10 b7 a9 b8 a8 b9 a7 b10 a6 b11 a5 b12 a4 b13 a3 b24 a2 b15 ab16 b17 n = 18 a18 a17 b a16 b2 a15 b3 a24 b4 a13 b5 a12 b6 a11 b7 a10 b8 a9 b9 a8 b10 a7 b11 a6 b12 a5 b13 a4 b24 a3 b15 a2 b16 ab17 b18 n = 19 a19 a18 b a17 b2 a16 b3 a15 b4 a24 b5 a13 b6 a12 b7 a11 b8 a10 b9 a9 b10 a8 b11 a7 b12 a6 b13 a5 b24 a4 b15 a3 b16 a2 b17 ab18 b19 n = 20 a20 a19 b a18 b2 a17 b3 a16 b4 a15 b5 a24 b6 a13 b7 a12 b8 a11 b9 a10 b10 a9 b11 a8 b12 a7 b13 a6 b24 a5 b15 a4 b16 a3 b17 a2 b18 ab19 b20 n = 21 a21 a20 b a19 b2 a18 b3 a17 b4 a16 b5 a15 b6 a24 b7 a13 b8 a12 b9 a11 b10 a10 b11 a9 b12 a8 b13 a7 b24 a6 b15 a5 b16 a4 b17 a3 b18 a2 b19 ab20 b21 n = 22 a22 a21 b a20 b2 a19 b3 a18 b4 a17 b5 a16 b6 a15 b7 a24 b8 a13 b9 a12 b10 a11 b11 a10 b12 a9 b13 a8 b24 a7 b15 a6 b16 a5 b17 a4 b18 a3 b19 a2 b20 ab21 Tabelle 24.2.4.1: Das Pascalsche Dreieck mit Variablen k = 15 k = 16 k = 17 k = 18 k = 19 k = 20 k = 21 k = 22 b22 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net k=0 92 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 24.2.5 einige Additionssätze über Binomialkoeffizienten n P a+k k k=0 n P a k=0 k n 2 P a k=0 k n P n k=0 n P k = b n−k n k n−k (−1)k k=0 a+b n n n P a a−k n P = = 2n k=0 k=0 n 2n = (−1)k k a+n+1 =0 = 2n aa−k k n−k a n =0 93 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 24.3 Übungen 24.3.1 Aufgabe 24.1 Berechnen Sie mit der allg. binomischen Formel 1 − 24.3.2 Lösung der Aufgabe 24.1 1− 2a 5 2 b =1− 10a b2 + 40a2 b4 − 80a3 b6 + 80a4 b8 − 32a5 b10 2a 5 b2 94 Kapitel 30 Grenzwerte von Funktionen 30.1 Definition Die Funktion f sei in einer Umgebung der festen Stellen x0 definiert, wobei die Stelle x0 nicht unbedingt zum Definitionsbereich D f von f gehören muss. An der Stelle x0 kann also eine Definitionslücke vorhanden. Dann besitzt die Funktion f an der Stelle x0 den Grenzwert b, falls für jede gegen x0 konvergierte Folge (xn ) aus dem Definitionsbereich die Folge ( f (xn )) gegen den gleichen Wert b konvergiert; d.h. Aus lim xn = x0 folgt also lim f (xn ) = b n→+∞ n→+∞ Notation: lim f (x) = b x→x0 Andere Formulierung: lim f (x) = b, genau dann wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x ∈ D f mit x→x0 |x − x0 | < δ immer | f (x) − b| < ε Beispiel 30.1.0.1 lim (4x3 + x) = −5 x→−1 lim (2x2 − 3) = +∞ x→+∞ lim (2x2 − 3) = +∞ x→−∞ lim (4x3 + x) = +∞ x→+∞ lim (4x3 + x) = −∞ x→−∞ lim ( 1 ) x→+∞ 2x =0 lim ( 1 ) x→−∞ 2x =0 lim e x = +∞ x→+∞ lim e x = 0 x→−∞ lim ln(x) = +∞ x→+∞ 95 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 96 30.2 Einseitige Grenzwerte x2 − 1, Sei f (x) := 3x, x≥1 x<1 lim f (x) = lim+ (x2 − 1) = 0, rechtsseitiger Grenzwert x→1+ x→1 lim f (x) = lim+ (3x) = 3, linksseitiger Grenzwert x→1− x→1 Da lim− f (x) , lim+ f (x), existiert lim f (x) nicht x→1 x→1 x→1 lim ln(x) = −∞ x→0+ lim ( 1 ) x→0+ 2x = +∞ lim ( 1 ) x→0− 2x = −∞ Satz 30.2.0.1 (Sandwich Satz, Einschnürungssatz, Dreifolgensatz) Aus f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) und lim f (x) = lim h(x) = b folgt x→a x→a lim g(x) = b. x→a Beweis: . . 30.3 Einige Rezepte und Rechenregeln für Grenzwerte 30.3.1 Rezept 1 Die Taschenrechner–Methode: in vielen Fällen kann man einen Grenzwert auch mit dem Taschenrechner bestimmen: Angenom2 −1 berechnen. Wählen Sie eine sehr nah an 1 (wegen x → 1) liegende Zahl aus und sie für men Sie wollen den Grenzwert lim xx−1 x→1 x in x2 −1 x−1 einsetzen. Für x = 0.9999 erhalten Sie x2 −1 x−1 = 1.9999 ≈ 2. um einen Grenzwert zu berechnen, sollte man immer als erste Wahl das „Einsetzen“anwenden, z.B. lim(x2 + 3) = 12 + 3 = 4 x→1 ist dies nicht möglich, kann man nach andere Möglichkeiten suchen, Auch dann sollte man immer wieder vom „Einsetzen“Gebrauch machen, z.B. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net x2 −1 x→1 x−1 lim = lim x→1 ← Einsetzen ergibt (x+1)(x−1) , x−1 12 −1 1−1 = 0 0 also bringt nichts daher z.B. mit (x − 1) kürzen = lim(x + 1) und nun Einsetzen x→1 =1+1=2 30.3.2 Rezept 2 lim f (x) = a ∈ R und lim g(x) = b ∈ R ⇒ lim( f (x) + g(x)) = a + b lim f (x) = a ∈ R und lim g(x) = b ∈ R ⇒ lim( f (x) · g(x)) = a · b lim f (x) = a ∈ R und lim g(x) = b , 0 ⇒ lim f (x) g(x) = a b 30.3.3 Rezept 3 Aus f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) und lim f (x) = lim h(x) = a folgt lim g(x) = a Z.B. Es gilt −x < x sin( 1x ) < x und daher lim x sin( 1x ) = 0, weil lim x = lim(−x) = 0 x→0 30.3.4 Rezept 4 lim (an xn + · · · + a1 x + a0 ) = lim an xn x→±∞ x→±∞ 30.3.5 Rezept 5 n lim an x p+···+a1 x+a0 x→+∞ b p x +···+b1 x+b0 an xn p x→+∞ b p x = lim a n b p (∞), n > p an = n=p bp , 0, n<p x→0 x→0 97 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net n lim an x p+···+a1 x+a0 x→−∞ b p x +···+b1 x+b0 an xn p x→−∞ b p x = lim a n−p n (∞), n > p b p (−1) an = n=p bp , 0, n<p 30.3.6 Rezept 6 (+∞) · (+∞) = +∞ (+∞) · (−∞) = −∞ (−∞) · (+∞) = −∞ (−∞) · (−∞) = +∞ +∞, (Zahl · (+∞) = −∞, Zahl > 0 Zahl < 0 −∞, Zahl > 0 (Zahl) · (−∞) = +∞, Zahl < 0 Z.B. lim x ln(x) = +∞, da lim x = +∞ und lim ln(x) = +∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ 30.3.7 Rezept 7 lim f (x) = lim f ( 1y ) x→0+ y→+∞ lim f (x) = lim+ f ( 1y ) x→+∞ y→0 Z.B. lim x→+∞ sin( 1y ) sin(x) = lim+ 1 ) = lim+ y sin( 1y ) = 0 y→0 y→0 x y 30.3.8 Rezept 8 (+∞) + (+∞) = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞ (Zahl) + (+∞) = +∞ (Zahl) + (−∞) = −∞ 98 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 99 Z.B. lim (x + ln(x)) = +∞ x→+∞ Aber (−∞) + (+∞) =? ist ein Grenzwert unbestimmter Form (+∞) + (−∞) =? ist ein Grenzwert unbestimmter Form Hier muss man andere Techniken anwenden, z.B. √ √ lim ( x + 3 − x + 2) x→+∞ √ √ √ √ ( x + 3 − x + 2)( x + 2 + x + 3) = lim √ √ x→+∞ ( x + 2 + x + 3) = lim x→+∞ 1 √ ( x+2+ √ x + 3) =0 30.3.9 Rezept 9 Zentralgrenzwert der Trigonometrie lim x→0 Beweis Für 0 < x ≤ π 2 ⇒1≤ x sin(x) ≤ tan(x) sin(x) ⇒1≤ x sin(x) ≤ 1 cos(x) ⇒ lim+ sin(x) x = 1, weil lim cos(x) = cos(0) = 1 x→ gilt 0 < sin(x) ≤ x ≤ tan(x) ⇒ cos(x) ≤ sin(x) x ≤1 x→0 Für − π2 ≤ x < 0 gilt tan(x) ≤ x ≤ sin(x) < 0 ⇒1≤ x sin(x) ≤ tan(x) sin(x) ⇒1≤ x sin(x) ≤ 1 cos(x) ⇒ cos(x) ≤ sin(x) x ≤1 sin(x) =1 x (30.3.9.1) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ lim+ x→ sin(x) x 100 = 1, weil lim cos(x) = cos(0) = 1 x→0 Insgesamt gilt lim x→0 sin(x) x =1 30.3.10 Rezept 10 Für a ∈ R gilt a lim (1 + ) x = ea x (30.3.10.1) x→+∞ 30.3.11 Rezept 11 lim xn = a ∈ R ∪ {+∞; −∞} n→+∞ lim yn = a ∈ R ∪ {+∞; −∞} ⇒ lim f (x) existiert nicht n→+∞ x→a lim f (xn ) , lim f (yn ) x→a x→a Beispiel 30.3.11.1 lim sin(x) existiert nicht, denn für xn = x→+∞ lim sin(xn ) = x→+∞ lim sin( π2 +2nπ) x→+∞ = sin( π2 ) x→+∞ Falls lim f (x) = 0 und lim g(x) = 0 dann lim f (x) g(x) Falls lim f (x) = ∞ und lim g(x) = ∞ dann lim ex x→+∞ x x lim e x→+∞ x (e x )′ ′ x→+∞ (x) = lim ex x→+∞ 1 = lim = lim e x x→+∞ = +∞ hat die From + 2nπ und yn = π + 2nπ gilt lim xn = lim yn = +∞. Aber n→+∞ n→+∞ = 1 und lim sin(yn ) = lim sin(π+2nπ) = sin(π) = 0 d.h. lim sin(xn ) , lim sin(yn ) x→+∞ 30.3.12 Rezept 12: Regel von de l’Hospital Beispiel 30.3.12.1 lim π 2 ∞ ∞ = lim f (x) g(x) f ′ (x) g′ (x) = lim f ′ (x) g′ (x) und daher gilt x→+∞ x→+∞ Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 101 Beispiel 30.3.12.2 lim+ x ln(x) x→0 = lim 1 y→+∞ y = lim y→+∞ ln( 1y ) − ln(y) y mit x = 1 y Einsetzen ergibt die From ∞ ∞ und daher (− ln(y))′ (y)′ y→+∞ = lim − 1y y→+∞ 1 = lim = 0 durch Einsetzen Beispiel 30.3.12.3 Für c > 1 gilt −1 lim n(1 − c n ) n→+∞ 1 − c−x mit x = x→0 x = lim 1 n = ln(c), mit Regel von de l’Hospital 30.4 Praxisbezug: der Grenzwert in der Wirtschaft würde man ein Anfangskapital K0 für ein Jahr zum Zinssatz p (in % p.a) angelegen, so würde man nach Ablauf des Jahres ein p der effektiver Zinssatz Kapital von K0 (1 + i) erhalten, wobei i = 100 Gelegentlich werden die Zinsen auch halbjährlich oder Vierteljährlich oder monatlich kapitalisiert. Man spricht dann von unterjähriger Verzinsung. Teilt man das Jahr in t gleichlange Zeiträume ein, so wird nach jedem dieser Zeitspanne das jeweilige Anfangskapital mit (1 + it ) aufgezinst. Nach Ablauf eines Jahres ist das Kapital auf K0 (1 + ti )t angewachsen. der effektiver Zinssatz ist in diesem Fall it = (1 + it )t − 1 für t = 12 erhält man den monatlichen effektive Zinssatz i12 = (1 + für t = 360 erhält man den täglichen effektive Zinssatz i360 = (1 + i 12 12 ) −1 i 360 360 ) −1 für t = 360 · 24 = 8640 erhält man den stündlichen effektive Zinssatz i8640 = (1 + i 8640 8640 ) Es stellt sich die Frage, welche Wert it annehmen kann, wenn t → +∞ Es gilt i(+∞) = lim ((1 + ti )t − 1) = ei − 1 siehe (30.3.10.1) auf Seite 100 t→+∞ Für p = 5% ist i = 0.05 und somit i(+∞) = e0.05 − 1 ≈ 0.051271096 d.h. p ≈ 5.1271096% −1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 30.5 Berechnung vom Umfang U und Fläche F eines Kreises mit dem Radius R 30.5.1 1. Methode Der Kreis mit dem Radius R wird in n Kreisausschnitte zerlegt. siehe Abbildung 30.5.1.1 auf Seite 102 B Sn R A xn = 2π n Ob Abbildung 30.5.1.1: Berechnung vom Umfang eines Kreises im Dreieck OAB gilt AB = S n = 2R sin( x2n ) = 2R sin( nπ ) Un = nS n = 2Rn sin( πn ) Aber U = lim Un n→+∞ = lim 2Rn sin( πn ) n→+∞ = 2R lim n sin( πn ) n→+∞ = 2R lim πy sin(y) mit y = y→0 = 2Rπ lim sin(y) y y→0 π n 102 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 103 sin(y) , = 2Rπ lim y→0 y | {z } =1 = 2Rπ Die Fläche des Dreiecks OAB ist Fn = R2 cos( πn ) sin( πn ) = R2 2 sin(2 πn ) Die Fläche des Kreises ist F = lim nFn n→+∞ 2 = lim n R2 sin(2 nπ ) n→+∞ = R2 lim n sin(2 πn ) 2 n→+∞ = R2 2π 2 lim z→0 z sin(z) mit z = 2 nπ 2 = 2π R2 lim sin(z) z z→0 sin(z) = πR2 lim z→0 z | {z } =1 = πR2 30.5.2 2. Methode Man zerlegt die Kreisfläche in Kreisausschnitte und setzt sie zu einer neuen Figur wie in der Abbildung 30.5.2.1 auf Seite 104 zusammen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 104 U 2 b b b R U 2 Abbildung 30.5.2.1: F = R · Für n → +∞ gilt F = R · U 2 ⇒ F =R· 2πR 2 U 2 = πR2 30.6 Praxisbezug: der Grenzwert in der Wirtschaft würde man ein Anfangskapital K0 für ein Jahr zum Zinssatz p (in % p.a) angelegen, so würde man nach Ablauf des Jahres ein p der effektiver Zinssatz Kapital von K0 (1 + i) erhalten, wobei i = 100 Gelegentlich werden die Zinsen auch halbjährlich oder Vierteljährlich oder monatlich kapitalisiert. Man spricht dann von unterjähriger Verzinsung. Teilt man das Jahr in t gleichlange Zeiträume ein, so wird nach jedem dieser Zeitspanne das jeweilige Anfangskapital mit (1 + it ) aufgezinst. Nach Ablauf eines Jahres ist das Kapital auf K0 (1 + ti )t angewachsen. der effektiver Zinssatz ist in diesem Fall it = (1 + it )t − 1 für t = 12 erhält man den monatlichen effektive Zinssatz i12 = (1 + für t = 360 erhält man den täglichen effektive Zinssatz i360 = (1 + i 12 12 ) −1 i 360 360 ) −1 für t = 360 · 24 = 8640 erhält man den stündlichen effektive Zinssatz i8640 = (1 + i 8640 8640 ) Es stellt sich die Frage, welche Wert it annehmen kann, wenn t → +∞ Es gilt i(+∞) = lim ((1 + ti )t − 1) = ei − 1 t→+∞ Für p = 5% ist i = 0.05 und somit i(+∞) = e0.05 − 1 ≈ 0.051271096 d.h. p ≈ 5.1271096% −1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 30.7 Übungen 30.7.1 Aufgabe 30.1 x3 − 2x Berechnen Sie lim f (x), wobei f (x) = 5x + 8 x→3 30.7.2 Lösung der Aufgabe 30.1 lim f (x) = lim+ (5x + 8) = 23 x→3+ x→3 lim f (x) = lim− (x3 − 2x) = 21 x→3− x→3 Da lim+ f (x) , lim− f (x), existiert lim f (x) nicht x→3 x→3 x→3 für x < 3 für x > 3 105 Kapitel 31 Differentialrechnung 31.1 Definition der Ableitung f ′ (a) = lim x→a fr′ (a) = lim+ x→a fℓ′ (a) = lim− x→a f (x) − f (a) x−a f (x) − f (a) rechtsseitige Ableitung x−a f (x) − f (a) x−a linksseitige Ableitung y f (x) a x2 Steigung f (x1 )− f (a) x1 −a Steigung f (x2 )− f (a) x1 −a x x1 Abbildung 31.1.0.1: Differenzenquotient Eine differenzierbare Funktion ist stetig. 106 f (x)− f (a) x−a Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Beispiel 31.1.0.1 Berechnen Wir f ′ (a) für f (x) = x2 f (x) − f (a) x−a x2 − a 2 Einsetzen ergibt = lim x→a x − a (x − a)(x + a) = lim x→a x−a lim x→a 0 0 = lim(x + a) x→a = 2a ⇒ f ′ (a) = 2a 31.2 Höhere Ableitungen f ′′ (x) = ( f ′ (x))′ f ′′′ (x) = ( f ′′ (x))′ f (4) (x) = ( f ′′′ (x))′ f (n+1) (x) = ( f (n) (x))′ 31.3 Ableitungen einiger bekannten Funktionen (axr )′ = arxr−1 , r , 0 ( a ′ − ra ) = r+1 r bx bx (a x )′ = a x · ln(a) (ebx+c )′ = b · ebx+c (ln(bx + c))′ = b bx+c (a cos(bx + c))′ = −ab sin(bx + c) (a sin(bx + c))′ = ab cos(bx + c) (a tan(bx + c))′ = ab cos2 (bx+c) ab (a cot(bx + c))′ = − sin2 (bx+c) 107 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 108 31.4 Ableitungsregeln Summen–Regel (u(x) + w(x))′ = u′ (x) + w′ (x) Z.B. (x2 + cos(x))′ = (x2 )′ + (cos(x))′ = 2x − sin(x) Faktor–Regel (c · u(x))′ = c · u′ (x) Z.B. (5x2 )′ = 5(x2 )′ = 5(2x) = 10x2 Produkt–Regel (u(x) · w(x))′ = u′ (x)w(x) + u(x)w′ (x) Z.B. (x2 · cos(x))′ = (x2 )′ · cos(x) + x2 · (cos(x))′ = 2x · cos(x) − x2 · sin(x) Quotienten–Regel ( u(x) ′ u′ (x)w(x) − u(x)w′ (x) ) = w(x) w2 (x) sin(x) ′ Z.B. (tan(x))′ = ( cos(x) ) = (sin(x))′ cos(x)−sin(x)(cos(x))′ cos2 (x) = cos(x) cos(x)−sin(x)(− sin(x)) cos2 (x) = cos2 (x)+sin2 (x) cos2 (x) = 1 cos2 (x) In Zusammenhang mit der Quotienten–Regel bekommt man in der Regel Ableitungsfunktionen der Form ′ f ′ (x)g(x)−n f (x)g′ (x) wieder ableiten möchte. Dafür gilt die Regel gfn(x) = (x) gn+1 (x) 2 x +3 ′ Z.B. ( 2x+1 ) = 2 f (x) gn (x) , 2x2 +2x−6 (2x+1)2 2 x +3 ′′ +2x−6 ′ ( 2x+1 ) = ( 2x(2x+1) 2 ) = Reziproken–Regel ( −2x2 +26 (2x+1)3 1 ′ w′ (x) ) =− 2 w(x) w (x) ′ 1 Z.B. ( cos(x) )′ = − (cos(x)) = − −cossin(x) 2 (x) = cos2 (x) sin(x) cos2 (x) Potenz–Regel (ur (x))′ = r · u′ (x)ur−1 (x), r , 0 Z.B. ((3x2 + 4)2010 )′ = 2010 · ((3x2 + 4)2010−1 ) · ((3x2 + 4)′ ) = 2010 · ((3x2 + 4)2009 ) · (6x) = 12060x · ((3x2 + 4)2009 ) Ketten–Regel ( f (u(x)))′ = f ′ (u(x)) · u′ (x) Z.B. (cos(3x2 + 4))′ = − sin(3x2 + 4) · (3x2 + 4)′ = − sin(3x2 + 4) · (6x) = −6x sin(3x2 + 4) logarithmische Ableitung f ′ (x) = f (x) · (ln( f (x)))′ Z.B. für f (x) = x x gilt ln( f (x)) = x ln(x) ⇒ (ln( f (x)))′ = 1 ln(x) + x 1x = 1 + ln(x) und damit f ′ (x) = x x · (1 + ln(x)) die man Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 109 31.5 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln Die obige Regeln können auch kombiniert vorkommen: Beispiel 31.5.0.1 (x2 · cos(3x2 + 4))′ = (x2 )′ · cos(3x2 + 4) + x2 · (cos(3x2 + 4))′ Zuerst Produkt–Regel = 2x · cos(3x2 + 4) − x2 · sin(3x2 + 4)(6x) dann Ketten–Regel = 2x · cos(3x2 + 4) − 6x3 · sin(3x2 + 4) und vereinfachen 2 ′ Beispiel 31.5.0.2 ( x x·cos(x) 2 +2 ) = (x2 ·cos(x))′ (x2 +2)−x2 ·cos(x)(x2 +2)′ (x2 +2)2 = ((x2 )′ ·cos(x)+x2 ·(cos(x))′ )(x2 +2)−x2 ·cos(x)(2x) (x2 +2)2 = (2x·cos(x)−x2 ·sin(x))(x2 +2)−x2 ·cos(x)(2x) (x2 +2)2 Zuerst Quotienten–Regel dann Produkt–Regel und vereinfachen 31.6 Elastizität ′ (x) ε f (x) = x ff (x) • Eine Stelle ist vollkommen unelastisch, wenn |ε f (x)| = 0, d.h. f (x) reagiert nicht auf eine Ënderung von x. • Eine Stelle ist unelastisch, wenn 0 < |ε f (x)| < 1, d.h. f (x) ändert sich relativ weniger stark als x. • Eine Stelle ist proportional elastisch, wenn |ε f (x)| = 1, d.h. Die relative Änderung von f (x) ist gleich der von x. • Eine Stelle ist elastisch, wenn |ε f (x)| > 1, d.h. f (x) ändert sich relativ stärker als x. • Eine Stelle ist vollkommen elastisch, wenn |ε f (x)| → ∞, d.h. Die relative Änderung von f (x) ist unendlich hoch, selbst bei der kleinsten Änderung von x. Beispiel 31.6.0.1 . 2 f (x) = e x +2x+1 2 ε f (x) = x (2x − 1)e x +2x+1 e x2 +2x+1 ε f (x) = x(2x − 1) = 2x2 − x Für welche x ist f ist elastisch? |ε f (x)| > 1 ⇒ ε f (x) > 1 oder ε f (x) < −1 1. Fall ε f (x) > 1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 110 ε f (x) > 1 ⇒ 2x2 − x > 1 ⇒ 2x2 − x − 1 > 0 Die Gleichung 2x2 − x − 1 = 0 hat als Lösungen 1 und -0.5 x −0.5 −∞ 2x2 − x − 1 0 + 1 − 0 +∞ + Abbildung 31.6.0.1: Vorzeichen–Tabelle 2x2 − x − 1 > 0 für x ∈] − ∞; −0.5[∪]1, +∞[ 2. Fall ε f (x) < −1 ε f (x) < −1 ⇒ 2x2 − x < −1 ⇒ 2x2 − x + 1 < 0 Die Gleichung 2x2 − x + 1 = 0 hat keine reelle Lösungen; d.h. 2x2 − x + 1 hat desselbe Vorzeichen auf ganzes R. Da 2 ∗ 02 − 0 + 1 > 0 ist 2x2 − x + 1 > 0 auf ganzes R 2x2 − x + 1 < 0 für kein x Insgesamt gilt f ist elastisch für x ∈] − ∞; −0.5[∪]1, +∞[ Beispiel 31.6.0.2 . 