Modellbildung 1758KB 11.11.2015 19:54:21
Werbung
18 Modellbildung und S­ imulation Die Realität ist komplex Im Physikunterricht lernen wir, dass alle Körper gleich schnell fallen. Im Alltag fällt aber eine Feder viel langsamer als eine Stahlkugel. Um den Vorgang besser beschreiben zu können, muss der Luftwiderstand berücksichtigt werden. Beobachtet man den Fall einer Münze, so kommen weitere Fragen hinzu. Fällt die Münze in horizontaler oder vertikaler Position oder rotiert sie gar? In vielen Fällen ist man aber an genauen Vorhersagen interessiert. Bevor man ein Flugzeug baut, wird ein verkleinertes Modell hergestellt, das möglichst genau mit dem späteren Original übereinstimmt. Erfahrene Ingenieure wissen genau, welche Eigenschaften und Verhaltensweisen relevant sind, damit aus dem Verhalten des Modells im Windkanal auf die reale Situation geschlossen werden kann. Sehr viel abstrakter, dafür aber preiswerter sind mathematische Modelle. Diese bestehen aus Gleichungen, mit denen man das Verhalten des zu untersuchenden Objekts berechnen kann. So kann man mit der Formel s = } 12 g · t2 die Fallstrecke eines Körpers, bei dem der Luftwiderstand keine Rolle spielt, vorhersagen. Vor der Verbreitung von Computern hatten diese Rechenmodelle aber enge Grenzen, weil bei Berücksichtigung vieler Faktoren die Gleichungen schnell so schwierig werden, dass sie nicht mehr mit den zur Verfügung stehenden mathematischen Methoden lösbar sind. Berücksichtigt man z. B. dass der Luftwiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit wächst, so hängt die Fallbeschleunigung von der Geschwindigkeit ab, die wiederum von der Beschleunigung abhängt, die ihrerseits durch den Luftwiderstand bestimmt wird. Diese wechselseiteige Abhängigkeit erschwert die direkte Berechnung oder macht sie gar unmöglich. Durch den Einsatz eines Computers lassen sich heute komplexe Probleme mithilfe mathematischer Modelle lösen. Den optimalen Abstoßwinkel eines Kugelstoßers kann man schon mit den einfachen Gleichungen des freien Falls untersuchen. Dagegen würden die gleichen Formeln für die Geschwindigkeit von Regentropfen am Boden Werte liefern, wegen der wir besser mit Regenschirmen aus Stahl durch den Regen liefen. Mathematische Modelle können sogar Vorhersagen für Situationen liefern, die anders gar nicht zugänglich sind. So weiß man ziemlich genau über die Vorgänge im Sonneninneren Bescheid, weil man die Situation mathematisch modellieren konnte, ohne je im Sonneninneren gewesen zu sein. Die Güte eines Modells misst man an Erscheinungen, die das Modell vorhersagt und die dann auch tatsächlich beobachtet werden können. Daraus schließt man, dass auch andere Vorhersagen, die man nicht beobachten kann, richtig sind. Dieser Schluss kann durch neue Beobachtungen widerlegt werden. Man muss dann das Modell verwerfen und durch ein besseres ersetzen oder anpassen. Modelle erhält man durch Vereinfachung der realen Situation. Diese muss soweit gehen, dass einerseits eine mathematische Beschreibung und Berechnung möglich ist, andererseits die Vorhersagen möglichst genau in der Realität eintreffen. Modelle sind weder falsch noch richtig. Ihre Güte misst man an der Qualität ihrer Vorhersagen. 19 Modellierung eines Fallschirmsprungs Wir wollen nun die Methoden der Modellbildung an einem realen Beispiel beschreiben: Ein Fallschirmspringer springt in der Höhe h von einem Turm. Seine Höhe soll über dem Erdboden und seine Fallgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit bestimmt werden. Am Anfang jeder Modellbildung steht die Erfassung von Daten und Zusammenhängen. Welche physikalischen Größen und Gesetze beschreiben dieses Problem möglichst genau? Welche Daten müssen bekannt sein? Dem erfahrenen Physiker fallen hier sofort die Gleichungen s = }12 g · t 2 oder v = g · t ein. Diese Gleichungen sind aber für eine Modellbildung mit dem Computer vollkommen unwichtig. Es handelt sich dabei um Lösungen eines konkreten Problems, des freien Falls. Die physikalische Grundlage ist eine Bewegung unter dem Einfluss einer konstanten Kraft. In eine Modellbildung gehen immer die Systemgrößen und die Ursachen für deren Änderung ein. Die Lösung selbst, also den oben dargestellten Zusammenhang zwischen s und t bzw. v und t bestimmt der Computer. Wir steigen also folgendermaßen in die Modellbildung ein: Die Größen Fallstrecke