Rudimente der Hartmann-Vorlesung im ppt-Format

Grundbegriffe
der Schulgeometrie
SS 2006
(M. Hartmann)
Organisatorisches
• Vorlesung (Hartmann)
– Dienstags bzw. Freitags zweistündig im Wechsel
• Übungen (Weth)
– Zwei Gruppen A und B zur Auswahl
– Wöchentliche Übungsaufgaben www.didmath.ewf.unierlangen.de
• Abgabe zu Beginn der jeweiligen Übungsgruppe
• Rückgabe und Besprechung eine Woche später in den Übungen
• Bewertung +, o, -
– Teilweise auch Präsenzübungen
• Schein
– Bei Bestehen der Klausur am Ende des Semesters
– Voraussetzung zur Klausurteilnahme:
Etwa 75% der Übungsaufgaben mit mindestens o bewertet!
– Keine Nachholklausur!
Virtuelle Hochschule Bayern
• Wer hier teilnehmen will, muss sich zusätzlich
kostenfrei bei der vhb für den Kurs
„Grundbegriffe der Schulgeometrie“
einschreiben!
• Schreiben Sie sich heute noch ein!!
• Frage: Wie geht das?
• Antwort: ??
Was soll die Vorlesung leisten?
• Vorbereitung auf das Unterrichten von
Geometrie in der zweiten Phase
– Didaktische Grundideen des Geometrieunterrichts
• Ziele des Geometrieunterrichts aufzeigen
• Wege zum Erreichen dieser Ziele vermitteln
• Exemplarisch
– Schulmathematisches Wissen
• Auffrischen
• Elaborierte Sichtweise
• Teilweise fachmathematische Hintergründe
• Inhaltliche Vorbereitung fürs Examen
Was kann die Vorlesung nicht leisten?
•
•
•
•
Allgemeine Methodik des Unterrichtens
Stoffverteilungsplan
Komplette Stundenbilder
Vollständige Behandlung der Schulgeometrie
– Mathematisch
– Didaktisch
• Strategische Vorbereitung fürs Examen
– → Seminar zur Examensvorbereitung
Überblick über Vorlesung
I. Ziele des Geometrieunterrichts (1)
II. Bildung geometrischer Begriffe (10)
III. Inhaltslehre (2)
IV. Zeichnen/Konstruieren (2)
V. Geometrische Abbildungen /Symmetrie (2)
VI. Projektionen (2)
VII. Räumliches Vorstellungsvermögen (1)
VIII. Problemlösen/Kreativität (1)
I. Ziele des Geometrieunterrichts
• Erwerb
– elaborierten Wissens über Figuren, Körper, geometrische
Operationen sowie deren Beziehungen
– handwerklicher und formaler Techniken (Konstruieren, Zeichnen,
Messen, Berechnen,…)
• Befähigung zur Anwendung dieses Wissens
– Alltag, Beruf und weiterführende Schulen
• Erziehung zu konzentriertem sauberen Arbeiten
– Zeichnen, Basteln, Lösen einer Berechnungsaufgabe
• Förderung von Problemlösetechniken
– speziell auf die Geometrie bezogen aber auch allgemein
• Sprachschulung
– Beschreiben, Argumentieren, Fachsprache nutzen,…
• Förderung kreativen Verhaltens
– Freude am Schaffen und Entdecken
– Kreativitätsroutinen
Forderungen aus dem Mathematik-Fachprofil (LP)
• Beim Lösen … geometrischer Aufgaben sollen die Schüler … Flexibilität
und problemlösendes Denken entwickeln …
• Der Unterricht soll zur Selbstständigkeit ermuntern, den Einfallsreichtum
fördern und Freude am mathematischen Tun wecken …gestalterischer
Umgang mit geometrischen Formen können dazu beitragen, dass die
Schüler Freude an mathematischem Tun gewinnen.
• Versuche, … Lösungswege zu variieren, sollen den Schülern das
Durchdringen und selbstständige Bearbeiten von Aufgaben erleichtern.
• …räumt der Unterricht auch der Entwicklung von Lösungsideen Platz ein.
• Zunehmend verwenden die Schüler gängige Begriffe der mathematischen
Fachsprache. Es ist aber darauf zu achten, dass sie mathematische
Bezeichnungen und Symbole mit inhaltlichen Vorstellungen und Wissen
verbinden.
• Kenntnisse über geometrische Figuren und das Wissen um geometrische
Beziehungen können aus der Arbeit mit konkreten Modellen sowie dem
zeichnerischen Darstellen erwachsen. Durch häufige und vielfältige
kopfgeometrische Aufgaben wird intensiv das räumliche Denken und
Vorstellungsvermögen geschult.
• Berechnungsformeln dürfen nicht zu früh eingeführt, sie müssen
schrittweise aus der Anschauung entwickelt werden. Eine wiederholte
Rückbesinnung auf ihre Gewinnung erleichtert den Schülern eine flexible
Anwendung.
II. Bildung geometrischer Begriffe
Sprech- und Schreibweisen
• Man fasst in der Geometrie Figuren bzw. Körper als
Teilmengen und Punkte als Elemente der Ebene bzw.
des Raumes auf
• Damit sind spezielle Sprech- bzw. Schreibweisen aus
der Mengenlehre verbunden
• Die Ebene (bzw. der Raum) kann mittels eines
Koordinatensystems beschrieben werden (Man spricht
dann vom R² bzw. R³)
• Es muss generell zwischen Figur und dem ihr
zugeordneten Maß unterschieden werden!
Empfohlene Schreibweisen (LP)
A, B, C...