2 f (x) = 1−x ε f (x) = x ε f (x) = 2 (1−x)2 2 1−x x 1−x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Für welche x ist f ist unelastisch? 0 < |ε f (x)| < 1 ⇒ −1 < ε f (x) < 1 und ε f (x) , 0 ⇒ −1 < x 1−x < 1 und ε f (x) , 0 1. Fall 1 − x > 0 d.h. x < 1 −1 < x 1−x <1 ⇒ x−1< x<1−x ⇒ x − 1 < x und x < 1 − x ⇒ −1 < 0 und x < 0.5 ⇒ x < 0.5 −∞ 1 −∞ 0.5 L1 =] − ∞; 0.5[ 2. Fall 1 − x < 0 d.h. x > 1 −1 < x 1−x >1 ⇒ x−1> x>1−x 111 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 112 ⇒ x − 1 > x und x > 1 − x ⇒ −1 > 0 und x < 0.5 unmöglich, da −1 > 0 L2 = ∅ Insgesamt L = L1 ∪ L2 =] − ∞; 0.5[ Ferner gilt ε f (x) = 0 ⇒ x 1−x =0 ⇒x=0 f ist unelastisch für x ∈] − ∞; 0.5[\{0} 31.7 Tangenten Tangenten sind Geraden, die das Schaubild einer Funktion (also eine beliebige Kurve) berühren (tangieren). Die Tangente von f (x) an der Stelle x0 ist eine Gerade und hat die Gleichung t f (x0 ) : y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) Z.B. Um die Tangente t der Parabel f (x) = 2x2 − 3x + 4 an der Stelle x0 = 2 zu bestimmen, kann man wie folgend vorgehen: 1.) f (2) = 6 2.) f ′ (x) = 4x − 3 3.) f ′ (2) = 5 4.) t f (2) : y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) = 5(x − 2) + 6 = 5x − 4 Damit ist t f (2) : y = 5x − 4 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net y 113 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 bc 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 -0.50 -1.00 -1.50 -2.00 0.50 Abbildung 31.7.0.1: Tangenten 31.8 Normale Normale sind dadurch charakterisiert, dass sie senkrecht auf einer Kurve stehen 1 (x − x0 ) + f (x0 ) Die Normale von f (x) an der Stelle x0 ist eine Gerade und hat die Gleichung n f (x0 ) : y = − f ′ (x 0) x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 114 Z.B. Um die Normalen n der Parabel f (x) = 2x2 − 3x + 4 an der Stelle x0 = 2 zu bestimmen, kann man wie folgend vorgehen: 1.) f (2) = 6 2.) f ′ (x) = 4x − 3 3.) f ′ (2) = 5 1 (x − x0 ) + f (x0 ) = − 51 (x − 2) + 6 = − 51 x + 4.) t f (2) : y = − f ′ (x 0) Damit ist t f (2) : y = − 15 x + 32 5 32 5 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net y 115 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 bc 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 -0.50 -1.00 -1.50 -2.00 0.50 x Abbildung 31.8.0.1: Normale 31.9 Nullsteleln und Ableitungsfunktion ist x0 eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f (x) mit der Vielfachheit δ ≥ 2, so ist x0 eine Nullstelle der Ableitungsfunktion f ′ (x) mit der Vielfachheit δ − 1, denn Aus f (x) = (x − x0 )δ g(x) gilt f ′ (x) = δ(x − x0 )δ−1 g(x) + (x − x0 )δ g′ (x) = (x − x0 )δ−1 [δg(x) + (x − x0 )g′ (x)] Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 116 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 31.10 Übungen 31.10.1 Aufgabe 31.1 Für eine Produktion, die auf das Intervall [−∞; +∞] definiert ist, wurde die folgende Ertragsfunktion ermittelt: E(x) = 3.000 ∗ (−3.0000 − 5.0000 ∗ x − 1.0000 ∗ x2 + 1.0000 ∗ x3 )e−8.0000−3.0000∗x a) Bestimmen Sie für diese Ertragsfunktion die Nullstellen. Verifizieren Sie, dass -1.000 Nullstelle(n) ist (sind); Vielfachheit beachten! b) Bestimmen Sie alle Extrema (lokale und globale Minima und Maxima) c) Bestimmen Sie die Tangente an -1.000 d) Bestimmen Sie die Normale an -1.000 e) Bestimmen Sie die Elastizität an -4.000 31.10.2 Lösung der Aufgabe 31.1 Gegeben E(x) = 3.000 ∗ (−3.0000 − 5.0000 ∗ x − 1.0000 ∗ x2 + 1.0000 ∗ x3 )e−8.0000−3.0000∗x a) Nullstellen 1.0000 x0 = (−1.0000) x0 = (−1.0000) x0 = (−1.0000) -1.0000 -5.0000 -3.0000 ⊕ ⊕ ⊕ ∗(−1.0000) ∗(−1.0000) ∗(−1.0000) −2.0000 y 1.0000 1.0000 −2.0000 −3.0000 y 1.0000 −3.0000 1.0000 −3.0000 = ⇓ = ⇓ ⊕ −3.0000 = ⇓ 0.0000 ⊕ ∗(−1.0000) = ⇓ ∗(−1.0000) = ⇓ 0.0000 ⊕ y 1.0000 1.0000 −4.0000 ∗(−1.0000) = ⇓ Tabelle 31.10.2.1: Hornerschema +1.0000 ∗ x3 − 1.0000 ∗ x2 − 5.0000 ∗ x − 3.0000 = (x + 1.0000)2 · (+1.0000x − 3.0000) + 0.0000 117 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Damit ist xN1 = −1.000 xN2 = −1.000 xN3 = 3.000 b) Extrema Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = 3.000 ∗ (+4.0000 + 13.0000 ∗ x + 6.0000 ∗ x2 − 3.0000 ∗ x3 )e−8.0000−3.0000∗x Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = 3.000 ∗ (+1.0000 − 27.0000 ∗ x − 27.0000 ∗ x2 + 9.0000 ∗ x3 )e−8.0000−3.0000∗x -3.0000 x0 = (−1.0000) x0 = (−1.0000) 6.0000 13.0000 4.0000 ⊕ ⊕ ⊕ ∗(−1.0000) ∗(−1.0000) ∗(−1.0000) ⇓ ⇓ y −3.0000 −3.0000 9.0000 4.0000 ⊕ y −3.0000 ⊕ −3.0000 12.0000 9.0000 = = 4.0000 = ⇓ 0.0000 12.0000 ∗(−1.0000) ∗(−1.0000) ⇓ ⇓ = = −8.0000 Tabelle 31.10.2.2: Hornerschema −3.0000 ∗ x3 + 6.0000 ∗ x2 + 13.0000 ∗ x + 4.0000 = (x + 1.0000)1 · (−3.0000x2 + 9.0000x + 4.0000) + 0.0000 Damit ist xE1 = −1.000 Bei der Gleichung −3.000x2 + 9.000x + 4.000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit a = −3, b = 9 und c = 4 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 129 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xE2 = −b− √ b2 − 4ac xE3 = −b+ √ b2 − 4ac = −0.3929694 2a 2a = 3.3929694 118 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net E ′′ (−1.000) = −0.162 < 0 Bei dieser Extremumstelle handelt es sich um eine Maximum und es gilt E(−1.000) = 0.000 E ′′ (3.393) = −0.000 < 0 Bei dieser Extremumstelle handelt es sich um eine Maximum und es gilt E(3.393) = 0.000 E ′′ (−0.393) = 0.023 > 0 Bei dieser Extremumstelle handelt es sich um eine Minimum und es gilt E(−0.393) = −0.004 c) Tangente Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = 3.000 ∗ (+4.0000 + 13.0000 ∗ x + 6.0000 ∗ x2 − 3.0000 ∗ x3 )e−8.0000−3.0000∗x Die Tangente von E(x) an der Stelle −1.000 ist eine (horizontale) Gerade und hat die Gleichung t1 : y = 0.000, da E ′ (−1.000) = 0 d) Normale Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = 3.000 ∗ (+4.0000 + 13.0000 ∗ x + 6.0000 ∗ x2 − 3.0000 ∗ x3 )e−8.0000−3.0000∗x Die Normale von E(x) an der Stelle −1.000 ist eine (vertikale) Gerade und hat die Gleichung n1 : x = −1.000, da E ′ (−1.000) = 0 e) Elastizität Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = 3.000 ∗ (+4.0000 + 13.0000 ∗ x + 6.0000 ∗ x2 − 3.0000 ∗ x3 )e−8.0000−3.0000∗x Die Elastizität von E(x) an der Stelle −4.000 ist εE (−4.000) = (−4.000) 39310.668 = (−4.000) −10319.050 = 15.238 E ′(−4.000) E(−4.000) 119 Kapitel 32 Extremstellen in der Wirtschaft 32.1 Einführung Rezept 32.1.0.1 Bei vielen Extremwertaufgaben mit Funktionen gibt es eine Zielfunktionen, deren Wert maximiert oder minimiert werden soll und eine (oder mehrere) Nebenbedingungen, welche die Wahl der Variablen in der Zielfunktion beschränkt. In Allgemein ist die folgende Strategie hilfreich 1. was gegeben und was gesucht aufschreiben. den Ausgangsgrössen und Unbekannten passende Namen (a, x, q, A, F, V usw.) geben 2. die Zielfunktion erkennen und als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrössen und Unbekannten formulieren 3. die Nebenbedigung erkennen. Die Wahl der zu bestimmenden Grössen muss durch die Aufgabe in irgendeiner (evtl. versteckten) Weise eingeschränkt sein. die Nebenbedingung als mathematischen Ausdruck formulieren. 4. die Nebenbedingungen in die Zielfunktion so einsetzen, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Ausgangsgrösse entsteht. 5. die Zielfunktion ableiten und die Extremstellenfinden Beispiel 32.1.0.2 Mit einer vorhandenen 50 [m] Rolle Zaun soll ein möglichst grosses Stück Land rechteckig eingezäunt werden Ausgangsvariablen B und L Breite und Länge des Rechteckiges Stück Land Zielfunktion formulieren: F = B · L Nebenbedingung erkennen: 50 = 2B + 2L Nebenbedingung nach L auflösen L = 25 − B . . . und in die Zielfunktion einsetzen F(B) = B · (25 − B) = 25B − B2 F ′ (B) = 25 − 2B F ′ (B) = 0 ⇔ 25 − 2B = 0 ⇔ B = 12.5 F ′′ (B) = −2 < 0 Bei B = 12.5 handelt sich um ein Maximum Maximaler Wert: F(12.5) = 156.25 Extremwert bei B = 12.5 120 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 121 32.2 Beispiel 1 Von einem rechteckigen Stück Blech mit 16 cm Länge und 10 cm Breite werden an den Ecken kongruente Quadrate ausgeschnitten und aus dem Rest eine Schachtel gebildet. Wie muss man die Seitenlänge x der auszuschneidenden Quadrate wählen, um eine Schachtel von grösstem Rauminhalt zu erhalten? h = 10cm x x b = 16cm Abbildung 32.2.0.1: Abbildung zum Beispiel 1 Das Volumen der Schachtel ist V(x) = x(b − 2x)(h − 2x) = 4x3 − 2(b + h)x2 + bhx = 4x3 − 52x + 160x mit 0 ≤ x ≤ 5 V ′ (x) = 12x2 − 104x + 160 V ′ (x) = 0 ⇒ 12x2 − 104x + 160 = 0 ⇒ 3x2 − 26x + 40 = 0 ⇒ x1 = 2 und x2 = 40 3 >5 Die Lösung x2 scheidet aus. Es bleibt nur x1 = 2 V ′′ (x) = 24x − 104 V ′′ (2) < 0. Es handelt sich wohl um Maximum in x = 2 Das Volumen ist maximal für x = 2 32.3 Beispiel 2 Wie sind die Höhe H und das Radius R eines Zylinders zu wählen, damit er mit bei einem festen Volumen V eine möglichst kleine Oberfläche hat? Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 122 2πR ∗ H Abbildung 32.3.0.1: Abbildung zum Beispiel 2 die Oberfläche O eines Kreiszylinder gegebenen Volumens V mit dem Radius R und der Höhe H ist: O = H ∗ 2πR + 2πR2 (32.3.0.1) V = H ∗ πR2 (32.3.0.2) Es gilt aber damit ist V πR2 (32.3.0.3) V 2V ∗ 2πR + 2πR2 = + 2πR2 2 πR R (32.3.0.4) H= Aus (32.3.0.1) und (32.3.0.1) folgt nun O= suchen wir nun das Minimum von O = O(R) = Die erste Ableitung ist O′ (R) = −2V R2 die zweite Ableitung ist O′′ (R) = 4V R3 + 4πR = 0 ⇒ R = O′ (R) = 0 ⇒ −2V R2 q 4V V + 4π = 12π > 0 )= √ O′′ ( 3 2π 3 V 3 ( 2V R + 4πR + 4π q 3 V 2π 2π ) Damit ist die Oberfläche O minimal für R = q 3 V 2π + 2πR2 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net daraus folgt H= V πR2 = π( V √ 3 V 2 2π ) = q 3 4V π 32.4 Beispiel 3 f (x) = (x2 − 1)(x2 − 4) f (x) = (x2 − 1)(x2 − 4) = x4 − 5x2 + 4 f ′ (x) = 4x3 − 10x f ′′ (x) = 12x2 − 10 f ′′′ (x) = 24x f ′ (x) = 0 ⇒ 4x3 − 10x = 0 ⇒ x(4x2 − 10) = 0 ⇒ x = 0 oder (4x2 − 10) = 0 ⇒ x = 0 oder x2 = 10 4 ⇒ x = 0 oder x = ± q 5 2 Die kritische Stellen liegen also bei xkrit1 = 0; xkrit2 = + q 5 2 und xkrit3 = − f ′′ (xkrit1 ) = −10 < 0 ⇒ f (x) hat ein Maximum bei xH1 = 0 f ′′ (xkrit2 ) = 20 > 0 ⇒ f (x) hat ein Minimum bei xT 1 = + q 5 2 ≈ 1.581 f ′′ (xkrit2 ) = 20 > 0 ⇒ f (x) hat ein Minimum bei xT 2 = − q 5 2 ≈ −1.581 q 5 2 123 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 124 32.5 Übungen 32.5.1 Aufgabe 32.1 Aus einer Marmorplatte in Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Längen der Katheten a = 50 und b = 70 soll eine rechteckformige Platte heraus gesägt werden. a) Wie gross müssen wir die Länge und Breite wählen, damit wir die rechteckige Platte mit dem grössten Flächeninhalt bekommen? b) Wie gross ist die maximale Flächeerkennen 32.5.2 Lösung der Aufgabe 32.1 Es gibt zwei Möglichkeiten H b=5 b=5 t α L y z α α α x a=7 a=7 Abbildung 32.5.2.1: Abbildung zur Lösung der Aufgabe 32.1 1. Möglichkeit (Abbildung 32.5.2.1 auf Seite 124 links) sin(α) = y L cos(α) = H b−y ⇒L= y sin(α) ⇒ H = (b − y) cos(α) Die Fläche ist F = HL = Aber tan(α) = b a Damit ist F = y(b−y) ⇒F= y(b−y) b a b a = − ab (y − ab )2 + die Fläche ist für y = y= 2 b 2 ⇒x= 2 2 y sin(α) (b b 2 ab 4 maximal a 2 L = x +y ⇒ L = √ a2 + b2 2 − y) cos(α) = y(b−y) tan(α) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 2. Möglichkeit (Abbildung 32.5.2.1 auf Seite 124 rechts) z a−t = b−z t ⇒z= ab−bt a Die Fläche ist F = zt = die Fläche ist für t = t= a 2 ⇒z= b 2 a 2 abt−bt2 a = ba (at − t2 ) = − ab (t − a2 )2 + maximal ab 4 125 Kapitel 33 Die Exponentialfunktion 33.1 Definition Eine Funktion der Form f (x) = a x mit a > 0 heisst Exponentialfunktion zur Basis a. Die Funktion f (x) = e x heisst natürliche Exponentialfunktion, wobei e = 2.718281828459045 . . . die Eulerschen Zahl a x = e x ln(a) 33.2 Eigenschaften Exponentialfunktionen der Form f (x) = a x unterscheiden sich von den Potenzfunktionen der Form f (x) = xn dadurch, dass die Variable im Exponenten und nicht in der Basis ist Alle Funktionswerte sind positiv Alle Exponentialfunktionen haben bei x = 0 den Wert 1, denn a0 = 1 für a > 0; Alle Kurven der Funktionen f (x) = (a x ) gehen durch den Punkt S (0; 1) Für 0 < a < 1 werden die Funktionswerte immer kleiner, je grösser der Wert x wird (Wachstumsfunktionen) Für a > 1 werden die Funktionswerte immer grösser, je grösser der Wert x wird (Zerfallsfunktionen) Die Graphen von f (x) = a x und g(x) = ( 1a ) x sind um die y–Achse gespiegelt, denn g(−x) = f (x) 126 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net y bx dx ax cx 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 -1.00 -2.00 -3.00 -4.00 1.00 x Abbildung 33.2.0.1: Schaubild einiger Exponentialfunktion a x ; b x ; c x ; d x mit 0 < a < b < 1 < c < d 33.3 Formeln e x = y ⇔ x = ln(y) a x = y ⇔ x = loga (y) für a > 0 a x = y ⇔ x ln(a) = ln(y) für a > 0 127 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net y 128 x Abbildung 33.3.0.1: Logarithmus und Exponentialfunktion 33.4 Gleichungen mit Logarithmen und exponentiell Viele Gleichungen mit Logarithmen und exponentiell lassen sich durch geeigneten Umformungen, Substitution usw auf die elementaren Gleichungen: Typ 1: ln(x) = b Typ 2: a x = b zurückführen. Dabei gilt Die Gleichung ln(x) = b hat genau eine reelle Lösung x1 = eb , falls b > 0: L = {eb } Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Die Gleichung a x = b hat: • genau eine reelle Lösung x1 = ln(b) ln(a) , falls b > 0 und a > 0: L = { ln(b) ln(a) } • keine reelle Lösung, falls b ≤ 0 oder a ≤ 0: L = {} Beispiel 33.4.0.1 −8 x−1 + 2 · 8 x = 4 ⇒ −8 x 8−1 + 2 · 8 x = 4 ⇒ 8 x (−8−1 + 2) = 4 ⇒ 8x · 15 8 ⇒ 8x = ⇒x= =4 32 15 32 ln( 15 ) ln(8) Die Lösungsmenge ist L = { Beispiel 33.4.0.2 ln( 32 15 ) } ln(8) ln(x) + 1 = 2 | · (ln(2x) + 3) ln(2x) + 3 ⇒ ln(x) + 1 = 2(ln(2x) + 3) ⇒ ln(x) + 1 = 2 ln(2x) + 6 ⇒ ln(x) + 1 = 2(ln(2) + ln(x)) + 6 ⇒ ln(x) + 1 = 2 ln(2) + 2 ln(x) + 6 ⇒ ln(x) − 2 ln(x) = 2 ln(2) + 6 − 1 ⇒ − ln(x) = 2 ln(2) + 5 ⇒ ln(x) = −2 ln(2) − 5 |e... ⇒ x = e−2 ln(2)−5 L = {e−2 ln(2)−5 } Beispiel 33.4.0.3 ⇒ ex − 1 = √ ex − 1 3e x +2 2 · (3e x + 2) √ √ ⇒ e x − 1 = 3 2e x + 2 2 = √ 2 | · (3e x + 2) 129 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net √ √ ⇒ e x − 3 2e x = 1 + 2 2 √ √ ⇒ e x (1 − 3 2) = 1 + 2 2 √ 1+2 2 x ⇒e = √ <0 1−3 2 √ 1+2 2 L = {}, da √ <0 1−3 2 Beispiel 33.4.0.4 3 · 4 x − 2 · 16 x = 1 ⇒ 3 · 4 x − 2 · (42 ) x = 1 ⇒ 3 · 4 x − 2 · (4 x )2 = 1 Mit t = 4 x ergibt 3 · t − 2 · t2 = 1 ⇒ −2 · t2 + 3 · t − 1 = 0 Es handelt sich um eine quadratische Gleichung in allgemeinen Form mit a = −2.000, b = 3.000 und c = −1.000 D = b2 − 4 · a · c = 1.000 Da D > 0, hat die Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar −b− √ b2 − 4ac = 1.000 2a √ − b + b2 − 4ac = 0.500 t2 = 2a t1 = 1. Fall 4 x = t1 4x = 1 ⇒x= ln(1) =0 ln(4) 2. Fall 4 x = t2 4 x = 0.5 ⇒x= ln(0.5) ln(4) = −0.5 130 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Die Lösungsmenge ist L = {−0.5; 0} Beispiel 33.4.0.5 2 lg(t) − (lg(t))2 = 1 Mit x = lg(t) ergibt 2x − x2 = 1 ⇒ −x2 + 2x − 1 = 0 Es handelt sich um eine quadratische Gleichung in allgemeinen Form mit a = −1.000, b = 2.000 und c = −1.000 D = b2 − 4 · a · c = 0.000 Da D = 0, hat die Gleichung eine einzige reelle Lösung, und zwar x1 = x2 = − b 2a = 1.000 x = lg(t) ⇒ 1 = lg(t) ⇒ t = 10 Die Lösungsmenge ist L = {10} Beispiel 33.4.0.6 9 x + Mit t = 3 x ergibt t2 + t 2 3x 2 = 0.5 = 0.5 ⇒ t2 + 12 t − 0.5 = 0 Es handelt sich um eine quadratische Gleichung in Normalform mit p = 0.500 und q = −0.500 D= p2 4 − q = 0.563 Da D > 0, hat die Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar p t1 = − − 2 p t2 = − + 2 s s p2 4 − q = −1.000 