Ziele W1

Elektrizität und Magnetismus – Gleichstrom
1.
Was sind Felder? Beschreiben Sie im Worten die Nahwirkungstheorie.
Felder: zwischen Körpern können Kraftwirkungen auftreten, ohne dass sie in direktem Kontakt
zueinander treten (Gravitationskräfte, elektrostatische Kräfte, ...). Es besteht also ein Feld.
Nahwirkungstheorie: der Raum, der einen Körper umgibt wird zum Träger physikalischer
Eigenschaften. Kraftwirkungen auf den Körper à durch die örtlichen Veränderungen der Raumes durch
Anwesenheit eines anderen Körpers hervorgerufen.
2.
Welche Bedeutung haben Feldlinien.
Zur anschaulichen Beschreibung des Kraftfeldes. Ihre Tangenten geben an jedem Ort des Raumes die
Richtung der Kraftwirkung an.
3.
Beschreibe die Begriffe homogenes Feld, inhomogenes Feld, Quellenfeld, Wirbelfeld.
Geben Sie jeweils ein Beispiel für ein Quellenfeld und für ein Wirbelfeld an.
Homogenes Feld: Feldstärke ist betrags- und richtungsmäßig konstant.
Inhomogenes Feld: Feldstärke ist von Ort zu Ort unterschiedlich.
Quellenfeld: Feldlinien beginnen in Quellen und enden in Senken (z.B. elektrostatisches Feld)
Wirbelfeld: geschlossene Feldlinien ohne Quellen und Senken (z.B. magnetisches Feld)
4.
Geben Sie die Gleichung für den Betrag der anziehenden Kraft zwischen zwei Massen an
(Newtonsches Gravitationsgesetz).
Geben Sie damit die Gravitationsfeldstärke G an.
F = m * g = m * G (g entspricht G)
2
F = γ * (m * M / r ) (γ = Gravitationskonstante)
2
àG=F/m=γ*M/r
5.
Ist bei der Verschiebung einer Probemasse zwischen zwei Punkten im Gravitationsfeld die
aufzuwendende Arbeit vom gewählten Weg abhängig?
Wie groß ist die aufzuwendende Arbeit bei Verschiebung auf einem geschlossenen Weg?
Zwischen 2 Punkten: Arbeit ist unabhängig vom Weg. Nur die Abstandsänderung trägt zur Arbeit bei,
diese ist aber gleich und unabhängig vom Weg.
Geschlossener Weg: Arbeit = Null.
6.
Was versteht man unter dem Gravitationspotential V?
Gravitationspotential = potentielle Energie / Probemasse: V(r) = Ep (r) / m
Das Gravitationspotential entspricht der zu leistenden Arbeit, um eine bestimmte Probemasse von einem
Bezugsniveau auf eine bestimmte Höhe anzuheben.
7.
Beschreibe den Begriff elektrische Ladung.
Ist eine Eigenschaft subatomarer Teilchen – speziell der Elektronen und Protonen. Ladungen treten nur
als Vielfache der Elementarladung auf. Gleichnamie Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen
sich an.
8.
Was versteht man unter elektrischer Feldstärke?
In einem elektrischen Feld wirkt auf eine Probeladung q eine Kraft. Elektrische Feldstärke = Kraft /
Probeladung: E = F / q. Zur Ladungsverschiebung im elektrischen Feld muß also die Kraft F überwunden
werden.
9.
Ist bei der Verschiebung einer Probeladung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld die
aufzuwendende Arbeit vom gewählten Weg abhängig?
Wie groß ist die verrichtete Arbeit bei Verschiebung auf einem geschlossenen Weg?
Die Arbeit ist unabhängig vom Weg zwischen zwei Punkten.
Geschlossener Weg: Arbeit = Null.
10. Was versteht man unter dem Begriff elektrostatisches Potential?
Was ist eine elektrische Spannung?
Elektrostatisches Potential = Potentielle Energie pro Probeladung: ϕ = W / q
Elektrische Spannung = Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten. Die Spannung entspricht der pro
Ladung q zur Verschiebung zwischen 2 Punkten erforderlichen Arbeit. Einheit: Nm / C = V
11. Wo liegt der Nullpunkt des elektrischen Potentials?
Als Nullpunkt wird grundsätzlich die Erde (Masse) definiert (Erdpotential definitionsgemäß Null). Der
Nullpunkt muß aber nicht die Erde sein, ist Festlegungssache à Potential hat also keinen fix
festgelegten Nullpunkt.
12. Beschreiben Sie die Einheit eV.
-19
Ein Elektron nimmt beim Durchlaufen einer Spannung von 1V eine Energie e*U = 1.6022 * 10 Nm = 1
Elektronenvolt (eV) auf.
13. Beschreiben Sie die Eigenschaften von elektrischen Feldern in und um elektrische Leiter.
In elektrischen Leitern: frei von elektrostatischen Feldern. Der gesamte Leiter befindet sich auf dem
selben Potential. Er ist eine Äquipotentialfläche des äußeren Feldes.
Um elektrische Leiter: Äußere elektrostatische Felder bewirken eine Ladungsverschiebung im Leiter,
bis das Gleichgewicht der elektrostatischen Kräfte wieder hergestellt ist. Elektrische Feldlinien, die auf
Leitern entspringen oder enden, stehen immer normal auf die Leiteroberfläche.
14. Beschreiben Sie den Begriff Influenz.
Durch Ladungsverschiebung im Metall aufgrund eines äußeren elektrischen Feldes lädt sich eine Seite
des Leiters positiv, die andere negativ auf à Influenz. Influenzierte Ladung ist proportional zur
Feldstärke und Fläche: Q = ε0 * E * A
15. Welche Bedeutung hat die elektrische Feldkonstante ε 0?
Die Flächendichte der Ladung ist proportional zur Feldstärke, der Quotient dieser beiden Größen daher
-12
konstant. Diese Konstante heißt elektrische Feldkonstante = Influenzkonstante: ε0 = 8.8542 * 10 CV
1 -1
m .
16. Was gibt das Ohmsche Gesetz an?
Den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom à sind bei metallischen und verschiedenen
anderen elektrischen Leitern proportional: U = I * R.
17. Geben Sie Definition und Einheit des elektrischen Widerstandes an.
Was ist der Leitwert G? Einheit?
Der Proportionalitätsfaktor des ohmschen Gesetzes ist der elektrische Widerstand R mit der Einheit
Ohm. Er bringt der Bewegung der Ladungsträger einen „Widerstand“ entgegen. Der Kehrwert ist der
elektrische Leitwert G in Siemens.
18. Ist der elektrische Widerstand von Metallen und Halbleitern temperaturabhängig? Wie?
Der elektrische Widerstand ist temperaturabhängig.
Metalle: der Widerstand nimmt mit steigender Temperatur zu (positiver Temperaturkoeffizient).
Halbleiter: der Widerstand nimmt mit steigender Temperatur ab (negativer Temperaturkoeffizient).
19. Skizzieren und beschreiben Sie ein einfaches Kennlinienfeld (Quellenkennlinie,
Verbraucherkennlinie, Innenwiderstand, Kurzschlussstrom, Leerlaufspannung, Arbeitspunkt).
20. Beschreibe die beiden Kirchhoffschen Sätze.
1. Satz (Knotenpunktsatz): In jedem Knotenpunkt ist die Summe der zufließenden und abfließenden
Ströme Null: Σ I = 0
2. Satz (Maschensatz): In jeder Masche die Summe aller Spannungen Null: Σ U = 0
21. Ein Integrierter Schaltkreis nimmt einen mittleren Strom von 2A auf. Die kupferne Leiterbahn, die
den IC auf der Platine versorgt, hat eine Gesamtlänge von 59cm, eine Dicke von 0,2mm und eine
mittlere Breite von 1,5mm. Welche Spannung liegt am IC tatsächlich an, wenn die Platine mit
einer Spannung von 3,5V versorgt wird?
Rl = ρ cu * l / A = 0.0175 * 0.59 m / (1.5mm * 0.2 mm) = 0.034417 Ω
Ul = I * Rl = 2 * 0.034417 = 0.06883 V
UIC = U – Ul = 3.5 – 0.06883 = 3.43117 V
22. Welcher Strom fließt bei vollständigem Kurzschluss durch eine Knopfbatterie mit 1,5V
Quellenspannung und 0,8Ω
Ω Innenwiderstand?
