Lösungen

Bearbeitungsnummer: 0 - 20
(unter dieser Nummer würde ihre Note veröffentlicht werden)
Lösungsvorschlag zur „Scheinklausur“ zum Brückenkurs
Diese „Scheinklausur soll den Aufbau einer möglichen Klausur darstellen und den Studienanfängern postwendend
Rückmeldung geben, ob Ihr Lernerfolg eher positiv oder negativ war. Anschließend werden die Musterlösungen
auf www.mathematikwelt.com veröffentlicht. Die Bearbeitung dieser Klausur sollte erst nach der letzten Vorlesung
im Brückenkurs geschehen. Es wird ebenfalls eine „Schein“-Nachklausur im Netz geben.
__________________________________________________________________
Name: Rehder
Vorname: Matthias
Matr.-Nr.: 0000000000000
Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
Die Lösungen sind in gut lesbarer Reinschrift mit allen Nebenrechnungen auf DIN A4–Blättern abzugeben.
Alle Blätter bitte mit Namen, Matrikelnummer und Aufgabennummer versehen!
Mit Bleistift oder Rotstift geschriebene Lösungen werden nicht gewertet.
Block I [15 Punkte]
Kreuzen Sie an, ob der Wahrheitsgehalt der jeweiligen Aussagen „wahr“ oder „falsch“ ist. Für jede richtig angekreuzte
Aussage erhalten Sie einen Punkt, für jede falsch angekreuzte Aussage erhalten Sie einen Punkt Abzug. Sie haben genau einen
Freischuss, d.h. die erste falsch angekreuzte Antwort wird nicht gewertet. Die minimal erreichbare Punktzahl beträgt 0 Punkte,
die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 15Punkte.
wahr
falsch
Aussage
1.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
!
''
2.
) %
Es gilt: 51-
* +,- ./ 0
6'
7'81# .
Der Wert der Summe 9:;;
<=:
4
1 2
1
"
3% -
#
4
$ % &'(
3%
beträgt 5050.
?@
?@
1 2>
und
1 2A
implizieren zusammen die Eulersche Identität:
84
1 #
1 .
Für alle 1
gilt: 1 B C D 4
1E, 8FD
GH 8 F.
?@
Mit I
1
84
8
J ist der Einheitskreis parametrisiert.
, F
L um eine . M N Matrix.
F F
Es seien u und b zwei Vektoren, dann gilt: O - P Q R R S R R.
Es handelt sich bei K
Die Menge der ganzen Zahlen T bildet mit der Multiplikation S als Verknüpfung eine Gruppe.
Für
U gilt S V
Es gilt 9XY=;WXYZ 8 .Y .
.
Die Menge der ganzen Zahlen T
mit der Addition + als Verknüpfung eine abelsche
Gruppe und - # - S ist ein Körper.
Die Cosinusfunktion
7
0 +E,- ,/ ist injektiv oder surjektiv auf ganz .
Für die imaginäre Einheit gilt:
[\
8 ]E, in U.
Für jedes richtig gesetzte Kreuz ist ein Punkt zu vergeben. Das erste falsch gesetzte Kreuz hat keine
Auswirkungen, danach wird pro falsch gesetztes Kreuz ein Punkt abgezogen. Die minimale erreichbare Punktzahl
bei dieser Aufgabe beträgt 0P. Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 15P.
Block II [5 Punkte]
Nach den thematisierten Aspekten in der Vorlesung gelten bekanntlich folgende Regeln:
(i)
], 8 ,
(ii)
^ 8 E,
//imaginäre Einheit
(iii) ]E, 8
(iv) E, S E, 8 ,
(v) ] S 8 ] S ]
5 _
(vi)
S 8 ^
Mit diesen Regeln soll nun das „Rehder’sche-Axiom“ beweisen werden. Analysieren Sie den Beweis und erläutern Sie ggf.,
an welcher Stelle im Beweis sich eine mögliche Fehlerquelle befindet!
, 8 ],
8 ` E, S E,
8 ]E, S ]E,
8 S
8 ^
8 E,
a b 8 Eb
// nach (i)
// nach (iv)
// nach (v)
// nach (iii)
// nach (vi)
// nach (ii)
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Analyse: Nach Anwendung der Regeln (i) bis (vi) auf die natürliche Zahl 1, erhält man die Aussage , 8 E,
Fehlerquelle: Aber das kann nicht sein, denn es gilt natürlich , c E,. Wo steckt also der Fehler? Es wurden doch
eigentlich nur die Sätze/Regeln aus der Erinnerung verwendet?
