Dynamik

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2.4 Dynamik (Dynamics)
Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet,
hier wird die Statik (§2.2) mit der Kinematik (§2.3) zusammengeführt.
Inhalt: Bewegungsgleichungen, Energiesatz, Arbeit, Leistung, Impuls, ....
Translation
Rotation
Modellkörper
Massepunkt
Starrer Körper
Grundgesetz
F=ma
M=J
Wagen mit Gewicht
Motor
Vorlesungsbeispiel
Ziel: Bewegungsgleichung aus Aufgabenstellung erstellen und Bewegung beschreiben (Kinematik)!
2.4.1 Translation
2.4.1.1 Newtonsche Gesetze
(Newton's Three Laws of Motion)
(1) Trägheitsgesetz
Ein Körper bleibt in Ruhe (Statik) oder er bewegt
sich gleichförmig (Kinematik, v = const.), wenn keine
äußeren Kräfte auf ihn einwirken oder
diese in Summe Null sind.
Beispiele:
- Gegenstand liegt auf Tisch - aber: Erde dreht sich um sich selbst und um Sonne
- Auto prallt auf Baum: Nicht angeschnallte Insassen „fliegen“ unbeschleunigt weiter,
das Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte auf das Auto (Deformation).
Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand:
Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik im
2. Grundgesetz der Mechanik zusammengeführt.
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(2) Grundgesetz der Mechanik
Vereinfachte Formulierung:
Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die
gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist
Speziell
allgemein
m = const. (Newton)


F  ma
m  const., p: Impuls
 d mv  
F
 p
dt
(MD - 1)
siehe unten § 2.4.1.5
In den meisten praktisch auftretenden Fällen wird „m = const.“ angenommen.
Auch bei einem fahrenden Auto mit Verbrennungsmotor rechnet man in der Praxis mit m = const.,
da der verbrauchte Treibstoff pro Stunde mit ca. 5 kg prozentual gegenüber der Gesamtmasse von
ca. 1.500 kg vernachlässigt werden kann. Jedoch macht es beim dynamischen Fahrverhalten einen
Unterschied, ob man einen vollen oder leeren Tank hat.
Sonderfälle:
- m = m(t) : Rakete, Flugzeug
- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein)
Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen
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(3) Kraft erzeugt Gegenkraft
aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null  Fi = 0 ; Beispiel: Gewicht auf Unterlage
„Erweiterung“ der Kinematik zur Dynamik:
Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit
bei Fahrt in Kurve bemerkt man Kräfte.
 Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen sind sogenannte Trägheitskräfte
- Ruckartiges Anfahren oder Bremsen im Auto: „Stehende“ Flasche fällt um.
- Aufzug beim Losfahren: Aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter,
aber eine Person im Aufzug „sieht“ die „eigene“ Bewegung nicht!
Def.: Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null
Dynamisches Gleichgewicht
auch d’Alembertsches Prinzip
(MD - 2)
 Fi = 0
(D'Alembert's Principle)
Versuche:
- Ball auf Wagen legen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit
- Ball mit Hand unterstützen: Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert.
Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ?
- Gewicht an Federwage
- wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen,
nimmt das angezeigte Gewicht zu
- wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt,
nimmt das angezeigte Gewicht ab
Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich !
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Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertschen Prinzips
aus  Fi  0 (d´Alembert)


