Elemente der Schulgeometrie

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Elemente der Schulgeometrie
www.didmath.ewf.uni-erlangen.de
→ Material zu den Veranstaltungen
→ HS: Grundbegriffe der Geometrie SS 2006
→ Aufgaben (zu Beginn der Übungsstunde abgeben)
Schein auf Übungen; nur bei Bestehen der Klausur (mind. 75% mit „o“ bewertet!)
I. Ziele des Geometrieunterrichts
- Erwerb
· elaborierten Wissens über Figuren, Körper, geometrische Operationen sowie deren Beziehungen
Bsp.
→ Eigenschaften (Form, Durchmesser, Bedeutung des Mittelpunkts,
Radius etc.)
· handwerklicher und formaler Techniken (Konstruieren, Zeichnen, Messen, Berechnen, …)
- Befähigung zur Anwendung dieses Wissens
· Alltag, Beruf und weiterführende Schulen
- Erziehung zu konzentriertem sauberen Arbeiten
· Zeichnen, Basteln, Lösen einer Berechnungsaufgabe
- Förderung von Problemlösetechniken
· speziell auf die Geometrie bezogen, aber auch allgemein
- Förderung kreativen Verhaltens
· Freude am Schaffen und Entdecken
· Kreativitätsroutinen
Forderungen aus dem Mathematik-Fachprofil (Lehrplan):
auf www.didmath.ewf.uni-erlangen.de
- Beim Lösen … geometrischer Aufgaben sollen die Schüler … Flexibilität und problemlösendes Denken
entwickeln.
- Der Unterricht soll zur Selbstständigkeit ermuntern, den Einfallsreichtum fördern und Freude am mathematischen Tun wecken … gestalterischer Umgang mit geometrischen Formen können dazu beitragen, das die Schüler Freude am mathematischen Tun gewinnen.
- Versuche, … Lösungswege zu variieren, sollen den Schülern das Durchdringen und selbstständiges
Bearbeiten von Aufgaben erleichtern.
- … räumt der Unterricht auch der Entwicklung von Lösungsideen Platz ein.
- Zunehmend verwenden die Schüler gängige Begriffe der mathematischen Fachsprache. Es ist aber
darauf zu achten, dass sie mathematische Bezeichnungen und Symbole mit inhaltlichen Vorstellungen
und Wissen verbinden.
- Kenntnisse übe geometrische Figuren und das Wissen um geometrische Beziehungen können aus der
Arbeit mit konkreten Modellen sowie dem zeichnerischen Darstellen erwachsen. Durch häufige und
vielfältige kopfgeometrische Aufgaben wird intensiv das räumliche Denken und Vorstellungsvermögen
geschult.
Bsp. Würfel = 8 Ecken → nicht abzählen lassen → Förderung des Vorstellungsvermögens!
„Kopfgeometrische Übungen“:
Start 1 – 2 – 3 → Modell des Objekts im Kopf!
- Berechnungsformeln dürfen nicht zu früh eingeführt, sie müssen schrittweise aus der Anschauung entwickelt werden. Eine wiederholte Rückbesinnung auf ihre Gewinnung erleichtert den Schülern eine
flexible Anwendung.
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Bildung geometrischer Begriffe
Sprech- und Schreibweisen:
- Man fasst in der Geometrie Figuren bzw. Körper als Teilmengen und Punkte als Elemente der Ebene
bzw. des Raums auf.
- Damit sind spezielle Sprech- bzw. Schreibweisen aus der Mengenlehre verbunden.
Bsp.
A∈g
[ AB ] ⊂ g
→ Element
→ Teilmenge
Zwischen Figuren werden durch ⊂ , ⊃ , ⊄ … Beziehungen dargestellt!
[ AB ] ∩ g, wenn sich [ AB ] und g schneiden!
Durch ∩ , ∪ , \ werden aus zwei Figuren neue Figuren erzeugt!
[ AB ] \ { B } = [ AB [
- Die Ebene (bzw. der Raum) kann mittels eines Koordinatensystems beschrieben werden. Man spricht
dann vom R2 bzw. R3.
A=(3|2)↔A(3|2)
Kreis um A mit r = 1 cm ↔ k (A, 1 cm) = { x | [ AX ] = 1 cm }
| = mit der Eigenschaft
- Es muss generell zwischen Figur und dem ihr zugeordneten Maße unterschieden werden!
→ k (A , 1 cm) = { x | AX = 1 cm }
Empfohlene Schreibweisen:
A, B, C
P (x, y)
AB
[ AB ]
AB
g, h, k
Punkte
Punkt im Koordinatensystem mit den Koordinaten x und y
Gerade durch A und B
Strecke von A nach B
Länge der Strecke [ AB ]
Geraden
g h
g ist parallel zu h
g ⊥ h
∢ (ABC)
α, β, γ, δ
g ist senkrecht zu h
Winkel mit Scheitelpunkt B
Winkelmaß
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Naive Vorstellung
Zu vielen Begriffen existiert eine naive Vorstellung. Sie ist oft gekennzeichnet durch
- Prototypen → verschiedene Viereckarten
· Sonderformen (Rechteck statt Viereck)
· Normallagen (Quadrat vs. Raute)
· Standardproportionen (Draht = Zylinder, Blatt Papier = Quader?)
- Bezug zu bestimmter Sachsituation (z. B. Cheopspyramide)
Bsp. Was bedeutet „achsensymmetrisch“?
- Unschärfe (Achsensymmetrie = … zwei gleiche Teile …)
- Eigenschaftsarmut (Parallelogramm nur Parallelität)
An diese naive Vorstellung sollte im Unterricht angeknüpft werden.
- Teilweise, um sie auszumerzen, da sich diese sonst auf Dauer festigt! (Raute vs. Quadrat)
- Teilweise, um sie auszunutzen
· als Merkhilfe für Bezeichnungen (Pyramide, Trapez, Zylinder, …)
· als mentale Prototypen, z. B. bildliche Repräsentation im Gedächtnis:
Normallage, bestimmte Proportionen:
Bsp. Satz von Thales
???
· als Ausgangspunkt für eine Verallgemeinerung (schiefe nichtquadratische Pyramide)
Fachmathematischer Aspekt
Begriffe (z. B. Figuren, Relationen, Abbildungen, …) werden definiert, d. h. so knapp wie möglich
eindeutig beschrieben und mit einem Namen bezeichnet.
Bsp.
besser:
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten ist ein gleichseitiges
Dreieck.
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten nennt man gleichseitiges
Dreieck.
Fachmathematische Definition für „Vieleck“:
Als Streckenzug A1, A2, …, An bezeichnet man eine Figur
[A1A2] ∪ [A2A3] ∪ … ∪ … [An-1An].
Als Vieleck bzw. n-Eck bezeichnet man einen Streckenzug A1A2 … An+1,
a) der geschlossen ist, d. h. An+1 = A1.
b) der nicht überschlagen ist, d. h.
{Aj}
, falls i + 1 = j
[AiAi+1] ∩ [AjAj+1] =
{Aj+1} , falls j + 1 = i
Ø
für i ≠ j const.
c) bei dem keine drei benachbarten Punkte kollinear sind, d. h.
Ai ∈ Ai-1Ai+1 und A1 ∈ A1A2
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- Definitionen erfolgen oft durch
· Einschränkung bereits definierter bzw. Grundbegriffe mit Hilfe definierter Begriffe
· Abstraktionsprozess durch Äquivalenzklassenbildung (z. B. Flächeninhalt)
- „Definierende“ Einschränkungen müssen unabhängig sein.