p2 − q = 0.500 4 1. Fall 3 x = t1 3 x = −1 geht nicht 131 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 132 2. Fall 3 x = t2 3 x = 0.5 ⇒x= ln(0.5) ln(3) Die Lösungsmenge ist L = { ln(0.5) } ln(3) Beispiel 33.4.0.7 100 · (4 x−1 ) − 2 · (3 x+2 ) = 5 · (4 x+1 ) + ⇒ 100 · (4 x−1 ) − 5 · (4 x+1 ) = 2 · (3 x+2 ) + 1 2 1 2 · (3 x+3 ) · (3 x+3 ) ⇒ 100 · (4−1 ) · (4 x ) − 5 · (41 ) · (4 x ) = 2 · (32 ) · (3 x ) + 1 2 · (33 ) · (3 x ) ⇒ 5 · (4 x ) = 31.5 · (3 x ) ⇒ 4x = 3x 31.5 5 ⇒ ( 43 ) x = 6.3 ⇒ x ln( 43 ) = ln(6.3) ⇒x= ln(6.3) ln( 43 ) Die Lösungsmenge ist L = { ln(6.3) } ln( 43 ) 33.5 allgemeine Exponentialfunktion Eine Exponentialfunktion hat die Form f (x) = a · (b x ) bzw. f (x) = ae x ln(b) mit b > 0. Das Schaubild einer Exponentialfunktion hat meistens die Form: Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net y 133 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 -1.00 -2.00 -3.00 -4.00 1.00 x Abbildung 33.5.0.1: Schaubild einiger allgemeinen Exponentialfunktionen Beispiel 33.5.0.1 Mit Hilfe von zwei Punkte P und Q einer Kurve einer allgemeinen Exponentialfunktion kann man die Funktionsgleichung ermitteln: z.B. P(−1|6) und Q(2|0.75) P(−1|6) ⇒ a(b−1 ) = 6 ( ) Q(2|0.75) ⇒ a(b2 ) = 0.75 ( ) ( ) ( ) b= ⇒ b3 = 1 2 1 8 ⇒b= 1 2 in ( ) einsetzen, ergibt a = 3 f (x) = a · (b x ) = 3 2x Beispiel 33.5.0.2 Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion y = a · e−b·x + 5 so, dass die Punkte A (0/8) und B (10/10) auf der Kurve liegen. Wegen dem Punkt A (0/8) gilt 8 = a · e−b·0 + 5 ⇒8=a+5 ⇒3=a Wegen dem Punkt B (10/10) und a = 3 gilt 10 = 3 · e−b·10 + 5 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ 5 = 3e−10b ⇒ 5 3 = e−10b ⇒ ln( 53 ) = −10b ⇒ b = −0.1 ln( 35 ) = −0.0511 33.6 Extremstellen und Exponentialfunktion ′ f (x)eg(x) = ( f ′ (x) + f (x)g′ (x))eg(x) f (x) = (x − 2)e x f (x) = (x − 2)e x f ′ (x) = (x − 1)e x f ′′ (x) = xe x f ′′′ (x) = (x + 1)e x f ′ (x) = 0 ⇒ (x − 1)e x = 0 ⇒x=1 Die kritische Stelle liegt also bei x = 1 f ′′ (1) = e > 0 ⇒ f (x) hat ein Minimum bei xT = 1 f (x) = (x2 − 1) exp(−x) f ′ (x) = (−x2 + 2x + 1) exp(−x) f ′′ (x) = (x2 − 4x + 1) exp(−x) f (x) = x2 exp(2x) 134 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net f ′ (x) = 2(x2 + x) exp(2x) f ′′ (x) = 2(2x2 + 4x + 1) exp(2x) f (x) = (x2 + 1) exp(−2x) f ′ (x) = f ′′ (x) = f (x) = (x2 + 2x − 3) exp(x) f ′ (x) = f ′′ (x) = 135 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 33.7 Übungen 33.7.1 Aufgabe 33.1 Lösen Sie die Gleichungen 1) e x+π = π 2) 4 x+12 = 162x 3) 2ln(x−1) = 3 4) √ e x · 2 x = 127 5) 9 x+1 = e 6) ln(x) + ln(3) = ln(6) 7) 3 x+1 + 3 x = 36 8) 2 x−1 = 4 x 9) 5 x + 5 x+1 = 52 10) ln(x + 1) − 2 ln(x) = ln(2) 11) π · e x = 20 12) 2 x+2 = 4 x 2 +2 13) 32x − π = 14) π2x − √ 2 √ 3=π 15) 2 x = 7 x−2 16) 5 x−1 + 6 x = 6 x+1 − 5 x 17) e− ln(x) = 3 136 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 18) x6 − x3 = 2 19) 2 x − 2 x−1 = 2 20) π x · 2 x+1 = √3 2 21) e x + e x+1 = e2 + 1 22) 1012 · 2 x = 512 23) 3 x + 3 x+1 = 9 24) 2 x − 3 x+1 = 2 x+2 − 3 x+3 25) 2e x − 3e−x = 1 33.7.2 Lösung der Aufgabe 33.1 1) e x+π = π ⇒ x + π = ln(π) ⇒ x = ln(π) − π L = {−π + ln(π)} 2) 4 x+12 = 162x ⇒ 4 x+12 = (42 )2x ⇒ 4 x+12 = 44x ⇒ x + 12 = 4x ⇒ 12 = 3x ⇒x=4 137 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net L = {4} 3) 2ln(x−1) = 3 ⇒ ln(x − 1) ln(2) = ln(3) ⇒ ln(x − 1) = ln(3) ln(2) ln(3) ⇒ x − 1 = e ln(2) ln(3) ⇒ x = 1 + e ln(2) ln(3) L = {1 + e ln(2) } 4) √ e x · 2 x = 127 √ ⇒ ln( e x · 2 x ) = ln(127) √ ⇒ ln( e x ) + ln(2 x ) = ln(127) ⇒ 1 2 ln(e x ) + ln(2 x ) = ln(127) ⇒ 21 x + x ln(2) = ln(127) ⇒ ( 12 + ln(2))x = ln(127) ⇒x= ln(127) 1 2 +ln(2) } L = { 1ln(127) +ln(2) 2 5) 9 x+1 = e ⇒ (x + 1) ln(9) = ln(e) ⇒ (x + 1) ln(9) = 1 ⇒ x+1= 1 ln(9) 138 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒x= 1 ln(9) L = {−1 + −1 1 ln(9) } 6) ln(x) + ln(3) = ln(6) ⇒ ln(x) = ln(6) − ln(3) ⇒ ln(x) = ln(2) ⇒x=2 L = {2} 7) 3 x+1 + 3 x = 36 ⇒ 3 · 3 x + 3 x = 36 ⇒ 4 · 3 x = 36 ⇒ ·3 x = 9 ⇒x=2 L = {2} 8) 2 x−1 = 4 x ⇒ 2 x−1 = (22 ) x ⇒ 2 x−1 = 22x ⇒ x − 1 = 2x ⇒ x = −1 139 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net L = {−1} 9) 5 x + 5 x+1 = 52 ⇒ 5 x + 5 · 5 x = 52 ⇒ 6 · 5 x = 52 ⇒ 5x = 25 6 ⇒ x ln(5) = ln( 25 6 ) ln( 25 6 ) ln(5) ⇒x= L={ ln( 25 6 ) ln(5) } 10) ln(x + 1) − 2 ln(x) = ln(2) ⇒ ln(x + 1) − ln(x2 ) = ln(2) ⇒ ln( x+1 ) = ln(2) x2 ⇒ x+1 x2 =2 ⇒ x + 1 = 2x2 ⇒ 2x2 − x − 1 = 0 ⇒ x = 1 oder x = − 12 L = {− 21 ; 1} 11) π · e x = 20 ⇒ ex = 20 π ⇒ x = ln( 20 π ) 140 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net L = {ln( 20 π )} 12) 2 x+2 = 4 x 2 +2 ⇒ 2 x+2 = (22 ) x 2 +2 2 ⇒ 2 x+2 = 22x +4 ⇒ x + 2 = 2x2 + 4 ⇒ 2x2 − x + 2 = 0 L = {} √ 13) 32x − π = ⇒ 32x = 2 √ 2+π √ ⇒ 2x ln(3) = ln( 2 + π) ⇒x= √ ln(π+ 2) 2 ln(3) √ 2) L = { ln(π+ 2 ln(3) } 14) π2x − √ 3=π ⇒ π2x = π + √ 3 ⇒ 2x ln(π) = ln(π + ⇒x= √ 3) √ ln(π+ 3) 2 ln(π) √ 3) L = { ln(π+ 2 ln(π) } 15) 2 x = 7 x−2 ⇒ x ln(2) = (x − 2) ln(7) 141 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ x ln(2) = x ln(7) − 2 ln(7) ⇒ (ln(7) − ln(2))x = 2 ln(7) ⇒ ln(3.5)x = 2 ln(7) ⇒x= 2 ln(7) ln(3.5) 2 ln(7) } L = { ln(3.5) 16) 5 x−1 + 6 x = 6 x+1 − 5 x ⇒ 5 x−1 + 5 x = 6 x+1 − 6 x ⇒ 5−1 5 x + 5 x = 6 · 6 x − 6 x ⇒ (5−1 + 1)5 x = 5 · 6 x ⇒ 1.2 · 5 x = 5 · 6 x ⇒ 6x 5x = 1.2 5 ⇒ ( 65 ) x = 0.24 ⇒ 1.2 x = 0.24 ⇒x= ln(0.24) ln(1.2) L = { ln(0.24) ln(1.2) } 17) e− ln(x) = 3 ⇒ − ln(x) = ln(3) ⇒ ln(x) = − ln(3) 142 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ ln(x) = ln( 13 ) ⇒x= 1 3 L = { 31 } 18) x6 − x3 = 2 setze t = x3 so gilt t2 − t = 2 ⇒ t2 − t − 2 = 0 ⇒ t = −1 oder t = 2 ⇒ x3 = −1 oder x3 = 2 ⇒ x = −1 oder x = √3 L = {−1; 2} 19) 2 x − 2 x−1 = 2 ⇒ 2 x − 2−1 2 x = 2 ⇒ (1 − 2−1 )2 x = 2 ⇒ 1 2 · 2x = 2 ⇒ 2x = 4 ⇒ 2 x = 22 ⇒x=2 L = {2} 20) π x · 2 x+1 = √3 2 √3 2 143 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ π x · 2 x · 21 = ⇒ πx · 2x = √3 2 √ 3 2 2 √ 3 2 2 ⇒ (π · 2) x = √ 3 ⇒x= ln( 22 ) ln(π·2) ln(2) ⇒ x = − 32ln(2π) ln(2) } L = {− 32ln(2π) 21) e x + e x+1 = e2 + 1 ⇒ e x + ee x = e2 + 1 ⇒ (1 + e)e x = e2 + 1 ⇒ ex = 1+e2 1+e 2 ⇒ x = ln( 1+e 1+e ) 2 L = {ln( 1+e 1+e )} 22) 1012 · 2 x = 512 ⇒ 2x = 512 1012 ⇒ 2 x = ( 21 )12 ⇒ 2 x = 2−12 ⇒ x = −12 L = {−12} 23) 3 x + 3 x+1 = 9 144 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ 3x + 3 · 3x = 9 ⇒ 4 · 3x = 9 ⇒ 3 x = 2.25 ⇒x= ln(2.25) ln(3) L = { ln(2.25) ln(3) } 24) 2 x − 3 x+1 = 2 x+2 − 3 x+3 ⇒ 2 x − 2 x+2 = −3 x+3 + 3 x+1 ⇒ 2 x − 22 · 2 x = −33 · 3 x + 3 · 3 x ⇒ −3 · 2 x = −24 · 3 x ⇒ 3x 2x 3 24 = ⇒ ( 23 ) x = ⇒x= 1 8 ln(8) ln( 32 ) ln(8) L = { ln( 2 } ) 3 25) 2e x − 3e−x = 1 | · e x ⇒ 2e x e x − 3e x e−x = 1e x ⇒ 2(e x )2 − 3 = e x ⇒ 2(e x )2 − e x − 3 = 0 ⇒ 2t2 − t − 3 = 0 mit t = e x 145 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ t = −1 oder t = 1.5 ⇒ e x = −1 oder e x = 1.5 ⇒ e x = 1.5 ⇒ x = ln(1.5) L = {ln(1.5)} 146 Kapitel 34 Exponentielle Wachstums– und Abnahmeprozesse Zahlreiche Wachstums– und Abnhameprozesse in Natur und Gesellschaft, bei denen eine gewisse Grösse in Laufe der Zeit wächst oder abnimmt, verlaufen näherungsweise nach dem Prinzip: Innerhalb einer jeden Zeitspanne ist die Zu– oder Abnahme proportional zu der vorhandenen Grösse und der Zeitspanne. Diese Prozesse lassen sich mit Hilfe der Exponentialfunktion ausdrucken. 34.1 Einführung t Würde der Bestand um eine Änderungsrate a > 0 sich verändern und das in τ vielen Zeitintervallen, so gilt y(t) = y0 (a τ ) mit t in Zeitintervallen Beispiel 34.1.0.1 das Wachstum von Bakterien (das aufgrund von Zellteilung zustande kommt) sei durch folgende Eigenschaften charakterisiert: • Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. d.h. y0 = 1000 • Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. In gleich langen Zeitintervallen (1 Stunde) vergrössert sich die Zahl der Bakterien um den gleichen Faktor a = 2. y(t) = y0 · at , t in [h] y(t) = 1000 · 2t , t in [h] 147 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net y(t) 148 b b b b 13.00 12.00 11.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 b t in [h] Abbildung 34.1.0.1: Bakterienwachstum Beispiel 34.1.0.2 Auf einem Teich von 400[m2 ] Fläche befindet sich ein Algenteppich, der 1.646[m2] misst. Die Algenteppich verdreifacht sich in 6 Tagen. Hier gilt y0 = 1.646[m2] a=3 τ=6 t in Tagen t t y(t) = y0 (a τ ) = 1.646(3 6 ) x der ganze Teich ist mit Algen nach x Tagen bedeckt, wobei 400 = 1.646(3 6 ) ⇒ x = 30 Beispiel 34.1.0.3 Die Halbwertszeit eines Poloniumisotopes beträgt 138 Tage. Wir berechnen, welche Masse von 12 g nach 30 Tagen noch vorhanden ist y0 = 12g a= 1 2 τ = 138 t in Tagen t y(t) = y0 (( 21 ) 138 ) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 30 y(30) = y0 (( 21 ) 138 ) 30 = 12g · ( 12 ) 138 X(t) b b b b b b b 12 b Abbildung 34.1.0.2: stetige exponentielle Abnahme 34.2 prozentuelle Abnahme Würde der Bestand um p% abnehmen und das in τ vielen Zeitintervallen, so gilt a = 1 − p 100 34.3 prozentuelle Wachstum Würde der Bestand um p% wachsen und das in τ vielen Zeitintervallen, so gilt a = 1 + p 100 b 13 b 11 b 10 b 9 b 8 7 6 5 4 3 2 1 b t 149 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 150 34.4 Übungen 34.4.1 Aufgabe 34.1 Vor 10 Jahren betrug der Holzbestand eines Waldes 8000[m3]. Ohne Schlägerung ist er inzwischen auf 12290[m3] angewachsen. man darf annehmen, dass das Holzwachstum ein exponentielller Vorganz ist (a) Zeigen Sie, dass die jährliche Wachstumsrate ca. 3.5% beträgt (b) Berechnen Sie die Zeitspanne, innerhalb der sich der Holzbestand verdoppelt 34.4.2 Lösung der Aufgabe 34.1 (a) H10 = H0 (1 + p 10 100 ) ⇒ p = 100( q H10 H0 ⇒ p = 100( q 12290 8000 10 10 (b) 2H0 = H0 (1 + n= n= − 1) − 1) = 4.40% p n 100 ) 0 ln( 2H H0 ) ln(1 + p 100 ) ln(2) ln(1 + p 100 ) ≈ 16 Jahren Kapitel 35 Logarithmen 35.1 Einführung Für x = 81 ; √ √ √ 2 1 2 1 2 8 ; 4; 4 ; 2; 2 ; x y, so dass x = 2y 1 √8 2 8 1 √4 2 4 1 √2 2 2 -3.000 1.000 √ 2 0.000 2.000 √ 2 2 1.000 4.000 √ 4 2 2.000 8.000 √ 8 2 .. . 3.000 1; √ √ √ √ 2; 2; 2 2; 4; 4 2; 8; 8 2 suchen wir y, so dass x = 2y : -2.500 -2.000 -1.500 -1.000 -0.500 0.500 1.500 2.500 3.500 .. . Die Punkte (x|y) kann man in einem Koordinatensystem eintragen und interpolieren: 151 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net y 152 b b 3.00 b b 2.00 b b 1.00 b 14.00 13.00 12.00 11.00 b -1.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 b b x b b -2.00 b -3.00 b Abbildung 35.1.0.1: Graph x = 2y Es gilt x = 2y man notiert y = log2 (x) und sagt y ist der Logarithmus von x zur Basis 2 Im allgemein y = loga (x) ⇔ x = ay ; a > 0; a , 1; x > 0 (35.1.0.1) y ist der Logarithmus von x zur Basis a Der natürliche Logarithmus (auch logarithme népérien nach Napier, John): ln(x) = loge (x), wobei e = 2.718281828459045 . . . die Eulersche Zahl, für x > 0 Der Zehner–Logarithmus (der dekadische Logarithmus): lg(x) = log10 (x) für x > 0 Der binäre (duale) Logarithmus: ld(x) = lb(x) = log2 (x) für x > 0 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 153 y lb(x) = log2 (x) 3.00 ln(x) 2.00 lg(x) = log10 (x) 13.00 12.00 11.00 -1.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 1.00 x -2.00 Abbildung 35.1.0.2: Einige Logarithmen ld(x) = lb(x) = log2 (x); ln(x) und lg(x) = log10 (x) in Vielen Taschenrechner sind höchstens einiger der Logarithmen ld(x) = lb(x) = log2 (x); ln(x) und lg(x) = log10 (x) programmiert. Für Logarithmus zur anderen Basis a > 0 gilt loga (x) = ln(x) ; a > 0; a , 1; x > 0 ln(a) y = ln(x) ⇔ x = ey ; x > 0 (35.1.0.2) (35.1.0.3) Bemerkung 35.1.0.1 Alle Kurven der Funktionen f (x) = loga (x) gehen durch den Punkt S (1; 0) 35.2 Formeln Die Logarithmusfrage geht genau umgekehrt an die Potenzrechnung heran: Es wird nämlich nicht gefragt, was bei a2 , a3 oder so etwas herauskommt, sondern durch welchen Exponenten y wird die Basis a zur Zahl x? Zum Beispiel durch welchen Exponenten wird die 5 zur 625? Antwort 4 = log5 (625) Wegen a0 = 1 für alle a > 0 gilt loga (1) = 0; a > 0; a , 1 (35.2.0.1) loga (a) = 1; a > 0; a , 1 (35.2.0.2) Wegen a1 = 1 für alle a > 0 gilt Seien x, y, a > 0 Setze loga (x) = r; loga (y) = s und loga (xy) = t Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 154 Es gilt x = ar ; y = a s und xy = at Damit ist ar a s = at ⇒ ar+s = at ⇒r+s=t ⇒ loga (x) + loga (y) = loga (xy) Es gilt also loga (x) + loga (y) = loga (xy); a > 0; a , 1; x > 0; y > 0 (35.2.0.3) loga (a x ) = x füra > 0; a , 1; x > 0 (35.2.0.4) ln(e x ) = x; x > 0 (35.2.0.5) aloga (x) = x fürx > 0; a > 0; a , 1 (35.2.0.6) eln(x) = x; x > 0 (35.2.0.7) Ferner gelten die Folgende Regeln: Insbesondere Insbesondere loga ! x = loga (x) − loga (y) fürx > 0, y > 0, a > 0 und a , 1 y (35.2.0.8) loga (xr ) = r loga (x) fürx > 0, a > 0 und a , 1 (35.2.0.9) a x < z < ay ⇒ x < loga (z) < y fürz > 0, a > 0 und a , 1 (35.2.0.10) ar loga (x) = xr fürx > 0, a > 0 und a , 1 (35.2.0.11) er ln(x) = xr fürx > 0 (35.2.0.12) Insbesondere Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 155 ! 1 = − loga (x) fürx > 0, a > 0 und a , 1 x (35.2.0.13) √ 1 loga ( n x) = loga (x) fürx > 0, a > 0 und a , 1 n (35.2.0.14) loga , denn loga x · 1x = loga (x) + loga 1x , wegen (35.2.0.3) Aber loga x · 1x = loga (1) = 0, wegen (35.2.0.1) y logd (x) logc (x) x logb (x) loga (x) Abbildung 35.2.0.1: einige Logarithmen loga (x); logb (x); logc (x); logd (x) mit 0 < a < b < 1 < c < d 35.3 Definitionsbereich f (x) = ln(x) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 35.4 Ableitungen f (x) = ln(x2 + 3) f ′ (x) = f ′′ (x) = f (x) = x2 ln(2x) f ′ (x) = f ′′ (x) = f (x) = x2 + ln(4x) f ′ (x) = f ′′ (x) = f (x) = x2 ln(x) f ′ (x) = f ′′ (x) = 156 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 35.5 Übungen 35.5.1 Aufgabe 35.1 Bestimmen Sie die folgenden Logarithmen von Hand 1 ) a) log5 ( 125 √3 b) log10 ( 100) c) log16 (2) √ d) log 1 ( 8) 4 e) log9 ( √127 ) f) log8 (log4 (log2 (216 ))) g) 3−2 log3 (5) √ h) log9 ( 273 ) i) log3 ( √31 ) 9 j) log36 ( 61 ) k) log 2 ( 94 ) 3 √3 l) log 1 ( 25) 5 1 ) m) log9 ( 27 n) log 2 (1) 3 o) log4 (32) p) log5 ( q 1 125 ) q) log √2 (8) 157 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net r) log8 ( √31 ) 4 s) log 19 (243) √ t) log4 ( 8) 35.5.2 Lösung der Aufgabe 35.1 1 a) log5 ( 125 ) = log5 ( 513 ) = log5 (5−3 ) = −3 log5 (5) = −3 √3 b) log10 ( 100) 1 = log10 (100 3 ) = 1 3 log10 (100) = 1 3 log10 (102 ) = 2 3 log10 (10) = 2 3 c) log16 (2) = log16 (160.25) = 1 4 = 1 4 log16 (16) 158 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net √ d) log 14 ( 8) = log 41 (80.5 ) = 1 2 log 14 (8) = 1 2 log 1 (( 81 )−1 ) 4 = − 21 log 1 ( 81 ) 4 = − 12 log 1 ( 41 · 12 ) 4 = − 21 log 1 ( 41 · 4 q 1 4) = − 12 log 1 ( 41 ( 41 )0.5 ) 4 = − 12 log 1 (( 41 )1.5 ) 4 = − 12 · 23 log 1 ( 14 ) 4 = − 21 · 3 2 = − 34 e) log9 ( √127 ) = log9 ( √127 ) √ = − log9 ( 27) = − log9 (270.5 ) = − 12 log9 (27) = − 21 log9 (9 · 3) = − 12 log9 (9 · √ 9) 159 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = − 12 log9 (9 · 90.5 ) = − 21 log9 (91.5 ) = − 21 23 log9 (9) = − 12 23 = − 34 f) log8 (log4 (log2 (216 ))) = log8 (log4 (log2 (216 ))) = log8 (log4 (16 log2 (2))) = log8 (log4 (16)) = log8 (log4 (42 )) = log8 (2 log4 (4)) = log8 (2) 1 = log8 (8 3 ) = 1 3 = 1 3 log8 (8) g) 3−2 log3 (5) −2 = 3log3 (5 = 5−2 ) 160 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = 1 25 √ h) log9 ( 273 ) √ = log9 ( 9·33 ) = log9 ( 9· 1√3 ) = − log9 (9 · √ 3) √ = − log9 (9) − log9 ( 3) √ = −1 − log9 ( 3) = −1 − 12 log9 (3) √ = −1 − 21 log9 ( 9) = −1 − 1 2 · 21 log9 (9) = −1 − 1 2 · = −1 − 1 4 1 2 = − 54 i) log3 ( √31 ) 9 √3 = − log3 ( 9) 1 = − log3 (9 3 ) = − 13 log3 (9) = − 31 log3 (32 ) = − 23 log3 (3) 161 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = − 23 j) log36 ( 61 ) = − log36 (6) √ = − log36 ( 36) = − log36 (360.5 ) = − 12 log36 (36) = − 12 k) log 23 ( 94 ) = log 32 (( 23 )2 ) = log 32 (( 32 )−2 ) = −2 log 23 ( 32 ) = −2 √3 l) log 1 ( 25) 5 = = = 1 3 log 1 (25) 