Kinematik

Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
2.3 Kinematik (Kinematics)
Beobachtung: Körper bewegen sich, z.B. Ball, Auto, Karussell, ...
Allgemein: Bewegungen werden mit Hilfe der Kinematik (Bewegungslehre) beschrieben.
Das Kapitel Kinematik ist im Wesentlichen eine Wiederholung des Stoffes der Schulphysik.
Erweitert wird dies hier um Differential und Integral von s, v und a.
Definition:
Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Ursache (dies behandelt die
Dynamik, siehe § 2.4) für die Bewegung zu betrachten.
Bewegung eines Körpers kann beliebig sein, eine geradlinige Bewegung (Translation) ist der
einfachste Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abschnitte durch
Kreisbewegungen d.h. Rotationen und Translationen angefittet werden.
Beispiele:
- Ballwurf eines Kindes: Kreisförmige Bewegung mit translativem Abwurf.
- Geradeausfahrt (Translation) auf Autobahn + kreisförmige Ausfahrt (Rotation)
Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Translation + Rotation
Auf solchen Daten basieren Navigationskarten
s(t)
D
Translation
R
Rotation
Massepunkt
Kinematische Bewegungen werden oft getrennt – so auch hier – für Translation und
Rotation betrachtet.
Versuch drehende Balkenwaage:
Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreisbewegung aus.
Kreisbewegung in der Technik ebenso wichtig wie Translation, da alle rotierenden Gegenstände
wie Antriebsachsen, Ritzel, Räder etc. Kreisbewegungen durchführen.
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1
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Die nachfolgende Tabelle gibt eine vergleichende Übersicht zu Translation und Rotation.
In dieser Vorlesung wird nur jeweils einer der beiden Arten betrachtet bzw. eine sequentielle
Abfolge.
Arten
Translation
Rotation
(Translation)
(Rotation)
Geradlinig
Drehung
Rechtwinklig
Polarkoordinaten
Vektoren
Skalare

s

Bewegung
Koordinatensystem
Beschreibung
Weg
Drehwinkel (Def. über Bogenmaß)
Massepunkt
Modellkörper
Massepunkt an gewichtloser,
drehbarer Stange der Länge r
Aufzug
Bsp:
Karussell
Grundlage: Ortsänderung im Bezugssystem
Weg-Zeit-Diagramm
Orts-Diagramm
z
s
t = T0
t = T1
s
r0
y
r1
x
T0
T1
t
Steigung entspricht hier der Geschwindigkeit
wichtig: geeignetes Bezugssystem auswählen:
kartesisches für Translation, Polarkoordinaten für Rotation!
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Relative Bewegungen
Windstille !
Wie ist dieses Photo „entstanden“ ?
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2.3.1 Geschwindigkeit (Velocity)
Geschwindigkeit ist das Maß für die Weg- bzw. Orts-Änderung pro Zeiteinheit
Definition:
Ortsänderung pro Zeiteinheit
v
 Geschwindigkeit
s


t

Differenz
ds
dt

 s
(MK - 1)
Differential
v  m
s
 
bzw. vektoriell v  s
(der Vektorcharakter kann ein eindimensionalen Bewewgungen „vernachlässigt“ werden)
Geschwindigkeit = Zeitableitung des Weges (path) (Ableitung siehe VL Mathe 1)
Def.: Mittlere Geschwindigkeit (Durchschnitt)
z.B. Berechnung durch Tripcomputer


s
vm 
t
(MK - 2)
Durchschnittswert für „große“ Strecken“
für t  0 :
Def.:aktuelle Momentangeschwindigkeit
z.B. Wert der auf Tachometer