Die Lösung des Problems liegt darin, dass die Quadratwurzel für komplexe Zahlen nicht eindeutig ist. Es ist also
eine Fehler im Schritt von Zeile [3] bis Zeile [4], denn die ]E, ist nicht eindeutig bestimmt. Unglücklicherweise
wurde hier Regel (v) angewendet, welche nur in , jedoch nicht in U gilt.
Generell ist die Bedeutung der „Wurzel“ in sehr wichtig. Was ist zum Beispiel die Wurzel aus 1? Hierbei gibt
zwei reelle Zahlen, deren Quadrat 1 ist, nämlich –1 und 1. Dies sind die beiden Kandidaten für das Resultat der
Wurzel aus 1. Nur der positive dieser beiden Kandidaten wird als "die" Wurzel bezeichnet und für diese Definition
wird das Wurzelsymbol verwendet. In diesem Fall gilt dann ebenfalls obige Regel (v)
Falls allerdings a und b negativ sind (oder, ganz allgemein, komplexe Zahlen), so gilt Satz/Regel (v) nicht mehr.
Um das nachvollziehen zu können, ist es wichtig zu wissen, was die Wurzel aus –1 ist. Tatsächlich gibt es zwei
komplexe Zahlen, deren Quadrat –1 ist, nämlich –i und i. Das sind die beiden Kandidaten für die Wurzel aus –1.
Weil aber keine von beiden Kandidaten positiv ist, ist die gerade besprochene Definition "der" Wurzel aus einer
positiven reellen Zahl hier nicht anwendbar.
Man kann nicht einmal sagen, dass Satz/Regel (v) für andere als positive reelle Zahlen falsch wäre - sie macht
schlicht und einfach keinen Sinn, da nicht gesagt wurde, was das Wurzelsymbol bedeutet. Es ist unklar, ob die
Wurzel aus –1 gleich –i oder gleich i ist. Legt man sich auf eine dieser beiden Möglichkeiten fest, um dem
Wurzelsymbol einen eindeutigen Sinn zu geben, dann ist die Regel (v) in Bezug auf a = b = –1 falsch.
Fazit: Wenn komplexe Zahlen unter dem Wurzelsymbol auftauchen, sind i.d.R. beide Kandidaten gemeint. In
Fachsprache sagt man, die Wurzelfunktion ist mehrdeutig.
Für die korrekte Analyse wäre 1 Punkt zu vergeben und für das ausführliche Beschreiben der Fehlerquelle sind 4
Punkte zu vergeben. Die Beschreibung kann auch deutlich knapper sein, solange alle wesentlichen Aspekte
erwähnt wurden. Falls ein wichtiger Aspekt fehlen sollte, werden von den 4 möglichen Punkten ggf. welche
abgezogen. [ 5P.]
Block III [15 Punkte]
Bearbeiten Sie genau 3 der folgenden Aufgabenabschnitte a), b), c), d) und e).
Sollten mehr als 3 Aufgaben bearbeitet worden sein, aber eine Aufgabe nicht sichtbar durchgestrichen sein, dann wird
Block drei mit 0 Punkten gewertet.
a)
Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck soweit wie möglich durch Anwendung der binomischen Formel!
1#.
d
8 1 d # ,F1 e # NF1 \ # fF1 g # fF1 # h.
// Hier kann man das Pascalsche Dreieck oder die in der Vorlesung erklärte allgemeine binomische Formel verwenden.
Quelle: http://vogelschule.ch/assets/plugindata/poolmathbu8lu22d/Pascalsches%20Dreieck.gif
Für die Idee und Erklärung der Rechnung werden 3 Punkte vergeben, für das korrekte Endresultat werden 2 vergeben.
5P.
b) Vervollständigen Sie die folgende Wahrheitstabelle! Es handelt sich bei A, B und C jeweils um Aussagen. Eine 0 steht
dabei für „falsch“ und eine 1 für „wahr“.
