Berechnung von Nichtlinearit¨atsparametern von RF MOS Mischern
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Adv. Radio Sci., 9, 123–129, 2011 www.adv-radio-sci.net/9/123/2011/ doi:10.5194/ars-9-123-2011 © Author(s) 2011. CC Attribution 3.0 License. Advances in Radio Science Berechnung von Nichtlinearitätsparametern von RF MOS Mischern mittels Volterra-Reihen A. Susic, A. H. Darrat, and W. Mathis Leibniz Universität Hannover, Institut für Theoretische Elektrotechnik, Appelstr. 9A, 30167 Hannover, Germany Zusammenfassung. Die Nichtlinearität einer Mischerschaltung bezüglich des Informationssignals führt zu unerwünschten Spektralanteilen am Ausgang des Mischers. Da nicht alle Spektralanteile kritisch sind, müssen bei einer Nichtlinearitätsanalyse nur bestimmte Spektralanteile ermittelt werden. In dieser Arbeit wird ein Verfahren zur Bestimmung der Spektralanteile der Zustandsgrößen im Mischer mit Hilfe der Volterra-Reihe gezeigt. Das Verfahren basiert auf die Methode der nichtlinearen Stromquellen. Es wird sowohl auf nichtschaltende als auch schaltende Mischer angewendet. Hierbei wird der erste als ein zeitinvariantes System mit zwei Eingängen und der zweite als ein periodisch zeitvariantes System mit einem Eingang modelliert. Das Verfahren wird in dem Computeralgebraprogramm MAPLE für den einfach balancierten MOS Mischer implementiert. Es ermöglicht die Herleitung von semi-symbolischen Ausdrücken für die Spektralanteile in Abhängigkeit von den Entwurfsparametern. Die numerischen Ergebnisse des Verfahrens werden gegenüber Simulationen mit SpectreRF verglichen. 1 Einleitung Ein idealer Mischer kann im Allgemeinen als ein Multiplizierer gefolgt von einem Filter betrachtet werden. Hierbei wird das Informationssignal mit einem vom Lokaloszillator generierten Hilfssignal (das LO-Signal), um deren Frequenz ab- bzw. aufwärts gemischt werden soll, multipliziert. Bei multiplikativen Mischern werden das Informationssignal (das RF-Signal) und das LO-Signal an separaten Eingängen eingeführt. Abhängig von der Größe des LO-Signals kann zwischen schaltenden (commutating) und nicht-schaltenden Mischern unterschieden werden. Ein nicht-schaltender Mischer kann als ein zeitinvariantes schwach nichtlineares System mit zwei Eingängen beschrieben werden, während ein Correspondence to: W. Mathis ([email protected]) schaltender Mischer als ein periodisch zeitvariantes schwach nichtlineares System beschrieben wird. Die Nichtlinearität des realen Mischers bezüglich des Informationssignals führt zu unerwünschten Spektralanteilen am Ausgang des Mischers (siehe Abb. 1). Da der Mischerausgang gefiltert wird, sind nur die Spektralanteile am Ausgang kritisch, die innerhalb des Durchlassbereiches des Filters liegen. Demzufolge müssen bei der Nichtlinearitätsanalyse nur die Spektralanteile bestimmt werden, die innerhalb des Durchlassbereiches des Filters liegen. Um diese unerwünschten Spektralanteile zu bestimmen ist eine Nichtlinearitätsanalyse der entsprechenden Mischerschaltung nötig. Die Volterra-Reihe (Schetzen, 1980) hat sich als ein effizienter Ansatz zur Analyse dynamischer schwach nichtlinearer Systeme erwiesen. Die beiden Methoden zur Analyse nichtinearer Systeme, die auf der Volterra-Reihe basieren, sind die so genannte Probing Method“ (Bedrosian und Rice, 1971) ” und die Methode der nichtlinearen Stromquellen (Bussgang et al., 1974; Schetzen, 1985). Wobei bei der ersten Methode die nichtlinearen Übertragungsfunktionen des Systems (Volterra Kernels) bestimmt werden, ermöglicht die zweite Methode die Antworten des Systems auf bestimmte Anregungen zu ermitteln, ohne die nichtlinearen Übertragungsfunktionen bestimmen zu müssen. Die Methode der nichtlinearen Stromquellen ist insbesondere bei Systemen mit mehreren Eingängen vom Vorteil, wo die Volterra Kernels zu Tensoren werden. Eine Anwendung dieser Methode auf schwach nichtlineare zeitinvariante Systeme mit mehreren Eingängen ist in Wambcaq und Sansen (1998) gezeigt. Im Jahre 1978 präsentierte Swerdlow (Swerdlow, 1978) basierend auf der zeitvarianten Volterra Reihe (Flake, 1963) ein Verfahren zur Analyse von Intermodulationsverzerrungen bei additiven Mischern mit einem Pumpsignal. Hierbei wurde das System als periodisch zeitvariant modelliert und die resultierenden zeitvarianten Volterra-Kernels bestimmt. 