Fb  Ft  0
(MD - 3)
Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B. Gewichtskraft
Ft = m a
Ft : Trägheitskraft
mit: m : Gesamtmasse des Systems
a : Beschleunigung des Systems
Trägkeitskraft
- Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft)
- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen
Aufgabe der Dynamik :
Bewegungsgleichung aus Kraftansatz bzw. Energiesatz aufstellen und lösen.
Mit Dynamik kann die Beschleunigung a unter Einfluss von äußeren Kräften auf einen Körper
berechnet werden. Dies ist in der Kinematik nicht möglich! Aber ausgehend von der mit Hilfe der
Dynamik errechneten Beschleunigung wird dann mit kinematischen Methoden durch Integration die
Geschwindigkeit und der Weg ausgerechnet.
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Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip (Übung)
Freier Fall
Kraftansatz
Energieansatz (Vorgriff)
1) d’Alembert:  F = 0
Eges = const
Fb - Ft = 0
Ft = m a
Epot = Ekin
m (Massepunkt)
0
Start
2) Kräfte bestimmen
Fb = m g = Fg
m g x = ½ m v²
Ft = m a (immer, '-' im Ansatz)
 x  v  2 g x
x
FG
3) Einsetzen
mg-ma=0
 a = g = x (Koordinate x), 1D
x(t) und v(t) sind hier
schwierig zu berechnen
Das ist eine gleichmäßig
beschleunigte Bewegung (a=const).
4) Bewegungsgleichungen
Durch Integration folgt (v = adt)
 x = v = g t,
x = ½ g t² (aus x = vdt)
 x  v  2 g x
Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des Systems!
Energieansatz erscheint „leichter“, ist aber deutlich aufwendiger aufwändiger,
wenn s(t) und v(t) gesucht sind!
Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-GeschwindigkeitsZusammenhang.
Wenn Kraft- oder Energieansatz nicht „funktioniert“, den anderen Ansatz verwenden!
Typisch für Kraftansatz: Zeit t gesucht oder zeitabhängige Größen s(t), v(t), a(t).
Typisch für Energieansatz: Höhe h und Geschwindigkeit v(h) gegeben bzw. gesucht.
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Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle (Übung)
„Kochrezepet“ für Kraftansatz nach
d’Alembert: F = 0
1) d’Alembert:  F = 0
t=0
0
Ft
x
F
b
Fb - Ft = 01) Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
mW
mG
Fb = mG g
F
Ft = (mw + mG) a
G
mw + mG = Gesamtmasse des Systems
3) Einsetzen
mG g - (mw + mG)a = 0
 a
JAVA Applet: 2. Gesetz von Newton
(Fahrbahnversuch)
mG
 g  const.
mW  mG
Das ist eine gleichmäßig
beschleunigte Bewegung (a=const).
4) Bewegungsgleichungen
Weitere Berechnungen dann wie Kinematik
gleichmäßig beschleunigte Translation
(a = const.):
Durch Integration folgt (v = adt)
 x = v = a t,
x = ½ a t² (aus x = vdt)
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Stimmt das Rechenergebnis für die Beschleunigung a?
Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln:
a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses?
b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ?
angewandt auf obiges Beispiel:
a) Einheit : [a]= m/s² 
b) Extremfälle
- mw  0
:ag

- mw >> mG : a  0 
- mG = 0
:a=0
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
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2.4.1.2 Arbeit (Work)
Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar,
die Wirkung wird mit dem Begriff Arbeit erfasst:
'umgangssprachlich':
Arbeit = Kraft x Weg
Bsp: - Gewicht in Hand und laufen – es wird keine Arbeit verrichtet, da Gewicht nur gehalten wird
(Kraft  Weg)
- Maßkrug-Haltewettbewerb: hier ist der Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren.
Kraft F
Arbeit
-
konstant
-
wegabhängig
[W] = Nm = J
 
W  F s

s1
 
W   F(s)  ds
(MD - 4)

so
Die Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden:
Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies, Sand
Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt
Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit:

 s1 
 
F = const. : F  ds  F  s

so
SI-fremd : „kWh“ = 3,6 MJ (Energiewirtschaft) ; „eV“ = 1,6 10-19 J (Atomphysik)
Arten
Beispiele (Vereinfachung: 1D)
Hubarbeit
Gewichtheben,
Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const.
Beschleunigungsarbeit
Anfahren Auto
Reibungsarbeit
Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene
(kein Vorlesungsstoff)
Verformungsarbeit
Feder spannen (Hookesches Gesetz)
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Hubarbeit im Schwerefeld der Erde
Annahme: g = const
W hub
 F = const, Weg klein
W hub ~ h
Whub = F ds
mit F = m g und s = h erhält man
h

Hubarbeit
Whub = m g h
(MD - 5)
Versuche:
- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle
- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft x Weg = Arbeit
- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger  Arbeit = const.
- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-) Weg
dafür entsprechend länger  Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug.
Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodass auch schwere Gegenstände
hochgehoben werden können
JAVA Applet: Flaschenzug
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Beschleunigungsarbeit
Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und v = 0
Fall: a = const
Fall: a  const
Fbeschl = m a = const
Wbeschl = F ds = m ads
 Wbeschl = m a s
m 
gleichmäßig beschleunigte Translation:
v  2as
dv
ds
dt
V
2
ds
m dv
 m  v dv
dt
V1
nach a auflösen und einsetzen

