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Seite 14 von 25
Grundlagen der Elektrotechnik
Kapitel: Elektrodynamik
719
Wellengleichung der
elektromagnetischen
Welle
726
Differenzialoperator
„Nabla“
im dreidimensionalen
kartesischen
Koordinatensystem

2 E 1

x 2 c2

2 B 1

x 2 c 2

2 E
;
2
t

2 B
;
t 2
Veränderliche elektrische und magnetische Felder erzeugen
einander gegenseitig.
Der Nabla Operator ist ein vektorieller Differentialoperator
und hat allein stehend keine Bedeutung. Er muss auf ein
Skalar oder einen Vektor angewendet werden.
gradf  f


div v    v


rot v   v
  
 
 x 
   
 
y
 
  
 
 z 
2   ... Laplace Operator
729
Laplace-Operator
f  div  gradf  

728
d’Alembert-Operator
Skalarfelder f  x,y,z  die der Laplacegleichung f  0
 2
2
2 
 2  2  2 
x
y
z 




 2f  2f  2f


x 2 y 2 z 2
genügen, sind quellen- und wirbelfrei, wegen:

F  grad f

divF  div  grad f   f  0

rotF  rot  grad f   0
1 2
1 2



 2   2  2  2  2  2 ;
2
c t
c t x y z
Der d’Alembert Operator ist ein linearer Differentialoperator der
zweiten Ordnung. Er stellt eine Verallgemeinerung des Laplace
Operators für den 4 dimensionalen Minkowski Raum dar und findet
daher im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) Anwendung.
wobei:
c … Lichtgeschwindigkeit
In einem Skalarfeld wird jedem Punkt P Px ,Py ,Pz  des vom Feld erfüllten Raums
720
Skalarfeld
f  f  x,y,z 
ein bestimmter Absolutwert FP  F  xP ,yP ,zP  zugeordnet.
Beispiele für Skalarfelder sind die Temperatur in einem Raum oder das Potential.
In einem Vektorfeld wird jedem Punkt P Px ,Py ,Pz  des vom
721
Vektorfeld
Feld erfüllten Raums ein bestimmter Vektor (Betrag,
 
Richtung, Orientierung) VP  V  xP , yP ,zP  zugeordnet.
 
v  v  x, y, z 
Beispiele für Vektorfelder sind der Wärmefluss oder die
elektrische oder magnetische Feldstärke.
722
723
Gradient eines
Skalarfeldes
 f f f  
gradf   , ,   f
 x y z 
Der Gradient gibt die Richtung des
steilsten Anstiegs des Skalarfeldes an.
Das Resultat ist ein Vektorfeld.
Divergenz eines
Vektorfeldes
  v v v   
divv   x  y  z     v
 x y z 
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist
ein Maß für die Existenz von Quellen
oder Senken. Das Resultat ist ein
Skalarfeld.
Stand vom: 04.06.2016
Die jeweils aktuellste Version findet sich auf: maths2mind.com
Das Produkt des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld
f(x,y,z) nennt man Gradient. Der Gradient ordnet einem
Skalarfeld ein Vektorfeld zu, welches die Richtung der
größten Zunahme des Skalarfelds anzeigt.
Das Skalarprodukt vom Nabla-Operator mit einem

Vektorfeld v nennt man Divergenz. Die Divergenz ist ein
Skalarfeld, welches für jeden Punkt des Raums angibt, ob

dort Feldlinien entstehen (Quelle) div v  x   0 oder

verschwinden (Senke) div v  x   0 .
Die Divergenz ist am Ort einer positiven Punktladung
größer Null, da dort Feldlinien entstehen.
Für dieses Werk nehmen wir u.a. §40f und §6 UrhG in Anspruch.
Es darf unentgeltlich weitergegeben, jedoch nicht verändert werden.
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Grundlagen der Elektrotechnik
Kapitel: Elektrodynamik
724
725
727
Rotor eines
Vektorfeldes
Divergenz der Rotation
eines Vektorfeldes ist
Null
Rotation des
Gradienten eines
Skalarfeldes ist Null
 v z v y 



 y z 
  v v   
rotv   x  z    v
 z x 
 v y v x 



 x y 
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein
Maß für Drehbewegungen bzw. für die
Wirbel des Vektorfeldes. Das Resultat
ist ein Vektorfeld.


div rotv    v  0;


rot  grad f    f   0;

Gauß’scher
Integralsatz

Das Volumenintegral der Divergenz eines Vektorfeldes v

ist gleich dem Oberflächenintegral des Vektorfeldes v über
eine geschlossene Oberfläche O.

V
O
 dv ....   do...
V
766
Das Volumenintegral steht dabei für die im Volumen
enthaltenen Quellen oder Senken und Oberflächenintegral
steht für den Fluss des Vektorfeldes durch die geschlossene
Oberfläche.