d s 
va 
s
dt
(MK - 3)
angezeigt wird.
Der Fahrradtacho zeigt oben die aktuelle
Momentangeschwindigkeit und darunter
die Durchschnittgeschwindigkeit (DSG) an.
Schulphysik: üblich v = s/t
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Beispiele zur Ableitung (und Integration): (eindimensional) (Übung)
geg. s(t)
v
ds
 s
dt
a
Beschleunigungstyp
dv
 v  s
dt
1
0
0
keine Beschleunigung
t
1
0
keine Beschleunigung
t²
2t
2
const.
t³ *
3t²
6t
 const.
sint
 cost
-²sint = -² s
 const. (Schwingung)
*: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremsprofilen von Motoren
Das Vorgehen von „links“ nach „rechts“ beschreibt die Ableitung.
Das umgekehrte Vorgehen (Integration) ist auch möglich und wichtig (s.u.)
Weg kann durch zeitliche Integration der Geschwindigkeit berechnet werden:
Aus (MK 1) : ds = v dt
Durch Integrieren („umgekehrte Differentiation“) erhält man den Weg
Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben
v = ds / dt | dt
v dt = ds

|

s(t ) 
T1


 v(t) dt  s
0
(MK - 4)
T0
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Anwendung Flugzeug:
Ein Staudruck-Messgerät misst „nur“ die Geschwindigkeit
 Integration ergibt den zurückgelegten Weg s !
Trotz GPS immer noch eingesetzt.
T1
 
Beispiel für v = const. ( v  v (t) ): s  v  dt  v T1  T0   v T 
 s  v t („bekannt“)
üblich
T0
Achtung: übliche Definition: t als relative Zeit nach Messbeginn !!



Spezialfall: s (t)  v  t  so
bei „anfänglichem“ Ort ungleich Null
s0 : Integrationskonstante, Weg zu Beginn bei T0
Beispiel: Auto fährt mit v = 10 m/s = const. ; Zeitdauer 100 s ; so = 0 m.
Wie große ist die zurückgelegte Strecke?
T
1



s (t )   v (t ) dt  s 0 
T0
100s
10
100s
m
s
0
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dt  10
m
s
 dt
 10 ms 100 s  1.000 m
0
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2.3.2 Beschleunigung (Acceleration)
Was passiert, wenn sich Geschwindigkeit zeitlich ändert z.B. wenn ein Auto anfährt?
Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, d.h. diese ist zeitabhängig.
Die Definitionen etc. sind analog zur § 2.3.1 Geschwindigkeit.
Def.: Beschleunigung
= Geschwindigkeitsänderung
pro Zeiteinheit

a
[a] = m/s²
Technik:
a > 0 : Beschleunigung ;

v
t

Durchschnittswert

dv
dt


 
 v  s
(MK - 5)
akt .Momen tan wert
a < 0 : Verzögerung
Zahlenbeispiele siehe obenstehende Tabelle zur Ableitung und Integration
Geschwindigkeit und Weg können aus der Beschleunigung durch zeitliche Integration berechnet
werden:
Geschwindigkeit



v (t )   a (t ) dt  v0
(MK - 6)
Weg



s (t )   v (t ) dt  s0
(MK - 7)
Bemerkungen:
-
In vielen Anwendungsfällen wird der Vektorcharakter nicht benötigt.
-
Oft können die Anfangswerte vo und so durch entsprechend „geschickte“ Wahl des
Koordinatensystems zu Null gesetzt werden.
Analog für Rotation, statt dem Weg s wird der Winkel  verwendet (s.u.).
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2.3.3 Translation (Translation)

Vereinfachung eindimensionale Betrachtung (1D): s  s (o.B.d.A.).
Die gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegung sind aus der Schulphysik bekannt.
Def.: Bewegungstyp / -form
Art
gleichförmig
gleichmäßig
ungleichmäßig
beschleunigt
beschleunigt
a
0
const.
 const.
v
const.
lineare Änderung, v  t
 const.
Bsp.
Auto 100 km/h
Freier Fall
Pendel (Schwingung)
 es gibt nur 3 Arten der Translation (bzw. Rotation):
2.3.3.1 Gleichförmige Translation
s
Typ: a = 0
va
aus (MK - 6): v = vo
vo
aus (MK - 7): s = vdt = vo t + C
so
t

