Geometrie Winkel und Vierecke
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GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Seite Geometrie Winkel und Vierecke Name: PRÜFUNG 02 Ausgabe: 2. Mai 2011 _________________________ Klasse: ___________ Datum: ___________ Punkte: ___________ Note: ___________ Klassenschnitt/ Maximalnote : ______/_______ Selbsteinschätzung: Für alle Berechnungsaufgaben sind - die Formelgleichungen, - Wertegleichungen und - die entsprechenden Einheiten aufzuschreiben. Ist eine Skizze vorhanden sind nur die fehlenden Angaben in dieser zu ergänzen. Resultate sind doppelt zu unterstreichen. Für die Bearbeitung steht eine Zeit von 45 Minuten zur Verfügung. Für fehlende Angaben werden entsprechende Abzüge gemacht. Ohne Formelsammlung! _________ (freiwillig) 1 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos 1 Seite 2 Prüfung 02 Frage Punkte Verschiedene Viereckstypen Tragen Sie für die Aufgaben a) bis e) die entsprechenden römischen Ziffern in der Tabelle ein. Antwort a) Bei welchen Figuren stehen die Diogonalen senkrecht aufeinander? b) Bei welchen Figuren halbieren sich die Diagonalen gegenseitig? c) Bei welchen Figuren sind alle Seiten gleich lang? d) Bei welchen Figuren sind je zwei Seiten gleich lang? e) Welche Vierecke sind keine Parallelogramme? f) Von allen dargestellten Figuren kennen Sie den Namen. Schreiben Sie diesen Namen zur entsprechenden Figur! I II III IV V VI VII VIII , Trapez lX 6 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos 2 Seite 3 Prüfung 02 Frage Punkte Eigenschaften von Parallelogrammen (Vierecken) Bei welchen Vierecktypen treffen die folgenden Aussagen immer zu? Kreuzen Sie die möglichen Antworten an! Antwort Quadrat Rechteck Rhombus Parallelogramm 6 andere Dreiecke Es hat vier Seiten Alle Seiten sind gleich lang Alle Seiten sind unterschiedlich lang Je zwei Seiten sind gleich lang Zwei gleich lange Seiten berühren sich Je zwei Seiten sind paralle Es hat drei Diagonalen Beide Diagonalen halbieren sich gegenseiten Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander Beide Diagonalen sind gleich lang Alle Winkel sind gleich gross, nämlich 90° Gegenüberliegende Winkel sind gleich gross Pos 3 Frage Punkte Winkel in Dreiecken, in Vierecken und in Vielecken Wie lautet die Berechnungsformel für die Summe der Innenwinkel für ein beliebiges Vieleck? Antwort Berechnen Sie die fehlenden Winkel! α 98° 146° 90° 24° 95° α 26° 100° 93° 150° 59° α 250° 80° 51° α 68° 54° 141° I Berechnungen: 87° II III IV 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos 4 Seite 4 Prüfung 02 Frage Punkte Winkel in Dreiecken, in Vierecken und in Vielecken Wie lautet die Berechnungsformel für die Summe der Innenwinkel für ein beliebiges Vieleck? 4 Antwort Berechnen Sie die fehlenden Winkel! α 78° 98° 146° α 55° α 260° 60° 93° 130° 90° 95° 53° 90° I 30° 51° α II III IV Berechnungen: Pos 5 Frage Dreieck g) Zeichne ein stumpfwinkliges Dreieck mit a = 5 ,5 cm und b = 6 cm h) Alle Winkel des Dreiecks sind mit den richtigen griechischen Buchstaben zu kennzeichnen (Dreieck gelb ausmalen). i) Alle Winkel sind zu messen und aufzuschreiben. j) Die Summe der Winkel ist mit Formel darzustellen k) und mit Werten zu berechnen. Antwort Punkte 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos 6 Frage Seite 5 Prüfung 02 Punkte Winkel in regelmässigen Vielecken Regelmässige (genauer: regulär) Vielecke haben gleich lange Seiten und gleich grosse Winkel. Konstruieren Sie ein reguläres Dreieck folgendermassen: 1. Zeichnen Sie eine Strecke von 8 cm Länge – Ausgangspunkt M und Endpunkt A auf dem Strahl g . 