1987 kombinierte Maas (Maas, 1987) die Methode der nichtlinearen Stromquellen mit der Methode der Konversionmatrizen (Oberg, 1973) zur Analyse von Intermodulationsverzerrungen bei Diodenmischern. Das Verfahren erlaubt die Published by Copernicus Publications on behalf of the URSI Landesausschuss in der Bundesrepublik Deutschland e.V. k, Appelstr. 9A, 30167 Hannover, Germany 2 124 A. Susic et al.: Berechnung von Nichtlinearitätsparametern von RF MOS Mischern H1 H2 y1(t) y2(t) x(t) y(t) H3 Abb. 1. Unerwünschte Spektralanteile am Ausgang auf Grund der Nichtlinearität des Mischers. 1. Unerwünschte Spektralanteile am Ausgang auf Grund der Abb. 2. Darstellung Bestimmung der resultierenden Spektralanteile für jede KnoVolterra-Reihe. tlinearität des Mischers tenspannung und Zweigstrom im Netzwerk. Hn y3(t) yn(t) eines nichtlinearen Systems mittels der In dieser Arbeit wird ein Verfahren zur NichtlinearitätsAbb. 2. Darstellung eineshöherer nichtlinearen mehreren Antworten Ordnungen ỹn (t)Systems angenähert analyse von einfach balancierten MOS Mischern präsenwerden. tiert. Es wird dabei sowohl der nicht-schaltende Fall als Volterra-Reihe auch der schaltende Fall betrachtet. Ziel dieser Arbeit ist es, N X semi-symbolische Ausdrücke der Spektralanteile und Nichtỹ(t) ≈ ỹn (t) (3) linearitätsparameter in Ahbängigkeit von den Entwurfs- und n=1 Prozessparametern zu bekommen. Da das Verfahren eiLässt sich die Ausgangsgröße ỹ(t) des nichtlinearen Systems ne Berechnung der Spektralanteile an jeder Knotenspanin Abgängigkeit der Eingangsgröße x̃(t) um den Arbeitsnung und jedem Zweigstrom ermöglicht, gibt es dem Desipunkt (x0 ,y0 ) in einer Potenzreihe der Form gner einen Einblick über die Entstehung der unerwünschten Spektralanteile im Netzwerk. Das Verfahren wurde in dem N X Computeralgebra-Programm MAPLE implementiert. ỹ(t) = an x̃ n (t) (4) mittel Nichtlinearität des realen Mischers bezüglich des Inmationssignals führt zu unerwünschten Spektralanteilen Ausgang des Mischers (siehe Abb.und 1). Sansen, Da der Mischer1998) gezeigt. ang gefiltert wird, sind nur die Spektralanteile ampräsentierte AusIm Jahre 1978 Swerdlow (Swerdlow , 1978 g kritisch, die innerhalb des Durchlassbereiches deszeitvarianten Filsierend auf der Volterra Reihe (Flake , 1 liegen. Demzufolge müssen bei dereinNichtlinearitätsanaVerfahren zur Analyse von Intermodulationsverze n=1 nur die Spektralanteile bestimmtgen werden, die innerbei additiven Mischern mit einem Pumpsignal. Hi 2 Die Methode der nichtlinearen Stromquellen entwickeln, wobei an der Taylor-Koeffizient n-ter Ordnung des Durchlassbereiches des Filterswurde liegen.das UmSystem diese unals periodisch zeitvariantin einer modellier ist, und formuliert man die Ein- und Ausgangsgrößen Die Volterra-Reihe beschreibt die Beziehung zwischen dem Potenzreihe eines Sortierfaktors“ c um ünschtenAusgang Spektralanteile zu bestimmen istdy-eine Nichtli” die resultierenden zeitvarianten Volterra-Kernels besti und Eingang eines zeitinvarianten nichtlinearen 1980): namischen Systems in der folgenden Form (Schetzen, N N X X itätsanalyse der entsprechenden Mischerschaltung nötig. 1987 kombinierte die Methode der n ỹ(t) = Maas cn ỹn (t) (Maas und x̃(t),=1987) cn x̃n (t), (5) n=1 n=1 ie Volterra-Reihe (Schetzen, 1980)linearen hat sich als ein effiziStromquellen mit der Methode der Konversio y(t) = H1 [x(t)] + H2 [x(t)] + ... + Hn [x(t)] + ... (1) so kann nach Vergleich der Koeffizienten vonIntermodulation cn jede Antr Ansatz zur Analyse dynamischer schwach nichtlinearer trizen (Oberg, 1973) zur Analyse von wort n-ter Ordnung ỹn (t) in Abhängigkeit der Komponenmit eme erwiesen. Die beiden Methoden zur Analyse nichtiten niedrigerer Ordnungen der Eingangsgröße x̃ ausgedrückt erlaub zerrungen bei Diodenmischern. Das Verfahren +∞ Z +∞ werden. Für die Antworten der ersten drei Ordnungen gilt: Z er Systeme, die auf der Volterra-Reihe basieren, der sindresultierenden die Bestimmung Spektralanteile für jede Hn [x(t)] = ... hn (τ1 ,...,τn )x(t −τ1 )...x(t −τn )dτ1 ...dτn (t) = a1die x̃1 (t) enannte ,,Probing Method” (Bedrosian , 1971)ỹ1und und −∞ −∞ tenspannung Zweigstrom im Netzwerk. 