Vektorrechnung 1.¨Ubungsblatt

Vektorrechnung
1.Übungsblatt
1. Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke [P1 P2 ] sind (−1, −4, 8), wobei P1 (x1 , y1 , z1 )
und P2 (2, 3, 6). Findet die Koordinaten von P1 .
2. Im Dreieck ABC wählt man auf BC einen Punkt A0 , der die Strecke in dem Verhältnis
BA0
= λ teilt. Dann gilt, für einen beliebigen Punkt P ∈ E3 die vektorielle Gleichung:
A0 C
P A0 =
1
λ
PB +
P C.
1+λ
1+λ
3. Lehrsatz der Winkelhalbierenden. Es sei das Dreieck ABC und D ∈ (BC) gegeben.
BD AB
[ wenn
=
.
[AD ist genau dann die Winkelhalbierende des Winkels BAC,
DC
AC
4. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt, der sich in
einem Abstand von 2/3 von der Ecke und 1/3 von der Basis befindet. Der Schnittpunkt
der Seitenhalbierenden heißt Schwerpunkt des Dreiecks.
5. In einem Dreieck ABC ist BC = a, CA = b, AB = c. Die Winkelhalbierende des
Innenwinkels A schneidet BC in A1 , dann gilt für alle Punkte M aus dem euklidischen
Raum E3 die Beziehung
b
c
M A1 =
MB +
M C.
b+c
b+c
6. In einem konvexen Viereck ABCD, sei M der Mittelpunkt von AB, N der Mittelpunkt
von CD und P der Mittelpunkt von M N . Dann ist P A + P B + P C + P D = 0.
7. Gegeben wird ein Tetraeder ABCD und A0 der Schwerpunkt des Dreiecks BCD. Dann
gilt
1
AA0 = (AB + AC + AD).
3
8. Es sei S die Spitze der Pyramide, deren Grundfläche ein Parallelogramm ABCD ist. Die
Diagonalen des Parallelogramms schneiden sich im Punkt M . Dann gilt
SA + SB + SC + SD = 4SM .
9. Der Satz von Pappus Sei ABC ein Dreieck und A0 ∈ BC, B 0 ∈ AC, C 0 ∈ AB andere
Punkte als die Spitzen des Dreiecks, so dass
A0 B
B0C
C 0A
=
=
=λ
A0 C
B0A
C 0B
gilt. Dann besitzen die Dreiecke ABC und A0 B 0 C 0 denselben Schwerpunkt.
10. Ist I der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC und P ein beliebiger Punkt im
euklidischen Raum, dann ist
PI =
1
(aP A + bP B + cP C)
a+b+c
(Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden für die Innenwinkel des Dreiecks).
11. Im Dreieck ABC bezeichnet man mit H den Orthozentrum (Höhenschnittpunkt), mit
O den Umkreismittelpunkt (der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) und mit G den
Schwerpunkt. Dann gelten:
(a) OA + OB + OC = OH;
(b) HA + HB + HC = 2HO;
(c) HA + HB + HC = 3HG;
(d) die Punkte H, G, O sind kollinear (sie bilden die sogenannte Eulergerade). Im Fall
eines gleichseitigen Dreiecks fallen die drei Punkte übereinander, was dazu führt,
dass die Eulergerade nicht existiert.