A
B
C
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
"ijik
0
0
0
0
0
0
0
1
"ij lk
0
0
0
1
1
1
1
1
AaC
1
0
1
1
0
1
1
1
ADj Dk
1
0
0
0
0
0
0
1
mA
1
0
1
1
0
1
0
0
// Eine UND-Verknüpfung bindet stärker als eine ODER Verknüpfung!
Für jede korrekt ausgefüllte Spalte wird ein Punkt vergeben. Falls eine Spalte einen Fehler enthalten sollte, wird kein Punkt
vergeben, denn halbe Punkte sind nicht vorgesehen. Das macht zusammen 5P.
c)
Es seien die Mengen " 2 n1 o, Q 1 p ,Fq ; j 2 n,- h- N- r- G- f- s- ,,q und k 2 n o
+.- ,h/q gegeben. Weiterhin
sind die beiden Funktionen ( 7
0 und 7
0 durch ( 1 8 1^ und 1 8 1^ # , definiert.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Bestimmen Sie die Schnittmenge von A, B und C!
t u v u w 8 nh- N- r- G- f- sq
Bestimmen Sie die Vereinigungsmenge von A, B und C! t x v x w 8 n1 o1 +,- ,h/q
Bestimmen Sie die Menge "yk! "yk 8 n1 o, Q 1 p .q
Bestimmen Sie wenn möglich die Komposition z (!
z ( 8 1e # ,
Bestimmen Sie wenn möglich die Verkettung ( z !
( z 8 1g # , g
a(z c z(
Für jede korrekt gelöste Teilaufgabe ist ein Punkt zu vergeben. Es gibt keine halben Punkte! Das macht zusammen 5P.
d) Berechnen Sie den Wert der folgenden Summe. Begründen Sie Ihre Zwischenschritte!
}
{ .| E , 8
~=:
^
•
//Die Gleichung (*) wurde mit vollständiger Induktion in den Übungen/Tutorien gezeigt.
g;
{ .| E , 8 .F^ 8 NFF
~=:
Für den ersten Schritt in (*) werden 3 Punkte vergeben, andere sinnvolle Lösungswege sind auch mit drei Punkten zu
bewerten. Für das korrekte Endresultat von 400 sind 2 Punkte zu vergeben. Das macht zusammen 5P.
e)
Parametrisieren Sie die Gerade G durch die Punkte A(1, 0, 1) und B(0, 2, -1) und bestimmen Sie die Norm eines
Ortsvektors durch den Punkt A!
,
E,
Es sind 2 Punkte gegeben, dadurch erhält man die Gerade: €• 8 ‚Fƒ # „ ‚ . ƒ. Dies wurde in der Vorlesung mehrfach
,
E.
,
mit Beispielen so durchgeführt. Der Ortsvektor im Punkt A lautet …• 8 ‚Fƒ. Nun bestimmen wir noch die Norm mit der
,
Formel aus der Vorlesung: R…•R 8 `†^ # ‡^ # ˆ^ 8 ], # F # , 8 ]. .
Für die Angabe der korrekten Gerade sind 2 Punkte zu vergeben, für die Bestimmung des Ortsvektors ist ein Punkt
zu vergeben, die die korrekte Berechnung der Norm sowie für die korrekte Formel und Normnotation R R ist jeweils
ein Punkt zu vergeben. Das macht zusammen 5P.
Block IV [20 Punkte]
Beweisen Sie die zwei folgenden Aspekte in b) und entweder in c) oder d) und geben Sie die in a) geforderte Definition an.
a)
Geben Sie die exakte Definition für das Produkt einer . M . Matrix mit einem zweielementigen Vektor an.
†
Es sei t 8 K
ˆ
‡
L
‰
gMg
C
g
eine . M . Matrix und Š 8 K‹L
ein Vektor. Dann ist das Produkt tŠ definiert durch:
C
†C # ‡‹
† ‡
g
tŠ 2 K
LSK L8Œ
•
ˆC # ‰‹
ˆ ‰ ‹
Für diese exakte Definition sind insgesamt 5 Punkte zu vergeben 5P.
b)
Zeigen oder widerlegen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Gleichung # , S h # N 8 h ^ # Ž # N
für beliebige
gilt. Achten Sie dabei auf die Einhaltung der Beweisstruktur einer vollständigen Induktion
(Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschluss).