2 ỹ (t) = a x̃ (t) + a x̃ (t) (6) 2 1 2 2 (2) 1 hode der nichtlinearen Stromquellen , 1974; In (Bussgang dieser Arbeit wird ein Verfahren zur Nichtlinear 3 ỹ3 (t) = a1 x̃3 (t) + 2a2 x̃1 (t)x̃2 (t) + a3 x̃1 (t) etzen, 1985). bei der ersten Methode wobei HnWobei Faltungsintegral re- die nichtli[x(t)] ein mehrdimensionales analyse von einfach balancierten MOS Mischern pr präsentiert und Volterraoperator n-ter Ordnung genannt wird. Jede Antwort ỹn (t) des nichtlinearen Systems setzt sich daen Übertragungsfunktionen des Systems KerDie Funktion hn (τ1 ,...,τn ) in Gln. (2) ist als mehrdimentiert. Es(Volterra wird dabei sowohl Fa bei aus einem linearen Anteil ỹder und einem nichtlinean,L (t) nicht-schaltende sionalewerden, Impulsantwortermöglicht definiert und wirddie Volterrakern n-ter ) bestimmt zweite Methode ren Anteildie ỹn,NL (t) zusammen. auch der schaltende Fall betrachtet. Ziel dieser Arbeit i Ordnung genannt. Somit kann der Ausgang eines nichtlineaworten des Systems aufSumme bestimmte Anregungen zu ren Systems durch eine von mehrdimensionalen Falỹn (t)ermit= ỹn,L (t) + ỹn,NL (t) (7) und N semi-symbolische Ausdrücke der Spektralanteile tungsintegralen des Eingangssignals dargestellt werden (sieohne die nichtlinearen ÜbertragungsfunktionenDerbestimhe Abb. 2). lineare Anteil ỹn,L (t) der Ausgangsgröße ist eine linearitätsparameter in Ahbängigkeit vonỹn(t) den Entwurfs kann die Antwort des nichtlineaAusgehend von Gln. (1) lineare Funktion der n-ten Eingangsgröße x̃ (t), währendzu müssen. Die Methode der nichtlinearen Stromquellen n Prozessparametern zu bekommen. das Verfahre ren Systems mit der Ausgangsgröße ỹ(t) als Summe von dessen der nichtlineare Anteil ỹn,NL (t) Da eine nichtlineare nsbesondere bei Systemen mit mehreren Eingängen vom ne Berechnung der Spektralanteile an jeder Knoten eil, wo Adv. dieRadio Volterra Kernels Sci., 9, 123–129, 2011 zu Tensoren werden. Eine www.adv-radio-sci.net/9/123/2011/ nung und jedem Zweigstrom ermöglicht, gibt es dem wendung dieser Methode auf schwach nichtlineare zeitingner einen Einblick über die Entstehung der unerwüns ante Systeme mit mehreren Eingängen ist in (Wambcaq valent 2001).für andere Grundnichtlinearitäten ist leitung(Yuan, der Modelle Abb. 4. Netzwerk mit nichtline 3 Eingängen ivalent (Yuan, 2001). nichtlinea A. Susic et al.: Berechnung von Nichtlinearitätsparametern von RF MOS Mischern Abb. 4. Netzwerk mit125 in(t) i (t) i (t) n Taylor-Koeffizienten in Gln. 6 durch fizienten a1 (t),ai2(t)(t),...,aN (t) ersetzen. u (t)=f (i (t)) u (t) u (t) r das Beispiel eines nichtlinearen Wiu (t)=f (i (t)) (t) u (t) ivalente Kleinsignal-Modell für u die Ordr Strom iR (t) als Eingangsgröße und ) als Ausgangsgröße (a) angenommen wird. Zeitinvariant (a) Zeitinvariant ersten Taylor-Koeffizienten der Strom(a) Zeitinvariant i (t) ng (linearer Anteil des Widerstandes). Die i (t) i (t) delle für andere Grundnichtlinearitäten ist i (t) 001). u (t)=f (i (t),τ) u (t) u (t) ) Eingängen R n R1 R R R R R n R j c u in,m+1 i in,1 R R1 i = f3(uc - ud) uNLn(t) n i in,2 u in,m+2 X u (t) 1X jω t X Uk,ωx e x uk (t) = X un 12 jωx t uk (t) = x=1Uk,ωx e und 2 x=1 Abb. 4. Netzwerk mit, nichtlinearen Elementen undxmehreren wobei der Index die x-te Freq Eingängen. R (t) ,net wobei Frequd undder dieIndex Zahl xXdie diex-te Anzahl R (t) Abb. 4. Netzwerk mit nichtlinearen Elementen und mehreren net und die angibt. Zahl X die binationen DieAnzahl Frequend der Spektralanteile jedes Knotenpotentials und ZweigstroEingängen u (t) u (t)=f (i (t),τ) u (t) u (t) mes innerhalb des Netzwerkes. binationen angibt. Die Frequenz tion aus den Anregungsfrequen u (t) Im ersten Abschnitt dieses Kapitels wird das Verfahren tion aus den Anregungsfrequenz allgemein für ein Netzwerk welches zeitinvariante schwach Zeitvariant (b) (b)Zeitvariant nichtlineare Elemente enthält beschrieben. Im zweiten Teil M X wird die Beschreibung auf Netzwerke mit periodisch zeitva(b) Zeitvariant Abb. 3. Nichtlinearer Widerstand (links) mit der dazugehörigen M ωx = X rianten X Elementen erweitert. X äquivalenten Volterra-Schaltung (rechts) für den (a) zeitinvarianten X X 3. Nichtlinearer Widerstand (links) mit der dazugehörigen das schwach nichtlineare1 zeitinvari1Wird ein Netzwerk, ω und (b) zeitvarianten Fall. m=1 xt a u (t) = U ejωx t und i (t) = I x =ejω a d h NLn i = f2(ue - ug) q = f1(ua - ub) e i in,m g u in,M b n R n 1 R R R R R R n R n 1 NLn in(t) NLn R1 uR(t)=f (iR(t)) un(t) uNLn(t) ante Elemente mit mehreren harmonischen Quellen k,ωenthält, z,ω z x b. 3. Nichtlinearer Widerstand (links) valenten Volterra-Schaltung (rechts) fürmit dender (a)kdazugehörigen zeitinvarianten 2 x=1 siehe Abb. 2 x=1 und x m=1 (a) Zeitinvariant angeregt 4, so besitzt jedes Knotenpotential valenten Volterra-Schaltung (rechts) für den (a) zeitinvarianten (b) zeitvarianten Fall mit am ∈ M entspricht A jeder Zweigstrom Spektralanteile beiZ. Frequenzen bestehend der(9) Funktion der niedrigeren Ordnungen der Eingangsgröße i (t) aus