4. Wärmelehre (Thermodynamics)

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4. Wärmelehre (Thermodynamics)
Das menschliches Temperaturempfinden ‚warm – kalt‘
ist im Vergleich zum Sehen nur ungenau
Beispiel: Holz und Metall im Hörsaal haben dieselbe Temperatur, fühlen sich aber bei
Berührung unterschiedlich warm an.
→ physikalische Beschreibung der Temperatur notwendig
4.1 Temperatur (Temperature)
Temperatur ist eine der 7 Basisgrößen
Vergleich Kelvin - °C
[T] = K
K
absoluter Nullpunkt
°C
0
-273
77
-196
Schmelzpunkt H2O
273
0
Siedepunkt H2O
373
100
Siedepunkt N2
Schmelzpunkt Eisen
Sonne innen
Sonne außen
1.800 K
107 K
6 * 103 K (siehe Kap. Wärmestrahlung)
Der „Erfinder“ & „Konkurrenten“ Celsius und Fahrenheit
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Zur Info
Temperaturangaben in technischen Spezifikationen (Specification)
•
Betriebstemperatur (Operating Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen betrieben werden kann
•
Lagertemperatur (Storage Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen gelagert werden kann,
es ist hierbei nicht eingeschaltet und muss vor dem Einschalten in den
Betriebstemperaturbereich gebracht werden.
Unter Temperatur versteht man hier typischerweise die Temperatur der Umgebungsluft,
die Temperatur im Inneren liegt höher.
Beispiel aus der PC-Welt : Betrieb +10°C ... +35°C , Lagerung -40°C ... +65°C
Typische Betriebstemperaturen :
Bezeichnung
Commercial
Industrial (indoor)
Industrial (outdoor)
Bereich /°C
+5 ... + 50
0 ... +70
25 ... +75
Automotive
-35 ... +85
Military
-55 ... + 125
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Messung durch temperaturabhängige Zustandsgrößen:
Zustandsgröße
Anwendung (Beispiel)
Volumen
Flüssigkeits-, Gasthermometer
Längenaus-
Bimetall-Thermostat
dehnung
(Kaffeemaschine)
ungleiche
Thermoelement
Metalle
(Verfahrenstechnik)
Widerstand
Pt100 – Messtechnik (Industrie)
'Farbe' des
Pyrometer (rotglühender Stahl),
emittierten
siehe Diagramm
Ausführung (Beispiel)
Lichtes
physikalisch –
Temperaturstreifen
chemisch
- Flüssigkristalle reversibel
- chemisch irreversibel
(max. Temperatur)
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4.2 Kalorimetrie (Calorimetry)
Wärmemenge (Heat Quantity)
Q = c{
m ∆T
[Q] = J ('Energie')
mit
(WL - 1)
C
m : Masse, [m] = kg, hier oft auch m = ρ V , Werte siehe Tabelle
c : spezifische Wärmekapazität [c] = J / kg K , Werte siehe Tabelle
C : Wärmekapazität eines bestimmten Körpers (= c m), Anwendung Messtechnik
∆T : Temperaturdifferenz, [T] = K
Anmerkungen
- eigentlich müsste die Formel ∆Q lauten
- Q nicht proportional ∆T falls Phasenübergänge !
Energieformen können ineinander umgewandelt werden.
Ausnahme: selbstständiges Abkühlen unter die Umgebungstemperatur
Bsp: Stein kühlt sich ab und hüpft mit der gewonnenen Energie hoch
(2. Hauptsatz Thermodynamik)
Mischungstemperatur
Bringt man verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher Temperatur, spez. Wärmemenge etc.
miteinander in Kontakt, so stellt sich die sogenannte Mischungstemperatur aufgrund der
Energieerhaltung ein:
mit m : Masse
c : spez. Wärmekapazität
T : Temperatur vor Mischen
Beispiel
TMisch =
c 1 m1 T1 + c 2 m 2 T2 + ...
c 1 m1 + c 2 m 2 + ...
(WL - 1')
heißes (80°C) und kaltes (20°C) Wasser (je 1 kg) zusammengießen:
4,2
TMisch =
kJ
kJ
⋅ 1 kg ⋅ 353K + 4,2
⋅ 1 kg ⋅ 293K
646K
kgK
kgK
=
= 323K ≡ 50 °C
kJ
kJ
2
4,2
⋅ 1 kg + 4,2
⋅ 1 kg
kgK
kgK
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Übungsaufgabe: Welche Temperatur messen Sie, wenn Sie in 1l 80°C warme Luft einem
10g schweren Eisen-Temperaturfühler mit der Temperatur von 20°C bringen?
‚Unberechenbar’ : Ort und Temperatur der einzelnen Wassermoleküle zu jedem Zeitpunkt
Bsp.: Elektrische Energie (Arbeit, Work) → Wärme (Heat)
z.B. Herd oder elektrische Geräte mit der Leistung Pel = U I : W el = U I t = Q
zu erwarten ist eine lineare Zunahme der Temperatur mit der Zeit:
U I t = c m ∆T → ∆T ~ t
Dies wird experimentell nicht beobachtet (s.u.) !
Gründe:
- Wärmeabgabe durch Wärmedurchgang durch Gehäusewand, Lüfter, Abstrahlung, ...
- mögliche Phasenübergänge
Die Messkurve lässt sich sehr gut mit einer e-Funktion anfitten, d.h. vgl. Ladekurve RC-Glied
Aufheizen einer LCD-Anzeigetafel
T /°C
lineare Zunahme
Gleichgewichtstemperatur
50
45
Messung
40
35
exp - Fit
30
25
0
10
20
30
40
50
60
T nach Einschalten /min
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Bsp.: Kinetische Energie in Wärme (Übung)
Auto bremst von 108 km/h auf 0 km/h mit ABS (nicht blockierend)
Ekin → Q
→
1
m v2 = Q
2
Folge: Bremsscheibe wird heiß, aber wie ändert sich hier T ?
aus (WL - 1)
Q = c m ∆T → ∆T =
Werte:
Q
cm
mauto = 1000 kg
mBremsscheibe = 2 kg
v = 30 m/s → 0 m/s (Achtung, siehe W kin)
ceisen = 500 J/kgK
→
∆T =
m Auto v 2
2 c mBremsscheibe
Einheiten:
→
Achtung:
kg2 m2 K
=K
s 2 J kg

kg m2 
 J =

s 2 

∆T ≈ 450 K
Dieser Effekt tritt auch bei langen Passabfahrten ohne Motorbremse auf, bzw.
bei Autorennen mit vielen Kurven !
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4.2.1 Spezifische Wärmekapazität (Specific Heat Capacity)
- cp (p = const)
es gilt:
- cV (V = const)
- c = c(T)
- c(0K) = 0
für Festkörper und Flüssigkeiten cp ≈ cV ≈ c
für Gase
cp > cV
Material
c/
Eisen
J
@ T ≈ 300 K
kg K
500
Holz
2.000
Wasser
4.200
Luft
cp
1.000
cV
720
Bestimmung (Messung) der spezifischen Wärmekapazität z.B. durch Mischungsexperimente
(siehe Formel WL-1’ mit Dewar-Gefäß)
Wärmekapazität eines Systems, z.B. Gehäuse, Dewargefäß
C=cm
mit C = C1 + C2 + ...
=
∆Q
∆T
Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell
bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet
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Materialien besitzen spezifische Eigenschaften, die bei Temperaturänderungen oder anderen
Wärmeeffekten zum Tragen kommen, siehe nachfolgende Tabelle.
Wärmeeigenschaften ausgewählter Materialien
ACHTUNG Näherungswerte!
