Mathe lernen mit Paul

Mathe lernen
mit Paul
Die kleine Formelsammlung
in
utsche
Mit Gostenlose n
k
e
für 2
stund
richts
r
e
t
n
U
2
Mathe lernen mit Paul
Inhalt
Algebra
Maße und Gewichte
4
Grundrechenarten
5
Bruchrechnung
6
Potenzen und Wurzeln
7
Prozentrechnung
8
Zinsrechnung
9
Zinsrechnung, Dreisatz
10
Quadratische Gleichungen
11
Logarithmen/Wahrscheinlichkeitsrechnung
12
Geometrie
Strahlensätze
13
Winkelarten
14
Winkel an geschnittenen Geraden
15
Dreieck
16
Flächenberechnung
18
Kreis und Linien
19
Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt
20
Körperberechnung
21
Trigonometrie
23
© 2007 ZGS Schülerhilfe GmbH, Stand: Februar 2007
3
4
Algebra – Maße und Gewichte
Längenmaße:
1 Meter (m) = 100 Zentimeter (cm) = 1.000 Millimeter (mm)
1 Kilometer (km) = 1.000 m
1 Dezimeter (dm) = 10 cm
1 cm = 10 mm
Flächenmaße:
1 Quadratmeter (m2) = 100 Quadratdezimeter (dm2)
1 Ar (a) = 100 m2
1 Hektar (ha) = 100 a = 10.000 m2
1 Quadratkilometer (km2) = 100 ha = 10.000 a = 1.000.000 m2
Körpermaße:
1 Kubikmeter (m3) = 1.000 Kubikdezimeter (dm3)
1 dm3 = 1.000 Kubikzentimeter (cm3)
1 cm3 = 1.000 Kubikmillimeter (mm3)
Hohlmaße:
1 m3 = 10 Hektoliter (hl) = 1.000 Liter (l) 1 l = 10 dl
1 hl = 100 l = 1.000 Deziliter (dl)
Gewichte:
1 Gramm (g) = 1.000 Milligramm (mg)
1 Kilogramm (kg) = 1.000 g
1 Tonne (t) = 1.000 kg
1 Pfund = 500 g = 0,5 kg
1 Unze = 28,35 g
Dezimale Vielfache und dezimale Teile:
106 Mega (M), 103 Kilo (k), 102 Hekto (h), 101 Deka (da),
10 –1 Dezi (d), 10 –2 Zenti (c), 10 –3 Milli (m), 10 –6 Mikro (µ)
Grundrechenarten
5
Grundrechenarten
Addition:
a+b=c
(Summand + Summand = Summe)
Subtraktion:
a–b=c
(Minuend – Subtrahend = Differenz)
Multiplikation:
a·b=c
(Faktor · Faktor = Produkt)
Division:
a:b=c
(Dividend : Divisor = Quotient) b 0
Rechengesetze
Addition
Multiplikation
Kommutativgesetze:
a+b=b+a
a·b=b·a
Assoziativgesetze:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz:
a · (b + c)
a·b+a·c
=
6
Bruchrechnung
Bruchrechnung
Erweitern:
a a·c
=
b b·c
Kürzen:
a·c a
=
b·c b
Multiplikation:
a c ac
· =
b d bd
Division:
a c ad
: =
b d bc
Addition,
Subtraktion:
a c ad ± cb
± =
b d
bd
Merke: Erweitere Brüche so, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben.
Addiere bzw. subtrahiere dann die Zähler.