U = I * R à I = U / Ri = 1.5 / 0.8 = 1.875 A
23. Auf welchen Wert nimmt der Widerstand einer Leiterbahn (Dehnmessstreifen) mit 100Ω
Ω zu, wenn
ihre Länge gleichmäßig um 10% gestreckt wird? (Volumen konstant!)
R entspricht 100%, Rges entspricht 110% à R / Rges = 100% / 110%
R = 100Ω à Rges = 110 Ω
24. An einer Batterie wird im unbelasteten Zustand eine Spannung von 3,9V und bei einem Laststrom
von 0,5A 3,6V gemessen.
Bei welchem Strom fällt die Spannung auf 3V ab?
Quelle à I steigt mit fallendem U: U3 / U3.6 = I0.5 / Ix à Ix = I0.5 * U3.6 / U3 = 0.6 A
Welcher Strom fließt bei vollständigem Kurzschluss?
Ri = Ui / I = Uq / Ik
Ui = Uq – U = 3.9 – 3.6 = 0.3V à Ri = Ui / I = 0.3 / 0.5 = 0.6 Ω
Ik = Uq / Ri = 3.9 / 0.6 = 6.5 A
25. Durch die Kupferwicklung eines Relais fließt bei einer Spannung von 5V ein Strom von 5mA. Auf
welchen Wert steigt bei gleichbleibender Spannung der Strom, wenn die Temperatur im
Außeneinsatz von 20°C auf -20°C absinkt?
-1
(Temperaturbeiwert Kupfer: α =0,0039K )
R20 = U / I = 5 / 0.005 = 1kΩ
2
RT = R20 * (1 + α * ∆T + β * ∆T ) ≈ R20 * (1 + α * ∆T) = 1k * (1 + 0.0039 * -40) = 1k * 0.844 = 844 Ω
I = U / RT = 5 / 844 = 5.924 mA
26. Wie groß sind die Ströme I1, I2, I3 und der Gesamtstrom, wenn an den Klemmen A und B eine
Spannung von 30V anliegt?
I1 = U / R1 = 30 / 40 = 0.75 A
I2 = U / R2 = 30 / 55 = 0.545 A
I3 = U / R3 = 30 / 75 = 0.4 A
27. Drei Widerstände sind in Reihe geschaltet. Welche Spannung fällt an jedem der Widerstände ab,
wenn an allen dreien zusammen eine Spannung von 8V anliegt?
Spannungsteiler: U/Ux = Rg / Rx à Ux = U * Rx / Rg
U1 = 8 * 1k / 16k = 0.5 V
U2 = 8 * 5k / 16k = 2.5 V
U3 = 8 * 10k / 16k = 5 V
28. Alle gezeichneten Widerstände haben den Wert 1kΩ
Ω . Berechne die Teilströme und den
Gesamtstrom, wenn an den Klemmen A und B eine Spannung von 10V anliegt.
Rg = R * (2R + R/2) / (R + (2R + R/2)) = 1k * 2.5k / (1k + 2.5k) = 714.286 Ω
Ig = U / Rg = 14 mA
Ig / I2 = R / Rg à I2 = 10 mA ; I1 = Ig – I2 = 4 mA ; I3 = I4 = (I1 * R/2) / R = 2mA
29. Alle Einzelwiderstände betragen 3Ω
Ω . Wie groß ist der Gesamtwiderstand zwischen den Punkten A
und B?
R1 = 3R * R / 4R = 9 * 3 / 12 = 2.25 Ω
R2 = (2R + R1) * R / (2R + R1 + R) = 8.25 * 3 / 11.25 = 2.2 Ω
30. Wie groß ist der Gesamtwiderstand zwischen den Punkten A und B?
R1 = R/2 + R = 1.5 Ω
R2 = (R1 * 2R / (R1 + 2R)) + R = 1.8571 Ω
Rg = 3R * R2 / (3R + R2) = 1.147 Ω
31. Wie groß muss R2 gewählt werden, wenn R1 1kΩ
Ω ist und der Gesamtwiderstand 750Ω
Ω betragen
soll?
Rg = R1 * R2 / (R1 + R2) à 750 * (1000 + R2) = 750k + 750 * R2 = 1000 * R2 à 750k = 250 * R2
R2 = 3k Ω
32. Alle angegebenen Spannungsquellen haben die Quellenspannung Uq =2V. Die Widerstände haben
den Wert R=1kΩ
Ω bzw. 2R=2kΩ
Ω . Welche Spannung liegt zwischen den Punkten A und B an?
I = 2*Uq / 5R = 2*2 / 5k = 0.8 mA
-3
UAB = I * 3R = 0.8 * 10 * 3k = 2.4V
33. Ein für U=9V bestimmtes Gerät mit dem Verbrauch P=40W soll über einen passenden
Vorschaltwiderstand an einer Spannung von 12V betrieben werden.
Welchen Wert muss der Vorschaltwiderstand haben?
Uv = U12 – U9 = 3V
I = P / U9 = 40 / 9 = 4.44 A
Rv = Uv / I = 3 / 4.44 = 0.675 Ω
Welche elektrische Leistung wird dabei vergeudet?
Pv = I * Uv = 4.44 * 3 = 13.33 W
34. Welche Leistung setzt ein Verbraucher 230V/300W um, wenn die Netzspannung nur 210V
beträgt? (Annahme konstanter Widerstand.)
2
2
P = U / R à R = U / P = konstant
2
R = 230 / 300 = 176.33 Ω
2
2
Pneu = Uneu / R = 210 / 176.33 = 250.1 W
35. Die Leistung eines elektrischen Gerätes sinkt durch den Abfall der Versorgungsspannung um
10%. Um wie viel Prozent liegen Spannung und Strom unter ihrem Sollwert? (Annahme
konstanter Widerstand.)
2
2
2
2
2
2
2
R = U / P = (U * v) / 0.9P à U = (U * v) / 0.9 = U * v / 0.9 à 0.9 = v à v = 0.9486 à 94.86 %
Abfall: 100% – 94.86% = 5.14% unter ihrem Sollwert
36. Für eine Projektionslampe 60V/150W soll zum Anschluss an 125V ein Vorschaltwiderstand aus
2
0,4mm dickem Konstantandraht (ρ
ρ =0,5Ω
Ω mm /m) gewickelt werden.
Wie viel Meter Draht sind erforderlich?
Welche Leistung verbraucht der Widerstand?
I = P / U = 150 / 60 = 2.5 A
Rv = (Uq – UL) / I = (125 – 60) / 2.5 = 26 Ω
2
R = ρ * l / A à l = R * A / ρ = 26 * (0.4 / 2) * π / 0.5 = 6.53 m Draht sind notwendig
2
2
Pv = Rv * I = 26 * 2.5 = 162.5 W verbrauchte Leistung
37. Für die Stromversorgung einer Sendeanlage werden täglich 16 Stunden lang insgesamt 1800m
2
2
Kupferleitung (ρ
ρ =0,0178Ω
Ω mm /m) von 6mm Querschnitt von einem Strom I=20A durchflossen.
2
Wie groß wäre die jährliche Stromkostenersparnis, wenn die Zuleitung auf 16mm
Kupferleitungsdraht verstärkt wird? (Kosten der elektrischen Energie: 2,– S/kWh)
R = ρ * l / A = 0.0178 * 1800 / 6 = 5.34 Ω
2
2
P = I * R = 20 * 5.34 = 2136 W = 2.136 kW à Kosten pro Tag: 2.136 * 16 Stunden * 2,- = 68.352,Rneu = ρ * l / A = 0.0178 * 1800 / 16 = 2.0025 Ω
38. Geben Sie ein geeignetes System linearer Gleichungen an (Kirchhoffsche Sätze), um für das
gegebene verzweigte Netzwerk alle Teilströme und Spannungen errechnen zu können.
(Notwendige und hinreichende Anzahl von Gleichungen angeben. Die Lösung derselben ist nicht erforderlich.)
Negatives Ergebnis der Ströme: Die tatsächliche Stromrichtung ist entgegengesetzt der angenommenen
Stromrichtung.
39. Beschreiben Sie die Vorgangsweise bei der Berechnung verzweigter linearer Netzwerke mit dem
Überlagerungsverfahren (Superpositionsverfahren nach Helmholtz).