1 3 log 1 (52 ) 1 3 log 15 (( 51 )−2 ) 5 5 = − 32 log 51 ( 51 ) = − 23 1 m) log9 ( 27 ) 162 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = − log9 (27) = − log9 (9 · 3) = − log9 (9 · √ 9) √ = − log9 (9) − log9 ( 9) √ = −1 − log9 ( 9) = −1 − 12 log9 (9) = −1 − 1 2 = − 32 n) log 2 (1) 3 =0 o) log4 (32) = log4 (16 · 2) = log4 (16 · √ 4) √ = log4 (16) + log4 ( 4) √ = log4 (42 ) + log4 ( 4) = 2 log4 (4) + 12 log4 (4) =2+ = 5 2 1 2 163 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net p) log5 ( = 1 2 q 1 125 ) 1 log5 ( 125 ) = − 12 log5 (125) = − 21 log5 (53 ) = − 32 q) log √2 (8) = log √2 (23 ) = 3 log √2 (2) √ = 3 log √2 (( 2)2 ) √ = 3 · 2 log √2 ( 2) =3·2 =6 r) log8 ( √31 ) 4 √3 = − log8 ( 4) = − 13 log8 (4) = − 31 log23 (4) = − 31 = − 13 = − 13 log2 (4) 3 log2 (22 ) 3 2 log2 (2) 3 164 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = − 13 2 3 = − 29 s) log 1 (243) 9 = log9−1 (243) = log9 (243) −1 = − log9 (243) = − log32 (243) =− log3 (243) 2 =− log3 (35 ) 2 =− 5 log3 (3) 2 = − 52 √ t) log4 ( 8) = 1 2 log4 (8) = 1 2 log22 (8) = 1 2 · log2 (8) 2 = 1 2 · log2 (23 ) 2 = 1 2 · 3 log2 (2) 2 165 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = 1 2 = 3 4 · 3 2 166 Kapitel 36 Einfache Verzinsung 36.1 Lineare (Einfache) Verzinsung Der Zins wird üblicherweise so gerechnet, dass für ein Kapital K0 pro Jahr ein fester Prozentsatz p (Zinsfluss) als Zins gezahlt p wird. Die entsprechende Dezimalzahl i = 100 heisst Zinssatz pro Jahr oder Zinssatz pro annum (p.a.) oder nominaler Zinssatz. Werden nur Zinsen auf das Anfangskapital K0 geleistet, nicht aber auf die schon angefallenen Zinsen der vorangehenden Jahren, so spricht man von Linearer (Einfacher) Verzinsung. Zinssatz i K4 Abbildung 36.1.0.1: Zahlungsstahl 167 n. Jahr Kn ••• 4. Jahr K3 3. Jahr K2 2. Jahr K1 K0 1. Jahr Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 168 Mit den Bezeichnungen: K0 Anfangskapital n Laufzeit in Jahren (n kann auch Dezimal sein) Zn Zinsen nach n Jahren Kn Kapital nach n Jahren i Zinssatz p Prozentsatz gilt i= p 100 Kn = K0 (1 + ni) (36.1.0.1) (36.1.0.2) Kn 1 + ni (36.1.0.3) i= 1 Kn − nK0 n (36.1.0.4) n= 1 Kn − iK0 i (36.1.0.5) K0 = Zn = niK0 (36.1.0.6) Die Bedeutung der Linearen (Einfachen) Verzinsung liegt darin, dass nach § 248 BGB (siehe http://dejure.org/gesetze/BGB/248.html) die Erhebung von Zinseszinsen zwischen Privatpersonen nicht statthaft ist und somit die Lineare (Einfache) Verzinsung die einzige zulässige Verzinsungsform zwischen Privatleuten darstellt. Beispiel 36.1.0.1 Der Privatmann Herr R. Eich leiht seinem Freund A. R. Mut am 1.1.2010 einen Betrag in Höhe von 10000 CHF. Dieser verpflichtet sich, das Kapital mit 10% Linear (Einfach) zu verzinsen und am 30.6.2017 zurückzuzahlen. Herr A. R. Mut muss also einen Betrag von K7.5 = 10000(1 + 7.5 · 0.1) = 17500 CHF zurückzahlen. 36.2 Unterjährige Lineare (Einfache) Verzinsung Gelegentlich werden die sich aus einem Zinsssatz i ergebenden Zinsen auch halbjährlich, vierteljöhrlich oder monatlich angerechnet. man spricht dann von Unterjährige Verzinsung in vielen Länder (wie in Deutschland) wird ein Jahr zu 360 und jeder Monat zu 30 Zinstagen gerechnet. Nach t Tage gilt Das Jahr ist in m gleich lange Zeiträume (z.B. Tagen, Monaten, Quartale, Semester, usw.) geteilt. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net i= p 100 Kt = K0 (1 + K0 = 169 (36.2.0.1) t i) m Kt 1 + mt i 1 (36.2.0.2) (36.2.0.3) i= Kt t m K0 t= Kt m − miK0 i (36.2.0.5) t iK0 m (36.2.0.6) Zt = − t m (36.2.0.4) Beispiel 36.2.0.1 Ein Kapital von 1680.- CHF wurde zu 1.5% angelegt. Nach 218 Tage erhöht sich das Kapital auf T 218 = 218 0.015) = 1695.26 CHF 1680(1 + 360 Beispiel 36.2.0.2 Für die Überziehung eines Girokontos berechnet eine Bank 10.5% Lineare (Einfache) Verzinsung. Im Abrechnungszeitraum hat Herr Schweizer sein Girokonto dreimal überzogen, un zwar 8 Tag mit 120.- CHF, 22 Tage mit 235.- CHF und 22 17 8 0.105)+235(1+ 360 0.105)+444(1+ 360 0.105) = 3.99 17 Tage mit 444.- CHF. Herr Schweizer muss also T 8 +T 22 +T 17 = 120(1+ 360 CHF Überziehungszinsen zahlen Beispiel 36.2.0.3 Ein Handwerkerrechnung beträgt 780.- CHF. sie kann sofort nach Abzug von 1.2% Skonto oder in 28 Tage ohne Abzug bezahlt werden. untersuchen wir, welche Zahlungsweise günstiger ist, wenn man bei einer Kantonalbank für kurzfristige Tagesgelder bis zu einem Monat 3% Zinsen bekäme. Nach Skontoabzug zu zahlen: 780.- CHF * 98.8%=770.64 CHF Nach Abzug von Tagesgeldzinsen zu zahlen: 780 − 780(1 + 28 360 0.03) Die Zahlungsweise mit Skontoabzug ist um 7.54 CHF günstiger = 778.18 CHF Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 170 36.3 Übungen 36.3.1 Aufgabe 36.1 wie viel ergibt ein Anfangskapital von 5000 CHF bei Linearer (Einfacher) Verzinsung mit 3% nach 10 Jahren als Endkapital? 36.3.2 Lösung der Aufgabe 36.1 3 K10 = 5000(1 + 10 100 ) = 6500 CHF Kapitel 37 Zins– und Zinsesrechnung 37.1 Verzinsung mit Zinseszins Wird ein Kapital K0 länger als ein Jahr ausgeliehen und werden die jeweiligen Zinsen am Jahresende dem Kapital zugeschlagen und somit im nächsten Jahr mitverzinst, so vermehrt sich das Kapitel K0 bei gegeben nominalen Zinssatz i wie folgt Zinssatz i K4 n. Jahr Kn ••• 4. Jahr K3 3. Jahr K2 2. Jahr K1 K0 1. Jahr Abbildung 37.1.0.1: Zahlungsstahl Kn = K0 (1 + i)n 171 (37.1.0.1) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net r Kn −1 K0 (37.1.0.2) Kn (1 + i)n (37.1.0.3) ln(Kn ) − ln(K0 ) ln(1 + i) (37.1.0.4) i= n K0 = n= Mit den Bezeichnungen: K0 Anfangskapital n Laufzeit in Jahren (n kann auch Dezimal sein) Zn Zinsen nach n Jahren Kn Kapital nach n Jahren i Zinssatz p Prozentsatz q = 1 + i Zinsfaktor Beispiel 37.1.0.1 (a) Ein Kapital hat sich in 10 Jahren verdoppelt. Zu welchem Zinssatz wurde das kapital angelegt? K10 = K0 1 + = 1+ p 10 100 p 10 100 ⇒ K10 K0 ⇒ q K10 K0 =1+ p 100 ⇒ q K10 K0 −1= p 100 10 10 ⇒ 100 q 10 K10 K0 : K0 : √ 10 − 1 · 100 −1 = p ⇒ p = 7.18 Das Kapital wurde zum Zinssatz p=7.18% angelegt (b) Nach welcher Zeit hat sich ein zu 3% angelegtes Kapital verdreifacht? Kn = K0 1 + 3 n 100 : K0 172 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net ⇒ ⇒ Kn K0 = 1+ 3 n 100 Kn = 1+ K0 |{z} =3 ⇒3= 1+ 173 3 n 100 3 n 100 ⇒ 3 = (1.03)n ⇒ ln(3) = n ln(1.03) ⇒n= ln(3) ln(1.03) ⇒ n = 37.17 Nach 37.17 Jahren wird sich ein zu 3% angelegtes Kapital verdreifachen (c) Welches Anfangskapital wurde zu 2% angelegt, wenn nach fünf Jahre das Kapital 10000 Franken beträgt? K5 = K0 1 + 2 5 100 ⇒ 10000 = K0 1 + ⇒ K0 = 10000 2 5 100 2 5 ) (1+ 100 : 1 + 2 5 100 ⇒ K0 = 8057.30 CHF 37.2 Unterjährige Verzinsung mit Zinseszins Teilt man das Jahr in m gleichlange Perioden ein, so gilt nach t dieser Perioden Kt = K0 (1 + i t ) m (37.2.0.1) Für den effektiven Zinssatz im pro Jahr gilt K0 (1 + im ) = K0 (1 + d.h. im = (1 + i m ) m i m ) −1 m (37.2.0.2) (37.2.0.3) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 174 Für m unendlich gross gilt i∞ = exp(i) − 1 (37.2.0.4) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 175 37.3 Übungen 37.3.1 Aufgabe 37.1 Ein Kredit in Höhe von 75000.- CHF wird nach einem und nach zwei Jahren in zwei gleichen grossen Raten zu je 39000 CHF zurückgezahlt. Welcher Jahres Zinssatz wird hierbei zu runde gelegt? 37.3.2 Lösung der Aufgabe 37.1 75000 = 39000 q1 ⇒ q = 1.02655 ⇒ p = 2.655% + 39000 q2 Kapitel 51 Kurvendiskussion: Polynome 51.1 Einführung Gegeben E(x) = −2.244 − 1.9080000 ∗ x − 0.237 ∗ x2 + 0.072 ∗ x3 − 0.003 ∗ x4 a) Nullstellen, Schnittpunkte mit der x–Achse 1.0000 x0 = (−2.0000) x0 = (−2.0000) x0 = (−2.0000) -24.0000 79.0000 636.0000 748.0000 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ 131.0000 374.0000 ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ⇓ ⇓ −26.0000 y 1.0000 1.0000 −26.0000 y 1.0000 −28.0000 1.0000 −28.0000 187.0000 y 1.0000 −30.0000 1.0000 −30.0000 ∗(−2.0000) = = = 131.0000 374.0000 0.0000 ⊕ ⊕ ⊕ ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ⇓ ⇓ ⇓ = ⇓ = = ⊕ ⊕ ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) = ⇓ ⇓ 187.0000 = 0.0000 = ⇓ 247.0000 Tabelle 51.1.0.1: Hornerschema +1.0000∗x4 −24.0000∗x3 +79.0000∗x2 +636.0000∗x+748.0000 = (x+2.0000)2 ·(+1.0000x2 −28.0000x+187.0000)+0.0000 Damit ist xN1 = −2.000 xN2 = −2.000 176 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 177 Bei der Gleichung 1.000x2 − 28.000x + 187.000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit a = 1, b = −28 und c = 187 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 36 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xN3 = −b− √ b2 − 4ac = 11 2a xN4 = −b+ √ b2 − 4ac 2a = 17 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Nullstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−5.000; 5.000] liegen. Die Nullstelle sind also xN1 = −2.000 xN2 = −2.000 b) Ableitungen, Extrema, Hoch– und Tiefpunkte Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.003(+636.0000 + 158.0000 ∗ x − 72.0000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.003(+158.0000 − 144.0000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) 4.0000 x0 = (−2.0000) x0 = (−2.0000) -72.0000 158.0000 636.0000 ⊕ ⊕ ⊕ ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ⇓ ⇓ −80.0000 y 4.0000 4.0000 −80.0000 318.0000 y 4.0000 −88.0000 4.0000 −88.0000 = = ⇓ ⊕ 318.0000 = 0.0000 ⊕ ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) = = ⇓ ⇓ 494.0000 Tabelle 51.1.0.2: Hornerschema +4.0000 ∗ x3 − 72.0000 ∗ x2 + 158.0000 ∗ x + 636.0000 = (x + 2.0000)1 · (+4.0000x2 − 80.0000x + 318.0000) + 0.0000 Damit ist xE1 = −2.000 Bei der Gleichung 4.000x2 − 80.000x + 318.000 = 0 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 178 handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit a = 4, b = −80 und c = 318 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 1312 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xE2 = −b− √ b2 − 4ac = 5.4723074 2a xE3 = −b+ √ b2 − 4ac = 14.5276926 2a Diese beide letzte Lösungen scheiden als Extremstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−5.000; 5.000] liegen. Die Extremstellen sind also xE1 = −2.000 E ′′ (−2.000) = −1.482 < 0 Bei dieser Extremumstelle handelt es sich um eine Maximum und es gilt E(−2.000) = −0.000 c) Tangente Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.003(+636.0000 + 158.0000 ∗ x − 72.0000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Tangente von E(x) an der Stelle 2.500 ist eine Gerade und hat die Gleichung t1 : y = E ′ (2.500)(x − (2.500)) + E(2.500) d.h. t1 : y = −1.931(x − 2.500) − 7.487 t1 : y = −1.931x − 2.661 Die Tangente von E(x) an der Stelle 3.750 ist eine Gerade und hat die Gleichung t2 : y = E ′ (3.750)(x − (3.750)) + E(3.750) d.h. t2 : y = −1.281(x − 3.750) − 9.528 t2 : y = −1.281x − 4.725 d) Normale Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.003(+636.0000 + 158.0000 ∗ x − 72.0000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Normale von E(x) an der Stelle 2.500 ist eine Gerade und hat die Gleichung n1 : y = − 1 (x − (2.500)) + E(2.500) E ′ (2.500) d.h. n1 : y = 0.518(x − 2.500) − 7.487 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net n1 : y = 0.518x − 8.782 Die Normale von E(x) an der Stelle 3.750 ist eine Gerade und hat die Gleichung n2 : y = − 1 (x − (3.750)) + E(3.750) E ′ (3.750) d.h. n2 : y = 0.781(x − 3.750) − 9.528 n2 : y = 0.781x − 12.456 e) Elastizität Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.003(+636.0000 + 158.0000 ∗ x − 72.0000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Elastizität von E(x) an der Stelle 2.500 ist εE (2.500) = (2.500) E ′(2.500) E(2.500) −1.931 = (2.500) −7.487 = 0.645 Die Elastizität von E(x) an der Stelle 3.750 ist εE (3.750) = (3.750) −1.281 = (3.750) −9.528 = 0.504 f) Graph . E ′(3.750) E(3.750) 179 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 180 E 14.0000 12.0000 10.0000 8.00000 6.00000 4.00000 -4.00000 -6.00000 -8.00000 -10.0000 -12.0000 -14.0000 -16.0000 Abbildung 51.1.0.1: Graph . 7.00000 6.00000 5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 -2.00000 1.00000 -1.00000 -2.00000 -3.00000 -4.00000 -5.00000 -6.00000 -7.00000 -8.00000 2.00000 x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 181 51.2 Übungen 51.2.1 Aufgabe 51.1 Für eine Produktion, die auf das Intervall [−5.000; 8.000] definiert ist, wurde die folgende Ertragsfunktion ermittelt: E(x) = −0.001(+1944.0000 + 1764.0000 ∗ x + 310.0000 ∗ x2 − 41.0000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Bestimmen Sie für diese Ertragsfunktion die Nullstellen. Verifizieren Sie, dass -2.000 Nullstelle(n) ist (sind); Vielfachheit beachten! b) Bestimmen Sie alle Extrema (lokale und globale Minima und Maxima) c) Bestimmen Sie die Tangente an 4.000, 6.000 d) Bestimmen Sie die Normale an 4.000, 6.000 e) Bestimmen Sie die Elastizität an 4.000, 6.000 f) Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Bereich [−5.000; 8.000]. Benutzen Sie dabei das beigefügten Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 51.2.2 Lösung der Aufgabe 51.1 Gegeben E(x) = −0.001(+1944.0000 + 1764.0000 ∗ x + 310.0000 ∗ x2 − 41.0000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Nullstellen, Schnittpunkte mit der x–Achse 182 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 1.0000 x0 = (−2.0000) -41.0000 310.0000 1764.0000 1944.0000 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ⇓ ⇓ −43.0000 y 1.0000 1.0000 −43.0000 y 1.0000 −45.0000 1.0000 −45.0000 486.0000 y 1.0000 −47.0000 1.0000 −47.0000 = = ⇓ ⊕ x0 = (−2.0000) ∗(−2.0000) (−2.0000) 396.0000 972.0000 0.0000 ⊕ ⊕ ⇓ ⊕ x0 = = = ⇓ 972.0000 = ∗(−2.0000) = 396.0000 183 ⇓ 486.0000 ∗(−2.0000) = ⇓ 0.0000 ⊕ ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) = = ⇓ ⇓ 580.0000 Tabelle 51.2.2.1: Hornerschema +1.0000 ∗ x4 − 41.0000 ∗ x3 + 310.0000 ∗ x2 + 1764.0000 ∗ x + 1944.0000 = (x + 2.0000)2 · (+1.0000x2 − 45.0000x + 486.0000) + 0.0000 Damit ist xN1 = −2.000 xN2 = −2.000 Bei der Gleichung 1.000x2 − 45.000x + 486.000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit a = 1, b = −45 und c = 486 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 81 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xN3 = −b− √ b2 − 4ac xN4 = −b+ √ b2 − 4ac = 27 2a 2a = 18 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Nullstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−5.000; 8.000] liegen. Die Nullstelle sind also xN1 = −2.000 xN2 = −2.000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 184 b) Ableitungen, Extrema, Hoch– und Tiefpunkte Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.001(+1764.0000 + 620.0000 ∗ x − 123.0000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.001(+620.0000 − 246.0000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) 4.0000 x0 = (−2.0000) x0 = (−2.0000) -123.0000 620.0000 1764.0000 ⊕ ⊕ ⊕ −131.0000 y 4.0000 4.0000 −131.0000 882.0000 y 4.0000 −139.0000 4.0000 −139.0000 ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) = = ⇓ ⇓ ⊕ ⊕ ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) = 882.0000 ∗(−2.0000) = ⇓ 0.0000 = ⇓ ⇓ 1160.0000 Tabelle 51.2.2.2: Hornerschema +4.0000 ∗ x3 − 123.0000 ∗ x2 + 620.0000 ∗ x + 1764.0000 = (x + 2.0000)1 · (+4.0000x2 − 131.0000x + 882.0000) + 0.0000 Damit ist xE1 = −2.000 Bei der Gleichung 4.000x2 − 131.000x + 882.000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit a = 4, b = −131 und c = 882 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 3049 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xE2 = −b− √ b2 − 4ac = 9.4727812 2a xE3 = −b+ √ b2 − 4ac 2a = 23.2772188 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Extremstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−5.000; 8.000] liegen. Die Extremstellen sind also xE1 = −2.000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net E ′′ (−2.000) = −0.580 < 0 Bei dieser Extremumstelle handelt es sich um eine Maximum und es gilt E(−2.000) = −0.000 c) Tangente Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.001(+1764.0000 + 620.0000 ∗ x − 123.0000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Tangente von E(x) an der Stelle 4.000 ist eine Gerade und hat die Gleichung t1 : y = E ′ (4.000)(x − (4.000)) + E(4.000) d.h. t1 : y = −1.266(x − 4.000) − 5.796 t1 : y = −1.266x − 0.732 Die Tangente von E(x) an der Stelle 6.000 ist eine Gerade und hat die Gleichung t2 : y = E ′ (6.000)(x − (6.000)) + E(6.000) d.h. t2 : y = −0.960(x − 6.000) − 8.064 t2 : y = −0.960x − 2.304 d) Normale Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.001(+1764.0000 + 620.0000 ∗ x − 123.0000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Normale von E(x) an der Stelle 4.000 ist eine Gerade und hat die Gleichung n1 : y = − 1 (x − (4.000)) + E(4.000) E ′ (4.000) d.h. n1 : y = 0.790(x − 4.000) − 5.796 n1 : y = 0.790x − 8.956 Die Normale von E(x) an der Stelle 6.000 ist eine Gerade und hat die Gleichung n2 : y = − 1 (x − (6.000)) + E(6.000) E ′ (6.000) d.h. n2 : y = 1.042(x − 6.000) − 8.064 n2 : y = 1.042x − 14.314 e) Elastizität Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.001(+1764.0000 + 620.0000 ∗ x − 123.0000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Elastizität von E(x) an der Stelle 4.000 ist εE (4.000) = (4.000) −1.266 = (4.000) −5.796 E ′(4.000) E(4.000) 185 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = 0.874 Die Elastizität von E(x) an der Stelle 6.000 ist εE (6.000) = (6.000) −0.960 = (6.000) −8.064 = 0.714 f) Graph . E ′(6.000) E(6.000) 186 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 187 E 14.0000 12.0000 10.0000 8.00000 6.00000 4.00000 -4.00000 -6.00000 -8.00000 -10.0000 -12.0000 -14.0000 -16.0000 Abbildung 51.2.2.1: Graph . 