Wbeschl = m s v²/2s
Wbeschl = ½ m v²
Wbeschl =

1
m v 22  v12
2

Achtung: gilt nur, wenn
Immer verwenden, wenn
Anfangsgeschwindigkeit = 0
Anfangsgeschwindigkeit  0
Bsp:
Wbeschl
m = 2 kg
v1  5 m s
v2  6 m s

(MD - 6)
   v 1 m s
Wbeschl ~ v 2
1
Wbeschl  m 36  25  11 J
2
so nicht: v = 1m/s 
1
m 12  1 J !
2
v
Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden, nicht die
beiden Zahlen (hier Geschwindigkeiten) subtrahieren (hier v) und dann potenzieren !
Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die „Differenz“ gebildet werden.
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Spannarbeit (Verformungsarbeit)
z.B. bei Feder (Bsp. Federwaage, Kugelschreiberfeder, …)

s1
Ws
 
Aus W   F(s)  ds

so
Ws ~ x
2
mit s = x
F = F(x) = FF = - D x (Hookes Gesetz)
x
D : Federkonstante, [D] = N/m

x2
1
D x ² xx12 x 22  x 12
2
→ Ws   D  x dx  
x1
Spannarbeit

x2
Ws   FF dx  
x1

1
D x22  x12
2

(MD - 7)
wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflusster Länge
x = x2 - x1: aktuell gedehnter Weg
+ aus Sicht von außen
- aus Sicht der Feder
- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit
Beispiel : Kraft ist wegabhängig  x; Spannarbeit
1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen Ws = ½ D x² = ½ D
2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen
2
Ws = D x dx 
1
2
1
1
3
D x ² 1  D (4  1)  D
2
2
2
nicht additiv wie bei Hubarbeit ! ACHTUNG analog zu MD – 6: Differenz der Quadrate !
Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen.
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2.4.1.3 Energie (Energy)
Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit
umgewandelt werden kann.
Energiesatz
Eges = const.
(MD - 11)
[E] = J
Eges (To) = Eges (T1)
Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt sich von
alleine ab und springt hoch!
Einheit wie Arbeit
Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt werden! 
kein Perpetuum mobile
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Zusammenfassung und Übersicht zur Energie
Energie -
Formel
Arten
Kinetisch
(Translation)
Rotation
(§ 2.4.2)
Potentiell
Beispiele
Energie
Ekin = ½ m v²
Erot = ½ J ²
Motor beim
Auslaufen
Freier Fall
Reibung
(nicht behandelt)
Luftwiderstand
Wärme
Ew = c m T
Kochen
Elektrisch
Eel = U I t
Chemisch
Energie-
Speicher
Transport
Ekin bei Autounfall
Epot = m g h
(Erde)
Energie-
Leiter = Transport
von Energie !!
Reaktionswärme
Schwungrad
Speicherkraftwerk
Wasserspeicher
Akku
Pumpstation
Fernwärme
Hochspannungsleitung
Benzin
Tank
Photosynthese,
Strahlung
E
Solarenergie,
em. Wellen
IR-Thermometer
Beispiel Kinetische Energie
Setzt man die Kinetische Energie Ekin = ½ mv² eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt
sich diese bei 140 km/h (1,4²  2) !!
Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert ebenfalls
quadratisch verlaufen könnte.
Daraus folgt dann ein vierfach größeres Risiko, wenn die Geschwindigkeit von
100 auf 140 km/h gesteigert wird.
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Translativer Energiesatz
ohne Reibung
Ekin(To) + Epot(To) = Ekin(T1) + Epot(T1) = Eges
(MD - 12)
mit Reibung
Ekin(To) + Epot(To) + Ereib = Eges(T1) = Eges
To : Zeit bei „Versuchsbeginn“, T1: „Versuchsende“ bzw. Zustand zum Zeitpunkt T1.
Zeitpunkte „fortsetzbar“ z.B. T2, …: Eges(To) = Eges (T1) = Eges (T2) …
Bemerkungen zum Energiesatz:
- Reibung ggf. bei T0 und T1 berücksichtigen
- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer Abhängigkeit!
- gilt z. B. nicht in Wasserströmung:
Aufzuwendende Energie für Weg von A nach B kann wegabhängig sein.
Bsp.: Energieumwandlung Epot1  Ekin  Epot2
a) Würfel im Freien Fall
a)
b)
Versuch :
E
pot1
W
h
b) Würfel über schiefe Ebene
E
E
pot2
kin
G
Epot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = Epot2) des Gegenstandes G
geringer, da ein Teil von Epot2 in Reibungswärme umgewandelt wird. Weitere Verluste durch Aufprall.
Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren !
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Pinewood Challenge – Fundamentals
http://www.dispatch.com/content/graphics/archive/science/2012/pinewood/pinewood-derby-physics.jpg
Der „Schlüssel“ zum Erfolg:
Ist der nebenstehende Wagen „vorwärts“ wie
„rückwärts“ gleich schnell am Ende der schiefen
Rampe?
Tipp: Skizze anfertigen mit den relevanten
Parametern. Reibung hier vernachlässigen.
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Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand (Übung, Reibung zur Information)
a) Energieansatz:
mit Er = F s
Epot (To) = Ekin (T1) + Er (T1)
Kraft F ~ v; Weg h; k : Reibungskoeffizient  Reibungsenergie Er = kv² h
Einsetzen:
m g h = ½ m v² + k v² h

