4 Lote 4.1 Rechte Winkel 4.1.1 Def.: Ein Winkel heißt rechter Winkel

4 Lote
4.1 Rechte Winkel
4.1.1 Def.: Ein Winkel heißt rechter
Winkel, kurz: Rechter, wenn er kongruent ist zu einem Nebenwinkel.
4.1.2 Bem.: Nach 2.3.16 (beide Nebenwinkel zu einem Winkel sind kongruent)
ist 4.1.1 unabhängig von dem gewählten
Nebenwinkel.
4.1.3 Satz: Je zwei rechte Winkel sind
kongruent.
Bew.: Seien ∠ASB und ∠A0S 0B 0 zwei
Rechte.
Nach dem Flaggensatz gibt es genau eine
Bewegung σ mit σ(S 0) = S, σ(S 0A0+) =
SA+ und σ(H 0) = H, wobei H 0 Halbebene
von A0S 0, in der B 0 liegt, und H Halbebene
von AS, in der B liegt.
Sei D0 ∈ S 0A0− und σ(D0) =: D (∈ SA−).
1. Fall: σ(S 0B 0+) = SB +. Fertig.
2. Fall: σ(S 0B 0+) liegt im Inneren von
∠ASB. Dann ist
∠σ(A0)σ(S 0)σ(B 0) < ∠ASB
= ∠DSB < ∠σ(D0)σ(S 0)σ(B 0)
im Widerspruch zu
∠σ(A0)σ(S 0)σ(B 0) = ∠σ(D0)σ(S 0)σ(B 0)
3. Fall: SB + liegt
∠ASσ(B 0). Analog.
im
Inneren
von
4.1.4 Def.: Ein Winkel heißt
(
spitz
stumpf
)
(
, wenn er
kleiner
größer
)
als ein
Rechter ist.
4.1.5 Bem.: Die Nebenwinkel eines spitzen Winkels sind stumpf (und umgekehrt).
4.1.6 Def.: Ist ∠ASB ein Rechter, so heißt
BS ein Lot zu AS mit dem Lotfußpunkt
S.
4.1.7 Satz: Ist g eine Gerade in E, P ∈ g,
so gibt es genau ein Lot l zu g mit P ∈ l.
Bew.: Wegen 4.1.3 (Je zwei rechte Winkel sind kongruent) und dem Fahnensatz
genügt es, die Existenz zu zeigen.
Sei g =: P A+ und C ∈
/ g. Sei σ die Bewegung, mit σ(P ) = P , σ(P A+) = P A− und
C 0 := σ(C) auf derselben Seite von g wie
C. Dann ist σ ◦ σ die Identität (Fahnensatz!). Da σ(C) = C 0 und σ(C 0) = C ist
/
σ(CC 0) = CC 0. Für den Mittelpunkt M (∈
g) von CC 0 gilt also: σ(M ) = M . Folglich
ist ∠AP M einem Nebenwinkel kongruent,
also ein Rechter.
4.1.8 Satz: Ist g eine Gerade in E, P ∈
/ g,
so gibt es genau ein Lot l zu g mit P ∈ l.
Bew.: Seien A, D ∈ g mit A 6= D. Sei σ
die Bewegung, mit σ(A) = A, σ(AD+) =
AD+, σ(P ) und P auf verschiedenen Seiten von g. Dann ist σ ◦ σ die Identität und
∆σ(P )AP gleichschenklig und P σ(P ) ∩
g =: M der Mittelpunkt von P σ(P ). Da
∼ σ(∠AM P ) = ∠AM σ(P ), ist l :=
∠AM P =
P σ(P ) ein Lot zu g mit Lotfußpunkt M .
Fehler: Was ist, wenn A ∈ P σ(P )?
Dann vertauscht man A und D.
Falls h 3 P ein weiteres Lot zu g mit
Lotfußpunkt B, so wäre einer der rechten
Winkel bei B als Außenwinkel von ∆P M B
größer als der rechte Winkel bei M , der
Innenwinkel von ∆P M B ist. ⇒ Eindeutigkeit.
4.1.9 Bem.: Seien g eine Gerade, A, S,
B ∈ g, S zwischen A und B, C ∈
/ g. Sei l
ein Lot zu g durch S. Dann gibt es D ∈
l \ g auf derselben Seite von g wie C. Dann
ist ∠BSC + ∠ASC = ∠BSD + ∠ASD die
Summe von zwei rechten Winkeln.
4.1.10 Bem.: Winkel + Nebenwinkel = 2
Rechte.
4.1.11 Satz: In jedem Dreieck ist die
Summe zweier Innenwinkel kleiner als zwei
Rechte.
Bew.: Im ∆ABC ist ein Außenwinkel bei
A größer als jeder nicht anliegende Innenwinkel (3.3.2). Mit dem Innenwinkel bei A
summiert er sich zu zwei Rechten.
4.1.12 Korollar: In einem rechtwinkligen
Dreieck ist der rechte Winkel der größte
Innenwinkel.
4.1.13 Satz: Ist g eine Gerade, P ∈
/ g, so
ist der kürzeste Abstand von P zu einem
Punkt in g der Abstand zum Lotfußpunkt
F ∈ g des Lotes aus P auf g.
Bew.: Folgt aus 4.1.12.
4.1.14 Def.: Sei g eine Gerade in E, P ∈
E. Der Abstand von P zum Fußpunkt des
Lotes zu g durch P heißt der Abstand von
P zu g.
4.1.15 Def.: Sei ABC ein ∆ in E. Der
Abstand von A zu BC heißt die Höhe von
∆ABC zur Grundlinie BC (oder durch die
Ecke A).
4.1.16 Bem.: Der Höhenfußpunkt der
Höhe durch A liegt nicht notwendig auf
der Strecke BC.
4.1.17 Bem.: Nach 3.2.2 (Mittelpunkt)
und 4.1.7 (Lot) besitzt jede Strecke AB
genau eine Mittelsenkrechte oder ein
Mittellot.
4.1.18 Satz: Genau die Punkte des Mittellotes m einer Strecke AB besitzen von
den Punkten A und B gleichen Abstand.
Bew.: Sei P ∈ m, M ∈ m ∩ AB. Dann sind
∆P M A und ∆P M B nach sws kongruent,
also d(P, A) = d(P, B).
∼
Sei d(P, A) = d(P, B). Dann ist ∆P M A =
∼ ∠P M B
∆P M B nach sss, also ∠P M A =
ein Rechter.