Spez. Wärmekapazität (300K) /
kJ
kg K
kJ
Luft : 1
kg K
Schmelztemperatur /°C
spez. Schmelzwärme q
/
kJ
kg
Wärmemenge, um 1 kg von
Zimmertemperatur zu schmelzen /kJ
Siedetemperatur /°C
spez. Verdampfungswärme r /
kJ
kg
Aluminium
Eisen
Gold
H20
0,90
0,45
0,13
4,2
650
1.500
1.060
0
400
280
70
330
967
946
205
2.500
2.700
2.700
100
11.000
6.300
1.700
2.250
23
12
14
linearer Ausdehnungskoeffizient
10−6
α/
K
Volumenausdehnungskoeffizient
γ /
1
K
Festkörper
10-5
Flüssigkeiten
10-4
Gase
10-3
Dichte ρ ; [ρ] = kg / m³ (für homogene Volumina)
Luft: 1,2 kg / m³ ; Eisen: 7.874 kg / m³ ; Aluminium: 2.700 kg / m³ ; Wasser: 1.000 kg / m³
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Bsp.: Geräteerwärmung (Übung)
Wie lange braucht ein elektrisches Gerät zum Aufheizen auf eine maximal erlaubte
Temperatur ?
Leistung am Transistor (TO-3, Metall): ∆U = 3V , I = 1A
Kunststoffgehäuse 1l Luft , ρ = 1,2 g/l
To = 25°C, Tmax = 75°C ∆T = 50K
W elektrisch
=
QWärme
UIt
=
c m ∆T
→
∆T =
Q
cm
→
t=
t=
c Luft mLuft ∆T
UI
1000 ⋅ 0,0012 ⋅ 50
s = 20 s
3 ⋅1
stimmt das ???
- Einheit: [ t ] =
Bem: -
J kg K 1
Ws
=
=s
kg K 1 1 V A
W
☺
t gemäß Erfahrung größer: Aufheizen von Transistor (Metall) und Gehäuse
(Kunststoff) sowie Wärmeabstrahlung und Wärmeleitung des Gehäuses
vernachlässigt, es wurde nur Erwärmung der Luft im Gehäuse berechnet !
(siehe oben, Aufheizen LCD-Tafel)
-
Rechnung mit Metall (10 g) und Kunststoff (100 g):
t=
(c M mM
+ c K mK + c L mL ) ∆T (450 ⋅ 0,01 + 1000 ⋅ 0,1 + 1000 ⋅ 0,0012)⋅ 50
=
s
U ⋅I
3
≈ 1800 s = 30 min .
(Ausklammern von ∆T erlaubt, da ‚Alles’ dieselbe Temperatur hat)
- Wärmeleitungsverluste (Thermisches Gleichgewicht) berücksichtigen
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§ 4.3 siehe Anhang
4.4 Zustandsgleichungen (Constitutive Equitation)
4.4.1 Ideales Gas
Gilt nur für hohe Temperaturen,
pV=nRT
da T → 0 V = 0 bedingt
(WL - 4)
Mit - R = 8,3 J/Kmol Allgemeine Gaskonstante
- n : Stoffmenge, [n] = mol
- T : Temperatur in K
Messverfahren siehe rechts, im Schlauch
befindet sich eine Flüssigkeit
JAVA Applet: Zustandsänderungen eines idealen Gases
4.4.2 Flüssigkeiten und Festkörper
allgemein : V = V(T,p)
d.h. Funktion mehrerer Veränderlicher: Linearisierung als Näherung.
Hier wird vereinfachend nur die Volumen- bzw. Längenänderung betrachtet.
Volumenveränderung
V(T) = Vo ( 1 + γ ∆T) ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T)
(WL – 5)
bei konstantem Druck, α : Längenausdehnungskoeffizient
Typische Werte
γ
/1/K
Festkörper
10-5
Flüssigkeiten
10-4
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Gase
10-3
Temperaturänderungen (∆T) und auch Druckänderungen (∆p) verursachen
Volumenänderungen (∆V).
Maschinenbau: Gehäuse: V = const: ∆T → ∆p → Kraft F : Spannungen
E-Technik: T-abhängige Parameter z.B. Widerstand
→ in 'einem Gerät / Schaltung' nur Materialien mit gleicher T-Abhängigkeit verwenden!
Vereinfachung durch „Geometrie“
Bei langgestreckten Gegenständen,
z.B. Stäben, kann man vereinfachend
nur mit der Längenausdehnung
rechnen.
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Längenausdehnungskoeffizient
L(T) = Lo (1 + α ∆T)
(WL - 6)
(Thermal Coefficient of Expansion, TCE)
[α] : / 1/K , üblich für T von 0 ... 100°C
- Materialwerte siehe Tabelle
- α ist temperaturabhängig, z.B. Platin (siehe unten) → α = α(T)
Tabellen meist für 20°C, da WL - 6 lineare Näherung !
„Das gibt es in der Technik öfters“:
- Längenausdehnung
L(T) = Lo (1 + α ∆T)
- Hookesches Gesetz
F(x) = (0 + Dx)
- E-Technik
R(T) = R25 (1 + α ∆T)
Obwohl es sich um unterschiedliche Dinge handelt, haben diese „Gleichungen“
dieselbe Form. Grund: Lineare Näherung von Messwerten.
Anmerkungen:
- Concorde bei Mach 2,2:
∆L ≈ 30 cm
bei ca. 50m Länge
- Blackbird-Triebwerk (re.)
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Unterschiedliche Ausdehnungskoeffizienten führen zum Bruch bzw. Materialermüdung:
Thermische Ausdehnung bei IC
(-65°C ... +150°C)
α
/ 10
-6
K
l
/ µm
Vergußmasse
20
43
Polyimid
Silizium
Kleber
Träger
40
3,5
40
86
7,5
86
17
37
10mm
Weiteres Beispiel – aber praktisch genutzt: Bimetall-Streifen
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4.5 Wärmetransport (Heat Transport)
Art
Charakteristik
Wärmestrahlung
(thermal radiation)
Beispiel
em-Strahlung (meist IR)
Sonne, Mikrowelle, Lagerfeuer
Wärmeströmung
(thermal flow)
(Konvektion)
Materialtransport
Konvektionsheizung (z.B. Luft), PCLüfter, Meer: kaltes Wasser unten,
oben warm
Wärmeleitung
(thermal conduction)
Energieübertragung
erwünscht : Kühlkörper
unerwünscht : Thermoskanne
Statt ‚thermal ...‘ wird im Englischen auch oft ‚heat ...‘ benutzt.
Warum ist der Wärmetransport und hier besonders die Wärmeleitung wichtig?
Hohe Temperaturen reduzieren üblicherweise die Lebensdauer von mechanischen und
elektrischen Bauelementen.
Beispiele:
Verbrennungsmotor
Achtung: Lüftermotor muss
nach „schneller“ Fahrt nach
Abstellen des Motors
nachlaufen. Sonst
„Wärmestau“ wie GAU bei
AKW in Fukushima.
Kühlrippen E-Motor
Kühlkörper LED
Kühlrippen „kosten“ Gewicht
und Geld!
Die notwendige Kühlung
von High Power LEDs lässt
derzeit (2012) keine LEDLampe mit der Leuchtkraft
einer 100W Glühbirne in
E27-Ausführung zu.