s = vo t + so
(MK – 8)
„so“ kann oft durch Koordinatentransformation in den Ursprung „beseitigt“ werden.
JAVA Applet: Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Beispiel:
Bei einer Autofahrt mit konstanter Geschwindigkeit entspricht die Momentangeschwindigkeit der
mittleren Geschwindigkeit (Formel s / t).
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2.3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Translation
Versuch:
- Ball fallen lassen: Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung
- Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle (entspricht auch Freiem Fall)
s
va
Typ: a(t) = const
Bsp.: Freier Fall
t
aus (MK – 6): v  const.  dt  a t
aus (MK - 7): s = vdt = atdt = ½ a t2
Formeln aus (MK - 6) und (MK - 7) mit so = 0
Geg.
vo = 0
vo  0
a, t
v = at
v = at + vo
s = 1/2 at²
s = 1/2 at² + vo t
v  2as
v  2 a s  vo2
a, s
(MK - 9)
„vo“ ist in der Praxis oft ungleich Null, z.B. bei Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit und dann
Beschleunigung wg. Überholvorgang. Weiteres Beispiel: Senkrechter Wurf nach oben.
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2.3.3.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Versuch
Pendelschwingungen mit Stange
Beobachtungen:
- Sich wiederholende Bewegung von rechts nach links und umgekehrt
- An den Umkehrpunkten ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit und somit tritt dort
auch eine Änderung der Beschleunigung auf.
- Die Geschwindigkeit erscheint im „tiefsten“ Punkt am größten.
 ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Typ: a(t)  const. ; a = a(t)
Beispiel:
Mechanische Schwingungen
(siehe § 3)
s
v
t
a
Anfangsbedingung für t = 0 : s(0) = 1 ; v(0) = 0
geg:
a = cost
v   a dt ~ sint
s   v dt ~ - cost
s   a dt ²
 s   a , s   s , das ist typisch für Schwingungen
Beispiel (Übung) „Lineare Zunahme der Beschleunigung“
a  kt
Bem: [k] = m/s³
1
v   a dt  k  t dt  kt 2
2
1
1
s   v dt  k  t 2 dt  kt 3
2
6
Einfachste Probe: Einheit von v und s nachprüfen.
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Beispiele einfacher Translationen: Freier Fall / Schiefer Wurf
2.3.3.4 Einfache Translationen im Erdfeld
a = g = 9,81 m/s²  10 m/s² (wird in VL verwendet) = const.
 gleichförmig beschleunigte Bewegung,
Modellkörper : Massepunkt
Vektorielle Beschreibung
Bem. - Erdoberfläche, s klein, kein Luftwiderstand, keine Erdrotation
- g verringert sich mit zunehmenden Abstand von der Erdoberfläche (Übungsaufgabe)
Für die beiden Beispiele nachfolgenden Beispiele „a“ und „b“ gilt :
- a = g aus (MK - 9): v  g t  v0


- Anfangsbedingung (AB): v (t  0)  0 , s (t  0)  0
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a) Freier Fall (Übung)
Eindimensionale Bewegung – hier wird „s“ als Variable
verwendet.
ACHTUNG: Bei vielen Anwendungen muss „s“ durch eine
Achsenbezeichnung wie x, y oder z ersetzt werden.
Wichtig ist auch die Richtung der Achse!
Meist wird die Höhe auf der Erdoberfläche zu Null gesetzt,
die z-Achse ist also nach oben positiv. Deshalb zeigt dann
s, v und a(=g) in negative Richtung. Für den
zurückgelegten Weg kann allerdings auch der Betrag
verwendet werden.
Kinematik
Energiesatz (Vorgriff)
1
s  gt2  v 0 t  s0
2
siehe Ekin = Epot
s  a  g
mv2
 mgh
2
für s0  0 und v 0  0 (hier z-Achse)
1. Integration: v  gt
 t
 v  2gs  2gh  s 
v2
2g
v
g
1
2. Integration: s  gt 2
2
Einsetzen liefert
1 v2 v2
 s g 2 
2 g 2g
v2
1 2
s  gt ; v  gt ; s 
2
2g
(MK – 10)
d.h. beide Wege führen zum selben Ziel!
Bemerkung:
Wenn eine Zeitabhängigkeit gefragt ist, kommt man nur mit kinematischen Methoden zum Ziel!
Also Energiesatz nur verwenden, wenn keine „Zeit“ in der Aufgabe vorkommt.
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b) Waagrechter Wurf (Übung)
- vektorielle Betrachtung
- Zusammensetzung von
- gleichförmiger Translation und
- gleichmäßiger Beschleunigung (Freier Fall)
Anfangsbedingungen (t = 0) :
z
0
 v ox 
 0 
  

