Analysis I

Analysis I
Dozent: Prof. Suris
Wintersemester 2006/07
Analysis I
Skript
von Maximilian Schlund
Man beachte bitte, dass dies lediglich die LATEX-Version meiner Mitschrit ist und kein
offizielles Skript des Lehrstuhls oder des Dozenten! Ohne Gewähr und ohne Anspruch
auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. (Konstruktive) Kritik/Verbesserungsvorschläge/Korrekturen
gerne per Mail an mich. (Nachname at in Punkt tum Punkt de)
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
0 Organisatorisches
1
1 Natürliche Zahlen
2
2 Ganze Zahlen, rationale Zahlen
4
3 Weitere Anwendungen der Induktion
8
4 Weitere Eigenschaften des Körpers Q
12
5 Reelle Zahlen
14
6 Reelle Folgen und Konvergenz
22
0
Organisatorisches
Website der Vorlesung:
www-lm.ma.tum.de/an1m067/
0.1
Literatur
• O. Foster, Analysis1, Vieweg
• K. Königsberger, Analysis1, Springer
• V. Zorich, Mathematical analysis, Vol I, Springer, 2003
• B. Gelbbaum, J. Olmsted, Counterexamples in analysis, 2003
0.2
Notation, Begriffe
a ∈ A (a ist Element von A)
A ⊂ B (A ist Teilmenge von B)
A ∩ B = {a | a ∈ A und a ∈ B} (Durchschnitt)
A ∪ B = {a | a ∈ A oder a ∈ B} (Vereinigung)
A \ B = {a | a ∈ A und a ∈
/ B} (Differenz)
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} (Menge aller geordneten Paare a,b)
∀: für alle...“, ∃: existiert...“ oder es gibt...“
”
”
”
f : A → B (Abbildung/Funktion)
:=“ heißt: ist definiert durch...“
”
”
Eine Relation“ auf A ist eine Teilmenge von A × A
”
N - natürliche Zahlen
Z - ganze Zahlen
Q - rationale Zahlen
R - reelle Zahlen
C - komplexe Zahlen
Die Analysis beschäftigt sich mit: Grenzwerten, Stetigkeit, Differentiation,
Integral −→ Grenzprozesse
1 Natürliche Zahlen
1
2
Natürliche Zahlen
N = {1, 2, 3, ...}, N0 = {0, 1, 2, 3, ...}
1.1
Peano-Axiome für N0 :
N0 sei eine Menge mit einem ausgezeichneten Element 0 und einer Operation
(Abbildung) ν : N0 → N0 (Nachfolger-Abbildung) mit folgenden Eigenschaften:
(P1) 0 ∈
/ ν(N0 ) (Kein Element in N0 hat 0 als Nachfolger)
(P2) x 6= y ⇒ ν(x) 6= ν(y) (Verschiedene Elemente haben verschiedene Nachfolger)
(P3) Das Induktionsaxiom: Sei M ⊂ N0 eine Teilmenge mit zwei Eigenschaften:
a) 0 ∈ M
b) x ∈ M ⇒ ν(x) ∈ M
Dann ist M = N0
Man kann beweisen, dass alle Mengen mit diesen drei Eigenschaften gleich beschaffen (isomorph) sind.
Man kann das Induktionsaxiom verwenden um:
• neue Begriffe zu definieren
• Sätze oder bestimmte Eigenschaften zu beweisen
Definition 1.1 (Addition von natürlichen Zahlen)
+ : N0 × N0 → N0 definiert man induktiv folgendermaßen:
(wir schreiben a + b statt +(a, b) )
(I1) a + 0 = a
(I2) a + ν(b) = ν(a + b)
Laut dem Axiom (P3) ist die Addition für alle a, b ∈ N0 definiert.
Satz 1.2 (Eigenschaften der Addition)
(a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ N0 (Assoziativgesetz)
a + b = b + a ∀a, b ∈ N0 (Kommutativgesetz)
Allgemeine Bemerkung:
Um eine Aussage über alle natürlichen Zahlen c zu beweisen, macht man zwei
Schritte:
(I1) Induktionsbasis: beweise die Aussage für c = 0
(I2) Induktionsschritt: beweise, dass aus der Aussage für c die Aussage für ν(c)
folgt
1.1 Peano-Axiome für N0 :
Beweis:
3
Wir beweisen das Assoziativgesetz per Induktion bezüglich c
(I1) (a + b) + 0
war)
Def 1.1(I1)
=
a+b
Def 1.1(I1)
=
a + (b + 0) (was für c = 0 zu beweisen
(I2) Angenommen die Assoziativität gilt für irgendeine natürliche Zahl c ∈ N0 .
Betrachte (a + b) + ν(c)
a + ν(b + c)
Def 1.1(I2)
=
Def 1.1(I2)
=
IA
ν((a + b) + c) = ν(a + (b + c))
Def 1.1(I2)
=
a + (b + ν(c)) (was für ν(c) zu beweisen war)
⇒ Das beweist das Assoziativgesetz!
Beweis des Kommutativgesetzes :
I Zuerst beweisen wir, dass 0 + a = a (= a + 0) per Induktion bezüglich a
| {z }
siehe Def 1.1
(I1) 0 + 0 = 0 (laut (I1) der Definition 1.1)
(I2) Angenommen es gilt: 0 + a = a, dann: 0 + ν(a)
(was zu beweisen war)
Def 1.1(I1)
=
IA
ν(0 + a) = ν(a)
Def 1.1(I2)
(1 := ν(0)) Merke: a + 1 = a + ν(0)
=
ν(a + 0) = ν(a)
⇒ ν(a) = a + 1
I Wir beweisen nun, dass ∀n ∈ N0 gilt:1 + a = ν(a) (= a + 1)
| {z }
gerade gezeigt
Wir beweisen per Induktion bezüglich a
(I1) 1 + 0
Def 1.1(I1)
=
1 = ν(0)
(I2) Annahme es gilt: 1 + a = ν(a)
Dann: 1 + ν(a)
war)
Def 1.1(I2)
=
IA
ν(1 + a) = ν(ν(a)) = ν(a) + 1 (was zu beweisen
I Endlich beweisen wir, dass ∀a, b ∈ N0 : a + b = b + a. Dies beweisen wir per
Induktion bezüglich b.
(I1) a + 0 = 0 + a (wurde bereits bewiesen)
(I2) Angenommen es gilt a + b = b + a, dann gilt: a + ν(b)
1 + (a + b)
(es wurde bereits bewiesen, dass ν(n) = 1 + n)
IA
= 1 + (b + a)
Assoziativgesetz
=
Def 1.1(I2)
=
ν(a + b) =
(1 + b) + a = ν(b) + a (was zu beweisen war)
Definition 1.3 (Multiplikation)
· : N0 × N0 → N0 (man schreibt a · b statt ·(a, b)) ist folgendermaßen definiert:
(I1) a · 0 = 0 ∀a ∈ N0
(I2) a · ν(b) = a · b + a ∀a, b ∈ N0
Satz 1.4 (Übliche Eigenschaften der Multiplikation)
a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ N0 (1. Distributivgesetz)
2 Ganze Zahlen, rationale Zahlen
4
(a + b) · c = a · c + b · c ∀a, b, c ∈ N0 (2. Distributivgesetz)
(a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ N0 (Assoziativgesetz)
a · 1 = 1 · a = a ∀a ∈ N0 (neutrales Element/Einselement)
a · b = b · a ∀a, b ∈ N0 (Kommutativgesetz)
2
Ganze Zahlen, rationale Zahlen
2.1
Ganze Zahlen
Wir suchen Lösungen zu derartigen Gleichungen:
5+x=3
Problem: Keine Lösung ∈ N0 . Lösung: Erweiterung zu den ganzen Zahlen. Wir
wollen die Lösung als Paar von natürlichen Zahlen auffassen (das dann als −2
interpretiert werden). Ein solches Paar wäre (3, 5) aber auch (1, 3) oder (98, 100).
Wir wollen alle solchen Paare als äquivalent“ deklarieren. (3, 5) ∼ (1, 3) ∼
”
(0, 2) ∼ (100, 102)... Allgemeiner: Es wird eine Relation auf der Menge N0 × N0
von Paaren von natürlichen Zahlen eingeführt.