Bsp.
schlecht:
Rechteck nennt man ein Viereck mit drei rechten Innenwinkeln.
Rechteck nennt man ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln, gleich
langen und gegenüberliegenden Seiten.
- Meist existiert eine Vielzahl möglicher äquivalenter Definitionen
Bsp. Parallelogramm:
- Figur mit zwei Paar paralleler Gegenseiten.
- Figur, deren gegenüberliegende Seiten jeweils gleich lang sind.
- Definition im Unterricht:
· Für den Unterricht sind strenge Definitionen manchmal zu kompliziert.
Dennoch müssen auch dort Definitionen klar und eindeutig sein!
· Ausgangsbegriff oder einschränkende Eigenschaften können im Unterricht
- vorher definiert,
- aus Alltag bekannt und eindeutig verwendet oder
- an Beispielen und Gegenbeispielen geklärt werden.
· Beispiel für eine schulgerechte „Definition“ von Viereck:
Ein Vieleck ist ein ebener, nicht überschlagener und geschlossener Streckenzug.
Vielecke:
keine Vielecke:
Dreieck, nicht Vieleck:
· Definitionen können „statisch“ oder „dynamisch“ erfolgen
- Bsp. Kegel
statisch: Definition über Grundfläche und Verbindungen zur Spitzes des Kegels
dynamisch: Definition über rechtwinkliges, rotierendes Dreieck
statisch:
dynamisch:
- Bsp. Parallelogramm
statisch: Definition über jeweils gegenüberliegende Seiten
dynamisch: Definition über verschobenes Rechteck oder Quadrat
- Bsp. Drachenviereck
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- Begriffe beinhalten meiste eine Vielzahl von Eigenschaften
· Viereckseigenschaften können sich z. B. beziehen auf
- Seiten (Längen, Lage), Winkel, Symmetrien, Diagonalen (Längen, Lage), Umfang, Flächeninhalt, Inkreis, Umkreis, …
- Die Eigenschaften eines Begriffs stehen meist in engen Beziehungen zueinander
· z. B. aus Längengleichheit der Gegenseiten folgt im Viereck Maßgleichheit der
Gegenwinkel
(1) AB = CD oder [AB] = [CD]
(2) AD = CB
(3) DB = BD
(4) △ ABD = △ CDB
(5) ∢ BAD = ∢ DCB
alt. ∢ BAD = ∢ DCB
(1) [AB] || [DC]
(2) [AD] || [CB]
(3) α = γ
(4) β = δ
(5) α + β = γ + δ
(Vor. 1)
(Vor. 2)
((1), (2), (3), SSS-Satz)
((4))
(Vor. 1)
(Vor. 2)
((1), Z-Winkel)
((2), Z-Winkel)
((3), (4), Behauptung)
- Begriffe stehen in Bezug zu anderen Begriffen und sind in ein Begriffnetz eingebunden
· Gemeinsames Auftreten (z. B. Kreise, gleichschenkliges Dreieck)
· Analoge Begriffe in anderen Dimensionen (z. B. Strecke, Quadrat, Würfel)
(1. Dimension: Strecke; 2. Dimension: Quadrat; 3. Dimension: Würfel)
Ordnen / Vernetzung
Hierarchische Begriffsbeziehungen
- Unter-, Ober- bzw. Nachbarbegriff
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- Lokales Ordnen bekannter Begriffe
· Warum systematisches Ordnen?
- Notwendige Fähigkeit im Alltag (z. B. Ordnerstruktur im Computer)
- Propädeutik allgemeinen systematischen wissenschaftlichen Ordnens (z. B. zoologische Systematik)
- Lernerfolgssicherung der Einzelinhalte durch
· Wiederholung
· Vernetzung
· Reduktion des Lernstoffes (Vererbung der Eigenschaften)
- Klärung korrekter Sprechweisen
(z. B. „Das Parallelogramm ist ein Trapez.“)
- Einsicht in die Bedeutung solcher hierarchischer Begriffssysteme
für die Formulierung mathematischer Sätze (Sätze für die Oberbegriffe gelten insbesondere auch für entsprechende Unterbegriffe
und müssen dort nicht neu bewiesen werden)
· Wie kann geordnet werden?
1. Wähle definierende Eigenschaften für einen Viereckstyp A
(z. B. Punktsymmetrie für Parallelogramm)
2. Prüfe, ob diese Eigenschaften auch anderen Typen B zueigen ist:
- Wenn JA, dann ist Typ B Unterbegriff von A
(z. B. Rechteck, Raute oder Quadrat)
- Wenn NEIN, dann ist Typ B
· Nachbarbegriff zu A
(z. B. Drache, gleichschenkliges Trapez)
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oder
· Oberbegriff zu A (z. B. Trapez, allg. Vierecke);
in diesem Fall muss eine definierende Eigenschaft
von Typ B stets auch Typ A zueigen sein!
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- Kreatives Ordnen → Begriffe werden beim Ordnen erarbeitet!
1. Wähle einen Satz ordnender Eigenschaften
(z. B. Achsensymmetrie, Punktsymmetrie)
2. Prüfe, welche Vierecksformen dabei entstehen:
· Achsensymmetrie
- bezüglich der Diagonalen (Drache)
- bezüglich der Mittelsenkrechten (Trapez)
· Punktsymmetrie
3. Kombiniere die ordnenden Eigenschaften
z. B. Achsensymmetrie bezüglich
- zweier Diagonalen
- dreier Mittelsenkrechten
- einer Diagonalen + Punktsymmetrie
4. Prüfe insbesondere Existenz und Abhängigkeiten
1. Bsp.: zwei Diagonalen, senkrecht aufeinander
2. Bsp.: Diagonale + Punktsymmetrie
- Nichtexistenz sowie Abhängigkeiten verringern die Zahl der zu ordnenden
Vierecke
5. Ordnung ergibt sich aus Kombination der geforderten Eigenschaften
Fachmathematische Begriffsbildung ist ein kreativer Prozess
- Was macht einen Begriff mathematisch wertvoll?
· Prinzipiell können jederzeit beliebige (neue) mathematische Begriffe gebildet
werden.
· Entscheidend für das „Überleben“ eines Begriffs ist aber dessen mathematische
Beziehungshaltigkeit
1. Bsp.
„Ein Viereck mit drei gleich langen Seiten heißt „Dreiseitgleich“.
→ nicht achsensymmetrisch
→ nicht punktsymmetrisch
→ kein gleiches Teilungsverhältnis der Diagonalen
→ Diagonalenprodukt gleich? → nein!
→ Umkreis?
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- Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet, die
in Beziehung zueinander stehen, ist das Dreiseitgleich mathematisch langweilig und damit zum Aussterben verurteilt!
2. Bsp.
„Ein Viereck, dessen Gegenseiten summengleich sind, heißt Gegenseitensummerich.“
→ Beim Gegenseitensummerich findet man eine zusätzliche interessante Eigenschaft: Dieses Viereck besitzt stets einen Inkreis
→ Das Gegenseitensummerich wird also weiterleben!
(Wenn er dies auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft normalerweise unter dem Decknamen Tangentenviereck tut!)