Gibt es für dieses Verfahren Einschränkungen der Anwendbarkeit?
Alle Quellenspannungen werden der Reihe nach – bis auf eine – kurzgeschlossen und die Zweigströme
berechnet. Die in der gegebenen Schaltung tatsächlich fließenden Ströme ergeben sich durch
richtungsrichtige Addition der Zweigströme. Dieses Verfahren ist nur anwendbar, wenn im Netzwerk
ausschließlich lineare Bauteile vorkommen (I proportional zu U).
Kapazität
1.
Geben Sie die Definition und Einheit der Kapazität an.
Definition: C = Q / U
Einheit: [C] = 1 As / V = 1 C / V = 1 Farad (F)
2.
Beschreiben Sie in Worten, warum sich die Kapazität von Kondensatoren durch Einbringen
eines Dielektrikums erhöht.
Das Dielektrikum ist ein Isolator. Durch Einfluß des elektrischen Feldes werden an den
Dielektrikumsoberflächen zusätzliche Ladungen erzeugt à Polarisation. Deswegen wird die
Kapazität von Kondensatoren durch Dielektrika erhöht.
3.
Beschreiben Sie zwei Effekte, die für die Polarisation von Dielektrika verantwortlich sind.
Verschiebungspolarisation: Durch das elektrische Feld können die positiven und negativen
Ladungsschwerpunkte der Moleküle aus ihren Gleichgewichtslagen verschoben werden.
Orientierungspolarisation: Manche Moleküle besitzen auch schon ohne äußeres elektrisches Feld
ein elektrisches Dipolmoment. Durch die thermische Bewegung der Moleküle heben sich diese ohne
äußeres Feld auf. Im elektrischen Feld kommt es jedoch zur Ausrichtung der Moleküle.
4.
Geben Sie die Zusammenhänge zwischen folgenden Größen an:
elektrische Feldstärke E
elektrische Verschiebungsdichte D
Dielektrizitätszahl εr
Dielektrizitätskonstante ε
elektrische Polarisation P
elektrische Suszeptibilität χ
E wird durch durch die Ladungen im Kondensator erzeugt à wird durch Dielektrikum verringert. D
dringt jedoch ungeschwächt hindurch: D = εo * εr * E. εr ist eine Materialgröße, ε = εr * ε0 nennt man
Dielektrizitätskonstante. Die Differenz von D im Dielektrikum gegenüber D bei der selben Feldstärke
im Vakuum nennt man elektrische Polarisation: P = D – (εo * E) = (εr – 1) * εo * E = χe * εo * E.
Xe = εr – 1 ist die elektrische Suszeptibilität.
5.
Welche physikalische Bedeutung hat die elektrische Verschiebungsdichte D?
Die Quellen der elektrischen Verschiebungsdichte D sind die wahren Ladungen (freie Ladungen) am
Kondensator, weil D das Dielektrikum ungeschwächt durchdringt.
6.
Geben Sie die Kapazität des Plattenkondensators mit
a) Vakuum als Dielektrikum C = εo * A / d (A ist Plattenfläche, d ist der Plattenabstand)
b) einem polarisierbaren Dielektrikum an C = εo * εr * A / d
7.
Geben Sie an, wie sich die Feldlinien der elektrischen Feldstärke und der elektrischen
Verschiebungsdichte beim Übergang zwischen zwei Medien verhalten.
Treffen elektrische Feldlinien schräg auf eine ebene Grenzfläche zwischen 2 verschiedenen
Dielektrika auf, werden sie gebrochen. Die Normalkomponente der Feldstärke erfährt an der
Mediengrenzfläche einen Sprung um den Faktor ε, die Komponente der Verschiebungsdichte ist
stetig (da ihre Quellen die wahren Ladungen sind). Die Tangentialkomponente der Feldstärke ist an
der Mediengrenzfläche stetig, die Komponente der Verschiebungsdichte erfährt an der
Mediengrenzfläche einen Sprung um 1 / ε.
8.
Zwei Kondensatoren C1=2µ
µ F und C2=1µ
µ F sind in Reihe geschaltet. Berechne die
Gesamtkapazität der Schaltung.
C = C1 * C2 / (C1 + C2) = 2 * 1 / 3 = 0.67 µF
9.
Zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren C1=0,2µ
µ F und C2=1,0µ
µ F sind zu einem dritten
Kondensator C3=0,5µ
µ F parallel geschaltet. Berechne die Gesamtkapazität der Schaltung.
C12 = C1 * C2 / (C1 + C2) = 0.2 * 1 / 1.2 = 0.167 µF
C = C12 + C3 = 0.167 µF + 0.5 µF = 0.667 µF
10. Zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren von C1=1µ
µ F und C2=4µ
µ F werden an 20V
Gleichspannung angeschlossen und nach dem Aufladen von der Spannungsquelle getrennt.
a) Auf welche Spannungen werden die Kondensatoren geladen?
C = C1 * C2 / (C1 + C2) = 1 * 4 / 5 = 0.8 µF
Spannungsteiler (umgekehrt zu den Widerständen):
U / U1 = C1 / C à U1 = C * U / C1 = 0.8 * 20 / 1 = 16 V
U2 = C * U / C2 = 0.8 * 20 / 4 = 4 V
-6
-6
Q = U * C = 0.8 * 10 * 20 = 16 * 10 C
Welche gemeinsame Spannung stellt sich ein, wenn sie danach getrennt und
b) mit gleichen Vorzeichen und
c) mit entgegengesetzten Vorzeichen parallelgeschaltet werden?
-6
Gleiches Vorzeichen: Cg = C1 + C2 = 5 µF, Q = 16 * 10 C à U = Q / Cg = 16 / 5 = 3.2 V
-6
Entgegengesetzt: Cg = C2 - C1 = 3 µF, Q = 16 * 10 C à U = Q / Cg = 16 / 3 = 5.33 V
11. Zwei parallelgeschaltete Kondensatoren, von denen der eine die Kapazität C1=2,8µ
µ F hat,
liegen an der Spannung 22,7V und enthalten die Ladung 75mAs.
Welche Kapazität C2 hat der andere Kondensator?
Cg = Q / U = 0.075 / 22.7 = 3.304 mF
C2 = Cg – C1 = 3.3012 mF
12. Ein Luftkondensator wird mit 80V geladen, von der Spannungsquelle abgetrennt und mit
einem Öl mit der Dielektrizitätszahl ε r =2,1 gefüllt. Wie ändern sich Ladung und Spannung?
U1 = Q / C = Q / (εo * A / d) = 80 V à A / d und εo sind konstant
U2 = Q / C = Q / (εo * 2.1 * A / d) = 80 V à Q wird um 2.1 größer oder U um 2.1 kleiner (= 38.095 V)
13. Entladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand: geben Sie die
Differentialgleichung für die Ladung am Kondensator Q(t) an.
Wie lautet ihre Lösung?
0 = R * dQ / dt + Q * 1 / C
-(t / RC)
-(t / )
à Q(t) = Q0 * e
= U0 * C * e τ
14. Entladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand: geben Sie die
Differentialgleichung für die Stromtärke I(t) an.
Wie lautet ihre Lösung?
0 = R * dI / dt + I * 1 / C
-(t / RC)
-(t / )
à I(t) = I0 * e
= -U0 * e τ / R
15. Entladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand: geben Sie die
Differentialgleichung für die Kondensatorspannung U(t) an.
Wie lautet ihre Lösung?
0 = UR + UC = I * R + Q / C
-(t / )
à U(t) = U0 * e τ
16. Laden eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand: geben Sie die
Differentialgleichung für die Ladung am Kondensator Q(t) an.
Wie lautet ihre Lösung?
Uq = R * dQ / dt + Q * 1 / C
–(t / RC)
-(t / )
Q(t) = Q0 * (1 – e
) = Uq * C * (1 – e τ )
17. Laden eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand: geben Sie die
Differentialgleichung für die Stromtärke I(t) an.
Wie lautet ihre Lösung?
0 = R * dI / dt + I * 1 / C
-(t / RC)
-(t / )
à I(t) = I0 * e
= Uq * e τ / R
18. Laden eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand: geben Sie die
Differentialgleichung für die Kondensatorspannung U(t) an.
Wie lautet ihre Lösung?
