Koordinatengeometrie
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Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Thema Was ist Koordinaten-Geometrie? Koordinatengeometrie ist eine Systematische Sammlung von Techniken, um geometrische Probleme Probleme nicht durch Zeichnen, sondern durch Berechnungen zu lösen. Vorgehensweise: 1. Was ist Geometrie? 2. Was sind Koordinaten? 3. Koordinatengeometrie 4. Wozu benötigt man das? 5. Materialien und Aufgaben Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Geometrie Ägypten Wenn das Einebnen des Terrains beendet war, konnten die sehr anspruchsvollen Vermessungsarbeiten vorgenommen werden. Wie die Harpetonapten (Seilspanner) die Ausrichtung nach den Himmelsrichtungen und die fast perfekte Vermessung des Basisquadrats vorgenommen haben, wird wohl ein Geheimnis bleiben. Eine Inschrift aber, welche die Gründung des Tempels von Abydos durch Sethos I. beschreibt, lässt Safech, die Göttin der Grundsteinlegung und Bibliotheken zum König sprechen: "Der Schlägel in meiner Hand war von Gold, als ich schlug den Pflock mit ihm und du warst bei mir in deiner Eigenschaft als Harpetonapt." Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Beispiel Pyramidenquadrat Gegeben sei die Strecke AB als Seite des Basisquadrats. Man konstruiere die Mittel-senkrechte CC‘. Dann schlage man von C aus die Strecke CB auf CC‘. Man erhält den Schnittpunkt O. Zuletzt nimmt man OB (OA) in den Zirkel und schlägt diesen Kreis um C. Die Schnittpunkte E und F ergeben zusammen mit A und B das gesuchte Quadrat. Durch die Steilheit der Schnittpunkte erlaubt diese Methode eine hohe Genauigkeit. Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Beispiel Die Seilspanner kannten: Winkel als Proportion im Dreieck Ägyptische Maßeinheiten: 1 Elle (52,35 cm) = 7 Handbreiten 1 Handbreite = 4 Finger Seched 21 (Chefrenpyramide 2550 v.C.) entspricht dem pythagoreischen Dreieck 3:4:5 Seched 22 (Cheopspyramide 2600 v.C.) entspricht dem „goldenen Schnitt“ x2 – x – 1 = 0 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Geometrie Antike EUKLID EUKLID lebte etwa von 340 bis 270 v.C.. Euklid leitete eine Schule in Alexandria. In seinen Elementen fasste er das überlieferte mathematische Wissen zusammen und erweiterte es um eigene Beiträge. Eine griechische Ausgabe der Elemente besorgte Theon von Alexandria um 370 n.Chr. Ins Arabische wurde sein Werk im 8. Jhd. übersetzt, wahrscheinlich in Bagdad. Zwischen 1116 und 1142 schuf Adelhard von Bath eine lateinische Ausgabe. Etwa 1260 bearbeitete Campanus die Elemente neu. Dieser Text bildet auch die Grundlage für den ersten Druck 1482 in Venedig, fast 1800 Jahre nach Euklid. Erhard Ratdolt Edition von 1482 Universität Toronto Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Euklid 1 Ein Punkt ist, was keine Teile hat Eine Linie ist breitenlose Länge Eine Strecke ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr ... Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, ... Definitionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Euklid 2 Gefordert soll sein, Postulate ...dass man von jedem Punkt nach jedem die Strecke ziehen kann ...dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann ...dass alle rechten Winkel einander gleich sind ...dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass die innen auf derselben Seite entstehenden Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Euklid 3 Was demselben gleich ist, ist untereinander gleich Axiome Wenn Gleiches zu Gleichem hinzugefügt wird, sind die Summen (die Ganzen) gleich Wenn Gleiches von Gleichem abgezogen wird, sind die Reste gleich Was sich deckt ist gleich Das Ganze ist größer als der Teil Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Konstruktion 1 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Konstruktion 2 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Descartes „Cogito ergo sum“ René Descartes (1596 bis 1650) Einführung der Einheitsstrecke Führt zur Arithmetisierung der Geometrie Die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal werden durch das Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen ersetzt Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Descartes 2 Descartes zu Ehren nennt man heute jedes Koordinatensystem mit paarweise aufeinander senkrecht stehenden Achsen, die alle dieselbe gleichmäßige Unterteilung besitzen, ein kartesisches Koordinatensystem Die größte mathematische Leistung von Descartes bestand in der Algebraisierung der Geometrie, indem er Koordinaten einführte, so dass es möglich war, geometrische Punkte in der Ebene (oder im Raum) durch Paare (oder Tripel) von Zahlen darzustellen. Auf diese Weise gelang es, geometrische Beziehungen durch algebraische Gleichungen auszudrücken. Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Koordinaten Zwei bedeutende Koordinatensysteme Das Kartesische Koordinatensystem für Anwendungen der Geometrie in der Ebene und im Raum in Architektur, Maschinenbau, Design, Kunst, Robotnik, Computergrafik, Statistik Das Kugelkoordinatensystem für Anwendungen auf der Kugel bei Landvermessung, Kartenerstellung, Global Positioning System (GPS), Verkehrslenkungssysteme, Navigation auf See und in der Luftfahrt Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Computergrafik Computergrafik, Computeranimation und Bildbearbeitung sind heute die verbreitetste Anwendung von Koordinaten-Geometrie, weil ein Computer NICHT zeichnen kann, sondern nur Punkte berechnen und diese dann auf dem Bildschirm ein- oder ausschalten kann. Komplexe dynamische Simulationen wie etwa in Computerspielen sind das Ergebnis von Millionen Berechnungen einzelner Punkte, die so schnell ablaufen, dass sie unserem Auge als bewegte Bilder erscheinen. Auch das „Wissen“ des Autopiloten in einem modernen Fahrzeug besteht allein aus Punkten, der Berechnung von Abständen und der Bestimmung der Richtung in einem Koordinatensystem. „Alles ist Zahl“ könnte man als Mathematiker meinen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Koordinatengeometrie Materialien & Aufgaben Lern-Materialien: - Lambacher Schweizer 11 (LS11): Seiten 7 bis 11 (Seite 10 nur Punkt-Steigungs-Form) - Arbeitsblatt: „Grundaufgaben zu Geraden“ (siehe Homepage) - Orientierungswissen: LS11: Seiten 18 und 19 - ... mehr dazu ... siehe Linkliste auf der Homepage BASICs: - LS11: Seite 8/9, Aufgaben 2, 3, 7, 9, 10 - LS11: Seite 10/11, Aufgaben 2 - Welche Aufgaben des Buches entsprechen welcher Grundaufgabe des Arbeitsblattes? TOPs: - LS11: Seite 8/9, Aufgaben 9, 13, 14, 15 - LS11: Seite 10/11, Aufgaben 6, 9