2. Tragen Sie im Punkt A , also am Ende der Strecke einen Winkel von 60° ab, messen Sie ab dem Punkt A die gleiche Strecke ( 8cm ) ab. 3. Wiederholen Sie Punkt zwei bis die Figur sich schliesst. 4. Welche Figur entsteht? Antwort M g 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos 7 Frage Seite 6 Prüfung 02 Punkte Winkel in regelmässigen Vielecken Regelmässige (genauer: regulär) Vielecke haben gleich lange Seiten und gleich grosse Winkel. Konstruieren Sie ein reguläres Dreieck folgendermassen: 1. Zeichnen Sie eine Strecke von 8 cm Länge – Ausgangspunkt M und Endpunkt A auf dem Strahl g . 2. Tragen Sie im Punkt A , also am Ende der Strecke einen Winkel von 90° ab, messen Sie die gleiche Strecke ( 8 cm ) ab. 3. Wiederholen Sie Punkt zwei bis die Figur sich schliesst. 4. Welche Figur entsteht? Antwort M g 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos 8 Frage Seite 7 Prüfung 02 Punkte Winkel in regelmässigen Vielecken Regelmässige (genauer: regulär) Vielecke haben gleich lange Seiten und gleich grosse Winkel. Konstruieren Sie ein reguläres Dreieck folgendermassen: 5. Zeichnen Sie eine Strecke von 5 cm Länge – Ausgangspunkt M und Endpunkt A auf dem Strahl g . 6. Tragen Sie im Punkt A , also am Ende der Strecke einen Winkel von 120° ab, messen Sie die gleiche Strecke ( 5 cm ) ab. 7. Wiederholen Sie Punkt zwei bis die Figur sich schliesst. 8. Welche Figur entsteht? Antwort M g 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos 9 Frage Seite 8 Prüfung 02 Punkte Winkel in regelmässigen Vielecken Regelmässige (genauer: regulär) Vielecke haben gleich lange Seiten und gleich grosse Winkel. Konstruieren Sie ein reguläres Dreieck folgendermassen: 9. Zeichnen Sie eine Strecke von 5 cm Länge – Ausgangspunkt M und Endpunkt A auf dem Strahl g . 10. Tragen Sie im Punkt A , also am Ende der Strecke einen Winkel von 144° ab, messen Sie die gleiche Strecke ( 5 cm ) ab. 11. Wiederholen Sie Punkt zwei bis die Figur sich schliesst. 12. Welche Figur entsteht? Antwort M g 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos Frage 10 Vieleck Wie müsen Sie den Winkel in einem Vieleck wählen, damit Seite 9 Prüfung 02 Punkte 4 a) ein reguläres Achteck b) ein reguläres Fünfeck entsteht? Berechnung Pos Frage 11 Summe der Innenwinkel im Vieleck Bestimmen Sie vom nachfolgenden Vieleck die Summe aller Innenwinkel! Berechnung Punkte 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos Frage 12 Summe der Innenwinkel im Vieleck Bestimmen Sie vom nachfolgenden Vieleck die Summe aller Innenwinkel! Seite 10 Prüfung 02 Punkte 4 Berechnung Pos Frage 13 Winkelarten Alle möglichen Winkelgrade sind zu beschreiben. Bei jedem Winkel ist ein anderer griechischer Buchstabe im Winkelbogen zu platzieren und der Winkeltyp ist zu beschreiben! Antwort Punkte 6 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Seite 11 Prüfung 02 Pos Frage 14 Summe der Innenwinkel Bezeichnen Sie die drei Innenwinkel mit bekannten griechischen Buchstaben. Wie gross ist die Summe der drei Innenwinkel? Wie beweisen Sie grafisch die Summe der drei Innenwinkel? Punkte 4 Antwort Pos Frage 15 Koordinatensystem a) Notieren Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C und D. b) Zeichnen Sie die Punkte E, F, G und H ins Koordinatensystem ein. Punkte