 



s0   0  ; v 0   0  ; a 0   0 
0 
v 
  g
 
 oz 


unbeschl. Bew.

y
g
gleichm. beschl.Bew.
V0x
x
Achtung: rechtshändiges
Koordinatensystem !
Rechengang: v = adt, dann s = vdt

 vox 
 0 


  
v  0    0 
v 
  gt
 oz 


gleichförmig

 vox t  



s 0   

v t   
 oz 

gleichm.beschl.



vox t






0

0


1 2
1 2


gt
voz t  g t 
2


2

0
(MK - 11)
 !
Probe: sz   g  , weitere „Kontrolle“: Einheiten [s] = m: m/s s = m 
Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für senkrechten Wurf nach oben und unten.
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Bsp: Waagrechter Wurf voz = 0 (Übung)
 v0 X 

 
v  0 
 gt



 v0 X t
 
s
0
 1
  g t2
 2







Absolutgeschwindigkeit: v  v 
v2x  v2y  v2z 
 v(t) 
hier
v02x  g² t ²
- t klein : v  vx
Fälle:
- t groß : v  gt
bisher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welcher Bahnkurve bewegt sich der Massepunkt ?
Bahnkurve
sx = vox t  U
(i)
sz = - 1/2 gt²  V
(ii)
aus (i) t = U / vox
(i’)
(i’) in (ii)
z
g
g
V
U2 bzw. z  
x²
2
2
2 v ox
2 v ox
v0x
t=0
x
das ist eine (Wurf-) Parabel z ~ x²
vx
Absolutgeschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve
2
v  v( x, z)  v ox

g²
x²
2
v ox
(1') in v eingesetzt
vy
|v|
v
~x
v0x
x
JAVA Applet: Schiefer Wurf (voz  0 mit Abwurfwinkel tan = voz / vox)
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In einer Buchhandlung in Hongkong …
Wie hoch ‚fliegt’ ein Skispringer ?
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Olympia-Schanzen Calgary
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Übungsblatt Kinematik 1
1. 2 Autos fahren mit konstanter Geschwindigkeit von v1 = 80km/h und v2 = 100km/h auf der
rechten bzw. linken Spur einer freien Autobahn. Zum Zeitpunkt t=0 ist das 1. Auto 250m vor
dem 2. Auto. Nach welcher Zeit und Strecke hat das 2. Auto das 1. um 50m überholt?
Lsg.: t=54s, s = 1500m
2. Ein ICE erreicht eine Geschwindigkeit von 250 km/h innerhalb 600s. Zum Abbremsen benötigt
er 140s, bei einer Notbremsung nur 60s. Wie groß sind die durchschnittlichen
Beschleunigungen?
Lsg.: a /m/s² : 0,116 / -0,5 / -1,16
3. Sie lassen einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen fallen. Nach t Sekunden hören Sie den
Aufschlag. Wie tief ist der Brunnen? Bis zu welcher Tiefe können Sie die Tiefe vereinfacht
berechnen?
Lsg.: Annahme t = 3,14s ==> h = 45m ; für 55m Fehler ohne Schallgeschwindigkeit 5%
4. Sie schießen eine Billardkugel über einen Tisch der Höhe 1m. Der Auftreffpunkt auf dem
Boden ist horizontal 1m von der Kante entfernt. Wie groß war die Geschwindigkeit der Kugel
an der Tischkante?
Lsg.: v = 2,24m/s
5. Skispringen Obersdorf: Die (waagrechte) Absprunggeschwindigkeit beträgt 72km/h, die
Landepiste hat ein Gefälle von 45°. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes ist die Flugzeit
und die Sprungweite (ohne Schanzentisch) gesucht.
Lsg.: a = 113m ; t = 4s
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2.3.4 Rotation
Beispiele: Pendel, Balkenwaage
Modellkörper : Massepunkt an gewichtsloser, steifer Stange (Starrer Körper) der Länge r.
Die wichtigste Größe (analog zum Weg s) ist hier der:
Drehwinkel
 s=r
(angle of rotation)
(MK 12)
r = const. ; s(t) : Bogenmaß ; [] = rad (mit 180° = )
karthesische
Koordinaten
Polarkoordinaten
y
s
D
x
2 Variable: x , y

