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8 ELEKTRIZITÄT
8.1 Elektrostatik
8.1.1 Elektrische Ladung, Coulombgesetz
8.1.2 Das elektrische Feld
8.1.3 Spannungen und Potentiale
8.1.4 Spezielle Felder und Multipole
8.1.5 Leiter im elektrischen Feld
8.1.6 Dielektrika, Felder in Materie
8.1.7 Energie des elektrischen Feldes
8.2 Der elektrische Strom
8.2.1 Gleichströme
8.2.2 Leitung in Metallen
8.2.3 Ionenleitung in Flüssigkeiten
8.2.4 Stromtransport in Gasen, Vakuum
8.2.5 Stromquellen
9 ELEKTRODYNAMIK
2
2
2
2
3
4
6
6
7
7
7
8
10
11
12
13
9.1 Stationäre Ströme und statische Magnetfelder
9.1.1 Die Lorentzkraft
9.1.2 Magnetischer Fluß, Flußdichte, Spannung, Feldstärke
9.1.3 Magnetfelder, stationäre Ströme
9.1.4 Materie im Magnetfeld
13
13
13
14
15
9.2 Zeitlich veränderliche Felder
9.2.1 Faraday’sches Induktionsgesetz
9.2.2 Die Richtung des induzieren Stromes (Lenz-Regel)
9.2.3 Induktion als Folge der Lorentz-Kraft
9.2.4 Selbstinduktion
9.2.5 Die Energie des magnetischen Feldes
9.2.6 Der Verschiebestrom
16
16
16
16
17
17
18
9.3 Wechselströme
9.3.1 Erzeugung von Wechselströmen
9.3.2 Effektivwert von Strom und Spannung
9.3.3 Wechselstromkreise
19
19
19
20
9.4 Schwingungen und Wellen
9.4.1 Elektromagnetische Schwingkreise
9.4.2 Der lineare Oszillator
9.4.3 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
9.4.4 Elektromagnetische Wellen in Materie
21
21
22
23
24
1
8 Elektrizität
Die 2 Säulen der klassischen Physik:
• Mechanik
=> heute: Quantenmechanik
• Elektrodynamik
=> heute: Quantenelektrodynamik
Anm. : Die Quantenelektrodynamik ist trotz vieler offener Fragen die derzeit exakteste Theorie.
8.1 Elektrostatik
Phänomene verursacht durch ruhende elektrische Ladungen.
Ladung: => elektrisches Feld
8.1.1 Elektrische Ladung, Coulombgesetz
• Es gibt zwei Arten von elektrischer Ladung: positiv und negativ.
• Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.
• Im abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung erhalten.
• Ladung ist gequantelt, Elementarladung:
e = 1.602 ⋅10 −19 C
(Coulomb)
• Ladung ist immer an Masse gebunden
• Ladungstransport = Strom = Massentransport
• Die Kräfte:
• wirken auf der Verbindungslinie
• sind Proportional zu den Ladungen Q1 und Q2
• sind Proportional zu 1 2
r
• sind additiv => Superpositionsprinzip
Coulombgesetz:
in SI-Einheiten: [Q] = 1 Coulomb = 1 As
1 Q1 ⋅ Q2
⋅ 2 ⋅r
4πε 0
r
F=
Dielektrizitätskonstante:
ε 0 = 8.85 ⋅10 −12 A2 s4 Kg-1 m-3 = As (Vm)-1
8.1.2 Das elektrische Feld
Trägt ein Körper die Ladung q und erfährt bei r die Kraft F(r ) , so gilt für das
elektrische Feld E :
F(r )
E(r ) =
q
2
F = q⋅E
,
N V
=
C m
[ E] =
,
V: 1 Volt
φ el = ∫ E ⋅ dA
, 1V = 1
Nm
J
=1
C
C
elektrischer Fluß:
A : Fläche
A
dQ
dV
Ladungsdichte:
ρ (r ) =
Gesamtladung:
Q = ∫ ρ (r ) ⋅ dV
dV : Volumenelement
V
dQ
dA
Flächenladungsdichte:
σ (r ) =
Gesamtladung:
Q = ∫ σ (r ) ⋅ dA
dA : Flächenelement
A
Der Fluß aus beliebiger geschlossener Fläche ist proportional der Gesamtladung
innerhalb dieser Fläche.
1
φ = ⋅Q
ε0
1
⋅ ρ (r ) ⋅ dV
ε 0 ∫V
∫ E ⋅ dA =
1. Maxwell’sche Gleichung:
A
1
⋅ρ
ε0
div E =
differentielle Form:
8.1.3 Spannungen und Potentiale
∞
φ ( P) = ∫ E ⋅ dr
elektrostatisches Potential:
P
P2
elektrische Spannung:
U = φ ( p1 ) − φ ( p2 ) = ∫ E ⋅ dr
Potentialgleichung:
E(r ) = − grad φ (r ) = −∇φ
P1
div E =
aus
1
⋅ρ
ε0
folgt:
3
ρ
ε0
div grad φ = −
Poisson-Gleichung:
∆φ = −
ρ
ε0
∆φ = 0
Laplace-Gleichung:
im ladungsfreien Raum
Äquipotentialflächen: Flächen mit φ (r ) = const.
• senkrecht zu den Feldlinien
• Coulombfeld einer Punktladung: Kugeln
• homogenes Feld eines Plattenkondensators: Äquipotentialflächen sind
konzentrisch Ebenen
• alle Leiteroberflächen in der Elektrostatik: Äquipotentialflächen
=> Feldlinien stehen senkrecht auf Leiteroberflächen
• Innenwand eines Metallkörpers beliebiger Form: Äquipotentialfläche
• elektrostatisches Feld ist wirbelfrei
8.1.4 Spezielle Felder und Multipole
(1) homogen geladene Oberfläche einer Kugel:
R: Kugelradius, für r > R gilt:
Q
⋅r
4π ε 0 r 2
E=
∞
φ (r ) = ∫ E(r ) ⋅ dr =
Potential:
r
E(r ) =
Q
4π ε 0 r
Q
r
Anm.: Die Feldstärke nimmt mit abnehmendem Krümmungsradius zu => Feldemission
(Spitzenentladung, Feldemissionsmikroskop...)
E=0
für r < R gilt:
,
φ (r ) = const.
Im Außenraum ist das Feld gleich den Feld einer Punktladung in der Mitte der Kugel.
Im Innenraum: kein Feld.
(2) elektrischer Dipol:
P = Q⋅d
Dipolmoment:
Feld eines Dipols φ D ( R) am Punkt P mit R >> d , wobei d der Abstand der beiden
Ladungen ist.
P⋅ R
φ D ( R) =
4π ε 0 R3
4
1
E D ( R) =
4π ε 0
(
)
3 P⋅R ⋅R P 