m g h = v² (½ m + k h)
mg h
m
 kh
2
 v
Extremfälle:
- keine Reibung (k = 0) :
v
- große Reibung ( k   ) :
2 gh

v0 
aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ???
Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier
als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige
Beschleunigung.
b) Kraftansatz
F = 0

Fb - Fr - Ft = 0

mg - kv² - m a = 0
(DGL 2. Sem), a = dv/dt
‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber
Endgeschwindigkeit : a = v = 0
(d.h. konstante Fallgeschwindigkeit wenn beschleunigende Kraft = Reibungskraft)
mg - k v² = 0

Extremfälle:
v end 
mg
k
k  0 : vend  

k   : vend  0

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Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien
Fall
50
v / m/s
40
30
20
10
mit Luftwiderstand
0
0
50
100
150
Fallweg / m
Die Fallgeschwindigkeit v durch den Luftwiderstand „mit der Zeit“ konstant
 Beschleunigung a = 0 im „Endzustand“.
weiteres Beispiel Energieansatz (Übung):
Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.)
t=0
Epot = Ekin
0
Ft
x
F
b
mG g h = ½ (mw + mG) v²
(h entspricht hier x wg. Seil)
mW
 v
2 mG g h
mw  mG
mG
v = v(h) !
F
G
Grenzfälle analog Kraftansatz
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2.4.1.4 Leistung (Power)
Leistung ist ein weiterer Begriff aus dem täglichem Leben.
P
„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. :
aus
P
W
 Fv
t
W
Fs
ds

 F
 Fv
t
t
dt
[P] = W = J/s
(Normierung auf Zeit)
„früher“: Autoleistung als „PS“;
1 PS = 0,73 kW
Leistung („Arbeit pro Zeit“)
W
t

P
'genaue' Formulierung
Durchschnitt

t  0
dW
dt

(MD - 13)
Momen tan
Durchschnittsleistung
Pm 
W
t
aktuelle Momentanleistung
Pa 
dW

 W
dt
(Definitionen analog Kinematik für v und a)
erweiterte Betrachtung
 
d W d( F  s )
P


dt
dt
 
F
s

 
 F v
0 für F  const
kinetische und potentielle Leistung (zur Übung und Herleitung)
Pkin 
Ppot 
d Wkin d  21 m v(t )² 

dt
dt
d Wpot
dt

d m g x(t )
dt

m  const

m  const
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1 dv²
m
 m v v  m a v  F v
2
dt
mg
dx
 F x  F v
dt
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„Leistung“ in der BWL
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Wirkungsgrad