r
1 Variable , da r = const.
Winkelgeschwindigkeit
[] = rad/s
Winkelbeschleunigung
[] = rad/s²
 d

 
t dt
(MK - 13)
 d
 



t dt
(MK - 14)


Definitionen analog wie bei Translation: Durchschnitts- () und aktueller Momentan-Wert (d).
Alle Variablen der Rotation ( ,  , ) sind Skalare, keine Vektoren wie bei der Translation.
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Zusammenführung Translation - Rotation
(hier nur Skalare bzw. Beträge)
Translation
Rotation
TR
Weg
s

s=r
Geschwindigkeit
v

v=r
Beschleunigung
a

a=r
(MK - 15)
Bewegungsformen wie Translation:
- gleichförmig
=0
- gleichmäßig beschleunigt
 = const
- ungleichmäßig beschleunigt
  const.
Vektorielle Betrachtung
v
T2
a für dt
Beschleunigung = Geschwindigkeitsdifferenz

 zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigersinn
‚ins Blatt’ hinein
Geschwindigkeit
Tangential zur Bahn
  
vr
(MK - 16)
Zentripetalbeschleunigung
- zeigt zur Rotationsachse (Mittelpunkt)
- meist nur Betrag: a = ² r interessant

 v2

a     2 r
r
(MK 17)
Beschleunigung zeigt nach ‘innen’, die Kraftwirkung auf einen Körper, der sich auf einer
Kreisbahn bewegt ist dann nach außen: Karussell, Satellit.
Bedingung für Schwerelosigkeit : v²/r = g
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Zentripetalkraft
Wird verursacht durch eine Zentralbewegung
Zentrifugalkraft
(Beschleunigung in Richtung Mittelpunkt)
JAVA Applet: Karussell (Zentripetalkraft)
Zentripetalkraft
D
Zentrifugalkraft
ist eine Trägheitskraft (Scheinkraft, nicht sichtbar von
außen), welche der Zentripetalkraft entgegengesetzt ist, also
vom Drehzentrum weg. Von lateinisch 'fugare' = fliehen.
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft

m v2
Fzp 
 m 2 r ( m a)
r


Fzf   Fzp
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(MK - 18)
20
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Bsp: Gleichförmige Kreisbewegung  = const. ;  = 0
z.B. gleichmäßig drehender Motor
Drehwinkel aus konstanter Winkelgeschwindigkeit
1 Umdrehung d.h. 360° bzw. 2 entspricht 1 Periode
Drehwinkel (entspr. s = v t )
  t
Periodendauer
T
f
Frequenz
1 