Strategie: Höhere Effizienz verringert „Kühlaufwand“
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4.5.1 Wärmestrom (Thermal Flow)
Wärmestrom
auch Wärmeabgabe
Φ=
mit Q = c m ∆T
vgl. mit Strom und Ladung
[Φ ]= J
s
= W ≡ Leistung
∆Q dQ &
=
=Q
∆t
dt
(WL - 8)
& ∆T + c m ∆T& + c& m ∆T
Φ = cm
Bsp.
|
Lüfter
|
Statisches
Abkühlen
|
z.B. Gase, c(T)
oder Phasenübergang
zeitliche Abhängigkeit analog Kinematik !
& = 0, c& = 0 ) : ∆Q = 90 J in ∆t = 15 s → Φ = 6 W
Bsp: - abkühlender Körper ( m
- Gehäuselüfter mit permanentem Massenstrom 5 l/min, ∆T = 20 K ( T& = 0 )
& = dm ≈ ∆m = 5 l , Wärmekapazität konstant : c& = 0
m
dt
∆t
min
& ∆T = 1000 J ⋅ 0,0012 ⋅ 5 kg ⋅ 20 K = 2 W
Φ = cm
kg K
60 s
Solarkonstante (Äquator, senkrechter Einfall): qsolar =
Φ
= 1,35 kW/m²
A
(Deutschland 0,7 kW/m²)
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Analogie Wärmelehre - E-Technik
Transport von 'Wärmeteilchen' im Vergleich zu geladenen Teilchen
Die treibende Kraft für den Transport ist eine Potential- bzw. Temperaturdifferenz !
Wärmelehre
E-Technik
(Gleichstrom)
∆T
U
Potentialdifferenz
Φ
I
Strom
Rth
R
Widerstand
Rth =
∆T
Φ
R=
λ=
1
R th
G=
T-Differenz
Wärmestrom
Wärmewiderstand
Wärmeleitwert
Mehrere Schichten
'Vergrößerung
eines Kühlkörpers'
Wärmekapazität
1
R thges
=
U
I
1
R
Ohmsches Gesetz
Leitwert
Rth ges = ΣRth
Rges = ΣR
Serienschaltung
1
1
+
+ ...
R th1 R th2
1
1
1
=
+
+ ...
R ges
R1 R 2
Parallelschaltung
C
Kondensatorkapazität
C
(Serien- und
Parallelschaltung
entsprechend)
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Beispiel Halbleiter
Gehäuse
Isolierscheibe
Kühlkörper
Luft
Betrachtung nur in diese Richtung
THL
TGeh.
TIso
TKk.
TLuft
Pel
RLast
= Abgabe an
Umgebungsluft
C : Wärmekapazität, R : Wärmewiderstand
Vergleiche mit Aufheizkurve (S. 5) mit der Ladekurve U(t) der
Kondensatorspannung eines RC-Schaltkreises.
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2 Fälle des Wärmestroms :
•
Permanente Wärmeentwicklung
‚leicht‘ zu berechnen, d.h. (Wärme-) Kapazitäten werden vernachlässigt, nur Widerstände
berücksichtigen.
Annahme, dass der Aufwärmvorgang abgeschlossen ist.
Typische Aufgabe: - Berechnung der Gleichgewichts-Temperatur
- Berechnung eines Kühlkörpers
•
Einschalt- und Abschaltvorgänge
‚komplexer‘, meist nur interessant bei kurzen Betriebsdauern (‚Ladezeit‘, danach Fall
‚permanent‘), z.B. HF-Teil Handy, da typischerweise 5 min. in Betrieb. Vgl. RC-Verhalten
bzw. Einschalten LCD-Tafel
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4.5.2 Wärmestrahlung (Thermal Radiation)
auf der Erde in Luft und Wasser für kleinere Körper (z. B. ICs) meist vernachlässigbar
im All: Wärmeabgabe nur über Strahlung möglich
Bsp: Astronauten müssen mit Flüssigkeit gekühlt werden, da der Körper mehr Wärme
erzeugt als durch Strahlung abgeführt werden kann, also ‘Wärmetod’ nicht ‘Kältetod’ !
Plancksches Strahlungsgesetz
gilt genau genommen nur im All
Φ = σ ε A T4
(WL - 9)
mit
σ = 5,7 10-8
W
m2 K 4
(Stefan-Boltzmann - Konstante)
ε = Emissionsvermögen : schwarzer Kühlkörper ε ≈ 0,9 ... 0,95 , weiße Fläche ε ≈ 0,5
A : Fläche des Schwarzen Körpers /m²
[T] = K
Achtung: Näherung, gilt nicht, wenn Wände etc. in der Nähe sind!
Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die
Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender
Temperatur (Strahlung) zu erkennen: Rot
(600°C) - Gelb (1100°C) - Weißglut (1300°C)
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5.3 Wärmeströmung (Thermal Flow)
- Transport von Materie, d.h. Wärmetransport durch Teilchentransport !
- meist aktiv, z.B. mit Lüfter oder Pumpe betrieben.
- Konvektion: Strömung durch Dichteunterschiede, z.B. warme Luft steigt auf
Wärmeströmung
& : Massenstrom (vgl. Impuls)
m
Φ=
∆T : T-Differenz ausströmende - angesaugt Luft
∆ Q dQ
& =cm
& ∆T
=
=Q
∆t
dt
(WL - 10)
bzw. Flüssigkeit oder Gas
Man kann mittels der transportierten Stoffmenge (z.B. Luft bei Lüfter, Angabe in m³/min) den
Wärmestrom berechnen:
Bsp: Wie viel Verlustleistung kann ein Lüfter aus einem elektrischen Gerät transportieren ?
m3
Lüfter mit 0,1
min
Beispiel Lüfter-Spec
Luft : ∆T = 30 K
(ausgeblasene eingesaugte
Temperatur)
Dichte : 1,2 kg/m³
& ∆T
→Φ=c m
J 0,12 kg
= 1000
30 K
K kg 60 s
= 60 W
Bestellbezeichnung:
Abmessungen:
a x b (mm)
40 x 40
Bautiefe:c(mm)
25
d (mm)
32
e (mm)
4,5
Nennspannung
VDC
24
Volumenstrom m³/h
165
Luftdruck mm H2O
7,2
Stromaufnahme mA
340
Geräuschpegel dBA
44
Lagerungsart
Kugellager
Temperaturbereich
-10 ... + 70
°C
Lebensdauer
in h bei 25°C
51.000
Lebensdauer in h
bei 70°C
40.000
Zulassung
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0410N-12
UL/CSA/TÜV
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Anwendungen:
In Schaltschränken ist die Temperatur ‚oben‘ am höchsten (Bauteile-Belastung !). Deshalb
sollten oben (Abluft) und unten (Zuluft) Lüftungsschlitze angebracht sein. Zu beachten ist
aber eine ‚Verschmutzung (Staub) des Gerätes und eine erhöhte Wasserempfindlichkeit.
Achtung : Bei erhöhten Umweltanforderungen (z.B. wasserdicht) kommt eine Wärmeabfuhr
durch Lüftung (Massestrom) nicht in Betracht. Die Wärmeleitung und die maximal erlaubte
Bauteiltemperatur bestimmt dann maßgeblich die maximal erlaubte elektrische
Verbrauchsleistung !
Die Wärmeströmung ist wichtig bei der Kühlung von „Elektronik“ mit Lüftern. Um die
Wärme aber vom Bauteil (IC, Motor, Kühlkörper,…) „wegzubekommen“, ist erst die
Wärmeleitung zu berücksichtigen. Diese ist ferner relevant bei allen elektronischen
Geräten ohne Lüfter.