P (x | y)
g, h, k...
g || h g
Punkte
Punkt im Koordinatensystem mit
den Koordinaten x und y
Gerade durch A und B
Strecke von A nach B
Länge der Strecke AB
Geraden
ist parallel zu h
gh
 (ABC)
α, β, γ, δ...
g ist senkrecht zu h
Winkel mit Scheitelpunkt B
Winkelmaß
AB
[AB]
AB
Ungenauigkeit
Funktion
Zeichnen
Bild
Vorkommen
Lebensweltlicher Aspekt
Alltag/Beruf
Handeln/Werken
Modell
Anwendung
Naive
Vorstellung
Text
Verbalisieren
Unterrichtliche
Repräsentation
Schüleraktivität
Fachsprache
Fachsprache
Geometrischer Mentaler Begriff
Mentales Modell/Proposition
Begriff
Operativ vorgehen
Fachmathematischer
Aspekt
Analysieren
Begriffsumfeld
Eigenschaften
Definitionen
Eigenschaften
entdecken
Beziehungen
Vernetzen
Ordnen
Kreatives
Arbeiten
Variieren
Analogisieren
Ungenauigkeit
Funktion
Zeichnen
Bild
Vorkommen
Lebensweltlicher Aspekt
Alltag/Beruf
Handeln/Werken
Modell
Anwendung
Naive
Vorstellung
Text
Verbalisieren
Unterrichtliche
Repräsentation
Schüleraktivität
Fachsprache
Fachsprache
Geometrischer Mentaler Begriff
Mentales Modell/Proposition
Begriff
Operativ vorgehen
Fachmathematischer
Aspekt
Analysieren
Begriffsumfeld
Eigenschaften
Definitionen
Eigenschaften
entdecken
Beziehungen
Vernetzen
Ordnen
Kreatives
Arbeiten
Variieren
Analogisieren
Naive Vorstellung
• Zu vielen Begriffen existiert eine naive Vorstellung. Sie ist oft
gekennzeichnet durch
– Prototypen
• Sonderformen (Rechteck statt Viereck)
• Normallagen (Quadrat vs. Raute)
• Standardproportionen (Draht ein Zylinder, Blatt Papier ein Quader?)
– Bezug zu bestimmter Sachsituation (Pyramide Cheops)
– Unschärfe (Achsensymmetrie …zwei gleiche Teile)
– Eigenschaftsarmut (Parallelogramm nur Parallelität)
• An diese naive Vorstellung sollte im Unterricht angeknüpft werden
– Teilweise um sie auszumerzen (Raute vs. Quadrat) (da sich diese sonst
auf Dauer wieder festigt!)
– Teilweise um sie zu nutzen
• Als Merkhilfe für Bezeichnungen (Pyramide, Trapez, Zylinder…)
• Als mentale Prototypen (z.B. bildliche Repräsentation im Gedächtnis:
Normallage, bestimmte Proportion)
• Als Ausgangspunkt für eine Verallgemeinerung (schiefe nichtquadratische
Pyramide)
Cheopspyramide
Trapez
Zylinder
Raute
Mentale Modelle beziehen sich auf
Prototypen
Satz von Thales?
Fachmathematischer Aspekt
• Begriffe (z.B. Figuren, Relationen, Abbildungen…) werden
definiert, d.h. so knapp wie möglich eindeutig beschrieben und
mit einem Namen bezeichnet
– Definitionen erfolgen oft durch
• Einschränkung bereits definierter Begriffe (bzw. Grundbegriffe) mithilfe
definierter Begriffe
• Abstraktionsprozess durch Äquivalenzklassenbildung (→ z.B. Flächeninhalt)
– „Definierende“ Einschränkungen müssen unabhängig sein
– Meist existiert eine Vielzahl möglicher äquivalenter Definitionen
– Definition im Unterricht
• Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften
– Viereckseigenschaften können sich z.B. beziehen auf
• Seiten (Längen, Lage), Winkel, Symmetrien, Diagonalen (Längen, Lage),
Umfang, Flächeninhalt, Inkreis, Umkreis, …
Übersicht
• Die Eigenschaften eines Begriffs stehen meist in engen
Beziehungen zueinander
– z.B. Aus Längengleichheit der Gegenseiten folgt im Viereck Maßgleichheit
der Gegenwinkel
• Begriffe stehen in Bezug zu anderen Begriffen und sind in
ein Begriffsnetz eingebunden
– Gemeinsames Auftreten (z.B. Kreise, gleichschenklige Dreiecke)
– Analoge Begriffe in anderen Dimensionen (z.B. Strecke, Quadrat, Würfel,
…)
– Hierarchische Begriffsbeziehungen
• Unter-, Ober-, bzw. Nachbarbegriff
• Lokales Ordnen bekannter Begriffe
• Kreatives Ordnen
• Fachmathematische Begriffsbildung ist ein kreativer
Prozess
– Was macht eine Begriff mathematisch wertvoll?
– Begriffsbildung durch Variation, Kombination, Reduktion…
– Analogisieren hilft Eigenschaften in variierten Begriffen zu
entdecken
Übersicht
„Definition“ im Unterricht
• Für den Unterricht sind strenge Definitionen manchmal
zu kompliziert. Dennoch müssen auch dort Definitionen
klar und eindeutig sein!
• Ausgangsbegriff oder einschränkende Eigenschaften
können im Unterricht
– vorher definiert,
– aus Alltag bekannt und eindeutig verwendet oder
– an Beispielen und Gegenbeispielen geklärt werden.
• Bsp. für eine schulgerechte „Definition“ von Vieleck:
Ein Vieleck ist ein ebener, nicht überschlagener, geschlossener
Streckenzug
Vielecke
• Definitionen können „statisch“ oder
„dynamisch“
erfolgen
Keine
Vielecke
– Bsp. Kegel, Parallelogramm…
überschlagen
Dreieck,
nicht Viereck!
offen
Lokales Ordnen (Haus der Vierecke)
• Warum systematisches lokales Ordnen im Unterricht?
– Notwendige Fähigkeit im Alltag (z.B. Ordnerstruktur im Computer)
– Propädeutik allgemeinen systematischen wissenschaftlichen
Ordnens (z.B. zoologische Systematik)
– Lernerfolgssicherung der Einzelinhalte durch
• Wiederholung
• Vernetzung
• Reduktion des Lernstoffes (Vererbung der Eigenschaften)
– Klärung korrekter Sprechweisen (z.B. „Das Parallelogramm ist ein
Trapez“)
– Einsicht in die Bedeutung solcher hierarchischer Begriffssysteme
für die Formulierung mathematischer Sätze (Sätze für Oberbegriffe
gelten insbesondere auch für entsprechende Unterbegriffe und
müssen dort nicht neu bewiesen werden)
Wie kann geordnet werden?