− 3 
5
R
R 

Drehmoment:
D = P×E
Potentielle Energie:
W pot = − P ⋅ E
Kraft im inhomogenen Feld:
F = P ⋅ grad E
(3) Feld einer beliebigen Ladungsverteilung, Multipolentwicklung:
Linearität der Poisson-Gleichung: Superpositionsprinzip
φ ( R) =
1
4π ε 0
Qi
∑ R−r
i
ρ (r )⋅ d 3r
1
φ ( R) =
4π ε 0 V∫ R − r
Taylorentwicklung des Integranten = „Multipolentwicklung“
= Monopol + Dipol + Quadrupol + ...
1 1
∑ Qi
4π ε 0 R
Monopolbeitrag:
ϕ1 ( R) =
Dipolbeitrag:
1 1 P⋅R
ϕ 2 ( R) =
4π ε 0 R 2 R
Quadrupolbeitrag:
 Qxx

Q =  Qyx
Q
 zx
symmetrischer Tensor
Qxy
Qyy
Qzy
Qxz 

Qyz 
Qzz 
Qxx = ∑ Qi (3 xi 2 − ri 2 ) ... Qxy = 3∑ Qi xi yi ...
zweites Moment der Massenverteilung
• Trägheitstensor:
Quadrupoltensor:
zweites Moment der Ladungsverteilung
• Qxx + Qyy + Qzz = 0 : Gesamtladung
• Hauptachsentransformation
 QA

