Eingangstest Mathematik Musterlösungen

Fakultät für Technik
Eingangstest
Mathematik
Musterlösungen
© 2010 Fakultät für Technik DHBW Mannheim
DHBW Mannheim
Eingangstest Mathematik
Name:
1. Arithmetik
1.1. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und Kürzen so weit wie möglich:
480
15
4
2
+ 53
2(x−1)
x2 −1
2x+4
x2 +2x
=
=
32⋅3⋅5
3⋅5
=
4⋅3
6
=
+ 5⋅2
6
2(x−1)
(x+1)(x−1)
=
32
=
11
3
2
x+1
2
x
=
=
2(x+2)
x(x+2)
(= 3 32 )
1.2. (5 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und Kürzen so weit wie möglich:
A =
B =
ab+2a2 − a
ac
c
a3 −ab − b3 −b2
a
b
2c
=
2(b+a)
a2 −b2
=
=
a(b+2a) a
ac − c )
2
a(a −b) b(b2 −b)
− b
a
2c⋅(
2(a+b)
(a−b)(a+b)
6a2 +4ab
18a3 +24a2 b+8ab2
=
=
=
2(b+2a−a)
a2 −b−b2 +b
2a(3a+2b)
2a(9a2 −12ab+4b2 )
=
2
a−b
=
3a+2b
(3a+2b)2
=
1
3a+2b
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Eingangstest Mathematik
Name:
2. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
2.1. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich:
4+2
(4−2)2
1
4
⋅ 24 (22 )
3
e2x ⋅ e−2x
(3x) ⋅ x 3
3
1
=
=
6
4
= 2−2 ⋅ 24 ⋅ 26 =
= e2x−2x
= 27x3+ 3
1
=
=
3
2
28 = 256
1
10
27x 3
(= 1 12 = 1, 5)
(= 27x3 3 )
1
2.2. (3 Punkte) Vereinfachen Sie den Ausdruck
√
12 ⋅ x2 − y 2
√
√
−3 x+y =
9x − 9y
√
√
√
√
√
12 x2 − y 2
x2 − y 2
x2 − y 2
x+y⋅ x−y
=
−3
=4 √
−3 √
=
√
√
3 x−y
x−y
x−y
x−y
√
√
x2 − y 2
(x + y)(x − y)
= √
=
=
x−y
x−y
√
x+y
2.3. (5 Punkte)
Für welchen ganzzahligen Exponenten n gilt:
10−n = 1000
Für welche ganzzahligen Exponenten n gilt: 3n ≥ 10
Was ist der Logarithmus von 16 zur Basis 2
Berechnen Sie log5 (0,2)
Berechnen Sie ln (2e2 ) + ln ( 2e )
n = −3 (= 10−(−3) )
n ≥ 3 (32 = 9; 33 = 27)
4 (16 = 24 ⇒ log2(16) = 4)
−1 (0, 2 = 15 = 5−1 )
3 (= ln(2e2 ⋅ 2e ) = ln(e3 ) = 3)
2.4. (2 Punkte) Bei einem Zellteilungsprozess teilt sich eine Zelle einmal pro
Stunde. Wie viele Zellen haben Sie nach 5 Stunden, wenn Sie mit einer Zellpopulation von 6 Zellen starten?
(((((6 ⋅ 2) ⋅ 2) ⋅ 2) ⋅ 2) ⋅ 2 = 6 ⋅ 25 =
192
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Name:
3. Prozentrechnung
3.1. (2 Punkte) Sie legen 500 C an. Sie erhalten jeweils am Jahresende zuerst
2 % Zinsen und zahlen danach 10 C Kontoführungsgebühr pro Jahr. Wie groß
ist Ihr Guthaben nach 5 Jahren?
500 + 0, 02 ⋅ 500 − 10 = 500 Euro, das bleibt in den fünf Jahren gleich.
500
3.2. (2 Punkte) Wie groß ist Ihr Guthaben nach zwei Jahren, wenn Sie bei gleichen Gebühren und Anfangsbetrag wie in Aufgabe 3.1 einen Zinssatz von 10 %
pro Jahr erhalten?