s, Fallgeschwindigkeit v und Beschleunigung a beschreiben die vertikale Bewegung des Fallschirmspringers vollständig. Dabei hängen diese Größen voneinander ab. Die Geschwindigkeit v ist die Änderungsrate des zurückgelegten Wegs s und die Beschleunigung a ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit v. Mathematisch drückt man dies aus durch ds v = } und a = } dv dt dt Als Ursachen für die Bewegung benötigen wir die auf den Körper einwirkenden Kräfte, die von den obengenannten Größen abhängen können. Es handelt sich dabei um nur zwei Kräfte, die konstante Gewichtskraft FG und die der Bewegungsrichtung entgegensetzt wirkende Luftwiderstandskraft FR. Es gilt 12 ρ ∙ cW ∙ A ∙ v 2 FG = m ∙ g; FR = } mit der Masse des Fallschirmspringers mit Ausrüstung m, Fallbeschleum nigung g = 9,81 } , Dichte der Luft ρ s (evtl. abhängig von der Höhe), Luftwiderstandsbeiwert cW, Flächeninhalt der Fläche, die der strömenden Luft Widerstand leistet A und Fallgeschwindigkeit v. 20 Modellbildung und S­ imulation Analyse des Problems Die Bewegung lässt sich in 3 getrennt behandelbare Phasen zerlegen: – 1. Phase: Fall ohne geöffneten Fallschirm – 2. Phase: Öffnen des Fallschirms und Abbremsung – 3. Phase: Fall mit geöffnetem Fallschirm In der ersten Phase fällt der Springer zuerst fast frei, weil die anfänglich geringe Geschwindigkeit zu einer vernachlässigbaren Luftwiderstandskraft führt. Mit zunehmender Geschwindigkeit wird die Luftwiderstandskraft anwachsen bis sie gleich groß wie die Gewichtskraft ist und der Springer mit konstanter Geschwindigkeit fällt. Beim Öffnen des Fallschirms nimmt die Luftwiderstandskraft zu und ist größer als die Gewichtskraft. Der Springer wird abgebremst bis die Luftwiderstandskraft erneut genau so groß wie die Gewichtskraft ist. Dann fällt er wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Ohne Computer kann man hier schon einige Berechnungen anstellen. Abschätzung der Endgeschwindigkeit mit und ohne Fallschirm: √ } 2 mg Es gilt jeweils FG = FR, also mg = } 12 ρcWAv 2 oder v = } . ρc A W Realistische Werte sind z. B. für den Fall mit geschlossenem Fallschirm: m m = 100 kg, g = 9,81 } , ρ = 1,29 } kg3 , cW = 0,8, A = 0,7 m2. s2 m Dann erhält man aus der Formel eine Endgeschwindigkeit von m km 52 } = 190 } . s h Beim geöffneten Fallschirm ändern sich die Werte cW = 1,3 und A = 40 m² m km und es ergibt sich eine Endgeschwindigkeit von 5,4 } = 20 } . s h Bestimmte Situationen, z. B. Extremzustände oder das Verhalten nach langer Zeit, lassen sich häufig direkt berechnen. Man kann sie für die Überprüfung der Computersimulation nutzen. Modellbildung und Modellvereinfachung Schon bei der Auswahl der physikalischen Formeln wurden einige Vereinfachungen angestellt. Wir sind z. B. davon ausgegangen, dass sich in der 1. und er 3. Phase nur die Geschwindigkeit ändert. Die anderen Größen in den verwendeten Gleichungen betrachten wir als konstant. Die Auswahl der betrachteten Größen sowie der verwendeten physikalischen Gesetze nennt man Modellbildung. Zur Problemlösung benötigt man nun noch ein mathematisches Verfahren, das im Falle einer Näherungslösung weiteren Einfluss auf die Qualität der Vorhersagen hat. 21 Das einfachste Verfahren von Euler und Cauchy zerlegt die Bewegung in sehr kleine Zeitschritte, während der man die Veränderungsraten der betrachteten Größen als konstant ansieht. Das führt zu guten Ergebnissen, wenn man die Zeitschritte klein genug wählt, sodass sich die Veränderungsraten während dieser Zeit nur unerheblich ändern. Die Berechnung der physikalischen Größen Schritt für Schritt innerhalb des Modells nennt man Simulation. Zur Erklärung dieser Vorgehensweise soll der Anfang des Fallschirmsprungs Schritt für Schritt ohne Computer berechnet werden: Am Anfang der 1. Phase wird der Luftwiderstand wegen der geringen Geschwindigkeit vernachlässigt. Wir verwenden eine Schrittweite Δt = 0,1 s. während der wir annehmen, dass sich weder die Beschleunigung a noch die Geschwindigkeit v ändern. Für eine konstante Beschleunigung a gilt: Im Beispiel des Fallschirmspringers ändern sich die Beschleunigung und die Geschwindigkeit in jedem Zeitschritt nur unwesentlich. Dieser freie Fall ließe sich noch vollständig exakt lösen v –v Δv a = } = } 2Δt 1 Δt Daraus erhält man einen Gleichung mithilfe der man die neue Geschwindigkeit v2 aus der alten Geschwindigkeit v1 