Uq = UR + UC = I * R + Q / C
-(t / )
à U(t) = Uq * (1 - e τ )
Magnetisches Feld
1.
Erläutern Sie die physikalische Größe magnetischer Fluss (Formelzeichen, Einheit,
physikalische Bedeutung).
Die magnetischen Kraftlinien eines Magneten weisen per Definition vom Nord- zum Südpol. Die
Gesamtheit der von den Polen ausgehenden Kraftlinien bezeichnet man als den magnetischen Fluss
φ. Der magnetische Fluss ist quellenfrei. Einheit: Vs (Voltsekunde) = Wb (Weber).
2.
Welche Bedeutung haben magnetische Feldstärke und magnetisches Dipolmoment? Wie
kann die magn. Feldstärke definiert und gemessen werden?
Die Kraftwirkung wird durch die magnetische Feldstärke H beschrieben. Es gibt keine magnetischen
Monopole à daher verwendet man zur Definition der Kraftwirkung ein Probedipol mit dem
Polabstand l und dem vom Süd- zum Nordpol weisenden magnetischen Dipolmoment m mit der
Einheit Vsm. Der Dipol erfährt im magnetischen Feld ein Drehmoment M = m x H. Die Feldstärke
kann über das Drehmoment auf einen kleinen Probedipol gemessen werden. Einheit der Feldstärke:
A / m.
3.
Was ist zu magnetischen Monopolen zu sagen?
Es gibt keine magnetischen Monopole (außer scheinbar kurz nach dem Urknall), sondern nur
magnetische Dipole.
4.
Beschreiben Sie die wesentlichen Unterschiede der magnetischen Feldstärke von
Permanentmagneten gegenüber stromdurchflossenen Leitern. (Quellen-/Wirbelfeld?...)
Permanentmagenten: bestehen aus gleichgerichteten, hintereinandergeschalteten Dipolen. Im
Inneren heben sich die Dipole auf, die Oberflächenbelegung magnetischer Pole bleibt übrig à
wirken im Außemraum als Quellen & Senken des magnetischen Feldes. Für Statische Magnetfelder
gilt: die magnetische Feldstärke ist wirbelfrei.
Stromdurchflossen: erzeugt außerhalb des Leiters ein axialsymmetrisches Magnetfeld. Die
Feldlinien sind geschlossen, Umlaufsinn wie eine Rechtsschraube. Das Magnetfeld stationärer
elektrischer Ströme ist ein quellenfreies Wirbelfeld.
5.
Geben Sie das Durchflutungsgesetz in allgemeiner Formulierung an und erläutern Sie die
auftretenden Größen.
H ... magnetische Feldstärke
ds ... integriert über den Weg
i ... Strom über A aufsummiert
dA ... integriert über die Fläche
Σ Ii ... Summe aller Ströme
6.
Erläutern Sie das Biot-Savart-Gesetz
dH =
I ⋅ dl
sin ϕ (was wird dadurch beschrieben,
4π r 2
Skizze der Zusammenhänge...).
Mit diesem Gesetz lassen sich beliebig geformte dünne Stromleiter berechnen. Es gibt den Betrag
eines Leiterelementes der Länge dl zur magnetischen Feldstärke in einem Punkt an, der in der
Entfernung r und unter dem Winkel ϕ gegen das Leiterelement liegt.
7.
Leiten Sie aus dem Gesetz von Biot-Savart
dH =
I ⋅ dl
sin ϕ eine Beziehung für die
4π r 2
magnetische Feldstärke im Zentrum einer kreisförmigen Leiterschleife (Kreisstrom) ab.
Im Mittelpunkt einer kreisförmigen Leiterschleife mit dem Radius R errechnet sich die magnetische
Feldstärke mit ϕ = 90° und r = R für alle Leiterelemente sowie dl = R * dα zu
Für die magnetische Feldstärke entlang der Achse im Abstand x vom Mittelpunkt ergibt die
Integration (o.B.)
8.
Beschreiben Sie den Aufbau von Helmholtz-Spulen und den qualitativen Verlauf der
magnetischen Feldstärke in ihrem Inneren (nur qualitatives Diagramm, nicht Formel).
Haben eine häufig verwendete, einfache Geometrie zur Erzeugung eines homogenen Magnetfeldes.
Zwei kreisförmige Stromschleifen mit dem Radius R stehen sich im Abstand R gegenüber. Den
Feldverlauf in der Achse erhält man aus der Gleichung für den Kreisstrom. Wenn die Einzelspulen
gleichsinnig stromdurchflossen werden, erhält man einen großen Bereich mit konstanter Feldstärke.
Werden die Spulen gegensinnig durchflossen, erhält man im Inneren einen konstanden
Feldgradienten.
9.
Geben Sie die Zusammenhänge zwischen magnetischem Fluss, magnetischer Flussdichte
und magnetischer Feldstärke in Vakuum an. Geben Sie auch die Einheiten an.
Flussdichte B [T] und Feldstärke H [A/m] zeigen in dieselbe Richtung à Vektoren. Sie sind
zueinander proportional: B = µ0 * H. Der Proportionalitätsfaktor ist die magnetische Feldkonstante 4π
-7
2
* 10 Vs/Am. Fluß φ [Vs = Wb] = B * A [m ], A ist die senkrecht durchsetzte Fläche.
10. Beschreiben Sie Bezeichnung, Bedeutung und Zusammenhang der Größen
µ0 , µr , µ , χe .
-7
µ0 ... magnetische Feldkonstante (4π * 10 Vs/Am) à Proportionalitätsfaktor von Flussdichte und
Feldstärke.
µr ... Permeabilitätszahl à magnetische Fluß wird durch atomare magnetische Dipole beeinflusst
µ = µ0 * µr ... Permeabilität
χm = µr – 1 ... magnetische Suszeptibilität à gibt Zusammenhang zwischen Feldstärke und
Dipolmomente an
11. Wie lauten die Stetigkeitsbedingungen der magnetischen Feldgrößen B und H beim Übergang
zwischen verschiedenen Medien?
à analog zu elektrostatischen Feldern:
Tangentialkomponente des H-Feldes ist stetig
Normalkomponente des B-Feldes ist stetig
12. Beschreiben Sie die drei Magnetismusarten Dia-, Para- und Ferromagnetismus und geben Sie
jeweils in einer kurzen Begründung die Ursache für ihr magnetisches Verhalten an.
Diamagnetismus: Atome besitzen ohne äußeres Magnetfeld kein magnetisches Dipolmoment.
Durch Kreisbewegung der Elektronenbahnen um die Feldrichtung wird ein dem Feld
entgegengesetztes magnetisches Moment erzeugt. µr < 1
Paramagnetismus: Atome besitzen ohne äußeres Magnetfeld permanente magnetische Dipole,
sind aber ungeordnet. Nur durch äußeres Magnetfeld werden ungerichtete Dipolmomente in
Feldrichtung ausgerichtet à Magnetisierung möglich. µr > 1
Ferromagnetismus: Die Spinmomente der weißschen Bezirke sind orientiert, die Bezirke aber
ungeordnet à kein Magnetisierung. Durch äußere Magnetfelder à Bezirke richten sich nach und
nach sprunghaft aus à starke Zunahme der Magnetisierung. µr >> 1
13. Beschreiben Sie die Hysteresekurve von ferromagnetischen Werkstoffen.
Am Anfang à nichtmagnetischer Zustand. Magnetfeld angelegt à Neukurve steigt flach bis zu
einem gewissen Punkt an, wird immer steiler und wird wieder flach à bis zu einer parallelen
Geraden der Hysterekurve. Äußere Magnetfeld abgesenkt à Kurve fällt geringfügig ab (bis zur
Remanenz M). Äußere Magnetfeld ändert Richtung à Magnetisierung fällt bis zur Koerzitivfeldstärke
HC (Magnetisierung = Null). Wird Vorgang so zyklisch fortgesetzt à symmetrische Kurve. Bei
Dauermagneten ist die Kurve ziemlich rechteckig, bei Trafoblechen schlank.
14. Geben Sie die Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld an.
Welche Kraft wirkt in einem homogenen magnetischen Feld mit B=1T auf einen 1m langen,
geraden, von I=1A durchflossenen Leiter
a) wenn der Leiter in Richtung der magnetischen Feldlinien ausgerichtet ist
keine Kraft
b) wenn der Leiter normal auf die Richtung der magnetischen Feldlinien steht?
