Exercise sheet 4 Theoretical Astrophysics II

University of Freiburg
Institute of Physics
PD Dr. Markus Roth
Kolja Glogowksi
SS 2014
Exercise sheet 4
Theoretical Astrophysics II
Stellar Structure and Evolution
Aufgabe 1: Virialtheorem und Anwendungen
(a) Betrachten Sie einen Stern mit Masse M , Radius R und Volumen V . Die lokale Gravitationsenergie
R m(r) Gm0
0
des Sterns sei mit Ω(r) := − 0
r 0 dm bezeichnet. Zeigen Sie das lokale Virialtheorem,
m(r)
Z
p(r) V (r) −
p
1
dm0 = Ω(r) .
ρ
3
(1)
0
Hinweis: Hierfür benötigen Sie eine geeignete Sternaufbaugleichung.
Zeigen Sie ferner, dass unter der Annahme eines idealen Gases mit einer inneren Energie pro MaskT
gilt:
seneinheit u = 23 µm
H
1
U (R) = − Ω(R) ,
(2)
2
wobei U die innere Energie, µ das mittlere Molekulargewicht und mH die atomare Masseneinheit
bezeichnen.
(b) Entwicklung zum Roten Riesen. Nachdem der Wasserstoff im Kern eines Sterns (Masse M , Radius
R) aufgebraucht ist, erlischt die nukleare Energieerzeugung und der Kern (Radius Rc , Volumen Vc ,
mittleres Molekulargewicht µc ) kann näherungsweise durch ein ideales Gas mit konstanter Temperatur
Tc beschrieben werden; Wasserstoffbrennen findet nun in einer Kugelschale um den Kern herum statt.
Wenden Sie das lokale Virialtheorem auf den Kern an und zeigen Sie, dass der Druck pc,s an der
Kernoberfläche von der Form
C2
C1
(3)
pc,s (Rc ) = 3 − 4
Rc
Rc
ist. Hinweis: Ωc (Rc ) kann durch Ωc (Rc ) = −αGMc2 /Rc ausgedrückt werden, wobei α = O(1) eine
Konstante ist. Berechnen Sie den maximalen Druck an der Kernoberfläche. Nehmen Sie dafür an,
dass der Druck der umgebenden Hülle (mittleres Molekulargewicht µenv ) durch penv > GM 2 /8πR4
abgeschätzt werden kann und leiten Sie das Schönberg-Chandrasekhar-Stabilitätskriterium für den
Kern her,
2
Mc
µenv
. const.
.
(4)
M
µc
Hinweis: Sie können die Kerntemperatur durch Tc ∝
µenv GM
R
R
ausdrücken.
(c) Das Jeans-Kriterium. Sternentstehung erfolgt durch hierarchische Fragmentierung interstellarer Wolken. Betrachten Sie ein Teilvolumen V einer interstellaren Wolke, das eine Masse M einschließt und
nehmen Sie an, dass in V eine konstante Temperatur T herrscht. Wenden Sie das lokale Virialtheorem
auf V an und leiten Sie unter der Annahme eines idealen Gases mit mittlerem Molekulargewicht µ
einen Ausdruck für den minimalen Radius RJ her, der notwendig ist, um ein Volumenelement der
gegebenen Masse M im hydrostatischen Gleichgewicht zu halten (Jeans-Radius). Hinweis: Wie in
2
(b) gilt Ω(R) = −α GM
für ein α ∈ R, wobei R den Radius des Volumenelements bezeichnet.
R
Zeigen Sie außerdem dass, umgekehrt, die maximale Masse (Jeans-Masse) für ein gegebenes Volumenelement V im hydrostatischen Gleichgewicht durch
" # 3/2
1/2
3/2
3
RT
1
3
MJ =
(5)
√
4π
α
µG
ρ
gegeben ist, wobei ρ die mittlere Dichte bezeichnet.
Aufgabe 2: Der Gamov-Peak
Der Gamov-Peak ist gegeben durch die Beziehung
√
f (E) = e−E/kT −b/
mit b =
p
E
≡ eh(E)
m/8Z1 Z2 e2 /ε0 ~ als Durchdringungsfaktor der Coulomb-Barriere.
(a) Nähern sie den Gamov-Peak durch eine Gauß-Funktion
(E − Emax )2
g(E) = C exp −
∆E 2
an.
(Hinweis: Bestimmen sie zuerst das Maximum Emax von f (E) und entwickeln sie den Exponenten h(E)
um Emax .)
(b) Zeigen sie, daß seine volle Breite beim e-ten Teil des Maximus gleich 4(Emax kT /3)1/2 ist.
(c) Berechnen sie die reduzierte Masse m sowie die Größen Emax , C und ∆E für die Reaktionen
(i) 12 C + p → 13 N + γ
(ii) 3 He + 4 He → 7 Be + γ
bei der Zentraltemperatur der Sonne (Tc = 1.55 · 107 K).
Vergleichen sie die thermische Energie kT mit den Maximalenergien Emax der beiden Reaktionen.