berechnen kann: v2 = v1 + a · Δt Ganz entsprechend kann man nun eine Gleichung für die Berechnung der Fallstrecke aufstellen. Hier wird nun die Geschwindigkeit v als konstant angenommen. Wir erhalten entsprechend für die Fallstrecke s die Gleichung s2 = s1 + v · Δt, wobei wir für v die Geschwindigkeit v2 setzen. t in s m a in } s ² m v in } s s in m 0 9,81 0 0 0,1 9,81 0,9810 0,0981 0,2 9,81 1,962 0,2943 0,3 9,81 2,943 0,5886 0,4 9,81 3,924 0,9810 Wir prüfen die Simulation durch Vergleich mit der exakten mathematischen Lösung nach 0,4 s. Der zurückgelegte Weg nach s = }12 g · t 2 beträgt s = 0,7 848 m. Die Simulation liefert einen relativen Fehler von 25 %. Mit einem kleineren Zeitschritt von 0,001 s, verringert sich der Fehler jedoch auf 0,25 %. Allerdings hätten wir 400 Zeilen ausfüllen müssen. Für die Berechnung der Fallstrecke ist v1 zu klein, v2 ist zu groß. Trotzdem kann man eine der beiden Geschwindigkeiten wählen, weil wir davon ausgehen, dass diese sich nur wenig unterscheiden Offensichtlich benötigen wir für eine gute Simulation einen Computer als Hilfsmittel. 22 Modellbildung und S­ imulation Modellbildung mit dem Computer Die zunehmende Bedeutung von Modellen für die Lösung naturwissenschaftlicher und technischer Probleme ließ spezielle Software, sogenannte Modellbildungssysteme, entstehen. Diese Programme unterstützen die Erstellung von Modellen und stellen die Ergebnisse der Simulationen in Tabellen und Schaubildern dar. Wir werden stellvertretend hier das Programm Moebius (Modelle einfach bilden und simulieren) verwenden. Sämtliche Beispiele sind aber leicht auf ein anderes Modellbildungssystem übertragbar. Nach dem Start sieht man das zentrale Fenster des Programms, in dem später die Ergebnisse der Simulation als Schaubild dargestellt werden. Klicken Sie zuerst auf den „Eingabe“-Knopf am rechten unteren Bildschirmrand, um die für das Modell notwendigen Gleichungen einzugeben. Es öffnet sich ein weiteres Fenster mit der Überschrift „Algorithmische Modellierung“. Wir geben zuerst der Simulation den Namen „freier Fall“. Nun tragen wir die Gleichungen ein, die wir für das Ausfüllen der Tabelle verwendet haben. Da griechische Buchstaben auf dem PC nur umständlich einzugeben sind, schreiben wir statt Δt vereinfacht dt. Die Gleichung „v: = v + a*dt“ interpretieren wir so: Nimm den Wert aus der v-Spalte und addiere das Produkt von a und t. Trage nun das Ergebnis als nächsten Wert in die v-Spalte ein. Wir schreiben also nicht mehr v1 und v2. Man darf dann aber auch nicht mehr von einer Gleichung, sondern sollte von einer Wertzuweisung sprechen. Es handelt sich ja tatsächlich um eine Rechenvorschrift und nicht um eine Gleichung, die man auflösen könnte. Während diese Zeilen geschrieben wurden, entstand rechts neben dem Eingabefeld eine Liste mit Startwerten. Das Programm überprüft, welche Werte einen Startwert benötigen und trägt sie automatisch in diese Liste ein. Wir tragen in diese Tabelle die erste Zeile der oben von Hand berechneten Tabelle ein. Für Δt wählen wir nun 0,001 s. Die Einheiten lässt man bei diesem Programm weg. Damit auf diese Weise keine Fehler entstehen, sollte man grundsätzlich in den Basiseinheiten, also Meter, Sekunden usw., rechnen. Man kann die Zahlen auch in der wissenschaftlichen Darstellung eingeben: Statt 0,001 23 könnte man auch „1 e-3“ schreiben. Wir wissen schon, dass wir 400 Rechenschritte bis zur Zeit 0,4 s durchführen müssen. Sollen also 2 Sekunden Fallzeit untersucht werden, dann benötigt man 2 000 Rechenschritte. Diese Zahl tragen wir bei „Wiederhole“ ein. Damit ist das Modell fertig und kann ausgewertet werden. Klick auf „OK“ schließt das Fenster und das Programm berechnet 2 000 Tabellenzeilen. Um nun das Ergebnis in einem Schaubild darzustellen, muss man noch auswählen, welche Größen auf den Achsen abgetragen werden sollen. Dazu wählen wir für die x-Achse t und für die y-Achse s aus. Das Programm passt die Skalierung der Achsen automatisch an und stellt die erwartete Parabel dar. Klickt man dann noch auf v, so wird im gleichen Schaubild die Gerade v(t) dargestellt. Die Beschriftung der Achsen muss nun interpretiert werden. Auf der t-Achse handelt es sich offensichtlich um Sekunden, während die y-Achse für s die Einheit m und für v die Einheit } m besitzt. s Man kann das Ergebnis auch als Tabelle darstellen, indem man in der Werkzeugleiste den passenden Knopf niederdrückt: Es ergibt sich dann analog der Berechnung von Hand eine Tabelle mit 2 000 Zeilen, die die schrittweise Rechnung dokumentiert. 