(m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1
Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie
I reflexiv ist, d.h. (m, n) ∼ (m, n)
I symmetrisch ist, d.h. (m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇒ (m2 , n2 ) ∼ (m1 , n1 )
I transitiv ist, d.h. aus (m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) und (m2 , n2 ) ∼ (m3 , n3 ) folgt
(m1 , n1 ) ∼ (m3 , n3 )
Sobald man eine Äquivalenzrelation ∼ auf X hat, kann man die Äquivalenzklassen der x ∈ X definieren:
ÄK(x) = {y ∈ X, y ∼ x}
Eigenschaften:
I Wenn ÄK(x1 ) 6= ÄK(x2 ) dann ÄK(x1 ) ∩ ÄK(x2 ) = ∅
I Die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist die ganze Menge X.
In unserem Fall: X = N0 × N0 , die Relation ∼ wurde oben definiert.
Definition 2.1 (Ganze Zahlen)
Die Menge Z von ganzen Zahlen ist die Menge der Äquivalenzklassen von N0 ×N0
bezüglich der obigen Relation (m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1
Daraus folgt, dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen
bilden (N0 ⊂ Z) falls man N0 3 n = ÄK(n, 0) identifiziert. Die negativen
ganzen Zahlen definiert man als −n := ÄK(0, n).
2.1 Ganze Zahlen
0
1
Also:
−2
−23
5
∼
= {(0, 0), (1, 1), (2, 2) . . . }
∼
= {(1, 0), (2, 1), (3, 2) . . . }
..
.
∼
= {(0, 2), (1, 3), (2, 4) . . . }
..
.
∼
= {(0, 23), (1, 24), (2, 25) . . . }
Definition 2.2 (Operationen mit ganzen Zahlen)
Es seien a, b ∈ Z, a = ÄK(m1 , n1 ), b = ÄK(m2 , n2 )
Dann definiert man:
a + b := ÄK(m1 + m2 , n1 + n2 )
a · b := ÄK(m1 m2 + n1 n2 , m1 n2 + m2 n1 )
Informelle Erklärung: Man denke sich a als a = m1 − n1 und b als b = m2 − n2
Dann soll die Additon so definiert sein, dass a + b = (m1 + m2 ) − (n1 + n2 )
ergibt
und die Multiplikation soll so definiert sein, dass gilt:
a · b = (m1 − n1 ) · (m2 − n2 ) = (m1 m2 + n1 n2 ) − (m1 n2 + n1 m2 )
Man muss überprüfen, dass die in Definition 2.2 definierten Operationen wohl definiert
sind, d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten (m1 , n1 ) für a und
(m2 , n2 ) für b sind. (Man zeigt z.B. dass aus (m1 , n1 ) ∼ (m
f1 , n
f1 ) und (m2 , n2 ) ∼
(m
f2 , n
f2 ) folgt, dass (m1 , n1 ) + (m2 , n2 ) ∼ (m
f1 , n
f1 ) + (m
f2 , n
f2 ))
Bemerkung: Auf N0 × N0 ⊂ Z × Z stimmen die neuen“ Operationen mit
”
den alten“ überein, denn für a = ÄK(a, 0), b = ÄK(b, 0) ∈ N0 hat man
”
a + b = ÄK(a + b, 0) und a · b = ÄK(a · b, 0)
Satz 2.3
Die Operationen + und · haben auf Z × Z die üblichen Eigenschaften aus den
Sätzen 1.2 und 1.4:
(A1) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ Z
(A2) a + b = b + a ∀a, b ∈ Z
(A3) a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ Z
(M1) (a · b·)c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ Z
(M2) a · b = b · a ∀a, b ∈ Z
(M3) a · 1 = 1 · a = a ∀a ∈ Z
(D) a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ Z
2.2 Rationale Zahlen
6
Beweis: Einfach, aber langweilig... z.B. für (A2)
a = ÄK(m1 , n1 ), b = ÄK(m2 , n2 ) dann ist a + b = ÄK(m1 + m2 , n1 + n2 ) =
ÄK(m2 + m1 , n2 + n1 ) = b + a
(d.h. die Eigenschaften für die Operationen auf Z folgen immer aus den entsprechenden Eigenschaften für N0 )
Definition 2.4 (Die Negative)
Für a = ÄK(m, n) setzt man: −a = ÄK(n, m)
Satz 2.5 (Grundeigenschaft der Negativen)
(A4) a + (−a) = (−a) + a = 0 ∀a ∈ Z
Beweis:
a + (−a) = ÄK(m, n) + ÄK(n, m) = ÄK(m + n, m + n) = 0 ¥
Definition 2.6 (Subtraktion)
a − b := a + (−b) ∀a, b ∈ Z
Diese Zahl a − b ist die (eindeutige) Lösung der Gleichung b + x = a
Für a = ÄK(a, 0), b = ÄK(b, 0) ∈ N0 gilt: a − b = ÄK(a, 0) + ÄK(0, b) =
ÄK(a, b)
a = ÄK(m, n) ⇔ a = m − n
Für a = ÄK(m, n) ∈ Z gilt genau eine der 3 folgenden Möglichkeiten:
• entweder m = n, dann a = 0
• oder: kann man m aus n durch das sukzessive Bilden von Nachfolgern
gewinnen, dann schreibt man a > 0
• oder: kann man n aus m durch das sukzessive Bilden von Nachfolgern
gewinnen, dann schreibt man a < 0
Satz 2.7 (Anordnung von Z)
(O1) ∀a ∈ Z gilt genau eine der Möglichkeiten: entweder a > 0 oder a = 0 oder
−a > 0 ⇒ a < 0
(O2) a > 0 und b > 0 ⇒ a + b > 0
(O2) a > 0 und b > 0 ⇒ a · b > 0
2.2
Rationale Zahlen
Wir können die Gleichung
a · x = b a, b ∈ Z
nicht immer lösen.
z.B.: 3x = 2 oder 5x = −2. Wir sagen, dass das Paar (2, 3) die erste, und das
Paar (−2, 5) die zweite Gleichung löst.
hierbei soll gelten (2, 3) ∼ (4, 6) ∼ (6, 9) ∼ (−100, −150)...
2.2 Rationale Zahlen
7
Definition 2.8 (Rationale Zahlen)
Die Menge Q von rationalen Zahlen ist die Menge von Äquivalenzklassen von
Paaren (m, n) mit m, n ∈ Z, n 6= 0 bezüglich der neuen Äquivalenzrelation
(m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇔ m1 n2 = m2 n1
Die Elemente m := ÄK(m, 1) = {(m, 1), (2m, 2), (−2m, 2), (23m, 23)...} werden
mit den ganzen Zahlen Z identifiziert. Somit ist Z ⊂ Q.
Eigentlich noch zu zeigen: ∼ ist eine Äquivalenzrelation!
Definition 2.9 (Operationen mit rationalen Zahlen)
Es seien a = ÄK(m1 , n1 ), b = ÄK(m2 , n2 ) ∈ Q
Man definiert:
a + b := ÄK(m1 n2 + m2 n1 , n1 n2 )
a · b := ÄK(m1 m2 , n1 n2 )
Zu zeigen: Summe und Produkt sind wohl definiert d.h. unabhängig von der
Wahl der Repräsentanten (m1 , n1 ) für a und (m2 , n2 ) für b.
Auf Z × Z ⊂ Q × Q stimmen die neuen Operationen mit den alten überein:
a = ÄK(a, 1), b = ÄK(b, 1) ∈ Z, dann gilt:
a + b = ÄK(a · 1 + 1 · b, 1 · 1) = ÄK(a + b, 1)
a · b = ÄK(a · b, 1 · 1) = ÄK(a · b, 1)
Satz 2.10 (Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf Q)
Die Operationen + : Q × Q → Q und · : Q × Q → Q haben die Eigenschaften
(A1) bis (A4) und (M1) bis (M3) und (D).
Beweis:
folgt direkt aus den entsprechenden Eigenschaften für Z
Definition 2.11
(Die Inverse) Für a = ÄK(m, n) ∈ Q mit m 6= 0 setzen wir a−1 =
ÄK(n, m) ∈ Q
¥
1
a
:=
Satz 2.12 (Eigenschaften der Inversen)
(M4) a · a−1 = a−1 · a = 1 ∀a ∈ Q
Beweis:
a · a−1 = ÄK(m, n) · ÄK(n, m) = ÄK(mn, mn) = 1
¥
Definition 2.13 (Division von rationalen Zahlen)
a
:= a · b−1 ∀a ∈ Q, b ∈ Q \ {0}
b
Diese Zahl ist die (eindeutige) Lösung der Gleichung b · x = a (b 6= 0)
Für a = ÄK(a, 1) ∈ Z, b = ÄK(b, 1) ∈ Z \ {0} gilt:
a
b = ÄK(a, 1) · ÄK(1, b) = ÄK(a, b)
Also: a = ÄK(m, n) ∈ Q ⇔ a =
m
n
Definition 2.14 (Körper)
Eine Menge K mit zwei binären Operationen + : K×K → K und · : K×K → K
mit den Eigenschaften (A1) bis (A4), (M1) bis (M4) und (D) heißt ein Körper.
