Eingangstest Mathematik Viel Erfolg!

Eingangstest Mathematik
DHBW Mannheim
Fachbereich Technik
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Gesamtzeit: 120 Minuten
Gesamtpunktzahl: 120
Beachten Sie bitte folgende Punkte:
1. Der folgende Test umfasst neun Aufgabenblöcke.
2. Bei der Bearbeitung der Aufgaben sind Taschenrechner, Formelsammlungen und andere Hilfsmittel nicht zugelassen.
3. Bitte schreiben Sie leserlich. Unlesbare Antworten können nicht bewertet
werden.
4. Der Test ist umfangreich! Beachten Sie daher folgende Richtzeiten für die
einzelnen Abschnitte:
Abschnitt 1:
9 min Abschnitt 2:
Abschnitt 4: 10 min Abschnitt 5:
Abschnitt 7: 20 min Abschnitt 8:
12 min
10 min
18 min
Viel Erfolg!
Abschnitt 3:
Abschnitt 6:
Abschnitt 9:
10 min
12 min
15 min
DHBW Mannheim
Testklausur Mathematik
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Studiengang:
1. Arithmetik
1.1. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und Kürzen so weit wie möglich:
480
15
=
5
3
=
2(x−1)
x2 −1
=
2x+4
x2 +2x
=
4
2
+
1.2. (5 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und Kürzen so weit wie möglich:
A =
ab+2a2 − a
ac
c
a3 −ab − b3 −b2
a
b
2c
B =
6a2 +4ab
18a3 +24a2 b+8ab2
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Testklausur Mathematik
2. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
2.1. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich:
4+2
(4−2)2
1
4
=
· 24 (22 )
3
e2x · e−2x
(3x)3 · x 3
1
=
=
=
2.2. (3 Punkte) Vereinfachen Sie den Ausdruck
p
√
12 · x2 − y 2
√
−3 x+y
9x − 9y
2.3. (5 Punkte)
Für welchen ganzzahligen Exponenten n gilt: 10−n = 1000
Für welche ganzzahligen Exponenten n gilt: 3n ≥ 10
Was ist der Logarithmus von 16 zur Basis 2
Berechnen Sie log5 (0, 2)
Berechnen Sie ln (2e2 ) + ln
e
2
2.4. (2 Punkte) Bei einem Zellteilungsprozess teilt sich eine Zelle einmal pro
Stunde. Wieviele Zellen haben Sie nach 5 Stunden, wenn Sie mit einer Zellpopulation von 6 Zellen starten?
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Testklausur Mathematik
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3. Prozentrechnung
3.1. (2 Punkte) Sie legen 500 C an. Sie erhalten jeweils am Jahresende zuerst
2 % Zinsen und zahlen danach 10 C Kontoführungsgebühr pro Jahr. Wie groß
ist Ihr Guthaben nach 5 Jahren?
3.2. (2 Punkte) Wie groß ist Ihr Guthaben nach zwei Jahren, wenn Sie bei gleichen Gebühren und Anfangsbetrag wie in Aufgabe 3.1 einen Zinssatz von 10 %
pro Jahr erhalten?
3.3. (2 Punkte) Eine Zahl a ist 20 % kleiner als die Zahl b. Um wieviel % ist b
größer als a?
3.4. (4 Punkte) In einem Unternehmen arbeiten 88 Personen in der Produktion.
20% der Beschäftigten sind in der Verwaltung tätig und ein Viertel im Vertrieb.
Weitere Personen sind in dem Unternehmen nicht beschäftigt. Wieviele Personen
arbeiten insgesamt in dem Unternehmen?
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Testklausur Mathematik
4. Grenzwerte
4.1. (4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte
1
t→∞ t+1
lim
=
lim e−t =
t→∞
lim ln
t→0
t
t3 +t
lim n−1
n→∞ n+1
=
=
2
−4
mit maximalem Definiti4.2. (2 Punkte) Wir betrachten die Funktion f (x) = xx−2
onsbereich Df = R \ {2}. Wie muss f (2) definiert werden, damit daraus eine auf
ganz R stetige Funktion wird?
f (2) =
4.3. (3 Punkte) Für eine Zahl a bezeichnen wir mit bac den ganzzahligen Anteil
von a (also b4, 87c = 4 oder bπc = 3). Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen der
Funktion
9
f (x) = x − bxc
mit Definitionsbereich Df = 0,
.
