Grundlegendes

1. Grundlegendes
Geometrie
1. Grundlegendes in der Geometrie
1. 1 Übliche Bezeichnungen
Punkte bezeichnen wir mit Grossbuchstaben:
A, B, C, D, . . .
P1 , P2 , P3 , . . .
A, A′ , A′′ , . . .
Strecken und deren Masszahl, sowie Geraden werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet:
a, b, c, d, . . .
g1 , g2 , g3 , . . .
f, f ′ , f ′′ , . . .
Sind P und Q Punkte, so meinen wir mit P Q die Strecke mit den Endpunkten P und Q, deren
Masszahl, oder die Gerade durch P und Q. Aus dem Zusammenhang wird jeweils klar, was
gemeint ist.
Griechische Buchstaben stehen für Winkel:
α, β, γ, . . .
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , . . .
ε, ε′ , ε′′ , . . .
Das griechische Alphabet:
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π
Iota
Kappa
Lambda
Mü
Nü
Xi
Omikron
Pi
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
Da ein Winkel durch zwei Geraden oder drei Punkte bestimmt ist, verwendet man auch folgende
Notation:
W
f
V
U
g
(g, f )
UV W
1. 2 Wichtige Sätze über Winkel
a
a
δ
ϕ
ϕ
ϕ′
S
S
b
b
ϕ, ϕ′ : Scheitelwinkel
ϕ, δ: Nebenwinkel
1-1
BaM
Geometrie
1. Grundlegendes
Satz. Zwei Scheitelwinkel sind gleich gross.
Satz. Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt 180◦ .
Definition. Zwei Geraden, die sich nicht schneiden, heissen parallel. Eine Gerade, die parallele
Geraden schneidet, heisst Transversale dieser Geraden.
In untenstehenden Figuren ist f eine Transversale der beiden Parallelen g1 , g2 .
α′
g1
α
α
g2
f
g1
α′′
g2
f
α, α′ : Stufenwinkel
α, α′′ : Wechselwinkel
Satz. Stufenwinkel an Parallelen sind gleich gross.
Satz. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich gross.
1. 3 Zum Abstandsbegriff
Von allen Verbindungslinien zwischen zwei Punkten ist die gerade Strecke jene der kürzesten Länge.
B
Der Abstand (auch Distanz ) zwischen zwei Punkten A und B
ist die Länge der geraden Strecke AB. Er wird mit
d(A, B)
A
bezeichnet.
Der Abstand d(P, g) von einem Punkt P zu einer Geraden g wird
mit dem Lot ermittelt. Man setzt d(P, g) = d(P, F ), wo F der
Lotfusspunkt von P auf g ist, das heisst, der Schnittpunkt von
g mit dem Lot von P auf g. Bemerke: d(P, g) ist die kürzeste
Verbindung zwischen P und einem Punkt auf g.
P
d(P, g)
b
Wie könnte man den Abstand zwischen einem Punkt und einer
Strecke definieren?
1-2
F
g
BaM
1. Grundlegendes
Geometrie
1. 4 Das Dreieck - eine Grundfigur
Leonhard Euler (1707–1783) hat begonnen die Ecken eines Dreiecks
mit den Grossbuchstaben A, B und C zu bezeichnen, die einer
Ecke gegenüberliegende Seite mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben und die Winkel mit den entsprechenden griechischen
Buchstaben. Wir werden diese Bezeichnung kurz Standardbezeichnung nennen und sie bei Dreiecken ohne weitere Angaben
stillschweigend voraussetzen.
C
γ
a
b
β
α
B
c
A
Häufig betrachtet man als a, b und c auch die Seitengeraden und
nicht nur die Strecken BC, CA, BC.
a
Die Winkel im Innern des Dreiecks heissen die Innenwinkel. Ihre
Nebenwinkel heissen die Aussenwinkel.
Satz. Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks ist 180◦ .
C
γ′
B
α′
Satz.
Ein Aussenwinkel ist gleich der Summe der beiden
gegenüberliegenden Innenwinkel.
A
c
β′
b
1. 5 Der Kongruenzbegriff
Jede Figur (in der Ebene) kann durch eine sog. Bewegung aus einer ersten Lage in eine beliebige
andere Lage gebracht werden.
Besonders interessante Bewegungen sind die Translationen (Parallelverschiebung entlang einer
festen Geraden), die Rotationen (Drehungen um einen festen Punkt), und die Reflexionen
(Spiegelungen an einer festen Gerade).
Ebene Figuren, die auseindander hervorgehen, nennt man kongruent.
Für Dreiecke gelten folgende Kongruenzsätze:
Satz.
(SSS)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.
(SWS)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen
Winkel übereinstimmen.
(WSW)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden
Winkeln übereinstimmen.
(SsW)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der
grösseren Seite übereinstimmen.
1-3
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Geometrie
1. Grundlegendes
SSS
SWS
WSW
SsW
Berkungen:
Zu (WSW):
Die Bedingung “anliegend” lässt sich wegen des Satzes über die Winkelsumme
im Dreieck abschwächen; es genügt die Übereinstimmung in irgend zwei Winkeln
zu fordern.