7.00000 6.00000 5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 -2.00000 1.00000 -1.00000 -2.00000 -3.00000 -4.00000 -5.00000 -6.00000 -7.00000 -8.00000 2.00000 x Kapitel 52 Kolloquium 188 Kapitel 53 vermischte Übungen 53.1 Aufgabe 1 Füllen Sie die Lücken (. . . . . . . . . ) a) log 1 (a) = . . . . . . . . . a b) loga2 ( a1 ) = . . . . . . . . . c) log √1 (. . . . . . . . . ) = − 2c d a d) log 12 (. . . . . . . . . ) = − 2n a e) log √1 (. . . . . . . . . ) = −4 a f) loga ( a12 ) = . . . . . . . . . √ g) log 1a ( a) = . . . . . . . . . h) log.........( 1a ) = −2 i) log......... (a2 ) = 2 j) log √1 (. . . . . . . . . ) = −1 a 53.2 Lösung zur Aufgabe 1 a) log a1 (a) = −1 b) loga2 ( a1 ) = − 21 √d c) log √1 ( ac ) = − 2c d a d) log 12 (an ) = − n2 a e) log √1 (a2 ) = −4 a f) loga ( a12 ) = −2 √ g) log 1 ( a) = − 21 a 189 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 190 h) log √a ( a1 ) = −2 i) loga (a2 ) = 2 √ j) log √1 ( a) = −1 a 53.3 Aufgabe 2 a) Berechnen Sie den ggT (und die kgV) der Zahlen 708 und 84 b) finden Sie ganzen Zahlen x und y, so dass 708x + 84y = ggT (708, 84) 53.4 Lösung zur Aufgabe 2 a) Beim Euklidschen Algorithmus wird wie folgt verfahren: Man teilt die grössere durch die kleinere Zahl. Geht die Division auf, ist der Divisor der ggT. Geht die Division nicht auf, bleibt ein Rest. Dieser Rest ist der neue Divisor. Der alte Divisor wird zum Dividenden. Nun setzt man das Verfahren fort. Der ggT ist das letzte Rest, der nicht Null ist. 708 = 8 ∗ 84 + 36 84 = 2 ∗ 36 + 12 ⇐ ggT 36 = 3 ∗ 12 + 0 ggT (708, 84) = 12 kgV(708, 84) = 708 ∗ 84 ggT (708, 84) = 4956 b) Die letzte Gleichung des Euklidschen Algorithmus wird gestrichen. Die erste Gleichung wird mit (-2) multipliziert und anschliessende die Beiden Gleichungen addiert: 708 = 8 ∗ 84 + 36 | · (−2) 84 = 2 ∗ 36 + 12 ✘ + 0 ✘12 ❩ ✚ 3❩ 6 ✚ = ❳ ✘ 3 ∗❳ ❳ ✚ ❩ ✁ ✚ ❆ ❩ man erhält −2 ∗ 708 + 84 = −2 ∗ 8 ∗ 84 + 12 ⇒ |{z} −2 ∗708 + (|{z} 17 ) ∗ 84 = 12 =x =y Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 53.5 Aufgabe 3 Berechnen Sie die Summe i 7 P 5 9 +5 +8 i=1 53.6 Lösung zur Aufgabe 3 7 P i=1 i + 59 + 58 = + 59 i 7 P + 85 i=1 = + 95 ∗ = + 59 ∗ + 85 7+1 1 − + 58 + 58 − 1 390625 ) − (+ 85 ) (+ 16777216 (+ 58 ) − 1 6057081 =+ 2097152 ≈ 2.8882 53.7 Aufgabe 4 Wandeln Sie die periodische Dezimalbrüche in einen gekürzten Bruch um 12.03123 53.8 Lösung zur Aufgabe 4 1. Methode setze x = 12.03123 Damit ist 100x = 1203.123 und 100000x = 1203123.123 somit gilt 100000x − 100x = 1201920 d.h. x = 1201920 99900 gekürzt x = + 20032 1665 191 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 192 2. Methode setze x = 12.03123 Damit ist x = 12.03 + = = 1203 100 + 1203 100 + 123 100 123 100 x = + 1203 100 + ∞ P i=1 ∗ 1 1000i 123 100 ∞ P i=1 1 1000i 1 1000−1 41 33300 zusammengefasst und gekürzt x = + 20032 1665 53.9 Aufgabe 23 Mit welchem Zinssatz hätte einen Sparbetrag von 5225.00 GE bei Einfachen Verzinsung verzinst werden müssen, um nach 11 Jahren auf 5957.61 GE zu wachsen? 53.10 Lösung zur Aufgabe 23 i= Kn n ∗ K0 − 1 n = 5957.61 11.0000 ∗ 5225.00 − 1 11.0000 = 0.0127 d.h. p = 1.27% p.a. 53.11 Aufgabe 24 Wie viele Jahre muss ein Anfangskapital von 7638.00 GE mit 4.8% p.a. bei Zinszins verzinst werden, bis es auf ein Endkaiptal von 8791.51 GE gewachsen ist? 53.12 Lösung zur Aufgabe 24 n= ln(Kn ) − ln(K0 ) ln(1 + i) = ln(8791.51) − ln(7638.00) ln(1 + 0.0480) = 3.0000 Jahre 53.13 Aufgabe 25 Von einer Geometrischen Folge kennt man a5 = 22.78125000 und a9 = 115.33007813 Berechnen Sie q, a0 , a14 und s14 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 53.14 Lösung zur Aufgabe 25 Gegeben eine Geometrische Folge mit ak = 22.78125000; k = 5; aℓ = 115.33007813; ℓ = 9 Aus ak = a0 ∗ qk und aℓ = a0 ∗ qℓ folgt d.h. aℓ a0 ∗ qℓ = ak a0 ∗ qk aℓ = qℓ−k ak d.h. q = ± =± s 4 s ℓ−k aℓ ak 115.33007813 22.78125000 = ±1.50000000 1. Fall q = +1.5000 Nun gilt a0 = = ak qk 22.78125000 1.500000005 = 3.00000000 a14 = a0 ∗ q14 = 875.78778076 14+1 s14 = a0 q q−1−1 = 2621.36334229 2. Fall q = −1.5000 Nun gilt a0 = = ak qk 22.78125000 (−1.50000000)5 = −3.00000000 193 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 194 a14 = a0 ∗ q14 = −875.78778076 14+1 s14 = a0 q q−1−1 = −526.67266846 53.15 Aufgabe 26 Wie viele Jahre muss ein Anfangskapital von 6195.00 GE mit 4.1% p.a. bei Zinszins verzinst werden, bis es auf ein Endkaiptal von 7573.47 GE gewachsen ist? 53.16 Lösung zur Aufgabe 26 n= ln(Kn ) − ln(K0 ) ln(1 + i) = ln(7573.47) − ln(6195.00) ln(1 + 0.0410) = 5.0000 Jahre 53.17 Aufgabe 67 Für eine Produktion, die auf das Intervall [−8.000; +8.000] definiert ist, wurde die folgende Ertragsfunktion ermittelt: E(x) = −0.0005(−1486.7200 − 1493.9200 ∗ x − 374.8800 ∗ x2 + 2.2000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Bestimmen Sie für diese Ertragsfunktion die Nullstellen. Verifizieren Sie, dass -2.0000 Nullstelle ist; Vielfachheit beachten! b) Bestimmen Sie i) lim E(x) x→+∞ ii) lim E(x) x→−∞ c) Bestimmen Sie alle Extrema (lokale und globale Minima und Maxima) d) Berechnen Sie alle Wendepunkte der Funktion e) Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Bereich [−8.000; +8.000]. Benutzen Sie dabei das beigefügten Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 195 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 196 53.18 Lösung zur Aufgabe 67 Gegeben E(x) = −0.0005(−1486.7200 − 1493.9200 ∗ x − 374.8800 ∗ x2 + 2.2000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Nullstellen, Schnittpunkte mit der x–Achse 1.0000 x0 = (−2.0000) 2.2000 -374.8800 -1493.9200 -1486.7200 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) ⇓ ⇓ y 1.0000 1.0000 0.2000 = ⊕ x0 = (−2.0000) (−2.0000) −743.3600 = = −375.2800 −743.3600 0.0000 −1.8000 −371.6800 = ⊕ y 1.0000 1.0000 −1.8000 −371.6800 y 1.0000 −3.8000 1.0000 −3.8000 ∗(−2.0000) = ⇓ ⇓ = ⇓ ∗(−2.0000) ⇓ ⊕ ∗(−2.0000) = ⇓ 0.0000 ⊕ ∗(−2.0000) = ∗(−2.0000) ⇓ ⊕ x0 = −375.2800 0.2000 ∗(−2.0000) = ⇓ −364.0800 Tabelle 53.18.0.1: Hornerschema +1.0000∗x4 +2.2000∗x3 −374.8800∗x2 −1493.9200∗x−1486.7200 = (x+2.0000)2·(+1.0000x2 −1.8000x−371.6800)+0.0000 Damit ist xN1 = −2.0000 xN2 = −2.0000 Bei der Gleichung 1.0000x2 − 1.8000x − 371.6800 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 1.0000, b = −1.8000 und c = −371.6800 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 1489.9600 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xN3 = −b− √ b2 − 4ac = −18.4000 2a xN4 = −b+ √ b2 − 4ac = 20.2000 2a Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 197 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Nullstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegen. Die Nullstelle sind also xN1 = −2.0000 xN2 = −2.0000 b) Grenzwerte i) lim E(x) = −∞ x→+∞ ii) lim E(x) = −∞ x→−∞ c) Ableitungen, Extrema, Hoch– und Tiefpunkte Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.0005(−1493.9200 − 749.7600 ∗ x + 6.6000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.0005(−749.7600 + 13.2000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) 4.0000 x0 = (−2.0000) x0 = (−2.0000) 6.6000 -749.7600 -1493.9200 ⊕ ⊕ ⊕ ∗(−2.0000) ∗(−2.0000) −1.4000 y 4.0000 4.0000 −1.4000 −746.9600 y 4.0000 −9.4000 4.0000 −9.4000 ∗(−2.0000) = ⇓ = ⇓ ⊕ −746.9600 = ⇓ 0.0000 ⊕ ∗(−2.0000) = ⇓ ∗(−2.0000) = ⇓ −728.1600 Tabelle 53.18.0.2: Hornerschema +4.0000 ∗ x3 + 6.6000 ∗ x2 − 749.7600 ∗ x − 1493.9200 = (x + 2.0000)1 · (+4.0000x2 − 1.4000x − 746.9600) + 0.0000 Damit ist xE1 = −2.0000 Bei der Gleichung 4.0000x2 − 1.4000x − 746.9600 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 4.0000, b = −1.4000 und c = −746.9600 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 11953.3200 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net xE2 = −b− √ b2 − 4ac = −13.4914 2a xE3 = −b+ √ b2 − 4ac = 13.8414 2a 198 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Extremstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegen. Die Extremstellen sind also xE1 = −2.0000 E ′′ (−2.0000) = 0.3641 > 0 Bei dieser Extremumstelle handelt es sich um eine Minimum und es gilt E(−2.0000) = 0.0000 d) Wende– /Sattelpunkte Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.0005(−749.7600 + 13.2000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) Bei der Gleichung 12.0000x2 + 13.2000x − 749.7600 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 12.0000, b = 13.2000 und c = −749.7600 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 36162.7200 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xW1 = −b− √ b2 − 4ac = −8.4735 2a xW2 = −b+ √ b2 − 4ac 2a = 7.3735 Die Dritte Abelitung ist E ′′′ (x) = −0.0005(+13.2000 + 24.0000 ∗ x) Die Stelle -8.4735 scheidet als Wendepunkt aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegt. E ′′′ (7.3735) = 190.1650 , 0 Bei dieser Stelle handelt es sich um einen Wendepunkt und es gilt E(7.3735) = 14.5231 e) Graph . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 199 E 14.0000 12.0000 10.0000 8.00000 6.00000 4.00000 7.00000 6.00000 5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 -2.00000 1.00000 -1.00000 -2.00000 -3.00000 -4.00000 -5.00000 -6.00000 -7.00000 -8.00000 2.00000 -4.00000 -6.00000 -8.00000 -10.0000 -12.0000 -14.0000 -16.0000 Abbildung 53.18.0.1: Graph . 53.19 Aufgabe 68 Für eine Produktion, die auf das Intervall [−8.000; +8.000] definiert ist, wurde die folgende Ertragsfunktion ermittelt: E(x) = −0.0025(−448.1356 + 813.7030 ∗ x − 367.1700 ∗ x2 − 3.1000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Bestimmen Sie für diese Ertragsfunktion die Nullstellen. x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 200 Verifizieren Sie, dass 1.1000 Nullstelle ist; Vielfachheit beachten! b) Bestimmen Sie i) lim E(x) x→+∞ ii) lim E(x) x→−∞ c) Bestimmen Sie alle Extrema (lokale und globale Minima und Maxima) d) Berechnen Sie alle Wendepunkte der Funktion e) Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Bereich [−8.000; +8.000]. Benutzen Sie dabei das beigefügten Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 201 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 202 53.20 Lösung zur Aufgabe 68 Gegeben E(x) = −0.0025(−448.1356 + 813.7030 ∗ x − 367.1700 ∗ x2 − 3.1000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Nullstellen, Schnittpunkte mit der x–Achse 1.0000 x0 = (+1.1000) -3.1000 -367.1700 813.7030 -448.1356 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ∗(+1.1000) ∗(+1.1000) ∗(+1.1000) (+1.1000) (+1.1000) 407.3960 = = −369.3700 407.3960 0.0000 −0.9000 −370.3600 1.0000 −2.0000 y 1.0000 1.0000 −0.9000 −370.3600 y 1.0000 0.2000 ∗(+1.1000) ∗(+1.1000) ⇓ ⇓ 1.0000 0.2000 = ⇓ ∗(+1.1000) = ⇓ = = ⇓ ⇓ ⊕ ⊕ ∗(+1.1000) ∗(+1.1000) = ⇓ ⊕ x0 = −369.3700 1.0000 ⊕ x0 = −2.0000 y ∗(+1.1000) ⇓ = ⇓ 0.0000 ⊕ = −370.1400 Tabelle 53.20.0.1: Hornerschema +1.0000∗ x4 −3.1000∗ x3 −367.1700∗ x2 +813.7030∗ x−448.1356 = (x−1.1000)2 ·(+1.0000x2 −0.9000x−370.3600)+0.0000 Damit ist xN1 = 1.1000 xN2 = 1.1000 Bei der Gleichung 1.0000x2 − 0.9000x − 370.3600 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 1.0000, b = −0.9000 und c = −370.3600 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 1482.2500 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xN3 = −b− √ b2 − 4ac = −18.8000 2a xN4 = −b+ √ b2 − 4ac = 19.7000 2a Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 203 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Nullstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegen. Die Nullstelle sind also xN1 = 1.1000 xN2 = 1.1000 b) Grenzwerte i) lim E(x) = −∞ x→+∞ ii) lim E(x) = −∞ x→−∞ c) Ableitungen, Extrema, Hoch– und Tiefpunkte Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.0025(+813.7030 − 734.3400 ∗ x − 9.3000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.0025(−734.3400 − 18.6000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) 4.0000 x0 = (+1.1000) x0 = (+1.1000) -9.3000 -734.3400 813.7030 ⊕ ⊕ ⊕ ∗(+1.1000) ∗(+1.1000) −4.9000 y 4.0000 4.0000 −4.9000 −739.7300 y 4.0000 −0.5000 4.0000 −0.5000 ∗(+1.1000) = ⇓ = ⇓ ⊕ −739.7300 = ⇓ 0.0000 ⊕ ∗(+1.1000) = ⇓ ∗(+1.1000) = ⇓ −740.2800 Tabelle 53.20.0.2: Hornerschema +4.0000 ∗ x3 − 9.3000 ∗ x2 − 734.3400 ∗ x + 813.7030 = (x − 1.1000)1 · (+4.0000x2 − 4.9000x − 739.7300) + 0.0000 Damit ist xE1 = 1.1000 Bei der Gleichung 4.0000x2 − 4.9000x − 739.7300 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 4.0000, b = −4.9000 und c = −739.7300 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 11859.6900 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net xE2 = −b− √ b2 − 4ac = −13.0003 2a xE3 = −b+ √ b2 − 4ac = 14.2253 2a 204 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Extremstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegen. Die Extremstellen sind also xE1 = 1.1000 E ′′ (1.1000) = 1.8507 > 0 Bei dieser Extremumstelle handelt es sich um eine Minimum und es gilt E(1.1000) = 0.0000 d) Wende– /Sattelpunkte Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.0025(−734.3400 − 18.6000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) Bei der Gleichung 12.0000x2 − 18.6000x − 734.3400 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 12.0000, b = −18.6000 und c = −734.3400 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 35594.2800 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xW1 = −b− √ b2 − 4ac = −7.0860 2a xW2 = −b+ √ b2 − 4ac 2a = 8.6360 Die Dritte Abelitung ist E ′′′ (x) = −0.0025(−18.6000 + 24.0000 ∗ x) E ′′′ (−7.0860) = −188.6645 , 0 Bei dieser Stelle handelt es sich um einen Wendepunkt und es gilt E(−7.0860) = 52.5652 Die Stelle 8.6360 scheidet als Wendepunkt aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegt. e) Graph . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 205 E 14.0000 12.0000 10.0000 8.00000 6.00000 4.00000 7.00000 6.00000 5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 -2.00000 1.00000 -1.00000 -2.00000 -3.00000 -4.00000 -5.00000 -6.00000 -7.00000 -8.00000 2.00000 -4.00000 -6.00000 -8.00000 -10.0000 -12.0000 -14.0000 -16.0000 Abbildung 53.20.0.1: Graph . 