Potenzen und Wurzeln
7
Potenzen und Wurzeln
Definitionen:
Potenz:
an = a · a · a · a · a ·…· a Speziell: a1 = a, a0 = 1, (a 0)
Wurzel:
√
2 −2 √−2
√−
n
x = a ↔ an = x; x ≥ 0, n
a = a = |a|
Zusammenhänge:
an · ap = an+p
an : ap = an–p
(an)p = an·p
an · bn = (ab)n
an : bn = (a : b)n
1 n√−
an = a
an =
a–n =
1
an
p
√−−
n
p
a
p
1
a– n = n√−−
ap
8
Prozentrechnung
Prozentwertberechnung
Gegeben: Prozentsatz (p), Grundwert (G)
Lösung:
100 % → G
1. Satz:
p→x
2. Satz:
1 % → G : 100
3. Satz:
(G : 100) · p = W
Gesucht: Prozentwert (W)
Prozentformel:
G·p
=W
100
Prozentsatzberechnung
Gegeben: Prozentwert (W), Grundwert (G)
Lösung:
G → 100 %
1. Satz:
W→ x
2. Satz:
1 → 100 : G
3. Satz:
(100 : G) · W = p
Gesucht: Prozentsatz (p)
Prozentformel:
W · 100
=p
G
Grundwertberechnung
Gegeben: Prozentsatz (p), Prozentwert (W) Gesucht: Grundwert (G)
W · 100
=G
p
Lösung:
p→W
1. Satz:
100 % → x 2. Satz: 1 % → W : p 3. Satz: (W : p) · 100 = G
Prozentformel:
Vermehrter Grundwert
Gegeben: Prozentsatz (p), Grundwert (G)
Lösung:
(100 + p) · G
= G+
100
Gesucht: vermehrter
Grundwert (G+ )
Zinsrechnung
9
Zinsberechnung
Gegeben: Kapital (K), Zinssatz (p), Zeit (t)
Lösung:
Gesucht: Zinsen (Z)
K·p·t
= Z für t = Zeit in Jahren
100
K·p·t
= Z für t = Zeit in Monaten
12 · 100
K·p·t
= Z für t = Zeit in Tagen
360 · 100
Zinssatzberechnung
Gegeben: Kapital (K), Zinsen (Z), Zeit (t)
Lösung:
Gesucht: Zinssatz (p)
Z · 100
= p für t = Zeit in Jahren
K·t
Z · 12 · 100
= p für t = Zeit in Monaten
K·t
Z · 360 · 100
= p für t = Zeit in Tagen
K·t
Kapitalberechnung
Gegeben: Zinsen (Z), Zinssatz (p), Zeit (t)
Lösung:
Z · 100
p·t
= K für t = Zeit in Jahren
Z · 12 · 100
= K für t = Zeit in Monaten
p·t
Z · 360 · 100
= K für t = Zeit in Tagen
p·t
Gesucht: Kapital (K)
10 Zinsrechnung, Dreisatz
Zinseszinsberechnung
Zinseszinsen (Endwert Kn des Anfangskapitals K0 nach n Jahren)
(100 + p) n
Ig Kn – Ig K0
Lösung: Kn = K0 · q n = K0 ·
n =
100
Ig q
Dreisatz
Verfahren bei
Beispiel:
direkter Proportionalität:
Beim Backen benötigt man für 5 kg
Schluss vom Wert
der bekannten Mehrheit
Brot 4.000 g Mehl. Wie viel Mehl
benötigt man für 3 kg Brot?
5 kg ^
= 4.000 g
→ auf den Wert für eine
(Mengen-)Einheit und
→ von dieser Einheit
5:
3·
auf die gesuchte Mehrheit
1 kg ^
= 800 g
3 kg ^
= 2.400 g
:5
·3
Verfahren bei
Beispiel:
indirekter Proportionalität:
6 Schüler benötigen 21 Stunden für
Schluss vom Wert
der bekannten Mehrheit
→ auf den Wert für eine
das Streichen eines Raumes ihrer
Schule. Wie viele Stunden hätten
4 Schüler gebraucht?
6 Schüler ^
= 21 h
(Mengen-)Einheit und
→ von dieser Einheit
auf die gesuchte Mehrheit
6:
·6
1 Schüler ^
= 126 h
4·
:4
4 Schüler ^
= 31,5 h
Quadratische Gleichungen
Binomische Formeln
1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a2 – b2
Quadratische Gleichungen
ax2 + bx + c = 0
Allgemeine Form:
√−−−−−−−
Allgemeine Lösung: x1,2 =
– b ± (b2 – 4ac)
2a
x2 + px + q = 0
−−−−−−−
p
p 2
Lösung (pq-Formel): x1,2 = – ±
–q
2
2
Normalform:
Satz von Vieta:
x1 + x2 = – p, x1 · x2 = q
In Linearfaktoren:
(x – a) (x – b) = 0
Lösung:
x1 = a, x2 = b
Bemerkung: Eine quadratische Gleichung hat genau zwei, eine oder
keine Lösung in
, wenn der Wurzelterm größer ist als null, gleich null
oder kleiner als null.