3 Weitere Anwendungen der Induktion
8
Q ist ein Körper
Definition 2.15
Die Zahl a ∈ Q heißt positiv, wenn die ÄK von a ein Paar (m, n) mit m, n ∈ N
enthält. (dann sind es unendlich viele solche Paare (lm, ln) mit l ∈ N)
Satz 2.16 (Anordnung der Rationalen Zahlen)
Für Q gelten die Eigenschaften (O1) bis (O3) aus dem Satz 2.7
Beweis:
selbst überprüfen! ¥
Definition 2.17 (Angeordneter Körper)
Ein Körper K heißt ein angeordneter Körper, falls es P ⊂ K gibt derart, dass
gilt:
(O1) ∀x ∈ K gilt genau eine der drei Aussagen: x ∈ P oder x = 0 oder −x ∈ P
(O2) x, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P
(O3) x, y ∈ P ⇒ x · y ∈ P
Somit ist Q ein angeordneter Körper (setze P gleich der Menge der positiven
rationalen Zahlen).
Schreibweise:
x∈P ⇔x>0
a > b ⇔ a − b > 0 (⇔ a − b ∈ P )
a<b⇔b−a>0⇔b>a
a ≥ b ⇔ (a > b oder a = b)
a ≤ b ⇔ (a < b oder a = b)
Eigenschaften:
• x > y und a > 0 ⇒ a · x > a · y
• x > y und a < 0 ⇒ a · x < a · y
• x2 = x · x > 0 ∀x 6= 0 (Insbesondere 1 = 1 · 1 > 0)
3
Weitere Anwendungen der Induktion
zur Erinnerung: Induktion kann benutzt werden für:
I Beweise
I Definitionen
Satz 3.1
∀ n ∈ N : 1 + 2 + 3 + · · · + n = 12 n(n + 1)
3 Weitere Anwendungen der Induktion
9
Beweis:
(I1) für n = 1 : 1 = 1
(I2) n → n+1: 1+2+3+· · ·+n+(n+1) = 21 n(n+1)+(n+1) = (n+1)( 12 n+1) =
1
¥
2 (n + 1)(n + 2), d.h. die Aussage für n + 1
Satz 3.2
∀ n ∈ N, ∀x ∈ K, x 6= 1 gilt: 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn =
1−xn+1
1−x
2
Beweis: (I1) für n = 1 : 1 + x = 1−x
1−x = 1 + x
(I2) Angenommen, die Aussage gilt für n, dann gilt auch:
n+1
n+1
n+1
(1−x)
n+1
= 1−x +x
=
1+x+x2 +· · ·+xn +xn+1 = 1−x
1−x +x
1−x
1−xn+2
1−x ,
1−xn+1 +xn+1 +xn+2
1−x
das ist die Aussage für n + 1 ¥
Satz 3.3 (Bernoullische Ungleichung)
Sei x > −1 in einem angeordneten Körper K. Dann gilt
∀n ∈ N0 : (1 + x)n ≥ 1 + nx
Beweis:
(I1) für n = 0 : 1 ≥ 1
(I2) n → n + 1: (1 + x)n+1 = (1 + x)n · (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx +
≥0
z}|{
x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x, mit > statt ≥, sobald x 6= 0.
Also stimmt die Ungleichung auch für n + 1 und somit für alle n ∈ N0 ¥
Definition 3.4 (Summen-/Produktzeichen)
Es sei a : N0 → K eine Folge (man schreibt ak statt a(k))
Dann definiert man:
(I1)
0
0
X
Y
ak := 0
ak := 1
k=1
k=1
(leere Summe, bzw. leeres Produkt)
(I2)
n+1
n
X
X
ak := (
ak ) + an+1
k=1
Somit sind
Pn
k=1
k=1
ak und
Qn
k=1
n+1
Y
k=1
ak := (
n
Y
k=1
ak ) · an+1
ak für alle n ∈ N0 definiert.
Definition 3.5 (Fakultät)
n! :=
n
Y
k=1
insbesondere ist 0! = 1 (leeres Produkt)
k
=
3 Weitere Anwendungen der Induktion
10
Definition 3.6 (Binomialkoeffizienten)
f ür n, m ∈ N :
¡n¢
µ ¶
m
Y
n
n−k+1
:=
k
m
k=1
¡ n ¢ n(n−1)(n−2)...(n−m+1)
Man spricht m : m aus n“. Es ist: m
=
”¡n¢
¡n ¢
¡n¢ n(n−1) 1·2·3·····m
und insbesondere 0 = 1, 1 = n, 2 =
2
¡n¢
Satz 3.7 (Kombinatorische Deutung von n! und m
)
a) n! = Anzahl von verschiedenen Anordnungen einer Menge aus n Elementen.
¡n¢
b) m
= Anzahl von verschiedenen m-elementigen Teilmengen einer n-elementigen
Menge.
Beweis: a) Wähle das 1. Element- es gibt n Möglichkeiten, dann das 2. Element aus den restlichen (n − 1), für die Wahl des 3. Elementes stehen noch
(n − 2) zur Verfügung, usw. Anzahl von verschiedenen Möglichkeiten: n · (n −
1) · (n − 2) · (n − 3) · · · · · 2 · 1 = n!
b) Um eine m-elementige Menge zu wählen, hat man n Möglichkeiten für die
Wahl des 1. Elements, (n − 1) für die Wahl des 2. Elements, usw. und schließlich (n − m + 1) Möglichkeiten für die Wahl des m-ten Elements. Jede melementige Menge wurde dabei m! mal berücksichtigt. Die resultierende Anzahl:
n(n−1)(n−2)...(n−m+1)
¥
1·2·3·····m
µ ¶
n(n − 1) . . . (n − m + 1)
n
n(n − 1) . . . (n − m + 1)(n − m) . . . 1
n!
=
=
=
m
m!
m!(n − m)!
(n − m)!m!
Aus dieser Darstellung sieht man die Symmetrie:
µ ¶ µ
¶
n
n
=
m
n−m
Hilfssatz 3.8 (Pascalsche Regel)
Für 0 < n gilt:
µ ¶ µ
¶ µ
¶
n
n−1
n−1
=
+
m
m
m−1
Beweis:
µ
¶ µ
¶
(n − 1)!
n−1
n−1
(n − 1)!
+
=
+
=
m!(n − m − 1)! (m − 1)!(n − m)!
m
m−1
(n − 1)!
n!
((n − m) + m) =
(m − 1)!(n − m)!
m!(n − m)!