Lebensweltlicher Aspekt
Geometrische Begriffe finden sich oft in unserer Umwelt (Alltag, Beruf)
Hier ist es fruchtbar zu fragen:
- Wo kommt ein geometrischer „Begriff“ (Objekt, Eigenschaft, Rotation, Abbildung, …)
z. B.
Ziel:
„Wo findest du hier im Klassenzimmer Trapeze? (Parallelitäten, Drehungen, …)?
Blick schärfen für mathematische Begriffe in der Umwelt und fachsprachliche
Bezeichnungen einüben.
- Warum kommt ein „Begriff“ gerade hier vor?
· Warum findet man so viele Trapeze an einer Fachwerkfassade?
→ parallel liegende Querbalken (Boden, Decke) (Allgemeinbildender Aspekt)
· Warum sind …
- Schimmelkulturen, Hexenringe, Baumscheiben, … kreisförmig?
→ Schimmelkulturen, Hexenringe, Baumscheiben etc. sind deshalb nahezu
kreisförmig, da sie von einem Zentrum aus, mit etwa gleicher Geschwindigkeit nach außen wachsen!
- Himmelskörper, Seifenblasen, ... kugelförmig?
→ Eine Kugel ist genau die Form, mit der möglichst wenig Seifenblasenflüssigkeit möglichst umschließen kann.
- Teller, Tassen, … rund? (Teller als Rotationskörper erzeugt)
· Im Gegensatz zum Zirkel wird hier nicht das formgebende Element,
sondern die Unterlage bewegt.
· Daraus lässt sich ein Zeichenverfahren für Kreise ohne Zirkel
entwickeln:
→ Fingernagel und Bleistift bilden eine feste Einheit.
Finger fixiert Blatt an einer Stelle, um die dieses mit der anderen
Hand gedreht wird.
Ziel:
Entstehung geometrischer Eigenschaften verstehen.
Förderung der Allgemeinbildung
Vertraut machen mit Fachbezeichnungen aus dem Handwerk.
Beziehung von Herstellungsprozess (bzw. natürlichem Entstehungsprozess) und Eigenschaften verdeutlichen.
· Warum entstehen Rauten, wenn man zwei Parallelgitter gleichen Gitterabstandes
kreuzt?
↔
Ziel:
Als Ausgangspunkt für eine innermathematische Problemstellung nutzen
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Beweisidee:
Kongruente Dreiecke
(Seitenlänge d ist gleich groß)
(Winkel 90°), zweiter Winkel gleich groß
(WSW-Satz) → A kongruent → Seiten
gleich lang!
· Wie lassen sich Eigenschaften geometrischer Begriffe für die
Funktion von Bauteilen oder für eine handwerkliche Vorgehensweise nutzen?
- Müssen Räder kreisförmig sein?
· Gibt es andere Figuren gleichen Durchmessers
(Gleichdicke) als den
Kreis?
Ja, z. B. das Reuleaux-Dreieck!
· Aber bei nicht kreisförmigen Gleichdicken gibt es kein Zentrum für eine
Achse, das bei ebener Strecke auf gleicher Höhe bleibt.
→ Räder müssen also Kreise, Rollen hingegen nur Gleichdicke sein!
· Was hat das Parallelogramm mit einer Briefwaage zu tun?
· Wie stellt man einen Turm gerade? Oder wie bohrt man ein senkrechtes Loch?
Grunderfahrung zum Lot zu einer Ebene mit dem Faltwinkel
Ein Faltwinkel entsteht durch geeignetes zweimaliges Falten eines Papiers
→ geeignet für ebene und räumliche Geometrie!
Mit ihm können Grunderfahrungen gemacht werden, die auf folgende Definition und
Satz vorbereitet:
Def.: Eine Gerade g heißt senkrecht zur Ebene E, wenn g auf zwei Geraden der Ebene senkrecht steht, die durch ihren Schnittpunkt mit E (Spurpunkt) gehen.
Satz: Ist eine Gerade g senkrecht zur Ebene E, so steht sie auch senkrecht auf allen
Geraden aus E, die durch ihren Spurpunkt gehen.
Aspekt der Ungenauigkeit
Die Schüler sollen erkennen, dass mathematische Konstruktionen unabhängig vom
Konstruktionsverfahren theoretisch zu exakten Ergebnissen führen, in der praktischen
Anwendung aber auf Grund von Ungenauigkeiten für ein präzises Arbeiten zusätzliche
Aspekte berücksichtigt werden müssen.
· Wie repariert man eine klemmende Schranktür?
→
Ursache: „Verschiebung“ des Rechtecks zum Parallelogramm
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Lösung:
Ziel:
Ausgleich der Unebenheit (links unten Papperdeckel)
Geometrische Zusammenhänge bewusst nutzen können, übliche Formen und
Vorgehensweisen kritisch hinterfragen oder auch optimieren können.
- Wie findet man solche Beziehungen zwischen geometrischen Begriffen und Umweltaspekten?
1. Man geht von einem geometrischen Begriff aus und sucht diesen in der Umwelt. Hier
helfen z. B. Lexika oder Suchmaschinen im Internet.
2. Man beobachtet wachen Auges die Umwelt und sucht in dieser geometrische Aspekte.
3. Man sieht Löwenzahn oder die Sendung mit der Maus! ☺
Unterrichtliche Repräsentation
Repräsentationsformen:
Man unterscheidet in enaktive (Handlung), ikonische (Bild) und symbolische (Text mit
mathematischen Symbolen, Gleichungen, …) Repräsentationsformen
enaktiv:
Spannen eines Rechtecks; Schneiden eines Quaders aus einer Kartoffel
ikonisch:
Tafelbild
symbolisch: Text (verbale Beschreibung)
Bsp. □ABCD ∩ ∆EFG
- Diese Formen treten unter Vermittlung durch Sprache im Laufe eines Begriffsbildungsprozesses häufig in dieser Reihenfolge auf
Bsp.
Wie viele Einheitsquadrate passen in ein Rechteck?
→ Handlung: Zusammensetzen von Papierquadraten
→ Bild:
Zeichnung im Heft
a = Anzahl der Einheitsquadrate, die in die Länge passen
b = Anzahl der Einheitsquadrate, die in die Breite passen
→a·b
- Auch wenn die Klassifikation einen sinnvollen Anhaltspunkt für Repräsentationen im Unterricht
liefern, so …
· sind sie nicht trennscharf (Bsp. Zeichnen oder DynaGeo: Handlung oder Bild?!)
· sollte diese Abfolge auf keinen Fall als Schema für einzelne Unterrichtseinheiten verstanden werden
· kann z. B. die Nötigung zum handelnden Vorgehen bei Schülern, die bereits geeignete
mentale Vorstellungen aufgebaut haben, die angestrebte kognitive Verarbeitung sogar
behindern!
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· sind Abweichungen von der Reihenfolge manchmal sinnvoll
(insbesondere hat Text eine vermittelnde Funktion für alle Ebenen!)
· sichern sie nicht die Qualität der Repräsentation
· müssen sie stets in Beziehung zueinander gebracht werden
a) Enaktive Repräsentation:
- Hauptziele:
· Erfahrungen sammeln (Ausprägung des räumlichen Vorstellungsvermögens)
· entdeckend lernen
Welche Vierecke kann man legen?
→ Entstehung bestimmter Formen bei Einhaltung bestimmter Vorgaben
· Entdecken lernen (Entwicklung einer Sensibilität für Phänomene)
Begriff „operieren“:
Veränderung von Parametern an einem System.