4.5.4 Wärmeleitung (Thermal Conduction)
Metall fühlt sich ‚kälter‘ als Holz in einem 20°C warmen Raum an obwohl beide Gegenstände
gleich warm sind. Grund: Metalle haben eine höhere Wärmeleitfähigkeit und transportieren
so die ‚Wärme‘ der Finger schneller ab, die (wärmeren) Finger kühlen sich also ab.
Hauptfälle :
- Wärmeleitung durch eine Wand sowie von Festkörper auf Fluid
- Wärmedurchgang durch eine Wand
- Wärmeabgabe eines Körpers durch Abkühlen bzw. bei 'ständiger' Heizung
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4.5.4.1 „Reine“ Wärmeleitung durch Wand
Welcher Wärmestrom fließt durch eine Wand bzw.
TA
welche Leistung wird durch eine Wand in
Abhängigkeit vom Temperaturgefälle transportiert ?
s
A TB
T U
Achtung : Das folgende beschreibt nur einen
T
A
Teilaspekt der Wärmeübertragung durch eine Wand,
T
B
R
Analogie
s
vollständig s.u. !
Wärmestrom analog Ohmsches Gesetz :
x
U
∆T
=I ≡ Φ=
R
R th
Hieraus folgt
Wärmewiderstand
[Rth] =
K
W
Rth =
s : Wanddicke, A : Fläche
λ : Wärmeleitzahl, [λ] =
W
Km
s
1
=
λA kA
(WL - 11)
(Materialeigenschaft)
k : Wärmedurchgangszahl, k = λ ; Anwendung z.B. Baubranche
s
Wärmeleitung
Erhöhte Wärmeabgabe durch Vergrößerung der Oberfläche (Kühl-
Φ=
∆T
λ
= k A (TA − TB ) = k A ∆T = A ∆T
R th
s
(WL - 12)
körper, Rippen bei Elektromotoren)
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Wärmedurchgangszahl „Normierung“ auf Dicke
W
[k] =
K m2
k=
Material
Wärmeleitzahl λ
Werte für 300 K !
Eis
2,33
Wasser
0,6
Luft
W
Km
Wärmedurchgangszahl k
(WL - 13)
/
W
K m2
0,025
Stahl
14
PVC
0,16
Kork
0,05
Ziegel
Glas
Beispiel:
/
λ
s
1
1,5 (30 cm Hohlziegel)
0,8
5,6 (1 cm) (Doppelglas)
Wie stark muß die Heizung einer Studentenbude sein ?
Werte : Länge Außenwand 10 m (Ecke), 2,5 m hoch, 2 Außenwände, k = 1
W/Km²
Innenwände, Boden, Decke vernachlässigt, da Hochhaus
Temperatur 0°C außen, 20°C innen gewünscht
Φ = k A ∆T = 1 W/Km² 25 m² 20 K = 500 W
Bei einer Wand aus mehreren Schichten wird einfach die
'Serienschaltung' (vgl. ET) angewendet:
Rthges = Rth1 + Rth2 + ...
'Parallelschaltung' :
1
R th ges
=
Φ
1
1
+
+ ... (Vergrößerung der ‚Durchgangsfläche’)
R th 1 R th 2
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4.5.4.2 Wärmeleitung von Festkörper auf Fluid (Flüssigkeit, Gas)
Welche Wärmeleistung wird von einem
Festkörper auf ein Fluid abgegeben ?
hier geht nur der Wärmeübergangskoeffizient
A
FK
Fluid
T
TFK
des Fluids ein !
∆T
TFluid
∆T = TFK - Tfluid
x
Wärmestrom durch Übergang FK - Fluid
α: Wärmeübergangskoeffizient, [α] = W / m² K
Φ = α A ∆T
(WL - 14)
α = α(vfließ, Medium)
Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid
s
1
vgl. Wärmedurchgangswiderstand Rth =
=
λA kA
Metall - Medium
Luft : ruhend
1
αA
(WL - 15)
α / W/m²K
3 - 30
langsam
30 - 60
schnell
60 - 300
Wasser
R th =
500 - 5000
Bsp: - Motor: Wodurch unterscheiden sich Luft – Wasserkühlung ? Vorteile - Nachteile, ...
- PC mit Wasserkühlung
Hier vernachlässigt: Wärmeübergang FK auf FK
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4.5.4.3 „Vollständiger“ Wärmedurchgang durch Wand („wichtig“)
Wärmeübertragung von Fluid durch Wand (hier Verbundwand) an Fluid
Wärmeübergangskoeffizient von Wand 1 auf Wand 2 wird vernachlässigt.
Innenwand 1 : Wärmeübergangskoeffizient α1
T
A
A
λ1
λ
s1
s2
2
T
Wärmeleitung durch Wand 1 : Wärmeleitzahl λ1
B
Wärmeübergang Wand1 - Wand 2 vernachlässigt
Wärmeleitung durch Wand 2 : Wärmeleitzahl λ2
T
Φ
Außenwand 2 : Wärmeübergangskoeffizient α2
innen
außen
x
I
Elektrisches Ersatzschaltbild mit Strom I ≡ Φ
- Wärmewiderstand als Serienschaltung : Rth ges = Rth überA + Rth durch1 + Rth durch2 + Rth überB
- Einzelwiderstände aus (WL - 15).
- Funktioniert ebenso mit 1 oder mehreren Wandkomponenten.
Wärmestrom innen → außen : Φ =
∆T
∆T
A ∆T
=
=
1
s
s
1
Rthges
 1 1 1 1
+ 1 + 2 +
 + + + 
α1 A λ1 A λ 2 A α2 A
 α1 k1 k 2 α2 
Näherung : ∆T des Gesamtsystems (ist aber üblich)
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Beispiel (Übung):
Zimmerwand (1 m² mit α = 6 W/m²K ) mit 30 cm dicken Ziegeln, (k = λ/s = 1 W/m²K) und 1
cm Gips (k = λ/s = 2 W/m²K) innen. Temperaturdifferenz von außen nach innen 20 °C (20K).
Gesucht : Wärmestrom und Verlustwärme pro m² bzw. s ?
Wärmedurchgangswiderstand :
 1
1
1
1
+
+
+
R thges = 
 α1 k 1 k 2 α 2
→ Wärmestrom pro m²
 1 1 1 1 1
m² K
K
 ⋅ =  + + +  ⋅ 1
= 1,83
W
 A  6 1 2 6  W m²
: Φ = ∆T / Rth = 20 W / 1,83 = 11 W
→ Verlustwärme pro m² und sec : Q = Φ t = 11 J
Bei 45 m² anrechenbarer Fläche und 2000 h p.a. Heizung einer Wohnung ergibt sich :
Φ = 500 W, Q = 1000 kWh, Heizkosten bei 0,4 €/kW : 400 € pro Jahr
Beispiel Studibude: 25 m² bei Φ = 11 W entspricht ca. 275 W, nur ‚Wand’ ergibt 500 W
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4.5.4.4 Wärmeabgabe
Statisches Abkühlen
- es wird keine Wärme nachgeliefert
- T ≠ const, gesucht: T = T(t) ?
Bsp: Eisenwürfel (Fe)
- Anfangsbedingung : T(t = 0) = 70°C = 343 K
Fläche des Würfels zur Luft hin:
Fe
30 cm
Luft ruhend
20°C
70°C
A = 5 * (0,3 m)² = 0,45 m²
Näherung:
isoliert aufgeklebt
- TEisen im Würfel räumlich konstant
- Umgebungsluft erwärmt sich nicht
- keine Volumenschrumpfung
- keine Wärmestrahlung
- Materialparameter seien T-unabhängig
- cFK >> cFluid
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Def.: Temperaturdifferenz : Tdiff = TEisen - TLuft
einerseits:
Φ = dQ / dt
Φ =
→
∆T
R th
differentielle Schreibweise
(Rth ist hier der Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid)
dQ = α A Tdiff dt
(Wärmeleitung)
(i)
dQ : differentielle Änderung der Wärmemenge
Wärmeverlust in der 1. Minute für TKörper = const.