Kombinationen der einzelnen Anregungsfrequenzen. Für (b) zeitvarianten Fall mit aDie Z. M entspricht Anm x̃1 (t), x̃2 (t),..., x̃n−1 (t) ist. m ∈ Koeffizienten zen. amder , für ) , wobei der Index x die x-te Frequenzkombination kennzeichn das Potential uk (t) an dem k-ten Knoten und dem Strom iz (t) zen. Die am , für m durch den z-ten Zweig gilt jeweils Bedingung erfüllenFrequenzkom(Bussgang net und die Zahl X die Anzahl derKoeffizienten möglichen (8) u (t)=f (i (t),τ) u (t) Bedingung erfüllen (Bussgang , binationen angibt. Die Frequenz ωx ist eine Linearkombinaỹn,NL (t) = f (x̃1 (t), x̃2 (t),..., x̃n−1 (t)) X X u (t) X X 1 1 Verfahren zur direkten Berechnung von m uk (t)Anregungsfrequenzen = Uk,ωx ej ωx t und iz (t) = Iz,ωx ej ωx t , tion Spektralanaus den X Ist das nichtlineare System noch zeitvariant, so werden die 2 2 ỹn,L (t) = a1 x̃n (t) R R R1(t) n NLn x=1 x=1 Verfahren zur direkten Berechnung von Spektralanm eilen bei schwach nichtlinearen Netwerken Taylor-Koeffizienten a1 ,a2 ,...,aN zeitabhängig. Somit kann (9)X am (b) Zeitvariant man schwach die konstantennichtlinearen Taylor-Koeffizienten inNetwerken Gln. (6) durch teilen bei M X m=1am zeitabhängige Koeffizienten a1 (t),a2 (t),...,aN (t) ersetzen. wobei der Index xωdie = x-te Frequenzkombination kennzeicha m ωm , (10) x Folgenden soll 3ein werden, dasZahl X die Abbildung zeigtVerfahren für das Beispielvorgestellt eines nichtlinearen net und die Anzahl der möglichen Frequenzkom-m=1 r Widerstand (links) mit der dazugehörigen m=1 ω N Widerstandes äquivalente Kleinsignal-Modell für die Folgenden sollfürdas ein Verfahren vorgestellt werden, das wobei der Ordnung der Ni binationen angibt. Die, Frequenz x ist eine Linearkombinarmöglicht Spektralanteile der Zustandsgrößen in einem -SchaltungOrdnung (rechts) den zeitinvarianten n, wobei der(a) Strom iR (t) als Eingangsgröße und , wobei N der Ordnung Nic tioneinem aus den Anregungsfrequenzen ermöglicht Spektralanteile derbeiZustandsgrößen in Da Anregungsfrequenan jedemder Knote Fall nichtlinearen die Spannung uR (t) als Ausgangsgröße angenommen wird. mit am ∈ Z. M entsprichtentspricht. der Anzahl der wach Netzwerk harmonischen Anregunentspricht. Damuss, an jedem Knoten M R1 entspricht demNetzwerk ersten Taylor-Koeffizienten der zen. Strom-DieAnregunX wach nichtlinearen bei harmonischen regel gelten kann an jed Koeffizienten a , für m=1..M, müssen die folgende m zu bestimmen. Im Gegensatz zu Verfahren, wo eine Einωx = am ωm , (10) Spannungsbeziehung (linearer Anteil des Widerstandes). Die regel gelten muss, kann an m=1 Bedingung , 1974) zu bestimmen. Im Gegensatz zu Gesamtschaltung Verfahren, wo eineerfüllen Ein- (Bussgang bezüglich jeder Frequenz ωjede Herleitung der Modelle für andereder Grundnichtlinearitäten ist x du gs/Ausgangs Beschreibung erforbezüglich jeder Frequenz ω äquivalent (Yuan und Opal, 2001). x dur mit aerforgs/Ausgangs Beschreibung der Gesamtschaltung m ∈ Z. M entspricht der Anzahl der Anregungsfrequench ist (Terro, 2000) sind die Eingangs/Ausgangs Bedirekten Berechnung von nur Spektralanm zen. Die KoeffizientenX am , für m = 1..M, müssen die folgenZ ich ist (Terro, 2000) sind nur die Eingangs/Ausgangs BeX de Bedingung erfüllen (Bussgang al., 1974) ach nichtlinearen Netwerken eibungen einzelnen nichtlinearen Elemente im Netz3 der Verfahren zur direkten Berechnung von Spektralanam =etN Z X iz(11) (ωx reibungen der einzelnen nichtlinearen Elemente im Netzteilen bei schwach nichtlinearen Netzwerken M m=1 X k nötig. Dies erlaubt die Berechnung der Spektralanteii (ω z x am = N, (11) Verfahren vorgestellt werden, das werden, z=1 kein nötig. Dies erlaubt die Berechnung der SpektralanteiIm Folgenden soll ein Verfahren vorgestellt das des Knotenpotentials undderZweigstromes innerhalb m=1der des , wobei N Ordnung der Nichtlinearität des Netzwerkes z=1 ktralanteile der Zustandsgrößen inZustandsgrößen einem es ermöglicht Spektralanteile in einem edes Knotenpotentials und Zweigstromes innerhalb des entspricht. DaNan Knoten kirchhoffsche Knotenschwach nichtlinearen NetzwerkAnregunbei harmonischen AnregunNach derdie Methode der nichtline zwerkes. wobei derjedem Ordnung der Nichtlinearität des Netzwerkes ren Netzwerk bei harmonischen zwerkes. Nach der Methode der nichtlinea gen zu bestimmen. Im Gegensatz zu Verfahren, wo eine entspricht. Da kann an jedem dieKnoten kirchhoffsche gelten muss, anKnoten jedem eine Strombilanz rsten Abschnitt dieses Kapitels Verfahren schnitt kann fürKnotenjede Ordnu