7.1 Schnittwinkel zweier Geraden

96 r Schnittwinkel
7.1 Schnittwinkel zweier Geraden
Zwei Geraden g1 und g2, die sich schneiden,
haben einen Punkt S gemeinsam. Wählt man
diesen Punkt als Anfangspunkt für die beiden
Richtungsvektoren r1 und r2 der Geraden, so
ergibt sich der Schnittwinkel der beiden Geraden aus dem Winkel zwischen den beiden
Richtungsvektoren (vgl. erstes Bild rechts).
Dieser Winkel kann mithilfe des Skalarproduktes berechnet werden (vgl. Abschnitt 4.2):
cos α =
r1 ⋅ r2
 r1⋅ r2 
Je nach Richtung der Vektoren kann es aber
sein, dass diese Berechnung den stumpfen
Winkel β anstatt den spitzen Winkel α zwischen den beiden Geraden liefert (vgl. zweites Bild rechts). Um ein eindeutiges Ergebnis
zu erhalten, legt man fest, dass der Schnittwinkel zweier Geraden immer durch den
spitzen (bzw. rechten) Winkel α angegeben
wird. Rechnerisch erreicht man dies durch
die Betragsbildung.
Deshalb gilt folgende Regel:
Regel
Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
Für den Schnittwinkel 0° ≤ α ≤ 90° zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvek
toren r1 bzw. r2 gilt:
cos α =
r1 ⋅ r2
 r1⋅ r2 
=
 r1 ⋅ r2 
 r1⋅ r2 
Beweis: Wird durch das Skalarprodukt (Formel ohne Betragsstriche) der Winkel β
zwischen den beiden Geraden berechnet, der größer als 90° ist, dann erhält man
den Schnittwinkel α durch α = 180° – β. Daraus folgt:
cos α = cos(180° – β) = – cos β > 0 (für 90° < β < 180°)
Also ist cos α = | cos β |.
Gilt für den berechneten Winkel 0° ≤ β ≤ 90°, so ist natürlich ebenso
cos α = | cos β | > 0.
Schnittwinkel r 97
Beispiel
Gegeben sind die drei Punkte A(1 | 2 | 1), B(5 | 4 | –1) und C(3 | 2 | 7).
a) Bestimmen Sie die Schnittwinkel von jeweils zwei der Geraden gAB, gAC
bzw. gBC, die durch die Punkte A und B, A und C bzw. B und C führen.
b) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC.
Lösung:
a) Richtungsvektoren der drei Geraden:
 4  2  −2 
rAB =  2  ; rAC =  0  ; rBC =  −2 
 −2 
 6
 8
Für den Schnittwinkel zwischen den Geraden gAB und gAC gilt:
r ⋅ r 
cos ϕ1 = AB AC
=
 rAB ⋅ rAC 
 4  2
 2 ⋅  0
 −2   6 
   
 4
 2
 2 ⋅  0
 −2 
 6
 
 
=
| −4 |
24 ⋅ 40
=
4
960
⇒ ϕ1 ≈ 82, 6°
Für den Schnittwinkel zwischen den Geraden gAB und gBC ergibt sich
r ⋅ r 
cos ϕ 2 = AB BC
=
 rAB ⋅ rBC 
 4   −2 
 2  ⋅  −2 
 −2   8 
   
 4
 −2 
 2  ⋅  −2 
 −2 
 8
 
 
=
| − 28 |
24 ⋅ 72
=
28
1728
⇒ ϕ 2 ≈ 47, 7°
und für den Schnittwinkel zwischen gAC und gBC:
r ⋅ r 
cos ϕ3 = AC BC
=
 rAC ⋅ rBC 
CAS
 2   −2 
 0  ⋅  −2 
 6  8
   
 2
 −2 
 0  ⋅  −2 
 6
 8
 
 
=
Hinweise für den CAS-Einsatz:
Beispielhaft werden Winkel ϕ1
zwischen gAB und gAC und ϕ3
zwischen gAC und gBC auch mit
dem CAS-Rechner berechnet.
Dabei ist darauf zu achten, dass
die Berechnung im Gradmaß und
nicht im Bogenmaß stattfindet.
Als praktisch erweist es sich, die
Vektoren zunächst mit einem
Namen zu belegen.
Drückt man bei der Berechnung
von ϕ1 nur auf ·, so erhält
15
.
man als Ergebnis cos −1 30
( )
Erst durch Drücken der Taste Þ
werden die gewünschten Gradzahlen angezeigt:
ϕ1 ≈ 82,6° und ϕ3 ≈ 34,9°
| 44 |
40 ⋅ 72
=
44
2 880
⇒ ϕ3 ≈ 34,9°