3 Weitere Anwendungen der Induktion
11
→ Pascalsches Dreieck:
n=0:
1
n=1:
1
n=2:
1
n=3:
n=4:
n = 5 : w;; 1
ww
ww
m=0
1
1
2
3
1
3
1
+
// 4
6 ooHH
HH
vv
v
H##
{{vv
10
10
;x; 5
;
;
;
;
x;; 5
vv
vv
xx
xx
xx
xx
vvv
vvv
m=2
m=3
m=4
m=1
µ ¶ µ ¶ µ ¶
5
4
4
Bsp.: 10 =
=
+
=4+6
3
3
2
1
4
Satz 3.9 (Binomischer Satz)
Für x, y ∈ K und für n ∈ N0 gilt:
n
(x + y) =
n µ ¶
X
n
k=0
k
1
x;; 1
xx
xx
m=5
xn−k y k
Beweis:
(I1) n = 0: 1 = 1
(I2) n → n + 1 Angenommen, die Aussage gilt für n, so gilt:
(x + y)n+1 =(x + y)n (x + y) = (x + y)n x + (x + y)n y
n µ ¶
n µ ¶
X
X
n n−k k
n n−k k
x
y y
x
y x+
k
k
k=0
k=0
n µ ¶
n µ ¶
X
n n−k+1 k X n n−k k+1
x
y +
x
y
k
k
k=0
k=0
¶
n+1 µ
n µ ¶
X
n
n n−k+1 k X
xn−l+1 y l
x
y +
l−1
k
l=1
k=0
µ
¶
n
n+1
X n
Xµ n ¶
xn−k+1 y k +
xn−k+1 y k
k
k−1
k=0
k=1
µ ¶
µ
¶¸
µ ¶
n ·µ ¶
X
n n+1
n
n
n n+1
x
+
+
xn−k+1 y k +
y
0
k
k−1
n
k=1
¶
¶
µ
¶
µ
n µ
n + 1 n+1
n + 1 n+1 X n + 1 n−k+1 k
y
x
y +
x
+
n+1
k
0
k=1
n+1
X µn + 1¶
xn−k+1 y k
k
k=0
IV
=
=
(k+1=l)
=
(k=l)
=
=
P ascalregel
=
=
4 Weitere Eigenschaften des Körpers Q
12
also die Behauptung für n + 1. Somit ist der Satz per Induktion bewiesen
¥
Weitere Eigenschaften des Körpers Q
4
Definition 4.1 (Absoluter Betrag)
Für ein x ∈ Q:
¾
½
x falls x ≥ 0
= max(x, −x)
|x| :=
−x falls x < 0
Satz 4.2
a) Es gilt: |x| ≥ 0 ∀x ∈ Q und |x| = 0 ⇔ x = 0
b) Multiplikative Eigenschaft: |x · y| = |x| · |y| ∀x, y ∈ Q
c) Dreiecksungleichung: |x + y| ≤ |x| + |y| ∀x, y ∈ Q
Beweis:
a) folgt aus der Definition.
b) Fall 1:
x, y ≥ 0 ⇒ xy ≥ 0; |xy| = xy = |x| · |y|
Fall 2:
x≥0
y<0
)
⇒ x · y ≤ 0; |xy| = −xy = x · (−y) = |x| · |y|
usw. (analog für die anderen 2 Fälle)
c)
x ≤ |x|
y ≤ |y|
−x ≤ |x|
−y ≤ |y|
)
)
⇒ x + y ≤ |x| + |y|
⇒ −(x + y) = (−x) + (−y) ≤ |x| + |y|
⇒ |x + y| = max(x + y, −(x + y)) ≤ |x| + |y|
¥
Folgerung 4.3
d) |x| = | − x| ∀x ∈ Q
e) | xy | =
|x|
|y|
∀x, y ∈ Q, y 6= 0
¯
¯
f) |x − y| ≥ ¯|x| − |y|¯ ∀x, y ∈ Q
4 Weitere Eigenschaften des Körpers Q
13
zu f):
Aus y + (x − y) = x und c) folgt:
|y| + |x − y| ≥ |x| ⇔ |x − y| ≥ |x| − |y|
Analog: vertausche x und y:
|x − y| ≥ |y| − |x|
¯
¯
Daher: |x − y| ≥ max(|x| − |y|, |y| − |x|) = ¯|x| − |y|¯ ¥
Satz 4.4 (Archimedische Eigenschaft von Q)
Für eine beliebige positive rationale Zahl x ∈ Q, x > 0 existiert ein n ∈ N
mit n > x. Äquivalent: Für eine beliebige positive rationale Zahl ε ∈ Q, ε > 0
existiert ein n ∈ N mit n1 < ε
WARNUNG: Es gibt auch angeordnete Körper ohne Archimedische Eigenschaft!
Beweis:
Es sei
x=
p
p, q ∈ N ⇒ p > 0, q ≥ 1
q
Setze: n := p + 1 ⇒ n = p + 1 > p ≥
p
q
¥
Geometrische Interpretation von rationalen Zahlen (Zahlengerade):
x=
−2
−1
0 1q 2q 3q 4q
. . . 1. . .
p
q
p
q
hier z.b. q = 10 und p = 14
Satz 4.5 (Keine Löcher“ zwischen rationalen Zahlen)
”
Seien x1 < x2 zwei rationale Zahlen. Dann existiert y ∈ Q zwischen x1 und x2 .
Beweis: Es seien x1 =
Dann gilt:
p1
q1
< x2 =
p2
q2
mit p1 , p2 ∈ Z; q1 , q2 ∈ N
p1
p1 + p2
p2
<
<
q1
q1 + q2
q2
Tatsächlich: für die linke Ungleichung:
p1 (q1 + q2 ) < q1 (p1 + p2 ) ⇔ p1 q2 < p2 q1 ⇔
was nach Voraussetzung wahr ist. (Rechte Seite analog)
p1
p2
<
q1
q2
¥
5 Reelle Zahlen
14
ABER: Nicht jeder Punkt der Zahlengeraden entspricht einer rationalen Zahl!
0
1
1
r
45◦
1
x
Dieser Punkt ist keine rationale Zahl!
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: x2 = 12 + 12 = 2
Satz 4.6
Es gibt keine rationale Zahl x ∈ Q mit x2 = 2
Beweis: Angenommen x = pq ∈ Q und x2 = 2 ⇒ p2 = 2q 2 .
Nehme einen solchen Bruch mit dem kleinstmöglichen q (dieser existiert für alle
x ∈ Q siehe ZÜ7)
Dann gilt: q < p < 2q. Aber dann für x0 = 2q−p
p−q gilt:
(x0 )2 =
(2q − p)2
4q 2 − 4qp + p2
=
(p − q)2
p2 − 2pq + q 2
(p2 =2q 2 )
=
6q 2 − 4pq
=2
3q 2 − 2pq
Aber der Nenner von x0 ist p − q < q also kleiner als der Nenner von x. Widerspruch zur Annahme es gebe solch einen Bruch!
¥
5
Reelle Zahlen
Definition 5.1 (Dedekindscher Schnitt)
Eine Teilmenge R ⊂ Q, (R 6= ∅, R 6= Q) heißt eine Schnittobermenge, falls:
• mit jeder Zahl r ∈ R gilt auch r0 ∈ R für alle r0 > r, r0 ∈ Q
• R enthält kein minimales Element: ∀r ∈ R ∃ r∗ ∈ R mit r∗ < r
Dann heißt L := Q \ R (L 6= ∅, L 6= Q) Schnittuntermenge
Das Paar α := (L, R) heißt ein (Dedekindscher) Schnitt;
Zahlen r ∈ R heißen Oberzahlen bei α, Zahlen l ∈ L heißen Unterzahlen bei α
Merke:
• es gilt: ∀r ∈ R, l ∈ L : l < r
• mit jedem l ∈ L gilt auch l0 ∈ L für alle l0 ∈ Q, l0 < l
Beispiel 1:
Es sei x ∈ Q. Dann ist α = (Lx , Rx ) mit Rx := {y ∈ Q; y > x} und
5 Reelle Zahlen
15
Lx := {y ∈ Q; y ≤ x} ein Schnitt, den wir der Zahl x ∈ Q zuordnen.
Für solche Schnitte enthält Lx ein maximales Element (nämlich x).
Beispiel2:
R := {y ∈ Q; y 2 > 2}
L := {y ∈ Q; y ≤ 0 oder (y > 0 und y 2 < 2)}
Wir zeigen, dass (L, R) ein Schnitt ist, bei dem L kein maximales Element
enthält. Zu zeigen ist:
• r > 0 und r2 > 2 ⇒ r0 > 0 und (r0 )2 > 2 ∀ r0 > r
• zu jedem r > 0 mit r2 > 2 gibt es 0 < r∗ < r mit (r∗ )2 > 2
Wir zeigen dies, sowie:
• zu jedem l > 0 mit l2 < 2 gibt es l∗ > l mit (l∗ )2 < 2
Nehme x ∈ Q, x > 0. Setze:
x∗ =
x(x2 + 6)
⇒ x∗ > 0
3x2 + 2
Dann gilt:
a) x∗ − x =
b)(x∗ )2 − 2 =
x(x2 + 6)
x(x2 + 6) − x(3x2 + 2)
2x(2 − x2 )
−
x
=
=
3x2 + 2
3x2 + 2
3x2 + 2
x6 + 12x4 + 36x2
x6 − 6x4 + 12x2 − 8
(x2 − 2)3
−
2
=
=
(3x2 + 2)2
(3x2 + 2)2
(3x2 + 2)2
Also: x2 < 2 ⇒ (x∗ − x > 0 ⇔ x∗ > x) und (x∗ )2 < 2
x2 > 2 ⇒ (x∗ − x < 0 ⇔ x∗ < x) und (x∗ )2 >√2
Dieser Schnitt wird (nach der Definition 5.2) 2 heißen.