Q=5
W
⋅ 0,45 m ² ⋅ 50 K ⋅ 60 s ≈ 7 kJ
m² K
(vgl. mit Wärmestrahlung ! )
andererseits:
dQ = c m dTdiff
mit
(im Eisenwürfel gespeicherte Wärmemenge)
(ii)
c = 0,55 J/gK
m = ρV
Energieerhaltung:
- Wärme kann nicht „verschwinden“, bleibt also erhalten
- Hier:
Wärmeaufnahme der Luft = Wärmeverlust (-abgabe) des Eisenwürfels
→ Summe aller Änderungen der Wärmemenge muß Null sein
ΣdQ = 0 →
mit (i) und (ii) folgt :
dQauf + dQab = 0 (analog zu Kraftansatz ΣF = 0 !)
- dQEisen = dQLuft
Hier ist das Vorzeichen (also Richtung) essenziell für die Richtigkeit des Ergebnisses.
Relevant (für „Wissen“ und Klausur): Ansatz & Ergebnis
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Berechnung der Differenztemperatur:
− c m dTdiff = α A Tdiff dt
→
∫
dTdiff
αA
=−
Tdiff
dt
cm
dTdiff
αA
=−
Tdiff
cm
→ ln Tdiff = −
→ Tdiff = k e
−
vernachlässigt : - TLuft = TLuft (t)
DGL 1. Ordnung (Mathe 2)
∫ dt
αA
t + C
cm
|e
αA
t
cm
k aus Anfangsbedingung : Tdiff (t = 0) = TEisen(0) - TLuft (hier 50 K bzw. 50°C)
→
k = TEisen(0) - TLuft
→
Tdiff = (TEisen( 0 ) − TLuft ) e
Tdiff
αA
−
t
cm
TEisen(0)
t → ∞ : Tdiff = 0 → TEisen = TLuft
TLuft
dann herrscht thermisches Gleichgewicht
Anwendung :
t
- Bestimmung von α (ggf. ln - Darstellung)
- Hitzdrahtinstrument z B. als Luftmassenmesser in Vergasern
Strom um T zu halten ~ zur Geschwindigkeit (Eichung notwendig)
Vergleich mit Entladekurve RC-Glied
TEisen
R : Abflußwiderstand (Rth) ≡ 1/αA
R th
T Luft
C : Speicherelement (CEisen) ≡ c m
UC ≡ Tdiff
UC = U0 ⋅ e
C Eisen
−
1
⋅t
RC
RLuft
(klein,
Kurzschluß)
Benefit:
Aufgaben aus der Wärmelehre können mit Schaltungssimulations-Software gelöst werden !
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Praktisches Beispiel (Übung):
In welchem Fall ist heißer Kaffee, welcher frisch in einen Styroporbecher gegossen wird nach
10 min. kälter ? Wenn die Milch sofort oder erst nach 10 min dazugegeben wird ?
Werte für t = 0:
Kaffee :
TK = 70°C , mK = 100 g
Milch :
TM = 10°C , mM = 10 g
TLuft = 20°C , cKaffee = cMilch = c
Wärmekapazität und -leitung der Styroportasse vernachlässigt
bzw. in TK enthalten (beim Eingießen war der Kaffee heißer)
a) Milch sofort hinein
Berechne TMisch
c mK ∆T = c mM ∆T , dann Abkühlen
cK mK (TK - TMisch) = cM mM (TMisch - TM) Kaffee wird kälter, Milch wärmer,
cK mK TK + cM mM TM = (cM mM + cK mK)TMisch
Mischtemperatur zweier Stoffe : TMisch =
→
TMisch =
cK mK TK + c M mM TM
cK mK + cM mM
(WL - 1')
0,1 kg ⋅ 343 K + 0,01 kg ⋅ 283 K
= 337,5 K = 65,5 °C
0,11 kg
W
; A = 0,003 m² ( Wasseroberfläche, da Kaffeetasse Styroporbecher demzufo lg e vernachlässigt)
m² K
J
c = 4200
; m = 0,11 kg
kg K
α = 10
mit
const =
αA
1
≈ 6 ⋅ 10− 5
cm
s
→
Tdiff = 45,5 K ⋅ e − const. ⋅ t
→
Tdiff = 45,5 K ⋅ e − 0,04 ≈ 44 K
→
TKaffee nach 10 min ≈ 64°C
b) Milch erst nach 10 min hinein
→
Tdiff = 50 K ⋅ e − 0,04 ≈ 48 K
Erst Abkühlen, dann Mischen berechnen
→ TK nach 10 min = 341 K = 68° C
Hier ist das Abkühlen während 10 min. schneller, da die Temperaturdifferenz größer ist !
TMisch nach10 min =
0,1 kg ⋅ 341K + 0,01 kg ⋅ 283 K
≈ 336 K = 63 °C
0,11 kg
Kaffee ist kälter, wenn man die Milch erst 'zum Schluß' dazugibt !
Weitere Überlegung: „Pusten“ erhöht Wärmeübergangskoeffizienten !
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Dynamische Wärmeabgabe = permanente Wärmeentwicklung und –abgabe (Bsp. Kochen)
Beispiel: Kühlkörper mit Transistor und ständiger Verlustleistung
Gleichgewicht : TKühlkörper = const.
(erreicht bei Abschluss des Aufheizprozesses, vgl. LCD-Tafel, s.o.)
Nebenbedingung : - großes Reservoir der umgebenden Luft, d.h. TLuft = const.
- kein Lüfter
Ziel:
Berechnung des thermischen Widerstandes Rth des Kühlkörpers
in Abhängigkeit von der (erlaubten) Bauteile- und der Umgebungstemperatur
(andere Aufgabenstellung : Berechnung der Gleichgewichtstemperatur eines elektrischen
Gerätes bei gegebenem thermischen Widerstand und elektrischer Verlustleistung)
Einerseits:
& =
Q = U I t → dQ = ∆U I dt → Φ = Q
(*)
∆
U ⋅I
{
Verlustleistung P
mit ∆U : Spannungsabfall am Bauteil
Andererseits:
Φ=
dQ &
∆T
=Q=
dt
R th
(**)
mit ∆T = (erlaubte maximale bzw. gewünschte) Bauteiletemperatur - Lufttemperatur
→ (*) Φ = Φ (**) :
∆U ⋅ I =
∆T
R th
; R th =
∆T
PZufuhr
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→ Thermischer Widerstand des Kühlkörpers in Abhängigkeit von Leistung und Temperatur
∆
.
k
e
l
=
Pe
t
f
u
R
R
R
R
+
r
e
p
r
ö
k
l
h
ü
K
h
t
e
t
s
a
p
t
i
e
l
e
m
r
ä
W
,
g
n
u
r
e
i
l
o
s
I
h
t
l
i
e
t
u
a
B
h
t
h
t
+
T
TL
−
g
n
u
t
s
i
e
l
t
s
u
l
r
e
V
e
h
c
s
i
r
t
k
∆ ⋅
t
n
e
m
e
l
e
u
a
=
e
l
TB e
P
I
U
t
f
u
t
n
e
m
e
l
e
u
a
h
t
=
Bemerkung:
−
TL
TB
R
=
- der Übergangswiderstand Kühlkörper - Luft 'steckt' in Rth
- Rth wird üblicherweise im Datenblatt angegeben (s.u.)
