Elektrizitätslehre und Magnetismus - Institut für Experimentelle Physik

Elektrizitätslehre und Magnetismus
Othmar Marti ∣ 06. 07. 2009 ∣ Institut für Experimentelle Physik
Physik, Wirtschaftsphysik und
Lehramt Physik
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Exkursion
Wir könnten eine Exkursion nach Garching zum Tokamak
machen und dort uns über die Anwendung von Mikrowellen zur
Heizung informieren.
Gibt es Interesse?
Was wären gute Zeiten für die Exkursion?
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Satz von Larmor (oder Kreisel sind wichtig!)
Der Satz von Larmor gilt allgemein, auch bei beliebiger Orientierung
von Magnetfeld und Bahnebene des Elektrons. Der Satz von Larmor
bildet die Grundlage des Verständnisses des Diamagnetismus
Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel
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Satz von Larmor (oder Kreisel sind wichtig!)
Wir erhalten die
vektorielle Schreibweise der Larmorfrequenz
Ω=
e
B
2m
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Diamagnetismus
Berechnung des Diamagnetismus
mA =
∑
j
mj = 0
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Diamagnetismus
Wenn ein B-Feld eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment mA , das zum Diamagnetismus führt.
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Diamagnetismus
Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische
Moment
Z ⋅ e2 ⋅ R 2
mA = −
B
10me
Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen
vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen
Substanzen wird es unterdrückt.
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Spin: Magnetisches Moment des Elektrons
Elektronenspin
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Spin: Magnetisches Moment des Elektrons
sz =
1 h
1
= ℏ
2 2𝜋
2
h = 6.63 × 10−34 Js
Plancksche Wirkungsquantum
oder mit 2𝜋ℏ = h
ms = −
ℏ ≈ 10−34 Js
e
s
m
e
s.
Klassische Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) ms = −(1/2) m
klassisches magnetisches Moment, Bohrsches Magneton
∣ms,z ∣ =
e
ℏ ≡ 1𝜇B = 0.927 ⋅ 10−23 A m2
2m
ms = −g𝜇B s
g: Landé-Faktor
klassische Quantenmechanik g = 2 Quanten-Elektrodynamik (QED) abhängig von der
Atomsorte.
Für Wasserstoff (H) ist gWasserstoff = 2.002284, für 133 Cs ist g133 Cs = 2.002540.
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Paramagnetismus
magnetisches Bahnmoment der einzelnen Elektronen eines Atoms
sowie deren von den Spins herrührendes magnetisches Moment hebt
sich nicht vollständig auf.
mA ∕= 0
Das magnetische Moment eines paramagnetischen Atoms hat die
Grössenordnung eines Bohrsche Magneton 1𝜇B . Ohne äusseres
Magnetfeld verschwindet die makroskopische Magnetisierung, da die
einzelnen atomaren magnetischen Momente ungeordnet sind. Im
äusseren Magnetfeld ordnen sich die magnetischen Momente
teilweise, da die thermische Brownsche Bewegung,
temperaturabhängig, für Unordnung sorgt.
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Paramagnetismus
coth x −
1
= L(x)
x
Langevin-Funktion
Mz
=
)
]
[
(
kB T
mA B
−
NmA coth
kB T
mA B
Diese klassisch berechnete Magnetisierung ist für kleine Magnetfelder, also kt ≫ mA B
verifizierbar. Da für x ≪ 1 die Reihenentwicklung L(x) = x/3 + O(x 2 ) gilt bekommen
wir das Curie-Gesetz
1 NmA2
C
M=
B= B
3 kb T
T
Hier ist C die Curie-Konstante
C=
mA2
3kb
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Paramagnetismus
Schematischer Verlauf der Magnetisierung (Curie-Gesetz für kleine
B). MS ist die Sättigungsmagnetisierung.
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Bestimmung der Magnetisierungskurven
Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der
Primärkreis, grün der Sekundärkreis.