53.21 Aufgabe 69 Für eine Produktion, die auf das Intervall [−8.000; +8.000] definiert ist, wurde die folgende Ertragsfunktion ermittelt: E(x) = −0.0050(−711.0488 + 1017.1560 ∗ x − 362.7800 ∗ x2 − 2.1000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Bestimmen Sie für diese Ertragsfunktion die Nullstellen. x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 206 Verifizieren Sie, dass 1.4000 Nullstelle ist; Vielfachheit beachten! b) Bestimmen Sie i) lim E(x) x→+∞ ii) lim E(x) x→−∞ c) Bestimmen Sie alle Extrema (lokale und globale Minima und Maxima) d) Berechnen Sie alle Wendepunkte der Funktion e) Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Bereich [−8.000; +8.000]. Benutzen Sie dabei das beigefügten Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 207 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 208 53.22 Lösung zur Aufgabe 69 Gegeben E(x) = −0.0050(−711.0488 + 1017.1560 ∗ x − 362.7800 ∗ x2 − 2.1000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Nullstellen, Schnittpunkte mit der x–Achse 1.0000 x0 = (+1.4000) -2.1000 -362.7800 1017.1560 -711.0488 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ∗(+1.4000) ∗(+1.4000) ∗(+1.4000) −363.7600 507.8920 = = −363.7600 507.8920 0.0000 1.0000 0.7000 ∗(+1.4000) ∗(+1.4000) −362.7800 ⇓ ⇓ y 1.0000 1.0000 −0.7000 y 1.0000 0.7000 = ⇓ (+1.4000) ⊕ = (+1.4000) = −362.7800 ⊕ x0 = = ⇓ ⊕ x0 = −0.7000 ⇓ ⊕ ∗(+1.4000) = ⇓ 0.0000 ⊕ y 1.0000 2.1000 ∗(+1.4000) ∗(+1.4000) ⇓ ⇓ 1.0000 2.1000 = ⇓ ∗(+1.4000) = −359.8400 Tabelle 53.22.0.1: Hornerschema +1.0000∗x4 −2.1000∗x3 −362.7800∗x2 +1017.1560∗x−711.0488 = (x−1.4000)2 ·(+1.0000x2 +0.7000x−362.7800)+0.0000 Damit ist xN1 = 1.4000 xN2 = 1.4000 Bei der Gleichung 1.0000x2 + 0.7000x − 362.7800 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 1.0000, b = 0.7000 und c = −362.7800 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 1451.6100 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xN3 = −b− √ b2 − 4ac = −19.4000 2a xN4 = −b+ √ b2 − 4ac = 18.7000 2a Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 209 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Nullstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegen. Die Nullstelle sind also xN1 = 1.4000 xN2 = 1.4000 b) Grenzwerte i) lim E(x) = −∞ x→+∞ ii) lim E(x) = −∞ x→−∞ c) Ableitungen, Extrema, Hoch– und Tiefpunkte Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.0050(+1017.1560 − 725.5600 ∗ x − 6.3000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.0050(−725.5600 − 12.6000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) 4.0000 x0 = (+1.4000) x0 = (+1.4000) -6.3000 -725.5600 1017.1560 ⊕ ⊕ ⊕ ∗(+1.4000) ∗(+1.4000) −0.7000 y 4.0000 4.0000 −0.7000 −726.5400 y 4.0000 4.9000 4.0000 4.9000 ∗(+1.4000) = ⇓ = ⇓ ⊕ −726.5400 = ⇓ 0.0000 ⊕ ∗(+1.4000) ∗(+1.4000) ⇓ ⇓ = = −719.6800 Tabelle 53.22.0.2: Hornerschema +4.0000 ∗ x3 − 6.3000 ∗ x2 − 725.5600 ∗ x + 1017.1560 = (x − 1.4000)1 · (+4.0000x2 − 0.7000x − 726.5400) + 0.0000 Damit ist xE1 = 1.4000 Bei der Gleichung 4.0000x2 − 0.7000x − 726.5400 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 4.0000, b = −0.7000 und c = −726.5400 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 11625.1300 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net xE2 = −b− √ b2 − 4ac = −13.3900 2a xE3 = −b+ √ b2 − 4ac = 13.5650 2a 210 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Extremstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegen. Die Extremstellen sind also xE1 = 1.4000 E ′′ (1.4000) = 3.5984 > 0 Bei dieser Extremumstelle handelt es sich um eine Minimum und es gilt E(1.4000) = −0.0000 d) Wende– /Sattelpunkte Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.0050(−725.5600 − 12.6000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) Bei der Gleichung 12.0000x2 − 12.6000x − 725.5600 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 12.0000, b = −12.6000 und c = −725.5600 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 34985.6400 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xW1 = −b− √ b2 − 4ac = −7.2685 2a xW2 = −b+ √ b2 − 4ac 2a = 8.3185 Die Dritte Abelitung ist E ′′′ (x) = −0.0050(−12.6000 + 24.0000 ∗ x) E ′′′ (−7.2685) = −187.0445 , 0 Bei dieser Stelle handelt es sich um einen Wendepunkt und es gilt E(−7.2685) = 118.3644 Die Stelle 8.3185 scheidet als Wendepunkt aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegt. e) Graph . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 211 E 14.0000 12.0000 10.0000 8.00000 6.00000 4.00000 7.00000 6.00000 5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 -2.00000 1.00000 -1.00000 -2.00000 -3.00000 -4.00000 -5.00000 -6.00000 -7.00000 -8.00000 2.00000 -4.00000 -6.00000 -8.00000 -10.0000 -12.0000 -14.0000 -16.0000 Abbildung 53.22.0.1: Graph . 53.23 Aufgabe 70 Für eine Produktion, die auf das Intervall [−8.000; +8.000] definiert ist, wurde die folgende Ertragsfunktion ermittelt: E(x) = −0.0020(−568.8540 − 876.3430 ∗ x − 336.7300 ∗ x2 + 1.9000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Bestimmen Sie für diese Ertragsfunktion die Nullstellen. x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 212 Verifizieren Sie, dass -1.3000 Nullstelle ist; Vielfachheit beachten! b) Bestimmen Sie i) lim E(x) x→+∞ ii) lim E(x) x→−∞ c) Bestimmen Sie alle Extrema (lokale und globale Minima und Maxima) d) Berechnen Sie alle Wendepunkte der Funktion e) Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Bereich [−8.000; +8.000]. Benutzen Sie dabei das beigefügten Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 213 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 214 53.24 Lösung zur Aufgabe 70 Gegeben E(x) = −0.0020(−568.8540 − 876.3430 ∗ x − 336.7300 ∗ x2 + 1.9000 ∗ x3 + 1.0000 ∗ x4 ) a) Nullstellen, Schnittpunkte mit der x–Achse 1.0000 x0 = (−1.3000) 1.9000 -336.7300 -876.3430 -568.8540 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ∗(−1.3000) ∗(−1.3000) ∗(−1.3000) ⇓ ⇓ y 1.0000 1.0000 0.6000 = ⊕ x0 = (−1.3000) (−1.3000) −437.5800 = = −337.5100 −437.5800 0.0000 −0.7000 −336.6000 = ⊕ y 1.0000 1.0000 −0.7000 −336.6000 y 1.0000 −2.0000 1.0000 −2.0000 ∗(−1.3000) = ⇓ ⇓ = ⇓ ∗(−1.3000) ⇓ ⊕ ∗(−1.3000) = ⇓ 0.0000 ⊕ ∗(−1.3000) = ∗(−1.3000) ⇓ ⊕ x0 = −337.5100 0.6000 ∗(−1.3000) = ⇓ −334.0000 Tabelle 53.24.0.1: Hornerschema +1.0000∗ x4 +1.9000∗ x3 −336.7300∗ x2 −876.3430∗ x−568.8540 = (x+1.3000)2 ·(+1.0000x2 −0.7000x−336.6000)+0.0000 Damit ist xN1 = −1.3000 xN2 = −1.3000 Bei der Gleichung 1.0000x2 − 0.7000x − 336.6000 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 1.0000, b = −0.7000 und c = −336.6000 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 1346.8900 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xN3 = −b− √ b2 − 4ac = −18.0000 2a xN4 = −b+ √ b2 − 4ac = 18.7000 2a Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 215 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Nullstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegen. Die Nullstelle sind also xN1 = −1.3000 xN2 = −1.3000 b) Grenzwerte i) lim E(x) = −∞ x→+∞ ii) lim E(x) = −∞ x→−∞ c) Ableitungen, Extrema, Hoch– und Tiefpunkte Die (erste) Abelitung ist E ′ (x) = −0.0020(−876.3430 − 673.4600 ∗ x + 5.7000 ∗ x2 + 4.0000 ∗ x3 ) Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.0020(−673.4600 + 11.4000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) 4.0000 x0 = (−1.3000) x0 = (−1.3000) 5.7000 -673.4600 -876.3430 ⊕ ⊕ ⊕ y 4.0000 0.5000 ∗(−1.3000) ∗(−1.3000) ⇓ ⇓ 4.0000 0.5000 = −674.1100 ⊕ y 4.0000 4.0000 −4.7000 = −674.1100 ∗(−1.3000) = ⇓ 0.0000 ⊕ ∗(−1.3000) = ⇓ −4.7000 ∗(−1.3000) = ⇓ −668.0000 Tabelle 53.24.0.2: Hornerschema +4.0000 ∗ x3 + 5.7000 ∗ x2 − 673.4600 ∗ x − 876.3430 = (x + 1.3000)1 · (+4.0000x2 + 0.5000x − 674.1100) + 0.0000 Damit ist xE1 = −1.3000 Bei der Gleichung 4.0000x2 + 0.5000x − 674.1100 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 4.0000, b = 0.5000 und c = −674.1100 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 10786.0100 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net xE2 = −b− √ b2 − 4ac = −13.0445 2a xE3 = −b+ √ b2 − 4ac = 12.9195 2a 216 Diese beide letzte Lösungen scheiden als Extremstellen aus, weil sie ausserhalb der Definitionsbereich [−8.000; +8.000] liegen. Die Extremstellen sind also xE1 = −1.3000 E ′′ (−1.3000) = 1.3360 > 0 Bei dieser Extremumstelle handelt es sich um eine Minimum und es gilt E(−1.3000) = 0.0000 d) Wende– /Sattelpunkte Die Zweite Abelitung ist E ′′ (x) = −0.0020(−673.4600 + 11.4000 ∗ x + 12.0000 ∗ x2 ) Bei der Gleichung 12.0000x2 + 11.4000x − 673.4600 = 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung in x mit a = 12.0000, b = 11.4000 und c = −673.4600 Diskriminante D2 = b2 − 4 · a · c = 32456.0400 Da D2 > 0, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, und zwar xW1 = −b− √ b2 − 4ac = −7.9815 2a xW2 = −b+ √ b2 − 4ac 2a = 7.0315 Die Dritte Abelitung ist E ′′′ (x) = −0.0020(+11.4000 + 24.0000 ∗ x) E ′′′ (−7.9815) = −180.1556 , 0 Bei dieser Stelle handelt es sich um einen Wendepunkt und es gilt E(−7.9815) = 23.8665 E ′′′ (7.0315) = 180.1556 , 0 Bei dieser Stelle handelt es sich um einen Wendepunkt und es gilt E(7.0315) = 40.5487 e) Graph . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 217 E 14.0000 12.0000 10.0000 8.00000 6.00000 4.00000 -4.00000 -6.00000 -8.00000 -10.0000 -12.0000 -14.0000 -16.0000 Abbildung 53.24.0.1: Graph . 7.00000 6.00000 5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 -2.00000 1.00000 -1.00000 -2.00000 -3.00000 -4.00000 -5.00000 -6.00000 -7.00000 -8.00000 2.00000 x Literaturverzeichnis [1] Peter Hammond and Knut Sydsaeter. Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissen mit Praxisbezug. Pearson Deutschland GmbH, Lilienthalstr. 2 85399 Hallbergmoos, 2013. [2] Heidrun Matthäus and Wolf-Gert Matthäus. Mathematik für BWL-Bachelor: Schritt für Schritt mit ausführlichen Lösungen. Vieweg + Teubner, Wiesbaden Deutschland, 2012. [3] Andreas Pfeifer. Praktische Finanzmathematik. Vieweg + Teubner, Wiesbaden Deutschland, 2009. [4] Jürgen Tietze. Einführung in die Finanzmathematik. Vieweg + Teubner, Wiesbaden Deutschland, 2011. 218 Kapitel 54 Symbolverzeichnis In diesem Abschnitt stellen wir Symbolen und Notationen zusammen. Die meistens entsprechen denen aus der Literatur aber hier für die Bedürfnisse dieser Arbeit angepasst sind. f (x) f (−1) Bild von x unter der Abbildung f (y) Urbild von y unter der Abbildung f (nicht mit 1 der reziproken Funktion f −1 (x) = f (x) zu verwechseln) Abb(M, N) Menge aller Abbildungen von M nach N In j(M, N) Menge aller injektiven Abbildungen von M nach N S ur j(M, N) Menge aller surjektiven Abbildungen von M nach N Bi j(M, N) Menge aller bijektiven Abbildungen von M nach N d f˙(x), f ′ (x), dx f (x) 2 d f¨(x), f ′′ (x), 2 f (x) dx Ableitung der Funktion f (x) bezüglich x zweite Ableitung der Funktion f (x) bezüglich x ... d3 f (x), f ′′′ (x), 3 f (x) dx dn (n) f (x), n f (x) dx n f (k) (a) P Tn ( f ; a) = (x − a)k k! k=0 dritte Ableitung der Funktion f (x) bezüglich x n–te Ableitung der Funktion f (x) bezüglich x Taylorpolynom vom Grad n von f mit Entwicklungspunkt a. t f (a) : y = f (a) + f ′ (a)(x − a) n f (a) : y = f (a) − 1 f ′ (a) (x Tangente an der Kurve der Funktion f im Punkt (a| f (a)) − a) Normale an der Kurve der Funktion f im Punkt (a| f (a)) af Asymptote der Kurve der Funktion f δi = xxi−1i Di = xi x−xi−1i−1 r n Q δ= n δi i=1 Der Änderungsfaktor = δi − 1 Die Änderungsrate Der durchschnittliche Änderungsfaktor D = (δ − 1) · 100% Die durchschnittliche Änderungsrate εf Elastizität einer Funktion f Kf Fixkosten 219 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Kv Variablen Kosten kf durchschnittliche Variablen Kosten x Menge E(x) Ertragsfunktion G(x) Gewinnfunktion K(x) Kostenfunktion pN (x) Nachfragefunktion pA (x) Angebotsfunktion Y Einkommen C(Y) Konsumfunktionen bzw. Engelfunktionen C(0) Existenzminimum S (Y) Sparfunktionen Lj j.te Zeitraum der Laufzeit K0 Anfangskapital m Anzahl der Zeiträume in einer in einem Jahr t Anzahl der Zeiträume der Laufzeit Lh+1 , . . . , Lh+t Zeiträume der Laufzeit n Anzahl der Jahren in der Laufzeit (n kann auch Dezimal sein) Zn Zinsen Kn (nachschüssige) Kapital Bn (nachschüssige) Barwert En (nachschüssige) Endwert Kn (vorschüssige) Kapital Bn (vorschüssige) Barwert En (vorschüssige) Endwert s Skontosatz C Kurs einer gesamtfälligen Schuld G Einkaufspreis einer gesamtfälligen Schuld H Verkaufspreis einer gesamtfälligen Schuld ci Inverstion p i= Prozentzinssatz (Zinsfuss) p 100 Zinssatz (p.a.) q = 1+i Aufzinsungsfaktor (p.a.) 1 q Abzinsungsfaktor (p.a.) v= d arithmetischer Aufzinsungsfaktor w b = 1± Geometrischer Prozentzinssatz (p.a.) w 100 Geometrischer Aufzinsungsfaktor ∗ i relative Zeiteinheitzinssatz (p.a.) pe f f effektiver Zinsfuss ie f f Effektivzins (p.a.) r (manchmal auch ρ) nachschüssige Rente r (manchmal auch ρ) vorschüssige Rente 220 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net S Schuld A Annuität Tn Tilgungsrate am Ende des Jahres n Rn Schuldenstand am Ende des Jahres n Zeitraum grafisches Symbol für Einzahlung am Ende des Zeitraumes Zeitraum grafisches Symbol für Einzahlung am Anfang des Zeitraumes Zeitraum grafisches Symbol für Auszahlung am Ende des Zeitraumes Zeitraum grafisches Symbol für Auszahlung am Anfang des Zeitraumes Zeitraum grafisches Symbol für Kontostand am Ende des Zeitraumes Zeitraum grafisches Symbol für Kontostand am Anfang des Zeitraumes 12.09 grafisches Symbol für Einzahlung am einem Zeitpunkt 12.09 grafisches Symbol für Auszahlung am einem Zeitpunkt 221 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 12.09 grafisches Symbol für Kontostand am einem Zeitpunkt pi,s Preis des i–ten Gutes zum Basisjahr s qi,s Menge des i–ten Gutes zum Basisjahr s pi,t Preis des i–ten Gutes zum Berichtsjahr t qi,t Menge des i–ten Gutes zum Berichtsjahr t P Dutot QDutot P Laspeyres–Preisindex Laspeyres Laspeyres–Mengenindex Paasche Paasche–Preisindex Paasche Paasche–Mengenindex Drobisch Drobisch–Preisindex Q P QDrobisch P Fisher–Preisindex Fisher Fisher–Mengenindex MarshallEdgeworth Marshall-Edgeworth–Preisindex MarshallEdgeworth Marshall-Edgeworth–Mengenindex Walsh Walsh–Preisindex Q P QWalsh P Walsh–Mengenindex Lowe Lowe–Preisindex Lowe Lowe–Mengenindex Jevons Jevons–Preisindex Jevons Jevons–Mengenindex Umsatz Wert/Umsatz–Index Q P Drobisch–Mengenindex Fisher Q P Dutot–Mengenindex Laspeyres Q P Dutot–Preisindex Q W [GE] Geldeinheit [ME] Mengeneinheit [LE] Leistungseinheit [ZE] Zeiteinheit R Z [Z] [E] eine m × n Matrix eine n × k Matrix Rohstoff–Zwischenprodukt–Matrix Zwischenprodukt–Endprodukt–Matrix R[E] = R[Z] ∗ Z [E] eine m × k Matrix Rohstoff–Endprodukt–Matrix e Menge für Endprodukt zE Menge für Zwischenprodukt zum Endprodukt rZ Menge für Rohstoff zum Zwischenprodukt rE Menge für Rohstoff zum Endprodukt cR Kosten für die Rohstoffe cZ Kosten für die Zwischenprodukte cE Kosten für die Endprodukte c Gesamtkosten für Endprodukt 222 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net p Preis für Endprodukt T u= p ∗e Umsatz G =u−c Gewinn/Verlust Z [H] eine n × k Matrix Zwischenprodukt–Halbprodukt–Matrix R [Z] H R eine m × n Matrix Rohstoff–Zwischenprodukt–Matrix eine k × ℓ Matrix Halbprodukt–Endprodukt–Matrix [E] [E] =R [Z] ∗Z [H] ∗H [E] eine m × ℓ Matrix Rohstoff–Endprodukt–Matrix Vyx eine n × (n + 2) Matrix Leontief Verflechtungsmodell V eine n × n Matrix Verflechtungsmatrix y Konsum x Gesamtproduktion I Input–Matrix E Einheitsmatrix VPG eine n × (n + 2) Matrix Verrechnungstabelle mit n Sektoren, Primärkosten und Gesamt ci Verrechnungspreis für Sektor S i Cte, Cte Konstante z.B. in Integralrechnung G[B] Grundglieder–Baugruppe–Matrix G [M] Grundglieder–Montage–Matrix G [F] Grundglieder–Fertigprodukte–Matrix B [M] Baugruppe–Montage–Matrix B [F] Baugruppe–Fertigprodukt–Matrix M [F] Montage–Fertigprodukt–Matrix D Gesamtbedarf g Vektor für Grundglieder f Vektor für Fertigprodukte (an )n=1,2,3..., bzw. (an )n∈N Folgen von Zahlen n P = ai sn sℓ,n = i=0 n P ai i=ℓ an Glied