Im Gegensatz zu Verfahren, wo eine Ein- das regel Eingangs/Ausgangs Beschreibung derwird Gesamtschaltung erregelallgegelten muss, kann an jedem2) Knoten eine Strombilanz schnitt 2) kann für jede Ordnu ersten Abschnitt dieses Kapitels wird das Verfahren allgebezüglich jeder Frequenz ωωxx nichtlinearen durchgeführt werden (Terrovitis und Meyer, 2000) sind nur die Einbezüglich jeder Frequenz durchgeführt werden deristGesamtschaltung erfordes Elementes im neschreibung für einforderlich Netzwerk welches zeitinvariante schwach nichtgangs/Ausgangs Beschreibungen der einzelnen nichtlinearen des nichtlinearen Elementes im n für ein Netzwerk welches zeitinvariante schwach nicht000)Elemente sindElemente nur dieenthält Be-Im valentes Kleinsignalmodell n-t are zweiten Teil wird imEingangs/Ausgangs Netzwerkbeschrieben. nötig. Dies erlaubt die Berechnung Z valentes Kleinsignalmodell n-te are Elemente enthält beschrieben. Im zweiten Teil wird X nzelnen nichtlinearen Elemente immit NetzBei Aufstellung des Gleichungs Beschreibung auf Netzwerke periodisch zeitvarianiz (ω (12) x ) = 0. Beschreibung auf Netzwerke mit periodisch zeitvarianBei Aufstellung des Gleichungss rlaubt diewww.adv-radio-sci.net/9/123/2011/ Berechnung der SpektralanteiAdv. Radio Sci., 9, 123–129, 2011 Elementen erweitert. innerhalb des de Ordnung werden die Zweig z=1 entials und Zweigstromes Elementen erweitert. de Ordnung werden die Zweig d ein Netzwerk, das schwach nichtlineare zeitinvariante Knotenpotentiale und (siehe Netzwerk Nach der Methode der nichtlinearen Stromquellen Abrd ein Netzwerk, das schwach nichtlineare zeitinvariante Knotenpotentiale und Netzwerk 4.2 Ermittlung der Spektralanteile Die Mischerschaltung undjedes dasElementes MOSFET-Modell llt. Die Basisfrequenz der Zeitvarianz Der erste Schritt bei d nn als eine zusätzliche Anregungsfrequenz im Netzwerk 4.2.1 Nicht-schaltender Betrieb das Kleinsignalmodell ntrachtet werden. Dementsprechend muss für jede Ordnung 126 A. Susic et al.: Berechnung von Nichtlinearitätsparametern von RF MOS Mischern n. (11) erfüllt werden. Diese Darstellung erlaubt es, die stellen. Das Kleinsignal-E ektralanteile der Mischfrequenzen aufgrund der NichtliV Schaltung für den nicht-s arität und der Zeitvarianz zu bestimmen. 6 gezeigt. Über die modifi R R Nichtlinearitätsanalyse eines einfach balancierten ergibt sich das folgende G DD RL RL L L 1 2 uOUT MOS Mischers uOUT g m1 (u4 u3 ) diesem Kapitel soll die Anwendung des vorgestellten T T rfahrens auf einem einfach balancierten MOS Mischer äsentiert werden. Hierbei werden zwei Betriebsfälle unter- u u 2 hieden: der nicht-schaltende Fall und der schaltende Fall. 2 r beide Betriebsfälle werden die Spektralanteile der AusT ngsspannung des Mischersi bei jeder Ordnung der Nichtliarität semi-symbolisch in Abhängigkeit der Entwurfs- und ozessparameter ermittelt. Anschließend werden die ErgebAbb. 5. Einfach balancierterund Mischer. se der Berechnungen diskutiert gegenüber Simulation mit SpectrRF verglichen. 1 2 LO LO 3 RF 5. balancierter 1 Einfach Die Mischerschaltung undMischer das MOSFET-Modell 4 I NL ,m1,x CGS 1 I NL , m 2,x g m 2 (u5 u3 ) ∧ CGS 2 3 5 Y · U = IN = GL 0 0 GL Abb. 6. Kleinsignal-Ersatzschaltbild n-ter einfach ba-+ gm2 ) 0 Ordnung 0 des −(g m1 lancierten Mischers im nicht-schaltenden Betrieb. Abb. 6. Kleinsignal-Ersatzschaltbild n-ter Ordnung des einfach bag 6 uLO 2 uRF CGS 3 g m 3u RF I NL ,m 3,x uLO 2 lancierten Mischers im nicht-schaltenden Betrieb 4 = Nichtlinearitätsanalyse eines einfach balancierten − Der erste Schritt bei der Anwendung Verfahrens MOS Mischers uLOdes (gm2 −gm1 ) ist (Cg Z X + zu eriz (ωx ) = 0. (12) das Kleinsignalmodell n-ter Ordnung der Schaltung 2 stellen. Das Kleinsignal-Ersatzschaltbild n-ter Ordnung der z=1 e Mischerschaltung ist inV Abb. 5 gezeigt. Es handelt In diesem Kapitel soll die Anwendung des vorgestellten Schaltung für den nicht-schaltenden Betriebsfall ist in Abb. Verfahrens auf einem einfach balancierten MOS Mischer Nach der Methode der nichtlinearen Stromquellen (siehe Abwobei uk das Potential a dabei um einen einfach balancierten MOS Mischer mit Über die modifizierte Knotenpunktanalyse (MNA) präsentiert werden. Hierbei ,werden zwei Betriebsfälle unterschnitt 2) kann für jede Ordnung der Nichtlinearität n je- 6 gezeigt. R R schieden: der nicht-schaltende Fall und der schaltende Fall. ergibt sich das folgende Gleichungssystem für die Schaltung des nichtlinearen Elementes im Netzwerk sein äquiund I =I +I