Skript (PDF-Format) - Lehrstuhl für Elektronik

Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich E
Elektrotechnik, Informationstechnik, Medientechnik
Lehrstuhl für Elektronik
Elektronische Bauelemente
(Bachelor ET)
Grundzüge der Elektronik
(Bachelor IT)
Grundzüge der Elektronik II
(Hauptstudium Diplom II)
Überarbeitetes Skriptum
Stand: Oktober 2000
Dozent: Prof. Dr. rer. nat. Ludwig Josef Balk
Kapitel 1
-1-
Kapitel I
STRUKTUR VON WERKSTOFFEN
1.
Die chemische Bindung
Das Entstehen eines (in der Regel festen) Werkstoffes ist bedingt durch das Bestreben
der Einzelatome, sich zu energetisch begünstigten Einheiten (Molekülen) zu
verbinden. Es existieren folgende Bindungsarten:
Primäre Bindungstypen:
- Ionenbindung
- Elektronenpaar- oder kovalente Bindung
- Metallische Bindung
Sekundäre Bindungstypen:
- Van-der-Waals-Bindung
- Wasserstoffbrückenbindung
Während die primären Bindungen auf Ladungsaustausch basieren, beruhen die
sekundären Bindungstypen auf Dipolwechselwirkung und sind somit im Vergleich zu
den primären Typen als schwach anzusehen. Primäre und sekundäre Bindungen
können parallel zueinander existieren.
Das Ziel der Einzelatome ist das Erreichen der Edelgaskonfiguration. Edelgaskonfiguration heißt, daß auf dem äußeren Elektronenniveau (gekennzeichnet durch die
Hauptquantenzahl n) die beiden Unterniveaus der s- und p-Elektronen aufgefüllt sind.
Alle anderen Unterniveaus sind leer.
Edelgaskonfiguration: ns 2 np 6
Beispiel n = 3:
.... 3s 2 3p 6
Ausnahmen sind die Elemente H, He, Li, Be und B bzw. ihre Ionen, deren
Edelgaskonfiguration mit 1s 2 gegeben ist.
Zur Beschreibung der Elektronenhülle wird das wellenmechanische Atommodell
verwendet, das im Gegensatz zum Bohrschen Atommodell auch den Magnetismus und
die Struktur der Atome erklären kann. Ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines
Elektrons auf der s-Schale noch einfach als Kugelschale zu beschreiben, so ergeben
sich schon für die Elektronenbahnen des p-Zustandes kompliziertere Verhältnisse.
Beim p-Zustand z. B. existieren drei hantelförmige Orbitale mit verschiedenen
Raumlagen (m = -1, 0, 1). Die ausgeprägte Richtungsabhängigkeit der p-Elektronen ist
auch in den Bindungen wiederzufinden, da sie entscheidend den Bindungswinkel bei
mehratomigen Molekülen beeinflußt.
-2-
Abb. 1.1-1:
Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit
eines Elektrons für
verschiedene Zustände
Abb. 1.12:Dreidimensionale
angulare Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines
2p-Elektrons
Abb. 1.1-3:
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des
2p-Elektrons innerhalb der
(willkürlich gewählten)
xy - Ebene
Kapitel 1
-3-
1.1
Kapitel 1
Primäre Bindungstypen
1.1.1 Ionenbindung
Die Ionenpaarbindung ist besonders begünstigt, wenn Atome der Hauptgruppe I und
VII des Periodensystems beteiligt sind, da dann durch Aufnahme bzw. Abgabe nur
eines Elektrons bereits die Edelgaskonfiguration erreicht werden kann.
Beispiel:
Kochsalz (NaCl)
Na (Z=11) 1s 2 2s 2 2 p 6 3s
→ Na + 1s 2 2s 2 2 p 6
Cl (Z=17) 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3p 5 → Cl − 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3p 6
Aufgrund der Elektronengaskonfiguration ist die Ladungsverteilung der beiden Ionen
näherungsweise als kugelsymmetrisch zu betrachten, so daß man hier von einer
isotropen Situation ausgehen kann. Die Anziehungskräfte zwischen den Ionen und
somit die Bindung selbst sind ungerichtet. Bei Elementen, die zum Erreichen der
Edelgaskonfiguration zwei oder drei Elektronen aufnehmen bzw. abgeben müssen,
nimmt der Anteil der Ionenbindung ab, so daß die Bindung ganz oder teilweise auf
Elektronenpaar- oder kovalenter Bindung beruht. Die Ionenbindung führt zur
Ausbildung kubisch-flächenzentrierter Kristallgitter, relativ weicher Kristalle mit sehr
hoher Packungsdichte (74%) .
1.1.2 Elektronenpaar- oder kovalente Bindung
Bei Molekülen, gebildet aus Atomen der Hauptgruppen II und VI (z. B. ZnSe) sowie
entsprechend aus Gruppen III und V (z. B. GaAs) tritt neben der Ionenbindung
(Zn 2+ + Se 2− bzw. Ga 3+ + As 3− ) noch anteilig die kovalente Bindung auf. Das hat zur
Folge, daß sich je ein Elektron des einen Atoms an ein Elektron des anderen Atoms
lagert, so daß beide statistisch zu beiden Elektronenhüllen gehören (somit ergeben
sich für das ZnSe zwei, für das GaAs drei Elektronenpaare). Die
Elektronenpaarbindung tritt immer auf, wenn sich Atome desselben Elementes
miteinander binden. Dies ist dann der Fall, wenn sich durch die geometrische
Anordnung weniger Atome (meist zwei oder drei) die Edelgaskonfiguration für alle
beteiligten Atome ergibt. In Abb. 1.1-4 ist als Beispiel für die kovalente Bindung das
Wasserstoffmolekül dargestellt, bei dem sich durch die gemeinsame Nutzung der 1sElektronen für beide H-Atome die Edelgaskonfiguration ergibt. In gleicher Weise
binden sich die Halogenatome untereinander.