einer Zahlenfolge A Anzahl einiger Glied einer Zahlenfolge H1 (n) Harmonische Reihe Fol[K] Menge aller Zahlenfolgen in K. koF[K] Menge aller konvergenten Zahlenfolgen in K. diF[K] Menge aller divergenten Zahlenfolgen in K. beF[K] Menge aller beschränkten Zahlenfolgen in K. nuF[K] Menge aller Nullfolgen in K. QS F[K] Menge aller quadratsummierbaren Folgen in ∞ P K, d.h. a2n < ∞ n=1 LRF[K; c1 , . . . , ck ] Menge aller Linearen Rekursionsfolgen (in K) mit y1 , . . . , yk ∈ K und yn+k+1 = c1 yn+1 + · · · + ck yn+k für n ≥ k + 1 223 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net f :X→Y 224 f ist eine Funktion von X nach Y Df Definitionsbereich der Funktion f Wf Wertebereich der Funktion f Gf Graph (Kurve) einer funktion f f ◦g Komposition (Verkettung) von Funktionen f (z)|z=c = f (c) Der Wert von f (z) an der Stelle z = c f (−1) Umkehrfunktion (nicht mit der reziproken 1 Funktion f −1 (x) = f (x) zu verwechseln) r ( f (x))r , r ∈ R f (x) f+ positiver Anteil einer Funktion f− negativer Anteil einer Funktion f|A Einschränkung einer Funktion auf A Abb(M; R) Menge aller reellwertigen Funktionen M → R. geF(M; R) Menge aller reellwertigen geraden Funktionen M → R. unF(M; R) Menge aller reellwertigen ungeraden Funktionen M → R. T (M; R) Menge aller reellwertigen Treppenfunktionen M → R. P(T ; K) Menge aller T –periodisch Funktionen in K. C(M; R) Menge aller reellwertigen stetigen Funktionen M → R. C k (M; R) Menge aller k–mal stetig differenzierbaren Funktionen M → R. C ∞ (M; R) Menge aller ∞–mal stetig differenzierbaren Funktionen M → R. D(M; R) Menge aller reellwertigen differenzierbaren Funktionen M → R. I(M; R) Menge aller reellwertigen Funktionen M → R. f integrierbaren x 7→ y bzw. x 7→ y e f Zuordnungspfeil für f (x) = y D Definitionsmenge einer Gleichung stetige Fortsetzung von f . e flinks e frechts links–halbstetige Fortsetzung von f . L Lösungsmenge D Diskriminante ∆ a b bzw. a b det c d c d a1 b1 c1 a2 b2 c2 bzw. det a 3 b 3 c3 rechts–halbstetige Fortsetzung von f . Determinante a1 b1 a2 a3 b2 b3 c1 c2 c3 =a·d−b·c = (a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3 ) − (c1 · b 2 · a 3 + a 1 · c2 · b 3 + b 1 · a 2 · c3 ) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net gestrichelte Linie durchgezogene Linie ohne Linie id bzw. id M n P ai i=1 n Q ohne Rand (gestrichelte Linie gehört NICHT dazu) mit Rand (durchgezogene Linie gehört dazu) ohne Linie für offen (grenzenlos) Identität (in der Menge M) Die Summe a1 + a2 + · · · + an . i=1 Das Produkt a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ an . a[i..n] ai , ai+1 , . . . , an . i = j(a)n i = j; j + a; . . . ; i ≤ n. ai i = j(−a)n = i = j; j − a; . . . ; i ≥ n. gleich ! = geforderte Gleichheit , ungleich ≈ Ungefähr gleich =ˆ entspricht ∝ ist proportional zu ⋖⋗ Lexikographische Ordnung S < oder ≤ oder = oder ≥ oder > kleiner, bzw. echt kleiner < ≤ kleiner oder gleich > grösser, bzw. echt grösser ≥ grösser oder gleich ≪ viel kleiner als ≫ viel grösser als ≫ sehr viel grösser als ≪ sehr viel kleiner als ∨ oder π Kreiszahl ∧ und TR ◦ Taschenrechner ′ 10 11 12 ′′ Grad/Minuten/Sekunden [rad] Radiant (Winkel) [sr] Steradiant (Raumwinkel) [B] Bel (Leistungspegel) [dB] Dezibel (der zehnte Teil eines Bel) {; } Geschweifte (geschwungene) Klammern (; ) Runde Klammern [; ] Eckige Klammern <; > Spitze Klammern „Anführungszeichen“ Anführungszeichen 225 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net | Senkrechter Strich A∗B Hadamard Produkt zweier Matrizen A und B v⊗w Dyadisches Produkt zweier Vektoren v und w + plus; Addition − minus; Subtraktion ∗ bzw. · mal; multiplikation a/b bzw. a : b durch; Division a = qb + r bzw. a : b = qRest r mit 0 ≤ r < b Euklidsche Division von a durch b div(a, b) bzw. a ÷ b Der quotient q der Euklidschen Division von a durch b, z.B. 7 ÷ 3 = 2 mod (a, b) bzw. a mod b Der Rest r der Euklidschen Division von a durch b, z.B. 7 mod 3 = 1 Schriftliche Euklidische Division − 3 5 1 : 4 3 2 3 1 2 8 − Rest → = 87 ← Quotient 3 − 3 5 3 2 3 1 2 8 − Rest → 1 Schriftliche Euklidische Division (Platzsparend) 4 87 ← Quotient 3 Horner–Schema an x0 an−1 an−2 ⊕ ⊕ bn−1 bn−2 ... ·(x0 ) ·(x0 ) ·(x0 ) ... ⇓ ⇓ ⇓ an y = an = bn−1 bn−2 an−3 ... ... = ... bn−3 ... Polynom–division − 2x2 −3x +1 2x2 − 34 x − 53 x +1 − 53 x + 10 9 − Rest → − 19 : (3x − 2) = 2 3x − 5 9 ← Quotient 226 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Polynom–division (Platzsparend) − 2x2 −3x 2x2 − 34 x − 53 x2 +1 − 35 x + 10 9 − Rest → a b −1 (3x − 2) 2 3x − 5 93 ← Quotient − 19 mit b , 0 rank((a1 , a2 , . . . , ak ), [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ]) unrank(n, [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ]) (a1 , a2 , . . . , ak ) Bruch Rank des Tupels in [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ] das Tupel (a1 , a2 , . . . , ak ) in [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ] mit n = rank((a1 , a2 , . . . , ak ), [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ]) geordnetes k–tupel {a1 , a2 , . . . , ak } Eine Menge △i, j Differenzenquotienten (Dividierte Differenzen) ∇i, j inverse Differenzenquotienten (inverse Dividierte Differenzen) 1.3 1.333333333 . . . badischc,b (x) = an an−1 . . . a1 a0 • a−1 a−2 . . . bzw. (an , an−1 , . . . , a1 , a0 , •a−1 , a−2 , . . . ) b–adische Darstellung der Zahl x in der Basis c zur Basis b badischc,b;n (x) = an an−1 . . . a1 a0 • a−1 a−2 . . . bzw. (an , an−1 , . . . , a1 , a0 , •a−1 , a−2 , . . . ) b–adische Darstellung der Zahl x in der Basis c zur Basis b mit genau n Bits n! n Fakultät A die Menge der algebraischen Zahlen Inversionrechts(i, A) bzw. Inversionrechts(i) rechte Inversionszahl Inversionlinks(i, A) bzw. Inversionlinks(i) linke Inversionszahl Inversion(A) Inversionszahl run(A) Runzahl a x n m xm! x k n n1 ,n2 ,...,nk Sr (n) Sr,s (n) Hr (n) a hoch n = x(x − 1) . . . (x − (m − 1)) fallende Faktorielle = x(x + 1) . . . (x + m − 1) steigende Faktorielle Binomialkoeffizient x über k Multinomialkoeffizienten n P kr k=1 n P k=1 n P k=1 kr ln s (k) 1 kr 227 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net n P Hr,s (n) r k=1 k ∞ P = ζ(2) = ζ(s) k=1 ∞ P k=1 ζ(s|2k − 1) = ⌊x⌋ ∞ 2s − 1 P 1 ζ(s) = (2k−1)s s 2 k=1 ⌈x⌉ Das Runden ⌊x⌉ bzw. ⌈x⌋ |x| 1 k2 Summe der quadrat reziproken 1 ks Summe der reziproken Potenzen ∞ ζ(s) P 1 = (2k)s Summe der reziproken Pos 2 k=1 tenzen der geraden Zahlen = ζ(s|2k) 1 ln s (n) Summe der reziproken Potenzen der ungeraden Zahlen untere Gaussklammer bzw. grösste ganze Zahl ≤ x d.h. ⌊x⌋ ≤ x < 1 + ⌊x⌋ und ⌊x⌋ ∈ Z obere Gaussklammer bzw. kleinste ganze Zahl ≥ x, ⌈x⌉ − 1 < x ≤ ⌈x⌉ und ⌈x⌉ ∈ Z ⌊x⌋, |x − ⌊x⌋| < 12 := z.B. ⌊1.1⌉ = 1; ⌈x⌉, sonst ⌊1.5⌉ = 2; ⌊1.7⌉ = 2 absoluter Betrag einer Zahl x a+ max(a, 0), a reelle Zahl a− min(a, 0), a reelle Zahl x≥0 1, Vorzeichen einer Zahl x = −1, x < 0 sign(x) p% mh φ= p 100 m also 1000 Prozent also √ 1+ 2 2 Promille ≈ 1.618 . . . Goldener Schnitt e = 2.718281828 . . . die Eulersche Zahl γ = 0.5772156649 . . . Euler Mascheroni Konstante b = 1.902160583104 . . . Brunsche Konstante ∞ Unendlich NaN not a number (Keine Zahl) δi, j Kronecker–Symbol xP Polstelle xN Nullstelle δ Die Vielfachheit einer Nullstelle x := AM(x1 , . . . , xn ) Arithmetisches Mittel x̌ := GM(x1 , . . . , xn ) Geometrisches Mittel x := HM(x1 , . . . , xn ) Harmonisches Mittel x := QM(x1 , . . . , xn ) Quadratisches Mittel [AB] Verbindungsstrecke zwischen A und B [AB) Halbgerade vom Punkt A in Richtung des Punktes B (AB) Gerade durch die Punkte A und B QI = {(x, y) : x > 0, y > 0} 1. Quadrant QII = {(x, y) : x < 0, y > 0} 2. Quadrant 228 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net = {(x, y) : x < 0, y < 0} 3. Quadrant QIII = {(x, y) : x > 0, y < 0} 4. Quadrant QIV fˇ optimaler Wert Kr (a) Kreis mit dem Radius r und mit dem Mittelpunkt a xH bzw. xT Hoch oder Tiefpunkt xW Wendepunkt xkrit Kritischer Punkt xC Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt xS Scheitelpunkt NP Nullpunkt HP Hochpunkt TP Tiefpunkt WP Wendepunkt CP Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt S Scheitelpunkt grafisches Symbol für Randpunkte ausgeschlossen grafisches Symbol für Ein Randpunkt ausgeschlossen, anderer eingeschlossen grafisches Symbol für (horizontale, vertikale, schiefe) Asymptote grafisches Symbol für Achsen (z.B. bei Ellipse) b grafisches Symbol für einen Punkt + grafisches Symbol für hebbare Lücke rs grafisches Symbol für Lücke * × grafisches Symbol für wesentliche Singularität grafisches Symbol für einen Polstelle r grafisches Symbol für einen Mittelpunkt 229 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net bc grafisches Symbol für eine Nullstelle bzw. Schnittpunkt q grafisches Symbol für einen Brennpunkt ut grafisches Symbol für einen Hochpunkt ut grafisches Symbol für einen Tiefpunkt l grafisches Symbol für ein Extremum (Tiefpunkt/Hochpunkt) ld grafisches Symbol für einen Wendepunkt grafisches Symbol für konvex grafisches Symbol für konkav grafisches Symbol für eine Tangente an einer Kurve grafisches Symbol für eine Normale an einer Kurve −∞ x 2−x + (x − 4)2 x |2 − x| |x − 4| 2 −∞ 4 | − || 2 2− x 4− x | − 4 x−2 4−x Vorzeichen–tabelle (Werte Ausserhalb des Definitionsbereichs werden durch eine vertikalen Doppelstrich markiert) +∞ || +∞ x−2 x−4 Term–tabelle (Werte Ausserhalb des Definitionsbereichs werden durch eine vertikalen Doppelstrich markiert) # bzw. " Funktionentransformationen 07:00 a.m. bedeutet 07:00 Uhr 07:00 p.m. bedeutet 19:00 Uhr 12:00 a.m. bedeutet 00:00 Uhr 12:00 p.m. bedeutet 12:00 Uhr ιk : Nk0 → N0 Cantorsche Paarungsfunktion 230 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 231 Kettenbruch b1 a0 + b2 + a1 bn +···+ a2 b1 =a0 + an b2 a1 + b3 a2 + .. an−1 + b1 a0 + b2 + a1 b b =a + c =a0 + b c+ c+ (unendlicher) Kettenbruch b2 a1 + a2 + a+ bn an b1 + . . . =a0 + a2 . 1 a1 b3 a3 + . . . + 1 a2 +···+ 1 periodischer Kettenbruch an b c+... 1 =a0 + 1 a1 + 1 a2 + .. an−1 + . 1 an [a0 , a1 , a2 , . . . , an ] (regulärer ) Kettenbruch FFT schnelle Fourier Transformation DFT Diskrete Fourier Transformation iFFT Inverse schnelle Fourier Transformation iDFT Inverse Diskrete Fourier Transformation b x Schätzwert (Näherungswert, berechneter Wert) für den exakten (unbekannten) Wert x κabs absolute Konditionszahl κrel relative Konditionszahl Q1 (n) die 1.te Summe der quadrierten Dezimalziffern der Zahl n Qm (n) die m.te Summe der quadrierten Dezimalziffern der Zahl Qm−1 (n) Q(x) die Quersumme der Zahl x Q1,−1 (x) alternierende Quersumme der Zahl x Qa1 ,a2 ,...,ak (x) Quersumme a1 , a2 , . . . , ak EZ Eulerzug HK die Hamiltonkreis [a, b[, ]a, b] Halboffene Intervalle in R der Zahl x bezüglich Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net [a, b] Abgeschlossene Intervalle in R ]a, b[ Offene Intervalle in R [a..b[, ]a..b] Halboffene Intervalle in Z [a..b] Abgeschlossene Intervalle in Z ]a..b[ Offene Intervalle in Z U (x0 ) Umgebung von x0 Uε (x0 ) ε–Umgebung von x0 • U (a) • Uε (a) ln(x) = U (a) \ {a} punktierte Umgebung von x0 = Uε (a) \ {a} punktierte ε–Umgebung von x0 Logarithmus von x zur Basis e (der natürliche Logarithmus) lb(x) bzw. ld(x) binäre Logarithmus von x (d.h. zur Basis 2), log dualis lg(x) Logarithmus von x zur Basis 10 loga (x) Logarithmus von x zur Basis a log(x) Logarithmus von x x e bzw. exp(x) √ x √n 1 x bzw. x n Exponential von x sin(x) Sinus von x cos(x) Cosinus von x tan(x) Tangens von x arcsin(x) Arcus–Sinus von x arccos(x) Arcus–Cosinus von x arctan(x) Arcus–Tangens von x w bzw. 1 logisches wahr f bzw. 0 logisches falsch A bzw. ¬A Negation, logisches nicht, d.h. Die Negation der Aussage A ∨ Disjunktion, logisches oder (Quadrat)Wurzel von x n.te Wurzel von x ∧ Konjuktion, logisches und A⇒B Implikation, aus A folgt B, d.h. Die Aussage A impliziert die Aussage B A⇔B Äquivalenz, A genau dann, wenn B A⊕B = A ⇔ B Antivalenz, XOR von engl. eXclusive OR - exklusives Oder, entweder oder A9B Inhibition von A F1 F2 Die Boolesche Formeln sind erfüllbarkeitsäquivalent {x : . . . } Menge aller x für die gilt . . . , bzw. Mit der Eigenschaft, so dass A\B Differenz von Mengen A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) symmetrische Differenz von A und B ∈ Ist Element 232 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net < Ist nicht Element A∐B Die Mengen A und B sind disjunkt ∩ Durchschnitt von Mengen ⊆, ⊂ Teilmenge von ⊎ disjunkte Vereinigung. ∪ Vereinigung von Mengen $ (echt) Teilmenge von * kein Teilmenge von ⊃, ⊇ Obermenge von % (echt) Obermenge von + kein Obermenge von A×B M i M • kartesisches Produkt von A und B Pot(A) das i–fache kartesische Produkt der Menge M ∞ S definiert durch M • = M i Ac Das Komplement der Menge A ∁G (A) Das Komplement der Menge A in G X·Y {x · y : x ∈ X und y ∈ Y} AB Die Menge A und B sind gleichmächtig i=0 Potenzmenge von A {x + y : x ∈ X und y ∈ Y} X+Y AB Die Menge A und B sind nicht gleichmächtig X⋆Y {x ⋆ y : x ∈ X und y ∈ Y} card(M) Mächtigkeit der Menge M d.h. die Anzahl der Elemente der (endlichen) Menge M max(A) grösste Element aus A sup(A) Supremum von A min(A) kleinste Element aus A inf(A) arg max(. . . ) bzw. arg min(. . . ) Infimum A z.B. arg max (11.13 + 24.23k − k2 ) = 12 deg(p(x)) := d Der Grad des Polynoms p(x) K[X, n] Menge aller Polynome vom Grad höchstens n mit Koeffizienten in K. K[X] Menge aller Polynome mit Koeffizienten in K. bn;k (x) Bernsteinpolynome Bi,d (x) B–Splines vom Grad d in x Bi,d,k (x) B–Splines vom Grad d in x im Intervall [xk , xk+1 ] Bi1 ,d1 ,i2 ,d2 (x, y) zweidimensionale B–Splines vom Grad d1 in x und vom Grad d2 in y Bi1 ,d2 ,k2 ,i2 ,d2 ,k2 (x, y) zweidimensionale B–Splines vom Grad d1 in x und vom Grad d2 in y im [xk1 , xk1 +1 ] × [yk2 , yk2 +1 ] k... K n k... 1≤k≤20 Menge aller geordneten n–Tupel mit Elementen aus K 233 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net Bi1 ,d1 ,...,in ,dn (x1 , . . . , xn ) Mehrdimensionale B–Splines vom Grad d1 in x1 , . . . , vom Grad dn in xn Bi1 ,d1 , j1 ,...,in ,dn , jn (x1 , . . . , xn ) Mehrdimensionale B–Splines vom Grad d1 in x1 , . . . , vom Grad dn in xn im [x1, j1 , x1, j1 +1 ] × · · · × [xn, jn , xn, jn +1 ] Ci, j (t) De–Casteljau–Polynome Li (x) Lagrangesche Interpolationspolynome Li, j (x) allgemeine Lagrangesche Interpolationspolynome Gi (x) quadratische Lagrangesche Interpolationspolynome Gi, j (x) allgemeine quadratische Lagrangesche Interpolationspolynome Ti (x) Lagrangesche Trigonometrische Interpolationspolynome Ni (x) Newtonsche Interpolationspolynome ℓi,k (x) Hermitesche charakteristische Polynome Hi,k (x) Hermitesche Interpolationspolynome T Polynome für die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung bei reellen Nullstelle U Polynome für die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung bei komplexe konjugiert Nullstelle Fn;T (x) n P 2πkx = a0 + (ak cos( 2πkx T ) + bk sin( T )) Reelle trigonometrische Polynome (Fourierpolynome) der Periode T vom Grad n k=1 FT (x) = a0 + Si,d (x) ∞ P (ak cos( 2πkx T ) k=1 Si,d1 , j,d2 (x, y) Si1 ,d1 ,...,in ,dn (x1 , . . . , xn ) Rn,m (x) + bk sin( 2πkx T )) Reelle trigonometrische Polynome (Reelle Fourierpolynome) der Periode T Spline vom Grad (Ordnung) d im Intervall [xi , xi+1 ] zweidimensionale Spline vom Grad d1 in x und vom Grad d2 in y im [xi , xi+1 ] × [y j , y j+1 ] Mehrdimensionale Spline vom Grad vom Grad d1 in x1 , . . . , vom Grad dn in xn im [x1, j1 , x1, j1 +1 ] × · · · × [xn, jn , xn, jn +1 ] Padé–Approximation mit n als Grad vom Zähler und m als Grad vom Nenner ∼ bzw. R bzw. S Relation auf eine Menge M, kann eine äquivalenzralation B ( R) Boolsche Matrix einer Relation R (−1) Inverse Relation R + transitive Hülle der Relation R R ∗ reflexive und transitive Hülle der Relation R [x] bzw. [x]∼ Äquivalenzklasse der Äquivalenzralation ∼ mit Vertreter oder Repräsentanten x 234 