11
12 Logarithmen/Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definition
bx = a ↔ logb a = x; a, b > 0
Speziell: logb b = 1; logb 1 = 0
Logarithmengesetze
Erstes Logarithmengesetz:
log (a · b) = log a + log b
log (a : b) = log a – log b
Zweites Logarithmengesetz:
log ab = b · log a
Speziell: log
Dekadischer Logarithmus:
Natürlicher Logarithmus:
a√−
1
b = log ba =
1
log b
a
log10 a = lg a
loge a = ln a, mit der eulerschen
Zahl e = 2,718281828459 …
Zusammenhänge:
logb a =
logc a
logc b
speziell
=
In a
lg a
=
In b
lg b
logb a · loga b = 1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
n
(sprich: „n über k“; k, n
Binomialkoeffizient:
k
ist der Quotient
n
n · (n – 1) · (n – 2) · … · [n – (k – 1)]
n!
=
=
k
1·2·3·…·k
k! (n – k)!
Rechenregeln:
n
n
=
k
n–k
; 0 < k ≤ n)
n
=1
0
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
n
=n
1
k, n
Geometrie – Strahlensätze
13
Strahlensätze
Erster Strahlensatz:
| SA1 | : | SA2 | = | SB1 | : | SB2 |
| SA1 | : | A1A2 | = | SB1 | : | B1B2 |
| SA2 | : | A1A2 | = | SB2 | : | B1B2 |
Zweiter Strahlensatz: | A1B1 | : | A2B2 | = | SA1 | : | SA2 |
Strahlensätze
| A1B1 | : | A2B2 | = | SB1 | : | SB2 |
B2
B1
S
A1
A2
14 Winkelarten
Winkelarten
Nullwinkel:
Spitzer Winkel:
α = 0°
α < 90°
α
Rechter Winkel:
Stumpfer Winkel:
α = 90°
90° < α < 180°
α
Gestreckter Winkel:
Überstumpfer Winkel:
α = 180°
180° < α < 360°
α
α
Vollwinkel:
Winkel über 360°:
α = 360°
α > 360°
α
α
Winkel an geschnittenen Geraden
15
Winkel an geschnittenen Geraden
Nebenwinkel ergänzen einander zu 180°.
α + β = 180°
h
β
α β
α
g
h
α = 90°
g
Scheitelwinkel sind gleich groß.
α=β
h
α
β
α
h
β
g
α = 90°
g
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
α=β
β
h
g ll h
α
g
β
h
α
g
α = 90°
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
α=β
h
g
β
α
g ll h
β
h
α
g
α = 90°
16 Dreieck
Dreieck
1
c · hc
2
1
A (Dreieck) =
b · hb
2
1
A (Dreieck) =
a · ha
2
Fläche:
A (Dreieck) =
Winkelsumme:
α + β + γ = 180°
C
ha
b
hb
γ
a
hc
A
α
β
c
B
17
Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck:
Zwei Seiten haben dieselbe Länge (a = b)
−−−−−
2
c
hc = a2 –
2
a
a
hc
c
Gleichseitiges Dreieck:
Alle Seiten haben dieselbe Länge (a = b = c),
alle Winkel sind gleich groß (α = β = γ).
−−
√−
3
3
a2 √−
· 3
h=
·a =
·a
A(D) =
4
2
4
α
a
a
α
Rechtwinkliges Dreieck:
α
a
1
Fläche berechnet sich zu: A(D) = · a · b
2
2
2
Der Satz des Pythagoras: c = a + b2
Der Höhensatz des Euklid: h2 = p · q
Der Kathetensatz des Euklid: a2 = c · p
b2 = c · q
C
b
A
q
a
h
c
p
B
18 Flächenberechnung
Flächenberechnung
Quadrat
Parallelogramm
Umfang (U) = 4a
Umfang (U) = 2 · (a + b)
Flächeninhalt (A) = a2
Flächeninhalt (A) = g · h
A
Höhe (h) =
g
a
h
b
g
a
a
Rechteck
Trapez
Umfang (U) = 2 · (a + b)
Umfang (U) = a + b + c + d
h
Flächeninhalt (A) = · (g1 + g2)
2·A 2
Höhe (h) =
g1 + g2
c
g2
Flächeninhalt (A) = a · b
d
b
b
h
g1
a
a
Dreieck
Umfang (U) = a + b + c
g·h
Flächeninhalt (A) =
2
2·A
Höhe (h) =
g
b
a
h
g
c
Kreis und Linien
19
Kreis und Linien
Kreis
Kreiszahl (Ludolfsche Zahl): π = 3,14159 …
π ≈ 3,14
Durchmesser = d, Radius = r
d=2·r
π
· d2
4
U = 2π · r = π · d
A = π · r2 =
d
r
M
Sektor
Bogen
M
Segment
M
e
hn
Ra
M
di
us
e
Se
nt
sind senkrecht zueinander.
