Tutorium Nr. 16 - GBI Tut Philipp Oppermann

Grundbegriffe der Informatik
Tutorium 8
Tutorium Nr. 16
Philipp Oppermann | 22. Dezember 2014
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Gliederung
1
gerichtete Graphen
2
Kanten als Relationen
3
ungerichtete Graphen
4
gewichtete Graphen
gerichtete Graphen
Kanten als Relationen
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gewichtete Graphen
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2/18
gerichtete Graphen
Definition
V sei eine nichtleere Menge von Knoten, E ⊆ V × V eine Menge von
Kanten. Dann heißt G = (V , E ) ein gerichteter Graph.
adjazente Knoten
Zwei Knoten x , y ∈ V heißen adjazent, wenn (x , y ) ∈ E („es gibt einen
Pfeil von x nach y“).
Schlingen
Eine Schlinge ist eine Kante der Form (x , x ) mit x ∈ V . Ein Graph ohne
Schlingen heißt schlingenfrei.
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Kanten als Relationen
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gerichtete Graphen
Wie viele Kanten hat ein gerichteter Graph mit n Knoten maximal? n2
Wie viele Kanten hat ein gerichteter, schlingenfreier Graph mit n
Knoten maximal? n(n − 1)
gerichtete Graphen
Kanten als Relationen
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gerichtete Graphen
Teilgraph
Ist V 0 ⊆ V und E 0 ⊆ E ∩ V 0 × V 0 , dann ist G0 = (V 0 , G0 ) ein Teilgraph von
G = (V , E ).
Isomorphie
„Wenn man durch Umbennenung der Knoten aus G1 G2 machen kann,
dann sind G1 und G2 isomorph.“ (exakte Definition siehe Skript)
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Kanten als Relationen
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Pfade in gerichteten Graphen
Pfad
Ein Pfad ist eine nichtleere Liste von Knoten: p = (v0 , v1 , . . . , vn )
Die Länge eines Pfades p ist die Anzahl der Kanten in p. (Knoten - 1)
vn ist von vm erreichbar, wenn ein Pfad (vm , ..., vn ) existiert.
Ein Pfad mit gleichem Start- und Endknoten heißt geschlosser Pfad
oder Zyklus.
Ein Pfad, bei dem alle Knoten verschieden sind, heißt
wiederholungsfrei (Start- und Endknoten dürfen gleich sein).
Ein wiederholungsfreier Zyklus heißt einfacher Zyklus.
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Kanten als Relationen
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besondere gerichtete Graphen
streng zusammenhängend
Ein gerichteter Graph heißt streng zusammenhängend, wenn es von
jedem Knoten einen Pfad zu jedem anderen Knoten gibt.
Baum
Ein gerichteter Baum ist ein Graph, in dem es eine Wurzel gibt.
Eine Wurzel ist ein Knoten, von dem es zu jedem Knoten genau
einen Pfad gibt.
Die Wurzel in gerichteten Bäumen ist eindeutig.
Wie viele Kanten hat ein Baum mit n Knoten maximal? minimal?
immer genau n − 1
gerichtete Graphen
Kanten als Relationen
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Grade von Knoten
Grad
Der Eingangsgrad ist die Anzahl der Karten, die zu einem Knoten
hinführen: d − (x ) = | {y | (y , x ) ∈ E } |
Der Ausgangsgrad ist die Anzahl der Karten, die von einem Knoten
wegführen: d + (x ) = | {y | (x , y ) ∈ E } |
Der Grad ist die Summe von Eingangsgrad und Ausgangsgrad:
d (x ) = d − (x ) + d + (x )
Knoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
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Kanten als Relationen
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Kanten als Relationen
xEy ⇐⇒ (x , y ) ∈ E ⇐⇒ es gibt eine Kante von x nach y
(x , y ) ∈ E 3 ⇐⇒ es gibt einen Pfad der Länge 3 von x nach y
E 0 = IV ist die Menge der Pfade mit Länge 0 [z.B. (x)]
(x , y ) ∈ E ∗ ⇐⇒ es gibt einen Pfad beliebiger Länge von x nach y
streng zusammenhängend
Ein gerichteter Graph G = (V , E ) ist genau dann streng
zusammenhängend, wenn E ∗ = V × V ist.