(Efficiency)
Pnutz
1
Pgesamt
(MD - 14)
Pnutz = Pgesamt - Pverlust
Pnutz :
nutzbare, benutzte Leistung
z.B. Auto Vortrieb : Beschleunigungsarbeit
Pgesamt :
Summe aller Einzelleistungen
z.B. Auto: Vortrieb + Wärme + Lichtmaschine + Lärm, ...
d.h. alles was Reibung, Geräusche, … verursacht, mindert  !
Beispiel (Übung):
Wieviel PS sind nötig, um Auto (m = 1,5 t mit Fahrer) von 0 auf 100 in 8,6 s zu beschleunigen
Pm = Wkin /t = ½ mv²/ 8,6 s = 67 kW  91 PS
Prospekt VW GOLF 110 kW (150 PS) : t = 8,6s  Wirkungsgrad   0,6
Wirkungsgradverminderung durch:
- Reibung
- Schaltzeiten
- Leistungs - Drehzahl- Charakteristik : Motor gibt nur bei best. Drehzahl 150 PS ab
- ...
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2.4.1.5 Impuls (Momentum)
Beispiele:
- Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung
- Zusammenstoß Autos: Auto mit Auto, Auto fährt gegen Mauer, Baum,…
Fälle: „weich“, „hart“, „bewegt auf ruhend“, …
Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel
Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander
Impuls
[p] = kg m/s = Ns


p  mv


Näherung m  const.

 
d( m v )
,
 p  F
dt



(MD - 15)
al lgemeiner Fall

allgemein: Vektor p
Allgemeine Formulierung




d m v   
 v  ma
 m v  m v  m
dt
 = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom)
mit m
analog zu Ladungsänderung pro Zeiteinheit = Strom I
JAVA Applet: Elastischer und unelastischer Stoß
Impulssatz (vereinfacht, 2 Körper, 1D):
p1(T o) + p2(T o) = p1(T 1) + p2(T 1)
mit To vor Zusammenstoß, T1 danach; p = mv
Impuls hier nur zur Information, da in der Praxis wg. deformierbaren Medien (z.B. Knautschzone von
Autos) der Impulssatz nicht angewendet werden sollte.
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2.4.2 Rotation (Rotation)
Anwendungen:
Motor, Fahrdynamik,
Fliehkraftregler (z.B. Dampfmaschine, rechts)
Innenstück „öffnet“ z.B. Ventil
Modellkörper: Starrer Körper
Versuch zur Fliehkraft
Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich
schwere Kugeln bei gleicher UmdrehungsGeschwindigkeit dieselbe Höhe?
2.4.2.1. Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
Bsp: Den Anpressdruck beim Karusell bemerkt
Außenstehender nicht, da vom Typ „Trägheitskraft“
bzw. „Scheinkraft“
Zentripetalkraft
Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp
D
r
Praxis: meist nur Betrag interessant
Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender
Beobachter spürt (Fliehkraft)
Zentripetalkraft Fzp




m v2
Fr  Fzp  m a  
r

v r 


m ² r   FZf
(MD - 17)
Zentrifugalkraft Fzf
Bem.: Fzp ~ ²
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2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz
Modellkörper: Starrer Körper
Translation Kraft F  M Drehmoment Rotation :
Drehmoment
m1


Mg   M i 



r i  Fi
r1
D
m2
r2
Herleitung eindimensional (zum Üben)
1D : F = m a
rF=rma
|r
Dr
| a = r (Winkelbeschleunigung)
m
 M = (mr²)  = J 
J : Massenträgheitsmoment (mass moment of inertia)
aus Tabellen, Mehrfach-Integralen, bzw. experimentelle Bestimmung

bei zusammengesetzten Körpern : Mges 


 M  J 
i
i
Dynamisches Grundgesetz
[J] = kgm²


M  J 
(MD - 18)
M=0
(MD - 19)


Vergleich Translation: F  m a
d’Alembertes Prinzip der Rotation
Vergleich Translation:  F = 0
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Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Tabelle Massenträgheitsmoment (Formel wird in Klausur angegeben)
hier: Schwerpunkt auf Drehachse, falls nicht : Satz von Steiner (zur Info)
Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen  Kapitel Schwingungen

Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen J   mi ri 2 
i
2
r
dV
Vol
(Anwendungsbeispiel Volumenintegral)
z
Kugel
r
massiv Jx  Jy  Jz  2 m r 2
5
dünne Schale Jx  Jy  Jz  2 m r 2
y
3
x
Vollzylinder
z
1
1
1
m r 2 Jy  Jz  m r 2 
m l2
2
4
12
Jx 
dünner Stab (l >> r)
Jx 
1
1
m r 2 Jy  Jz 
m l2
2
12
dünner Scheibe (l << r)
1
1
m r 2 Jy  Jz  m r 2
2
4
Jx 
ra
y
Jx 
l
r
i
x
Hohlzylinder