Begriffe sind bereits erarbeitet, d.h. in all ihren
Eigenschaften bekannt!
1) Wähle definierende Eigenschaften für einen
Viereckstyp A (z.B. Punktsymmetrie für
Parallelogramm)
2) Prüfe, ob diese Eigenschaft auch anderen Typen B
zueigen ist:
–
–
Wenn ja, dann ist Typ B Unterbegriff von A (z.B. Rechteck,
Raute oder Quadrat)
Wenn nein, dann ist Typ B
• Nachbarbegriff zu A(z.B. Drache, gleichschenkliges Trapez)
oder
• Oberbegriff zu A (z.B. Trapez, allgemeines Viereck); in
diesem Fall muss eine definierende Eigenschaft von Typ B
stets auch Typ A zueigen sein
zurück
Kreatives Ordnen
Begriffe werden beim Ordnen erarbeitet!
1)
2)
Wähle einen Satz ordnender Eigenschaften (z.B. Achsensymmetrie,
Punktsymmetrie)
Prüfe, welche Vierecksformen dabei entstehen:
–
Achsensymmetrie
–
–
–
3)
Punktsymmetrie (Parallelogramm)
Kombiniere die ordnenden Eigenschaften
–
Z.B. Achsensymmetrie bzgl.
•
•
•
4)
zweier Diagonalen
dreier Mittelsenkrechter
einer Diagonalen und Punktsymmetrie…
Prüfe insbesondere Existenz und Abhängigkeiten
–
Nichtexistenz sowie (andere) Abhängigkeiten verringern die Zahl der zu
ordnenden Vierecke
•
•
5)
bzgl. Diagonalen (Drachen)
bzgl. Mittelsenkrechte (Trapez)
Z.B. ist ein Viereck, welches zwei verschiedene Symmetrieachsen besitzt bereits
auch punktsymmetrisch oder aus der Symmetrie bzgl. einer Diagonalen und einer
Mittelsenkrechten folgt die Symmetrie bzgl. der anderen Diagonalen und
Mittelsenkrechten
In einem Viereck können sich Symmetrieachsen nur in den Winkeln 45° oder 90°
schneiden
Ordnung ergibt sich aus Kombination der geforderten Eigenschaften
zurück
Was macht einen Begriff mathematisch wertvoll
•
•
Prinzipiell können jederzeit beliebige (neue)
mathematische Begriffe gebildet werden
Entscheidend für das „Überleben“ eines Begriffs ist
aber dessen mathematische Beziehungshaltigkeit!
1. Bsp.: Ein Viereck mit drei gleichlangen Seiten heißt
„Dreiseitgleich“.
–
Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet, die
in Beziehung zueinander stehen, ist das Dreiseitgleich
mathematisch langweilig und damit zum Aussterben verurteilt...
2. Bsp.: Ein Viereck, dessen Gegenseiten summengleich sind,
heißt „Gegenseitensummerich“.
–
–
Beim „Gegenseitensummerich“ findet man eine zusätzliche
interessante Eigenschaft: Dieses Viereck besitzt stets einen
Inkreis
Der „Gegenseitensummerich“ wird also weiterleben (Wenn er dies
auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft normalerweise unter
dem Decknamen Tangentenviereck tut)
Eigenschaften im Unterricht entdecken
• Das Wahrnehmen von Besonderheiten muss
trainiert werden
• Fordern Sie explizit zum Beobachten auf. Hierzu
haben Sie verschiedene Möglichkeiten
– Geben Sie konkrete Hinweise auf welche
Eigenschaften geachtet werden kann
– Fordern Sie dazu auf,
• systematisch alle möglichen Eigenschaften auf
Besonderheiten hin zu untersuchen
• Operationen auszuführen und auf Invarianten zu achten
Lebensweltlicher Aspekt
Geometrische Begriffe finden sich oft in unserer Umwelt (Alltag, Beruf).
Hier ist es fruchtbar zu fragen:
• Wo kommt ein geometrischer „Begriff“ (Objekt, Eigenschaft, Relation,
Abbildung…) vor?
– Z.B.: „Wo findest du hier im Klassenzimmer (Schulhaus, Straße…) Trapeze
(Parallelität, Drehungen…)?
Ziel: Blick schärfen für mathematische Begriffe in der Umwelt und
fachsprachliche Bezeichnungen einüben
• Warum kommt ein „Begriff“ gerade hier vor?
– Warum findet man so viele Trapeze an einer Fachwerkfassade?
– Warum sind
• Schimmelkulturen, Hexenringe, Baumscheiben,… kreisförmig?
• Himmelskörper, Seifenblasen,… kugelförmig?
• Teller, Tassen,… „rund“?
Ziel: Entstehung geometrischer Eigenschaften verstehen; Förderung der
Allgemeinbildung; Vertraut machen mit Fachbezeichnungen aus Handwerk;
Beziehung von Herstellungsprozess (bzw. natürlichem Entstehungsprozess)
und Eigenschaften verdeutlichen
– Warum entstehen Rauten wenn man zwei Parallelgitter gleichen
Gitterabstandes kreuzt?
Ziel: Als Ausgangspunkt für innermathematische Problemstellungen nutzen
Die umfassende Auseinandersetzung
mit möglichst vielen mathematischen
und lebensweltlichen Aspekten eines
Begriffs sowie deren Zusammenhängen
ermöglicht erst die Bildung sinnvoller
unterrichtlicher Lernziele und ist damit
die Grundlage jeglichen interessanten
Mathematikunterrichts!
Fachwerk
Schimmelkultur, Hexenring, Baumscheibe…
Schimmelkulturen, Hexenringe
und Baumscheiben etc. sind
deshalb nahezu kreisförmig, da
sie von einem Zentrum aus mit
etwa gleicher Geschwindigkeit
nach außen wachsen!
Pinguine im Kreis
Teller als Rotationskörper erzeugt
Im Gegensatz zum Zirkel wird hier nicht das formgebende Element,
sondern die Unterlage bewegt.
Daraus lässt sich ein Zeichenverfahren für Kreise ohne Zirkel
entwickeln:
Fingernagel und Bleistift bilden eine feste Einheit.
Der Fingernagel fixiert das Blatt an einer Stelle, um die dieses mit der
anderen Hand gedreht wird.