L
x<0
x mit
x²<2
R
x* mit
(x*)²<2
x* mit
(x*)²>2
x mit
x²>2
Definition 5.2 (Reelle Zahlen)
R ist die Menge aller Dedekindschen Schnitte.
Q ⊂ R wird erklärt als die Menge von Schnitten, bei denen die Schnittuntermenge ein maximales Element besitzt, d.h. die Menge von Schnitten der Gestalt
(Lx , Rx ) aus Beispiel 1.
Schnitte α√= (L, R) bei denen L kein maximales Element enthält, heißen irrationale Zahlen.
Somit ist 2 aus Beispiel 2 eine irrationale Zahl.
5 Reelle Zahlen
16
Definition 5.3 (Anordnung reeller Zahlen)
Seien α1 = (L1 , R1 ) ∈ R, α2 = (L2 , R2 ) ∈ R zwei Schnitte. Man sagt, dass
α1 < α2 falls es eine Oberzahl r1 ∈ R bei α1 gibt, die eine Unterzahl bei α2 ist,
d.h. falls
r1 ∈ R1 und r1 ∈ L2 (⇔ r1 ∈ R1 und r1 ∈
/ R2 )
Es ist leicht einzusehen, dass für alle α1 , α2 ∈ R genau eine der drei Möglichkeiten gilt:
α1 < α2 oder α1 = α2 oder α1 > α2
Eines muss gelten: sollte R1 6= R2 sein, so ∃r1 ∈ R1 mit r1 ∈
/ R2 oder ∃r2 ∈ R2
mit r2 ∈
/ R1
Sie schließen einander aus: angenommen α1 < α2 , d.h. r1 ∈ R1 , r1 ∈ L2 . Dann
gilt für alle r2 ∈ R2 : r1 < r2 . Das bedeutet: r2 ∈ R1 also R2 ⊂ R1 (R1 6= R2 )
Analog zu zeigen: α1 > α2 impliziert R1 ⊂ R2 (R1 6= R2 )
R1
1
R2
2
R2
2
R1
1
Satz und Definition 5.4 (Addition reeller Zahlen)
Seien α1 = (L1 , R1 ) ∈ R, α2 = (L2 , R2 ) ∈ R zwei Schnitte.
Dann ist: R1 + R2 := {r1 + r2 ; r1 ∈ R1 und r2 ∈ R2 } eine Schnittobermenge.
Der entsprechende Schnitt heißt α1 + α2 .
Beweis:
es ist zu zeigen:
• mit jeder Zahl r = r1 + r2 ∈ R1 + R2 gehören auch alle r0 > r zu R1 + R2
• zu jedem r = r1 + r2 ∈ R1 + R2 gibt es r∗ ∈ R1 + R2 mit r∗ < r
• R1 + R2 6= Q (offensichtlich, da l1 + l2 ∈
/ R1 + R2 für l1 ∈ L1 , l2 ∈ L2 da
L1 6= ∅ =
6 L2 )
◦ Zu der ersten Eigenschaft:
Es sei r = r1 + r2 ∈ R1 + R2 und r0 ∈ Q, r0 > r. Dann sei r0 = r10 + r2
mit r10 = r1 + (r0 − r), r10 > r1 ⇒ r10 ∈ R1
◦ Zu der zweiten Eigenschaft:
Es sei r = r1 + r2 ∈ R1 + R2 . Dann gibt es r1∗ ∈ R1 , r2∗ ∈ R2 mit
r1∗ < r1 , r2∗ < r2 .
Es gilt: r∗ := r1∗ + r2∗ ∈ R1 + R2 und r∗ < r
¥
5 Reelle Zahlen
17
Wir zeigen nun: (A1)-(A4) gelten für die so eingeführte Addition.
(A1),(A2) folgen unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften der rationalen
Zahlen.
(A3) Existenz von 0 ∈ R mit: α + 0 = 0 + α = α ∀α ∈ R
0 = (L0 , R0 ), wobei L0 = {y ∈ Q; y ≤ 0} und R0 = {y ∈ Q; y > 0}
zu zeigen: R + R0 = R für eine beliebige Schnittobermenge R.
Beweis:
Wir zeigen: R + R0 ⊂ R. Man nehme r + r0 ∈ R + R0 .
r0 ∈ R0 ⇒ r0 > 0 ⇒ r + r0 > r ∈ R ⇒ r + r0 ∈ R
Nun zeigen wir, dass R ⊂ R + R0 . Dazu nehme man r ∈ R. Es gibt r∗ ∈ R mit
r∗ < r. Damit gilt:
r = |{z}
r∗ + (r − r∗ ) ∈ R + R0
| {z }
∈R
∈R0
Lemma 5.5
Es sei α = (L, R) ein Schnitt, dann gilt:
∀ε > 0 (ε ∈ Q) gibt es l ∈ L und r ∈ R mit 0 < r − l < ε
Beweis: Nehme l1 ∈ L, r1 ∈ R. Laut der Archimedischen Eigenschaft von Q
1
gibt es ein N ∈ N mit N > r1 −l
ε .
−l1
Betrachte N + 1 Zahlen xk = l1 + r1N
· k, k = 0, 1, 2, . . . , N
Dann gilt: x0 = l1 ∈ L und xN = r1 ∈ R. Es gibt unter xn die letzte Zahl aus
L und die erste Zahl aus R. Sie sollen l bzw. r heißen.
−l1
< ε.
¥
Also: 0 < r − l = r1N
(A4) (−α) + α = α + (−α) = 0
Sei α = (L, R) ein Schnitt. Setze
e R)
e mit L
e := {y ∈ Q; −y ∈ R}, R
e := {y ∈ Q; −y ∈ L},
−α := (L,
falls α irrational
e := {y ∈ Q; y ≤ −x}, R
e := {y ∈ Q; y > −x} falls α = x ∈ Q
L
e = R0
Zu zeigen: R + R
e ⊂ R0 : es seien r ∈ R, re ∈ R
e ⇒ re = −l mit l ∈ L.
a) R + R
Dann r + re = r − l > 0, d.h. r + re ∈ R0
e nach Lemma 5.5, gibt es zu jeder y ∈ R0 die Zahlen. r ∈
b) R0 ⊂ R + R:
R, l ∈ L mit y1 := r − l < y.
e
Setze re := −l + (y − y1 ) > −l, so dass re ∈ R.
Es gilt: r + re = r − l + y − y1 = y
¥
Satz und Definition 5.6 (Multiplikation positiver reeller Zahlen)
Seien α1 = (L1 , R1 ), α2 = (L2 , R2 ) Schnitte, α1 > 0, α2 > 0.
Dann ist
R1 · R2 := {r1 · r2 ; r1 ∈ R1 , r2 ∈ R2 }
eine Schnittobermenge. Der entsprechende Schnitt heißt α1 · α2
5 Reelle Zahlen
18
Beweis: - völlig analog zum Satz 5.4 ¥
Wir beweisen, dass die Eigenschaften (M1)-(M4) und (D) für die so eingeführte
Multiplikation erfüllt sind.
(M1),(M2),(D) folgen sofort aus den entsprechenden Eigenschaften von Q.