verschiedenen Eingängen. Die durch nichtlinearen BaueleDD L L N Ls,n derN L1,n N Für beide Betriebsfälle werden die Spektralanteile Ausvalentes Kleinsignalmodell n-ter Ordnung ersetzt werden. u gangsspannung des Mischers bei jeder Ordnung der NichtliBei Aufstellung des Gleichungssystems für die entsprechenT T ∧ in Abhängigkeit der Entwurfs- und (15) de Ordnung werden die Zweigströme in Abhängigkeit der Y · Unearität = INsemi-symbolisch = u u Prozessparameter ermittelt. Anschließend werden dieErgeb Knotenpotentiale und Netzwerkparameter ausgedrückt. An- 2 2 G 0 g u1 nisse der Berechnungen diskutiert und gegenüber SimulatioL m1 schließend können nach Anwendung von Gln. (10) für jeden T i · u2 mit NL gm2 L SpectrRF verglichen. Zweigstrom im Netzwerk die Spektralanteile jedes Knoten- 0nenG d potentials ermittelt werden. Bei jeder Ordnung n > 1 müssen u3 0 0 −(gm1 + gm2 ) + (Cgs1 + Cgs2 ) dt dabei alle externe Anregungsquellen zu Null gesetzt werden. 4.1 Die Mischerschaltung gm1 uLO und+das INMOSFET-Modell L1,n 2 Enthält das Netzwerk noch periodisch-zeitvariante nicht − gm22uLO + IN L2,n lineare Elemente, so müssen die Taylor-Koeffizienten der = b. 5. Einfach balancierter Mischer (C −C ) u (g −g ) du gs1 gs2 m2 m1 LO LO Die Mischerschaltung Es handelt sich Eingangs-Ausgangs Beschreibung jedes zeitvarianten Ele+ ist in2Abb. 5 gezeigt. 2 dt − gm3 uRF − IN Ls,n dabei um einen einfach balancierten MOS Mischer mit zwei mentes über die im Frequenzbereich Die Mischerschaltung istFourier-Reihe in Abb. 5 gezeigt. Es handeltausgeverschiedenen Eingängen. Die nichtlinearen Bauelemente 1 den n-ten Taylor n (t) gilt , wobei uk das Potential an den Knoten k darstellt, GL = RL h dabei umdrückt einenwerden. einfachFürbalancierten MOSKoeffizient Mischer amit der Schaltung sind die MOSFETs T1 und T2 der LO-Stufe und und IN Ls,n = IN L1,nT3+der IN L2,n + IN L3,nUm . eine symboliei verschiedenen Eingängen. Die nichtlinearen Baueleder MOSFET Eingangsstufe. +∞ ente der Schaltung X sind die MOSFETs T1 und T2 der LOZur sche Bestimmung Spektralanteile an jedem Analyse derder Schaltung zu ermöglichen, mussKnotenpotenein analyan (t) = An,p ejpωb t , (13) ufe und der MOSFET T3 der Eingangsstufe. Um eine symtial wird zuerst die erste Ordnung behandelt. Da dieTrannichtlitisches Transistor-Modell verwendet werden. Für jeden p=−∞ sistor wird das folgende Modell lische Analyse der Schaltung zu ermöglichen, muss ein nearen Stromquellen IN L1,1 , INgewählt: L2,1 und IN L3,1 gleich Null wobei ωb der Basisfrequenz des zeitvarianten Elementes alytisches Transistor-Modell verwendet werden. Für jeden ent- sind, stehen im Anregungsvektor IN nur noch die exterspricht der Koeffizient An,p den Fourier-Koeffizienten nen Anregungsquellen. Anschließend wird das Gleichungsansistor wird das und folgende Modell gewählt: UOD 2 p-ter Ordnung des Taylor-Koeffizienten n-ter Ordnung darID = Kn (14) 1 + (θ UOD ) stellt. Die Basisfrequenz der Zeitvarianz jedes Elementes kann als eine zusätzliche Anregungsfrequenz im Netzwerk betrachtet werden. Dementsprechend muss für jede Ordnung mit Kn = 21 W L µ0 Cox , wobei W und L die Kanalbreite Gln. (11) erfüllt werden. Diese Darstellung erlaubt es, die und Kanallänge sind. COX ist die Gateoxid-Kapazität pro Spektralanteile der Mischfrequenzen aufgrund der NichtliFlächeneinheit und µ0 ist die Oberflächenbeweglichkeit. θ nearität und der Zeitvarianz zu bestimmen. bezeichnet die Reduzierung der Ladungsträgerbeweglich- e der Schaltung sind die MOSFETs T1 und T2 der LOund der MOSFET T3 der Eingangsstufe. Um eine symhe Analyse der Schaltung zu ermöglichen, muss ein tisches Transistor-Modell verwendet werden. Für jeden istor wird das folgende Modell gewählt: OUT 1 2 LO LO 3 RF Zur Bestimmung der Spek tial wird zuerst die erste O nearen Stromquellen I sind, stehen im Anregun nen Anregungsquellen. A keit. UOD ist die Overdrivespannung (UGS − UTH ). Adv. Radio Sci., 9, 123–129, 2011 www.adv-radio-sci.net/9/123/2011/ Signals K2gm ist Erstens der Taylor-Koeffizient zweiter och zweiund Ausnahmen. ω1 − ωLO gegen LO-Amplitude im nicht schaltenden-Betrieb nung mehrdes alsTransistors. eine externe AnreA. Susic et al.: Berechnung von Nichtlinearitätsparametern von RF MOS Mischern 127 tens ist eine Großsignalanalyvarianten Arbeitspunktes jedes e Taylorreihenentwicklung der bung des nichtlinearen Elemenbeitspunkt ergibt zeitabhängige mäß Gln. (13) in einer Fouriernnen. Da laut dieser Modellied T2 zeitvariante Arbeitspunkte storen −90 −15 