Q=Q

Q
Q
QB
Q
Q

Q

QC 
mit Q A + QB + QC = 0
• mehr als einzählige Symmetrie: QA = QB
5
8.1.5 Leiter im elektrischen Feld
(1) Influenz: frei bewegliche Ladungsträger im Leiter
Ladungen sitzen außen:
• Faraday-Becher
• Faraday-Käfig
• Van-de-Graaff Generator
• Spiegelladungen: Methode zur Berechnung von ϕ ( R)
Anm.: Punktladung, Abweichungen bei x< 10-15 cm genannt Vakuumpolarisation =>
Quantenelektrodynamik
(2) Kondensatoren:
Anordnung von zwei entgegengesetzt geladenen Leiterflächen.
[C ] = 1 Coulomb = 1 F (Farad)
Q
U
Kapazität:
C=
Plattenkondensator:
U=
Kugel mit Radius R:
C = 4π ε 0 R
1 Volt
1 d
A
⋅Q
C = ε0
ε0 A
d
A: Plattenfläche, d: Abstand zwischen den Platten
Parallelschaltung von Kondensatoren:
C = ∑ Ci
;
U0 = Ui
Reihenschaltung:
1
1
=∑
C
Ci
;
U 0 = ∑U i
8.1.6 Dielektrika, Felder in Materie
Einfluß von isolierender Materie auf elektrische Felder. Das elektrische Feld greift
durch einen Isolator durch. Man nennt diese Stoffe daher auch Dielektrika (di=durch).
Dielektrizitätskonstante:
ε=
C
CVakuum
Anm.: Das Dielektrikum vergrößert die Kapazität des Kondensators. Als Dielektrizitätskonstante ε
bezeichnet man das Verhältnis der Kapazität des Kondensators mit einem Isolator bzw. mit Vakuum
zwischen den Platten.
6
P=
Dielektrische Polarisation:
Anm.:
P = (ε − 1)ε 0 E
1
∑ Pi
V
χ e = (ε − 1)ε 0 : dielektrische Suszeptibilität, wird oft als Materialkonstante zusammengefasst.
Konstruktion eines neuen Feldes (D-Feld), dessen Linien nur in „wahren“ (d.h. frei
verschiebbaren) Ladungen beginnen oder enden.
D = εε 0 E
D = ε0E + P
8.1.7 Energie des elektrischen Feldes
1
W = C ⋅U2
Energie im Kondensator:
2
1
w = ε 0 E2
Energiedichte:
2
1
1
w = ε ε 0 E 2 = ED
Energiedichte im Dielektrikum:
2
2
8.2 Der elektrische Strom
Elektrostatik
• Ladungen ruhen
• keine Potentialdifferenz längs eines Leiters
äußere Spannungsquellen:
elektrischer Strom = Ladungstransport
• Elektronenleiter
• Ionen-Leiter
• gemischte Leiter
feste und flüssige Metalle
Elektrolyte (Säuren, Laugen, Salzlösungen, Isolatoren mit
Fehlstellen)
Gasentladungen und Plasmen
8.2.1 Gleichströme
Stromstärke:
I=
dQ
= ∫ ρ ( r ) ⋅ v ⋅ dA
dt
A
Stromdichte:
j = ρ (r ) ⋅ v
Kontinuitätsgleichung:
div j ( r , t ) = −
[ I ] = 1 Ampere =
1C
s
∂
ρ(r , t )
∂t
Anm.: D.h. es werden weder Ladungen erzeugt noch vernichtet.
Technische Stromrichtung: Flußrichtung positiver Ladungsträger vom Plus- zum
Minuspol.
7
Netzwerke:
An jedem Verzweigungspunkt (Knoten) einer Schaltung muß ebensoviel Ladung zuwie abfließen:
∑I
Knotenregel:
i
=0
Die Gesamtspannung längs einer geschlossenen Masche einer Schaltung:
∑U
Maschenregel
i
=0
8.2.2 Leitung in Metallen
• Atome spalten bei der Vereinigung zum metallischen Festkörper Elektronen ab.
• Üblicherweise steht 1 Elektron pro Atom zu Verfügung, dies entspricht 1023 pro cm3.
• Elektronen gehören Gesamtsystem, bewegen sich wie Gasteilchen: „Elektronengas“
allerdings nach Gesetzen der Quantenmechanik:
„Fermigas“
• Können austreten:
„Austrittsarbeit“
Driftgeschwindigkeit und Leitfähigkeit
vD =
Driftgeschwindigkeit:
Stromdichte:
j=
q
⋅τ S ⋅ E
m
τS = mittlere Stoßzeit
n ⋅ q2 ⋅τ S
⋅ E = σ el E
m
σel= elektrische Leitfähigkeit
n:
µ=
Beweglichkeit:
σ el
n⋅q
Elektronendichte
vD = µ ⋅ E
Das Ohm’sche Gesetz
Bei vielen wichtigen Leitern, z.B. Metallen oder auch Elektrolytlösungen beobachtet
man eine Proportionalität zwischen dem Strom I und der angelegten Spannung U .
j = σ el ⋅ E
elektrischer Widerstand:
Ohm’scher Leiter:
Leitwert:
oder
R=
ρ ⋅l
l
=
σ⋅A
A
U = R⋅I
A: Leiterfläche
ρ: spezifischer Widerstand
U
= const.
I
1
R
8
Schaltung von Widerständen
Reihenschaltung:
Rges = R1 + R2 + R3 +.....+ Rn
Parallelschaltung:
1
1
1
1
1
=
+
+ +.....+
Rges R1 R2 R3
Rn
Temperaturabhängigkeit, veränderliche Widerstände
Klassifikation:
Kaltleiter (leiten um so schlechter je heißer sie werden)
Heißleiter (leiten um so besser je heißer sie werden)
• Metalle sind Kaltleiter. Für kleine Bereiche von T gilt:
ρ = ρ 0 (1 + α ⋅ T )
• Halbleiter sind Heißleiter. Die Ladungträgerdichte n nimmt mit der Temperatur T zu.
