2. Übungsblatt - Fachrichtung Mathematik

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
Prof. Dr. U. Baumann, J. Greiner
Wintersemester 2016/17
2. Übungsblatt zur Vorlesung
«Algebra für Informationssystemtechniker»
Graphen
V7. Vorbereitungsaufgabe, bitte vor Beginn dieser Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
a) Was ist der Unterschied zwischen einem Graphen und einem Graphendiagramm?
b) Wie ist der n-dimensionale Würfel definiert?
c) Zeichnen Sie das Diagramm eines Waldes mit 4 Komponenten und 15 Knoten.
Ü8. Folgendes Schach-Turnier soll mit einem Graphen modelliert werden:
∙ es gibt genau 5 Spieler,
∙ jeder soll gegen jeden anderen Spieler genau einmal antreten,
∙ jeder Spieler kann an höchstens einem Brett spielen.
Ein Spieler soll einem Knoten entsprechen und ein Spiel zwischen den Spielern x und
y einer Kante t x, y u.
a) Notieren Sie den zugehörigen Graphen und zeichnen Sie dessen Diagramm.
b) Lesen Sie am Graphen einen Turnierplan mit einem Schachbrett ab, bei dem kein
Spieler 2 Spiele hintereinander hat.
c) Wie viele Bretter braucht man, um das Turnier maximal schnell abhalten zu
können.
Ü9.
a) Beweisen Sie, dass der n-dimensionale Würfel 2n Knoten hat.
b) Wie viele Kanten hat der n-dimensionale Würfel?
c) Beweisen Sie, dass der n-dimensionale Würfel ein bipartiter Graph ist.
Ü10. Beweisen Sie für n P N:
a) Sind u, v zwei verschiedene Knoten in einem Baum T , dann gibt es in T genau
einen Weg mit den Endpunkten u und v.
b) Jeder Baum mit Knotenanzahl n ě 1 hat Kantenanzahl n ´ 1.
c) Jeder Baum mit Knotenanzahl n ě 2 hat mindestens zwei Knoten vom Grad 1.
d) Jeder kreislose Graph mit Knotenanzahl n ě 1 und Kantenanzahl n ´ 1 ist ein
Baum.
Ü11. Wir betrachten Graphen G = (V, E) mit V = t 1, 2, . . . , n u.
a) Beschreiben Sie die Isomorphieklassen für Graphen mit n = 5 und 2 Kanten
durch unbeschriftete Graphendiagramme. Wie viele Graphen mit n = 5 und 2
Kanten gibt es?
b) Beschreiben Sie die Isomorphieklassen für Graphen mit n = 6, welche außerdem
Bäume sind, durch unbeschriftete Graphendiagramme. Wie viele Bäume mit
n = 6 gibt es?
H12. Hausaufgabe, bitte vor Beginn der nächsten Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
Sei G = (V, E) ein Graph. Ist ein Untergraph T = (V, E1 ) von G ein Baum, dann nennt
man ihn ein Gerüst von G.
Berechnen Sie für folgende Graphen die Anzahl der Gerüste für n, m ě 3:
a) ein Kreis mit n Knoten
b) ein Kreis mit n Knoten, an dessen Knoten Bäume angehangen wurden (die Bäume
sind nur über den Kreis miteinander verbunden)
c) ein Graph, der aus zwei Kreisen der Länge n und m besteht, welche durch genau
eine Kante verbunden sind
d) ein Kreis mit den Knoten 1, . . . , n mit einer zusätzlichen Kante von 1 zu m für ein
m P t 3, . . . , n ´ 1 u und n ě 4.
e) der Graph, der folgendes Diagramm hat:
b4
b5
b3
b6
b2
b1
h5
h4
h6
h3
gr
gl
h7
mr
ml
h2
mm
hl
hr
h1
m2
m1
lf
rf
Hinweis: Die Aufgaben bauen aufeinander auf. Zerlegen Sie komplexere Probleme in
einfachere, bekannte Teilprobleme.