F=I*l*B=1*1*1=1N
15. Beschreiben Sie in Worten, Skizze und mit Zahlenwerten, welche Kraftwirkung ein Elektron
-19
-31
(qe= -1,6· 10 As, me=9,1· 10 kg) in einem homogenen Magnetfeld (B=1T) erfährt, wenn es
7 m
sich mit v=3· 10 /s in einer Richtung normal zu den magnetischen Feldlinien bewegt.
???
16. Beschreiben Sie den Hall-Effekt (in Worten und mit Skizze).
Warum/wie kann man damit
a) die magnetische Flussdichte eines Magnetfeldes
b) die Ladungsträgerkonzentration in Halbleitern
c) das Vorzeichen der Ladungsträger in Halbleitern
bestimmen?
à zur Messung magnetischer Felder. In stromdurchflossenen Leitern oder Halbleitern, die von
einem magnetischen Fluss durchsetzt werden, wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der
Elektronen die Lorentzkraft. Diese lenkt die Elektronen ab und erzeugt daher an den Oberflächen
quer zur Stromflussrichtung eine Spannung – die Hallspannung (proportional zur Flussdichte).
Neben der Flussdichtemessung wird der Hall-Effekt auch zur Bestimmung der Ladungsträgerkonzentration und des Vorzeichens der Ladungsträger (p, n) in Halbleitern verwendet.
17. Beschreiben Sie in Worten den Quanten-Hall-Effekt (Unterschied zum klassischen Hall-Effekt;
messtechnische Bedeutung)
Quanten-Hall-Effekt tritt bei sehr dünnen Hall-Sonden von nur ca. 100 Atomschichten auf. Die
Hallspannung steigt dann nicht kontinuerlich, sondern in charakteristischen Plateaus (Abb. 8). Der
Zusammenhang zwischen Hallspannung und Stromstärke kann in der Form des ohmschen
Gesetzes als Hall-Widerstand RH = UH / I angeschrieben werden. Derartigen Quanteneffekten wird
für die Messtechnik in Zukunft große Bedeutung zukommen.
18. Von zwei äußerlich gleich aussehenden Stahlstäben ist der eine magnetisch. Wie lässt sich
dieser ohne weitere Hilfsmittel herausfinden?
Magneten haben Pole, in der Mitte (genau zwischen Nord und Südpol) findet jedoch keine
Anziehung statt. Wird der nichtmagnetische Stab also zur Mitte des magnetischen geführt und
nicht angezogen, so ist eindeutig, welcher Stab magnetisch und welcher nichtmagnetisch ist.
19. Beschreiben Sie Bedeutung und Einheit der Selbstinduktivität.
Zeitliche Änderungen des magnetischen Flusses durch eine Leiterschleife induzieren elektrische
Spannungen. Ist, wie bei einer Luftspule ohne Eisenkern, der magnetische Fluss proportional zur
Stromstärke, so ist die Induktivität der Proportionalitätsfaktor φ = L * i bzw. bei n Windungen n*φ = L*i
Einheit: H(enry)
20. Eine supraleitende (widerstandslos!) Magnetspule weist folgende Daten auf:
Windungszahl n=5000
mittlerer Spulendurchmesser D=10cm
Spulenlänge l=5cm
a) Wie groß ist ihre Induktivität?
b) Welche Spannung muss an die stromfreie Spule angelegt werden, um innerhalb von 2
Sekunden einen Strom von 100A einzuprägen?
Zylinderspule:
L = µ0
D 2π n 2
k
4 l
D/l=0: k=1; D/l=1: k=0,7: D/l=2: k=0,5
D / l = 10 / 5 = 2 à k = 0.5
2
2
2
-7
2
2
L = µ0 * D * π * n * k / 4l = π * 10 * 0.1 * 5000 * 0.5 / 0.05 = 2.4674 H
U = - L * di / dt = 2.4674 * 100 / 2 = 123.37 V
21. Welche Spannung wird an einem 1m langen geraden Draht induziert,
der in einem homogenen Magnetfeld mit B=1T normal auf die
Richtung der magnetischen Feldlinien orientiert ist (Abbildung) und
m
mit v=1 /s
a) in Richtung des Drahtes und normal zur Richtung der
magnetischen Feldlinien bewegt wird
U=-B*l*v=1*1*1=1V
b) in einer Richtung normal auf den Draht und normal zur Richtung
der magnetischen Feldlinien bewegt wird?
keine Spannung
vb
va
B
22. Einschalten des Stromes durch eine Induktivität mit seriellem ohmschen Widerstand: Geben
Sie mit nachvollziehbarer Begründung die Differentialgleichung für die Stromstärke i(t) und
ihre Lösung an.
Die an der Induktivität abfallende Spannung muss die Selbstinduktionsspannung kompensieren.
Mit uR und uL erhält man die Differentialgleichung für die Stromstärke Uq = R * i + L * di / dt.
-(R*t / L)
Maximaler Spulenstrom Io = Uq / R. Lösung: i = I0 * (1 – e
)
23. Ausschalten des Stromes durch eine Induktivität mit seriellem ohmschen Widerstand: Geben
Sie mit nachvollziehbarer Begründung die Differentialgleichung für die Stromstärke i(t) und
ihre Lösung an.
Die an der Induktivität induzierte Spannung uind treibt den Strom durch die Freilaufdiode weiter.
Die Differentialgleichung für die Stromstärke lautet damit 0 = R * i + L * di / dt. Die Lösung lautet:
–(R * t / L)
i = I0 * e
. Die Stromstärke klingt vom Anfangswert I0 = Uq / R exponentiell ab.
24. Wie viel Energie ist in einer eisenlosen Zylinderspule mit Durchmesser 10cm, Länge 5cm,
1000 Windungen bei einer Stromstärke von 2A gespeichert?
Zylinderspule:
L = µ0
D 2π n 2
k
4 l
D/l=0: k=1; D/l=1: k=0,7: D/l=2: k=0,5
D / l = 10 / 5 = 2 à k = 0.5
2
2
2
-7
2
2
L = µ0 * D * π * n * k / 4l = π * 10 * 0.1 * 1000 * 0.5 / 0.05 = 98.7 mH
2
-3
W = L * I / 2 = 98.7 * 10 * 4 / 2 = 0.1974 J
3
25. Wie viel Energie enthält 1m Vakuum bzw. Luft, wenn es von einer magnetischen Flussdichte
B=1T homogen durchsetzt wird?
???
Wechselstrom
1.
Beschreiben Sie Bedeutung und den Zusammenhang zwischen den
Wechselstromkenngrößen:
Periodendauer ... T [s] Die Dauer einer vollständigen Periode bzw. Schwingung
Frequenz ... f = 1 / T [Hz] Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde
Kreisfrequenz ... ω = 2πf [Hz] Die Winkelgeschwindigkeit
Momentanwert ... i [A] bzw. u[v] Werte zu bestimmten Zeitpunken
Scheitelwert ... der betragsmäßig größte Wert einer Wechselgröße (= Spitzenwert)
Effektivwert ... jeder Wert einer Wechselspannung bzw. stromes, der an einem ohmschen
Widerstand die gleiche Energie umsetzt wie eine Gleichspannung / -strom mit
dem selben Wert.
Gleichwert ... der Gleichspannungs- / -stromwert à lineare Mittelwert einer Wechselgröße
Gleichrichtwert ... der lineare arithmetische Mittelwert des Betrags einer periodischen Größe
Geben Sie für harmonische Wechselspannungen/ströme die Umrechnungsfaktoren an und
Stellen Sie die Größen in einer Skizze dar.
2.
Beschreiben Sie die Wechselspannungsfaktoren
Formfaktor ... Maß für den Kurvenverlauf: kf = Effektivwert / Gleichrichtwert
Scheitelfaktor ... k s = Scheitelwert / Effektivwert
Klirrfaktor ... Effektivwert der Oberschwingungen / Effektivwert aller Schwingungen
3.
Ein einfaches Batterieladegerät lädt mit ungeglättetem, zweiweggleichgerichtetem Wechselstrom. Mit einem Digitalamperemeter (true rms) wird ein gleichbleibender Ladestrom I =
100mA gemessen. Nach welcher Ladezeit wird in die Batterie eine Ladung Q=5000As
eingebracht?