Müssen Räder kreisförmig sein?
Gibt es andere Figuren gleichen Durchmessers
(Gleichdicke) als den Kreis?
Ja, z.B. das Reuleaux-Dreieck!
Aber bei nicht kreisförmigen Gleichdicks gibt es
kein Zentrum für eine Achse, das bei ebener
Strecke auf gleicher Höhe bleibt.
Räder müssen also Kreise, Rollen hingegen nur
Gleichdicke sein.
Wie stellt man einen Turm gerade?
Wie stellt man einen Turm gerade?
Welches der Dreiecke ist rechtwinklig?
H
G
E
F
D
A
C
B
Grunderfahrung zum Lot zu einer Ebene mit dem
Faltwinkel
Ein rechter Faltwinkel entsteht durch geeignetes zweimaliges
Falten eines Papiers
Mit ihm können Grunderfahren gemacht werden, die auf
folgende Definition bzw. Satz vorbereitet
Def.: Eine Gerade g heißt senkrecht zur Ebene E, wenn g auf
zwei Geraden der Ebene senkrecht steht, die durch ihren
Schnittpunkt mit E (Spurpunkt) gehen
Satz: Ist eine Gerade g senkrecht zur Ebene E, so steht sie
auch senkrecht auf allen Geraden aus E, die durch ihren
Spurpunkt gehen
Aspekt der Ungenauigkeit
Die Schüler sollen erkennen, dass mathematische
Konstruktionen unabhängig vom Konstruktionsverfahren theoretisch zu exakten Ergebnissen führen,
in der praktischen Anwendung aber aufgrund von
Ungenauigkeiten für ein präzises Arbeiten zusätzliche
Aspekte berücksichtigt werden müssen.
Bsp.:
• Wie lassen sich Eigenschaften geometrischer Begriffe für die Funktion
von Bauteilen oder ein handwerkliche Vorgehensweisen nutzen?
– Müssen Räder kreisförmig sein?
– Was hat das Parallelogramm mit einer Briefwaage zu tun?
– Wie stellt man einen Turm gerade (bohrt man ein senkrechtes Loch)?
– Wie repariert man eine klemmende Schranktür?
Ziel: Geometrische Zusammenhänge bewusst nutzen können, Übliche
Formen und Vorgehensweisen kritisch hinterfragen oder auch optimieren
können
Wie findet man solche Beziehungen?
1.
2.
3.
Man geht von einem geometrischen Begriff aus und sucht diesen in
der Umwelt. Hier helfen z.B. Lexika oder Suchmaschinen im Internet
Man beobachtet wachen Auges Umwelt und sucht in dieser
geometrische Aspekte
Man sieht Löwenzahn oder die Sendung mit der Maus
Ungenauigkeit
Funktion
Zeichnen
Bild
Vorkommen
Lebensweltlicher Aspekt
Alltag/Beruf
Handeln/Werken
Modell
Anwendung
Naive
Vorstellung
Text
Verbalisieren
Unterrichtliche
Repräsentation
Schüleraktivität
Fachsprache
Fachsprache
Geometrischer Mentaler Begriff
Mentales Modell/Proposition
Begriff
Operativ vorgehen
Fachmathematischer
Aspekt
Analysieren
Begriffsumfeld
Eigenschaften
Definitionen
Eigenschaften
entdecken
Beziehungen
Vernetzen
Ordnen
Kreatives
Arbeiten
Variieren
Analogisieren
Umweltaspekt
Fachmathematischer
Aspekt
Lehrer
leitet ab
konkrete
Lernziele
Sachstruktur
Allgemeine
Bildungsziele
Repräsentation der Inhalte
durch Handlungen,
Aufgaben, Texte, Bilder, …
Lehrer
entwickelt
Schüler
baut auf
adäquate
Lernumgebung
mentale
Begriffe
Repräsentationsformen:
• Man unterscheidet in enaktive (Handlung), ikonische (Bild)
und symbolische (Text mit mathematischen Symbolen,
Gleichungen…) Repräsentationsformen
– Diese Formen treten unter Vermittlung durch Sprache im Laufe eines
Begriffsbildungsprozesses häufig in dieser Reihenfolge auf
• Auch wenn die Klassifikation einen sinnvollen Anhaltspunkt
für Repräsentationen im Unterricht liefern, so
– sind sie nicht trennscharf
– sollte diese Abfolge auf keinen Fall als Schema für einzelne
Unterrichtseinheiten verstanden werden
– kann z.B. die Nötigung zum handelnden Vorgehen bei Schülern, die
bereits geeignete mentale Vorstellungen aufgebaut haben, die
angestrebte kognitive Verarbeitung sogar behindern
– sind Abweichungen von der Reihenfolge manchmal sinnvoll
(insbesondere hat Text eine vermittelnde Funktion für alle Ebenen!)
– sichern sie nicht die Qualität der Repräsentationen
– müssen sie stets in Beziehung zueinander gebracht werden
Enaktive Repräsentation
• Hauptziele:
– Erfahrungen sammeln
– entdeckend lernen
– Entdecken lernen (Sensibilität für Phänomene
entwickeln, operative Vorgehensweise anwenden)
• Wird zu Aktivitäten aufgefordert, so
– müssen diese zielführend für das Erreichen konkreter
Lernziele sein (Handlungen nicht als Selbstzweck!)
– muss ihre Bedeutung intensiv verbalisiert werden!