Das Oberflächenintegral der Rotation eines Vektorfeldes v
über eine beliebige Flache A ist gleich dem Linienintegral

des Vektorfeldes v längs einer geschlossenen Linie s.
O


 rot v  dA   v ds
Stokes’scher
Integralsatz
A
Der Wirbelfluss durch die Oberfläche eines räumlichen
Bereichs ist gleich Null, da dabei die Randkurve s der
geschlossenen Fläche auf einen Punkt zusammengezogen
wird, verschwindet das zugehörige Linienintegral.
s
 dA ...   ds...
A
Wirbelfelder sind quellenfrei
Skalarfelder sind wirbelfrei
 div v dV  
 v do
765
Das Kreuzprodukt vom Nabla-Operator mit einem

Vektorfeld v nennt man Rotation. Die Rotation ist ein

Vektorfeld, welches angibt, wie stark sich das Vektorfeld f
in eine bestimmte Koordinatenrichtung ändert.
s

Der Wirbelfluss des Vektorfeldes v ist für alle Flächen die
von der gleichen Randkurve s berandet werden gleich
gross, dh. unabhängig von der Gestalt der Fläche.
767
D-E-B-H Feldtheorie
der Elektrodynamik
elektrische Felder
 
 
V
C
E x, t in bzw. D x, t in 2
m
m
magnetische Felder
 
 
A
H x, t in
bzw. B x, t in T
m
 
 
 
 
Stand vom: 04.06.2016
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Die Elektrodynamik ist eine Feldtheorie für das elektrische
und das magnetische Feld, wobei zu jedem Zeitpunkt t und

an jedem Raumpunkt x j e ein Vektor D-E-B-H definiert ist.
Die 4 Maxwell'schen Gleichungen bilden die Basis der
Theorie des elektromagnetischen Feldes.
Für dieses Werk nehmen wir u.a. §40f und §6 UrhG in Anspruch.
Es darf unentgeltlich weitergegeben, jedoch nicht verändert werden.
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Grundlagen der Elektrotechnik
Kapitel: Elektrodynamik
768
4 Formen der
4 Maxwell
Gleichungen
769
Maxwellgleichungen
für stationäre und für
dynamische Felder
770
Integralform und
Differentialform der
Maxwellgleichungen
Man unterscheidet folgende Formen der Maxwellgleichungen:

nach der Art des Feldes:
o
stationäres Feld
o
zeitlich rasch veränderliches Feld

nach der Schreibweise:
o
Differentialform
o
Integralform

Die stationären Maxwellgleichungen gelten für zeitunabhängige Felder. Es kann das E und
das B-Feld unabhängig voneinander betrachtet werden.

Die dynamischen Maxwellgleichungen gelten auch für sich zeitlich rasch veränderliche
Felder und sind eine Vervollständigung der statischen Maxwellgleichungen. Diese
Formulierung der Maxwellgleichungen stellt ein System gekoppelter
Differentialgleichungen dar.


Die Differentialform der Maxwellgleichungen geht von Wirbeldichte und Quellendichte aus.
Die Integralform der Maxwellgleichungen geht von Wirbelstärke und Quellenstärke aus.
 
A
… Leitungsstromdichte wobei:
S L x , t in
m
 
im stationären Feld:
 
rotH  SL
771
1. Maxwellgleichung
in Differentialform
im sich zeitlich rasch verändernden Feld:


  D
 D
rotH  SL 
 elwahr v 
;
t
t


E
SL  el
wahr


D   E;


B  H
c0 



  
 
E 
S
1 E
rotB   B  0  SL   0   L 2  2
;
t   0  c c t

1
;
0   0
Solange sich ein elektrisches Feld ändert, ist es von
ringförmig geschlossenen magnetischen Feldlinien
umgeben.
Magnetische Felder sind Wirbelfelder und entstehen im
Raum um elektrische Ströme.
im stationären Feld:
772
773
2. Maxwellgleichung
in Differentialform
3. Maxwellgleichung
in Differentialform

rotE  0
im sich zeitlich rasch verändernden Feld:


B
rotE   ;
t
im stationären Feld:

divD  elwahr
im sich zeitlich rasch verändernden Feld:
 
divE  ;
0
im stationären Feld:
774
775
4. Maxwellgleichung
in Differentialform
Verknüpfungs
beziehungen zu den
Maxwellgleichungen

divB  0
im sich zeitlich rasch verändernden Feld:

divB  0;
im stationären Feld:

 
D  0 E  P



 
B  0 H  0 M  0 H  J
im sich zeitlich rasch verändernden Feld:


D   E


B   H

Anmerkung zur elektrischen Polarisation P


P   e 0  E

 
D  0  E  P
Solange sich ein Magnetfeld ändert, ist es von
ringförmig geschlossenen elektrischen Feldlinien
umgeben
mit:
 … wahre elektrische Ladungsdichte
D … elektrische Verschiebungsstromdichte


wobei: D    E;
Elektrische Felder sind Quellenfelder, deren Quellen die
elektrischen Ladungen sind.
Magnetische Felder sind immer Quellenfrei. Es gibt
keine magnetischen Ladungen und keine
magnetischen Monopole. Magnetische Feldlinien sind
immer geschlossen.
 