Formfaktoren:
Sinus, Zweiweggleichrichter
kf
Dreieck
kf
Rechteck
kf
Einweggleichgerichteter Sinus
kf
Q = I * t = 0.1 * 1.11 * t à t = Q / I = 5000 / 0.111
= 1.11
= 1.155
=1
= π/ 2
= 45045 s = 12.5 Stunden Ladezeit
4.
Beweisen Sie aus den Definitionen der elektrischen Stromstärke I=dQ/dt und der Kapazität
C=Q/U, dass bei einer harmonischen Wechselspannung u(t) am idealen Kondensator eine
Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung auftritt.
i = dQ / dt ; C = Q / U à Q = C * U ; u = û * sin(ωt)
à i = C * dU / dt = C * û * d(sin(ωt)) / dt = C * û * ω * cos ωt = û * cos(ωt) / XC = î * cos(ωt)
à i = î * sin (ωt + π / 2) Verschiebung um π / 2 = 90° gegenüber der Spannung
5.
Beweisen Sie aus dem Induktionsgesetz u = L di/dt, dass bei harmonischem Wechselstrom
i(t) durch eine ideale Induktivität eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Spannung und
Strom auftritt.
u = L * di / dt ; i = î * sin(ωt - π / 2)
à u = L * î * d(sin(ωt - π / 2)) = L * î * d(cos(ωt)) = L * î * ω * sin(ωt) = î * XL * sin(ωt) = û * sin(ωt)
6.
Eine Spule besitzt einen ohmschen Widerstand R=2Ω
Ω und eine Induktivität L=500nH.
Geben Sie bei einer harmonischen WechselspannungU=1,2V, f=1MHz an:
6
-9
a) den Blindwiderstand der Induktivität XL = 2πfL = 2π * 10 * 500 * 10 = 3.1416Ω
2
2
2
b) den Scheinwiderstand der Spule Z = √(R + XL ) = √(4 + π ) = 3.7242Ω
c) die Stromstärke I = U / Z = 1.2 / 3.7242 = 322.217 mA
d) die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung
tan ϕ = XL / R à ϕ = atn XL / R = atn π / 2 = 57.52°
e) das zugehörige Zeigerdiagramm
f) die Scheinleistung S = U * I = 1.2 * 0.322217 = 0.38666 VA
g) die Wirkleistung P = P * cos ϕ = 0.38666 * cos 57.52 = 0.20764 W
h) die Blindleistung Q = P * sin ϕ = 0.38666 * sin 57.52 = 0.3262 var
7.
Ein Ohmscher Widerstand R=120 und ein (idealer) Kondensator C=8µ
µ F sind in Serie
geschaltet. Geben Sie an einer harmonischen Wechselspannung U=10V, f=100Hz an:
-6
a) den Blindwiderstand des Kondensators XC = 1 / (2πf * C) = 1 / (2π100 * 8 * 10 ) = 198.944 Ω
2
2
2
2
b) den Scheinwiderstand der Serienschaltung Z = √(R + XC ) = √(120 + 198.944 ) = 232.3Ω
c) die Stromstärke I = U / Z = 10 / 232.3 = 43.042 mA
d) die Phasenverschiebung zwischen Strom und (Gesamt-)Spannung
tan ϕ = XC / R à ϕ = atn XC / R = atn 198.944 / 232.333 = 40.573°
e) das zugehörige Zeigerdiagramm
f) die Scheinleistung S = 0.4304 VA
g) die Wirkleistung P = S * cos ϕ = 0.4304 * cos 40.573 = 0.327 W
h) die Blindleistung P = S * sin ϕ = 0.4304 * sin 40.573 = 0.28 var
8.
Beschreiben Sie für einen schwach gedämpften Reihenresonanzkreis die Verhältnisse bei der
Resonanzfrequenz. Zeichnen Sie das zugehörige Zeigerdiagramm. Begründen Sie aus diesen
Verhältnissen die Beziehung für die Resonanzfrequenz.
Bei der Resonanzfrequenz sind induktiver und kapazitiver Widerstand gleich groß à sie heben sich
auf, der Blindwiderstand fällt also weg. Übrig bleibt der ohmsche Widerstand R = Z, der Strom steigt
auf das Maximum und zwischen Gesamtspannung und Strom gibt es keine Phasenverschiebung
mehr.
2
XL = XC à ωL = 1 / ωC à ω = 1 / LC à ω = 1 / √LC = ωr à fr = 1 / (2π √LC)
9.
Beschreiben Sie in einem schwach gedämpften Parallelresonanzkreis die Verhältnisse bei
der Resonanzfrequenz. Zeichnen Sie das zugehörige Zeigerdiagramm. Begründen Sie aus
diesen Verhältnissen die Beziehung für die Resonanzfrequenz.
Bei Parallelresonanz sind bei induktiver und kapazitiver Anteil gleich groß. Bei schwacher Dämpfung
ergibt sich demnach der gleiche Zusammenhang, wie bei der Reihenresonanz. Übrig bleibt der
ohmsche Widerstand R = Z, der Strom steigt auf das Maximum und zwischen Gesamtspannung und
Strom gibt es keine Phasenverschiebung mehr.
2
BL = BC à 1 / XL = 1 / XC à 1 / ωL = ωC à ω = 1 / LC à ω = 1 / √LC = ωr à fr = 1 / (2π √LC)
10. Ein Schwingkreis in einem Analogempfänger enthält eine Induktivität L=500nH. Auf welche
Kapazität ist der Kondensator bei Abstimmung der Resonanz auf 100MHz einzustellen?
6
-9
6
-9 2
fr = 1 / (2π√LC) à 100*10 = 1 / (2π√500*10 * C) à C = (1 / (100*10 * 2π * √500*10 )) = 5.066 fF
11. Welche Bedeutung hat der Gütefaktor eines Reihenresonanzkreises?
Gütefaktor Q ist ein Maß für die Spannungsüberhöhung (Q = UL / U = UC / U), das Verhältnis von
Blindgröße zu Wirkgröße.
12. Ein leicht gedämpfter Reihenresonanzkreis aus L=500nH, C=5pF, R=2Ω
Ω liegt bei der
Resonanzfrequenz an einer Spannung U=5µ
µ V. Geben Sie die Resonanzfrequenz an (ohne
Berücksichtigung der Dämpfung). Berechnen Sie den Gütefaktor des Resonanzkreises.
Geben Sie die Spannung am Kondensator an.
-9
-12
fr = 1 / (2π√LC) = 1 / (2π√(500 * 10 * 5 * 10 )) = 100.6584 MHz
-9
-12
Q = XC / R = √(L / C) / R = √(500 * 10 / 5 * 10 ) / 2 = 158.114
-6
UC = UL = Q * U = 158.114 * 5 * 10 = 0.7906 mV
13. Skizzieren und beschreiben Sie in Worten den zeitlichen Verlauf des Momentanwertes der
Leistung des Wechselstroms
a) an einem ohmschen Widerstand
Die Wirkleistung P ist die in nichtelektrisch Leistung umgesetzte Leistung.
Da beim ohmschen Widerstand zwischen Strom und Spannung keine
Phasenverschiebung, ist der Momentanwert der Leistung zu jedem
Zeitpunkt positiv.
b) an einer reinen Induktivität
Die reine Induktivität (ideale Spule) hat keinen Gleichstromwiderstand à
an ihr wird nur die Blindleistung umgesetzt. Die Blindleistung entspricht
dem Hin- und Herpendeln der Energie zwischen Stromquelle und Spule.
Im zeitlichen Mittel wird keine Energie aufgewendet. Der Strom eilt der
Induktivität nach.
c) an einer reinen Kapazität
Bei der reinen Kapazität verhält es sich wie bei der Spule, nur dass der
Strom der Spannung voreilt. Hier entspricht die Blindleistung dem Hinund Herpendeln der Energie zwischen Stromquelle und Kapazität. Im
zeitlichen Mittel ist die Leistung am kapazitiven Widerstand Null.
d) an einem allgemeinen Wechselstromwiderstand.
Im realen Wechselstromkreis mit Wirk- und Blindwiderständen tritt
zwischen Gesamtstrom und –spannung eine Phasenverschiebung ϕ
zwischen 0 und ± 90° auf.