(Handlungen führen über die Sprache zu mentalen
Einsichten)
Ikonische Repräsentation
• Hauptziele:
– Festhalten der Erfahrungen
– Auswahl eines prägnanten Prototypen für mentales
Modell
• Bei der ikonischen Darstellung ist darauf zu
achten, dass
– Wesentliches hervorgehoben wird (z.B. Farbe,
Strichdicke…)
– der Prototyp keinen Spezialfall darstellt
– der Zusammenhang mit der vorangegangenen
Handlung deutlich gemacht wird
Symbolische bzw. textliche Repräsentation
• Hauptziele:
– Während der Handlungen (vor allem sprachlich):
• Klärung der noch undeutlichen Ideen
• Kommunikation der Entdeckungen
• Kommunikationstraining
– zwar noch unscharfes aber dennoch verständliches Beschreiben
– Verwenden eigener Bezeichnungen
– Abschließend:
• Ergänzen der ikonischen durch propositionale Fassung
– um Sachverhalte
» allgemeingültig sowie
» leicht kommunizierbar zu repräsentieren
– zur Unterstützung des Memorierens (Vernetzung mit mentalem
Modell)
• Training exakten Formulierens
– Weiterführend (vor allem symbolisch):
• Möglichkeit einer abstrakten Weiterverarbeitung (z.B. als
Formeln)
• Bei der abschließenden textlichen Darstellung ist darauf
zu achten, dass
– knapp aber unmissverständlich formuliert wird
(Literaturhinweis: Schulz v. Thun und Götz, Mathematik
verständlich erklären, München 1976)
– der Text in engem Bezug zu der ikonischen Darstellung steht
(Aufgreifen von Bezeichnungen und Farben, räumliche Nähe…)
Bsp.: Außenwinkelsatz
Bsp.: Repräsentationen des geraden Drachens
• Enaktiv
– Das Ausschneiden eines Drachen ist eine Handlung, deren
Ergebnis zwar den geometrischen Begriff repräsentiert, die
selbst aber in keinem Bezug zu den Eigenschaften desselben
steht! (Inadäquate Repräsentation!)
– Das Ausschneiden durch zwei Schnitte aus einem gefalteten
Papier hingegen steht in direktem Bezug zu seiner Symmetrie
– Das Zusammenlegen zweier Paare jeweils gleichlanger Stifte
steht ebenfalls in direktem Bezug zu seinen Eigenschaften. Beim
Variieren der Winkel können zusätzliche Zusammenhänge bzw.
Invarianten erkannt werden (Operatives Prinzip)
– …
• Ikonisch
– Inadäquate Repräsentation:…
– Adäquate Repräsentationen:…
• Symbolisch
– Text 1: „Bei einem Drachen gilt a=b und c=d.“ (ungünstig, da
Bezeichnungen ohne beschriftetes Bild nicht zwingend)
– Text 2: „Ein Drache setzt sich aus zwei Paaren jeweils
gleichlanger Nachbarseiten zusammen.“ (günstig, da
unabhängig von speziellen Bezeichnungen)
Repräsentation von Körpern
• Die ikonische Repräsentation von Körpern ist gegenüber
der ebener Figuren besonders problematisch, da Längen
und Winkel verzerrt dargestellt werden
• Deshalb ist bei Körpern die unmittelbare enaktive
Repräsentation unerlässlich!
• Bei Körpern unterscheidet man grob zwischen Kanten-,
Flächen- und Voll- bzw. Füllkörpermodellen, die passend
zu den jeweiligen Lernzielen eingesetzt werden müssen
– Kantenmodell: Kanten-, Diagonaleneigenschaften,…
Teilfiguren, wie Stützdreiecke müssen selbst wieder z.B. als Pappfigur
repräsentiert werden
– Flächenmodell: Formen der Begrenzungsflächen, Netze,
Oberflächenmaß, …
– Voll- bzw. Füllkörpermodell: Volumen, Gewicht, Dichte…
• Zum Aufbau eines mentalen Modells von Körpern
müssen
– die unterschiedlichen Modelltypen von den Schülern selbst
hergestellt werden
• Achten Sie dabei auf sauberes Arbeiten!
– die Körper als Kanten- oder Flächenmodell strukturiert werden
durch
• Repräsentation relevanter Aspekte z.B. mittels Farbe
• Prozess des Aufbaus
– diese strukturierenden Repräsentationen verbal erläutert werden
– entsprechende Vorstellungsübungen gemacht werden (z.B.
Wechselspiel zwischen Betrachtung des realen Modells mit
offenen und des mentalen Modells bei geschlossenen Augen)
– die Körper von den Schülern als Schrägbild gezeichnet werden
– Strukturierungen durch Einfärben dort sichtbar gemacht werden
– der Wechsel vom Modell zum Schrägbild mit entsprechenden
Übungen gestaltet werden, damit das Schrägbild richtig
interpretiert wird (z.B. Einzeichnen von Diagonalen,
Schnittfiguren,…)
– reale, zeichnerische oder mentale Operationen an Körpern
vorgenommen werden (z.B. Schnitte, Verlängerung von Seiten,
…)
Netze von Körpern
• Körper, die von ebenen Flächen begrenzt werden heißen
Polyeder (Vielflächner)
• Diese Begrenzungsflächen sind Vielecke
• Das Netz eines Körpers erzeugt man, indem man diesen
entlang von Kanten aufschneidet und in der Ebene
ausbreitet. Diesen Prozess nennt man Abwicklung
Beispiele:
Gegenbeispiel:
Nicht an einer gemeinsamen
Kante zusammenhängend!
Nicht zusammenhängend!
Wie entscheidet man, ob etwas ein Würfel- bzw. ein
Quadernetz ist?
– mental-visuelles Zusammenfalten
• Vorstellungshilfe: Schweren Körper auf
Grundfläche stellen
– Anwenden von Ausschlusskriterien
• Kein „U“
• kein „5er-Band“
• kein „großer Winkel“
kleines U
großer Winkel
– Speziell für Quadernetze
• 3 Paare kongruenter Rechtecke
• Über Eck keine ungleichlangen Rechtecksseiten
U
großes U
5er-Band
Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es?
gleich oder verschieden?