1. Jahr: 500 ⋅ (1 + 0, 1) − 10 = 540 Euro
2. Jahr: 540 ⋅ (1 + 0, 1) − 10 = 584 Euro
10
10
oder: 500 ⋅ (1 + 0, 1 − 500
= 584 Euro
) ⋅ (1 + 0, 1 − 500⋅(1+0,1−
10
)
500
584
3.3. (2 Punkte) Eine Zahl a ist 20 % kleiner als die Zahl b. Um wie viele Prozent
ist b größer als a?
a
a = b ⋅ (1 − 0, 2) ⇒ b = 0,8
= 1, 25 a = a + 0, 25 a
⇒ b ist um 25% größer als a
25 %
3.4. (4 Punkte) In einem Unternehmen arbeiten 88 Personen in der Produktion.
20 % der Beschäftigten sind in der Verwaltung tätig und ein Viertel im Vertrieb.
Weitere Personen sind in dem Unternehmen nicht beschäftigt. Wie viele Personen arbeiten insgesamt in dem Unternehmen?
Ansatz: In Verwaltung und Vertrieb arbeiten 45 % der N Beschäftigten
⇒ 88 Personen in der Produktion entsprechen 55 %, also 0, 55 ⋅ N = 88
88
⇒ 0,55
= 100 ⋅ 8⋅11
5⋅11 = 100 ⋅ 1, 6 = 160 = N Beschäftigte insgesamt.
160
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Name:
4. Grenzwerte
4.1. (4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte
lim 1
t→∞ t+1
lim e−t = lim
1
t
t→∞ e
t→∞
=
=
lim ln ( t3t+t ) = lim ln ( t21+1 ) = lim ln (1) =
0
t→0
0
t→0
lim n−1
n→∞ n+1
= lim
t→0
1−1/n
n→∞ 1+1/n
=
1
1
=
0
1
−4
mit maximalem Defini4.2. (2 Punkte) Wir betrachten die Funktion f (x) = xx−2
tionsbereich Df = R ∖ {2}. Wie muss f (2) definiert werden, so dass daraus eine
auf ganz R stetige Funktion wird?
f (x) =
x2 −4
x−2
=
(x−2)(x+2)
x−2
2
= x+2 ⇒
f (2) =
4
4.3. (3 Punkte) Für eine Zahl a bezeichnen wir mit ⌊a⌋ den ganzzahligen Anteil
von a (also ⌊4, 87⌋ = 4 oder ⌊π⌋ = 3). Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen der
Funktion (”Sägezahnfunktion”)
f (x) = x − ⌊x⌋
y
mit Definitionsbereich Df = [ 0,
9
].
2
y = f (x)
1
1
2
3
4
x
{1, 2, 3, 4}
4.4. (4 Punkte) Wir betrachten die Funktion y = f (x), die abschnittsweise definiert ist durch
x2 + 1
für x ≥ 1
f (x) = {
−x + c
für x < 1
Wie ist c zu wählen, damit diese Funktion stetig im Punkt 1 ist?
linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert
⇒ an der Stelle x = 1 muss gelten x2 + 1 = −x + c
c=
3
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Name:
5. Lineare Gleichungen
5.1. (4 Punkte)
x=
Welche Lösung hat die lineare Gleichung
ax = 2b mit a ≠ 0?
Welche Lösung hat das Gleichungssystem
4x = 2y und 2y = 4?
Ein Kilo Birnen kostet doppelt so viel wie ein Kilo Äpfel.
Zwei Kilo Äpfel kosten 4 C. Wie viel kosten 5 Kilo Birnen?
1 ⋅ B = 2 ⋅ A und 2 ⋅ A = 4e
⇒ 5 ⋅ B = 5 ⋅ 2 ⋅ A = 5 ⋅ 4e = 20e
2b
a
x = 1, y = 2
20
5.2. (4 Punkte) Ein Bauer besitzt dreimal so viele Schweine wie Kühe. Die Anzahl
seiner Hühner ist um 5 größer als das Fünffache der Anzahl der Schweine und
Kühe zusammen. Insgesamt hat der Bauer 125 Tiere. Wie viele Tiere jeder Art
befinden sich auf dem Bauernhof?
K ist die Anzahl der Kühe, S die der Schweine und H die der Hühner.