(M3):
Existenz von 1 ∈ R mit α · 1 = 1 · α = α
1 := (L1 , R1 ) mit L1 := {y ∈ Q; y ≤ 1} R1 := {y ∈ Q; y > 1}
zu zeigen:
R · R1 = R1 · R = R
für beliebige Schnittobermenge R einer Zahl α > 0.
a) R · R1 ⊂ R: ist r ∈ R und r1 ∈ R1 ⇔ r1 > 1, so gilt r · r1 > r ⇒ r · r1 ∈ R
b) R ⊂ R · R1 : ist r ∈ R, so gibt es r∗ ∈ R mit r∗ < r. Dann folgt
r
r
r
> 1 ⇔ ∗ ∈ R1 und r = r∗ · ∗
∗
r
r
r
(M4): Existens der Inversen für jedes Element: α−1 · α = α · α−1 = 1. Für
jede rationale Zahl x definiert man den Schnitt
e := {y ∈ Q; y > 1 }
e R),
e L
e := {y ∈ Q; y < 1 }, R
x−1 = (L,
x
x
Für jedes irrationale α = (L, R) ∈ R, α > 0 definiert man:
e R)
e mit L
e := {y ∈ Q; y ≤ 0 oder 1 ∈ L}, R
e := {y ∈ Q; 1 ∈ L und y > 0}
α−1 := (L,
y
y
e = R1
Zu zeigen: R · R
e ⊂ R1 : es seien r ∈ R, re ∈ R
e ⇔ ( 1 und 1 ∈ L).
a) R · R
r
e
r
e
Dann gilt es: l < r, deswegen r · re = rl > 1, d.h. r · re ∈ R1 .
e es sei y ∈ R1 ⇔ y > 1. Wähle ein l∗ ∈ L, l∗ > 0. Nach
b) R1 ⊂ R · R:
Lemma 5.5 gibt es r ∈ R, l ∈ L mit l > l∗ und 0 < r − l < (y − 1)l∗ . Setze
re = yr .
e und
Dann gilt es: r − l < (y − 1)l ⇒ r < yl ⇒ yr > 1l ⇔ re > 1l ⇒ re ∈ R
r · re = y.
¥
Multiplikation von nicht-positiven reellen Zahlen:
α1 · α2 =
=
=
=
−(−α1 ) · α2 , falls α1 < 0, α2 > 0
−α1 · (−α2 ), falls α1 > 0, α2 < 0
(−α1 ) · (−α2 ), falls α1 < 0, α2 < 0
0, falls α1 = 0 oder α2 = 0.
Man überprüft die Eigenschaften (M1)-(M4), (D) Fall für Fall.
5 Reelle Zahlen
19
Satz 5.7 (Vollständigkeit reeller Zahlen)
R ist ein angeordneter Körper, mit der Archimedischen Eigenschaft, sowie mit
der folgenden Eigenschaft, die ihn von Q unterscheidet:
(V) Sind A ⊂ R und B ⊂ R nichtleere Mengen mit α < β ∀α ∈ A, ∀β ∈ B
so existiert γ ∈ R mit
α ≤ γ ≤ β ∀α ∈ A, ∀β ∈ B
A
B
Abbildung 1: A und B müssen nicht unbedingt zusammenhängend sein
Beweis: (O1)-(O3) und Archimedische Eigenschaft sind leicht einzusehen.
(bzw. wurden bereits bewiesen).
Beweis von (V):
[
L := {l ∈ Q; ∃α ∈ A mit l ≤ α} =
Lα , L ⊂ Q, L 6= ∅, L 6= Q
α∈A
R := {r ∈ Q; ∃β ∈ B mit r > β} =
[
β∈B
Rβ ,
R ⊂ Q, R 6= ∅, R 6= Q
Es gilt: l < r ∀l ∈ L, ∀r ∈ R.
Wenn L ∪ R 6= Q, dann ∃c ∈ Q : (c ∈
/ L und c ∈
/ R).
Also gilt ∀α ∈ A, ∀β ∈ B : α < c ≤ β
Wenn L ∪ R = Q, dann ist γ := (L, R) ein Schnitt.
Da ∀α ∈ A, ∀β ∈ B gilt: Lα ⊂ L, Rβ ⊂ R haben wir
∀α ∈ A, ∀β ∈ B : α ≤ γ ≤ β
¥
Man kann zeigen, dass es nur einen (bis auf Isomorphismen) archimedischen,
angeordneten und vollständigen Körper gibt.
Definition 5.8 (Schranke und Supremum/Infimum)
a) Eine Menge A ⊂ R heißt nach oben (nach unten) beschränkt, falls
∃c ∈ R mit α ≤ c (bzw. α ≥ c) ∀α ∈ A
Die Zahl c heißt eine obere (eine untere) Schranke für A.
5 Reelle Zahlen
20
b) γ ∈ R heißt Supremum, oder die kleinste obere Schranke (Infimum, oder die
größte untere Schranke) der Menge A ⊂ R, falls sie eine obere (untere) Schranke
für A ist und
∀γ 0 < γ∃α ∈ A mit α > γ 0 (bzw. ∀γ 0 > γ∃α ∈ A mit α < γ 0 )
Schreibweise:
sup A oder: sup α
α∈A
inf A oder: inf α
α∈A
Satz 5.9 (Existenz von sup und inf )
Für jede nichtleere nach oben (nach unten) beschränkte Menge A ⊂ R existiert
sup A (bzw. inf A).
Beweis: (für sup A)
Setze B := {β ∈ R; ∀α ∈ A : α < β} Dann sind A und B wie in (V).
Aus (V) folgt: ∃γ ∈ R mit α ≤ γ ≤ β ∀α ∈ A, ∀β ∈ B,
Wir zeigen: γ = sup A. Dann ist γ eine obere Schranke für A. Sollte γ 0 < γ auch
0
eine obere Schranke für A sein, d.h. α ≤ γ 0 ∀α ∈ A so würde α < γ+γ
∀α ∈ A.
2
γ+γ 0
γ+γ 0
¥
Das würde bedeuten 2 ∈ B und somit γ ≤ 2 . Widerspruch!
Bemerkung
Intervalle
sup A (inf A) kann zu A gehören oder auch nicht!
sind beschränkte Mengen in R.
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} geschlossenes Intervall
(a, b) =]a, b[= {x ∈ R; a < x < b} offenes Intervall
[a, b) = [a, b[= {x ∈ R; a ≤ x < b} halboffenes Intervall
(a, b] =]a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} halboffenes Intervall
sup A = b, inf A = a
[a, +∞) = {x ∈ R; x ≥ a}
(a, +∞) = {x ∈ R; x > a}
(−∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a}
(−∞, a) = {x ∈ R; x < a}
Definition 4.1 (vom Betrag) sowie Satz 4.2 mit Folgerungen gelten für R entsprechend.
5 Reelle Zahlen
21
a
a−
a+
Epsilon-Umgebung:
(a − ε, a + ε) = {x ∈ R; |x − a| < ε} = Bε (a)
heißt die ε-Umgebung der Zahl a ∈ R (ε > 0)
Satz und Definition 5.10 (Wurzel vom Grad m ∈ N)
Zu jeder Zahl a ∈ R, a > 0 und zu jeder Zahl m ∈ N, m ≥ 2 gibt es genau eine
Zahl x ∈ R mit
xm = a
√
√
√
Diese Zahl wird durch m a bezeichnet. 2 a = a
Beweis: B := {x ∈ R; x > 0 und xm > a} B ist nach unten beschränkt und
nicht leer. (wenn a ≤ 1 ist 1 ∈ B und wenn a > 1 ist a ∈ B) Nach Satz 5.9
existiert c := inf B
Behauptung: cm = a
Es kann nicht sein, dass cm > a (d.h. c ∈ B) Denn: sollte cm > a gelten, dann
gäbe es ein c∗ ∈ B mit c∗ < c so dass dann c keine untere Schranke mehr für B
ist. Wähle (vgl. H10):
1 cm − a
c∗ = c −
m cm−1
∗
Tatsächlich gilt: 0 < c < c und:
µ
¶m
1 cm − a
∗ m
(c ) − a = c −
−a=
m cm−1
¶¶m
µ µ
1 cm − a
− a > (Bernoulli − U ngleichung)
c 1−
m cm
cm − a
)−a=0
cm
< a gelten: betrachte (c + ε)m mit 0 < ε <
cm (1 −
c
m
Ferner, sollte cm
ma (a − c ), so
dass:
³
ε ´m
mε
1
cm
1−
≥ (Bernoulli) ≥ 1 −
> 1 − (a − cm ) =
c
c
a
a
daher:
(c + ε)m =
µ
c2 − ε2
c−ε
¶m
<
c2m
c2m
cm
= m
ε m < cm = a
m
(c − ε)
c (1 − c )
a
Also wäre c + ε eine untere Schranke für B ⇒ c ist nicht die größte untere
Schranke → Widerspruch zur Voraussetzung. Somit ist cm = a bewiesen. ¥
6 Reelle Folgen und Konvergenz
6
22
Reelle Folgen und Konvergenz
Definition 6.1 (Folge)
Eine Funktion
a:N→R
heißt eine (reelle) Folge. Bezeichnung: a(n) = an
(an )n∈N oder (an )n≥1
Als Definitionsbereich kann man auch N0 oder {n ∈ N0 ; n ≥ k} benutzen. Die
Bezeichnung lautet dann: (an )n≥0 bzw. (an )n≥k
Definition 6.2 (Monotone Folgen)
Eine Folge (an )n≥1 heißt:
• monoton wachsend, falls an+1 ≥ an ∀n ∈ N
• monoton fallend, falls an+1 ≤ an ∀n ∈ N
• streng monoton wachsend, falls an+1 > an ∀n ∈ N
• streng monoton fallend, falls an+1 < an ∀n ∈ N
• monoton falls sie monoton wachsend oder monoton fallend ist
Beispiel:
a1 a2
a3=a4
a5
a5=a6
a3
a2
a1
Abbildung 2: Monoton steigende und monoton fallende Folge
Definition 6.3 (Beschränkte Folge)
Eine Folge (an )n≥1 heißt nach oben (nach unten) beschränkt, falls
∃c ∈ R mit
an ≤ c ∀n ∈ N
(bzw. an ≥ c ∀n ∈ N)
(an )n≥1 heißt beschränkt, falls sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
a6 a3
a1
a4
a2
c=a 5
Abbildung 3: Nach oben beschränkte Folge
Definition 6.4 (Konvergenz)
Eine Folge (an )n≥1 heißt konvergent gegen die Zahl c ∈ R (die dann Grenzwert
von (an )n≥1 heißt), falls
∀ ε > 0 ∃ N ∈ N : ∀ n ≥ N : |an − c| < ε
Schreibweise: limn→∞ an = c oder an −−−−→ c
n→∞
6 Reelle Folgen und Konvergenz
23
alle Glieder mit n
>
_ N sind hier
c−
c
c+
Bemerkung: N ist abhängig von ε. N = N (ε), je kleiner ε desto größer wird N .