Drehen
Lernziele zu Körpernetzen
• Umweltaspekt:
– Vermeidung von Leimkanten
– Verpackungsprobleme
• Einprägen von Körpereigenschaften
• Training des räumlichen Vorstellungsvermögens
– speziell des mental-visuellen Operierens und
– der Nutzung propositional beschreibbarer
Relativlagen
Standardnetze der geraden quadratischen Pyramide
„sternförmig“
Repräsentiert Symmetrie
„mantelförmig“
Repräsentiert Aufteilung in
Mantel- und Grundfläche
• Konstruktionsmöglichkeit 1: „Kreise um Eckpunkte“
• Konstruktionsmöglichkeit 2: „Kreis um Mittelpunkt und
Mittelsenkrechten der Grundkanten“
• Konstruktionsmöglichkeit 3: „Grundkanten als Sehnen am Umkreis
des Mantelnetzes antragen“
Konstruktionsaufgabe
• Geg: Grundkantenlänge a= 3cm und Pyramidenhöhe hpyr= 4cm
• Ges: Netz der Pyramide
Standardnetze der geraden Rechteckspyramide
• Vorgehensweisen analog zur quadratischen Pyramide
Netz eine beliebigen Dreieckspyramide
Netz eine beliebigen Vieleckspyramide
Bedingungen für Pyramidennetze:
(1) aufeinandertreffende Dreiecksseiten jeweils gleichlang
(2) Dreiecksseiten nicht zu kurz
(3) Spurgeraden der Dreiecksspitzen schneiden sich in einem
Punkt, dem Höhenfußpunkt der Pyramide
(Ist bei Dreieckspyramiden bereits mit (1) erfüllt)
Bei konkaven Körpern kann es bei der „Abwicklung“ zu
Überlappungen kommen!
Netz einer regulären n-Eckspyramide
• Definition des regulären n-Ecks:
Ein n-Eck mit
– n gleichlangen Seiten und
– ausschließlich gleichgroßen Innenwinkeln (alt. Umkreis)
heißt regelmäßiges bzw. reguläres n-Eck
• Konstruktion eines regulären n-Ecks:
– Konstruktionsmöglichkeiten über
• Bestimmungsdreieck
• „schrittweise Abbiegen“
• Kreis um Mittelpunktsstrahlen
• Es gibt nicht nur Netze von Polyedern, sondern auch von
anderen abwickelbaren Körpern, wie z.B. Zylinder und
Kegel
– Kreise bzw. Kreisteile müssen mit anderen Teilflächen nur einen
Berührpunkt gemeinsam haben
Zylindernetze
• Gerader Kreiszylinder:
• Beliebiger gerader Zylinder:
• Schräges Abschneiden eines
geraden Kreiszylinders erzeugt
schiefen elliptischen Zylinder
– Anwendung Rohrknie
Mantelfläche:
Kegelnetze
• Gerader Kreiskegel:
– Zusammenhang zwischen r und n:
Netz des schiefen Prismas
• Abwicklung
Netz der Kugel?
• Die Kugel ist nicht abwickelbar; Sie hat kein Netz!
• Nur näherungsweise kann z.B. die Abwicklung einer
Orange durch Schälen
– unsystematisch oder
– systematisch versucht werden
II. Inhaltslehre
Fachmathematische Grundbegriffe der
Flächeninhaltslehre:
•
Ein Vieleck V heißt elementargeometrisch in V1,…,Vn
zerlegt, wenn
1. V = V1U…U Vn
2. Je zwei Vielecke der Menge {V1,…, Vn} haben höchstens
Randpunkte gemeinsam
•
Zwei Vielecke V und W heißen zerlegungsgleich, wenn
sie in endlich viele Vielecke V1,…,Vn bzw. W1,…,Wn so
zerlegt werden können, dass für i= 1,…,n gilt:
Vi ist kongruent zu Wi
–
Zerlegungsgleichheit ist eine Äquivalenzrelation
• Zwei Vielecke V und W heißen ergänzungsgleich, wenn
sie sich durch endlich viele paarweise kongruente
Vielecke zu zerlegungsgleichen Vielecken ergänzen
lassen
• Satz: Zwei Vielecke sind genau dann ergänzungsgleich,
wenn sie zerlegungsgleich sind
Flächeninhaltsfunktion
•
Eine Funktion, die jedem Vieleck V eine reelle
Zahl |V| zuordnet, heißt Flächeninhaltsfunktion,
wenn gilt:
1.
2.
3.
4.
•
|V|>0 stets
|V1|=|V2|, falls V1 kongruent zu V2 ist
|V|=|V1|+|V2|, falls V in V1 und V2 zerlegbar ist
|V|=1, falls V das Einheitsquadrat ist
Satz: Es gibt nur eine einzige
Flächeninhaltsfunktion
Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und
Zerlegungsgleichheit
• Satz: Zerlegungsgleiche Vielecke haben
denselben Flächeninhalt
Aufbau des Flächeninhaltsbegriffs in der Schule
1. Direkter Flächenvergleich:
–
–
ohne Zerlegung
mit Zerlegung
2. Indirekter Flächenvergleich mittels eines
–
ungenormten Repräsentanten (geeignetes weiteres Vieleck)
•
Beispiele:
–
•
–
Bankflächen mittels Heft vergleichen
Motivation: Quantifizierung des Größenunterschieds
genormten Repräsentanten (Einheitsquadrat)
•
•
Motivation: Vergleich auch bei größeren Distanzen möglich durch
Rückführung des Problems auf Längeneinheit
Warum Einheitsquadrate und nicht z.B. gleichseitige Einheitsdreiecke?
–
–
Parkettieren insbesondere der häufig auftretenden Rechtecksflächen und
Abzählen besonders leicht möglich
3. Ableitung von Flächeninhaltsformeln
• Rechteck
– 1. Schritt: Auslegen mit Einheitsquadraten und Abzählen
– 2. Schritt: Erarbeitung eines verkürzten Abzählverfahrens
– 3. Schritt: Formel (Spätestens hier Festlegung von m•m = m² als
Flächeninhalt des Einheitsquadrats)
– 4. Schritt: Umrechnungen von einer Maßeinheit in eine andere
• Andere Vier- bzw. Vieleckstypen
– Die Formeln für andere Vieleckstypen werden (letztlich) auf das
Rechteck zurückgeführt durch
•
•
•
•
Umbauen (insbesondere Idee der Mittenlinie),
Zerlegen (insbesondere Idee der Triangulation) bzw.
Ergänzen
Scheren (auch Cavalieri)
• Beliebige „krummlinige“ Formen
– Vor allem für Grobabschätzung: Ersetzen durch geeignete
Vielecke
– Auf Karopapier: Einbeschriebenes und umbeschriebenes
„Karoeck“
– Trapezstreifenmethode
• Kreis
– 1. Schritt: Grobabschätzung
führt bereits zu Ansatz: AKreis= p• r²
– 2. Schritt: Genauere Bestimmung des Faktors p an Beispielen.