// Hierbei handelt es sich wirklich um einen ganz simplen Induktionsbeweis.
Behauptung: Es gilt die Gleichung
# , S h # N 8 h ^ # Ž # N für
. (**)
,#, S h#N 8 h#Ž#N
,N 8 ,N
Induktionsvoraussetzung: Die Gleichung gelte nun für beliebige natürliche n.
Induktionsschluss: [„n a n+1“ (z. z.)]
Es ist nun # . S h # , # N 8 h # , ^ # Ž # , # N zu zeigen. Dazu vereinfachen wir zuerst die
rechte Seite der Gleichung u.a. mit dem Distributiv- und dem Assoziativgesetz.
# . S h # , # N 8 # . h # Ž 8 # . W h # N # hZ 8 # , # , W h # N # hZ 8
• # , h• # N # • # , S h # h # N # h 8 h ^ # Ž # N # h # h # h # Ž 8 h ^ # ,h # ,N
Induktionsanfang: (n = 1)
„alter Bekannter“ (**)
nach Induktionsvoraussetzung
Nun schauen wir uns die rechte Seite nach mal an und wenden hier u.a. die binomisch Formel an:
h # , ^ # Ž # , # N 8 h g # G # h # Ž # Ž # N 8 h ^ # ,h # ,N. Die linke Seite entspricht also der
rechten Seite und wir haben alles gezeigt. Q. e. d.
Für den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung ist jeweils ein Punkt zu vergeben. Für den
Induktionsschluss sind drei Punkte zu vergeben. Ein Punkt wird abgezogen, falls nicht kenntlich gemacht wurde, an
welcher Stelle die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde. Ein halber Punkt wird abgezogen, falls die Begriffe
Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung und Induktionsschluss nicht erwähnt wurden. Die minimal erreichbare
Punktzahl unter dieser Teilaufgabe beträgt 0P. 5P.
c)
Die Hyperbelfunktionen cosinus hyperbolicus 4
definiert durch:
1 2
Beweisen oder widerlegen Sie, dass 514
(i)
4
1 2
gilt:
1#
(ii)
7
0
,
.
1' 1 E 1' E1
,
.
84
4
7
und sinus hyperbolicus
0
werden
1' 1 # 1' E1
1 4
#
^ 1 E
^ 1 8,
1
Für diesen Beweis braucht man nur die Definitionen von sinh und cosh und die Exponentialgesetze der Vorlesung
geschickt anwenden.
(i)
Behauptung: Es gilt 4
1# 84
1 4
#
1
51(z. z.)
Nach Definition sollte 4
1#
Mit der Definition erhält man 4
:
g
:
g
1' 1 # 1' E1
1' 1 #
S
:
g
# 1' E1 E
1'
8
:
g
1 4
1' 1 #
# 1' E
w. z. b. w.
#
#
# 1' E1 E
:
g
1
8
gelten.
1' 1 E 1' E1
S
:
g
1'
E 1' E
8
Für die korrekt umgesetzte Beweisidee werden 4 Punkte vergeben, für den vollständig und korrekt erbrachten
Beweis werden 6 Punkte vergeben. Dazu sind natürlich mehr Rechnungen und Zwischenschritte als in der
Musterlösung vor dem letzten Gleichheitszeichen nötig. 10P.
oder
d)
Zeigen oder widerlegen Sie ausführlich und strukturiert, dass ein nicht entartetes und „hinkendes“ Dreieck höchstens
einen 90° Winkel besitzen kann. Notieren Sie hierzu anfangs die verwendeten Definitionen, kommentieren Sie
Zwischenschritte und verwenden Sie die Quantorenschreibweise. Hinweis: Unter einem hinkenden Dreieck versteht
man ein rechtwinkliges Dreieck und unter einem entarteten Dreieck versteht man ein Dreieck, dessen Eckpunkte auf
einer Geraden liegen.
Zuerst definieren wir die wichtigsten Grundlagen:
Definition [Punkt]
Ein Punkt ist eine Einheit, die eine Position hat.
Definition [Strecke]
Eine Strecke zwischen zwei Punkten A und B ist eine abgeänderte Gerade, die erst in diesem Punkt A
beginnt und in dem anderen Punkt B endet.
