Elektrizitätslehre und Magnetismus - Institut für Experimentelle Physik
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Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti | 08. 06. 2009 | Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Exkursion Wir könnten eine Exkursion nach Garching zum Tokamak machen und dort uns über die Anwendung von Mikrowellen zur Heizung informieren. Gibt es Interesse? Was wären gute Zeiten für die Exkursion? Seite 3 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Quellenfreiheit ZZ B · da = 0 A Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes Seite 4 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Quellenfreiheit Integration über die Mantelfläche. Seite 5 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Quellenfreiheit An der Mantelfläche gilt mit da = h · ds π B · da = B(r ) cos α + h · ds = −B(r ) sin (α) h · ds 2 dr dφ · h = −B(r ) · r 0 (φ) · dφ · h = −B(r ) · dr · h = −B(r ) · dφ und damit 2π Z2π 0 ZZ µ0 Ih r (φ) µ0 Ih B · da = − dφ = − ln (r (φ)) = 0 2π r (φ) 2π 0 Mantel 0 Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen ZZ B · da = 0 A Seite 6 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Quellenfreiheit Quellenfreiheit des Magnetfeldes ZZ ZZZ 0= B · da = div B dV A V (A) oder in differentieller Form div B = 0 Seite 7 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Vektorpotential, oder wie erfinde ich ein B-Feld? In diesem Abschnitt wollen wir die Frage lösen: wie konstruiere ich eine magnetische Induktion B möglichst bequem? Das Rezept stammt aus der Elektrizitätslehre. Dort wurde gezeigt, dass aus einem beliebigen Potential U(r) durch E(r) = − grad U(r) eindeutig ein elektrisches Feld E(r) konstruiert werden kann, das dem Gesetz der Elektrostatik rot E(r) = 0 genügt. Grundlage war die Vektoridentität rot ( grad F(r)) ≡ 0 die für beliebige Funktionen F(r) gilt . Es gibt unter den Rechenregeln für Vektorableitungen eine weiter Identität mit dem Nullvektor. div ( rot F) = 0 ∀F Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz rot B = µ0 i und die Quellenfreiheit div B = 0 erfüllen. Analog zur Poissongleichung soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Wir müssen also ein beliebiges Vektorfeld A wählen und die magnetische Induktion B gleich der Rotation von A setzten: dann ist die Divergenzfreiheit von B gewährleistet. Mit dem Vektorpotential A B (x, y , z) = rot A (x, y , z) werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität div ( rot A) = 0 Seite 8 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Vektorpotential Mit der zweiten Vektoridentität rot ( rot A) = grad ( div A) − ∆A bekommen wir aus dem Ampèreschen Gesetz ∆A − grad ( div A) = −µ0 i Das Vektorpotential A kann immer so gewählt werden, dass div A = 0 gilt. Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit div A = f 6= 0 existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld V = grad φ mit div V = f rot V = 0 mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik . Wir definieren ein Vektorpotential 0 A =A−V Wegen 0 rot A = rot A − rot V = rot A Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche B-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Wegen gilt auch 0 div A = div A − div V = f − f = 0 Seite 9 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Vektorpotential Zu jedem Vektorpotential A kann ein Vektorpotential A0 gefunden werden, so dass div A0 = 0 ist. Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential A ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen Lösung von B gehörenden Potentiale nennt man Eichung In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential. Seite 10 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Vektorpotential und B-Feld einer Ebene 0 10 −2 −4 Az 5 −6 0 −8 Vektorpotential −5 −10 −10 −5 0 5 10 x −10 −10 −5 0 5 10 Darstellung von B in einer (z = const)-Ebene. Die Strom-Ebene liegt bei x = 0. z-Komponente des Vektorpotentials einer unendlichen Stromdichte in z-Richtung in der (x = 0)-Ebene. Seite 11 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Vektorpotential Das Vektorpotential µ 1 0 Ixz 2 π (x 2 +y 2 ) A(r ) = µ0 Iyz 1 2 π (x 2 +y 2 ) 0 ergibt das magnetische Feld für einen in der z-Richtung laufenden Strom I − 21 π (x Iy 2 +y 2 ) H(r ) = 12 π (x Ix 2 +y 2 ) 0 In Zylinderkoordinaten (r , θ, z) gehört zum Magnetfeld 0 1 I 2 πr H(r , θ, z) = 0 das Vektorpotential A(r , θ, z) = 1 µ0 Iz 2 πr 0 0 Seite 12 Physik | Elektrizitätslehre und Magnetismus | 08. 06. 2009 Hall-Effekt Hall-Effekt
