1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichungen 1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichungen Isomorphie (2) Clique Definition 1.10. Es sei G = (V, E) ein Graph. Eine Knotenmenge U ⊆ V (bzw. der von U induzierte Untergraph G(U)) heißt Clique (clique) gdw. G(U) ein vollständiger Graph ist. Bemerkung 1.4. Zwei Graphen sind genau dann isomorph, wenn der eine Graph aus dem anderen Graphen durch Umbennenung der Knoten hervorgeht. Isomorphe Graphen haben die gleichen graphentheoretischen Eigenschaften. Die maximale Größe einer Clique in G wird mit ω(G) bezeichnet, d.h. ω(G) := max{|U| | U ist Clique in G} Beispiel 1.11. Tafel ✎. Beispiel 1.10. Die Knotenmenge {a, b, d, e} ist die größte Clique im Haus vom Nikolaus. Also: ω(Haus vom Nikolaus) = 4. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 1. Einführung 28 Grundbegriffe und Bezeichungen Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 1. Einführung 30 Grundbegriffe und Bezeichungen Isomorphie Bäume Definition 1.11. Zwei Graphen G1 = (V1, E1) und G2 = (V2, E2) heißen isomorph (isomorphic) gdw. es eine bijektive Abbildung ϕ : V1 −→ V2 gibt, so daß folgendes gilt: Definition 1.12. Es sei G = (V, E) ein Graph. G heißt Wald (forest) gdw. G keinen Kreis enthält. ∀v, w ∈ V1 : {v, w} ∈ E1 ⇐⇒ {ϕ(v), ϕ(w)} ∈ E2 G heißt Baum (tree) gdw. G ein Wald und zusammenhängend ist. Beispiel 1.12. Die Bäume mit fünf Knoten. Man nennt ϕ dann einen Isomorphismus von G1 auf G2 und schreibt ∼ G2 . G1 = Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 29 Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 31 1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichungen 1. Einführung Charakterisierung von Bäume Gerichtete Graphen Satz 1.5. Für einen Graphen G = (V, E) mit |V| = n sind die folgenden Aussagen äquivalent: • V, der Menge der Knoten und 2. je zwei Knoten von G sind durch genau einen Weg verbunden, • A, der Menge der gerichteten Kanten (arcs), die aus geordneten Paaren (v, w) mit v, w ∈ V, v 6= w besteht. 3. G ist zusammenhängend, aber für jede Kante e ∈ E ist G 0 = (V, E \ {e}) nicht zusammenhängend, Für eine gerichtete Kante a = (v, w) heißt v der Anfangsknoten (tail) und w der Endknoten (head) von a. 4. G ist zusammenhängend und hat genau n − 1 Kanten, 1. Einführung Für viele Anwendungen ist es sinnvoll, die Kanten mit einer Richtung zu versehen. Definition 1.13. Ein gerichteter Graph (directed graph) ist ein Paar G = (V, A) bestehend aus den Mengen 1. G ist ein Baum, Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 Grundbegriffe und Bezeichungen 32 Grundbegriffe und Bezeichungen 5. G ist kreisfrei und hat genau n − 1 Kanten, Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 1. Einführung 34 Grundbegriffe und Bezeichungen Bemerkung 1.5. Man kann ungerichtete Graphen als gerichtete Graphen betrachten, bei denen die Relation A symmetrisch ist. 6. G ist kreisfrei, aber für je zwei nicht adjazente Knoten v, w von G enthält G 00 = (V, E ∪ {v, w}) genau einen Kreis. Definition 1.14. Es sei G = (V, A) ein gerichteter Graph. Beweis. Tafel ✎. 2 • indeg(v) := |{(x, v)|(x, v) ∈ A}| heißt der Eingangsgrad von v ∈ V. • outdeg(v) := |{(v, y)|(v, y) ∈ A}| heißt der Ausgangsgrad von v ∈ V. • Ein gerichteter Kantenzug ist eine Folge (v0, . . . , vn) von Knoten mit ei := (vi−1, vi) ∈ A für i = 1, . . . , n. • Die Begriffe aus Definition 1.8 werden analog auf gerichtete Graphen übertragen. • Der einem gerichtete Graph G = (V, A) zugeordnete ungerichtete Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 33 Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 35 1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichungen 1. Einführung Darstellung von Graphen im Computer Graph G = (V, A ) ist definiert durch: {v, w} ∈ A gdw. (v, w) ∈ A oder (w, v) ∈ A. 0 0 0 • G heißt zusammenhängend gdw. der zugeordnete ungerichtete Graph G 0 zusammenhängend ist. • G heißt stark zusammenhängend gdw. es für je zwei Knoten v, w ∈ V einen gerichteten Weg von v nach w gibt. Lemma 1.6. Für einen gerichteten Graphen G = (V, A) gilt: X indeg(v) = v∈V X Adjazenzmatrix Definition 1.16. Gegeben sei ein Graph G = (V, E) mit V = {v1, . . . , vn}, n ≥ 1. Dann kann E in Form einer n×n-Matrix repräsentiert werden. Es sei 1 falls {vi, vj} ∈ E aij = 0 sonst AG = (aij)i,j∈{1,...,n} heißt die Adjazenzmatrix (adjacency matrix) von G. Bemerkung 1.6. AG ist symmetrisch und aii = 0, 1 ≤ i ≤ n. outdeg(v) Analog kann die Adjazenzmatrix für die Darstellung gerichteter Graphen verwendet werden. Sie ist dann i.d.R. nicht symmetrisch. v∈V Beispiel 1.13. Tafel ✎. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 36 1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichungen Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 1. Einführung Darstellung von Graphen im Computer Adjazenzmatrix (2) DAGs Definition 1.15. Ein gerichteter Graph G = (V, A) heißt DAG (dag, directed acyclic graph) gdw. G keinen einfachen gerichteten Kreis der Länge ≥ 2 enthält. v3 Beispiel 1.14. Der linke Graph ist ein DAG, der rechte nicht. c v2 c v4 G= b d b d v1 a e Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 38 a AG = 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 v5 e 37 Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 39 1. Einführung Darstellung von Graphen im Computer Adjazenzlisten Definition 1.17. Gegeben sei ein Graph G = (V, E) mit V = {v1, . . . , vn}, n ≥ 1. Dann kann E in Form einer Liste von n-Listen Ai repräsentiert werden. Für 1 ≤ i ≤ n seien vi1 , vi2 , . . . , vni die mit vi ∈ V adjazenten Knoten. Die Liste Ai = (vi1 , vi2 , . . . , vni ) heißt die Adjazenzliste von vi ∈ V. Die Liste LG = (A1, . . . , An) ist die Adjazenzlistendarstellung von G. Für einen gerichteten Graphen G = (V, A) enthält die Adjazenzliste Ai die Knoten w ∈ V, für die (vi, w) ∈ A gilt. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 40 1. Einführung Darstellung von Graphen im Computer Adjazenzlisten (2) v1 v2 v5 v2 v1 v3 v3 v2 v4 v4 v2 v3 v5 v1 v4 v3 LG = v2 v4 v4 v5 G= v1 v5 Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 41