Maxwell-Gleichungen
1.
Wie viele Gleichungen umfasst das System der Maxwell-Gleichungen?
Es gibt 4 Gleichungen, die die Beziehungen zwischen den Feldgrößen E, D, H, B eines zeitlich
veränderbaren elektromagnetischen Feldes angeben.
2.
System der Maxwell-Gleichungen:
Beschreiben Sie in Worten die physikalische Bedeutung aller Gleichungen.
Geben Sie die Bedeutung sämtlicher in den Gleichungen angeführten Zeichen an.
Integralform
Differentialform
(1)
(2)
(3)
(4)
a) Die elektrischen Ladungen stellen Quellen und Senken des elektrischen Feldes dar
b) Das magnetische Feld ist quellfrei, es gibt keine isolierten magnetischen Monopole.
c) Zeitliche Änderungen des magnetischen Flusses erzeugen Wirbel im elektrischen Feld
d) Leitungs- und Verschiebungsströme erzeugen Wirbel im magnetischen Feld, sie werden of auch als
Quellen des Magnetfeldes bezeichnet.
div, rot ... Differentialoperatoren
E ... elektrische Feldstärke
D ... elektrische Verschiebungsdichte
H ... magnetische Feldstärke
B ... magnetische Flussdichte
J ... Stromdiche
A ... durchsetzte Fläche
Q ... von einer geschlossenen Fläche eingeschlossene Ladung
ρ ... elektrische Raumladungsdichte
... Ringintegrale
3.
Beantworte mit ja/nein und zusätzlicher Begründung an Hand der (angegebenen) Maxwellschen
Gleichungen:
- Gibt es elektrostatische Felder ohne gleichzeitig auftretendes magnetisches Feld?
ja, nach der 1. Maxwell-Gleichung erzeugen keine Änderungen der Leitungs- und Verschiebungsströme
auch keine Wirbel im magnetischen Feld
- Gibt es statische Magnetfelder ohne gleichzeitig auftretende elektrische Felder?
ja, nach der 2. Maxwell-Gleichung erzeugen keine Änderungen des magnetischen Flusses auch keine
Wirbel im elektrischen Feld
- Gibt es geschlossene statische elektrische Felder?
nein, die 3. Maxwell-Gleichung besagt, dass elektrische Ladungen Quellen und Senken des elektrischen
Feldes darstellen
- Gibt es magnetische Ladungen?
nein, die 4. Maxwell-Gleichung besagt, daß es keine magnetische Ladungen als Quellen magnetischer
Felder gibt
- Gibt es zeitliche veränderliche magnetische Felder ohne gleichzeitig auftretende elektrische
Felder?
nein, die 2. Maxwell-Gleichung besagt, daß ein zeitlich sich änderndes magnetisches Feld ein
elektrisches Wirbelfeld erzeugt
4.
Was versteht man unter Verschiebungsstrom?
Im Raum zwischen den Kondensatorplatten befinden sich keine freien Ladungsträger und daher kein
durch sie erzeugtes Magnetfeld. Das Magnetfeld müsste beim Übergang von den metallischen
Zuleitungen zum Kondensatorzwischenraum plötzlich verschwinden, das geht aber nicht sprunghaft.
Deshalb wurde der Verschiebungsstrom eingeführt (besteht nicht durch Verschiebung von
Ladungsträgern, sondern durch zeitliche Änderungen elektrischer Felder).
5.
Zeigen Sie, wie aus dem Induktionsgesetz durch Integration über eine geschlossene Schleife die
2. Maxwellsche Gleichung (Umlaufspannung) folgt:
Induktionsgesetz: u = -dφ / dt = -A * dB / dt
Setzt man für u =
ein, dann folgt daraus:
In vektorieller Schreibweise lautet das Gesetz:
6.
Beschreiben Sie in Worten die wesentlichen Aussagen der 1. und 2. Maxwellschen Gleichung:
à 2. Maxwellgleichung
Jedes bewegte bzw. zeitlich veränderliche magnetische Feld umgibt sich mit einem geschlossenen
elektrischen Wirbelfeld.
à 1. Maxwellgleichung
Jedes bewegte bzw. zeitlich veränderliche elektrische Feld umgibt sich mit einem geschlossenen
magnetischen Wirbelfeld.
7.
Erläutern Sie die Bezeichnung, Bedeutung und Einheit sämtlicher Zeichen in den nachfolgenden
Gleichungen:
à 2. Maxwellgleichung
à 1. Maxwellgleichung
8.
Aus den Maxwell-Gleichungen im Vakuum
lassen sich folgende Gleichungen ableiten:
Was ist die Bedeutung dieser Gleichungen?
Aus den Gleichungen im Vakuum folgen die Wellengleichungen im Vakuum (siehe beide Gleichungen)
und damit die Existenz elektromagnetischer Wellen.
Harmonischer Oszillator
1) Benennen Sie Ihnen bekannte harmonische Oszillatoren und beschreiben Sie diese in wenigen Sätzen und
evtl. mit eine Skizze. (Keine genaue mathematische Beschreibung)
Federpendel: besteht aus einer Schraubenfeder (masselos betrachtet) mit einer angehängten Masse. Bei
Auslenkung aus der Ruhelage à Rückstellkraft durch gedehnte Feder. Masse schießt aber über Ruhelage hinaus
(Trägheit) à Feder gestaucht. Bewegung wird bis zum Stillstand verzögert und beschleunigt dann wieder Richtung
Ruhelage. Wenn Rückstellkraft proportional zu Auslenkung à harmonische Schwingung. Reale Federpendel
haben massebehaftete Feder.
α
L
Mathematisches Pendel: = Fadenpendel à idealisiert punktförmige
Masse à pendelt im Gravitationsfeld an masselosem Faden.
mg sin α
Drehpendel:
mg
Physikalisches Pendel: tatsächliches Pendel ohne Idealisierung
des mathematischen. Entspricht dem Drehpendel mit rücktreibendem
Drehmoment. l ist Abstand zwischen Schwer- und Drehpunkt.
Freier elektrischer Schwingkreis:
2)
C
L
Formulieren Sie die Differentialgleichung des ungedämpften Federpendels und geben Sie die Lösung an.
à à
à Realteil interessant:
r... Amplitude der Schwingung
ω0 ... mathematisch die Substitution ω0 = √k/m, physikalisch die Kreisfrequenz des ungedämpften
harmonischen Oszillators in 1/s
t ... Zeit in s
ω0 ∗ t = ϕ... Phase in rad
ϕ0 ... Anfangsphase zum Zeitpunkt t=0
3) Welche Aussagen lassen sich zur Energie des ungedämpft schwingenden Federpendels treffen?
Die Gesamtenergie wechselt vollständig zwischen potentieller und kinetischer Energie hin und
her:
Die konstante Gesamtenergie verteilt sich im zeitlichen Mittel gleich auf Ep und Ek und ist gleich deren
Maximalwert:
3) Formulieren Sie die Differentialgleichung des ungedämpften freien elektrischen Schwingkreises und geben
Sie die Lösung an. Beschreiben Sie in Worten alle auftretenden Größen und Terme.
uL + uC = 0
uL = L
di
d 2Q
=L 2
dt
dt
uC =
Q (Definition der Kapazität)
C
&
&+
LQ
1
Q=0
C
Lösung:
Q = Q0 sin( ω0 t + ϕ0 )
4) Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, dass ein Federpendel als harmonischer Oszillator schwingt (in
Worten)? Wie ist die entsprechende Voraussetzung beim freien elektrischen Schwingkreis zu formulieren?
Federpendel: Der lineare Zusammenhang zwischen Auslenkung und Rückstellkraft bleibt unverändert – und daher
auch das Schwingungsverhalten. Beim elektrischen Schwingkreis ist die Voraussetzung, dass die Summe aus UL
und UC = Null is t.
5) Was versteht man unter einem mathematischen Pendel?
Formulieren Sie die Differentialgleichung des ungedämpften mathematischen Pendels.
Geben Sie die Lösung an. Beschreiben Sie in Worten alle auftretenden Größen und Terme
Mathematisches Pendel = Fadenpendel à idealisiert punktförmige Masse à pendelt im Gravitationsfeld an
masselosem Faden.