Output Amplitude at 2ω2−ω1−ωLO (dBm) Output Amplitude at ω1−ωLO (dBm) Spectre Model −20 −25 −30 −35 Spectre Model −100 −110 −120 −130 −140 −150 −40 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 LO Amplitude (V) 0.04 0.045 0.05 Abb. 7. Amplitude des Spektralanteils der Ausgangsspannung bei t LO-Amplitude im nicht schaltenden-Betrieb. LO ωjkω gegen 1 − ωLO Gm,k e . (17) −160 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 LO Amplitude (V) 0.04 0.045 0.05 Abb. 8. Amplitude des Spektralanteils der Ausgangsspannung bei 2ω1 − ω2 − ωLO gegen LO-Amplitude im nicht-schaltenden Betrieb. ∞7. Amplitude des Spektralanteils der Ausgangsspannung Abb. 8. Amplitude bei des Spektralanteils der Ausgangsspannun 4.2 Ermittlung der Spektralanteile ωLO gegen LO-Amplitude im nicht schaltenden-Betrieb 2ω1 −ω2 −ωLO gegen LO-Amplitude im nicht-schaltenden Be gesetzt und die nichtlinearen Stromquellen 2-ter Ordnung 4.2.1 Nicht-schaltender Betrieb nallängenmodulation bleibt der INL1,2 , INL2,2 und INL3,2 aus den Antworten erster Ordnung bestimmt (vgl. Gln. 7). Zur Bestimmung eines KontenpotenDer ersteDa Schritt bei nichtlineader Anwendung des Verfahrens ist das7 und Abb. 8 zeigen die Verläufe der Spektralanteile T3 konstant. die tials bei der Frequenz ωp + ωq müssen die Knotenpotentiale Kleinsignalmodell n-ter Ordnung der Schaltung zu erstellen. bei den Frequenzen Analyse Ordp und q inuder Ausgangsspannung uoutω= u2ω− denerster Frequenzen ω s nichtlinearen Elementes von Das Kleinsignal-Ersatzschaltbild n-ter Ordnung der Schal1 an nung bestimmt werden. Zur Bestimmung der Spektralanteile tung für den nicht-schaltenden Betriebsfall ist in Abb. 6 geω (MNA)und 2ωder1 −ω −ω einerwird Zweitonanregung am drigererzeigt. Ordnungen abhängen, 3-ten 2und höheren Ordnungen die gleiche VorgeLO bei Über die modifizierte Knotenpunktanalyse LO erdurchgeführt. gibt sich das Transistoren folgende Gleichungssystem Schaltung imhensweise nicht-schaltenden Fall. Die Ergebnisse der romquellen der T1 für dieEingang ∧ rechnungen zeigen gute Übereinstimmungen gegenüber Y · U = IN = (15) Output Amplitude at 2ω2−ω1−ωLO (dBm) −90 Spectre Model −100 −110 −120 GL 0 gm1 u1 −130 0 GL · u2 gm2 d u3 0−140 0 −(gm1 + gm2 ) + (Cgs1 + Cgs2 ) dt gm1 uLO + IN L1,n 2 − gm22uLO + IN L2,n = −150 (Cgs1 −Cgs2 ) duLO uLO (gm2 −gm1 ) + − g u − I NLs,n m3 RF 2 2 dt −160 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 4.2.2 Schaltender Betrieb Bei dem schaltenden Betrieb führt die große Amplitude des LO-Signals zum Schalten der Transistoren T1 und T2. Da in diesem Fall das System bzgl. dem LO-Eingang stark nichtlinear ist, ist eine Analyse des Systems mit Annahme einer schwachen Nichtlinearität unzulässig. Um dieses Problem zu lösen wird das LO-Signal als Teil des Systems betrachtet. Somit kann die Schaltung als ein zeitvariantes schwach nichtlineares System bzgl. des RF-Eingangs modelliert werden. (V) 1 wobei uk das Potential an LO denAmplitude Knoten k darstellt, GL = RL und INLs,n = INL1,n + INL2,n + INL3,n . Zur Bestimmung der Spektralanteile an jedem KnotenDie Anwendung des Verfahrens zur Bestimmung der potential wird zuerst die erste Ordnung behandelt. Da die Spektralanteile bei dem schaltenden Mischer hat die gleinichtlinearen Stromquellen INL1,1 , INL2,1 und INL3,1 gleich che Vorgehensweise wie bei dem Fall des nicht-schaltenden 8. Amplitude der bei Null sind, des stehenSpektralanteils im Anregungsvektor IN nur Ausgangsspannung noch die exterMischers. Es ergeben sich jedoch zwei Ausnahmen. Ernen Anregungsquellen. Anschließendim wirdnicht-schaltenden das Gleichungs−ω2 −ωLO gegen LO-Amplitude Betrieb stens wird das LO-Signal nicht mehr als eine externe Ansystem für jede Anregungsfrequenz ωm , m = 1..M, der exregungsquelle behandelt. Zweitens ist eine Großsignalanalyternen Anregungsquellen gelöst (vgl. Gln. 12). se zur Bestimmung des zeitvarianten Arbeitspunktes jedes Elementes vorausgesetzt. Eine Taylorreihenentwicklung der Y(ωm ) · U(ωm ) = IN(ωm ) (16) Eingangs-Ausgangs Beschreibung des nichtlinearen Elemenoutder Spektralanteile 2 1 der ersten Ordnung 1 zeitvarianten Arbeitspunkt ergibt zeitabhängige Nach Bestimmung tes um den ω1m für m an jedem Knoten, kann nun das GleiTaylor-Koeffizienten, die gemäß Gln. (13) in einer Fourier2 = 1..M LO chungssystem für die zweite Ordnung n = 2 gelöst werden. Reihe entwickelt werden können. Da laut dieser ModellieZunächst werden die externen Anregungsfrequenzen zu Null rung die Transistoren T1 und T2 zeitvariante