C As
P x,t in 2  2 … elektrische Polarisation: In
m m
Materie ist die elektrische Polarisation zusätzlich zu den
wahren elektrischen Ladung eine Quelle der
elektrischen Feldstärke, da in Summe elektrisch
neutraler Materie Oberflächenladungen das elektrische
Feld im Inneren des Körpers abschwächen.
 
A
M x,t in
… Magnetisierung
m
 
J x,t in T … magnetische Polarisation
 
 
 
 e … elektrische Suszeptibilität, dimensionslose
Polarisationskonstante
Stand vom: 04.06.2016
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Grundlagen der Elektrotechnik
Kapitel: Elektrodynamik
776
1. Maxwellgleichung
in Integralform
Ampere’sches Gesetz
2. Maxwellgleichung
in Integralform
777
Faraday’sches
Induktionsgesetz

  dD  
s H ds  A dt dA  I
Mit Berücksichtigung des Maxwell’schen
1   
Verschiebungsstroms 2  E dA;
c t
 
1   
 B ds  0I  c2 t  E dA;

dB 
 
 E ds    dt dA
s
A
mit:
I .. Konvektionsstrom
Das Linienintegral eines Magnetfeldes über eine
Schleife ist proportional zum Strom durch die Schleife.
Änderungen der magnetischen Induktion erzeugen ein elektrisches Feld von
gleichem Betrag aber umgekehrten Vorzeichen.
Ladungen Q sind die Quellen des elektrischen Feldes.
3. Maxwellgleichung
in Integralform
 
 D dA  Q
A
778
Gaußscher Satz für die
elektrische Feldstärke
(im Vakuum)
  Q
 E dA  0
Der Gauß’sche Satz stellt den Zusammenhang her zwischen der von einer Fläche
eingeschlossenen Ladung und der elektrischen Feldstärke auf einem Punkt einer
die Ladung umgebenden Gauß’schen Fläche dar.
wobei:

A ist jener Flächenvektor, der senkrecht auf die Oberfläche steht und nach außen
zeigt.

 dA ist das Flächenintegral über die geschlossene Oberfläche, somit über die
Hülle des Voumens
 
 E dA Fluß des E-Vektorfeldes durch die Oberfläche A
Der Fluss  eines elektrischen Feldes durch eine geschlossene gauß‘sche Fläche
ist proportional zur eingeschlossenen Ladung.
  0; keine Ladung eingeschlossen,
  0; Ladung eingeschlossen
Der Gauß’sche Satz für die elektrische Feldstärke sagt somit aus, dass wenn das
Flächenintegral positiv / negativ ist, die Summe der von der Oberfläche eingeschlossenen Ladung positiv / negativ sein muss. Positive Ladungen sind daher die
Quellen des elektrischen Feldes, und negative Ladungen sind dessen Senken.
4. Maxwellgleichung
in Integralform
779
Gaußscher Satz für die
magnetische Induktion
(im Vakuum)
 
 B dA  0;
A
Magnetfelder haben keine Quellen oder Senken, da es keine magnetischen
Monopole gibt, die Feldlinien sind in sich geschlossen.
Uind … induzierte Spannung in V
 … magnetische Fluss in Wb
t … Zeiteinheit
780
Induktionsgesetz
d
Uind  
;
dt
Die pro Windung induzierte Spannung ist proportional zur Änderung des
magnetischen Flusses durch die Spule pro Zeiteinheit.
dI
Uind  L  ;
dt
L … Induktivität der Spule
dI
… Änderung der Stromstärke pro Zeiteinheit
dt
Stand vom: 04.06.2016
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Kapitel: Elektrodynamik
781
Durchflutungssatz
 
 
  n
   H ds   rotH dA   SL dA   Ik
s
782
k 1
 
   D dA
Elektrischer Fluss
 …As=C
n
 

   D dA   divD dV    dV   Qk
o
783
Elektrischer Hüllenfluss
A
784
785
V
Magnetischer Fluss
Magnetischer
Hüllenfluss
k 1
 
   B dA
 … Vs=Wb
 

   B dA   divB dV  0
o
A
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