Dazu z.B.:
• Bestimmung der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat wie oben
oder
• Ausschneiden und Wiegen (Hebelgesetz)
– Weitere bzw. ergänzende Möglichkeit: „Tortenstückmethode“
• Voraussetzung: Umfang des Kreises bereits erarbeitet
• Stellt Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt her
– Fachmathematische p-Bestimmung z.B. mittels Folge ein- bzw.
umbeschriebener n-Ecke die immer bessere Näherungswerte für
das Verhältnis aus Kreisumfang und Durchmesser liefern
Die Satzgruppe des Pythagoras
• In einem rechtwinkligen Dreieck
– sind die Quadrate über den Katheten zusammen flächengleich
dem Quadrat über der Hypotenuse (Satz des Pythagoras)
– ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus
den beiden Hypotenusenabschnitten (Höhensatz)
– ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck
aus der Hypotenuse und dem anliegenden
Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz)
• Einfache Beweise (fürs Examen):
• Weitere Beweise:
– Perigal
• Zu jedem Satz existiert eine Umkehrung
Aufbau des Volumenbegriffs
Analog Flächeninhalt!!
• direkter Volumenvergleich
– ohne Verformung
– mit Verformung
• Flüssigkeiten umschütten
• Knetmasse verformen
• indirekter Vergleich mittels
– ungenormten Repräsentanten
– genormten Repräsentanten (Einheitswürfel)
Aktivitäten
• Volumenvergleiche bzw. -messungen durch
– Wiegen
• Vollkörper gleichen Materials verwenden
– mit Wasser befüllen
• Direktvergleich
• Umschütten in drittes Gefäß (z.B. Messbecher)
– Wasser verdrängen
• Überlaufen lassen
• Wasserspiegel ansteigen lassen
– Zerlegungen
• Bei gerade Säulen analog zu Vielecken
Ableitung der Volumenformeln
• Übersicht
Umgang mit Formeln
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Intensive formenkundliche Analysen voranstellen
Formeln nicht zu früh einführen
Analogien herausarbeiten
Keine überflüssigen Einzelformeln (Modulares Arbeiten)
Notwendige Schülerkompetenzen:
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–
–
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Anwendungsbereich kennen
Formel interpretieren
nicht auf andere Bezeichnungen übertragen können
Größen einsetzen und mit diesen rechnen
Formeln umstellen
Formel in Formel einsetzen
Zusammengesetzte Körpern bzw. Figuren vielseitig additiv bzw.
subtraktiv analysieren
IV. Geometrische Abbildungen
Kongruenzabbildungen
• Propädeutisch: Abbildungen, die Figuren auf
deckungsgleiche abbilden, heißen Kongruenzabbildungen
– Frage: Wie bildet man eine Figur F1 auf eine deckungsgleiche Figur
F2 ab?
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Bildfigur parallel
Bildfigur zusätzlich gedreht
Bildfigur liegt spiegelbildlich
Bildfigur hat entgegengesetzten Drehsinn, liegt aber nicht spiegelbildlich
– Antwort: Die Abbildung auf eine deckungsgleiche Figur gelingt stets
allein durch
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Verschiebung,
Drehung (mit Sonderfall Punktspiegelung),
Achsenspiegelung oder
Schubspiegelung!
• Fachmathematisch:
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Def 1.: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich heißt
Kongruenzabbildung
- Satz: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich ist immer auch
geradentreu und winkelmaßtreu.
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Def 2.: Eine Verkettung von Achsenspiegelungen heißt
Kongruenzabbildung
Eine Figur F2 heißt kongruent zur Figur F1, wenn F1 durch eine
Kongruenzabbildung auf F2 abgebildet werden kann.
Dreispiegelungssatz: Die Verkettung von Achsenspiegelungen kann
stets auf eine Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen
ersetzt werden. Dabei bleibt die Anzahl der Achsenspiegelungen
gerade bzw. ungerade.
Verkettung von Kongruenzabbildungen
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Verschiebung mit Verschiebung
Verschiebung mit Drehung
Drehung mit Drehung
Achsenspiegelung mit Achsenspiegelung
…
V. Symmetrie
• Symmetrie nennt man die Eigenschaft einer Figur
bzw. eines Körpers, durch eine (von der Identität
verschiedenen) Kongruenzabbildung auf sich selbst
abgebildet zu werden.
• Zu jeder Kongruenzabbildung existiert eine eigene Form
der Symmetrie. In der Ebene sind dies:
– Achsenspiegelung → Achsensymmetrie
– Drehsymmetrie
• Drehung um 360°/n → n-strahlige Symmetrie
• Drehung um 180° → Punktsymmetrie (2-strahlige Symmetrie)
• Alle Drehungen mit gemeinsamen Zentrum → Rotationssymmetrie
– Verschiebungs- bzw. Translationssymmetrie
– Schubspiegelungssymmetrie
Achsensymmetrie
(bzw. Ebenensymmetrie im Raum)
Def.: Eine Figur F heißt achsensymmetrisch, wenn
eine Achsenspiegelung existiert, die F auf sich
selbst abbildet.
Beispiele:
a
F1
F2
– Figur F1 und F2 haben jeweils keine
Symmetrieeigenschaft
– F1 liegt spiegelbildlich zu F2
– F1 ist Urbild und F2 ist Bild der Spiegelung an a (bzw.
umgekehrt)
– Die Vereinigung von F1 mit F2 ergibt eine
achsensymmetrische Figur
Wo findet man (näherungsweise) achsensymmetrische
Objekte und warum haben sie diese Eigenschaft?
• Natur:
–
–
–
–
Tierwelt: Mensch, Huftiere, Katzen, Schmetterlinge, Vögel, Insekten,…
Pflanzenwelt: Blätter, Blüten, Früchte, Grobumriss von Bäumen, …
Geologie: Kristalle, Vulkane,…
Ursache: Fortbewegung erfolgt in eine Richtung; Orientierung nach links
bzw. rechts gleichberechtigt, Flugfähigkeit, Symmetrisches Wachstum
aufgrund symmetrischer Bedingungen….