24 Modellbildung und S­ imulation Ein erstes Modell für den Fallschirmspringer Für die erste Phase des Fallschirmsprungs muss das Modell freier Fall nur um den Luftwiderstand ergänzt werden. Die Beschleunigung hängt nun von der momentanen Geschwindigkeit ab. Damit wir aber das alte Modell zum Vergleich behalten und trotzdem nicht alles neu schreiben müssen, wählen wir im Menü „Einfügen/Kopie der Simulation“ aus. Es öffnet sich das bekannte Fenster, bei dem sich nur der Name der Simulation durch eine angefügte „(1)“ unterscheidet. Dort tragen wir nun den neuen Namen „Phase 1“ ein. Zwischen die Zeilen für t und v fügen wir die Berechnung von F und a ein: Im Programm schreiben wir „Fl“ statt A, weil Moebius in der Standardeinstellung nicht Groß- und Kleinschreibung unterscheidet und der Buchstabe a schon für die Beschleunigung vergeben wurde. Als Startwerte tragen wir die links angegebenen Werte ein. Zur Berechnung von a wurde das newtonsche Grundgesetz F = m · a verwendet. F setzt sich aus der Gewichtskraft FG und der entgegengesetzt gerichteten Luftwiderstandskraft FR = }12 ρcWAv 2 zusammen. Klickt man nun auf „OK“, so sieht man zuerst einmal nur das alte Schaubild. Wir wählen wieder auf der rechten Seite v und s aus und sehen dann, in das Schaubild hinein gezeichnet, die neuen Kurven. Als erstes Ergebnis können wir feststellen, dass diese sich nur unwesentlich vom freien Fall unterscheiden. Offensichtlich fällt der Fallschirmspringer in den ersten beiden Sekunden nahezu frei. Aus früheren Überlegungen ist bekannt, m dass er eine Endgeschwindigkeit von ca. 50 } erreichen sollte. s Klicken Sie auf das Taschenrechnersymbol neben dem „Eingabe“-Knopf. Nun rechnet das Programm weitere 2 000 zusätzliche Schritte, sodass wir die ersten 4 Sekunden betrachten können. Das wiederholen wir solange, bis die Geschwindigkeitskurve parallel zur t-Achse verläuft. Man kann dem Schaubild nun folgende Information entnehmen: Nach ca. 10 s und einer Fallstrecke von 350 m erreicht der Springer seine Endgeschwinm km digkeit von 50 } = 180 } . Wir können zum Vergleich den freien Fall s h einblenden. Dazu wählen wir rechts den Namen der Simulation „Freier Fall“ aus, klicken auf Eingabe, ändern die Anzahl der Wiederholungen auf 10 000 und klicken auf OK. 25 Abbremsphase Nun wird der Springer den Fallschirm öffnen. In einem ersten einfachen Modell gehen wir davon aus, dass der Fallschirm keine Zeit zum Öffnen benötigt. Dann ändern sich an unserem Modell nur die Startwerte. Wie auf b S. 20 festgelegt, ist dann der cw Wert 1,3 und der Flächeninhalt 40 m2. Außerdem beginnen wir nun nicht bei der Geschwindigkeit 0, sonm dern bei 50 } . s Wie im letzten Beispiel fügen wir wieder eine Kopie der Simulation ein. dazu muss man aber zuerst auf der rechten Seite beim Namen der Simulation die „Phase 1“ auswählen, damit diese Simulation kopiert wird. Nun tragen wir die neuen Startwerte ein und klicken auf „OK“. Es ist kaum sinnvoll das Ergebnis mit den anderen Simulationen zu vergleichen. Deshalb ist nun ein Häkchen bei „getrennte Schaubilder“ sinnvoll. Wählt man die darzustellenden Größen aus, sieht man, dass sich der Abbremsvorgang in den ersten zwei Sekunden abspielt. Deshalb ändert man nach einem Klick auf „Eingabe“ die Anzahl der Wiederholungen auf 2 000. Man sieht deutlich, dass die Geschwindigkeit rasch abnimmt und nach m ca. 1,5 s konstant bei ungefähr 6 } liegt. Das s-t-Diagramm ist von dies ser Zeit an eine Gerade. Mit dem Textwerkzeug kann man die Achsen und das Schaubild beschriften. Klickt man auf eine Kurve, so kann man deren Farbe und Dicke ändern. Lässt man sich die Beschleunigung während dieser Zeit anzeigen, erkennt man, wie unrealistisch dieses Modell im Detail ist. Die Beschleunigung startet bei m – 800 } , also bei der 80-fachen s2 Erdbeschleunigung. Die dabei wirkenden Kräfte würden weder der Springer noch das Material des Fallschirms aushalten. 