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net M/ ∼ bzw. M/R Die Menge der Äquivalenzklassen (manchmal auch Faktormenge oder Quotientenmenge genannt) index(∼) Index der Äquivalenzrelation ∼ N Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null) N0 Menge der natürlichen Zahlen (mit Null) Z Menge der ganzen Zahlen Q Menge der rationalen Zahlen R Körper der reellen Zahlen I Menge der irrationalen Zahlen ∗ Menge aller reellen Zahlen ohne Null R R∗− Menge der negativen reellen Zahlen (ohne Null). R>0 bzw. R∗+ Menge der positiven reellen Zahlen (ohne Null). R≥0 bzw. R+ Menge der positiven reellen Zahlen (mit Null). R≤0 bzw. R− Menge der negativen reellen Zahlen (mit Null). C Körper der Komplexen Zahlen R<0 bzw. ∗ C Menge aller Komplexen Zahlen ohne Null C = C ∪ {∞} abgeschlossene komplexe Ebene oder Riemannsche Zahlenkugel C− C \ { x ∈ R; x ≤ 0} geschlitzte Ebene = R ∪ {−∞; +∞} abgeschlossene reelle Achse R Menge aller transzendenten Zahlen T Menge aller algebraischen Zahlen A A(d) 10 −21 10−18 Menge aller algebraischen Zahlen vom Grad d Zepto (z) Atto (a) 10 −15 Femto ( f ) 10 −12 Piko (p) 10 −9 Nano (n) 10 −6 Mikro (µ) 10 −3 Milli (m) 10−2 Zenti (c) −1 Dezi (d) 10 10 Deka (da) 100 Hekto (h) 3 Kilo (k) 6 10 = Million Mega (M) 1012 = Billion Tera (T ) 10 = Tausend 15 Peta (P) 18 Exa (E) 21 Zetta (Z) 10 = Billiarde 10 = Trillion 10 = Trilliarde 235 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 1024 = Quadrillion Yotta (Y) lim limes lim sup Limes superior lim inf Limes inferior lim+ bzw. lim x→a rechtsseitiger Grenzwert lim bzw. lim x→a linksseitiger Grenzwert x→a x→a− x>a x<a O, o, ∼, Ω, ω Landausche Notationen (asymptotische Nota- tionen) Tabelle 54.0.0.1: Notationen 236 Kapitel 55 Formelsammlung 237 Die Bezeichnung des Summationsindex ist beliebig n n n P P P ai = a j = ak i=ℓ j=ℓ k=ℓ n P m P ai, j = n P m P n P m P ai, j = ai, j i=ℓ j=k ! ! n P m m n P P P ai b j = bj ai ∗ i=ℓ j=k i=ℓ j=k i=ℓ j=k i=ℓ ! j=k P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. . . }: Menge aller Primzahlen. das ist die Menge aller natürlichen Zahlen, die genau zwei Teiler haben. Bei Summen kann man den Index verschieben, ohne dass sich der Wert der Summe ändert: n P ai = i=ℓ n P ai = i=ℓ 55.3 Zahlenmengen n− Pj ak+ j k=ℓ− j n+ Pj P ⊂ N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ak− j Summen aufspalten n+s P ai = i=ℓ n P i=ℓ n P I∪Q=R k=ℓ+ j ai + n P bi = i=ℓ n P (ai + bi ) s P ai + i=ℓ n+s P ai i=s+1 i=ℓ (cai + dbi ) = c n P ai + d i=ℓ i=ℓ leere Summe n−1 P ai = 0 n P bi i=ℓ i=n b P k= k=a b P k=a n P b P k2 = b P k=a +∞ P k=a n(n+1)(2n+1) 6 b P k=1 k=a k2 − q = qb+1 −qa q−1 ; qk = qa 1−q ; k (a1 . . . an )10 10n − 1 (a1 . . . an b1 . . . bn )10 − (a1 . . . an )10 0.a1 . . . an b1 . . . bn = 10n+m − 10m c = c(b − a + 1) k=1 55.4 periodische Dezimalzahlen 0.a1 . . . an = (b+a)(b−a+1) 2 k2 = I ∩ Q = ∅ = {} a−1 P k2 k=1 für q , 1 für |q| < 1 55.2 Doppelsumme Dividiert man eine natürliche Zahl a ohne Rest durch eine natürliche Zahl b, so heisst a ein Vielfaches von b oder b ein Teiler von a. Notation b | a (gelesen: a ist teilbar durch b) Unter der Bedingung a > b a = q1 b + r1 b r1 = = q2 r1 q3 r2 + + r2 r3 r2 .. . = .. . q3 r2 .. . + .. . r3 .. . rn−5 rn−4 = = qn−3 rn−4 qn−2 rn−3 + + rn−3 rn−2 rn−3 rn−2 = = qn−1 rn−2 qn rn−1 + + rn−1 rn | · cn = cn−2 − cn−1 q2 | · cn−1 = cn−3 − cn−2 q3 | · cn−2 = cn−4 − cn−3 q4 | · cn−3 = cn−5 − cn−4 q5 | · c4 = c2 − c3 qn−2 | · c3 = c1 − c2 qn−1 | · c2 = 1 − c1 q n | · c1 = −qn+1 rn−1 = qn+1 rn + rn+1 = ggT (a, b) = d ✭ ❍ ❤ ✭ ✘ ❤r❤ =✟ 0 rn+2 + ❳ = ✭ qn+2 rn ✭ ✘ ❍ ❳ ✟ ❩ n+1 ✚ ❩ ❤ ✚ ✚ ❩ cn a + cn−1 b = cn q1 b + d ⇒ cn a + (cn−1 − cn q1 )b = d |{z} | {z } =x Eine natürliche Zahl n ≥ 2 heisst Primzahl, wenn 1 und n ihre einzigen positiven Teiler sind. Ist eine natürliche Zahl n ≥ 2 nicht Primzahl, so heisst sie zusammengesetzt. p Primzahl ⇒ p | a∨ p | b p | ab Euklidscher =y Alternativ Berlekamp–Algorithmus: Für x0 = 1; x1 = 0, xk+1 = xk−1 − qk xk und y0 = 0; y1 = 1, yk+1 = yk−1 − qk yk gilt xn+2 a + yn+2 b = ggT (a, b) kgV(a.b) = ab ggT (a, b) 238 Bei Doppelsumme wird zuerst die innere Summe behandelt und dann die äussere 55.5 Primzahlen 55.6 Erweiterter Algorithmus Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 55.1 Summenzeichen 55.10 Binomialkoeffizient Fakultät n! = n Q Differenz A \ B = {x : x ∈ A und x < B} i i=1 Die Lineare ganzzahlige (Diophantische) Gleichung ax + by = c, a, b, c ∈ Z, hat Durchschnitt A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B} Binomialkoeffizient n! = n k!(n−k)! k = 0, • keine Lösung, falls ggT (a, b) ∤ c • viele Lösungen, falls ggT (a, b) | c und b zwar x = k + ggTc(a,b) s und y = ggT (a, b) a c − k + t mit k ∈ Z und ggT (a, b) ggT (a, b) as + bt = ggT (a, b) eine Partikuläre Lösung n(n−1)...(n−k+1) , k! 0≤k≤n Vereinigung A ∪ B = {x : x ∈ A oderx ∈ B} sonst symmetrische Differenz von A und B ist A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) 55.11 Intervalle abgeschlossen [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} 55.8 Das Pascalsche Dreieck offen ]a, b[= {x : a < x < b} n links offen, rechts abgeschlossen ]a, b] = {x : a < x ≤ b} k = n−1 k−1 k k=0 k=1 1 1 1 n=0 n=1 . + n−1 k=2 k=3 k=4 ... links abgeschlossen, rechts offen [a, b[= {x : a ≤ x < b} 1 1 2 3 1 3 1 n=4 .. . 1 .. . 4 .. . 6 .. . 4 .. . 1 .. . ]a, +∞[= {x : a < x} .. . ] − ∞, a[= {x : x < a} ] − ∞, a] = {x : x ≤ a} ] − ∞, +∞[= R 55.9 Der Binomische Lehrsatz (−1)n−k k=0 kartesisches Produkt A × B = {(x, y) : x ∈ A und y ∈ B} (gelesen: A kreuz B) Ac = ∁G (A) = G \ A = {x : x ∈ G und x < A}, das ist das Komplement von A bezüglich der Grundmenge G Potenzmenge Pot(A) = {X : X ⊂ A} n k Oft sinnvoll ist die sog. disjunkte Vereinigung von Mengen: M = A ⊎ B, d.h. M = A ∪ B und A ∩ B = ∅ Zwei Mengen A und B heissen disjunkt, falls A ∩ B = ∅. Disjunkte Mengen werden mit ∐ notiert; d.h. A ∐ B 55.12 Mengenlehre ak bn−k ∅ = {} leere Menge A ⊂ B heisst a ∈ A ⇒ a ∈ B (gelesen: A ist 239 (a − b)n = n P n k n−k k a b k=0 n P Als Mächtigkeit einer Menge A bezeichnet man die Anzahl der (unterscheidbaren) Elemente von A und benutzt dafür das Symbol card(A) card(Pot(A)) = 2card(A) , wenn A endlich ist [a, +∞[= {x : a ≤ x} n=2 n=3 (a + b)n = Teilmenge von B, bzw. A ist in B enthalten) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 55.7 Lineare ganzzahlige (Diophantische) Gleichungen a b A B 6 3 4 2 1 8 c d = a b · −a b = − ba = −a −b = a b ka kb = a b d c = ad bc a −b 40 55.14 Allgemeine Rechenregeln (−x) · (−y) = x · y a x ∗ ay = a x+y a0 = ax = a x−y ay 1 = a−y ay (−x) · (+y) = −x · y (+x) · (−y) = −x · y (a + b − c)(x − y + z) = ax − ay + az + bx − by + bz − cx + cy − cz Nenner , 0 a1 a2 b1 b2 = c1 c2 d1 d2 a c + b c = a+b c a c − b c = a−b c a c ∗ b d = a∗b c∗d ⇔ a1 d2 b1 c2 = c1 b2 d1 a2 55.15 Arithmetische Folge an qn aℓ = qℓ−k ak ln(an ) − ln(a0 ) n= ln(q) s n an , n ungerade a0 q= s n an ± a , n gerade 0 sn = a0 1 − qn+1 1−q 1 − qn+1 an = a0 + nd sn = an a0 = an − nd sn = an − a0 n= d ak − aℓ d= k−ℓ n P sn = ai 55.17 Verzinsung mit Zinseszins i=0 qn (1 − q) a0 − qan 1−q Kn = K0 (1 + i)n 240 ⇔ ad = bc = 2 an = qn · a0 a0 = 1 c d 2 2an − nd a x ∗ b x = (ab) x (+x) · (+y) = x · y a b sn = (n + 1) a0 + an 55.16 Geometrische Folge +(+x) = x; +(−x) = −x; −(−x) = x Zähler sn = (n + 1) √ y ay = a 2 a xy = (a x )y = (ay ) x Bruch = sn = (n + 1)a0 + d n(n+1) 2 √x y ay = a x 9 C : Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 55.13 Venn–Diagramm n K0 = n= p Prozentsatz Kn −1 K0 Kn gilt (1 + i)n ln(Kn ) − ln(K0 ) ln(1 + i) n Zn = K0 (1 + i) − K0 Zinsen nach n Jahren i= p 100 55.20 Exponentielle Prozesse Kn = K0 (1 + ni) n Laufzeit in Jahren (n kann auch Dezimal sein) Kn 1 + ni Kn i= −1 nK0 n Kn 1 − n= iK0 i Zn Zinsen nach n Jahren Zn = niK0 Mit den Bezeichnungen: K0 Anfangskapital Würde der Bestand um eine Änderungsrate a > 0 sich verändern und das in τ vielen Zeitintervallen, t so gilt y(t) = y0 (a τ ) mit t in Zeitintervallen K0 = prozentuelle Abnahme (bzw. Wachstum): Würde der Bestand um p% abnehmen (bzw. wachsen) und p das in τ vielen Zeitintervallen, so gilt a = 1 − 100 p (bzw. a = 1 + 100 ) Kn Kapital nach n Jahren 55.19 Logarithmen 55.21 Logische Aussagen und Symbole y = loga (x) ⇔ x = ay ; a > 0; a , 1; x > 0 logisches wahr = w = 1 = true i Zinssatz p Prozentsatz q = 1 + i Zinsfaktor loga (x) = ln(x) ln(a) ; a > 0; a , 1; x > 0 loga (1) = 0; a > 0; a , 1 55.18 Lineare (Einfache) Verzinsung K0 Anfangskapital loga (x) + loga (y) = loga (xy); a > 0; a , 1; x > 0; y > 0 loga yx = loga (x) − loga (y) fürx > 0, y > 0, a > 0 und a , 1 n Laufzeit in Jahren (n kann auch Dezimal sein) loga (xr ) = r loga (x) fürx > 0, a > 0 und a , 1 Zn Zinsen nach n Jahren ln(x) = loge (x) Logarithmus von x zur Basis e (der natürliche Logarithmus), wobei e ≈ 2.7182818284 . . . die Eulersche Zahl Kn Kapital nach n Jahren Negation i A (0) 0 (1) 1 A = ¬A 1 0 Konjunktion (und) i A B A∧B (0) 0 0 0 (1) 1 0 0 (2) 0 1 0 (3) 1 1 1 y y = ln(x) ⇔ x = e ; x > 0 . Disjunktion (oder) . 241 i Zinssatz logisches falsch = f = 0 = false Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net i= s B (0) 0 0 (1) 1 0 1 (2) 0 1 1 (3) 1 1 1 Implikation i A B 0 A∨B 0 0 (1) 1 0 0 0 (2) 0 1 1 1 (3) 1 1 1 1 Äquivalenz i A B • genau eine reelle Lösung x1 = x2 = −b 2a , falls −b 2 D = 0: L = { 2a }. Hier gilt ax + bx + c = a(x − x1 )2 . • keine reelle Lösung, falls D < 0: L = {} = ∅ A⇔B 0 0 0 1 0 0 0 0 (1) 1 (2) 0 1 1 (A ∧ B) ∨ (A ∧ B) (0) (3) 1 A⇒B (0) 1 1 1 an √ −b± D , • Zwei reelle Lösungen x1/2 = 2a √ √ −b− D −b+ D falls D > 0: L = { , } 2a 2a 2 Hier gilt ax + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) . 1 . an xn +an−1 xn−1 ... an xn −an x0 xn−1 bn−1 xn−1 A∨B= A∧B .. . an xn +an−1 xn−1 ... .. . n n−1 an x −an x0 x n−1 an x + bn−1 x bn−2 ... ·(x0 ) ·(x0 ) ·(x0 ) ... ⇓ ⇓ ⇓ = = = ... bn−3 ... eini- Wf [0; +∞[ [0; +∞[ x R [0; +∞[ R R loga (x); a > 0 ]0; +∞[ R ax; a > 0 R ]0; +∞[ 1 x R \ {0} R \ {0} sin(x) R [−1; +1] tan(x) R \ { 2π 3 cos(x) R Z . n−2 bn−1 + kπ}, k ∈ [−1; +1] R + ... ... .. . .. . . Vielfachheit von Nullstellen beachten 55.27 Einige Grenzwerte a n xn + · · · + a 1 x + a 0 x→+∞ b p x p + · · · + b1 x + b0 lim 242 Für die Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a , 0 berechnet man die Diskriminante D = b2 − 4ac bn−1 x n−1 an ... Df =an xn−1 + bn−1 xn−2 + . 2. . (x − x0 ) ⊕ ... f (x) √ x x ... ⊕ an−3 55.26 Definitionsbereiche ger Funktionen . Es gibt auch eine Platzsparende Schema für Polynom–division A∧B= A∨B 55.23 Allgemeine Form: abc– Formel : (x − x0 ) y an−2 an bn−1 bn−2 . Vielfachheit von Nullstellen beachten 55.24 Polynom–division 1 55.22 De Morgan’sche Gesetze x0 an−1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net A 55.25 Horner–Schema Für a , 0 hat die Gleichung ax2 + bx + c = 0: A∨B i Falls lim f (x) = ∞ und lim g(x) = ∞ dann f (x) f ′ (x) lim = lim ′ g(x) g (x) u(x) ′ u′ (x)w(x) − u(x)w′ (x) ) = w(x) w2 (x) 1 − rw′ (x) Reziproken–Regel ( r )′ = r+1 w (x) w (x) Quotienten–Regel ( Potenz–Regel (ur (x))′ = r · u′ (x)ur−1 (x), r , 0 55.29 Ableitungen einiger bekannten Funktionen Ketten–Regel ( f (u(x)))′ = f ′ (u(x)) · u′ (x) logarithmische Ableitung f ′ (x) = f (x) · (ln( f (x)))′ (axr )′ = arxr−1 , r , 0 n an x + · · · + a1 x + a0 x→−∞ b p x p + · · · + b1 x + b0 a n xn = lim x→−∞ b p x p an (−1)n−p (∞), n > p b p a n = , n=p b p 0, n<p lim ( a bxr )′ = − ra bxr+1 55.31 Elastizität (a x )′ = a x · ln(a) ′ (x) Elastizität ε f (x) = x ff (x) (ebx+c )′ = b · ebx+c • Eine Stelle ist vollkommen unelastisch, wenn |ε f (x)| = 0 ′ 1 a = − ax + b (ax + b)2 (ln(bx + c))′ = • Eine Stelle ist unelastisch, wenn 0 |ε f (x)| < 1 b bx+c (a cos(bx + c))′ = −ab sin(bx + c) • Eine Stelle ist proportional elastisch, wenn |ε f (x)| = 1 (a sin(bx + c))′ = ab cos(bx + c) lim xn e x = 0 x→−∞ (a tan(bx + c))′ = lim xn e x = +∞ ab cos2 (bx+c) • Eine Stelle ist elastisch, wenn |ε f (x)| > 1 x→+∞ ab (a cot(bx + c))′ = − sin2 (bx+c) lim+ xn ln(x) = 0 x→0 < • Eine Stelle ist vollkommen elastisch, wenn |ε f (x)| → ∞ lim xn ln(x) = +∞ x→+∞ 55.32 Tangente 55.30 Ableitungsregeln 55.28 Regel von de l’Hospital = 0 dann Die Tangente von f (x) an der Stelle x0 ist eine Gerade und hat die Gleichung t f (x0 ) : y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) Summen–Regel (u(x) + w(x))′ = u′ (x) + w′ (x) Faktor–Regel (c · u(x))′ = c · u′ (x) ′ ′ ′ Produkt–Regel (u(x) · w(x)) = u (x)w(x) + u(x)w (x) d.h. t f (x0 ) : y = f ′ (x0 )x + f (x0 ) − f ′ (x0 )x0 243 Falls lim f (x) = 0 und lim g(x) f ′ (x) f (x) = lim ′ lim g(x) g (x) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net a n xn x→+∞ b p x p an (∞), n > p b p a n = , n=p bp 0, n<p = lim 55.35 Extremwerte Die Normale von f (x) an der Stelle x0 ist eine Gerade und hat die Gleichung n f (x0 ) : y = 1 (x − x0 ) + f (x0 ) ′ f (x0 ) x0 x + f (x0 ) − ′ d.h. n f (x0 ) : y = ′ f (x0 ) f (x0 ) f ′ (xkrit ) = 0 und f ′′ (xkrit ) < 0 relatives Maximum an der Stelle xkrit f ′ (xkrit ) = 0 und f ′′ (xkrit ) > 0 relatives Minimum an der Stelle xkrit 55.37 Monotonieverhalten Ist f ′ (x) > 0 für alle x ∈ D, so wächst f in D streng monoton. Ist f ′ (x) < 0 für alle x ∈ D, so fällt f in D streng monoton. 55.38 Krümmungsverhalten 55.34 Nullsteleln und tungsfunktion Ablei- ist x0 eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f (x) mit der Vielfachheit δ ≥ 2, so ist x0 eine Nullstelle der Ableitungsfunktion f ′ (x) mit der Vielfachheit δ − 1 55.36 Wende–/Sattelpunkt Eine stetig differenzierbare reelle Funktion genau dann konvex auf D, wenn ihre Ableitung dort monoton wachsend ist; d.h. f ′′ (x) > 0 Wendepunkt: f ′′ (xkrit ) = 0 und f ′′′ (xkrit ) , 0 Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt: f ′ (xkrit ) = 0; f ′′ (xkrit ) = 0 und f ′′′ (xkrit ) , 0 Eine stetig differenzierbare reelle Funktion genau dann konkav auf D, wenn ihre Ableitung dort monoton fallend ist; d.h. f ′′ (x) < 0 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de/ BWL Mathematik 1 http://www.naji.net16.net 55.33 Normale 244 Personverzeichnis Al Chwarizmi, Abu Dscha’far Muhammad ibn Musa ♂muslimischer persischer choresmischer Universalgelehrter, Mathe(780; 840) 60 Jahre, 68 Archimedes, von Syrakus ♂antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur (-287; -212) 75 Jahre, 63 Berlekamp, Elwyn Ralph ♂US–amerikanischer Mathematiker und Informatiker (1940; ?), 43 Binomi, Alessandro ♂fiktive Person (1643; 1727) 84 Jahre, 59, 69, 88, 89, 93 Cantor, Georg ♂deutscher Mathematiker (1845; 1918) 73 Jahre, 31 De L’Hospital, Marquis ♂französischer Mathematiker (1661; 1704) 43 Jahre, 100, 101 De Morgan, Augustus ♂englischer Mathematiker (1806; 1871) 65 Jahre, 25, 35 Diophant, von Alexandrien ♂antiker griechischer Mathematiker (150; -70) 80 Jahre, 45 Euklid, von Alexandria ♂antiker griechischer Mathematiker (-365; 300) 65 Jahre, 41, 56 Euler, Leonhard ♂schweizer Mathematiker (1707; 1783) 76 Jahre, 17, 18, 50 Galilei, Galileo ♂italienischer Philosoph, Mathematiker, Physiker und Astronom (1564; 1642) 78 Jahre, II Gauss, Carl Friedrich ♂deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker mit einem breit gefächerten Feld an Interessen (1777; 1855) 78 Jahre, 1 Horner, William George ♂englischer Mathematiker (1786; 1837) 51 Jahre, 77, 81 Mascheroni, Lorenco ♂italienischer Mathematiker (1750; 1800) 50 Jahre, 50 Napier, John ♂schottischer Mathematiker und Naturgelehrter (1550; 1617) 67 Jahre, 152 Pascal, Blaise ♂französischer Mathematiker, Physiker, Literat und christmatiker, Astronom und Geograph licher Philosoph. die Masseinheit des Drucks ist nach ihm benannt (1623; 1662) 39 Jahre, 89, 90, 92 Pythagoras, von Samos ♂antiker griechischer Philosoph (Vorsokratiker) und Gründer einer einflussreichen religiös-philosophischen Bewegung (-570; -510) 60 Jahre, 48 Venn, John ♂englischer Mathematiker (1834; 1923) 89 Jahre, 35 245