→ Beobachtung, wie sich die Veränderung auf das System auswirkt!
· Wird zu Aktivitäten aufgefordert, so …
- müssen diese zielführend für das Erreichen konkreter Lernziele sein
(Handlungen nicht als Selbstzweck)
Bsp. „Viereck aus Papier ausschneiden“ macht nur Sinn, wenn man beispielsweise Symmetrieeigenschaften untersucht (Falten)!
Bsp. „Kreis im Schulhof“ nur sinnvoll, wenn es darum geht, warum z. B.
bei einer Seifenblase eine Kugel entsteht!
(Nicht: Einführung der Figur „Kreis“!)
oben: wenig gekrümmt – Person wird nach außen gedrückt!
links: stark gekrümmt – Person wird nach innen gedrückt!
- muss ihre Bedeutung intensiv verbalisiert werden!
(Handlungen führen über die Sprache zu mentalen Einsichten!)
b) Ikonische Repräsentation:
- Hauptziele:
· Festhalten der Erfahrungen
· Auswahl eines prägnanten Prototypen für mentales Modell
- Bei der ikonischen Darstellung ist darauf zu achten, dass …
· Wesentliches hervorgehoben wird (z. B. Farbe, Strichdichte, …)
Bsp.
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· der Prototyp keinen Spezialfall darstellt
Bsp. „Rechteck“
und nicht:
· der Zusammenhang mit der vorangegangenen Handlung deutlich gemacht wird
Bsp. Wenn Diagonalen senkrecht aufeinander:
Möglichkeit a: Antragen einer Strecke → Lot dazu!
Möglichkeit b: Ausgangspunkt: Gerade → links und rechts dieselbe Länge
antragen!
c) Symbolische bzw. textliche Repräsentation:
- Hauptziele:
· Während der Handlungen (vor allem sprachlich):
- Klärung der noch undeutlichen Ideen
- Kommunikation der Entdeckungen
Beschreibung zwar noch unscharf, aber dennoch verständlich
→ Verwenden eigener Bezeichnungen (der Schüler)
· Abschließend:
- Ergänzen der ikonischen durch die propositionale Fassung
→ Vernetzung der Begriffe mit Bildern im Kopf!
- um Sachverhalte
>> allgemein gültig sowie
>> leicht kommunizierbar zu repräsentieren
- zur Unterstützung des Memorierens
(Vernetzung mit mentalem Modell)
- Training exakten Formulierens
→ Ernstnehmen der Vorschläge der Schüler
→ Ausarbeitung der Vorschläge zu einer passenden Formulierung
→ Hefteintrag!
· Weiterführend:
- Möglichkeit einer abstrakten Weiterverarbeitung
Formeln ≠ Ziel der Unterrichtsstunde
→ Einführung der Formeln am Ende der Stunde!
→ Zeit nehmen zur Herleitung!
- Bei der abschließenden textlichen Darstellung ist darauf zu achten, dass
· knapp, aber unmissverständlich formuliert wird
(Literaturhinweis: Schulz v. Thun und Götz, „Mathematik verständlich erklären“, München 1976)
· der Text in engem Bezug zu der ikonischen Darstellung steht
(Aufgreifen von Bezeichnungen und Farben, räumliche Nähe …)
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Bsp. Außenwinkelsatz:
„In einem Dreieck ist der Außenwinkel stets
so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen.“
γ '= α + β
orange: α = α ' ( Stufenwinkel )
β = β ' (Wechselwinkel )
γ
blau:
grün:
Bsp. Repräsentation des geraden Drachens
- Enaktiv
· Das Ausschneiden eines Drachen ist eine Handlung, deren Ergebnis zwar den geometrischen Begriff repräsentiert, die selbst
aber keinen Bezug zu den Eigenschaften desselben steht!
(Inadäquate Repräsentation!)
· Das Ausschneiden durch zwei Schnitte aus einem gefalteten Papier hingegen steht in direktem Bezug zu seiner Symmetrie.
→ Diagonaleneigenschaften festlegen und Gummi einspannen!
→ Von einem Winkel aus geht man immer
weiter hoch
→ Aufeinanderklappen der Seiten beim
Drachen (Schnittpunkt der Linien =
Inkreismittelpunkt
· Das Zusammenlegen zweier Paare jeweils gleich langer Stifte
steht ebenfalls in direktem Bezug zu seinen Eigenschaften.
Beim Variieren der Winkel können zusätzliche Zusammenhänge
bzw. Invarianten erkannt werden (Operatives Prinzip).
Weihnachtsstern
- Ikonisch
· Inadäquate Repräsentation: …
Nicht berücksichtig!
· Adäquate Repräsentation: …
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- Symbolisch
· Text 1:
„Bei einem Drachen gilt a = b und c = d.“
(ungünstig, da Bezeichnungen nicht zwingend)
· Text 2:
„Ein Drache setzt sich aus zwei Paaren jeweils
gleich langer Nachbarseiten zusammen.“
(günstig, da unabhängig von Bezeichnungen)
Repräsentation von Körpern
Die ikonische Repräsentation von Körpern ist gegenüber der ebenen Figuren besonders
problematisch, da Längen und Winkel verzerrt dargestellt werden
a) zeigt nicht, was wir sehen
b) stellt die Winkel nicht so dar, wie sie in Wirklichkeit sind
Deshalb ist bei Körpern die unmittelbare enaktive Repräsentation unerlässlich!
Bei Körpern unterscheidet man grob zwischen Kanten-, Flächen- und Voll- bzw.
Füllkörpermodellen, die passend zu den jeweiligen Lernzielen eingesetzt werden müssen
- Kantenmodell: Kanten-, Diagonaleneigenschaften, …
(Teilfiguren wie Stützdreiecke müssen selbst wieder z. B. als Pappfigur repräsentiert
werden!)
- Flächenmodell: Flächeneigenschaften, Oberfläche
- Voll- bzw. Füllkörpermodell: Volumen, Gewicht
Der Wechsel vom Modell zum Schrägbild ist mit entsprechenden Übungen zu gestalten, damit
das Schrägbild richtig interpretiert wird.
Zum Aufbau eines mentalen Modells von Körpern müssen …
- die unterschiedlichen Modelltypen von den Schülern selbst hergestellt werden
(Achten Sie dabei auf sauberes Arbeiten! → Hilfestellung)
- die Körper als Kanten- oder Flächenmodell strukturiert werden durch …
· Repräsentation relevanter Aspekte z. B. mittels Farbe
· Prozess des Aufbaus
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ein Rechteck, vier Stützen,
weiteres Rechteck
- diese strukturierenden Repräsentationen verbal erläutert werden
- entsprechende Vorstellungsübungen gemacht werden (z.B. Wechselspiel zwischen Betrachtung des realen Modells mit offenen und des mentalen Modells bei geschlossenen
Augen) → Vorstellung der Rechtecke und Stützen
- die Körper von den Schülern als Schrägbild gezeichnet werden
- Strukturierungen durch Einfärben dort sichtbar gemacht werden
(kongruente Flächen = gleiche Farbe)
- der Wechsel vom Modell zum Schrägbild mit entsprechenden Übungen gestalt werden,
damit das Schrägbild richtig interpretiert wird (z.B. Einzeichnen von Diagonalen,
Schnittfiguren,…)
- reale, zeichnerische oder mentale Operationen an Körpern vorgenommen werden (z.B.
