I M echanik Beispiel 5.16: Ein explodierendes Geschoss

Beispiel 5.16: Ein explodierendes Geschoss
Ein Geschoss wird von einer Ebene aus auf einer Bahn in die Luft abgeschossen, auf der es in einer Entfernung von
55 m landen soll. Allerdings explodiert es am höchsten Punkt der Flugbahn und teilt sich dabei in zwei Bruchstücke mit
gleicher Masse. Unmittelbar nach der Explosion hat eines der beiden Bruchstücke die Momentangeschwindigkeit null
und fällt senkrecht zu Boden. Wo landet das andere Bruchstück? Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.
Problembeschreibung: Wir betrachten das Geschoss
als das System. Dann sind alle bei der Explosion auftretenden Kräfte innere Kräfte. Da die einzige äußere Kraft auf
das System die Schwerkraft ist, bewegt sich der Massenmittelpunkt – er befindet sich genau in der Mitte zwischen
den beiden Bruchstücken – weiterhin auf einer Parabelbahn, als ob es keine Explosion gegeben hätte (Abbildung
5.53).
5.53
2. Beim Aufprall gilt xS = R und x1 = 0,5 R, wobei
R = 55 m die horizontale Reichweite für das nicht explodierte Geschoss angibt. Für x2 ergibt sich dann:
Plausibilitätsprüfung: Da das Bruchteil 1 durch die bei
der Explosion wirkenden Kräfte nach hinten geschleudert
wurde, wurde das Bruchteil 2 mit einer gleich großen, aber
entgegengerichteten Kraft nach vorn geschossen. Erwartungsgemäß trifft das Bruchteil 2 in einer größeren Entfernung vom Startpunkt auf, als sie das komplette Geschoss
erreicht hätte, wenn es nicht explodiert wäre.
(2 m) xS = m x1 + m x2
oder 2 xS = x1 + x2
x2 = 2 xS − x1 = 2 R − 0,5 R = 1,5 R
= 1,5 (55 m) = 83 m
12
10
8
Höhe, m
Lösung:
1. Der Anfangsort des Geschosses sei x = 0. Die Landeorte x1 und x2 der Bruchstücke sind mit dem Endort
des Massenmittelpunkts über die folgenden Gleichungen
verbunden:
Bruchstück 2
6
4
Bruchstück 1
xS
2
0
0
10
20
30
40
50
Flugweite x, m
60
70
80
5.54
Weitergedacht: In Abbildung 5.54 sind Höhe und Reichweite für ein explodierendes Geschoss für den Fall eingezeichnet, dass die horizontale Geschwindigkeit des Bruchstücks 1 halb so groß wie die horizontale Anfangsgeschwindigkeit
des Gesamtgeschosses ist. Wie bei dem ursprünglichen Beispiel, in dem wir angenommen hatten, das Bruchstück 1
würde senkrecht nach unten fallen, folgt der Massenmittelpunkt der normalen Parabelbahn. Wenn beide Bruchstücke
nach der Explosion die gleiche vertikale Geschwindigkeitskomponenten besitzen, schlagen sie gleichzeitig auf. Wenn
unmittelbar nach der Explosion die vertikalen Geschwindigkeitskomponenten der beiden Bruchstücke verschieden sind,
wird das Bruchstück mit der kleineren vertikalen Geschwindigkeitskomponente zuerst aufschlagen. Sobald dies der Fall
ist, übt der Boden eine Kraft auf das System aus, und die resultierende äußere Kraft ist nicht mehr nur die Schwerkraft.
Von diesem Moment an gelten unsere Überlegungen nicht mehr.
Übung 5.8: Wie groß ist die Reichweite des leichteren Teils, wenn das Bruchstück, das senkrecht nach unten fällt, eine
doppelt so große Masse wie das andere Bruchstück hat?
Tipler/Mosca: Physik, 6. Auflage
175
I Mechanik
5.6 DER MASSENMITTELPUNKT