Definition [Winkel]
Einen Winkel definieren wir als einen Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen
(Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden
Strahlen wird Scheitelpunkt des Winkels, Winkelscheitel oder kurz „Scheitel“ genannt; die Strahlen heißen
Schenkel des Winkels. Ein Winkel kann durch drei Punkte festgelegt werden, von denen einer im Scheitel des
Winkels liegt und die beiden anderen auf je einem Schenkel des Winkels.
Definition [Streckenwinkel]
Auf einer Seite einer Strecke durch n Punkte beträgt der immer genau Winkel 180°.
Definition [Vollkreis]
Betrachtet man die Summe der beidseitigen Streckenwinkel, welche 360° beträgt, dann erhält man die
Winkelsumme des Gebildes „Vollkreis“. Einen Vollkreis brauchen wir für unseren Beweis jedoch nicht
genauer zu definieren.
Definition [Verbindung]
Eine Verbindung ist eine Strecke zwischen zwei Punkten mit der Besonderheit, dass . Di
Definition [nicht entartetes Dreieck]
Ein nicht entartetes Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden
Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks.
Das Dreieck unterteilt die Ebene in zwei Bereiche, das Äußere und das Innere des Dreiecks. Der von je zwei
an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur
Charakterisierung des Dreiecks. Ein hinkendes Dreieck hat einen 90° Winkel, genannt rechter Winkel.
Satz: Ein Dreieck hat höchstens einen rechten Winkel, d. h. sei •
, dann gelte
5 •€‘’‘ˆ“‘ ” • €‘ˆ•„‘– ’•“‘—7 • ˜ . .
Widerspruchbeweis: Angenommen es gäbe ein Dreieck mit mehr als einen rechten Winkel, d.h.
6 •€‘’‘ˆ“‘ 6 • €‘ˆ•„‘– ’•“‘—7 • ˜ . dann wäre die Summe von 2 rechten Winkel 180° und die Summe
von n rechten Winkeln mit • ˜ . gleich 9š›=: ’ S sF™ und es gilt offensichtlich 9š›=: ’ S sF™ ˜ ,fF™ 5•
7 • ˜ .. Dann müssten die Punkte des Dreiecks nach Definition des Streckenwinkels zumindest alle auf
einer Strecke liegen. Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Definition eines nicht entarteten Dreiecks.
Dieser Widerspruch beweist unseren Satz.
Für das Aufschreiben der wichtigen Definitionen werden 4,5 Punkte vergeben, für die korrekte
Verwendung der Quantorenschreibweise werden 2,5 Punkte vergeben und für die korrekte und kommentierte
Beweisführung werden 8 Punkte vergeben. 15P.
Block V [15 Punkte]
Bearbeiten Sie genau eine der folgenden zwei Teilaufgaben ausführlich!
a)
Es sei
g
und
œ
2
•ž
S mit
Drehung um den Winkel Ÿ entsteht!
•ž
4
2Œ
Ÿ
Ÿ
E
4
Ÿ
•. Zeigen oder widerlegen Sie, dass
Ÿ
aus v durch
Dieser Beweis wurde 1:1 in der Vorlesung auf 2 verschiede Varianten gezeigt. Eine Variante wurde von einem
Studenten vorgeschlagen und ist sehr gut, die andere Variante ist etwas ausführlicher.
Insgesamt sind hier 15P für einen einwandfreien Beweis mit Kommentaren zu vergeben.
oder
8 9XY=;WXYZ 1 X[Y Y für beliebige
wichtige Zwischenbehauptungen. Wie nennt man diese Formel?
b) Beweisen Sie die folgende Formel 1 #
X
Man nennt diese Formel Binomische Formel.
Behauptung: C # ‹
š
8 9š¡=;Wš¡Z C š[¡ ‹ ¡
Beweis mit vollständiger Induktion nach n:
Induktionsanfang: n = 1
Linke Seite: C # ‹ : 8 C # ‹
Rechte Seite: 9:¡=;W¡:Z C :[¡ ‹ ¡ 8 C # ‹
. Beweisen Sie ebenfalls
Linke Seite = rechte Seite
Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung sei nun für n schon bewiesen.
Induktionsschluss: [n n + 1 (z.z.)]
Es gilt: C # ‹ š_: 8 C # ‹ š C # ‹ 8 9š¡=;Wš¡ZC š[¡ ‹ ¡ S C # ‹ nach Induktionsvoraussetzung.
