Übungen zur Vorlesung Klassische Mechanik WS 2003/04 Prof. Dr

Übungen zur Vorlesung Klassische Mechanik
WS 2003/04
Prof. Dr. G. Mahler
Blatt 1
Aufgabe 3 : Schiefer Wurf mit vorgegebenem Ziel
Ein Massenpunkt wird im homogenen Schwerefeld der Erde vom Ursprung aus mit
der Geschwindigkeit v0 unter dem Winkel ϕ gegen die Horizontale abgeworfen.
z
Aufgabe 1 : Kontrollfragen
PSfrag replacements
P1 (x1 , z1 )
a) Was ist eine Inertialbasis?
b) Inwiefern bilden die Galilei-Transformationen eine Gruppe?
c) Was versteht man unter dem Galilei-Relativitätsprinzip?
ϕ
d) Wodurch unterscheidet sich die klassische nichtrelativistische Mechanik von der
relativistischen?
Aufgabe 2 : Orthochrone Galilei-Gruppe
(schriftlich)
Eine eigentliche (orthochrone) Galilei-Transformation im euklidischen Raum ist definiert durch
r 0 = Rr + vt + a
t0 = t + b,
wobei R eine orthogonale Matrix mit det R = +1 darstellt. Der Vektor v beschreibt
eine gleichförmige geradlinige Bewegung, a und b konstante Verschiebungen in Raum
bzw. Zeit. Die Menge aller Abbildungen lässt sich durch die Elemente
g = (R, v, a, b)
a) Zeigen Sie, dass die Hintereinanderausführung zweier Transformationen g1 und
g2 gegeben ist durch
g 0 = g2 ◦ g1 = (R2 R1 , R2 v 1 + v 2 , R2 a1 + v 2 b1 + a2 , b2 + b1 ).
(2 Punkte)
b) Das neutrale Element ge ist gegeben durch
ge = (1, 0, 0, 0).
Berechnen Sie damit das inverse Element g −1 .
(2 Punkte)
c) Beweisen Sie das Assoziativgesetz
(2 Punkte)
g3 ◦ (g2 ◦ g1 ) = (g3 ◦ g2 ) ◦ g1 .
x
a) Wie muss v0 in Abhängigkeit von ϕ gewählt werden, damit ein vorgegebener
Punkt P1 (x1 , z1 ) getroffen wird?
(2 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass die Abschussgeschwindigkeit minimal wird, wenn für den zugehörigen Winkel ϕ gilt:
x1
tan 2ϕ = − .
z1
Wie groß ist diese Minimalgeschwindigkeit in Abhängigkeit von x1 und z1 ? (2 Punkte)
c) Berechnen Sie für den Fall minimaler Abschussgeschwindigkeit die Geschwindigkeit beim Auftreffen am Punkt P1 und den Auftreffwinkel ψ. Zeigen Sie, dass in
diesem Fall gilt:
(2 Punkte)
π
ϕ+ψ = .
2
Aufgabe 4 : Impulserhaltung bei inneren Kräften
beschreiben. In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass die Menge aller orthochronen Galilei-Transformationen eine Gruppe bildet.
Stellt g 0 wieder eine Galilei-Transformation dar?
ψ
Ein Feuerwerkskörper der Masse M wird im homogenen Schwerefeld der Erde mit
der Anfangsgeschwindigkeit v0 schräg nach oben unter dem Winkel α gegen die
horizontale x-Richtung abgeschossen.
a) Der Feuerwerkskörper erreiche zum Zeitpunkt ts den höchsten Punkt der Bahn.
Man berechne ts sowie die erreichte Höhe ys und den zurückgelegten Weg xs . (1 Punkt)
b) Im höchsten Punkt der Bahn soll der Feuerwerkskörper in zwei gleiche Teile zersprengt werden. Die dabei freigesetzte Energie ² werde momentan und vollständig in
kinetische Energie umgewandelt. Durch diesen Vorgang soll sich die Geschwindigkeit
der beiden Teile nur in x-Richtung ändern. In welchem Abstand vom Abschussort
treffen die beiden Teile jeweils auf?
(2 Punkte)
Hinweis: Betrachten Sie zum Zeitpunkt ts ein Hilfskoordinatensystem, in dem der
Schwerpunkt ruht.
c) Skizzieren Sie die Bahnkurve der beiden Bruchstücke im Beobachtersystem (ruhender Abschusspunkt) für die drei Fälle ² < Ekin (ts ), ² = Ekin (ts ) und ² > Ekin (ts ),
wobei Ekin (ts ) die kinetische Energie des Feuerwerkskörpers im höchsten Punkt der
Bahn unmittelbar vor der Sprengung bezeichnet.
(1 Punkt)