Die Träger werden mittels thermischer Energie vom Valenzband ins Leitungsband
angehoben. Zwar nimmt auch in Halbleitern die Beweglichkeit mit steigendem T ab,
die Temperaturabhängigkeit der Ladungträgerdichte n ist jedoch stärker.
 W 
n(T ) = n0 exp− 0  W0: Anregungsenergie
 kT 
veränderliche Widerstände: • Potentiometer
• Photowiderstand
• spannungsabhängige Widerstände
• druckabhängige Widerstände
• magnetfeldabhängige Widerstände
Supraleitung:
Bei manchen Metallen sinkt der Widerstand bei Abkühlung unter TC
sprunghaft auf unmeßbar kleine Werte.
Energie und Leistung
Energie:
W = Q ⋅U
Umwandlung in Joule’sche Wärme:
P =U ⋅I
Ohm’scher Leiter:
P = I2 ⋅R =
Gesetz von Joule
U2
R
[P] = 1V⋅1A = 1 W (1 Watt)
9
Meßverfahren
Strommessung:
Amperemeter
• Hitzedraht-Amperemeter
• Drehspul-Amperemeter
• Weicheiseninstrument
• statische Voltmeter ( U=R I )
Amperemeter müssen niederohmig sein, Messung im Stromkreis.
Spannungsmessung: Voltmeter
• statisches Voltmeter: Kraft durch Aufladen zweier
Kondensatorplatten
• stromdurchflossene Voltmeter (Drehspul-Amperemeter)
Voltmeter müssen hochohmig sein, Messung im Nebenschluß.
Widerstandsmessung:
Brückenschaltung / Kompensationsmethode: Rx = R3
R1
R2
8.2.3 Ionenleitung in Flüssigkeiten
Elektrolyte:
Elektrolyse:
Ion:
Ionenladung:
Stoffe, deren Lösungen oder Schmelzen den elektrischen Strom leiten:
Salze, Säuren, Basen
Zersetzung, Abscheidung, die der Stromdurchgang mit sich bringt
(galvanische Abscheidung)
Atome, Moleküle, die als Ganzes nicht elektrisch neutral sind.
Kationen: Na + , Cu + + (Metalle), H + , NH4+ (Nichtmetalle)
Anionen: SO4−− , Cl − , NO3−
Li + : z = 1
z : Wertigkeit, im allg. ungleich Z : Kernladung)
Li 2 + : z = 2
Cl − : z = -1
Hydratisierung und chemische Zersetzung
Dissoziation:
Hydratisierung:
CuSO4 → Cu ++ + SO4− −
Cu ++ + nH2O → ( Cu ⋅ nH2O)
++
SO4− − + nH2 O → ( SO4 ⋅ nH2 O)
Die Ionen umgeben sich mit eine Hülle von Wasserdipolmolekülen, sie werden
hydratisiert. Die bei der Hydratisierung frei werdende Energie reicht zur Dissoziation.
−−
10
Faraday’sche Gesetze, Faraday-Konstante
m = A⋅Q = A⋅ I ⋅t
1.
m: abgeschiedenen Masse
~
m
A
1
= 1
~
m2 A2
2.
Grammäquivalent:
[A] = Cg : elektrochem. Äquivalent
~ = 1 mol (Grammatom ) = 1 val
m
Wertigkeit z
F = (96485,3 ± 0,6 )C
Faraday-Konstante:
F = NA ⋅e
,
val
F
e=
NA
Leitfähigkeit des Elektrolyten:
σ =
j
= e(z + µ + n + + z − µ − n − )
E
Ionenwolken, elektrochemisches Potential
Wie stellen sich bewegliche geladene Teilchen, z.B. Elektronen, in einem elektrischen
Feld ein? Die Elektronenverteilung ergibt sich aus dem Gleichgewicht zwischen
Feldstrom und Diffusionsstrom an der Oberfläche.
Gleichgewicht:
j Feld = eµEn = − jdiff = eD
Einstein-Beziehung:
µ=
eD
kT
elektrochem. Potential:
U−
kT
ln n = const.
e
dn
dx
8.2.4 Stromtransport in Gasen, Vakuum
Plasma: teilweise, oder vollständig ionisierte Gase
bestehend aus:
•
•
•
•
Elektronengas (schnell)
Ionengas (langsam)
Neutralgas
Photonengas
11
Erzeugung freier Ladungsträger
W
j = a exp − a 
, Wa : Austrittsarbeit
 kT 
Elektronenstoßionisation: e- + Atom → Ion + e- + ePhotoeffekt:
Atom + Photon → Ion + eFeldemission:
Bringt man ein Metall auf ein hohes negatives Potential, so
kippt das entsprechende Feld die potentielle Energie der
Elektronen so stark, das bei Austritt keine Stufe sondern
nur noch eine Schwelle „durchtunnelt“ werden muß.
Glühemission:
Ladungsträgerkonzentration
Erzeugung:
 dn  = α
 dt  ez
,
Vernichtung:
 dn  = − β n 2
 dt  ver
,
Ionisation
Rekombination
n = α − β n2
Gesamt:
8.2.5 Stromquellen
Stromquelle: Anordnung zur Trennung von Ladungen mit Hilfe von chemischer,
mechanischer Energie, Sonnenenergie, Kernenergie, etc.
• Generator
• Batterie, Akkumulator => Brennstoffzelle
• Solarzelle
• Thermospannungen
• Elektrostriktion, Piezoeffekt
Innenwiderstand Ri:
Stöße bei der Ladungstrennung in der Quelle
Klemmenspannung:
U0 bei unbelasteter Quelle (elektromagnetische Kraft EMK)
Arbeitsspannung:
U = U0
Ra
Ri + Ra
12
9 Elektrodynamik
9.1 Stationäre Ströme und statische Magnetfelder
magnetische Pole:
magnetischer Nordpol:
magnetischer Südpol:
Häufungspunkte der Feldlinien
nach Norden zeigend (geographisch)
nach Süden zeigend
Kraftwirkung:
• gleichnamige Pole stoßen sich ab
• ungleichnamige Pole ziehen sich an
• es gibt keine isolierte, einzelne Pole
Feldlinien:
• immer geschlossen, es gibt keine Quellen
• außerhalb von Magneten: von Nord- nach Südpol
• konzentrische Kreise um stromdurchflossenen Leiter
Richtung: rechte - Hand - Regel
• Dichte: Maß für magnetische Flußdichte: B
• Tangente: Richtung des Probemagneten
• keine Sprünge, schneiden sich nie
9.1.1 Die Lorentzkraft
( )
F = q ⋅ (E + v × B)
F = q⋅ v ×B
Lorentzkraft:
Allgemein:
[B ] = Vs2
Einheiten von B :
m
= 1 Tesla , vergl. → [D ] =
As Q
=
m2 m2
Anm.: Anwendungen sind z.B. die Fokussierung von Elektronen im Längsfeld, das Wienfilter zur
Massenbestimmung von Atomkernen oder die Hall-Sonde zur Magnetfeldmessung.
UH =
Hall-Effekt:
B⋅ I
n⋅e⋅d
9.1.2 Magnetischer Fluß, Flußdichte, Spannung, Feldstärke
φ = ∫ BdA
Magnetischer Fluß
A
B=
dφ
dA
magnetische Flußdichte
Quellenfreiheit
∫
A
BdA = 0
divB = 0
2. Maxwell’sche Gleichung
13
Magnetische Spannung
∫ B dr = µ 0 ⋅ I
Ampere’sches Gesetz:
B
H=
µ0
magnetische Feldstärke:
1
Vs
= 1,26 ⋅10 −6
: magn. Feldkonst.
2
ε 0c
Am
µ0 =
ε 0 = 8 ⋅10 −12
As
Vm
[c ] = ε 1µ
0
m2
s2
=
2
,
0
rot H = j
∫ H dr = ∫ j dA = I
A
Das Vektorpotential
Da B eine quellenfreies Wirbelfeld ist ( div B = 0 ), kann man es als Rotation eines
anderen Vektorfeldes darstellen:
B = rot A
A : Vektorpotential.
Analog schließt man aus der Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes E (rot E = 0 ) in
der Elektrostatik, daß E der Gradient eines Skalarfeldes, des Potential φ ist:
E = −grad φ
Anm.: Bei der Berechnung des Magnetfeldes einer Stromverteilung ist
kann die Maxwellgleichungen mittels φ und
A oft praktischer als B . Man
A vereinfachen.
9.1.3 Magnetfelder, stationäre Ströme
µ0 ⋅ I
2π r
gerader stromdurchflossener Leiter:
B=
stromdurchflossene Spule:
B = µ0 ⋅
n
⋅I
l
n: Zahl der Windungen
l: Länge der Spule
Ids × r
dH =
4π r 3
Biot-Savart’sches-Gesetz:
14
Der magnetische Dipol
Es gibt keine magnetische Ladung, daher auch keine magnetische Monopole.
Der Dipol ist das niedrigste Moment einer Stromverteilung.
magnetisches Dipolmoment:
pm = I ⋅ A
Drehmoment:
D = pm × B
Kraft:
F = pm ⋅ grad B
Energie:
Wdip = − pm ⋅ B
9.1.4 Materie im Magnetfeld
q
⋅L
2m
Atomare Dipole
pm =
Bohr’sches Atom:
q = -e ,
m = me
−e
pm =
l = µB ⋅ l
2 me
,
L=l
.
µ B : Bohrsches Magnetron
Magnetisierung, Suszeptibilität
BMaterie = µ ⋅ BVakuum = µ µ 0 H
gebundene Ströme:
freie Ströme:
gebunden an Volumenelement in Materie
frei im gesamten Leiter, meßbar mit Amperemeter
M=
Magnetisierung:
magnetische Suszeptibilität χ :
diamagnetisch:
paramagnetisch:
ferromagnetisch:
Weiß’sche Bezirke:
Bloch Wände:
Barkhausen-Effekt:
µ : relative Permeabilitat
χ <0
χ >0
χ >> 0
1
∑ pm
V V
M = χ ⋅H
µ < 1 schwächt das Feld
µ > 1 verstärkt das Feld
µ >> 1 verstärkt erheblich
Bereiche mit 108 - 1012 Atomen mit maximaler spontaner
Magnetisierung (Sättigung: alle Elementarmagnete sind
ausgerichtet)
Übergangszonen zwischen Weiß’schen Bezirken
bei genauem Messen „hörbares“ Knacken bei
Wandverschiebungen
15
9.2 Zeitlich veränderliche Felder
9.2.1 Faraday’sches Induktionsgesetz
d
d
B dA = − φ m
∫
dt
dt
Faraday’sches Induktionsgesetz:
Uind = −
3. Maxwell’sche Gleichung:
−
oder in differentieller Form:
rot E = −
∂
BdA = ∫ E dr
S
∂t ∫A
∂
B
∂t
ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld
9.2.2 Die Richtung des induzieren Stromes (Lenz-Regel)
Der induzierte Strom ist immer so gerichtet, daß sein
Magnetfeld der Induktionsursache entgegenwirkt.
9.2.3 Induktion als Folge der Lorentz-Kraft
Ein gerader Draht „fliegt" mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu seiner eigenen
Richtung und zu einem homogenen Magnetfeld B . Unter Einfluß der Lorentz-Kraft
F = qv × B verschieben sich die Ladungsträger längs des Drahtes, bis ihr eigenes Feld
die Lorentz-Kraft kompensiert.
E '' = −v × B
Der mit dem Draht fliegende Beobachter sieht ein Feld:
E' = v × B
Eine Drahtschleife fliegt mit der Geschwindigkeit v durch ein homogenes Magnetfeld
B . Die E -Felder in den beiden Zweigen kompensieren sich => Keine Induktion.
Eine Drahtschleife fliegt mit der Geschwindigkeit v durch ein inhomogenes Magnetfeld
B . Die E -Felder in den beiden Zweigen kompensieren sich nicht.
U ind = − AB = −φ m
16
9.2.4 Selbstinduktion
Durch jeden Stromkreis greift ein magnetischer Fluß, der vom Strom selbst erzeugt
wird. Dieser Fluß φ m ist proportional zum Strom I.
φm = L⋅ I
L: Induktivität
Für die induzierte Spannung gilt:
[L] =
U ind = − L ⋅ I
1V
= 1Ωs = 1H (1 Henry)
As
Selbstinduktion einer Spule
n2
A⋅ I
= −µ0
l
induzierte Spannung:
Induktivität:
U ind
A
l
L = µ 0 ⋅ n2
n: Anzahl der Windungen,
A: Fläche,
l: Länge
Ein- und Ausschalten von Gleichströmen
(
Einschalten:
I=
U0
−t
1− e τ
R
Ausschalten:
I=
U0 − t τ
⋅e
R
)
τ=
L
R
9.2.5 Die Energie des magnetischen Feldes
1
Wmag = L ⋅ I 2
Energie
2
Energiedichte
wmag =
1
1
µ0 ⋅ H2 = B⋅ H
2
2
Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
wem =
(
1
E⋅D+ B⋅H
2
)
17
9.2.6 Der Verschiebestrom
Wir betrachten einen Kondensator, der aufgeladen wird. Überall im Kreis fließt der
Ladestrom I, nur zwischen den Kondensatorplatten ist er unterbrochen. Wenn der
Kondensator mit einem Dielektrikum gefüllt ist, so fließt auch dort ein nicht direkt
meßbarer Strom IV, welcher durch eine Verschiebung der Ladungen im Dielektrikum
zustande kommt. Die Polarisation P entspricht einer Ladung ±PA , ihre Änderung P
einem Strom I1 = PA . Der gesamte Ladestrom läßt sich darstellen als:
I = Q = CU = CEd = εε 0 AE = DA = ε 0 EA + PA
IV = ε 0 EA + PA = εε 0 EA = DA
Verschiebestrom:
(fließt auch im Vakuum)
Verschiebestromdichte
jV = D
gleichwertig der
Leitungsstromdichte j
Gesamtstrom:
j = jV + j
4. Maxwell’sche Gleichung:
rot H = D + j
Die Maxwellgleichungen in der Übersicht
Bedeutung:
Quellenfreiheit des Magnetfeldes.
differentielle Form:
∫ B dA = 0
integrale Form:
div B = 0
∫
div D = ρ
A
Der Fluß des elektrischen Feldes durch die Oberfläche
ist gleich der eingeschlossenen Ladung.
Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein
elektrisches Wirbelfeld.
A
DdA = Q
∂
∫S Edr = − ∂t ∫ BdA rot E = − B
Ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld erzeugt ein
∂
magnetische Wirbelfeld.
∫S Hdr = I + ∂t ∫ DdA rot H = D + j
18
9.3 Wechselströme
9.3.1 Erzeugung von Wechselströmen
Die gesamte großtechnische Erzeugung elektrischer Energie beruht auf Induktion.
Rechteckschleife im Magnetfeld
Leiterschleife der Fläche A dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω im B-Feld
φ mag = BA = BA cos ω t
Uind = −φ mag = BAω sin ω t
allgemein:
U (t ) = U 0 sin (ω t + ϕ u )
I (t ) = I 0 sin (ω t + ϕ i )
, u (t ) = u0 exp{i (ω t + ϕ u )}
,
i (t ) = i0 exp{i (ω t + ϕ i )}
T
1
x (t ) dt
T ∫0
Gleichwert:
x=
Gleichrichtwert:
1
x = ∫ x (t ) dt
T0
,
x=0
,
x =
,
xeff =
T
2
x0
π
T
Effektivwert:
xeff =
1
x(t )2 dt
∫
T0
1
x0
2
9.3.2 Effektivwert von Strom und Spannung
ohm’scher Widerstand:
U = U 0 sin ω t
P (t ) = U (t ) ⋅ I ( t ) =
I = I 0 sin ω t
U eff2
R
U0
≈ 0,707 ⋅ U 0
2
I
= 0 ≈ 0,707 ⋅ I 0
2
U eff =
I eff
Wechselstromwiderstand:
1
Pw = U 0 I 0 cos ϕ
2
1
PB = U 0 I 0 sin ϕ
2
Wirkleistung
Blindleistung
19
9.3.3 Wechselstromkreise
Das Ohm’sche Gesetz im Komplexen:
u = z ⋅i
Komplexer Widerstand
z = a + ib oder z = Z ⋅ e iϕ z
Re z = a
Wirkwiderstand
Blindwiderstand
Im z = b
Impedanz oder Scheinwiderstand
Z = a2 + b2
ϕ z = arctan
Phasenwinkel
Z=
U0
I0
b
a
ϕ z = ϕu − ϕi
Allgemeine Regeln
Knoten:
∑i = 0
∑u = 0
z = ∑z
1
1
=∑
z
z
n
Maschen:
n
Reihenschaltung:
i
Parallelschaltung:
i
Komplexer Widerstand
Induktivität
iωL
Scheinwiderstand
ωL
Wirkwiderstand
Blindwiderstand
0
ωL
Phasenwinkel
π
2
Kapazität
−i
ωC
1
ωC
0
−1
ωC
−π
2
Ohm‘sch
R
R
R
0
0
Beispiel: Parallelschaltung R, L
Komplexe Leitwerte addieren sich:
Scheinleitwert:
Phasenwinkel:
1
=
z
1 1
1
1
i
= +
= −
z R iω L R ω L
1
1
+
2
2
R (ω L )
 R 
ϕ 1 = arctan  −

ω
L


z
Beispiel: Transformator
U2
N
=− 2
U1
N1
Impedanz:
Z=
(ω RL)2
(ω L)2 + R2
 R 
ϕ u − ϕ i = ϕ z = arctan 

ω
L


(Leistungsfrei)
20
9.4 Schwingungen und Wellen
9.4.1 Elektromagnetische Schwingkreise
Freie Schwingung (L,C Kreis ohne ohm’schen Widerstand)
UC + U L = 0
1
I dt + LI = 0
C∫
!
1
I=0
C
Schwingungsgleichung:
LI +
Entspricht Mechanik:
mx + Dx = 0
!
!
"
m ↔ L : „Trägheit“
"
D ↔ 1 C : „Rückstellkonstante“
Lösung:
I (t ) = I 0 cos(ω t + ϕ )
Schwingungsdauer:
T = 2π LC
1
LC
(Thomson - Gleichung)
ω =
gedämpfte Schwingung (Kreis mit ohm’schen Widerstand)
1
I =0
C
I (t ) = I 0 exp{− δ t}⋅ cos(ωt + ϕ )
LI + RI +
#
Schwingungsgleichung:
Schwingfall:
#
#
1
R2
− 2
LC 4 L
I (t ) = I 0 exp{− δ t}
I (t ) = exp{− δ t}⋅ sinh(ωt)
ω=
aperiodischer Grenzfall:
Kriechfall:
δ=
R
2L
(Dämpfung)
Erzwungene Schwingungen: Reihenschwingkreis
z = R + iω L −
Wirkwiderstand:

1 
i
= R + i ω L −

ωC
ω C

Blindwiderstand:
R
ωL−
1
ωC
2
Impedanz:
Phasenwinkel:
Leistung:

1 
U0
R + ω L −
 =Z=
ω C
I0

2
ω L − 1
ω C 
ϕ z = arctan


R


U2
(U cos ω t ) R
P = UI = I R = 2 R = 0 2
Z
Z
2
1
U0 R
P =
2
2 R2 + ω L − 1
ωC
2
2
(
)
21
9.4.2 Der lineare Oszillator
Realisierung: ungedämpfter Schwingkreis z. B. durch induktive Kopplung an Antenne
Berechnung der Felder: (prinzipielle Vorgehensweise)
aus dem Vektorpotential unter Berücksichtigung der
P = R − r′
wurde wegen Laufzeit des Lichtes
R − r′
r
von
∆t = =
c
c
r
zur Zeit
t′ = t −
am Ort des linearen Oszillators erzeugt.
c
j (r ′, t − r c)
µ
⋅ dr
Vektorpotential:
A( R, t ) = 0 ⋅ ∫
daraus erhält man das
4π
R − r′
Retardierung:
Feld am Ort
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
B( r , t ) = rotA
1 ∂Φ
divA = − 2 ⋅
c ∂t
∂A
E = − gradΦ −
∂t
Magnetfeld:
$
$
$
Potential:
[Lorentzeichung]
$
$
Elektr. Feld
$
Abschätzung der Nahfelder:
Eϑ (t ) =
Elektr. Feld
ER (t ) =
p
sin ϑ
4π ε 0 r 3
2p
cos ϑ
4πε 0 r 3
Feld eines schwingenden Dipols
t−v
c
r
c
mit p = q ⋅ d zur Zeit t ′ = t −
$
$
$
t−v
p×r
4πε 0 c 2 r 3
c
%
B( r , t ) =
Magnetfeld
$
$
$
Feld einer zeitlich oszillierenden
$
r
c
Fernfelder: elektromagnetische Wellen, E- und B-Felder erregen sich wechselseitig
• E, B ⊥ r :
elektromagnetische Wellen sind transversal
Stromdichte zur Zeit t ′ = t −
$
$
$
$
•
E, B :
•
v=
1
ε ε 0 µ µ0
•
c=
1
m
= 2.99 ⋅108
s
ε 0 µ0
$
$
in Phase
Geschwindigkeit in Materie
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
Anm.: Licht ist eine elektromagnetische Welle. Dies wurde 1865 von Maxwell vorhergesagt und 1890 von
Hertz im Experiment bestätigt. Heute werden die Erscheinungsformen der Elektrizität, des Magnetismus
und der Optik in der Elektrodynamik bzw. der Quantenelektrodynamik (QED) vereinheitlicht.
22
1
(ED + HB ) = ε ε 0 E 2 = µ µ 0 H 2
2
Energiedichte:
w=
Poynting-Vektor:
S = E×H
(Energiestromdichte: S = w ⋅ v )
&
&
&
&
abgestrahlte Leistung:
p 2ω 4
P=
12π ε 0 c 3
beschleunigte Ladung:
P=
q2v 2
12π ε 0 c 3
'
Anm.: Jede Ladung q, die mit v beschleunigt wird, strahlt elektromagnetische Wellen aus
(
9.4.3 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Feldgleichungen für Potentiale
'
rot E = − B
&
aus
B = rot A
&
&
&
und
∂A
E = − grad ϕ −
∂t
(1)
&
(Elektrostatik: E = −grad ϕ )
&
folgt:
Eichung:
&
(2)
Die Gleichungen (1) und (2) legen die Potentiale nicht vollständig
fest da z.B. : B = rot A + grad ϕ = rot A mit ϕ beliebig.
(
&
)
&
Lorentzeichung:
div A = −
Coulombeichung:
div A = 0
&
&
1 ∂ϕ
c 2 ∂t
&
1 ∂ 2ϕ
1
=− ρ
2
2
ε0
c ∂t
1. Feldgleichung:
∆ϕ −
2. Feldgleichung:
1 ∂2 A
∆A − 2 2 = − µ 0 j
c ∂t
&
&
&
23
)
Wellengleichung im feldfreien Raum
j = ρ =φ =0
Wellengleichung:
1 ∂2A
∆A − 2
=0
c ∂t
Berechnung der Felder:
∂A
E=−
∂t
)
)
)
B = rot A
)
Ebene Welle als Lösung
)
)
(
E (r , t ) = ω E0 cos k r − ω t
)
)
)
B (r , t ) =
)
)
)
)
)
1
k × E (r , t )
ω
)
)
*
• transversal polarisiert
• B ⊥ E ⊥ k wegen B = k × E
• allgemeine Lösung: Überlagerung ebener Wellen (Stoßwellen, Pulse)
)
)
)
)
)
)
9.4.4 Elektromagnetische Wellen in Materie
1
c
c
Aus der Wellengleichung: v =
=
≈
µ µ 0ε ε 0
µε
ε
c
= ε
v
Unterschiedliche Geschwindigkeit in unterschiedlichen Medien führt zu
• Brechung
• Reflexion
• Beugung
• Dispersion
Maxwell-Relation:
n=
Atomistische Deutung:
Anregung von Elektronen des Mediums zu erzwungenen,
gedämpften Schwingungen der Frequenz ω
Komplexe Amplitude:
~
x0 =
Elektron:
komplexe Zahl:
Dämpfung:
−ω
)
2 2
+γ ω
2
2
2
0
− ω 2 ) − iγω
]
schwingender Dipol, phasenverschoben je nach ω0
strahlt elektromagnetische Welle ab
Dispersionsrelation:
Für (n-1)<<1:
(ω
[(ω
e ⋅ E0 / m
2
0
n = 1+
2
n =1+
N ⋅ e2
m ⋅ ε 0 ⋅ [(ω − ω
) +γ ω
(ω − ω ) − iγω
⋅
(ω − ω ) + γ ω
2
0
N ⋅ e2
2mε 0
2
0
2
0
2 2
2
2
]
[(ω
2
0
− ω 2 ) − iγω
]
2
2 2
2
2
n = n ′ − iκ
I = I 0 ⋅ exp(− α∆z )
mit α = 2 ⋅ k 0 ⋅ κ Absorptionskoeffizient
24