Mit distributiven Ausmultiplizieren folgt:
9š¡=;Wš¡ZC š[¡ ‹ ¡ S C # ‹ 8 9š¡=;Wš¡ZC š_:[¡ ‹ ¡ # 9š¡=;Wš¡ZC š[¡ ‹ ¡_:
Nach Indextransformation und Umnummerierung in der 2. Summe folgt:
š š[¡ ¡_:
8 C š_: # 9š¡=:Wš¡ZC š_:[¡ ‹ ¡ # 9š[:
‹
# ‹ š_:
¡=;W¡ ZC
š
•
•
8 C š_: # { ¢£ ¤ # £
¤¥ C š_:[¡ ‹ ¡ # ‹ š_:
“
“E,
¡=:
Nach Anwendung der Additionsformel für Binomialkoeffizienten und Indexverschiebung erhält man:
š
š_:
¡=:
¡=;
• # , š_:[¡ ¡
• # , š_:[¡ ¡
8 C š_: # { ¦
§C
‹ # ‹ š_: 8 { ¦
§C
‹
“
“
Beweis der Zwischenbehauptung 1:
š
Es soll folgendes gezeigt werden: Wš¡Z 8 Wš[¡
Z
Dazu wenden wir die Definition des Binomialkoeffizienten auf die rechte Seite an und prüfen, ob wir durch
geschickte Umformung die rechte Seite erhalten. Es wird ebenfalls die andere Richtung geprüft, um auf
eine Äquivalenz schließen zu können.
š
Es gilt: Wš[¡
Z8
š¨
š¨
š[¡ ¨ š[š_¡ ¨
š¨
š[¡ ¨ š[š_¡ ¨
8
¡¨ š[¡ ¨
// nach Def. des Binomialkoeffizienten
8 W©ªZ
// aufgrund der Körperaxiome und Def. des
Binomialkoeffizienten
š
Es sind nun beide Richtungen gezeigt. Dadurch gilt Wš¡Z 8 Wš[¡
Z
Beweis der Zwischenbehauptung 2:
š
Es soll folgendes gezeigt werden: W¡[:
Z # Wš¡Z 8 Wš_:
Z
¡
Dazu gegen wir ähnlich wie in Teilaufgabe b. vor. Wir wenden dabei die Definition des
Binomialkoeffizienten auf die linke Seite an.
š¨
š
Es gilt: W¡[:
Z # Wš¡Z 8
¡¨š¨
¡[: ¨ š[¡_: ¨¡¨
¡š¨
š[¡_: ¨¡¨
¡š¨
š[¡_: ¨¡¨
¡š¨
š[¡_: ¨¡¨
#
#
#
š¨ ¡_š[¡_:
š[¡_: ¨¡¨
¡[: ¨ š[¡_: ¨
š¨
#
¡¨ š[¡ ¨
š¨ š[¡_: ¨
š¨ š[¡_:
š¨ š[¡_:
¡¨ š[¡_: ¨
// da
8
š¨
¡¨ š[¡ ¨
¡¨
// erster Summand erweitert KS L
¡¨
// 1. Summand gekürzt u. 2. Summand erweitert KS
¡¨ š[¡ ¨ š[¡_: ¨
¡¨ š[¡_: ¨
#
š[¡_: ¨
š[¡ ¨
¡š¨_š¨ š[¡_:
š[¡_: ¨¡¨
8•E“#,
š[¡_: ¨
š[¡_: ¨
// beide Summanden auf einen Hauptnenner
zusammengefasst
// n! im Zähler nach Distributivgesetz ausgeklammert
L
š¨ š_:
š[¡_: ¨¡¨
š_: ¨
¡¨ š[¡_: ¨
8
š_: ¨
¡¨ š[¡_: ¨
8 Wš_:
Z
¡
// weil •¨ S • # , 8 • # , ¨
// nach Definition des Binomialkoeffizienten
Damit ist wieder einmal alles gezeigt.
Für die Benennung „Binomische Formel“ ist ein Punkt zu vergeben, für den korrekten Beweis mit Kommentaren
und beweisen Zwischenbehauptungen sind 14 Punkte zu vergeben. 15P.
---------------------------------Insgesamt hätte man 70 Punkte erreichen können.