Lage von Geraden zu einander

Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Thema
Punkte und Geraden: Lagebeziehungen und Anwendungen
Gliederung:
1. Standortbestimmung
2. Zwei-Punkte-Form
3. Lagebeziehungen durch Rechnen feststellen
3.1. Schnittpunkt, Schnittwinkel zweier Geraden
3.2. Parallel – Senkrecht
3.3. Liegt auf – Liegt fast auf
3.4. Schnittpunkt
3.5. Schnittwinkel
4. Taxi-Mathematik
5. Hinweise und Aufgaben
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Standortbestimmung
Koordinatengeometrie: Was haben wir bisher gelernt?
„Koordinatengeometrie ist Geometrie ohne Zirkel und Lineal“
Geometrische Objekte und ihre algebraische Darstellung in der KG:
Punkt
Gerade
Punkte.exe
Ageraden.exe
Alle Geradengleichungen kann man in die
Normalform überführen. Wenn das nicht geht,
dann war ist es keine Geradengleichung.
Steigung
Steigungswinkel
Punkt-Steigungs-Form
Punktri.exe
m=
yP - yQ
xP - xQ
= tan(α)
Differenzenquotient
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Punkt-Steigungs-Form
Punkt-Steigungsform: Gegeben sind
ein Punkt P(xP, yP) und die Steigung m
y = m x + (yP - m xP)
LS11 Seite 10
Beispiel: Gegeben sind A(-2|3,5) und m = 1,5
y = m • x + (yA - m • xA)
y = 1,5 • x + (3,5 - 1,5 • (-2))
y = 1,5 • x + 6,5
Achtung: In der Literatur gibt es verschiedene Darstellungen,
die sich bis auf Umformungen als identisch erweisen!
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Zwei-Punkte-Form
Zwei-Punkte-Form: Gegeben sind zwei Punkte
A(xA|yA) und B(xB|yB)
Wir wissen schon, wie man die Steigung m berechnet!
m=
yB - yA
xB - xA
B
A
yB - yA
xB - xA
Differenzenquotient
Jetzt kann man die Punkt-Steigungsform verwenden:
y = m x + (yP - m xP)
y=
yB - yA
xB - xA
Ein Beispiel erübrigt sich!
x + (yP Zweipu.exe
yB - yA
xB - xA
x P)
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Lagebeziehungen errechnen
Liegt der Punkt P auf der Geraden g?
P
g
P
g
P(xP | yP)
y=mx+b
P(-2,1 | -5,7)
y = 1,25 x + (-3,1)
P
?
yP = m xP + b
?
-5,7 = 1,25 (-2,1) + (-3,1) = -5,725
g
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Koordinatengeometrie
Liegt P auf G?
?
-5,7 = 1,25 (-2,1) + (-3,1) = -5,725
-5,70
Der Punkt P liegt fast auf der Gerade g
Unterscheide:
-5,75
Der Punkt p liegt 0,025 Einheiten
oberhalb der Gerade g an der
Stelle x = -2,1
-2,1
Der Punkt P hat von der Geraden g
einen Abstand von 0,0195 Einheiten
Für den Abstand benötigt man immer einen rechten Winkel!
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Parallel
Sind die beiden Geraden parallel?
Kriterium:
m1 = m2
Dazu muss man die Geraden in die
Normalform bringen!
Parallel: y = 3 x + 5 und y = 3 x – 2,7
Nicht parallel: y = 3 x + 5 und y = 2,5 x + 5
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Senkrecht
Sind zwei Geraden senkrecht zueinander?
In Zeichnungen muss man genau messen!
Rechnerisch ist das einfacher:
Kriterium:
m1 • m2 = -1
Sonderaufgabe:
Begründe, warum das Kriterium gilt.
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Koordinatengeometrie
Schnittpunkt1
LS11 Seite 13
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Schnittpunkt2
LS11 Seite 13
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Schnittwinkel1
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Koordinatengeometrie
Schnittwinkel2
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Koordinatengeometrie
Taxi-Mathematik
Fahrpreis = Preis pro Kilometer • Strecke + Grundpreis
Y =
m
• x
+
b
Preis
[€]
€/km
Grundprei
s
Strecke [km]
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Koordinatengeometrie
Hinweise
BASICs
- LS11: Seite 8/9, Aufgabe 2, 11
- LS11: Seite 11, Aufgaben 4, 5
- LS11: Seite 14, Aufgaben 4, 5, 9
- LS11: Seite 15, Aufgabe 3
- Welche Aufgaben des Buches entsprechen welcher
Grundaufgabe der Übersicht
"Grundaufgaben zu Geraden und linearen Funktionen"?
TOPs
- LS11: Seite 8/9, Aufgaben 17, 18, 19
- LS11: Seite 23, Aufgaben 8, 9