26 Modellbildung und S­ imulation Verfeinerung des Modells beim Abbremsvorgang Die Vorhersagen, die das Modell bisher liefert, entsprechen offensichtlich nicht der Realität, denn die Beobachtung zeigt, dass die beim Öffnen des Fallschirms wirkenden Kräfte so klein sind, dass weder der Fallschirm noch der Fallschirmspringer Schaden nehmen. Notwendig ist eine Verfeinerung des Modells zur Anpassung an die Realität. Unrealistisch ist das Modell vor allem, weil sich der Fallschirm in Wirklichkeit nicht schlagartig öffnet, sondern eine gewisse Zeit benötigt, um sich zu entfalten. Dieser Vorgang wird im Folgenden als eine lineare Zunahme des Inhalts der Bremsfläche während der Öffnungszeit modelliert. Als Öffnungszeit setzen wir 2 s an und betrachten nun diesen Zeitraum genauer. Dazu wird wieder eine Kopie des Modells erstellt und mit „Entfaltung“ benannt. Das Fl-t-Diagramm ist eine Gerade, die bei Fl = 0,7 m2 beginnt und nach 2 s bei Fl = 40 m2 endet. Die Steigung (Änderungsm2 rate) der Gerade ist dann ca. 20 } . Wie bei der Berechnung von s und s von v setzen wir also wieder an: „Fl: = Fl + 20*dt“. Allgemeiner könnte man auch schreiben Fl + (FlEnd – FlStart) „Fl := }} “ Entfaltungszeit*dt Nun ist die Beschleunigung, die der Springer erfährt, nur noch ungefähr das 6-fache der Erdbeschleunigung. Trotzdem nimmt die Geschwindigkeit in vergleichbarer Zeit auf den gleichen Wert ab. Obwohl die lineare Zunahme der Fallschirmfläche als Funktion der Zeit immernoch eine starke Vereinfachung des komplexen Entfaltungsprozesses darstellt, erscheint die Simulation jetzt bereits einigermaßen realistisch zu sein. Die typischen Phasen einer Simulation sind: – Zerlegen des Problems in getrennt zu bearbeitende Teile. – Abschätzung von Teilergebnissen oder Extremwerten. – Vereinfachung und Modellierung. – Simulation. – Vergleich von Vorhersagen mit der Realität. – Anpassen und verfeinern des Modells. 27 Bewegung eines Federschwingers Das auf den vorherigen Seiten entwickelte Modell für den Fallschirmspringer bezeichnet man auch als Anfangswertproblem: Kennt man die auf einen Körper einwirkenden Kräfte (Ursache) und die „Startwerte“ der relevanten Größen, so kann man die Bewegung des Körpers (Wirkung) vorhersagen. Dabei wird zentral das newtonsche Grundgesetz F = m · a verwendet. Da dieses Prinzip für viele Fälle in der Mechanik gilt, lassen sich durch leichte Abwandlungen des Modells ganz unterschiedliche Phänomene beschreiben. Um die Bewegung eines Federschwingers zu modellieren, ersetzen wir das Kraftgesetz in der Simulation des fallenden Körpers mit Luftwiderstand durch das Kraftgesetz einer Feder „F:= –D*s“ und untersuchen die Bewegung. Bei den Startwerten können wir unterschiedliche Kombinationen von Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit wählen. Lediglich, wenn beide Werte auf null gesetzt werden, kommt keine Schwingung zustande. Lässt man die Simulation durchführen und das Ergebnis grafisch darstellen, erhält man das s-tDiagramm einer Schwingung. Das newtonsche Kausalitätsprinzip kann man in diesen Modellen besonders deutlich erkennen: Kennt man die auf einen Körper einwirkenden Kräfte (Ursachen) und die „Startwerte“ der relevanten Größen, so kann man die Bewegung des Körpers (Wirkung) vorhersagen. Alle auf diese Art berechenbaren Vorgänge sind deterministisch, das heißt, der zukünftige Verlauf ist vorhersehbar. Allerdings haben wir im Kapitel „Deterministisches Chaos“ gesehen, das es Systeme gibt, in denen schon winzige Abweichungen der Startwerte zu sehr großen Abweichungen in der Wirkung führen. Dann ist eine schwache Kausalität gegeben. Die Startwerte haben einen wesentlichen Einfluss auf die weitere Entwicklung des Systems. 28 Modellbildung und S­ imulation Grenzen der Modellierung Die Qualität eines Modells misst man immer an den Vorhersagen, die das Modell macht. Mit welcher Genauigkeit treffen sie ein? Grund für Fehler können zu grobe Vereinfachungen oder falsche Annahmen sein. Aber auch das Rechenverfahren kann die Vorhersagen beeinflussen. Man ersetzt bei dem hier verwendeten Verfahren in jedem Punkt die eigentliche Kurve durch ein Geradenstück mit der gleichen Steigung. Je stärker die Kurve gekrümmt ist und je größer die Zeitabschnitte sind, desto mehr weicht das Ergebnis vom richtigen Wert ab. Die Simulation eines schiefen Wurfs eignet sich hervorragend zum Vergleich mit einem realen Experiment: Man projeziert die in der Simulation gewonnene Bahnkurve auf eine Wand, vor der man mit einem Katapult eine Kugel abschießt. h x 1 x x x x 0,5 0 x 0 0,5 1 1,5 2 x Durch Vergleich mit der tatsächlichen Flugbahn können bei einer