y A B C B D A x D C E (8/1) F (-5 / 3 ) G ( 3 /-5 ) H (-9 /-2 ) Punkt ( x / y ) 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Seite 12 Prüfung 02 Pos Frage 16 Koordinatensystem a) Notieren Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C und D. b) Zeichnen Sie die Punkte E, F, G und H ins Koordinatensystem ein. Punkte 4 y A B B D C D x E (2/2) F (10 /-4 ) G (-3 /-9 ) H (-9 / 5 ) Punkt ( x / y ) C A Pos Frage 17 Koordinatensystem Zeichnen Sie die Punkte A-P ins Koordinatensystem ein und verbinden Sie die Punkte nach alphabetischer Reihenfolge. Punkte y x A B C D E F G H I J K L M N O P Q ( 0 /-6 ) ( 3 /-3 ) (6/0) (7/3) (7/5) (5/7) (3/7) (1/6) (0/4) (-1 / 6 ) (-3 / 7 ) ( -5 / 7 ) ( -7 / 5 ) (-7 / 3 ) (-6 / 0 ) (-3 /-3 ) ( 0 /-6 ) 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos Frage 18 Symetrieachsen von geometrischen Körpern Beschriften Sie die Figuren und zeichnen Sie die Symetrieachsen ein! Antwort Seite 13 Prüfung 02 Punkte 5 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Seite 14 Prüfung 02 Pos Frage 19 Winkelkonstruktion Konstruieren Sie ein Dreieck mit der Seite AB = 10 cm , dem Winkel α = 70° bei A und dem Winkel β = 50° bei B . Wie gross ist der Winkel γ (Grafische und rechnerische Lösung verlangt)? Punkte Pos Frage 20 Beweis Summe der Innenwinkel Beweisen Sie mit der entsprechenden Konstruktion bzw. mit Hilfe der nachstehenden Grafik die Summe der Innenwinkel! Punkte γ α β Wie heissen die drei Winkel, welche Sie zur Beweisführung gebraucht haben? 1. 2. 3. 4 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Seite 15 Prüfung 02 Pos Frage 21 Vergleich gleichseitiges und gleichschenkliges Dreieck Was können Sie aussagen bezüglich den Winkeln: Punkte 4 a) im gleichschenkligen Dreieck (Schenkel c = b = 7 cm , α = 30° )! b) im gleichseitigen Dreieck ( a = c = b = 6 cm )! Konstruktion gleichseitiges Dreieck Pos Frage 22 Winkelbestimmung im Dreieck Berechnen Sie den fehlenden Winkel! Konstruktion gleichschenklkiges Dreieck Punkte 4 Um welchen Dreieckstyp handelt es sich hier? 35° Spitzwinklig Stumpfwinklig Gleichschenklig 95° β Gleichseitig Rechtwinklig GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Seite 16 Prüfung 02 Pos Frage 23 Winkelbestimmung im Dreieck Beschriften Sie alle Winkel mit griechischen Buchstaben und berechnen Sie den fehlenden Winkel! Punkte 4 Um welchen Dreieckstyp handelt es sich hier? 41 ° Spitzwinklig Stumpfwinklig Gleichschenklig α Pos Frage 24 Winkelbestimmung im Dreieck Berechnen Sie den fehlenden Winkel! Gleichseitig Rechtwinklig Punkte β 4 Um welchen Dreieckstyp handelt es sich hier? Spitzwinklig Stumpfwinklig Gleichschenklig Gleichseitig 6 3° 75 ° Rechtwinklig GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Seite 17 Prüfung 02 Pos Frage 25 Winkelbestimmung im Dreieck Berechnen Sie die Winkel des gegebenen Dreiecks! Punkte B 4 Um welchen Dreieckstyp handelt es sich hier? Spitzwinklig 2⋅α Stumpfwinklig Gleichschenklig Gleichseitig 3⋅α α C Rechtwinklig A Pos Frage 26 Winkelkonstruktionen des Dreiecks Konstruieren Sie folgende Dreiecke! Gleichschenklig-spitzwinkliges Dreieck Punkte Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck 4 Gleichschenkligstumpfwinkliges Dreieck Ist ein gleichseitiges Dreieck stumpfwinklig oder spitzwinklig? GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Seite 18 Prüfung 02 Pos Frage 27 Kreisbogen am Dreiecks Welche Bedeutung haben die nachfolgenden Kreisbögen am