ge
Tangente und Berührungsradius
n
Ta
Linien am Kreis
Durchmesser
Sekante
Passante
20 Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt
Satz des Thales
Satz des Thales:
Peripheriewinkel über einem
Halbkreis sind rechte Winkel.
M
Kreisring und Kreisausschnitt
Kreisring
a = r2 – r1
r1
→a
M
U = 2π · (r1 + r2)
r2
→
A = π · (r22 – r12)
Ringbreite a
Kreisausschnitt
b
α
=
U 360°
Aα =
b·r
2
b=
π·r·α
180°
α
Aα = π · r2 ·
360°
M
α
Aα
b
r
Kreisbogen b
Körperberechnung
21
Körperberechnung
Prisma
Pyramide
G: Grundfläche
G: Grundfläche
1
Volumen: V = · G · h
3
Oberfläche: O = G + M
Volumen: V = G · h
Oberfläche: O = 2G + M
Mantelfläche: M = U* · h
h
h
G
G
*Umfang der
Grundfläche
Zylinder
Kegel
Volumen: V = π · r2 · h
Volumen: V =
Oberfläche: O = 2π r · (r + h)
1
· π · r2 · h
3
Oberfläche: O = π r · (r + s)
Mantelfläche: M = 2π · r · h
Mantelfläche: M = π · r · s
h
h
G
G
22 Körperberechnung
Körperberechnung
Kugel
Mittelpunkt (M) Radius (r)
4
Volumen: V = · π · r 3
3
Oberfläche: O = 4 π r 2
r
Trigonometrie
23
Trigonometrie
Sinus:
sin (α) = a = Gegenkathete
r
Hypotenuse
Kosinus:
cos (α) = b = Ankathete
r Hypotenuse
Tangens:
tan (α) =
Kotangens:
cot (α) = cos (α) = Ankathete
sin (α) Gegenkathete
sin (α) = Gegenkathete
cos (α)
Ankathete
f(x) = y
r
a
α
b
Sinussatz
a = sin (α)
b sin (β)
b = sin (β)
c
sin (γ )
a = sin (α)
c
sin (γ)
Kosinussatz: a 2 = b2 + c2 – 2bc · cos α
C
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β
c 2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ
γ
b
A
x
a
β
α
c
B
enkt!
Geschin für 2 kostedne-n.*
e
n
Gutsch errichtsstu
nt
U
e
s
lo
*Einfach ausfüllen, abtrennen und
in der nächsten Schülerhilfe abgeben!
Bitte ausfüllen und in Ihrer Schülerhilfe vor Ort abgeben.
Gültig nur in teilnehmenden Schülerhilfen. Nur ein Gutschein pro Kunde.
Nicht gültig in Verbindung mit anderen Angeboten. Gültig nur für neue Kunden.
E-Mail
Telefon
Geburtsdatum
Straße
Ort
PLZ
Name
Vorname
Unser Anspruch:
Die Schülerhilfe hilft Kindern, ihre schulischen Fähigkeiten
zu verbessern, sodass sie wieder Selbstvertrauen gewinnen
und Selbstbewusstsein entwickeln.
Unser Angebot:
■ Qualifizierte und motivierte Nachhilfelehrer/-innen
■ Individuelles Eingehen auf die Bedürfnisse der Kinder
und Jugendlichen
■ Regelmäßiger Austausch mit den Eltern über
die Fortschritte des Kindes
Weitere Informationen:
Für weitere Informationen stehen wir Ihnen montags bis
freitags von 8.00 bis 20.00 Uhr gebührenfrei zur Verfügung:
0800/ 19 4 18 00 www.schuelerhilfe.com
© ZGS Schülerhilfe GmbH © „Paul“ doppel. design, T. Binder
Stempelfeld