Schnitte, Verlängerung von Seiten, …)
Welche Flächen verändern sich bei Verlängerung der Seitenkanten?
Welche bleiben gleich?
Schnittfigur beim Quader? → Rechteck
Netze von Körpern
Körper, die von ebenen Flächen begrenzt werden heißen Polyeder (Vielflächner)
Diese Begrenzungsflächen sind Vielecke
Das Netz eines Körpers erzeugt man, indem man diesen entlang von Kanten aufschneidet und in
der Ebene ausbreitet. Diesen Prozess nennt man Abwicklung.
Bsp.:
.
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Gegenbeispiel:
Nicht an einer gemeinsamen
Kante zusammenhängend!
Nicht zusammenhängend!
Wie entscheidet man, ob etwas ein Würfel- bzw. ein Quadernetz ist?
- mental-visuelles Zusammenfalten
· Vorstellungshilfe: Schweren Körper auf Grundfläche stellen!
- Anwenden von Ausschlusskriterien
· kein „U“
· kein „5er-Band“
· kein „großer Winkel“
- Speziell für Quadernetze
· 3 Paare kongruenter Rechtecke
· über Eck keine ungleichlangen Rechtecksseiten
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Wie viele Quadernetze gibt es? (11 Möglichkeiten)
- Gleich oder verschieden?
Drehen
Umklappen
Lernziele zu Körpernetzen:
- Umweltaspekt:
· Vermeidung von Leimkasten
· Verpackungsprobleme
- Einprägen von Körpereigenschaften
- Training des räumlichen Vorstellungsvermögens
· speziell des mental-visuellen Operierens (Einpacken eines Glaswürfels) und
· der Nutzung propositional beschreibbarer Relativlagen
Standardnetze der geraden quadratischen Pyramide
„sternförmig“
(repräsentiert Symmetrieeck)
„mantelförmig“
(repräsentiert Aufteilung in Mantel- und
Grundfläche)
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- Herstellungsaspekt: Geringe „Lötlänge“
· „sternförmig“:
· „mantelförmig“:
4 · Seitenkante
3 · Grundkante + 1 · Seitenkante
- Konstruktionsmöglichkeit 1:
repräsentiert Aspekt gleicher Länge aufeinander fallender Seiten
· Kreisbogen um Quadratecken
· Schnittpunkte = Pyramidenspitze
- Konstruktionsmöglichkeit 2:
repräsentiert „Lotaspekt“
· Mittelsenkrechten der Quadratseiten
→ Schnittpunkt = Mittelpunkt
· Kreis um M mit Zirkel
Schnittpunkte = Pyramidenspitze
- Konstruktionsmöglichkeit 3:
„Grundkanten als Sehnen am Umkreis des Mantelnetzes antragen“
· Ausgangspunkt: Quadrat
· Antragen desselben Radius von zwei benachbarten Eckpunkten aus
→ Schnittpunkt = Pyramidenspitze
· Antragen desselben Radius vom Schnittpunkt aus
· Antragen desselben Radius vom Eckpunkt aus
→ Schnittpunkt
· Antragen des Radius vom neuen Schnittpunkt aus
· Antragen des Radius von der Pyramidenspitze
aus → Schnittpunkt
…
- Konstruktionsaufgabe:
· Gegeben:
· Gesucht:
1.
2.
3.
4.
5.
Grundkantenlänge a = 3 cm und
Pyramidenhöhe hPyr = 4 cm
Netz der Pyramide
Markieren von [DM] mit Farbe
Antragen der Halbgeraden [MA
Markieren von [ME] mit Farbe
Verbinden von D und E
DE ist die Länge der Seitenkanten der Pyramide
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Netz einer beliebigen Dreieckspyramide / Viereckspyramide
· beliebige Grundfläche
· beliebige Länge einer Seite
· anliegende Seite der benachbarten
Seitenfläche muss gleich lang sein → Zirkel!
Problem:
Bei der Viereckspyramide passen drei Seitenflächen zusammen, zur
vierten fehlt ein Stück.
Bedingungen für Pyramidennetze:
(1)
aufeinander treffende Dreiecksseiten jeweils gleich lang.
(2)
Dreiecksseiten nicht zu kurz
(3)
Spurgeraden der Dreiecksspitzen schneiden sich in einem Punkt, dem
Höhenfußpunkt der Pyramide (bei Dreieckspyramiden bereits bei (1) erfüllt)
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Anmerkung:
Bei konkaven Körpern kann es bei der „Abwicklung“ zu Überlappungen
kommen!
konvex
konkav
Netz einer regulären n-Eckspyramide
- Definition des regulären n-Ecks:
Ein n-Eck mit
· n gleich langen Seiten und
· ausschließlich gleich großen Innenwinkel (alt. Umkreis)
heißt regelmäßiges bzw. reguläres n-Eck
- Konstruktion eines regulären n-Ecks:
· Konstruktionsmöglichkeit über Bestimmungsdreieck:
Gegeben: a = 2 cm
Gesucht: entsprechendes reguläres Dreieck
360° : 5 = 72°
180° − 72° = 108°
108° : 2 = 54°
· Schrittweise Abbiegen:
α = 360° : 5 = 72°
· Kreis um Mittelpunktstrahlen:
Literatur
- Schwartze:
- Leutenbauer:
„Elementarmathematik aus didaktischer Sicht“, Band 2
„Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht“, Band 2
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Zylindernetze
- Gerader Kreiszylinder
Mögliche Definition: Ein gerader Kreiszylinder ist ein Körper, der entsteht, wenn man eine ebene Kreisfläche parallel zu sich im Raum verschiebt, so dass der Verschiebungsvektor orthogonal zur Ebene der Grundfläche steht.
U Kreis = 2 ⋅ rπ ↔ lRe chteck = 2 ⋅ rπ
- Beliebiger gerader Zylinder
Mögliche Definition: Ein gerader Zylinder ist ein Körper, der entsteht, wenn man ein von einer
Kurve begrenztes ebenes Flächenstück parallel zu sich im Raum verschiebt, sodass der Verschiebungsvektor orthogonal zur Ebene der
Grundfläche steht.
· Anwendung:
Rohrknie
· Mantelfläche: Sinus-Kurve → Steigungswinkel α = 45°
Kegelnetze
- Gerader Kreiskegel
Mögliche Definition: Durch Drehung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete
oder eines gleichschenkligen Dreiecks um seine Symmetrieachse entsteht
als Rotationskörper ein gerader Kreiskegel.
· Zusammenhang zwischen Radius r und Winkel ϕ :
U Grundkreis = b
2 ⋅ rπ =
r=
ϕ
ϕ
360°
360°
⋅ 2 ⋅ mπ
⋅m
r
ϕ
=
m 360°
r
ϕ = ⋅ 360°
m
· Besonderheit:
- wenn m = 4r → Viertelkreis = 90°
- wenn m = 2r → Halbkreis = 180°
- wenn m = 1r → ganzer Kreis = 360°
Netz des schiefen Prismas
- Abwicklung (muss man nicht können!)
Netz der Kugel?
- Die Kugel ist nicht abwickelbar. Sie hat kein Netz!
