Koordinatengeometrie

Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Thema
Was ist Koordinaten-Geometrie?
Koordinatengeometrie ist eine Systematische Sammlung von
Techniken, um geometrische Probleme Probleme nicht durch
Zeichnen, sondern durch Berechnungen zu lösen.
Vorgehensweise:
1. Was ist Geometrie?
2. Was sind Koordinaten?
3. Koordinatengeometrie
4. Wozu benötigt man das?
5. Materialien und Aufgaben
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Koordinatengeometrie
Geometrie Ägypten
Wenn das Einebnen des Terrains beendet war, konnten die sehr
anspruchsvollen Vermessungsarbeiten vorgenommen werden.
Wie die Harpetonapten (Seilspanner) die Ausrichtung nach den
Himmelsrichtungen und die fast perfekte Vermessung des Basisquadrats vorgenommen haben, wird wohl ein Geheimnis bleiben.
Eine Inschrift aber, welche die Gründung des Tempels von Abydos durch Sethos I. beschreibt, lässt
Safech, die Göttin der Grundsteinlegung und Bibliotheken zum König sprechen:
"Der Schlägel in meiner Hand war von Gold, als ich schlug den Pflock mit
ihm und du warst bei mir in deiner Eigenschaft als Harpetonapt."
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Koordinatengeometrie
Beispiel
Pyramidenquadrat
Gegeben sei die Strecke AB als
Seite des Basisquadrats. Man
konstruiere die Mittel-senkrechte
CC‘. Dann schlage man von C aus
die Strecke CB auf CC‘. Man erhält
den Schnittpunkt O. Zuletzt nimmt
man OB (OA) in den Zirkel und
schlägt diesen Kreis um C. Die
Schnittpunkte E und F ergeben
zusammen mit A und B das
gesuchte Quadrat.
Durch die Steilheit der
Schnittpunkte erlaubt
diese Methode eine hohe
Genauigkeit.
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Koordinatengeometrie
Beispiel
Die Seilspanner kannten:
Winkel als Proportion im Dreieck
Ägyptische Maßeinheiten:
1 Elle (52,35 cm) = 7 Handbreiten
1 Handbreite = 4 Finger
Seched 21 (Chefrenpyramide 2550 v.C.)
entspricht dem
pythagoreischen Dreieck 3:4:5
Seched 22 (Cheopspyramide 2600 v.C.)
entspricht dem „goldenen Schnitt“
x2 – x – 1 = 0
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Koordinatengeometrie
Geometrie Antike
EUKLID
EUKLID lebte etwa von 340 bis 270 v.C..
Euklid leitete eine Schule in Alexandria.
In seinen Elementen fasste er das
überlieferte mathematische Wissen
zusammen und erweiterte es um eigene
Beiträge. Eine griechische Ausgabe der
Elemente besorgte Theon von Alexandria
um 370 n.Chr. Ins Arabische wurde sein
Werk im 8. Jhd. übersetzt, wahrscheinlich
in Bagdad. Zwischen 1116 und 1142
schuf Adelhard von Bath eine lateinische
Ausgabe. Etwa 1260 bearbeitete
Campanus die Elemente neu.
Dieser Text bildet auch die Grundlage für
den ersten Druck 1482 in Venedig, fast
1800 Jahre nach Euklid.
Erhard Ratdolt Edition von 1482
Universität Toronto
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Koordinatengeometrie
Euklid 1
Ein Punkt ist, was keine Teile hat
Eine Linie ist breitenlose Länge
Eine Strecke ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt
Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat
Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr ...
Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene
Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, ...
Definitionen
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Koordinatengeometrie
Euklid 2
Gefordert soll sein,
Postulate
...dass man von jedem Punkt nach jedem die Strecke ziehen kann
...dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann
...dass alle rechten Winkel einander gleich sind
...dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien
bewirkt, dass die innen auf derselben Seite entstehenden Winkel
zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden
Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite, auf
der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind
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Koordinatengeometrie
Euklid 3
Was demselben gleich ist, ist untereinander gleich
Axiome
Wenn Gleiches zu Gleichem hinzugefügt wird, sind die Summen
(die Ganzen) gleich
Wenn Gleiches von Gleichem abgezogen wird, sind die Reste gleich
Was sich deckt ist gleich
Das Ganze ist größer als der Teil
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Koordinatengeometrie
Konstruktion 1
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Koordinatengeometrie
Konstruktion 2
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Koordinatengeometrie
Descartes
„Cogito ergo sum“
René Descartes (1596 bis 1650)
Einführung der Einheitsstrecke
Führt zur
Arithmetisierung der Geometrie
Die Konstruktionen mit
Zirkel und Lineal werden durch
das Lösen von Gleichungen und
Gleichungssystemen ersetzt
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Koordinatengeometrie
Descartes 2
Descartes zu Ehren nennt man heute jedes Koordinatensystem mit
paarweise aufeinander senkrecht stehenden Achsen, die alle
dieselbe gleichmäßige Unterteilung besitzen, ein
kartesisches Koordinatensystem
Die größte mathematische Leistung von Descartes bestand in
der Algebraisierung der Geometrie, indem er Koordinaten
einführte, so dass es möglich war, geometrische Punkte in
der Ebene (oder im Raum) durch Paare (oder Tripel) von
Zahlen darzustellen. Auf diese Weise gelang es,
geometrische Beziehungen durch algebraische Gleichungen
auszudrücken.
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Koordinaten
Zwei bedeutende Koordinatensysteme
Das Kartesische Koordinatensystem
für Anwendungen der Geometrie
in der Ebene und im Raum in
Architektur, Maschinenbau, Design,
Kunst, Robotnik, Computergrafik,
Statistik
Das Kugelkoordinatensystem für
Anwendungen auf der Kugel bei
Landvermessung, Kartenerstellung,
Global Positioning System (GPS),
Verkehrslenkungssysteme, Navigation
auf See und in der Luftfahrt
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Koordinatengeometrie
Computergrafik
Computergrafik, Computeranimation und Bildbearbeitung sind heute
die verbreitetste Anwendung von Koordinaten-Geometrie, weil ein
Computer NICHT zeichnen kann, sondern nur Punkte berechnen und
diese dann auf dem Bildschirm ein- oder ausschalten kann.
Komplexe dynamische Simulationen wie etwa in Computerspielen
sind das Ergebnis von Millionen Berechnungen einzelner Punkte, die
so schnell ablaufen, dass sie unserem Auge als bewegte Bilder
erscheinen.
Auch das „Wissen“ des Autopiloten in einem modernen Fahrzeug
besteht allein aus Punkten, der Berechnung von Abständen und der
Bestimmung der Richtung in einem Koordinatensystem.
„Alles ist Zahl“ könnte man als Mathematiker meinen
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Koordinatengeometrie
Materialien & Aufgaben
Lern-Materialien:
- Lambacher Schweizer 11 (LS11): Seiten 7 bis 11
(Seite 10 nur Punkt-Steigungs-Form)
- Arbeitsblatt: „Grundaufgaben zu Geraden“ (siehe Homepage)
- Orientierungswissen: LS11: Seiten 18 und 19
- ... mehr dazu ... siehe Linkliste auf der Homepage
BASICs:
- LS11: Seite 8/9, Aufgaben 2, 3, 7, 9, 10
- LS11: Seite 10/11, Aufgaben 2
- Welche Aufgaben des Buches entsprechen welcher Grundaufgabe
des Arbeitsblattes?
TOPs:
- LS11: Seite 8/9, Aufgaben 9, 13, 14, 15
- LS11: Seite 10/11, Aufgaben 6, 9