Schrittweite von 0,05 s die Startwerte der Simulation (vx, vy) an das Experiment angepasst werden. Vergrößert man nun die Schrittweite, auf z. B. 0,15 s (b Abb), ergibt sich eine deutliche Abweichung zwischen Simulation und Experiment. In der Simulation wird für die Dauer der Schrittweite die Geschwindigkeit als konstant angenommen und daher die Bahnkurve als Gerade fortgezeichnet. Daher ist der Effekt umso größer, je stärker die Bahn gekrümmt ist. Die Grenzen der Modellierung kennen wir auch von der Wettervorhersage. Mit jedem weiteren Tag wird die Abweichung größer und damit die Vorhersage ungenauer. Wenn nun das physikalische System selbst auf kleine Änderungen in den Voraussetzungen mit großen Änderungen bei den Wirkungen reagiert, kann eine solche Vorhersage sehr schnell vollkommen falsch werden. Berechnet man z. B. die Bewegung der Kugel in der Doppelmulde (b S. 4) so kann eine kleine Abweichung der Berechnung dazu führen, dass in dem Modell die Kugel die Barriere zwischen den Mulden überwindet, während sie es in der Realität nicht tut. Es ergeben sich zwei vollkommen unterschiedliche Bewegungen, obwohl die Modellierung nur geringfügig von der Realität abweicht. Rechnet das Programm also nur ein klein bisschen ungenau, so sagt es vollkommen falsche Ergebnisse vorher. Deshalb sind Vorhersagen so chaotischer Phänomene wie des Wetters trotz sehr komplexer Modelle und hervorragender Rechenverfahren immer noch nicht über einen langen Zeitraum möglich. Das Wichtigste im Überblick Modellbildung und Simulation Bei der Bildung eines mathematischen Modells für ein physikalisches System geht man in folgenden Schritten vor: Zusammenstellen der relevanten physikalischen Gesetze und Daten Zerlegung in Teilprobleme Vereinfachung z. B. durch Vernachlässigung kleiner Einflüsse oder Idealisierung z. B. als Massepunkt Auswahl eines Lösungverfahrens oder eines Computerprogramms Festlegung der Startwerte Simulation durch den Computer Auswahl einer Darstellungsform Interpretation der Ergebnisse Überprüfung durch Experimente oder Beobachtungen Überprüfung, ob die Ergebnisse plausibel sind, Vergleich mit physikalischen Abschätzungen, Anpassung oder Verfeinerung des Modells Modelle sind nicht richtig oder falsch, sondern geeignet oder ungeeignet. Ihre Qualität misst man an der Genauigkeit ihrer Vorhersagen. Die Ergebnisse eines mathematischen Modells müssen immer mit realen Experimenten überprüft werden. Daraus ergibt sich ein Modellierungskreislauf: Vergleich mit der Realität Interpretation der Ergebnisse Modell Anpassung des Modells Lösung und Ergebnisse Grenzen der mathematischen Modellierung Näherungsverfahren sind umso genauer je kleiner die Schrittweite gewählt wird. Haben kleine Änderungen große Wirkungen, wie z. B. bei chaotischen Systemen, können die zwangsläufigen Ungenauigkeiten zu vollkommen falschen Vorhersagen führen. 29 Überblick 30 Modellbildung und S­ imulation Aufgaben 1. Ein ICE fährt mit der konstanten Geschwindigkeit 252 km/h. Zur Zeit t = 0 sei der zurückgelegte Weg s = 0. a) Wie berechnet man die Wegänderung ds innerhalb eines Zeitabschnitts Δt? b) Stellen Sie für Δt = 1 s den in 10 s zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Zeit in einer Tabelle auf Papier dar. c) Schreiben Sie ein Moebius-Programm, das diese Tabelle automatisch erzeugt und stellen Sie dann das Ergebnis als Diagramm dar. d) Entnehmen Sie aus der Tabelle die Zeit, die der Zug für 560 m benötigt und vergleichen Sie mit dem konventionell berechneten Wert. Warum tritt hier trotz der großen Schrittweite kein Fehler auf? e) Der Zug startet nun zur Zeit t = 0 bei s = 700 m. Wie verändert sich das Diagramm? 2. Ein Apfel (m = 80 g) fällt von einem Ast aus 3 m Höhe auf den Boden. Modellieren Sie diesen Vorgang in Moebius. a) Stellen Sie das Weg-Zeit-Diagramm der Bewegung dar, wenn man vom Luftwiderstand absieht. b) Entnehmen Sie den Zeitpunkt, wenn der Apfel auf dem Boden auftrifft, aus dem Diagramm. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der exakten Rechnung für verschiedene Zeitschritte Δt. c) Untersuchen Sie dieselbe Bewegung mit realistischen Annahmen für den Luftwiderstand. Vergleichen Sie mit einem Realexperiment und passen Sie das Modell (Modellierungskreislauf) an. Welchen Einfluss hat der Luftwiderstand bei dieser Fallhöhe? Ist das Modell aus Aufgabe a) geeignet? d) Wie sind die Ergebnisse aus c) bei einem Tischtennisball? 