2
4.4. (4 Punkte) Wir betrachten die Funktion y = f (x), die abschnittsweise definiert ist durch
2
x +1
für x ≥ 1
f (x) =
−x + c
für x < 1
Wie ist c zu wählen, damit diese Funktion stetig im Punkt 1 ist?
c=
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Testklausur Mathematik
5. Lineare Gleichungen
5.1. (4 Punkte)
Welche Lösung hat die lineare Gleichung
ax = 2b mit a 6= 0?
Welche Lösung hat das Gleichungssystem
4x = 2y und 2y = 4?
Ein Kilo Birnen kostet doppelt so viel wie ein Kilo Äpfel.
Zwei Kilo Äpfel kosten 4 C. Wieviel kosten 5 Kilo Birnen?
5.2. (4 Punkte) Ein Bauer besitzt dreimal soviele Schweine wie Kühe. Die Anzahl
seiner Hühner ist um 5 größer als das Fünffache der Anzahl der Schweine und
Kühe zusammen. Insgesamt hat der Bauer 125 Tiere. Wieviele Tiere jeder Art
befinden sich auf dem Bauernhof?
Kühe :
Schweine :
Hühner :
5.3. (3 Punkte) Für einen Mietwagenvertrag liegen Ihnen zwei Angebote vor:
Angebot 1 besteht aus einem Grundpreis von 200 C pro Woche und einer Kilometerpauschaule von 1,00 C pro gefahrenem Kilometer. Angebot 2 sieht einen
Pauschalpreis von 50 C pro Tag vor (mit unbegrenzten Freikilometern). Wieviele
Kilometer müssen Sie pro Woche mindestens fahren, damit sich Angebot 2 lohnt?
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Testklausur Mathematik
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6. Quadratische Gleichungen
6.1. (2 Punkte) Bestimmen Sie die Lösungen der quadratischen Gleichung
x2 − 4x + 3 = 0
6.2. (2 Punkte) Was ist das Ergebnis der Polynomdivision
x3 − x2 − 3x + 2 : (x − 2)
6.3. (2 Punkte) Ein rechteckiges Grundstück ist doppelt so lang wie breit. Seine
Fläche beträgt 800 m2 . Wie lang und wie breit ist das Grundstück?
Länge =
Breite =
6.4. (3 Punkte) Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist
um 25 größer als die kleinere der beiden Zahlen. Um welche Zahlen handelt es
sich?
6.5. (4 Punkte) Die Summe der Quadrate zweier positiver Zahlen, von denen
die eine um 2 größer ist als die andere, ist 290. Bestimmen Sie die kleinere der
beiden Zahlen.
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Testklausur Mathematik
7. Trigonometrie und Geometrie
7.1. (2 Punkte) Die Werte trigonometrischer Funktionen lassen sich im Einheitskreis als Abschnitte bestimmter Geraden konstruieren. Zeichnen Sie die Abschnitte für sin(60◦ ) und cos(60◦ ) ein.
y
1
60◦
1
x
7.2. (4 Punkte) Bestimmen Sie für die folgenden Ausdrücke, ob sie positiv (+)
oder negativ (-) sind oder ob sie verschwinden (0):
sin(40◦ )
cos(105◦ )
cos(225◦ )
sin(300◦ )
7.3. (1 Punkte) Mit welcher Gleichung berechnet man den Winkel α in diesem
Dreieck
c
a
α
b
•
2 tan α = cb .
2 sin α = cb .
2 cos α = cb .
2 cot α = cb .
7.4. (1 Punkte) Welcher der Ausdrücke sin(10◦ ), cos(10◦ ), sin(10◦ )2 , cos(10◦ )2 lierfert den größten Wert?