- Nur näherungsweise kann z. B. die Abwicklung einer Orange durch Schälen
· unsystematisch oder
· systematisch versucht werden
Aufschneiden entlang der „Längengrade“
Zusammensetzen → kugelähnlicher Polyeder
spiraliges Abschälen
II. Inhaltslehre
Fachmathematische Grundbegriffe der Flächeninhaltslehre:
- Ein Vieleck V heißt elementargeometrisch in V1, …, Vn zerlegt, wenn
1.
V = V1 ∪ … ∪ Vn
2.
Je zwei Vielecke der Menge {V1, …, Vn} haben höchstens Randpunkte gemeinsam
- Zwei Vielecke V und W heißen zerlegungsgleich, wenn sie in endlich viele Vielecke V1, …,
Vn bzw. W 1, …, W n so zerlegt werden können, dass i = 1, …, n gilt: V1 ist kongruent zu W 1
· Zerlegungsgleichheit ist eine Äquivalenzrelation
→ kongruent:
→ symmetrisch:
→ transitiv:
V=V
V zu W – W zu V
V zu W – W zu X → V zu X
- Zwei Vielecke V und W heißen ergänzungsgleich, wenn sie sich durch endlich viele paarweise
kongruente Vielecke zu zerlegungsgleichen Vielecken ergänzen lassen.
- Satz:
„Zwei Vielecke sind genau dann ergänzungsgleich, wenn sie zerlegungsgleich sind. “
23
24
Flächeninhaltsfunktion:
- Eine Funktion, die in jedem Vieleck V eine positive reelle Zahl | V | zuordnet, heißt
inhaltsfunktion, wenn gilt:
1.
V1 = V2 , falls V1 kongruent zu V2
2.
V = V1 + V2 , falls V in V1 und V2 zerlegbar ist
3.
V = 1 , falls V Einheitsquadrat ist
Flächen-
- Satz:
„Es gibt nur eine einzige Flächeninhaltsfunktion.“
Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Zerlegungsgleichheit:
- Satz:
„Zerlegungsgleiche Vielecke haben denselben Flächeninhalt.“
Aufbau des Flächeninhaltsbegriffs in der Schule
1. Direkter Flächenvergleich:
- ohne Zerlegung
- mit Zerlegung
2. Indirekter Flächenvergleich mittels eines …
- ungenormten Repräsentanten (geeignetes weiteres Vieleck)
· Beispiel:
Vergleichen der Bankfläche mit dem Heft
· Motivation: Quantifizierung des Größenunterschieds
←
um … kleiner als
- genormte Repräsentanten (Einheitsquadrat)
· Motivation: Vergleich auch bei größeren Distanzen möglich durch
Rückführung des Problems auf Längeneinheiten
· Warum Einheitsquadrate und nicht z. B. gleichseitige Einheitsdreiecke?
- Parkettieren insbesondere der häufig auftretenden Rechtecksflächen und
- Abzählen besonders leicht möglich
3. Ableitung von Flächeninhaltsformeln
- Rechteck
· 1. Schritt:
· 2. Schritt:
· 3. Schritt:
· 4. Schritt:
Auslegen mit Einheitsquadraten und Abzählen
Erarbeitung eines verkürzten Abzählverfahrens (Abdecken)
Formel (spätestens hier Festlegung von m · m = m2 als
Flächeninhalt des Einheitsquadrats)
→ F▭ = l ⋅ b = 2 m ⋅ 3 m = 6 m 2
Umrechnungen von einer Maßeinheit in eine andere
- andere Vier- bzw. Vieleckstypen
· Die Formeln für andere Vieleckstypen werden (letztlich) auf das Rechteck zurückgeführt durch …
- Umbauen (insbesondere Idee der Mittellinie)
- Zerlegen (insbesondere Idee der Triangelation(?))
25
- Ergänzen
- Scheren (auch Cavalieri)
allgemeines Vieleck → Zerlegung in Dreiecke
regelmäßiges Vieleck → Zerlegung in Bestimmungsdreiecke
- beliebige „krummlinige“ Formen
· Vor allem für Grobabschätzungen: Ersetzen durch geeignete Vielecke
· Auf Karopapier: Einbeschriebenes und umbeschriebenes „Karoeck“
· Trapezstreifenmethode
15 m + 18 m
⋅1 m
2
- Kreis
· 1. Schritt:
Grobabschätzung führt bereits zum Ansatz: AKreis = r 2 ⋅ π
A <A <A
2 ⋅ r 2 < ?⋅ r 2 < 4 ⋅ r 2
Genauere Beobachtung des Faktors π an Beispielen.
Dazu z. B.:
- Bestimmung der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat wie oben
oder - Ausschneiden und Wiegen (Hebelgesetz)
· 2. Schritt:
· Weitere bzw. hier ergänzende Möglichkeit: „Tortenstückmethode“
- Voraussetzung: Umfang des Kreises bereits erarbeitet
- stellt Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt her: 2d < U < 4d
26
· Fachmathematische π – Bestimmung z. B. mittels Folge ein- bzw. umbeschriebener
n-Ecke, die immer bessere Näherungswerte für die Verhältnisse aus Kreisumfang
und Durchmesser liefern.
a < c < 2a
Vermutung:
c = 1,5 a
Messungen zeigen: c ~ 1,4 a
A□1 + A□ 2 = A□3
a 2 + a2 = c2
2a 2 = c 2
c=a 2
→
Im gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck gilt:
a2 + a2 = c2
a2 = c · p
Diagonalenlänge im Rechteck?
→ Analogisieren!
Die Satzgruppe des Pythagoras
- In einem rechtwinkligen Dreieck
· sind die Quadrate über den Katheten zusammen flächengleich dem Quadrat über der
Hypotenuse (Satz des Pythagoras)
· ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten (Höhensatz)
· ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse
und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz)
27
- Einfache Beweise (für’s Examen):
· Beweis des Höhensatzes
1. Zentrale Idee: Produktgleichung h2 = p · q
umwande ln

→ Verhältnisgleichung
h q
=
p h
Strategie: zentrische Streckung
Problem: keine Parallelen – zentrische Streckung nützt nichts!
→ Ähnlichkeitsfigur
2. Zentrale Idee: Verhältnisgleichungen stehen meist im
Zusammenhang mit zentrischer Streckung
bzw. ähnlichen Dreiecken
∢ blau + ∢ grün = 90°
△ ABC ∼△CAD ∼△ BCD
(Verhältnis wie bei 1.)
Förmlicher Beweis:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(Voraussetzung, γ = 90°, Winkelsumme △ ABC )
((1), h ⊥ AB, Winkelsumme △CAD und △ BCD )
((2), WWW-Satz)
α + β = 90°
γ1 = β und γ2 = α
△CAD ∼△ BCD
h q
=
p h
((3))
h2 = p · q
((4), Behauptung)
- Weitere Beweise
· Perigal
Dynamischer Beweis (2 x Scheren, 1 x Verschieben):
→
→
Ergänzender Beweis:
→
- Zu jedem Satz existiert eine Umkehrung
→
28
Aufbau des Volumens
(Analog Flächeninhalt!)