T 2
N =  / 2
Anzahl der Umdrehungen
Drehzahl
2

n
N dN 
d


N

f
t
dt
2 dt 2
(MK - 19)
Periodendauer wird bei großen Zeiten z.B. Erdumdrehung in 24 h verwendet,
dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6000/min, HF-Technik 100 MHz
JAVA Applet: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
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21
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Bsp: Gleichmäßig Beschleunigte Kreisbewegung  = const.
z.B. aus Stillstand anlaufender Motor
Winkelgeschwindigkeit
=t
(MK - 20)
Drehwinkel
 =  t = 1/2  t²
Analog gleichmäßig beschleunigte Translation
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22
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Zusammenfassung Kinematik
Art
gleichförmig
gleichförmig
ungleichförmig
beschleunigt
beschleunigt
Beschleunigung
0
konstant
nicht konstant
a = a(t) ,  =  (t)
nein
nein
ja
v,
const
const  t
v =  a dt ,  =   dt
s,
const  t
/2 const  t²
s =  v dt ,  =   dt
1
Bemerkungen:
- alle Anfangswerte in der Tabelle sind hier als Null angenommen: vo = o = so = o = 0
-s = r  ;v= r  ; a = r 
- Tabelle in1D - ggf. Vektoren verwenden
- Geschwindigkeit und Weg erhält man durch Integration der Beschleunigung a /  (Tabelle).




- Umgekehrter Weg durch Differentiation: a  v  s ;     
Def. Mittel- bzw. Durchschnittswert aus Differenz
aktueller Momentanwert aus Differential (t  0)
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z.B.
m 
z.B.
va 

t
ds
dt
23
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Übungsblatt Kinematik 2
1. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit und die Umlaufdauer eines erdnahen Satelliten
(g=const.). Erklären Sie die Schwerelosigkeit.
Lsg.: T = 84min ; v = 8km/s
2. Sie sind im Projektteam für einen neuen Weltraumfilm. Um realistische Aufnahmen zeigen zu
können, benötigen Sie natürlich Szenen in Schwerelosigkeit. Aus Budgetgründen können Sie
natürlich keinen Raumflug (auch nicht mit einem Space Shuttle) chartern. Welche Möglichkeit
bleibt Ihnen? Versuchen Sie dies ausgehend von Ihrer Erfahrung als Autofahrer bei Fahrten
über eine Kuppe und dem schiefen Wurf (Fitten Parabel - Kreis) anzudenken.
Lsg.: Kreisbahn ar = g mit v = 300m/s ; Viertelkreis 47s Filmzeit
3. Sie lassen eine Kugel (ohne Luftwiderstand) aus einem Ballon fallen, der sich in 30km Höhe
befindet. Die Erdbeschleunigung ist höhenabhängig nach der Formel b = g(R/r)² mit g =
10m/s², Erdradius R = 6387km und r der Entfernung von Erdmittelpunkt. Wann und mit
welcher Geschwindigkeit kommt die Kugel auf der Erdoberfläche auf. Vergleichen Sie dies mit
der Rechnung mit konstanter Erdbeschleunigung 10m/s². Ansatz: g(R/r)² + a = 0.
mit g=const: g = 10 m/s: t = 77,46s ; v = 774,6m/s, Zerlegen Sie die Fallhöhe in Intervall mit
adaptierter Fallbeschleunigung.
4. Ein Motor erreicht nach 60s eine Drehzahl von 7200/min bei gleichmäßiger Beschleunigung.
Ein an ihm befestigte Scheibe hat den Durchmesser 1,2m. Berechnen Sie die
Winkelbeschleunigung, die Umfangsgeschwindigkeit nach 30s und die Anzahl der
Umdrehungen nach 10s.
Lsg.:  = 12,6 1/s² ; v = 226m/s ; N = 100
5. Ein Motor hat 15s nach dem Anlaufen 500 Umdrehungen durchgeführt. Das Anlaufen ist
während der ersten 5 Sekunden gleichmäßig beschleunigt und danach gleichförmig. Wie ist
hoch ist die Drehzahl des Motors?
Blankenbach / HS Pf / Physik: Kinematik / WS 2015
Lsg.: N = 40 1/s
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