• Artefakte:
– Alltagsgegenstände, Bauwerke, Kunstobjekte:
• Ursache:
– Anpassung an vorhandene Symmetrie
(Brille, Stuhl, Toilette, Rathaus von Maastricht, …)
– Vermeidung von Drehmomenten, Kräfteverteilung, Statik (Schaufel, Rechen,
Gewölbe…)
– Ästhetik (Abbild von Mensch und Tier, Symbol für Ausgewogenheit und Ordnung)
Repräsentation gleicher
Machtansprüche
• Vor etwa 300 Jahren wurde
Maastricht gleichberechtigt
von Fürstbischof von
Lüttich und dem Herzog
von Brabant regiert
• Das neue Rathaus sollte
die Einheit der Stadt und
den gleichen Rang beider
Fürsten verdeutlichen
Drehsymmetrie
Def.: Man sagt: Eine Figur F hat eine n-zählige
Drehsymmetrie, wenn eine Drehung um 360°/n
(n>1) existiert, die F auf sich selbst abbildet.
Beispiele:
– Punktsymmetrische Figur
– Drehsymmetrische Figur mit
• dreizähliger Drehsymmetrie
• vierzähliger Drehsymmetrie
– Reguläres n-Eck
– Dreht man eine Figur n-1-mal um 360°/n und vereinigt sie mit
ihren n-1 Bildern, so entsteht eine Figur mit n-zähliger
Drehsymmetrie
Verschiebungssymmetrie
• Verschiebungssymmetrische Figuren können
nicht begrenzt sein
• Beispiele:
– Gerade
– Bandornamente
– Parkette
Schüleraktivitäten und Veranschaulichungen zu
Kongruenzabbildungen und Symmetrien
• Achsenspiegelung - Achsensymmetrie:
– Klecksbilder
– Umklappen einer Figur auf Folie
– Einfach gefaltetes Papier
• schneiden
• durchstechen
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–
–
–
–
–
–
Kohlepapier
Spiegel
Pantomime
Miraspiegel
Bauen z.B. mit Lego
Karopapier (Achslage parallel oder diagonal)
„Konstruktion“ mit
• Zirkel
• Geodreieck
– Finden (z.B. mit Spiegel) und Einzeichnen von Symmetrieachsen,
– Ergänzen zu symmetrischer Figur
• Drehung - Dreh- bzw. Punktsymmetrie:
– Drehung einer Figur auf Folie
– „Konstruktion“ mit
• Zirkel
• Geodreieck
–
–
–
–
–
Doppelt gefaltetes Papier schneiden
Doppelspiegel
Erzeugung einer drehsymmetrischen Figur durch mehrfaches Abbilden
Finden und Einzeichnen des Drehpunkts bzw. des Symmetriezentrums
Problematisieren: Riesenrad (Gondeln parallel) vs. Mond (Mondgesicht)
• Verschiebung - Verschiebungssymmetrie:
–
–
–
–
–
Verschiebung einer Figur auf Folie
Parallelverschiebung mit Geodreieck und Lineal
Erzeugung von Bandornamenten
Doppelt (mehrfach) parallel gefaltetes Papier schneiden
Finden und Markieren einer Elementarzelle eines Bandornaments
Projektionen
Zentralprojektion
– Prinzip:
• Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels einer
punktförmigen Lichtquelle (Projektionszentrum) auf eine Ebene
nennt man Zentralprojektion
• Positioniert umgekehrt ein Betrachter sein Auge an die Position der
Lichtquelle (Augpunkt), so erzeugt das zentralperspektivische Bild
denselben Sinneseindruck wie der Körper selbst
– Eigenschaften:
• Figuren, die parallel zur Bildeben liegen, werden auf ähnliche
abgebildet
• Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden
auf Geraden abgebildet
• Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln,
Hyperbeln) oder Strecken abgebildet
• Bilder paralleler Geraden, die nicht parallel zur Bildebene liegen,
schneiden sich in einem Punkt, dem Fluchtpunkt
• Die Fluchtpunkte von Parallelenscharen, die parallel zu einer Ebene
verlaufen, liegen auf einer Geraden (Horizontlinie)
Parallelprojektion
• Prinzip:
– Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels paralleler Strahlen
auf eine Ebene nennt man Parallelprojektion
– Eine Zentralprojektion nähert sich bei zunehmender Entfernung des
Projektionszentrums einer Parallelprojektion an (z.B. Sonne)
– Blickt ein Betrachter aus größerer Distanz in Richtung dieser Strahlen
auf ein parallelperspektivisches Bild, so erzeugt auch dieses Bild einen
ähnlichen Sinneseindruck wie der Körper selbst
• Eigenschaften:
– Figuren, die parallel zur Bildebene liegen, werden auf kongruente
abgebildet
– Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf
Geraden abgebildet
– Strecken, die senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um einen
festen Wert (Abbildungsfaktor) verändert abgebildet
– Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln)
oder Strecken abgebildet
– Bilder paralleler Geraden sind stets Parallele
• Schrägbild vs. Normalbild
– Beim Normalbild stehen im Gegensatz zum Schrägbild die
abbildenden Strahlen senkrecht auf der Bildebene
• Dreitafelbild
• Konstruktion eines Schrägbildes
– Heuristische Ideen:
• Hilfslinien → punktweise Abbildung
• Rückführung auf bekanntes Problem → Einbettung in Quader
– Bsp: Sechseckspyramide, Kegel..
Kurze Übung
• Lernziel: Kreis ist die Menge aller Punkte, die …
– Das Zeichnen eines Kreises mittels
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Untertasse
Schnur
Zirkel
Bleistift durch Drehung des Blattes
– Das Ausschneiden eines vorgezeichneten Kreises
– Das Bild eines Kreises mit verschiedenen eingezeichneten Radien
– Die symbolische Darstellung
• k(Z,B)
• k(Z,r)
• {P| Abstand P von Z ist 2 cm}
– Die Betrachtung eines Fahrradvorderrades
– Das Zeichnen 3cm langer Strecken ausgehend von einem Punkt
• Lernziel: Kreis ist eine Figur konstanter Krümmung
– Das Zeichnen eine Kreises mittels Zirkel
– Das schrittweise Biegen eines Drahtes
– Das Fahren eines Modellautos mit fester Lenkerstellung