PPT 8 - Didaktik der Mathematik

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Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Grundbegriffe
der Schulgeometrie
SS 2008 Teil 8
(M. Hartmann)
Repräsentation von Körpern
• Die ikonische Repräsentation von Körpern ist gegenüber
der ebener Figuren besonders problematisch, da Längen
und Winkel verzerrt dargestellt werden
• Deshalb ist bei Körpern die unmittelbare enaktive
Repräsentation unerlässlich!
• Bei Körpern unterscheidet man grob zwischen Kanten-,
Flächen- und Voll- bzw. Füllkörpermodellen, die passend
zu den jeweiligen Lernzielen eingesetzt werden müssen
– Kantenmodell: Kanten-, Diagonaleneigenschaften,…
Teilfiguren, wie Stützdreiecke müssen selbst wieder z.B. als Pappfigur
repräsentiert werden
– Flächenmodell: Formen der Begrenzungsflächen, Netze,
Oberflächenmaß, …
– Voll- bzw. Füllkörpermodell: Volumen, Gewicht, Dichte…
Welches der Dreiecke ist rechtwinklig?
H
G
E
F
D
A
C
B
• Zum Aufbau eines mentalen Modells von Körpern
müssen
– die unterschiedlichen Modelltypen von den Schülern selbst
hergestellt werden
• Flächenmodell:
– Wie viele Seitenflächen?
– Welche Formen bzw. Beziehungen?
– Welche Lage? (Körpernetz!)
• Kantenmodell:
– Überlegung notwendig: Wie viele Kanten welcher Länge
• Vollmodell:
– Zusammenhang Herstellung – Eigenschaft (Rollen – Zylinder)
• Achten Sie dabei auf sauberes Arbeiten!
– die Körper als Kanten- oder Flächenmodell strukturiert werden
durch
• Repräsentation relevanter Aspekte z.B. mittels Farbe
• Prozess des Aufbaus
– diese strukturierenden Repräsentationen verbal erläutert werden
– entsprechende Vorstellungsübungen gemacht werden (z.B.
Wechselspiel zwischen Betrachtung des realen Modells mit
offenen und des mentalen Modells bei geschlossenen Augen)
– die Körper von den Schülern als Schrägbild
gezeichnet werden
– Strukturierungen durch Einfärben dort sichtbar
gemacht werden
– der Wechsel vom Modell zum Schrägbild mit
entsprechenden Übungen gestaltet werden, damit
das Schrägbild richtig interpretiert wird (z.B.
Einzeichnen von Diagonalen, Schnittfiguren,…)
– reale, zeichnerische oder mentale Operationen an
Körpern vorgenommen werden (z.B. Schnitte,
Verlängerung von Seiten, …)
Repräsentation der Kantenbeziehungen
Repräsentation der Seitenflächenbeziehungen
Repräsentation des Quadermantels
Repräsentation des Quaders als Prisma
Netze von Körpern
• Körper, die von ebenen Flächen begrenzt werden heißen
Polyeder (Vielflächner)
• Diese Begrenzungsflächen sind Vielecke
• Das Netz eines Körpers erzeugt man, indem man diesen
entlang von Kanten aufschneidet und in der Ebene
ausbreitet. Diesen Prozess nennt man Abwicklung
Beispiele:
Gegenbeispiel:
Nicht an einer gemeinsamen
Kante zusammenhängend!
Nicht zusammenhängend!
Wie entscheidet man, ob etwas ein Würfel- bzw. ein
Quadernetz ist?
– mental-visuelles Zusammenfalten
• Vorstellungshilfe: Schweren Körper auf
Grundfläche stellen
– Anwenden von Ausschlusskriterien
• Kein „U“
• kein „5er-Band“
• kein „großer Winkel“
kleines U
großer Winkel
– Speziell für Quadernetze
• 3 Paare kongruenter Rechtecke
• Über Eck keine ungleichlangen Rechtecksseiten
U
großes U
5er-Band
Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es?
gleich oder verschieden?
Drehen
Lernziele zu Körpernetzen
• Einprägen von Körpereigenschaften
• Hilfe zur Oberflächenberechnung
– Bei der Oberflächenberechnung sollte generell auf Formeln
verzichtet werden
• Umwelterschließung:
– Bau von Körpern
• Vermeidung von Leimkanten
• Optimale Ausnutzung des Materials (Parkettieren mit Netzen)
– Lösen von Verpackungsproblemen
• Training des räumlichen Vorstellungsvermögens
– speziell des mental-visuellen Operierens und
– der Nutzung von Relativlagen
Standardnetze der geraden quadratischen Pyramide
„sternförmig“
Repräsentiert Symmetrie
„mantelförmig“
Repräsentiert Aufteilung in
Mantel- und Grundfläche
• Konstruktionsmöglichkeit 1: „Kreise um Eckpunkte“
• Konstruktionsmöglichkeit 2: „Kreis um Mittelpunkt und
Mittelsenkrechten der Grundkanten“
• Konstruktionsmöglichkeit 3:
„Grundkanten als Sehnen am
Umkreis des Mantelnetzes antragen“
Konstruktionsaufgabe
• Geg: Grundkantenlänge a= 3cm und Pyramidenhöhe hpyr= 4cm
• Ges: Netz der Pyramide
Standardnetze der geraden Rechteckspyramide
• Vorgehensweisen analog zur quadratischen Pyramide
Netz einer beliebigen Dreieckspyramide
Netz einer beliebigen Vieleckspyramide
Bedingungen für Pyramidennetze:
(1) aufeinandertreffende Dreiecksseiten jeweils gleichlang
(2) Dreiecksseiten nicht zu kurz
(3) Spurgeraden der Dreiecksspitzen schneiden sich in einem
Punkt, dem Höhenfußpunkt der Pyramide
(Ist bei Dreieckspyramiden bereits mit (1) erfüllt)
Bei konkaven Körpern kann es bei der „Abwicklung“ zu
Überlappungen kommen!
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