Blatt 10

Übungen zur Vorlesung
Elementarmathematik
im Sommersemester 2015
Prof. Dr. Alan Rendall
Stefan Disselnkötter
Blatt 10
Abgabe: 03.07.2015, 12:00 Uhr
Gesamtpunktzahl: 20 Punkte
Bei der Korrektur wird hauptsächlich auf eine schlüssige und vollständige Argumentation Wert gelegt, weshalb die reine Angabe des korrekten Ergebnisses im Allgemeinen
noch keine Punkte bringt.
Aufgabe 1 Untergraphen
(2+2+2=6 Punkte)
Gegeben sei der folgende Graph G:
Wir definieren die folgenden Teilmengen der Knoten bzw. Kanten von G:
U1 := {3, 4, 5}, U2 := {3, 4, 5, 6},
F1 := {(2, 8), (3, 5), (4, 6), (1, 7)}, F2 := {(2, 8), (8, 7), (7, 5), (2, 4)}.
Zeichnen Sie:
a) G − U1 , G − F1
b) G[U2 ], G[F2 ]
c) (G − U1 ) ∩ (G − F1 ), G[U2 ] ∪ G[F2 ].
Aufgabe 2 mögliche Knotengrade
(1+1+1+1+1=5 Punkte)
Zeichnen Sie Graphen, deren 5 Knoten die folgenden Grade haben, oder begründen
Sie, warum ein solcher Graph nicht existieren kann.
a) 2,2,3,3,4
b) 1,2,3,4,1
d) 0,1,1,1,5
e) 2,2,2,3,3
Bitte wenden...
c) 1,2,3,4,4
Aufgabe 3 Komplement eines Graphen
(1+2+2=5 Punkte)
Man definiert das Komplement G eines Graphen G mit v(G) = n als G := Gn −E(G),
wobei Gn der vollständige Graph mit n Knoten ist. Ein Graph heißt selbstkomplementär, falls er isomorph zu seinem Komplement ist.
a) Zeichnen Sie das Komplement des folgenden Graphen:
Was ist wiederum dessen Komplement?
b) Zeigen Sie, dass für einen selbstkomplementären Graphen G gilt:
(v(G) ≡ 0
mod 4) oder (v(G) ≡ 1
mod 4).
Hinweis: Nach der Vorlesung hat ein vollständiger Graph mit n Knoten genau n(n−1)
2
Kanten. Überlegen Sie sich, für welche n diese Anzahl durch 2 teilbar ist und bringen
Sie diese Überlegung in Zusammenhang mit der Aufgabenstellung.
c) Geben Sie bis auf Isomorphie alle selbstkomplementären Graphen mit 4 Knoten
an. Erklären Sie, warum dies alle sind.
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 4 von Blatt 9.
Aufgabe 4 Zusammenhangskomponenten
(2+2=4 Punkte)
a) Welches sind die Zusammenhangskomponenten der Graphen G, G[F2 ], G − U1
und (G − U1 ) ∩ (G − F1 ) aus Aufgabe 1?
b) Sei G ein nicht zusammenhängender Graph (das heißt, es gibt mindestens zwei
nicht leere Zusammenhangskomponenten). Zeigen Sie, dass das Komplement G zusammenhängend ist.