7.5. (3 Punkte) Bestimmen Sie alle Zahlen x ∈ [0, 5] für die sin x −
π
4
= 1 gilt
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Testklausur Mathematik
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7.6. (4 Punkte) Bei einem Sonnenstand von 30◦ zum Horizont wirft ein Kirchturm
einen Schatten von 52 m. Wie hoch ist der Kirchturm (gerundet auf ganze Meter)?
7.7. (4 Punkte) Bestimmen Sie Mittelpunkt m und Radius r des Kreises, der
durch die Gleichung
x2 + y 2 − 4x + 2y = 4
beschreiben wird.
m=
r=
7.8. (2 Punkte) Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, das einen spitzen Winkel
von 45◦ enthält. Die Ankathete an diesen Winkel ist 6 cm lang. Berechnen Sie den
Flächeninhalt dieses Dreiecks.
7.9. (2 Punkte) Ein 1, 00 m hoher, vertikal eingeschlagener Stab wirft einen Schatten von 1, 40 m. Wie hoch ist ein Baum, dessen Schatten zur selben Zeit 11, 20 m
hoch ist?
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Testklausur Mathematik
8. Elementare Funktionen
8.1. (2 Punkte) Lesen Sie aus dem nachfolgenden Graphen die Funktionsgleichung y(x) in Abhängigkeit von den eingezeichneten Werten ab, wenn sich die
Koordinatenachsen im Punkt (0, 0) schneiden.
y
4
x
-5
8.2. (2 Punkte) Der Graph einer Funktion y = f (x) hat die folgenden Gestalt:
y
1
1
x
Um welche Funktion handelt es sich?
2 y = x2 + 2x + 3.
2 y = 2x − 1.
2 y = −x2 + 2x.
2 y = ex−1 .
2 y = x2 − 2x + 2.
8.3. (2 Punkte) Die Funktion y = x2 +ax+b beschreibt einen nach oben geöffnete
Normalparabel mit Scheitel im Punkt (−1, −1). Bestimmen Sie a und b.
a =
b =
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Testklausur Mathematik
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8.4. (3 Punkte) Gegeben ist die Funktion f (x) =
x
.
x2 −2x+1
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion
Df =
b) Wie verhält sich der Graph von f (x), wenn x gegen +∞ geht?
lim f (x) =
x→∞
8.5. (4 Punkte) Eine Kugel wird senkrecht nach oben geworfen. Ihre Höhe h in
Metern zum Zeitpunkt t (in Sekunden) berechnet sich nach der Formel
h = 28t − 2t2
a) In welcher Höhe befindet sich die Kugel nach 3 Sekunden?
h=
b) Was ist die höchste Höhe, die erreicht wird, und nach wieviel Sekunden wird
sie erreicht?
hmax =
tmax =
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Testklausur Mathematik
8.6. (2 Punkte) Welches der folgenden Bilder beschreibt den Graphen der Funktion
y = ln(x2 + 1)
Abbildung 8.1:
Abbildung 8.2:
y
y
1
1
1
1
x
Abbildung 8.3:
x
Abbildung 8.4:
y
y
1
1
1
x
1
x
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Testklausur Mathematik
9. Logik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
9.1. (1 Punkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine
”6” zu würfeln?
9.2. (2 Punkte) Wie oft muss eine Münze (mit Wappen und Zahl) geworfen werden, damit mit mindestens 80%–iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine
Zahl vorkommt?
9.3. (2 Punkte) Zwei eineiige Zwillinge besitzen zusammen sieben Hemden. Wieviele Tage hintereinander können die beiden mit jeweils verschiedenen Hemdkombinationen aus dem Haus gehen?
9.4. (2 Punkte) Für alle Elemente x einer Menge M ⊆ R gilt x2 > 30. Muss dann
schon x > 5 für alle x ∈ M gelten? Begründen Sie Ihre Antwort.
2 ja.
2 nein.
9.5. (3 Punkte) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
1+2+···+n =
n(n + 1)
2
für alle n ≥ 1.
9.6. (1 Punkte) Anton sagt: ”Bertram lügt”, Bertram sagt ”Claus lügt” und Claus
sagt ”Anton und Bertram lügen”. Wer von den dreien sagt die Wahrheit?