1
m ra2  ri2
2
Jy  Jz 
1
1 

m  ra2  ri2  l2 
4
3 

dünnwandiger Hohlzylinder mit r a  ri
dünner Ring(ra  ri, l << r)
Jx 
1
1
m r 2 Jy  Jz  m r 2
2
2
z
Quader
l
x
b
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
1
m l2  h2
12




1
m b2  h2
12
Jy 
Jz 
1
m b2  l2
12
h
y

Jx 
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2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation
Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad
- fallen lassen mit abgewickelter Schnur :
Fall schnell, JoJo bleibt „unten“ – „einmalige“ Bewegung
- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur :
Fall langsamer, JoJo kommt „wieder hoch“, bewegt sich wieder abwärts, …
„zyklische (d.h. sich wiederholende) Bewegung (mit Reibungsverlusten)
Untersuchung :
Ekin JoJo < Ekin Kugel
(da v geringer)
Wo steckt Energiedifferenz ?
Offenbar in der Rotation !
Epot  Ekin + Erot  Energiespeicher Rotation
Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen
Frage zur Systemauslegung (Warum gibt es das nicht mehr?)
Wrot = Md
Arbeit
Energieerhaltung
Ekin + Epot + Erot = const.
(MD - 21)
Rotationsenergie
Erot = 1/2 J ²
Leistung
 
P  M 
(vgl. Translation)
Impuls bei Rotation „hier nicht behandelt“.
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2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung
In der nachfolgenden Tabelle erhält man die Formeln der Rotation aus denjenigen der Translation
durch „Buchstabentauschen“:
s

v

a
mJ
FM
pL
(skalar, Vektoren ggf. ergänzen)
Translation
Variable/Formel
Rotation
Variable/Formel
=s/r
Weg
s
Winkel
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit

Beschleunigung
a
Winkelbeschleunigung

Masse
m
Massenträgheitsmoment
J =  mr²
Kraft
F = ma
Drehmoment
M = J
Kraftansatz
F = 0
Drehmomentansatz
M = 0
Impuls
Impulserhaltung
Arbeit
Energie
Leistung
p = mv ; p  F
p = const.
W = Fds
Ekin =
1
/2
mv²
P=Fv
Drehimpuls
Drehimpulserhaltung
Arbeit
Energie
Leistung
L = J ; L  M
L = const.
W = Md
Ekin rot =
1
/2
J²
P=M
entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc.
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Übungsblatt Dynamik
1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre im Elektrischen
und Magnetischen Feld auf. Tip: Zuerst Skizze, dann Kraft- oder Energieansatz.





Formeln: Fel   e E ; Epot   e U ; Fmag   e v  B
a) Bewegung in einem Elektrischen Feld mit einer Spannung von 30 kV
v = 105 km/s
(Elektron ruht zu Beginn).
b) Ablenkung in einem Elektrischen Querfeld (Elektron bewegt sich senkrecht zum Feld
der Länge d. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Bewegungsform.
Parabel
c) Welche Bewegung beschreibt das Elektron in einem magnetischen Querfeld, in das es
mit einer Geschwindigkeit v einfliegt. Wie sieht es hier mit der Arbeit aus?
Kreis, Arbeit = 0
2. An einer Rolle sind mittels einer idealen Schnur 2 Gewichte der Massen m1 und m2 befestigt.
Berechnen Sie die Beschleunigung
a) bei masseloser Rolle
a 
b) bei massebehafteter Rolle mit Radius r
a 
m1  m2
g
m1  m2
m1  m2
m1  m2 
J
r2
g
3. Sie setzen mit Ihrem Auto zum Überholen an. Ihre Geschwindigkeit steigert sich hierbei innerhalb
von 15s von 50 auf 90km/h; m = 1t. Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit (ideal)
216 kJ
4. Ihr Auto rollt in San Francisco mit 6m/s an Ihnen vorbei. Da Sie aber vorsichtshalber wegen des
Gefälles von 4° die Handbremse angezogen haben, schätzen Sie den Reibungskoeffizienten µ mit
0,1 ab. Wie weit müssen Sie laufen?
61,2 m
5. Sie fahren an der Ampel mit Ihrem Auto (1000kg) mit einer Kraft von 4000N für 3s an und fahren
1s mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremsen Sie mit 3000N. Zeichnen Sie den
zeitlichen Verlauf der Momentanleistung, wann stehen Sie wieder?
8s
Ferner: Aufgaben aus Altklausuren
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