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Bestimmung der Magnetisierungskurven
Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den
Sekundärkreis
dB(t)
Q(t)
−A ⋅
−
= R2 ⋅ I2 (t)
dt
C
Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche
Ableitung der Ladung.
A dB(t)
Q(t)
dQ(t)
−
⋅
=
+
R2
dt
R2 C
dt
Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I1 (t), der die Frequenz 𝜔 hat. Also ist
auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen
Funktionen gilt, dass dQ(t)/dt ≈ 𝜔Q(t) ist. Wenn 1/RC ≪ 𝜔 ist, kann der erste Term
auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt
Q(t) = const ⋅ B(t)
und damit für die Spannung am Kondensator
UC (t) = Q(t)/C ∝ B(t)
Der Ausgangsstrom I(t) selber erzeugt das anregende Feld.
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Hysterese
Hysteresekurve eines Ferromagneten
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Ferromagnetische Domänen
Ferromagnetische Domänen
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Ferromagnetische Domänen: Änderung des Magnetfeldes
r
Bext = 0
r
Bext
r
Bext
r
M
Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem
Magnetfeld
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Domänenstrukturänderung
Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung
nicht, sie ändern nur ihre Grösse.
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Remanenten Magnetismus löschen
Löschen des remanenten Magnetismus
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Gleichungen des Elektromagnetismus
div E
rot E
div B
rot B
Gausssches Gesetz
Induktionsgesetz
Quellenfreiheit
Durchflutungsgesetz
Ladungserhaltung
div i = −
∂𝜌el
∂t
=
=
=
=
𝜌el
𝜀0
− ∂B
∂t
0
𝜇0 i
I
II
III
IV
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Maxwell-Gleichungen
Maxwell-Gleichungen
div E
=
1
𝜌
𝜀0 el
− ∂B
∂t
I
rot E
=
II
div B
=0
III
(
)
∂E
rot B = 𝜇0 i + 𝜀0 ∂t
IV
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Verschiebungsstromdichte
Die Maxwellsche Verschiebungsstromdichte, die eingeführt wurde um die Maxwellgleichungen mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel zu machen, führt dazu,
dass man aus den Maxwellgleichungen elektromagnetische Wellen vorhersagen kann.
Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter der
Galilei-Transformation. Diese Beobachtung war ein
wichtiger Meilenstein auf dem Weg zur speziellen Relativitätstheorie.
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Integralform der Maxwellgleichungen
∫∫
∫∫∫
E ⋅ da =
𝜀0
I
𝜌el (r)dV
V
A(V )
∮
−d
dt
E ⋅ ds =
S
∫∫
B ⋅ da
II
A(S)
∫∫
B ⋅ da =
III
0
A(V )
∮
B ⋅ ds =
S
(
∫∫
𝜇0
A(S)
∂E
i + 𝜀0
∂t
)
⋅ da
IV
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Maxwellgleichungen für allgemeine Materialien
Für Medien mit tensoriellen Eigenschaften benötigt man die
beiden Materialgleichungen
D = 𝜀𝜀0 E
B = 𝜇𝜇0 H
wobei 𝜀 und 𝜇 Tensoren sind.
Die Maxwellgesetze für allgemeine Materialien lauten
div D
rot E
div B
= 𝜌el
=
− ∂B
∂t
=0
rot H = i +
𝜀𝜀0 ∂E
∂t
I
II
III
IV
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Maxwellgleichungen für allgemeine Materialien
∫∫
∫∫∫
D ⋅ da =
𝜌el (r)dV
I
V
A(V )
∮
d
− dt
E ⋅ ds =
S
∫∫
B ⋅ da
II
A(S)
∫∫
B ⋅ da =
0
III
A(V )
∮
S
)
∫∫ (
∂E
H ⋅ ds =
i + 𝜀𝜀0
⋅ da IV
∂t
A(S)
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Doppelleitungen
3 mögliche Doppelleitersysteme. Links die Lecherleitung, in der Mitte
eine Doppelleiterleitung, wie sie bei Printplatten üblich ist und rechts
ein Koaxialkabel