S = 3⋅K
H = 5 ⋅ (S + K) + 5
125 = K + S + H = K + 3K + 5(3K + k) + 5 = 24K + 5
⇒ K = 120/24
Kühe ∶
Schweine ∶
Hühner ∶
5
15
105
5.3. (3 Punkte) Für einen Mietwagenvertrag liegen Ihnen zwei Angebote vor:
Angebot 1 besteht aus einem Grundpreis von 200 C pro Woche und einer Kilometerpauschaule von 1,00 C pro gefahrenem Kilometer. Angebot 2 sieht einen
Pauschalpreis von 50 C pro Tag vor (mit unbegrenzten Freikilometern). Wie viele Kilometer müssen Sie pro Woche mindestens fahren, damit sich Angebot 2
lohnt?
Ansatz: 200 + x > 7 ⋅ 50 ⇒ x > 350 − 200 = 150, also ab 151 km lohnt es sich.
151
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Name:
6. Quadratische Gleichungen
6.1. (2 Punkte) Bestimmen Sie die Lösungen der quadratischen Gleichung
x1/2 =
4±
x2 − 4x + 3 = 0
√
√
16 − 4 ⋅ 3
4
4 2
oder x1/2 = ± ( ) − 3
2
2
2
6.2. (2 Punkte) Was ist das Ergebnis der Polynomdivision
( x3 − x2 − 3x + 2 ) ∶ (x − 2) = x2 + x − 1
− x3 + 2x2
x2 − 3x
− x2 + 2x
−x+2
x−2
0
x1 = 1, x2 = 3
x2 + x − 1
6.3. (2 Punkte) Ein rechteckiges Grundstück ist doppelt so lang wie breit. Seine
Fläche beträgt 800 m2 . Wie lang und wie breit ist das Grundstück?
√
√
A = a ⋅ b = (2b) ⋅ b ⇒ b = A2 = 400
Länge =
Breite =
40 m
20 m
6.4. (3 Punkte) Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist
um 25 größer als die kleinere der beiden Zahlen. Um welche Zahlen handelt es
sich?
x(x + 1) = x + 25 ⇒ x2 = 25 ⇒ x = ( ± ) 5
5, 6
6.5. (4 Punkte) Die Summe der Quadrate zweier positiver Zahlen, von denen
die eine um 2 größer ist als die andere, ist 290. Bestimmen Sie die kleinere der
beiden Zahlen.
x2 + (x + 2)2 = 290 ⇒ x2 + x2 + 4x + 4 = 290 ⇒ 2x2 + 4x − 286 = 0 oder x2 + 2x − 143 = 0
√
√
⎧
⎪
−4 ± 42 + 4 ⋅ 2 ⋅ 286
2
2 2
⎪11
⇒ x1/2 =
oder x1/2 = − ± ( ) + 143 = ⎨
⎪
2⋅2
2
2
⎪
⎩−13
x = 11
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Name:
7. Trigonometrie und Geometrie
7.1. (2 Punkte) Die Werte trigonometrischer Funktionen lassen sich im Einheitskreis als Abschnitte bestimmter Geraden konstruieren. Zeichnen Sie die Abschnitte für sin(60○ ) und cos(60○ ) ein.
y
1
60○
sin(60○ )
cos(60○ )
1
x
7.2. (4 Punkte) Bestimmen Sie für die folgenden Ausdrücke, ob sie positiv (+)
oder negativ (-) sind oder ob sie verschwinden (0):
sin(40○ )
cos(105○ )
+
−
cos(225○ )
−
−
sin(300○ )
7.3. (1 Punkte) Mit welcher Gleichung berechnet man den Winkel α in diesem
Dreieck
c
a
α
◻ tan α = bc .
b
●
◻ sin α = bc .
cos α = cb .
2
◻ cot α = bc .
7.4. (1 Punkte) Welcher der Ausdrücke sin(10○ ), cos(10○ ), (sin(10○ )) , (cos(10○ ))
liefert den größten Wert?
2
2
sin(10○ ) ≈ 0, 174; cos(10○ ) ≈ 0, 985; (sin(10○ )) ≈ 0, 030; (cos(10○ )) ≈ 0, 970
2
cos(10○)
7.5. (3 Punkte) Bestimmen Sie alle Zahlen x ∈ [0, 5] für die sin (x − π4 ) = 1 gilt
sin (x − π4 ) = 1 ⇐⇒ x − π4 = π2 + 2 ⋅ k ⋅ π
x=
3π
4
2
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Name:
7.6. (4 Punkte) Bei einem Sonnenstand von 30○ zum Horizont wirft ein Kirchturm
einen Schatten von 52 m. Wie hoch ist der Kirchturm (gerundet auf ganze Meter)?