Konvergiert (an )n≥1 nicht, so heißt die Folge divergent.
Satz 6.5 (Eindeutigkeit des Grenzwertes)
Ist limn→∞ an = c1 und limn→∞ an = c2 , so gilt c1 = c2
Beweis:
∀ ε > 0 ∃ N1 = N1 (ε) ∈ N ∃ N2 = N2 (ε) ∈ N :
|an − c1 | < ε ∀n > N1
|an − c2 | < ε ∀n > N2
Für N = N (ε) = max(N1 (ε), N2 (ε)) gelten beide Ungleichungen für alle n > N .
Dann folgt mit der Dreiecksungleichung:
|c1 − c2 | ≤ |an − c1 | + |an − c2 | < 2ε ∀ n > N
Sollte |c1 − c2 | > 0 gelten, so hätte man einen Widerspruch
(z.B. bei ε = 31 |c1 − c2 |). Daher ist c1 = c2 .
¥
Satz 6.6
Jede nach oben (nach unten) beschränkte, monoton wachsende (fallende) Folge
konvergiert.
Beweis:
Sei (an )n≥1 monoton wachsend und nach oben beschränkt. Setzte
c = sup an
n∈N
Behauptung: c = limn→∞ an . Tatsächlich, ist c eine obere Schranke für
[
{an }
A=
n∈N
Das heißt: an ≤ c.
∀ ε > 0 ist c − ε keine obere Schranke für A mehr, d.h.
∃ N ∈ N : aN > c − ε
Aber: (an )n≥1 ist monoton wachsend. Daher ist an > c − ε
∀n≥N
¥
6 Reelle Folgen und Konvergenz
24
an mit n _> N
c− aN
c
Beispiele:
• (an )n≥1 = (−1)n beschränkt, weil |an | ≤ 1 (∀n ∈ N)
• (an )n≥1 =
n
n+5
beschränkt, weil 0 ≤ an ≤ 1
• (an )n≥1 = 1000
n ist eine Nullfolge limn→∞ an = 0 (folgt aus der Archimedischen Eigenschaft)
• (an )n≥1 = q n mit 0 < q < 1 ist eine Nullfolge limn→∞ an = 0.
1
1
1
n
n
q = 1 + x mit x > 0
q n = (1 + x) > 1 + nx > nx ⇔ q < nx
ist eine Nullfolge, weil n2 < 2n für n > 3 ⇒ 2nn < n1
¢n
¡
= 1 + nx ist nach (T6) monoton für n > |x| und beschränkt
• (an )n≥1 =
• (an )n≥1
n
2n
1
• an+1 = an − m
√
m
gegen
x
am
n −x
m−1
an
ist nach (H10) monoton, beschränkt und konvergiert
Satz 6.7
Jede konvergente Folge ist beschränkt
Beweis:
Es sei limn→∞ = c. Nehme ε = 1 dann ∃N0 ∈ N so dass gilt:
|an − c| < 1
∀n ≥ N0
also |an | < |c| + 1. Setze jetzt:
C := max(|a1 |, |a2 |, . . . , |aN0 −1 |, |c| + 1)
Dann sieht man |an | < C ∀n ∈ N
Warnung: Nicht jede beschränkte Folge konvergiert
¥
Beispiel: an = (−1)n . Tatsächlich, sollte limn→∞ an = c, würde |c − 1| < ε
und |c + 1| < ε gelten. Widerspruch!
Satz 6.8
Seien (an )n≥1 , (bn )n≥1 konvergent. Dann sind auch (an +bn )n≥1 und (an ·bn )n≥1
konvergent und es gilt:
lim (an + bn ) = lim an + lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = lim an · lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
6 Reelle Folgen und Konvergenz
Beweis:
25
Es seien a = limn→∞ an und b = limn→∞ bn
I Summe: ∀ε > 0 ∃N1 = N1 ( 2ε ) ∈ N ∃N2 = N2 ( 2ε ) ∈ N :
|an − a| <
ε
∀n ≥ N1
2
ε
∀n ≥ N2
2
Setze N = max(N1 , N2 ). Für alle n ≥ N gilt dann:
|bn − b| <
|an + bn − (a + b)| <
ε ε
+ =ε
2 2
I Produkt: Beide Folgen (an ), (bn ) sind nach Satz 6.7 beschränkt.
|an | ≤ c, |bn | ≤ c ∀n ∈ N
³ε´
³ε´
∀ε > 0 ∃N1 = N1
∈ N ∃N2 = N2
∈N:
2c
2c
ε
∀n ≥ N1
|an − a| <
2c
ε
|bn − b| <
∀n ≥ N2
2c
Setze N = max(N1 , N2 ). Es gilt für alle n ≥ N :
|an · bn − a · b| = |(an − a)bn + a(bn − b)| ≤
|an − a| · |bn | + |a| · |bn − b| < c
ε
ε
+c =ε
2c
2c
¥
Satz 6.9
Es sei (bn )n≥1 eine konvergente Folge mit limn→∞ bn = b 6= 0. Dann konvergiert
auch
µ ¶
1
1
1
mit
lim
=
n→∞ bn
bn n∈N
b
Beweis: Es gibt N0 ∈ N : |bn − b| <
Daraus folgt: |bn | > |b|
2 (∀n ≥ N0 )
|b|
2
für alle n ≥ N0 .
∀ε > 0 ∃ N1 = N
|bn − b| <
µ
ε|b|2
2
¶
:
ε|b|2
(∀n ≥ N1 )
2
Für alle n ≥ max(N0 , N1 ) gilt:
¯
¯
2
¯1
¯
¯ − 1 ¯ = |bn − b| < ε|b| · 1 · 2 = ε
¯ bn
b¯
|bn ||b|
2
|b| |b|
¥
6 Reelle Folgen und Konvergenz
26
Folgerung 6.10
Sind (an )n≥1 , (bn )n≥1 zwei konvergente Folgen mit
limn→∞ an = a und limn→∞ bn = b 6= 0, so konvergiert auch
µ ¶
a
an
an
=
mit lim
n→∞ bn
bn n≥1
b
Beispiel:
an =
5 + n6
5
5n3 + 6n2
konvergent,
lim
a
=
lim
=
n
8
3
n→∞
n→∞
7n − 8n
7
7 − n2
Satz 6.11
Sind (an )n≥1 , (bn )n≥1 zwei konvergente Folgen mit an ≤ bn ∀n ∈ N, so gilt:
lim an ≤ lim bn
n→∞
Beweis:
n→∞
Setze a = limn→∞ an , b = limn→∞ bn . Angenommen b < a. Zu
a n für n >
_N
b n für n >
_N
b
jedem 0 < ε <
Dann gilt:
a−b
2
b+
a−
a
gibt es N = N (ε) mit |an − a| < ε, |bn − b| < ε (∀n ≥ N )
an − bn > (a − ε) − (b + ε) = a − b − 2ε > 0
Widerspruch zu an < bn .