Fr = m ⋅ g ⋅ sin α ≈ m ⋅ g ⋅ α
m⋅
d 2 ( L ⋅ α)
+ m ⋅ g ⋅α = 0
dt 2
Lösung (bei kleinen Auslenkungen):
α = α0 sin ωt
Fr ... Rückstellkraft
α ... Auslenkwinkel
m ... Pendelmasse
g ... Erdbeschleunigung
L ... Fadenlänge
6) Was versteht man unter einem physikalischen Pendel?
Was versteht man unter reduzierter Pendellänge?
Physikalisches Pendel: tatsächliches Pendel ohne Idealisierung
des mathematischen. Entspricht dem Drehpendel mit rücktreibendem
Drehmoment. l ist Abstand zwischen Schwer- und Drehpunkt.
Als Lösung erhält man, dass das Pendel so schwingt, als ob die
Gesamtmasse in einem Punkt A konzentriert wäre, der vom
Schwerpunkt einen Abstand lr besitzt = reduzierte Pendellänge.
7) Skizzieren Sie für das ungedämpfte Federpendel in ein und demselben Diagramm folgende Größen über der
Zeit:
a) Auslenkung
b) Geschwindigkeit
c) Federkraft
d) Beschleunigung
e) Potentielle Energie
f) Kinetische Energie
8) Unter welchen Voraussetzungen folgt der Amplitudenabfall einer gedämpften Schwingung einer
Exponentialfunktion? (Hinweis: Reibungsgesetze)
Reibungskraft geschwindigkeitsproportional à die dämpfende Kraft proportional zur momentanen
Bewegungsgeschwindigkeit des Oszillators. Diese Beziehung entspricht auch der durch einen
ohmschen Widerstand R gedämpften elektrischen Schwingung, da der Spannungsabfall U am
Widerstand proportional zum Strom ist.
y = r ⋅ e j ( ω t +ϕ ) ⋅ e −δ t
9) Formulieren Sie die Differentialgleichung des gedämpften Federpendels für den Fall einer
geschwindigkeitsproportionalen Reibungskraft. Beschreiben Sie alle auftretenden Terme und Größen.
FR = - β * ν
à m * y`` + β * y` + k * y = 0
Lösung :
y (t ) = r ⋅ sin( ωt + ϕ) ⋅ e −δ t ≡ y = r ⋅ e j ( ω t +ϕ ) ⋅ e −δ t
FR … Reibungskraft
m, b, k ... Reibungskoeffizienten
δ ... Abklingkonstante
10) Geben Sie die Lösung der Differentialgleichung des gedämpften Federpendels an und skizzieren Sie diese
Ort-Zeit-Funktion. Unter welcher Voraussetzung ergibt sich diese Zeitfunktion (Hinweis: Reibungsgesetz)?
Lösung :
y (t ) = r ⋅ sin( ωt + ϕ) ⋅ e −δ t ≡ y = r ⋅ e j ( ω t +ϕ ) ⋅ e −δ t
Wenn die Reibungskraft geschwindigkeitsproportional ist.
11) Formulieren Sie die Differentialgleichung des freien elektrischen Schwingkreises für den Fall der Dämpfung
durch einen ohmschen Widerstand. Beschreiben Sie alle auftretenden Terme und Größen.
u L + u R + uC = 0
dQ
uR = R ⋅ i = R
dt
à L * Q`` + R * Q` + Q * 1/C = 0 ;
Lösung:
ω = ω02 − δ 2 ; δ =
R
2L
Q = Q0 sin( ωt + ϕ) ⋅ e − δ t
Q ...
Q0 ...
...
12) Wie kann man durch Beobachten der Ort-Zeit-Funktion einer gedämpften Schwingung die
Abklingkonstante δ bestimmen?
Die Dämpfung verursacht eine Phasenverschiebung
tan ϕ = ωδ à Frequenz aus der Winkelgeschwindigkeit
bereichnen und Dämpfung berechnen. Bei aperiod. Grenzfall à Kreisfrequenz des ungedämpften harmonischen
Oszillators berechnen. Hinweis: Dämpfung ist auch der Kehrwert der Abklingzeit, nach der die Amplitude auf 1/e
abgesunken ist.
13) Was versteht man beim gedämpften Oszillator unter dem Begriff Dekrement (oder Dämpfungsdekrement,
Dämpfungsverhältnis,...)? Was ist das logarithmische Dekrement?
Verhältnis K zweier räumlich oder zeitlich aufeinanderfolgenden Amplituden einer Schwingung
(K=y1/y2=y2/y3=y3/y4...) à Maß für die Dämpfung in einem schwingungsfähigen System. Ist K = 1, so ist keine
Dämpfung vorhanden. Auch das logarithmische Dekrement Λ = ln K ist eine häufig verwendete Größe zur
quantitativen Charakterisierung der Dämpfung.
14) Ändert sich die Frequenz eines Oszillators mit zunehmender Dämpfung? Wie?
Die Schwingungsfrequenz reduziert sich gegenüber dem ungedämpften Oszillator bei geringer
2
2
Dämpfung auf ω = √(ω - δ ). Erreicht die Dämpfung die Kreisfrequenz des ungedämpften harmonischen
Oszillators à aperiodischer Grenzfall. Ab hier tritt keine Oszillation mehr auf, schwingt also nicht mehr.
15) Wie ist die Frequenz eines harmonischen Oszillators von der Schwingungsamplitude abhängig?
Bei harmonischen Schwingungen ist die Frequenz bzw. Periodendauer unabhängig von der Amplitude !
16) Beschreiben Sie gedämpfte Schwingungen für die unterschiedlichen Dämpfungsfälle
a) δ <ω
ω0
Geringe Dämpfung: Oszillator führt eine periodische Bewegung mit exponentiell abnehmender
Amplitude aus (= Schwingfall)
b) δ =ω
ω0
Aperiodischer Grenzfall: Das System schwingt gerade nicht mehr an. Die Rückkehr in die Ausgangslage
erfolgt ohne periodische Schwingungen in kürzestmöglicher Zeit.
c) δ >ω
ω0
Starke Dämpfung: keine reelle Lösung mehr à keine Oszillation: Masse "kriecht" gegen die
Ausgangslage (= Kriechfall)
17) Was versteht man unter dem Aperiodischen Grenzfall einer gedämpften Schwingung?
δ = ω0 : Das System schwingt gerade nicht mehr an. Die Rückkehr in die Ausgangslage erfolgt ohne periodische
Schwingungen in kürzestmöglicher Zeit. Dieser Fall ist auch technisch bedeutsam, z.B. sollen Stoßdämpfer von
Autos, Zeiger von analogen Messgeräten oder auch die Resonanzkörper von Musikinstrumenten möglichst schnell
zur Ruhe kommen, weshalb sie auf aperiodische Dämpfung hin konstruiert werden.
18) Geben Sie für den harmonischen Oszillator die Bezeichnung, Einheit, Bedeutung und die Zusammenhänge
zwischen den physikalischen Größen
T, f, ω 0 , y, r, ϕ , ϕ 0 an.
T ... Periodendauer (s)
f ... Frequenz (Hz)
àT=1/f
ω0 ... Winkelgeschwindigkeit (s -1 ) à Kreisfrequenz des ungedämpften harmonischen Oszillators
à ω0 = 2πf0 = √ k / m (f0 = Eigenfrequenz)
y...Verlängerung der Feder (Elongation) in m
à F = -k * y
r... Amplitude der Schwingung
ϕ ... Phase in rad (= ω0 t)
ϕ0 ... Anfangsphase zum Zeitpunkt t=0
19) Beschreiben Sie in Worten die Bedeutung der Gleichung
y= r sin(ω
ω t+ϕ
ϕ )e -δδ t. Geben Sie die Bezeichnung und Bedeutung aller Größen an.
Gedämpfter Oszillator. Durch Reibung oder Engerieabstrahlung (Schall, elektromagnetische Wellen) verliert
jede Schwingung Energie; die Amplitude nimmt ab. Der Verlauf des Amplitudenabfalls ist abhängig von der Art
der dämpfenden Kraft. Die Differentialgleichungen lieferen als Lösung für die Amplitude je Zeitpunkt die obrige
Gleichung.
y ... Amplitude der Schwingung
r ... Scheitelwert der Amplitude
ω ... Winkelgeschwindigkeit
t ... Zeitpunkt
ϕ ... Phase in rad
δ ... Abklingkonstante