Dreieck? Welche Schlussfolgerung können Sie treffen? Berechnen Sie die fehlenden Winkel! Punkte Dreieck 1 Dreieck 2 4 Dreieck 3 B ω β C ε γ α C γ 59° A A α β 28° β B 28 0 ° Pos Frage 28 Winkelbestimmung am Dreiecks Berechnen Sie die fehlenden Winkel! Punkte Dreieck 1 4 Dreieck 2 α ω β ε δ δ δ β 15° 65° δ 79° α ω ε 41° GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Seite 19 Prüfung 02 Pos Frage 29 Koordinatensystem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensystem mit der Einheit 2 Karo (12 Einheiten, Beginnen Sie mit der Grafik bei (0/0). Punkte Weiter sind folgende Arbeiten zu erledigen: a) Die Gerade g verläuft durch die Punkte P (0/0) und Q (6/12). Die Seite AD eines Quadrates liegt auf g mit D (?/10) (y-Koordinate). A ist Schnittpunkt von g mit der Senkrechte zu g durch den Punkt (R (10/0). Ergänzen Sie das Quadrat und bestimmen Sie die Koordinaten der Ecken A,B,C und D. b) Zwei Parallelen zur x-Achse durch die Punkte A und C bestimmen zusammen mit zwei Parallelen zur y-Achse durch die Punkte B und D ein kleineres Quadrat EFGH. Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte an. c) Die Aufgabe a) hat noch eine zweite Lösung. Bestimmen Sie die passenden Koordinaten. 0 0 2- Lösung 1. Lösung A E A’ E’ B F B’ F’ C G C’ G’ D H D’ H’ 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos Frage 30 Koordinatensystem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensystem mit der Einheit 2 Karo (10 Einheiten (Beginnen Sie mit der Grafik bei (0/0). Seite 20 Prüfung 02 Punkte Die Strecke PQ mit P(2/1) und Q(9/1) ist Seite des Quadrates PQRS. Bestimmen Sie die beiden anderen Ecken R und S und geben Sie deren Koordinaten an. R S 0 0 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos Frage 31 Koordinatensystem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensystem mit der Einheit 2 Karo (10 Einheiten (Beginnen Sie mit der Grafik bei (0/0). Seite 21 Prüfung 02 Punkte Von einem Rechteck ABCD kennen Sie die Ecken A (2/5), B (5/2) und C (10/7). Zeichnen Sie das Rechteck fertig und bestimmen die Koordinaten der Ecke D. D 0 0 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos Frage 32 Koordinatensystem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensystem mit der Einheit 2 Karo (10 Einheiten (Beginnen Sie mit der Grafik bei (0/0). Seite 22 Prüfung 02 Punkte Gegeben sind die Ecken E (1/1), F (7/2,5) und G (9/10) des Rhomboids EFGH. - Bestimmen Sie die vierte Ecke und geben deren Koordinaten an. H - Zeichnen Sie ein weiteres Rhomboid über der Sträcke EF und geben die Koordinaten der beiden selbst gewählten Ecken an. G’ H’ - Können Sie auch eien Rhombus EFST einzeichnen? S T 0 0 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Seite 23 Prüfung 02 Pos Frage 33 Koordinatensystem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensystem mit der Einheit 2 Karo (10 Einheiten (Beginnen Sie mit der Grafik bei (0/0). Punkte Von einem Trapez KLMN kennen Sie die Ecken K (2/6), L (8/0) und M (10/4). Bestimmen Sie mindestens vier Punkte, die als Ecken in Frage kommen. Einer der Punkte soll Ecke eines gleichschenkligen Trapezes sein. (gleichschenkliges Trapez) N N’ N’’ N’’’ 0 0 4 GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG WINKEL UND VIERECKE Pos Frage 34 Dreiecksarten Alle Dreiecke sind möglichst genau zu beschreiben. Bei jedem Winkel ist ein anderer griechischer Buchstabe im Winkelbogen zu platzieren! Antwort Seite 24 Prüfung 02 Punkte 6