- Übergang Bauteil – Kühlkörper kann vernachlässigt werden, falls
(die dringend empfohlene) Wärmeleitpaste eingesetzt wird.
- TLuft stellt die maximal erlaubte Umgebungslufttemperatur dar,
danach ist der Kühlkörper auszulegen!
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Bsp: TBE = 60°C (commercial 0 ... 70°C), TLuft = 40°C , ∆U = 1V , I = 1 A
→
R th =
TBauelement − TLuft
∆U ⋅ I
=
20 K
K
= 20
1W
W
Praxis: Rth (Kühlkörper) muss kleiner sein als Rth (berechnet) wegen Kontaktwiderstand
(Rthcontact Reduktion durch Wärmeleitpaste) etc.
Einfaches Kühlkörperdatenblatt
Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Kühlkörper und Thermischem Widerstand:
- doppelte Kühlkörpergröße ≠ halber thermischer Widerstand
Rth (50 mm) = 2,8 K/W aber Rth (100 mm) nicht Rth (50 mm)/2
- 'gilt auch für Preis'
Grund:
- Wärmeausbreitung von Punktquelle aus
- Luftströmungsverhalten des Kühlkörpers
(Einbauort und -lage beachten !)
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Maximal erlaubte Verlustleistung eines kleinen IC-SMD-Gehäuses in Abhängigkeit von der
- a) Umgebungstemperatur
- b) Luftgeschwindigkeit und Platinenkühlfläche
a) linearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und
Umgebungslufttemperatur mit Gehäusetyp als Parameter
b) nichtlinearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und Kühlfläche
mit Parameter Strömungsgeschwindigkeit für 25 °C (wenig praxisrelevant, da T meist
höher)
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Berechnungen und Simulationen zur Temperaturverteilung sind wegen der Vielzahl von
Parametern (Bauteile, Platine, Kühlkörper, Einbaulage, ...) und der dreidimensionalen
Verteilung (mechanischer Aufbau, ...) sehr aufwändig. Die Ergebnisse sind mit Vorsicht zu
genießen und sollten mit Messungen (z.B. IR bzw. Temperaturfühler oder –streifen)
untermauert werden.
Beispiel : Simulation einer DC/DC-Wandlerschaltung (http://power.national.com)
Die Schaltung ‚reduziert‘
eine Eingangsspannung
von 12 V auf 3,3 V und
liefert ca. 2,5 A
Ohne Kühlkörper
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Mit Kühlköper
Die heißesten Teile sind die Diode und der IC. Durch den Kühlkörper sinkt die Temperatur
‚nur‘ um 3 – 6 °C. Die lateralen Abmessungen der Platine erhöhen sich um jeweils ca. 12 mm
! Der Aufwand scheint hoch, es gilt aber zu beachten, dass bei einer Umgebungstemperatur
von ‚nur‘ 30°C bereits Bauteile-Temperaturen von 60°C erreicht werden.
Temperaturen /°C
Kühlkörper
Diode
IC
Ohne
Mit
Ohne
Mit
Umgebungs-
30
62
56
61
57
Temperatur
50
82
78
78
73
Zu beachten ist, dass die Simulation mit der Stromversorgung als einziges Bauteil
durchgeführt wurde – in einem abgeschlossenen Gehäuse mit Verbrauchern erhöht sich die
Temperatur, so dass hier mit einer ‚inneren‘ Umgebungstemperatur im Bereich 50°C zu
rechnen ist. Kommerzielle Bauteile (0 ... +70°C) kommen dann bereits nicht mehr in Frage!
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Zur Info: Kleine Formelsammlung zur Elektronikkühlung (www.flomerics.de)
Luftaustrittstemperatur aus einem zwangsbelüfteten Gehäuse
P
TAustritt = TE int ritt + 3,1 &
V
T : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
& : Volumenstrom des Lüfters /m³/h
V
TAustritt
TEintritt
Mittlere Lufttemperatur in einem geschlossenen Gehäuse
TInnen = TAußen +
P
k Ak
T : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
k : Wärmedurchgangszahl, typisch k = 5,5 W/m²K
Ak : Wärmeübertragende Gehäusefläche (DIN 57660)
Taußen
Tinnen
Homogen bestückte Leiterplatte in freier Konvektion
Mit Strahlung :
TPlatte
P
= TUmgebung + 0,1  
A
0,86
P
Ohne Strahlung : TPlatte = TUmgebung + 0,3  
 A
TPlatte
0,80
TPlatte : Durchschnittstemperatur der Platine /°C
TUmgebung : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
A : Fläche der Platine /m²
T
Umgebung
Temperaturänderung bei Wärmedurchgang
TWarm − TKalt =
d
P
λA
T.. : Temperatur /°C
P
Twarm
d : Schichtdicke /m
λ : Wärmeleitfähigkeit des Schichtmaterials /W/mK
P : Wärmestrom durch Fläche A /W
A : Fläche des Wärmedurchganges /m²
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d
Tkalt
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Übungsblatt Wärmelehre
1. Zeigen Sie: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + α ∆T)³ ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T)
2. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen
‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C
(α = 10 10-6 1/K) ?
28 mm
3. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m .
Es wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wie viel höher steht das
Wasser nach dem Aufwärmen auf 30°C (γ = 0,18 10-3 1/K) ?
36 mm
4. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem
Tauchsieder erwärmt.
a) Welche Energie muss dem Wasser zugeführt werden?
75 MJ
b) Wie viel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das?
21 kWh
5. Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen:
a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ?
b) Wie viel Liter Luft muss mindestens vorhanden sein, damit der Messfehler bei
Bedingungen wie im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird.
Weitere Aufgaben siehe „Altklausuren“
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Nur zur Info: Anhang zum Weiterlesen für Interessierte:
4.3.1 Phasen
fest
flüssig
gasförmig
Form
definiert
Beliebig
bel.
Volumen
def
def.
bel.
Bsp
Metall
Wasser
Luft
Weitere Phasen : flüssigkristalline - und Plasma - Phase
Ohne diese beiden gäbe es wohl keine flachen Displays!) Weiterlesen
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4.3.2 Phasenübergänge (Phase Change, ~ Transition)
Phasenübergang
T steigend
T fallend
Fest (solid)- flüssig
Schmelzen (melting)
Erstarren (solodify)
Sieden (boil)
Kondensieren (condense)
Sublimation (z.B. Schwefel)
Desublimation
Flüssig (fluid) - gasförmig
fest – gasförmig (gaseous)
Sublimationswärme = Schmelz- + Verdampfungswärme
Energetische Betrachtung der Phasenübergänge
T
konstante Wärmemenge pro
Zeiteinheit wird ständig
zugeführt
Verdampfungs T
Versuche: Eiswasser, Wasser
Schmelz T
kochen, T bleibt eine Zeitlang
konstant !
Schmelzwärme
Phasenübergang
T steigend
Wärmemenge aufwenden
T fallend
Wärmemenge wird frei
Schmelz-, Erstarrungswärme
Qsm = q m
Siede-, Kondensationswärme
Verdampfungswärme
Q bzw. t
(WL - 3)
Qsd = r m
q : spez. Schmelzwärme [q] = J/kg Werte siehe Tabelle Wärmeeigenschaften (s.o.)
r:
"
Verdampfungswärme
m : Masse
Anwendung : Wärmepumpe
- ext. Wärmeaufnahme: niedrigverdampfende Flüssigkeit
- int. Wärmeabgabe: Kondensation an Heizflüssigkeit Kondensationswärme wird frei !