3. Bearbeiten Sie folgende Punkte zur Simulation des in diesem Kapitel beschriebenen Fallschirmsprungs: – Woran erkennt man im s-t-Diagramm, dass die Geschwindigkeit konstant wird? – Interpretieren Sie den Verlauf der Beschleunigung beim Entfalten des Fallschirms. – Was spürt der Springer während dieser Zeit? – Recherchieren Sie, welche Beschleunigung ein Mensch aushalten kann. 4. Ein Auto (m = 1,2 t) beschleunigt mit konstanter Leistung P = 100 kW von der Geschwindigkeit m m auf die Geschwindigkeit 30 } . 1 } s s a) Stellen Sie das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm dar und interpretieren Sie es. b) Wie lange benötigt das Auto für den Beschleunigungsvorgang? c) Wie groß ist die mittlere Beschleunigung? 5. Ein Auto (m = 1,2 t) beschleunigt mit der konstanten Motorleistung 100 kW. Seine Querschnittsfläche beträgt 2 m2 und der Luftwiderstandsbeiwert ist c = 0,4. Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht es? 6. Verwenden Sie die Hilfe von Moebius, um sich mit der grafischen Modellierung vertraut zu machen. Entwerfen Sie ein grafisches Modell für eine Bewegung mit Luftwiderstand. Erweitern Sie das Modell für einen waagrechten Wurf. Wo kann man in diesem Modell erkennen, dass die Unabhängigkeit von senkrechter und waagerechter Bewegung unter Berücksichtigung des Luftwiderstands nicht mehr gilt? 7. Programmieren Sie die Schwingung eines Fadenpendels. Wie verändert sich die Pendelschwingung bei großen Amplituden? Ab welchen Winkeln ist ein Unterschied zu kleinen Amplituden sichtbar? 8. Edgar Allan Poe beschreibt in seiner Geschichte „Die Grube und das Pendel“ ein Pendel, das seinen Faden kontinuierlich verlängert. Dabei wird automatisch die Amplitude größer. Simulieren Sie dieses Pendel. Wo kommt die Energie für immer größere Ausschläge her? 9. Entwickeln Sie analog zum FallschirmspringerModell ein Modell für einen Bungee-Sprung. 10. Vergleichen Sie die Wurfweite bei Steil- (60°) und Flachschuss (30°) vom Boden aus mit und ohne Luftwiderstand. Welchen Winkel muss man wählen, damit die Wurfweite maximal wird? Wie muss dieser Winkel bei einem Hammerwerfer (Abwurf in ca. 1,8 m Höhe) gewählt werden? 11. Simulieren Sie den Sprung eines Kängurus (m = 30 kg, v = 15 km/h), das sich beim Absprung über eine Zeit von 0,2 s mit einer Kraft von F = 1000 N vom Boden abdrückt. Wie verändert sich die Flugbahn (der Füße), wenn das Känguru im Flug seinen Schwanz m (ms = 5 kg) mit vs = 1 } hebt? s 12. Die Reibung in einer Flüssigkeit wird üblicherweise proportional zu v und in einem Gas proportional zu v 2 angenommen. Untersuchen Sie mit einem Tischtennisball, den Sie in Luft fallen lassen, und einer Kugel, die Sie in Wasser fallen lassen, wie gut diese Modelle passen. Bestimmen Sie dazu mit Moebius die Fallzeit für die beiden Modelle jeweils in Luft und Wasser und vergleichen Sie mit einem Experiment. 13. Ein Teller mit Suppe wird mit der Temperatur 70 °C in ein Zimmer mit der Raumtemperatur 20 °C gestellt. Entwickeln Sie ein Modell, das die Abkühlung der Suppe beschreibt. Überlegen Sie, wovon die Abkühlungsgeschwindigkeit abhängen könnte. Ändern Sie die Parameter so, dass Ihr mathematisches Modell mit dem realen Experiment möglichst gut übereinstimmt. Wie lange braucht die Suppe, um eine Temperatur von 40 °C zu erreichen? Welche experimentelle Größe spielt hier die größte Rolle? 14. In der Fahrschule lernt man, dass man den Bremsweg in Metern erhält, wenn man die Geschwinkm digkeit in } durch 10 dividiert und das Ergebnis h quadriert. Simulieren Sie den Bremsweg eines Autos und überprüfen Sie für verschiedene Geschwindigkeiten, ob sich die Regel bewährt. Aufgaben 31 15. Schreiben Sie ein Programm, das die Bahn eines Satelliten um die Erde darstellt. Für die Anziehungskraft gilt das Gravitationsgesetz F=} G · (M · m) 2 r Dabei ist G = 6,67 e-11 die Gravitationskonstante, M = 6 e24 die Masse der Erde. Aus der Kraft können Sie über das Newtonsche Grundgesetz die Beschleunigung des Satelliten bestimmen. Berechnen Sie die x- und y-Koordinate des Satelliten aus den Komponenten vx und vy der Geschwindigkeit, dann erhalten Sie r für das Gravitationsgesetz. Aus der Beschleunigung a können Sie die Koma · x a · y ponenten ax = } und ay = } berechnen und r r daraus wieder vx, vy, x, y usw. a) Wählen Sie Δt = 10, x = 6,9 e6, y = 0, vy = 9 000 und vx = 0. b) Im Schaubild tragen Sie y über x auf. c) Ändern Sie auch den Exponenten im Gravitationsgesetz z. B. in r1,9. Wie ändert sich die Bahn? d) Interpretieren Sie das Schaubild, wenn Sie x über t auftragen lassen. 