- direkter Volumenvergleich
· ohne Verformung
· mit Verformung
(z. B. Kegel in Schachtel legen)
(z. B. mit Knetgummi: Katze wird zu Zylinder)
- indirekter Vergleich mittels
· ungenormte Repräsentanten
· genormten Repräsentanten (Einheitswürfel)
Aktivitäten
- Volumenvergleiche bzw. -messungen durch
· Wiegen
- Vollkörper gleichen Materials verwenden
· mit Wasser befüllen (Wasser z. B. mit Kaliumpermanganat färben)
- Direktvergleich
- Umschütten in ein drittes Gefäß (z. B. Messbecher)
· Wasser verdrängen
- Überlaufen lassen
- Wasserspiegel ansteigen lassen
· Zerlegungen
- Bei geraden Säulen analog zu Vielecken gut: dabei Wiederholung
Ableitung der Volumenformel
Bsp.
Würfel aus sechs gleichen viereckigen Pyramiden
→ 3 Pyramiden = 1/2 Würfel = viereckiges Prisma (quadratisch)
→ Pyramide = 1/3 viereckiges Prisma (quadratisch) = 1/3 · g · h
Zusammenfassend:
Gerade Körper:
Grundfläche · Höhe
Spitze Körper: 1/3 · Grundfläche · Höhe
Umgang mit Formeln
- Intensive formenkundliche Analysen voranstellen
- Formeln nicht zu früh einführen
- Analogien herausarbeiten
- keine überflüssigen Einzelformen (Modulares Arbeiten):
gerade Körper ↔ spitze Körper
- Notwendige Schülerkompetenzen
· Anwendungsbereich kennen
· Formel interpretieren
Bsp. 1/3 · G · h = 1/ 3 des umgebenen Prismas
· nicht auf identische Bezeichnungen fixiert sein
· Größen einsetzen und mit diesen rechnen
3 ⋅ VPyramide
1
VPyramide = ⋅ G ⋅ h ↔ G =
3
h
Schüler müssen selbst umstellen können!
29
· Formel in Formel einsetzen
· Zusammengesetzte Körper bzw. Figuren vielseitig additiv oder subtraktiv analysieren
- Wenn Körper gedreht wird, müssen die Schüler ihn unabhängig von seiner Lage
benennen können → flexibles Denken
- Nicht alle Aufgaben zu Ende rechnen – auch Übungsphasen abhalten, in denen nur
nach dem Lösungsweg gesucht wird!
IV. Ziele des Geometrieunterrichts
KONGRUENZABBILDUNGEN
- Propädeutisch:
· Frage:
Abbildungen, die Figuren auf deckungsgleiche abbilden, heißen Kongruenzabbildungen
Wie bildet man eine Figur F1 auf eine deckungsgleiche Figur F2 ab?
- Bildfigur parallel
- Bildfigur zusätzlich gedreht
(Verschiebung)
(Verschiebung + Drehung)
Wie findet man den Drehpunkt?
- Verbindung Punkt – Bildpunkt
- Mittelsenkrechten
- Schnittpunkt: Drehzentrum Z
→ Die Figur 1 lässt sich stets auch
allein durch eine Drehung auf
Figur 2 abbilden!
Sonderfall:
Drehung um 180°: Punktspiegelung
→ Zentrum = Mittelpunkt der PunktBildpunkt-Verbindungsstrecken!
30
- Bildfigur liegt spiegelbildlich
Die Mittelsenkrechten der Punkt-Bildpunkt-Verbindungsstrecken stellen
eine einzige Gerade dar, die so genannte „Symmetrieachse“.
- Bildfigur hat entgegen gesetzten Drehsinn (nicht spiegelbildlich)
Die Mittelsenkrechten der Punkt-Bildpunkt-Verbindungsstrecken fallen
nicht zusammen, die Mittelpunkte der Strecken liegen aber auf einer
gemeinsamen Geraden.
Methode:
„Klappen und dann Verschieben“
Hier kann F1 nicht allein durch eine Achsenspiegelung auf F2
abgebildet werden, dafür aber stets allein durch eine „Schubspiegelung“!
Bsp. Verbinden von Punkt und Bildpunkt
Mittelpunkte der Strecken auf Gerade
Spiegelung an Gerade
Verschiebung durch Vektor ( v g )
· Antwort:
Die Abbildung auf eine deckungsgleiche Figur gelingt stets allein durch:
- Verschiebung
- Drehung (mit Sonderfall Punktspiegelung)
- Achsenspiegelung
oder
- Schubspiegelung
· Definition von Kongruenzabbildungen am Beispiel der Drehung:
Unter einer Drehung DZ,α versteht man eine (bijetive) Abbildung der Ebene E auf sich, die
einem Punkt P∈ E einen Bildpunkt P’ ∈ E so zuordnet, dass gilt:
a) P’ liegt auf Kreis um Z durch P
b) ZP = ZP '
(1) ∢PZP ' = α und ZP ' = ZP für alle P ≠ Z
(2) P’ = Z
für P = Z
31
- Fachmathematisch:
· Definition 1: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich heißt Kongruenzabbildung.
längentreu: Abstand von Bildstrecken = Abstand von Originalstrecke
- Satz:
„Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich ist immer auch
geradentreu und winkelmaßgetreu.“
· Definition 2:
Eine Verkettung von Achsenspiegelungen heißt Kongruenzabbildung.
· Eine Figur F2 heißt kongruent zur Figur F1, wenn F1 durch eine Kongruenzabbildung auf
F2 abgebildet werden kann.
· „Dreispiegelungssatz“:
„Die Verkettung von Achsenspiegelungen kann stets auf eine Verkettung von höchstens drei
Achsenspiegelungen ersetzt werden. Dabei bleibt die Anzahl der Achsenspiegelungen
gerade bzw. ungerade.“
→ gleicher Drehsinn – 2 Spiegelungen
(Verschiebung und Drehung)
→ entgegen gesetzter Drehsinn – 1 oder 3 Spiegelungen
(Achsenspiegelung, Schubspiegelung)
VERKETTUNG VON KONGRUENZABBILDUNGEN
- Verschiebung mit Verschiebung
- Verschiebung mit Drehung
- Drehung mit Drehung (Drehung um α + Drehung um β = Drehung um α + β)
- Achsenspiegelung mit Achsenspiegelung
-…
SYMMETRIE
„Symmetrie“ nennt man die Eigenschaft einer Figur bzw. eines Körpers, durch eine Kongruenzabbildung auf sich selbst abgebildet zu werden (mit Ausnahme der Identitätsabbildung).
- Zu jeder Kongruenzabbildung existiert eine eigene Form der Symmetrie.
In der Ebene sind dies:
· Achsenspiegelung → Achsensymmetrie
· Drehsymmetrie:
- Drehung um 360°/n → n-strahlige Symmetrie
- Drehung um 180°
→ Punktsymmetrie (2-strahlig)
- Alle Drehungen mit gemeinsamen Zentrum
→ Rotationssymmetrie
· Verschiebungs- bzw. Translationssymmetrie
· Schubspiegelungssymmetrie
- Achsensymmetrie (bzw. Ebenensymmetrie im Raum):
· Definition: Eine Figur F heißt achsensymmetrisch, wenn eine Achsenspiegelung existiert,
die F auf sich selbst abbildet.
· Beispiele:
32
- Figur F1 und F2 haben jeweils keine Symmetrieeigenschaft
- F1 liegt spiegelbildlich zu F2
- F1 ist Urbild und F2 ist Bild der Spiegelung an a
(bzw. umgekehrt)
- Die Vereinigung von F1 mit F2 ergibt eine achsensymmetrische Figur
· Wo findet man (näherungsweise) achsensymmetrische Objekte und warum haben sie diese
Eigenschaften?
