4. Übungsblatt - Fachrichtung Mathematik

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
Prof. Dr. U. Baumann, J. Greiner
Wintersemester 2016/17
4. Übungsblatt zur Vorlesung
«Algebra für Informationssystemtechniker»
Prüfer-Code, Planare Graphen
V18. Vorbereitungsaufgabe, bitte vor Beginn dieser Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
a) Finden Sie das beschriftete Graphendiagramm des Baumes zum Prüfer-Code
(2, 4, 1, 2, 2, 0, 1, 6) (Kontenmenge t 0, 1, . . . , 9 u).
b) Wie lautet die Polyederformel von Euler?
c) Wann ist ein Graph G ein Untergraph eines Graphen G1 ?
Ü19. Sei T ein Baum und w die Codierung von T im Prüfer-Code. Zeigen Sie:
Ist di der Grad von Knoten i im Baum T und ist i genau f i -mal im Tupel w enthalten,
dann gilt f i = di ´ 1.
Ü20. Welche der folgenden, durch unbeschriftete Diagramme gegebenen Graphen sind
planar? Geben Sie entweder ein ebenes Diagramm an oder eine Unterteilung des K3,3
oder des K5 , die der Graph als Untergraph enthält.
G1
G2
G3
G4
Ü21. Zeigen Sie, dass der Petersen-Graph nicht planar ist, ohne den Satz von Kuratowski1
zu benutzen.
Tipp: Nutzen Sie die Polyederformel für einen Widerspruchsbeweis.
Ü22. Für welche n P N ist der n-dimensionale Würfel Qn planar? Begründen Sie.
1 „Ein
Graph ist genau dann planar, wenn er keine Unterteilung von K5 und keine Unterteilung von K3,3 als
Untergraph enthält.”
H23. Hausaufgabe, bitte vor Beginn der nächsten Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
a) Es gibt Fußbälle, die aus 5-Ecken und 6-Ecken so zusammengesetzt sind, dass auf
ihrer Oberfläche ein Graph zu sehen ist, in dem alle Knoten Grad 3 haben:
„Truncatedicosahedron” by Cyp, CC ASA 3.0
∙ Zählen Sie die Anzahl der 5-Ecke und die Anzahl der 6-Ecke in dem abgebildeten Graphen (oder einem echten Fußball dieser Form).
Geben Sie außerdem die Anzahl der Knoten und die Anzahl der Kanten in
diesem Graphen an.
∙ Überprüfen Sie die Ergebnisse Ihrer Zählung mit dem Handschlaglemma
und der Eulerschen Polyederformel.
b) Analog können größere Fußbälle2 aus 5-Ecken und 6-Ecken beschrieben werden.
Wie viele 5-Ecke (deren Anzahl sei mit a bezeichnet) und 6-Ecke (deren Anzahl
sei mit b bezeichnet) benötigen Sie in Abhängigkeit von der Knotenanzahl n?
Hinweis: Für die Anzahl der Flächen f gilt f = a + b. Außerdem gilt laut Handschlaglemma 3n = 2m (wobei m die Anzahl der Kanten ist). Benutzen Sie außerdem die Polyederformel von Euler und eine Gleichung in der m in Abhängigkeit
von a und b angegeben ist.
2 D.h.
planare, endliche, zusammenhängende, schlichte Graphen, in denen alle Knoten Grad 3 haben.