16. Vermutlich ist die Annahme, dass sich ein Fallschirm linear mit der Zeit entfaltet, eine starke Vereinfachung. Man könnte vermuten, der Fallschirm entfaltet sich am Anfang langsamer und dann durch die im Fallschirm gefangene Luft wesentlich schneller. Modellieren Sie andere Entfaltungsfunktionen z. B. Fl(t) ~ t2 und vergleichen Sie mit dem linearen Modell. 32 Modellbildung und S­ imulation 17. Analog zu dem Beispiel auf Seite 27 lässt sich der Start einer Rakete simulieren. Wir nehmen dazu an, dass aufgrund eines konstanten Masseaustoßes Δm = C · Δt eine konstante Kraft F auf die Rakete einwirkt. a) Modellieren Sie die Bewegung während der Beschleunigungsphase für m = 1 000 kg, kg C = 50 } und F = 1 000 N. Beachten Sie, dass s der Zeitraum, also die Anzahl der Wiederholungen multipliziert mit Δt nicht beliebig groß sein kann. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Beobachtung eines realen Raketenstarts. b) Recherchieren Sie realistische Werte für eine Saturn-Rakete und passen Sie Ihr Modell entsprechend an. 18. Schießt man eine Stahlkugel waagrecht ab und lässt gleichzeitig eine andere Stahlkugel aus gleicher Höhe fallen, dann kommen beide zur gleichen Zeit auf dem Boden an. Das Unabhängigkeitsprinzip besagt, dass man die Bewegung der Stahlkugel in eine waagrechte und eine senkrechte Bewegung, die unabhängig voneinander verlaufen, zerlegen kann. Simulieren Sie diese Bewegung ohne Luftwiderstand. Vergleichen Sie die Ergebnisse, wenn man zwei Tischtennisbälle mit Luftwiderstand für diesen Versuch verwendet. Kommen nun auch beide gleichzeitig an? 19. Auf b S. 7 wurde die Gleichung xn+1 = rxn(1 – xn) für die Entwicklung von Tierpopulationen untersucht. Schreiben Sie ein Moebius-Programm, das die Tabellen auf dieser Seite für r = 3 und r = 4 reproduziert. 20. Untersuchen Sie durch Veränderung von r und von x0 für welche Werte sich das System chaotisch verhält und für welche nicht. 21. Das folgende Moebiusprogramm erzeugt ein Feigenbaumdiagramm: if x0=1 then r:=r+dr;x0:=0,01 x:=x0;z:=0 while z<=100 do x:=r*x*(1-x);z:=z+1; x0:=x0+dx Wählen Sie passende Startwerte und Achsenwerte, klicken Sie auf die Kurve und wählen Sie Punkt-Diagramm aus, damit Moebius die berechneten Punkte nicht verbindet. Beschreiben Sie die Funktionsweise des Programms. Warum ist ein Startwert x0=0 nicht sinnvoll? 22. Simulieren Sie ein chaotisches Drehpendel mit einem wie auf b S. 9 dargestellten Potenzialverlauf. Starten Sie mit dem Moebius-Programm E:=x^4-8*x^2 F:=-E/x-r*v a:=F/m v:=v+a*dt x:=x+v*dt t:=t+dt Zeigen Sie, dass dieses Pendel eine gedämpfte Schwingung ausführt. Verwenden Sie dazu verschiedene Auslenkungen und Dämpfungsfaktoren r. 23. Ergänzen Sie in der Simulation aus Aufgabe 22 das Kraftgesetz durch eine erregende Kraft Fe:= k*sin(ω*t). Da die Frequenz der Erregung in der Nähe der Resonanzfrequenz sein soll, müssen Sie ein passendes ω aus dem Schaubild aus Aufgabe 22 entnehmen. Untersuchen Sie nun das chaotische Verhalten des Pendels in Abhängigkeit von dem Dämpfungsfaktor r und dem Erregungsfaktor k. Achtung: Der Startwert von x darf nicht 0 sein! 24. Geben Sie das Kraftgesetz einer harmonischen Schwingung in Moebius ein und stellen Sie die Auslenkung über der Zeit dar. Wählen Sie nun für die x-Achse die Auslenkung und für die yAchse die Geschwindigkeit. Interpretieren Sie die dargestellte Kurve. Eine solche Kurve nennt man ein Phasenraum-Diagramm. Stellen Sie im Programm aus der Aufgabe Drehpendel (22) die Bewegung im Phasenraumdiagramm dar. Interpretieren Sie das Bild. Erkennen Sie Attraktoren? 25. Simulieren Sie ein Fadenpendel, bei dem der Faden durch eine Feder ersetzt wurde. Es wirken nun auf den Pendelkörper die Gewichtskraft FG = m · g und die Federkraft FD = –D(r – r0). Zerlegen Sie die beiden einwirkenden Kräfte jeweils in eine x- und y-Komponente und berechnen Sie dann die Bewegung komponentenweise. Beachten Sie dabei, dass r wieder aus x und y berechnet werden muss, bevor die Federkraft bestimmt werden kann. Stellen Sie die Bewegung auf verschiedene Weisen in Diagrammen dar und interpretieren Sie die Diagramme.