H
x
30○
52
Ist x die gesuchte Höhe und H die Länge der Hypotenuse, so gilt:
x
tan(30○ ) = 52
, oder cos(30○ ) ⋅ H = 52; sin(30○ ) ⋅ H = x
√
√
Mit tan(30○ ) = 31 3 ≈ 0, 57 bzw. cos(30○ ) = 12 3 ≈ 0, 87 bzw. sin(30○ ) = 0, 5 folgt:
30 m
7.7. (4 Punkte) Bestimmen Sie Mittelpunkt M und Radius r des Kreises, der
durch die Gleichung
x2 + y 2 − 4x + 2y = 4
beschrieben wird.
Allg. Kreisgleichung: (x − xM )2 + (y − yM )2 = r 2
Diese erhält man durch quadratische Ergänzung:
x2 + x2 − 4x + 2y − 4 = (x2 − 4x + 4) + (y 2 + 2y + 1) − 4 − 5 = (x − 2)2 + (y + 1)2 − 9
M=
(2; −1)
r=
3
7.8. (2 Punkte) Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, das einen spitzen Winkel
von 45○ enthält. Die Ankathete an diesen Winkel ist 6 cm lang. Berechnen Sie den
Flächeninhalt dieses Dreiecks.
A = 12 ⋅ (6 cm)2
18 cm2
7.9. (2 Punkte) Ein 1, 00 m hoher, vertikal eingeschlagener Stab wirft einen Schatten von 1, 40 m. Wie hoch ist ein Baum, dessen Schatten zur selben Zeit 11, 20 m
lang ist?
1m
x
11, 2
=
⇒x=
m = 8m
1, 40 m 11, 20 m
1, 4
8m
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Name:
8. Elementare Funktionen
8.1. (2 Punkte) Lesen Sie aus dem nachfolgenden Graphen die Funktionsgleichung y(x) in Abhängigkeit von den eingezeichneten Werten ab.
y
4
-5
0
x
Geradengleichung: y = mx + b, y-Achsenabschnitt b = 4, Steigung m =
y(x) =
∆y
∆x
=
4
5
4
5x + 4
8.2. (2 Punkte) Der Graph einer Funktion y = f (x) hat die folgenden Gestalt:
y
1
1
x
Um welche Funktion handelt es sich?
◻ y = x2 + 2x + 3.
◻ y = 2x − 1.
◻ y = −x2 + 2x.
◻ y = ex−1 .
y = x2 − 2x + 2.
2
8.3. (3 Punkte) Die Funktion y = x2 + ax + b beschreibt eine nach oben geöffnete
Normalparabel mit Scheitel im Punkt (−1, −1). Bestimmen Sie a und b.
Scheitelpunktform der Normalparabel: (x − xS )2 + yS = 0 (x + 1)2 − 1 = x2 + 2x + 0 =
x2 + ax + b
a =
b =
2
0
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Eingangstest Mathematik
Name:
8.4. (3 Punkte) Gegeben ist die Funktion f (x) =
x
x2 −2x+1 .
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion (2 Pkt.)
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 ≠ 0
Df =
R ∖ {1}
b) Wie verhält sich der Graph von f (x), wenn x gegen +∞ geht? (1 Pkt.)
lim
x→∞
x2
x
1/x
0
= lim
=
2
x→∞
− 2x + 1
1 − (2/x) + (1/x ) 1 − 0 + 0
lim f (x) =
0
x→∞
8.5. (4 Punkte) Eine Kugel wird senkrecht nach oben geworfen. Ihre Höhe h (in
Metern) zum Zeitpunkt t (in Sekunden) berechnet sich nach der Formel
h = 28t − 2t2
a) In welcher Höhe befindet sich die Kugel nach 3 Sekunden? (1 Pkt.)
h(3) = 28 ⋅ 3 − 2 ⋅ 9
h=
66 m
b) Was ist die höchste Höhe, die erreicht wird, und nach wie viel Sekunden
wird sie erreicht? (3 Pkt.)