Warnung: aus an < bn folgt nur a ≤ b und nicht a < b!
Beispiel: an = 0, bn = n1
Satz 6.12
Sind (an )n≥1 , (bn )n≥1 zwei konvergente Folgen mit an ≤ bn ∀n ∈ N und
limn→∞ an = limn→∞ bn = a, so gilt für jede Folge (cn )n≥1 mit
an ≤ cn ≤ bn :
lim cn = a
n→∞
Beweis: ∀ε > 0 ∃ N ∈ N : |an − a| < ε und |bn − a| < ε für alle n ≥ N
Dann gilt auch: a − ε < an ≤ cn ≤ bn < a + ε für n ≥ N
also |cn − a| < ε (∀n ≥ N )
¥
Definition 6.13 (Teilfolge)
Sei (an )n≥1 eine Folge und gegeben eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen
n1 < n2 < n3 < . . .
Dann heißt
k 7→ an k = a(nk )
eine Teilfolge von (an )n≥1 . Bezeichnung: (an k )k≥1
6 Reelle Folgen und Konvergenz
27
Offensichtlich: jede Teilfolge einer konvergenten Folge (an )n≥1 konvergiert gegen
a = limn→∞ an
Definition 6.14 (Häufungspunkt)
k ∈ R heißt ein Häufungspunkt für die Folge (an )n≥1 , falls ∀ε > 0 gibt es
unendlich viele n ∈ N für die gilt: |an − k| < ε
Bemerkung
(Unterschied zwischen Grenzwert und Häufungspunkt):
I Ist c der Grenzwert der Folge (an )n≥1 befinden sich alle an mit n ≥ N (ε)
in der Epsilon-Umgebung von c, d.h. alle bis auf endlich viele.
I Ist h ein Häufungspunkt der Folge (an )n≥1 so befinden sich in der EpsilonUmgebung von h unendlich viele an , aber es können ebenso unendlich viele
an außerhalb von Bε (a) liegen.
Beispiele:
I an = (−1)n Häufungspunkte: +1 und −1
I limn→∞ an = a ⇒ an besitzt genau einen Häufungspunkt, den Grenzwert
a
I Q ist abzählbar (T7), d.h. es gibt eine injektive Folge a : N → Q. In jedem
Intervall der reellen Achse (h−ε, h+ε) befinden sich unendlich viele Zahlen
aus Q. Daher ist jede Zahl h ∈ R ein Häufungspunkt für (an )n∈N .
Satz 6.15
h ∈ R ist genau dann Häufungspunkt der Folge (an )n∈N , wenn es eine Teilfolge
(an k )k∈N gibt, mit limk→∞ an k = h
Beweis:
I Sei h = limk→∞ an k Dann gilt: ∀ε > 0 liegen in (h − ε, h + ε) alle bis auf
endlich viele Glieder der Folge (an k )k∈N , also unendlich viele Glieder der
Folge (an )n∈N .
I Sei h ein Häufungspunkt von (an )n∈N . Sei (εk )k∈N eine Nullfolge, z.B.
εk = k1 .
Nehme n1 mit |an1 − h| < ε1 = 1
1
Nehme n2 mit |an2 − h| < ε2 =
2
1
Nehme n3 mit |an3 − h| < ε3 =
3
u.s.w
n1 < n2 < n3 < · · · < nk sei eine Folge der Indizes mit |an k − h| < εk =
Dann gilt:
lim an k = h
1
k
k→∞
¥
6 Reelle Folgen und Konvergenz
28
Satz 6.16 (von Bolzano-Weierstraß)
1
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt Häufungspunkte. Insbesondere
hat sie einen größten Häufungspunkt
h = lim an = lim sup an
n→∞
n→∞
Limes superior
und einen kleinsten Häufungspunkt
h = lim an = lim inf an
n→∞
n→∞
Beweis:
Limes inferior
Es gelte l ≤ an ≤ r ∀n ∈ N
A :={x ∈ R; es gibt unendlich viele n mit an ≥ x}
B :={x ∈ R; es gibt höchstens endlich viele n mit an > x}
l ∈ A, r ∈ B ⇒ A 6= ∅, B 6= ∅
a < b ∀a ∈ A, b ∈ B
a ∈ A ⇒a0 ∈ A für alle a0 < a
b ∈ B ⇒b0 ∈ B für alle b0 > b
)
x∈
/A ⇒x∈B
⇒ A∪B =R
x∈
/B ⇒x∈A
Wir verwenden den Satz über die Vollständigkeit der reellen Zahlen (5.7):
∃ c ∈ R mit a ≤ c ≤ b für alle a ∈ A, b ∈ B. Wir zeigen c = lim supn→∞ an ,
also:
I c ist ein Häufungspunkt
I c0 > c ⇒ c0 ist kein Häufungspunkt
Für diese Zahl c und ∀ε > 0 gilt:
(
)
x∈
/A ⇒x∈B
es gibt unendlich viele
⇔
x∈
/B ⇒x∈A
es gibt höchstens endlich viele
n
n
mit an ≥ c − ε
mit an > c + ε
daraus folgt: es gibt unendlich viele n mit c − ε ≤ an ≤ c + ε, d.h. c ist ein
Häufungspunkt für an
Nehme c0 > c. Setze ε =
c0 −c
2 .
Dann ist
c+ε=
c + c0
∈B
2
0
also gibt es höchstens endlich viele n mit an ≥ c0 − ε = c + ε = c+c
2 , d.h.
die ε–Umgebung von c0 enthält höchstens endlich viele an . Daher ist c0 kein
Häufungspunkt von (an ). Also:
c = lim sup an
n→∞
Beweis der Existenz von lim inf n→∞ an geht analog.
¥
1 B.Bolzano
(1781–1848) tschechischer Theologe und Mathematiker, trotz Publikationsverbot Entdecker vieler Sätze der Analysis, wie man nach seinem Tod herausfand.
K.Weierstraß (1815–1897) bedeutender deutscher Mathmatiker, Gymnasiallehrer und später
Universitätsprofessor in Berlin
6 Reelle Folgen und Konvergenz
29
Frage: Wie kann man Konvergenz einer Folge (an )n∈N feststellen, wenn der
Grenzwert c unbekannt ist?
Definition 6.17 (Cauchy-Folge/Fundamentalfolge)
Eine Folge(an )n∈N reeller Zahlen heißt Cauchy–Folge, falls
∀ε > 0 : ∃ N = N (ε) ∈ N : |an − am | < ε für alle m, n ≥ N
Satz 6.18 (von Cauchy)
Eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine
Cauchy–Folge ist.
Beweis:
I Es sei (an ) eine konvergente Folge. limn→∞ an = c. Das bedeutet:
)
|an − c| < 2ε ∀n ≥ N
∀ε > 0 ∃ N ∈ N :
⇒ |an −am | ≤ |an −c|+|am −c| < ε ∀n, m ≥ N
|am − c| < 2ε ∀m ≥ N
I Es sei (an ) eine Cauchy-Folge. Wir zeigen zunächst, dass (an ) eine beschränkte
Folge ist. Für ε = 1 gibt es N1 ∈ N mit |an − am | < 1 ∀m, n ≥ N1 . Es folgt:
∀n ≥ N1 : |an − aN1 | < 1
Dreiecksungl.
⇒
|an | < |aN1 | + 1 (∀n ≥ N1 )
Jetzt gilt:
|an | ≤ C := max(|a1 |, |a2 |, . . . , |aN1 −1 |, |aN1 + 1|) für alle n ∈ N
D.h. an ist beschränkt. Wir wenden den Satz von Bolzano-Weierstraß an: Es
gibt eine konvergente Teilfolge (ank )k∈N mit limk→∞ ank = h (Sätze 6.15 und
6.16)
Wir zeigen:
limn→∞ an = h
∀ε > 0 ∃ N0 ∈ N : |ank − h| <
∀ε > 0 ∃ N2 ∈ N : |an − am | <
ε
für alle nk ≥ N0
2
ε
für alle n, m ≥ N2
2
Wähle ein nk ≥ max(N0 , N2 ), dann gilt für alle n ≥ N2
|an − h| ≤ |an − ank | + |ank − h| <
ε ε
+ =ε
2 2
¥