Zu (SsW):
Die Bedingung “Gegenwinkel der grösseren Seite” ist wesentlich. Um dies
einzusehen Konstruiere man ein Dreieck aus:
a) a = 8 mc, b = 5 cm und β = 30◦
b) a = 8 mc, b = 5 cm und α = 30◦
1. 6 Der Begriff des geometrischen Ortes
Zu jeder Eigenschaft, etwa “hat Abstand r vom Punkt M ” oder “ist gleich weit entfernt von der
Gerade g wie von der Gerade h” kann man die Menge der Punkte betrachten, die diese Eigenschaft erfüllen. Diese Menge nennt man den geometrischen Ort (kurz g.O.) dieser Eigenschaft.
Die folgende Liste von wichtigen Beispielen soll den Begriff weiter erläutern:
(1) Der g.O. aller Punkte die vom festen Punkt M den konstanten Abstand r haben, ist eine
Kreislinie mit Radius r und Mittelpunkt M .
(2) Der g.O. aller Punkte, die von den Endpunkten einer gegebenen Strecke gleichen Abstand
haben, ist die Mittelsenkrechte dieser Strecke.
(3) Der g.O. aller Punkte, die von zwei sich schneidenden Geraden denselben Abstand haben,
ist das Paar der beiden Winkelhalbierenden. Beachte: die beiden Winkelhalbierenden
stehen senkrecht aufeinander.
(4) Der g.O. aller Punkte, die von einer Geraden g den Abstand d haben, ist das Paar von
Parallelen im Abstand d von g.
(5) Gegeben ist eine Strecke AB. Der g.O. aller Punkte C so, dass ACB = 90◦ , ist der
Kreis mit Durchmesser AB. Man nennt diesen Kreis auch Thaleskreis über AB.
(6) Der g.O. aller Punkte, die vom Punkt M einen Abstand haben, der kleiner ist als ein
festes, vorgegebener Wert r, ist das Kreisinnere (ohne den Rand) des Kreises mit Radius
r und Mittelpunkt M .
1. 7 Grundkonstruktionen
Folgende Konstruktionen betrachten wir als Grundkonstruktionen. Sie sind eindeutig bestimmt
und kommen häufig als Zwischenschritt eines Konstruktionsproblems vor. Wir werden sie dann
einfach abrufen ohne jedes Mal auf die nötigen Einzelheiten einzugehen.
• Gerade durch zwei Punkte.
1-4
BaM
1. Grundlegendes
Geometrie
• Schnittpunkt von zwei Geraden.
• Schnittpunkte von Kreisen und Geraden.
• Das Lot von einem Punkt P auf eine Gerade.
• Der Lotfusspunkt eines Punkts P bzgl einer Geraden.
• Die Mitte M einer Strecke AB.
• Die Mittelsenkrechte m von zwei Punkten A, B.
• Die beiden Winkelhalbierenden von zwei Geraden.
• Die Winkelmasse 15◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ , 75◦ , 90◦ , 105◦ , 120◦ , 135◦ , 150◦ .
• Die Konstruktion eines Dreieck aus:
- den drei Seiten
- zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
- einer Seite und zwei Winkel
- zwei Seiten und dem Gegenwinkel der grösseren Seite.
• Kreis aus Mittelpunkt und Radius
1. 8 Fundamentale Prinzipien zur Lösung von Konstruktionsproblemen
Konstruktionsprobleme geht man nicht einfach planlos an, sondern man versucht unter Beachtung der folgenden Punkte zur Lösung vorzustossen.
(1) Die Analyse des Problems geschieht anhand einer Analysisfigur, welche die Lösung vorwegnimmt; gegebene Stücke werden mit Vorteil farbig markiert.
(2) Folgende Überlegungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Lösungsstrategie:
- Lassen sich gewisse Punkte als Schnittpunkte geeigneter geometrischer Örter gewinnen?
- Lassen sich geeignete Teildreiecke durch Grundkonstruktionen festlegen?
- Ist die Aufgabe mit einerbereits gelösten Aufgabe in einem gewissen Sinne verwandt?
(3) Wie viele Lösungen hat das Problem?
(4) Die Lösung wird in einem Lösungsweg festgehalten. Dabei werden alle wichtigen Schritte
konzis notiert; Grundkonstruktionen werden erwähnt aber nicht detailliert beschrieben.
(5) Die Konstruktion wird ausgeführt.
1. 9 Spezielle Linien und Punkte im Dreieck
(a) Mittelsenkrechten
1-5
BaM
Geometrie
1. Grundlegendes
C
A
B
Bemerkungen:
1-6
BaM
1. Grundlegendes
Geometrie
(b) Winkelhalbierende
C
A
B
Bemerkungen:
1-7
BaM
Geometrie
1. Grundlegendes
(c) Höhen (Lote von den Eckpunkten auf die Gegenseite
C
A
B
C
A
B
Bemerkungen:
1-8
BaM
1. Grundlegendes
Geometrie
(d) Schwerlinien oder Seitenhalbierende (Verbindungen eines Eckpunktes mit dem Mittelpunkt der Gegenseite)
C
A
B
Bemerkungen:
1-9
BaM
Geometrie
1. Grundlegendes
1. 10 Das Viereck
Die Standardbezeichnungen sind wie im nebenstehenden
Bild angegeben.
D
c
δ
Ist ABCD ein Trapez so sind bei den Standardbezeichnungen a und c parallel.
C
γ
f
d
e
b
β
α
A
a
B
Hierarchie:
1-10
BaM