Scheitelpunktform der allgemeinen Parabel: a(x − xS )2 + yS = 0
Quadratische Ergänzung: −2t2 + 28t = −2(t − 7)2 + 98 = 0
Oder: Ableiten der Funktion: h′ = −4t + 28 = 0 ⇒ t = 7
⇒ h(7) = −2 ⋅ 49 + 28 ⋅ 7 = 98
hmax =
98 m
tmax =
7s
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Name:
8.6. (2 Punkte) Welches der folgenden Bilder beschreibt den Graphen der Funktion
y = ln(x2 + 1)
8.1
Abbildung 8.1: f (x) = ln(x2 + 1)
y
1
Abbildung 8.2: f (x) = ln(x); x > 0
y
1
1
Abbildung 8.3: f (x) =
1
x
x
Abbildung 8.4: f (x) = 12 ⋅ xx2−5x
+1
4x2
x4 +1
3
y
y
1
1
1
x
1
x
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Eingangstest Mathematik
Name:
9. Logik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
9.1. (1 Punkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel zweimal
hintereinander eine ”6” zu würfeln?
P = 61 ⋅ 61 =
1
36
1
36
bzw.
100
36
%
9.2. (2 Punkte) Wie oft muss eine Münze (mit Wappen und Zahl) geworfen werden, damit mit mindestens 80 %–iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine
Zahl vorkommt?
1 − 0,5n ≥ 0,8 ⇒ 0, 5n < 0, 2. 0, 52 = 0, 25 > 0, 2, 0, 53 = 0, 125 < 0, 2
n = 3–mal
9.3. (2 Punkte) In einem Topf befinden sich sieben Zettel mit den Ziffern 1, . . . , 7.
Anna zieht zwei Zettel und legt sie in aufsteigender Reihenfolge der Ziffern aneinander. Wie viele zweistellige Zahlen kann Sie auf diese Art und Weise bekommen?
N=
7!
(7−2)!⋅2!
=
7⋅6
2
= 21
21
9.4. (2 Punkte) Für alle Elemente x einer Menge M ⊆ R gilt x2 > 30. Muss dann
schon x > 5 für alle x ∈ M gelten? Begründen Sie Ihre Antwort.
◻ ja.
√
nein. Da auch für Werte x < − 30 gilt x2 > 30; falsch ist die Begründung,
2
dass etwa 5,12 < 30. Es ist nämlich nicht danach gefragt, ob für alle Zahlen
x > 5 schon gilt x2 > 30, sondern ob alle Zahlen, deren Quadrat größer als
30 ist schon größer als 5 sein müssen.
9.5. (3 Punkte) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
1+2+⋯+n =
n(n + 1)
2
n = 1: linke Seite = 1; rechte Seite = 1⋅2
2 = 1.
n → n + 1: Induktionsannahme: 1 + 2 + ⋯ + n =
1+2+⋯+n+n+1 =
=
=
für alle n ≥ 1.
n(n+1)
2
n(n+1)
+n+1
2
n(n+1)+2(n+1)
2
(n+1)((n+1)+1
2
Ind. Ann.
9.6. (1 Punkte) Anton sagt: ”Bertram lügt”, Bertram sagt ”Claus lügt” und Claus
sagt ”Anton und Bertram lügen”. Wer von den dreien sagt die Wahrheit?
Bertram
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Name:
Mittels Ausschlussverfahren:
Annahme 1: Anton sagt die Wahrheit ⇐⇒ Bertram lügt ⇐⇒ Claus sagt die
Wahrheit ⇐⇒ Anton lügt ☇
Annahme 2: Bertram sagt die Wahrheit ⇐⇒ Claus lügt ⇐⇒ Anton oder/und
Bertram sagen die Wahrheit ✓
Annahme 3: Claus sagt die Wahrheit ⇐⇒ Anton lügt und Bertram lügt. Doch da
Anton lügt ⇐⇒ Bertram sagt die Wahrheit ⇐⇒ Widerspruch zu Bertram lügt.
Oder mittels Wahrheitstafel:
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
f
w
f
w
w
f
f
C
w
w
f
f
w
f
w
f
A ⇔ ¬B
w
f
w
f
w
w
f
f
B ⇔ ¬C
f
f
w
w
f
w
f
w
C ⇔ ¬A¬B
f
w
f
f
f
w
w
w