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Aufgabe (Klausur SS14 Aufg. 4)
Gegeben sei für jede nicht-negative ganze Zahl k ∈ N0 ein gerichteter
Graph Tk = (Vk , Ek ) mit Knotenmenge
Vk = {w | w ∈ {a, b}∗ ∧ |w | ≤ k }
und Kantenmenge
Ek ={(w1 , w2 ) | w1 ∈ Vk ∧ w2 ∈ Vk ∧ ∃x ∈ {a, b} : w2 = w1 x }
∪ {(w , w ) | w ∈ Vk ∧ |w | = k }
a) Zeichnen Sie T0 , T1 und T2 .
b) Für welche nicht-negativen ganzen Zahlen k ∈ N0 ist die Relation Ek
reflexiv?
transitiv?
symmetrisch?
c) Geben Sie die reflexiv-transitive Hülle Ek∗ in Mengenschreibweise an.
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Lösung
a) ...
b)
reflexiv für k = 0
transitiv für k = 0 und k = 1
symmetrisch für k = 0
c) Ek∗ = {(w1 , w2 ) | w1 , w2 ∈ Vk ∧ ∃w ∈ {a, b}∗ : w2 = w1 w }
gerichtete Graphen
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ungerichtete Graphen
Definition
V sei eine nichtleere Menge von Knoten, E ⊆ {{x , y } | x ∈ V ∧ y ∈ V }
eine Menge von Kanten. Dann heißt U = (V , E ) ein ungerichteter Graph.
Kanten gehen in beide Richtungen, keine Pfeilspitzen
E besteht aus Mengen statt Tupeln (Reihenfolge egal)
Schlinge: {x }
Pfade heißen Wege
gerichtete Graphen
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ungerichtete Graphen
Wie viele Kanten hat ein ungerichteter, schlingenfreier Graph mit n
Knoten maximal? n(n − 1)/2
Wie viele Kanten hat ein beliebiger ungerichteter Graph mit n Knoten
maximal? n(n + 1)/2
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Kanten als Relationen
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ungerichtete Graphen
Wie sieht die Kantenrelation aus?
Eg = {(x , y ) | {x , y } ∈ E } ⊆ V × V
zugehöriger gerichteter Graph
Der Graph (V , Eg ) heißt der zu (V , E ) gehörige gerichtete Graph.
zusammenhängend
(V , E ) heißt zusammenhängend, wenn (V , Eg ) streng
zusammenhängend ist.
gerichtete Graphen
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ungerichtete Graphen
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ungerichtete Graphen
Wie sieht ein ungerichteter Baum aus? Was ist die Wurzel?
prinzipiell kann jeder Knoten Wurzel sein
Grad
(
d (x ) = | {y | y 6= x ∧ {x , y } ∈ E } | +
gerichtete Graphen
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2
falls {x } ∈ E
0
sonst
ungerichtete Graphen
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Aufgabe (Klausur SS13 Aufg. 2)
a) Zeichnen Sie alle ungerichteten nicht-isomorphen Graphen mit 5
Knoten, für die gilt:
Genau ein Knoten besitzt Grad 4, alle anderen Knoten haben Grad 2.
Hinweis: Es gibt Punktabzug für Graphen, die nicht verlangt waren. Die
gesamte Teilaufgabe wird mit mindestens 0 Punkten bewertet. Sie brauchen
die Knoten nicht zu benennen.
b) ...
c) Zeigen oder widerlegen Sie:
In jedem gerichteten Graphen G = (V , E ) mit mindestens zwei Knoten gibt
es zwei verschiedene Knoten x , y mit d + (x ) = d + (y ), wenn es keinen
Knoten z ∈ V mit d + (z ) = 0 gibt.
gerichtete Graphen
Kanten als Relationen
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Lösung
a) 4 Graphen, siehe Musterlösung
b) ...
c) Gegenbeispiel z.B. V = {0, 1}, E = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)}
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gewichtete Graphen
(V , E ) sei ein Graph und MV eine Menge.
Knotenmarkierung
mV : V → MV
Kantenmarkierung
mE : E → MV
gerichtete Graphen
Kanten als Relationen
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