Algebraische Zahlentheorie — 5. ¨Ubung Aufgabe 1. Zeige, dass

Prof. Dr. Jörn Steuding
Institut für Mathematik, Universität Würzburg
12. Dezember 2014
Algebraische Zahlentheorie — 5. Übung
Aufgabe 1. Zeige, dass jeder Hauptidealring faktoriell ist. Gib’ mit Begründung
einen faktoriellen Ring an, der kein Hauptidealring ist.
Aufgabe
der Primzahlen in den Zahlkörpern
√ 2. Beschreibe das Zerlegungsverhalten
2π
).
K = Q( −163), Q(exp( 2πi
)
und
Q
(cos
2
7
7
√
Aufgabe 3. Sei K = Q( −23). Bestimme sämtliche Primideale P mit Norm
N (P) ≤ 4 und berechne die Klassenzahl hK ; gib’ dabei auch explizite Repräsentanten der Idealklassen an.
Aufgabe 4. Es sei K ein Zahlkörper mit Ganzheitsring OK . In Verallgemeinerung
der Eulerschen ϕ-Funktion bezeichne ϕ(a) die Anzahl der invertierbaren Elemente
in OK /a. Zeige, dass
Y
ϕ(a) = N (a) (1 − N (p)−1 ),
p|a
wobei das Produkt über alle Primidealteiler von a erhoben ist. Beweise ferner folgende
Verallgemeinerung des ’kleinen Fermat’: Für α ∈ OK teilerfremd zu a ist
αϕ(a) ≡ 1 mod a.
Aufgabe 5. Eine binäre quadratische Form ist gegeben durch
(a, b, c) := Q(X) := (X, Y )t Q(X, Y ) := aX 2 + bXY + cY 2
mit teilerfremden a, b, c ∈ Z und einer geeigneten Matrix Q; hierzu heißt D :=
D(Q) := b2 −4ac die Diskriminante von (a, b, c). Es sei im Folgenden D kein Quadrat
und D ≡ 0 oder 1 mod 4. Zwei Formen
Q(X) = Xt QX
und
heißen äquivalent, wenn
Q̃ = At QA
mit
Q̃(X) = Xt Q̃X
A ∈ SL2 (Z)
besteht. Zeige, dass die Äquivalenz von Formen eine Äquivalenzrelation ist und zu
jedem Nicht-Quadrat D stets mindestens eine Äquivalenzklasse existiert. Zeige ferner, dass äquivalente Formen dieselben Zahlen darstellen. Und beantworte folgende
Frage: Was hat dies mit der Arithmetik quadratischer Zahlkörper zu tun?
Aufgabe 6. Ist es möglich mit beschränkter Schrittlänge von 0 über Primelemente
im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Z[i] nach unendlich (egal in welcher Richtung) zu wandern?
... und als Maßnahme gegen die Langeweile während der
vorlesungsfreien Zeit stehen weitere Aufgaben auf der Rückseite...
2
Aufgabe 7. Finde möglichst viele (alle?) ganzzahligen Lösungen der Gleichung
X 3 + 2Y 3 + 4Z 3 − 6XY Z = 1.
√
√
Hinweis:
Der Ganzheitsring von Q( 3 2) besitzt die Fundamentaleinheit ǫ = 1 + 3 2 +
√
3
4.
Aufgabe 8. Angenomme, alles ist über die Dedekindsche Zetafunktion ζK (s) bekannt, übder Zahlkörper K jedoch nur [K : Q] = 2. Ist es damit möglich, K eindeutig
√
zu bestimmen? Also die quadratfreie ganze Zahl D zu finden, so dass K = Q( D)
gilt?
P
Aufgabe 9. Sei K ein Zahlkörper und ζK (s) = a6={0} N (a)−s die assoziierte Dedekindsche Zetafunktion. Zeige, dass ζK (s) in der Halbebene Re s > 1 betragsmäßig
beliebig kleine Werte annimmt, aber keine Nullstelle besitzt.
Alle Bearbeitungen sind ausreichend zu begründen. Verwendet werden dürfen lediglich Ergebnisse, die bereits in der Vorlesung oder auf vorangegangenen Übungsblättern dieser Veranstaltung behandelt wurden. Für den Scheinerwerb ist das Vorrechnen einer Aufgabe hinreichend; alternativ ist eine mündliche Prüfung zu absolvieren. Auf alle Fälle ist es sinnvoll, Aufgaben zu bearbeiten!
Viel Spaß!
Ein schönes Thema für eine Masterarbeit wäre, arithmetische Äquivalenz zu untersuchen. Es gibt zwar zu gegebenem d nur endlich viele Zahlkörper mit Diskriminante d, aber die Diskriminante allein charakterisiert einen Zahlkörper noch nicht.
Tatsächlich heißen Zahlkörper K1 und K2 arithemtisch äquivalent, wenn sie dieselber
Dedekindsche Zetafunktion besitzen.
Frohe Feste!
Der LATEX-code ist der Matroids Matheplanet-Seite http://www.matheplanet.com entnommen.