Arbeitspunkte bb. 7 und 8 zeigen die Verläufe der Spektralanteile der gangsspannung u = u − u an den Frequenzen ω − und 2ω −ω −ω bei einer Zweitonanregung am RFang im nicht-schaltenden Fall. Die Ergebnisse der Benungen zeigen gute Übereinstimmungen gegenüber der www.adv-radio-sci.net/9/123/2011/ Adv. Radio Sci., 9, 123–129, 2011 128 A. Susic et al.: Berechnung von Nichtlinearitätsparametern von RF MOS Mischern Abb. 9. Amplitude des Spektralanteils der Ausgangsspannung bei ω1 − ωLO gegen der LO-Amplitude im schaltenden Betrieb. Abb. 10. Amplitude des Spektralanteils der Ausgangsspannung bei 2ω1 − ω2 − ωLO gegen der LO-Amplitude im schaltenden Betrieb. besitzen gilt für beide Transistoren zen ω1 − ωLO und 2ω1 − ω2 − ωLO bei einer Zweitonanregung (ω1 , ω2 ) am RF-Eingang im nicht-schaltenden Fall. Die Ergebnisse der Berechnungen zeigen gute Übereinstimmungen gegenüber der Simulationen mit SpectreRF. In Abb. 7 ist zu sehen, dass die Amplitude des abwärtsgemischten Signal mit der LO-Amplitude steigt. Dies ist aufgrund der Multiplikation des RF-Signals mit der Amplitude des LO-Signals. Die Amplitude des Spektralanteils aus der Intermodulation 3. Ordnung nimmt auch mit der LO-Amplitude zu (Abb. 8), da die Nichtlinearität im System mit größerer LO-Amplitude stärker ausgesteuert wird. Die Ergebnisse der Berechnungen für den schaltenden Fall sind in den Abb. 9 und 10 gezeigt. Die Ergebnisse zeigen gute Übereinstimmungen gegenüber der Simulationen mit SpectreRF. Wie im nicht-schaltenden Fall steigt die Amplitude des abwärtsgemischten Signals mit der LO-Amplitude (vgl. Abb. 9). Da mit höheren LO-Amplituden die Zeitabschnitte, in den die beiden Transistoren T1 und T2 zusammen aktiv sind, abnehmen, nimmt der Einfluss der Nichtlinearität beider Transistoren auf das Ausgangsverhalten ab. Dies ist auch in Abb. 10 zu sehen, wo die Amplitude des Spektralanteils aus der Intermodulation 3. Ordnung mit der LO-Amplitude abnimmt. gm (t) = +∞ X Gm,k ej kωLO t . (17) k=−∞ Bei Vernachlässigung der Kanallängenmodulation bleibt der Arbeitspunkt von Transistor T3 konstant. Da die nichtlinearen Stromquellen n-ter jedes nichtlinearen Elementes von den Taylor-Koeffizienten niedrigerer Ordnungen abhängen, sind auch die nichtlinearen Stromquellen der Transistoren T1 und T2 zeitabhängig. 4.2.3 Ergebnisse der Berechnungen Das Verfahren wurde für den einfach balancierten Mischer in MAPLE implementiert. Berechnungen der Spektralanteile an jedem Knotenpotential wurden durchgeführt und semi-symbolische Ausdrücke für diese in Abhängigkeit der Entwurfs- und Prozessparameter ermittelt. Als Beispiel ist die Amplitude des Spektralanteils an Knoten 3 bei der Frequenz ω1 − ωLO für den nicht-schaltenden Betrieb: uout (ω1 − ωLO ) = gm3 Ain ALO (K2gm1 gm2 − K2gm2 gm1 ) (gm1 + gm2 )3 (18) 5 Ain ist die Eingangsamplitude, ALO ist die Amplitude des LO-Signals und K2gm ist der Taylor-Koeffizient zweiter Ordnung des Transistors. Abbildungen 7 und 8 zeigen die Verläufe der Spektralanteile der Ausgangsspannung uout = u2 − u1 an den FrequenAdv. Radio Sci., 9, 123–129, 2011 Zusammenfassung In dieser Arbeit wurde ein Verfahren zur Bestimmung der Spektralanteile der Zustandsgrößen in einem Mischer basierend auf der Methode der nichtlinearen Stromquellen vorgestellt. Im Gegensatz zu Verfahren, wo eine www.adv-radio-sci.net/9/123/2011/ A. Susic et al.: Berechnung von Nichtlinearitätsparametern von RF MOS Mischern Eingangs-Ausgangs Beschreibung des Gesamtsystems erforderlich ist, handelt es sich hier um ein elementbasiertes Verfahren. Dies erlaubt die Berechnung der Spektralanteile jedes Knotenpotentials sowie Zweigstromes in der Schaltung. Ein wesentlicher Vorteil des Verfahrens ist die Möglichkeit semi-symbolische Ausdrücke für die Spektralanteile herzuleiten. Das Verfahren wurde auf einfach balancierte Mischer, sowohl im schaltenden als auch nicht-schaltenden Betrieb angewandt. Die Implementierung des Verfahrens in dem Computeralgebraprogramm MAPLE erlaubte die Bestimmung semi-symbolischer Ausdrücke für die Spektralanteile in Abhängigkeit der Entwurfs- und Prozessparameter. Die erzielten numerischen Ergebnisse zeigten gute Übereinstimmungen mit den Simulationen aus SpectrRF. Literatur Bedrosian, E. und Rice, O.: The output properties of Volterra systems (nonlinear systems with memory) driven by harmonic and Gaussian inputs, Proc. IEEE, 59(12), 1688–1707, 1971. Bussgang, J. J. Ehrman, L., und Graham, J. 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