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Druck - Temperatur - Abhängigkeit
Bsp: H2O
p /Pa
Schmelzdruckkurve
10
Wasser
6
Dampfdruckkurve
" 1 at "
Wasserdampf
Eis
10
kritischer
Punkt
2
Tripelpunkt
Sublimationsdruckkurve
1
-100
0
100
300
T /°C
Anmerkungen:
Sublimationsdruckkurve
Eis ↔ Wasserdampf; Beispiel Trockeneis
Schmelzdruckkurve
nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen
Dampfdruckkurve
Tripelpunkt
kritischer Punkt
T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T
als am Meer, Kavitation bei Schiffsschraube
alle 3 Phasen existieren
H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa
nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich
Gase durch Druck verflüssigen
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Schmelzen kann lange dauern bei guter Wärmeisolation:
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4.6 Thermodynamik (Thermodynamics)
Aufgabe :
Beschreibung makroskopischer (c, α, λ, k, ...) Materieeigenschaften durch
physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften.
Beispiele : spezifische Wäremleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, …
Grundlage
Statistik, da sonst pro Mol ca. 1025 Gleichungen zu lösen wären !
Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad
1
2
kB T → c = c(T)
c1atomig = 32 k B T
:
3 x Translation, z.B. He
c2atomig = 52 k B T
:
3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2
4.6.1 System-Definitionen
Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch
Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden
können.
System
Ab-
Definition
keine Wechselwirkung (Ww)
oder Materieaustausch
geschlossenes (Teilchenzahl konstant) mit
System
Beispiel
Technisch angenähert
- Eges = W = const
- n = const.
durch Dewar-Gefäß
(Thermoskanne)
der Umgebung;
kein Wärmetransport
Gesamtenergie (mechanisch,
durch Strahlung oder
elektrisch, ...) konstant
Wärmeleitung
Geschlossenes Energieaustausch mit der
System
Formel
Umgebung zugelassen,
jedoch kein Materieaustausch
Offenes
Energieaustausch und
System
Materieaustausch mit der
Umgebung zugelassen
- Eges = W ≠ const.
- n = const
- Eges = W ≠ const
- n ≠ const
Wärmebad,
Kühlkörper
Gehäuse mit Lüfter
wie geschlossenes
System mit
Materialtransport
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4.6.2 Zustands-Definitionen
•
Gleichgewichtszustand
- Zustand, welcher sich von selbst einstellt
- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *)
Bsp: Thermisches Gleichgewicht:
Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt
(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt
(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik),
z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **)
•
Stationärer Zustand
wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß
Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr
- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.)
Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*)
In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es
werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badwanne
befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C.
Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar.
Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die
zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können beispielsweise
mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in Kaffee gießen
ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor Gleichgewichtsverteilung).
Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw. 40
°C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen irreversiblen
Prozeß (s.u.) dar.
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Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance)
Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende
Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen
Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur.
Dieser Prozeß, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Meßergebnis :
Konkretes Beispiel : Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung
bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K
aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall:
c L mL TL + c F mF TF
c L mL + c F mF
aus (WL - 1')
TMisch =
hier : - Luft
mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK
- Fühler
→
mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK
TMisch =
1,2 ⋅ 330 + 5 ⋅ 300
K = 306 K
1,2 + 5
Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein !
Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach TL
auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt,
Messgenaiugkeit relativ gering.
Blankenbach / PHYSIK / Wärmelehre / WS 2014 /
46
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
4.6.3 Hauptsätze der Thermodynamik
•
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch
untereinander im thermischen Gleichgewicht.
Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch
(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind.
Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen !
Thermisches
Gleichgewicht
Dies gilt auch für
mehrere Körper
(Systeme).
Achtung : Die
Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht
‚Umwelt’ ist hier
nicht betrachtet !
•
Zur Verdeutlichung als Ring →
Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik
Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen
Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und
der Wärme Q :
U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung :
Innere Energie
= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge'
dU = dW + dQ
(WL - 16)
dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird
dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm
Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art!
(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern)
Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik : Entladen Akku (reversibel), Batterie
(irreversibel)
Blankenbach / PHYSIK / Wärmelehre / WS 2014 /
47
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•
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von
einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine).
Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer
Arbeit übertragen werden (Kältemaschine).
Folgerung:
Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art
Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden
('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen')
physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung)
Entropie (Entropy)
[S] =
J
K
dS =
dQ
T
(WL - 17)
Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung'
Fälle: dS = 0 reversibler Prozess, kann in beide Richtungen ablaufen
dS > 0 irreversibel, Prozess läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu
dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur
durch Energieaufwand erzeugt werden !
Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum
der Entropie gekennzeichnet ist.
Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein
fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus)
Alle Naturvorgänge verlaufen so, dass die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme
zunimmt.
Blankenbach / PHYSIK / Wärmelehre / WS 2014 /
48
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Beispiele :
- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu
- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest
der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr
'gesagt' werden (s.o.)
Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes
dS ≥ 0
•
(WL - 18)
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null:
S(0K) = 0 J/K
Folgerungen:
- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null
c (T=0) = 0
- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord' ≈ 10-6 K
4.6.4 Zustandsänderungen
•
reversibel
Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß
Energiezufuhr notwendig ist.
Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku
•
irreversibel
Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom
Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht.
Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme
2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand
ist nicht mehr möglich (s.o.) !
- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr
kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden
- Entladen Batterie
Blankenbach / PHYSIK / Wärmelehre / WS 2014 /
49
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4.6.5 Thermodynamik Idealer Gase
reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz
V2
(WL - 19)
Wrev = ∫ p dV
für p V = n R T
V1
Zustandsänderung
Gleichung
p - V - Diagramm
p
Isochor
p
= const.
T
V
p
Isobar
V
= const.
T
V
p
Isotherm
p V = const.
Hyperbel p ~ 1/V
Boyle Mariotte
V
p
Adiabatisch
hier κ =
κ
p V = const
cp
adiabatisch
cv
einatomiges Gas: κ =
5
3
Zustandsänderung
isotherm
Isochor
Blankenbach / PHYSIK / Wärmelehre / WS 2014 /
isobar
V
isotherm
50
ad
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Bedingung
Beispiel für Ideales Gas:
Wärmeenergie
V2
Arbeit Wrev = ∫ p dV
V = const
p = const
T = const
S = const
dQ = 0
Temperaturänderung in
einem Behälter
'Luftpumpe'
(frei) bei äußerer
T-Erhöhung
Wärmebad
Dewar-Gefäß
Q = cv m ∆T
Q = cp m ∆T
Q=W
Q=0
W=0
(keine mechanische
Arbeit, da V = const))
W = p ∆V
W = p ∆V
W = - cv m ∆T
dU = dQ
dU = dW + dQ
dQ = dW
dU = - dW
pVκ = const
schnelle Prozesse
in nichtisolierten
Systemen
V1
1. Hauptsatz
κ: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient
dU = dW + dQ
κ = 0 isobare Prozesse
κ = 1 isotherme "
κ → ∞ isochore "
sonst adiabatisch
Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 10.12.2014 23:13:00
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4.6.6 Carnotscher Kreisprozeß (Carnot Cycle)
periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozeß als
Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor
p
Isotherm: T = const,
isotherme Expansion
d
a
adiabatische
Kompression
p∼
T hoch
b adiabatische
Expansion
adiabatisch: pVκ = const,
T ≠ const
c
isotherme Kompression
1
(Hyperbel)
V
T niedrig
V
Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt !
Lernziel: „Wissen, dass es Carnot gibt + Grundprinzip“
Teilzyklen:
Beschreibung
a
Innere Energie konstant
Wärme wird zugeführt
(Isothermal heat supply)
b
Formel
∆U = 0
V 
→ ∆ Q = NkB T ln  2 
 V1 
durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U
entnommen, T sinkt
∆W = ∆U = cv m ∆T
(isentropic expansion)
c
wie a, nur Wärme wird abgegeben
(Isothermal heat rejection)
d
wie b, nur T steigt (isentropic compression)
nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein → ∆ S =
Blankenbach / HS Pf / Physik Kinematik / WS 2012
∫
dQ
= 0
T
52
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dQ
; ∆S =
Definition : Entropie d S =
T
b
dQ
T
a
∫
Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge
Energiebilanz
∆W = - ∆Q
im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge
Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt
Wirkungsgrad
η =1 −
[T] = K
Tniedrig
Thoch
<1
(WL - 20)
Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen
reale Maschinen : ηreal < ηcarnot
Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen
kalten und heißen Medien.
Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor
Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K :
Tniedrig
= 1−
300 K
= 95 %
6.000 K
- Durch Sonnenstrahlung erwärmte Solarzelle : η = 1 −
400 K
= 93 %
6.000 K
- Solarzelle bei Raumtemperatur : η = 1 −
Thoch
Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren
Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr
versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.
Blankenbach / HS Pf / Physik Kinematik / WS 2012
53
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Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor (nur zur Info)
Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge
Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen
in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit
Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel
eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die
Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen.
Blankenbach / HS Pf / Physik Kinematik / WS 2012
54
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Der Kreisprozeß im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozeß angenähert
werden:
I
Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der
Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2
II
isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten
Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird
III
adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1
IV
isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem
zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und
Temperaturausgleich abgewartet wird
p - V – Diagramm des Kreisprozesses
p
3
II
Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die
Anfangszustände der vier Teilprozesse
2
∆W
III
4
I
V2
Blankenbach / HS Pf / Physik Kinematik / WS 2012
1
IV
V1
V
55
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Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse
V1 = 1,5 dm³
'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder
V1
=8
V2
- Kompressionsverhältnis
ε=
- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft
T1 = 303 K
- Umgebungsdruck der angesaugten Luft
p1 = 1 bar
- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches
T3 = 1973 K , κ = 1,4
- cV konstant angenommen
Anfangszustand
1
2
3
4
V /dm³
1,5
0,1875
0,1875
1,5
p /bar
1,0
18,38
52,10
2,84
T /K
303
696,1
1973
858,9
Prozeß
κ
=
V2
p2
V1
p1
I
Berechnung obiger Tabellendaten
κ
; p2 = p1 ⋅ εκ = 1 bar ⋅ 81,4 = 18,38 bar
V 
T2 = T1  1 
 V2 
II
III
IV
p3 = p2
κ−1
= T1 εκ − 1 = 303 K ⋅ 80,4 = 696,1 K
T3
1973,0 K
= 18,38 bar ⋅
= 52,1 bar
T2
696,1 K
κ
V 
p
52,10 bar
p4 = p3  3  = κ3 =
= 2,84 bar
1,4
V
ε
8
 4
T4 = T1
p4
2,84 bar
= 303 K ⋅
= 858,9 K
p1
1 bar
Blankenbach / HS Pf / Physik Kinematik / WS 2012
56
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Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm
Arbeit
∆W = ∆Q23 + ∆Q41
Aufgenommene Wärmemenge
∆Q23 = m c v (T3 − T2 ) > 0
Abgegebene Wärmemenge
∆ Q 41 = m c v (T1 − T4 )< 0
Wärmekapazität des Arbeitsgases
Cv = m c v
Mit : m =
Cv =
p V c
p V
cv
p V 1
p1 V1
= 1 1⋅
; Cv = 1 1 ⋅ v = 1 1 ⋅
T1 Rs
T1 cp − c v
T1 κ − 1
Rs T1
105 1,5103 Nm3
J
= 1,238
2
303 (1,4 − 1) K m
K
Wärmemengen :
→
∆Q 23 = 1,238
Nm
⋅ (1973 − 696,1) K = 1580,3 J
K
∆Q23 = 1,238
Nm
⋅ (303 − 858,9 ) K = 688 J
K
∆W = 1580,3 J − 688 J = 892,3 J
Leistung des Viertakt – Motores bei einer Drehfrequenz f = 4500 min−1
P = ∆W ⋅
f
4500
= 892,3 J
= 33,5 kW
2
60 ⋅ 2 s
denn ∆ W wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt !
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Wirkungsgrad ηrev einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet :
Thermodynamischer Wirkungsgrad
ηrev =
T3 − T1 (1973 − 303)K
=
= 84,6 %
T3
1973K
Effektiver Wirkungsgrad des 'realen' Motors :
Effektiver Wirkungsgrad η = ∆W
∆Q23
= 1+
∆Q41
T −T
892,3 J
= 1+ 1 4 =
= 56,5 %
∆Q23
T3 − T2
1580,3 J
aus den Formeln für die betreffenden Prozesse:
folgt
κ −1
I
V 
T1 = T2  2 
 V1 
III
V 
T4 = T3  2 
 V1 
I – III
T1 − T4  V2 
= 
T2 − T3  V1 
κ −1
κ −1
= 1−
1
1
= 1 − 0, 4 = 56,5 %
εκ − 1
8
Der Wirkungsgrad η hängt nur vom Kompressionsverhältnis ε ab !
Blankenbach / HS Pf / Physik Kinematik / WS 2012
58
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Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm
geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern
Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht,
weil S eine Zustandsgröße ist.
Für die Wärmebehälter / - speicher gilt :
Abgabe bei T3 = konst.:
∆S3 = −
∆Q23
1580,3 J
J
=−
= − 0,801
T3
1973 K
K
Aufnahme bei T1 = konst.:
∆S1 = −
∆Q41
688 J
J
=
= 2,271
T1
303 K
K
Resultierende Entropie – Erzeugung:
∆S = ∆S1 + ∆S3 = (2,27 − 0,80 )
→
J
J
= 1,47
K
K
∆S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind.
Blankenbach / HS Pf / Physik Kinematik / WS 2012
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Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV
Adiabatische Prozesse I und III
∆S = 0
Isochore Prozesse
T 
∆SII = Cv ln  3 
 T2 
T 
∆SIV = Cv ln  1  = − ∆SII
 T4 
mit Division von
V 
T1 = T2  2 
 V1 
κ −1
durch
V 
T4 = T3  2 
 V1 
κ −1
siehe Wirkungsgrad
T1
T
= 2
T4
T3
erhält man
→
∆SII = 1,238
J  1973K 
J
 = 1,29
⋅ ln 
K  696,1K 
K
Entropie S(T) – Temperatur -
S
III
Diagramm
IV
II
Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt
zu sein. Die Kurven II und IV laufen
I
proportional zu ln(T)
T1
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T2
T4
T
T3
60
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Übungsblatt Wärmelehre
6. Zeigen Sie: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + α ∆T)³ ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T)
7. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen
‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C
(α = 10 10-6 1/K) ?
28 mm
8. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m . Es
wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wie viel höher steht das Wasser
nach dem Aufwärmen auf 30°C (γ = 0,18 10-3 1/K) ?
36 mm
9. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem
Tauchsieder erwärmt.
a) Welche Energie muss dem Wasser zugeführt werden ?
75 MJ
b) Wie viel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das ?
21 kWh
10. Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen:
a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ?
b) Wie viel Liter Luft muss mindestens vorhanden sein, damit der Messfehler bei
Bedingungen wie im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird.
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Blankenbach / HS Pf / Physik Kinematik / WS 2012
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