- Natur:
· Tierwelt: Mensch, Huftiere, Katzen, Schmetterlinge usw.
· Pflanzenwelt: Blätter, Blüten, Früchte, Grobumriss von Bäumen
· Geologie: Kristalle, Vulkane
· Ursache: Fortbewegung erfolgt in eine Richtung; Orientierung
nach links bzw. rechts gleichberechtigt; Flugfähigkeit;
symmetrisches Wachstum auf Grund symmetrischer
Bedingungen …
- Artefakte:
· Alltagsgegenstände, Bauwerke, Kunstobjekte
· Ursache: - Anpassung an vorhandene Symmetrie
Brille, Stahl, Toilette etc.)
- Vermeidung von Drehmomenten, Kräfteverteilung,
Statik (Schaufeln, Rechen, Gewölbe)
- Ästhetik (Abbild von Mensch und Tier, Symbol der
Ausgewogenheit und Ordnung)
- Drehsymmetrie:
· Definition: Man sagt:: Eine Figur F hat eine n-zählige Drehsymmetrie, wenn eine Drehung
um 360°/n (n<1) existiert, die F auf sich selbst abbildet.
· Beispiele:
- punktsymmetrische Figur
- drehsymmetrische Figur mit
· dreizähliger Drehsymmetrie
· vierzähliger Symmetrie
- reguläres n-Eck (n-zählig)
- Dreht man eine Figur n – 1 mal um 360°/n und ver einigt sie mit ihren n – 1 Bildern,
so entsteht eine Figur mit n-zähliger Drehsymmetrie
- Verschiebungssymmetrie:
· Verschiebungssymmetrische Figuren können nicht begrenzt sein
· Beispiele:
- Gerade
- Bandornamente
- Parkette
33
SCHÜLERAKTIVITÄTEN UND VERANSCHAULICHUNGEN ZU KONGRUENZABBILDUNGEN UND SYMMETRIEN
- Achsenspiegelung / -symmetrie:
· Klecksbilder
· Umklappen einer Figur auf Folie
· Einfach gefaltetes Papier
- schneiden
- durchstechen
· Kohlepapier
· Spiegel
· Pantomime
· Miraspiegel
· Bauen z. B. mit Lego
· Karopapier (Achsenlage parallel oder diagonal)
· „Konstruktion“ mit …
- Zirkel
- Geodreieck
· Finden (z. B. mit Spiegel) und Einzeichnen von Symmetrieachsen
· Ergänzen zu symmetrischen Figuren
- Drehung – Dreh- bzw. Punktsymmetrie:
· Drehung einer Figur auf Folie
· „Konstruktion“ mit …
- Zirkel
- Geodreieck
· Doppelt gefaltetes Papier schneiden
- Papier beliebig zweimal falten
- Stück herausschneiden
- Papier aufklappen
→ Symmetrieachse sichtbar!
· Doppelspiegel
· Erzeugen einer drehsymmetrischen Figur durch mehrfaches Abbilden
· Finden und Einzeichnen des Drehpunktes bzw. des Symmetriezentrums
· Problematisieren: Riesenrad (Gondeln parallel) vs. Mond (Mondgesicht)
Riesenrad:
Verschiebung – keine
Drehung!
- Verschiebung – Verschiebungssymmetrie:
· Parallelverschiebung mit Zirkel und Lineal
Mondgesicht:
Drehung!
34
· Erzeugung von Bandornamenten → Verschiebung mit Hilfe von Ornamenten!
· Doppelt (mehrfach) parallel gefaltetes Papier schneiden
· Finden und Markieren einer Elementarzelle eines Bandornaments
PROJEKTIONEN
Zentralprojektion
- Prinzip:
· Den Schattenwurf dimensionaler Körper mittels einer punktförmigen Lichtquelle (Projektionszentrum) auf eine Ebene nennt man Zentralprojektion
· Positioniert umgekehrt ein Betrachter sein Auge an die Position der Lichtquelle (Augpunkt), so
erzeugt das zentralperspektivische Bild denselben Sinneseindruck wie der Körper selbst
- Eigenschaften:
· Figuren, die parallel zur Bildebene liegen, werden auf ähnliche abgebildet
· Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet
· Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln) oder Strecken
abgebildet
· Bilder paralleler Geraden, die nicht parallel zur Bildebene liegen, schneiden sich in einem Punkt,
dem „Fluchtpunkt“
Bsp. Würfel: Eine Kante wird kürzer als die andere
→ Verbindungsstrecken nicht mehr parallel!
Kanten, die senkrecht zur Projektionsfläche sind, bleiben parallel.
„Fluchtpunkte“ liegen auf der „Fluchtgeraden“.
· Die Fluchtpunkte von Parallelscharen, die parallel zu einer Ebene verlaufen, liegen auf einer
Geraden (Horizontlinie)
Parallelprojektion
- Prinzip:
· Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels paralleler Strahlen auf eine Ebene nennt
man Parallelprojektion
· Eine Zentralprojektion nähert sich bei zunehmender Entfernung des Projektionszentrums einer
Parallelprojektion an (z. B. Sonne)
· Blickt ein Betrachter aus größerer Distanz in Richtung dieser Strahlen auf ein parallelperspektivisches Bild, so erzeugt auch dieses Bild einen ähnlichen Sinneseindruck wie der Körper selbst
- Eigenschaften:
· Figuren, die parallel zur Bildebene liegen, werden auf kongruente abgebildet
· Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet
· Strecken, die senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um einen festen Wert (Abbildungsfaktor) verändert abgebildet
· Kreise werden auf Kreise, Ellipsen oder Strecken abgebildet
· Bilder paralleler Geraden sind stets Parallelen
· Schrägbild vs. Normalbild
- Beim Normalbild stehen im Gegensatz zum Schrägbild die abbildenden Strahlen senkrecht
auf der Bildebene.
Bsp. Würfel → muss entsprechend gedreht werden; sonst: Quadrat
→ MaDiN (Problem der Mehrdeutigkeit, Dreitafelprojektion)
- Dreitafelbild
- Konstruktion eines Schrägbilds
· Heuristische Ideen:
- Hilfslinien → punktweise Abbildung
- Rückführung auf bekanntes Problem
→ Einbettung in Quader
35
Abbildungsfaktor:
b
a
Abbildungswinkel: α
Problem: Bei einem bestimmten Faktor können Linien aufeinander fallen!
(Bsp. 45° bei Würfel)
· Beispiel: Sechseckspyramide, Kegel …
(Gegeben: Abbildungswinkel: 45°, Abbildungsfaktor : 1/2)
- Lot nach unten von jedem Punkt fällen
- 45°-Winkel an den Schnittpunkten der Lote mit d er Geraden unten antragen
- halbe Strecke (da 1/2) auf dem 2. Schenkel antragen
- Punkte verbinden
36
Letzte Stunde:
- Zentrische Streckung:
Bsp. Streckungsfaktor: 2/3
· Zeichne Halbgerade durch A
· Kreisbogen um A mit beliebigem Radius
→ P: Schnittpunkt des Kreisbogens mit Halbgeraden
· Kreisbogen mit gleichem Radius um P → P’
· Kreisbogen mit gleichem Radius um P’ → P’’
· Verbinde P’’ und B
· Parallele zu [P’’B] durch P’ → B’: Schnittpunkt von Parallele und [AB]
- Achteckspyramide, umgeben von einem Quader:
- Kreiszylinder: