Mathematik – Geometrie

6.2003
Mathematik – Geometrie
© 2003 by Reto Da Forno
Inhalt:
Abbildung / Abbildungsvorschriften
-
Ähnlichkeitsabbildungen
Zentrische Streckung
Die Strahlensätze
Kongruenzabbildungen
Kongruenzsätze
Übersicht: Geometrische Figuren
Gegenseitige Lage von Figuren
-
Gerade - Ebene
Gerade - Gerade
Ebene - Ebene
Kreis - Gerade
Gemeinsame Tangenten
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Seite 2
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Seite 4
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Sätze – allgemeine Definitionen
-
Thales
Zentriwinkel
Pheripheriewinkel
Fasskreisproblem
Pythagoras
Euklid
Höhensatz
Bezeichnungen, Abkürzungen
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1. Ähnlichkeitsabbildungen
(= Abbildung, die aus einer oder mehreren zentrischen Streckungen oder Kongruenzabbildungen
zusammengesetzt ist)
Satz: Ähnliche Figuren stimmen in den Winkelgrössen und Verhältnissen entsprechender Seitenlängen
überein. Ähnliche Geraden sind parallel.
a) Die zentrische Streckung:
... ist eine geometrische Abbildung mit Abbildungsvorschrift
(S ist das Streckzentrum und k der Streckfaktor)
bei Strecken: Originalstrecke * Streckfaktor = Bildstrecke (SA * k = SA‘)
bei Flächen: Originalfläche * k2 = Bildfläche (A * k2 = A‘)
b) Die Strahlensätze (zur zentrischen Streckung):
a:b (Strecke a zu Strecke b) = Längenverhältnis
Es geht um die Beziehungen zwischen Länge einer Strecke und ihres Bildes.
Gegeben sind zwei halbgeraden (Strahlen) mit gemeinsamem Punkt S, die durch ein Parallelenpaar
g//h geschnitten werden.
1. Strahlensatz:
Abschnitte auf der einen Halbgeraden verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf der
Anderen. (SC : CC‘ wie SB : BB‘ oder in Skizze 2
SA:SA‘ = SB:SB‘ = AB:A’B‘)
2. Strahlensatz:
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SC‘ = k * SC
B’C‘ = k * BC
Skizzen zu den Strahensätzen:
C‘
C
S
C*
B
B‘
Zentrische Streckungen sind Längenverhältnistreue Abbildungen
2. Kongruenzabbildungen
(= Abbildungsvorschrift, bei der die Bildfigur und die Originalfigur deckungsgleich sind)
a) Abbildungsvorschriften:
- Achsenspiegelung
- Verschiebung (Translation, parallele Verschiebung): Strecke bleibt gleichlang und behält die
Richtung (Darstellung: mit Verschiebungsvektor v )
- Drehung (Rotation): MP = MP‘ (M=Mittelpunkt / Drehzentrum, α =Drehwinkel)
wenn α > 0, dann im Gegenuhrzeigersinn drehen
- Punktspiegelung: MP = MP‘ und M, P, P‘ liegen auf einer Geraden
b) Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
1. Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der Länge zweier Seiten und in dem von ihnen
eingeschlossenen Winkel überein, sind sie ähnlich. (sws – Seite Winkel Seite)
2. Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der drei Seitenlängen überein, dann sind sie zueinander
ähnlich. (SSS)
3. Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und in dem der grösseren Seite
gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind sie ähnlich.
Die Ähnlichkeitssätze sind die Verallgemeinerung der Kongruenzsätze.
Figur Name
Gerade
Ebene
Eigenschaften
Durch 2 Punkte eindeutig festgelegt
- Unbegrenzte ebene Fläche
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Formeln
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Dreieck
Dreieck (gleichschenkliges)
Dreieck (gleichseitiges)
Rechteck
Parallelogramm
Quadrat
Raute / Rhombus
Deltoid
Rhomboid
Fünfeck (Pentagon)
Sechseck
Polygon
Tangentenviereck
Sehnenviereck
Trapez
Kreis
Innkreis (siehe Skizze)
Ankreis (siehe Skizze)
Umkreis (siehe Skizze)
Bogenlänge
Kreissektorfläche
Würfel
Quader
- Durch 3 Punkte oder zwei sich
kreuzende Geraden festgelegt
Innenwinkelsumme beträgt 180°
A=g*h/2
Basis (längste Seite) mit den zwei gleich A = g * h / 2
grossen Basiswinkeln
Alle Seiten gleich gross, jeder Winkel 60° A = [s2 * √(3) ] / 4
h = [s * √(3) ] / 2
u = 3a
s = √ [4*A/√(3)] = √ ((4/3)*h2)
Vier 90° Winkel
d = √( a2 + b2 )
u = 2a + 2b
A = a*b
Gegenüberliegende Winkel sind je gleich A = g * h
gross und zusammen 180°
Vier 90° Winkel, alle Seiten gleich lang
A = s2
u = 4s
d = s √ (2)
- alle Seiten sind gleichlang
A=g*h
- Je zwei gegenüberliegende Winkel sind
gleich
Vierecke, deren Diagonalen aufeinander
normal stehen
Je zwei gegenüberliegende Winkel sind
A=g*h
gleich
Winkelsumme beträgt 540°
Winkelsumme beträgt 720°
(regelmässiges Vieleck)
A = (S* Anz. Seiten)* [ √(s2(s/2)2 ) /2]
Viereck mit einem Innkreis
Viereck mit einem Umkreis, Summe
zweier gegenüberliegender Winkel = 180°
Grundseite // Deckseite
A = (g+d)*h / 2
A=m*h
A = π r2
u=2πr
Konstruktion: Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden
Konstruktion: Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden der Nebenwinkel
Konstruktion: Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten
bx = π r / 180 * x
Sx = π r2 / 360 * x
Alle Winkel 90°, alle Seitenkanten gleich d = s * √(3)
V = s3
Alle Winkel 90°
d = √( a2 + b2 + c2 )
V=a*b*c
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Zylinder
Pyramide
- Mantel: n-Dreiecke
- n-Eck als Grundfläche
- Spitze S liegt ausserhalb des n-Ecks
- Abstand von S zur Grundfläche = Höhe
h
Kreis als Grundfläche, sonst wie
Pyramide
Kegel
Kugel
Prisma (das Gesägte)
- kongruente n-eckige Grund- /
Deckflächen
- Grundseite und Deckseite sind parallel
- wenn Seitenkanten senkrecht auf der
Grundfläche stehen, ist das Prisma
gerade, alle anderen heissen schief
- Abstand zwischen beiden Ebenen nennt
man Höhe des Prismas
V = π r2 * h
O = 2 π r2 + 2r π * h
V = (1/3) G * h
O=G+M
V = (1/3) π r2 * h
V = (4/3) π r3
O = 4π r2
r = 3√ [ (3/4π )* V] = √( O/4π )
V=G*h
S = M + (2 * G)
Skizze (Ankreis, Umkreis, Innkreis):
C
Ankreis
Innkrei
s
B
A
Umkreis
1. Gerade - Ebene
a) g // E
b) P = g ∩ E
c) g ⊂ E
keine gemeinsamen Punkte
genau einen gemeinsamen (Durchstoss-) Punkt
Teilmenge, g liegt in E, alle Punkte gemeinsam
2. Gerade - Gerade
a) g // h
b) g windschief h
c) g = h
liegen in derselben Ebene, keinen gemeinsamen Punkt
liegen in verschiedenen Ebenen, keinen gemeinsamen Punkt
liegen in gleichen Ebene, alle Punkte gemeinsam
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d) S = g ∩ h
liegen in gleichen Ebene, einen gemeinsamen (Schnitt-) Punkt
3. Ebene - Ebene
a) E1 // E2
b) E1 ∩ E2
alle Geraden g ∈ E1 und h ∈ E2 sind windschief
in Schnittgeraden s, jede Gerade g aus E1 oder E2 ist entweder // zu s oder
schneidet s
4. Kreis - Gerade
a)
b)
c)
d)
g liegt ausserhalb
g berührt den Kreis an genau einem (Berührungs-) Punkt B (g heisst Tangente)
g schneidet k an zwei Punkten C, D (g heisst Sekante)
g zerlegt den Kreis in zwei Halbkreise; g durchstösst M (g von A bis B heisst Durchmesser)
5. Gemeinsame Tangenten von zwei Kreisen
a)
4 gemeinsame Tangenten, wenn...
... M1M2 > r1+r2
b) 3 Tangenten, wenn...
... M1M2 = r1r2
c) 2 Tangenten, wenn...
...r1 – r2 < M1M2 < r1 + r2
d) 1 Tangente, wenn...
... M1M2 = r2 – r1
e) 0 Tangenten, wenn ...
... M1M2 < r2 – r1
1. Satz von Thales
Jeder Winkel ACB, dessen Scheitelpunkt C auf der Halbkreislinie mit Durchmesser AB liegt, ist ein
rechter Winkel.
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2. Der Zentriwinkelsatz
Zentriwinkel δ ist doppelt so gross wie ein Pheripheriewinkel ε über dem selben Kreisbogen.
ε
δ
A
B
3. Der Pheripheriewinkelsatz
Alle Pheripheriewinkel ε über demselben Bogen sind gleich gross.
4. Das Fasskreisproblem
Gesucht sind alle Winkel ε über AB, welche 70° gross sind.
LB: AB , 20° (90° - ε) von A aus abtragen, Winkel 20° geschnitten mit mAB = M des Kreises
5. Der Satz von Euklid (= Kathetensatz)
Alle Parallelogramme zwischen den parallelen Geraden p // q haben denselben Flächeninhalt.
6. Der Satz von Pythagoras
Quadratfläche über Hypothenuse = Summe der Flächen über den Katheten: a2 + b2 = c2
C
a2
p
b2
q
A
B
cp
cq
c
c
p
q
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7. Der Höhensatz
Hc2 + p2 = a2
C
a2
hc2
A
q
2
p
q
!
B
q
"#
Achtung! Die folgenden Bezeichnungen sind nicht zwingend.
d = Durchmesser / Körperdiagonale
g = Gerade g
h = Höhe, Hypotenuse
k = Kreislinie, Kathete
m = Mittellinie
r = Radius
s = Seite, Sekante, Schwerlinie, Schnittgerade, Sehne
t = Tangente
v = Vektor
α = Winkel Alpha
mAB = Mittelsenkrechte der Strecke AB
g = Grundseite
d = Deckseite
zur Schreibweise in diesem Skript:
h = [s * √(3) ] / 2 würde richtig so aussehen:
A=
s * √(3)
2
Autor dieses Skripts: [email protected]
Alle Rechte vorbehalten.
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A = Flächeninhalt
B = Berührungspunkt
D = Deckfläche, Durchstosspunkt
E = Ebene
F = Fusspunkt
G = Grundfläche
M = Mittelpunkt
P = Punkt P
O oder S = Oberfläche (-ninhalt)
u = Umfang
V = Volumen