Abb. 1.1-4:
ElektronenaufenthaltsWahrscheinlichkeit im
H 2 - Molekül
Kapitel 1
-4-
Beispiel:
Ist die Edelgaskonfiguration bereits erreicht, wenn zwei Atome eine Elektronenpaarbindung
eingehen, so bleibt (meistens) ein gasförmiger Zustand erhalten (Ausnahme: Brom flüssig).
Sind mehrere Atome an der Elektronenpaarbindung beteiligt, ergibt sich der Festkörperzustand.
Wesentliche Eigenschaft der kovalenten Bindung ist ihre starke Richtungsabhängigkeit, die
beim Aufbau von Kristallstrukturen entscheidend ist. Bei kleinen Atomen (kleine
Ordnungszahl z) ist die Richtungsorientierung der p-Orbitale besonders hoch .
Elemente der IV. Hauptgruppe des Periodensystems bilden nicht nur untereinander, sondern
auch in Verbindung mit anderen Atomsorten ausschließlich kovalente Bindungen. So benötigt
Kohlenstoff [C (z=6) 1s 2 2s 2 2 p 2 ] viele Atome in regelmäßiger Anordnung, da zum einen
vier Bindungspartner benötigt werden, zum anderen berücksichtigt werden muß, daß die
Elektronen der äußeren Schale gleichstarke Bindungen ausbilden, jedoch wegen der
Aufenthaltswahrscheinlichkeit der p-Elektronen stark richtungsabhängig sind.
So ergibt sich für Kohlenstoff in rein kovalenter Bindung mit sich selbst die Diamantstruktur
bzw. mit einem zusätzlichen Anteil metallischer Bindung amorphe Kohle bzw. Graphit.
Aufgrund der starken Richtungsabhängigkeit der kovalenten Bindung ergibt sich
- eine starke Richtungsfestlegung des Kristallgitters,
- eine hohe Festigkeit und Härte,
- eine niedrige Packungsdichte (Bsp.: Diamant 34 %).
Die Richtungsfestlegung erzwingt für die Bindung charakteristische Winkel, von denen einige
in folgender Tabelle aufgeführt sind.
Element
Winkelbeschreibung
P
P-P-P
As
As-As-As
Sb
Sb-Sb-Sb
Bi
Bi-Bi-Bi
S
S-S-S
Se
Se-Se-Se
Te
Te-Te-Te
H2S
H-S-H
H2O
H-O-H
NH3
H-N-H
Tab. 1.1-1: Bindungswinkel bei kovalenter Bindung
Bindungswinkel
99°
97°
96°
94°
107°
104°
104°
92°
104°
107°
Anmerkung zum Winkel 104°: Dieser Winkel ist in einem Kristallgitter nicht präzise
gegeben. Dies wird z. B. bei gefrorenem Wasser insofern kompensiert, als sich die
Kristallstruktur ständig ändert. So kommt es zur Ausbildung der verschiedensten Kristallgitter
(vgl. "Eisblumenbildung" im Winter).
-5-
Kapitel 1
1.1.3 Metallische Bindung
Der Ursprung der metallischen Bindung ist das Bestreben von Atomen mit nur einem
(maximal drei) Elektron auf der äußersten Schale untereinander eine kovalente
Bindung zu realisieren. Zu diesem Zweck sind jedoch eine große Zahl von
Elektronenpaarbindungen aufzubauen.
Beispiel:
Na (Z=11) 1s 2 2s 2 2 p 6 3s1
Da jedes 3s-Elektron von 8 Atomen gleichzeitig zur Bildung eines Elektronenpaares
genutzt werden muß, verliert es den Bezug zu seinem ursprünglichen Atom und
verhält sich quasi wie ein freies Elektron (Literatur: quasi-freies Elektron). Somit ist
nur eine geringe Ionisierungsenergie für diese Stoffe notwendig. Dieser
Zusammenhang wird in der "Freie-Elektronen"-Theorie von Drude beschrieben.
Die ionisierten Atomrümpfe besitzen wieder eine Edelgaskonfiguration, so daß eine
isotrope Situation vorliegt. Somit kristallisieren die Metalle, bei denen ausschließlich
diese Bindung vorliegt, in einer dichtesten Kugelpackung (2/3 aller Metalle sind
kubisch flächenzentriert).
"Schaumgummi-Modell": Man kann die metallische Bindung mit einem Schwamm vergleichen, bei
dem der Atomverband dem Schwamm und die quasi freien Elektronen dem Wasser entsprechen.
1.2
Sekundäre Bindungstypen
Bei den sekundären Bindungstypen erfolgt kein Ladungsaustausch. Die sekundären
Bindungen beruhen auf elektrostatischen Dipolwechselwirkungen. Man unterscheidet
zwischen Bindungen über fluktuierende Dipole und Bindungen über permanente
Dipole. Die sekundäre Bindungswirkung ist gegenüber den anderen Bindungsarten als
schwach einzuordnen .
1.2.1 Die Van-der-Waals-Bindung
Dieser immer vorhandene Bindungstyp tritt auf durch die Wechselwirkung
fluktuierender Dipole. Diese Fluktuation läßt sich statistisch erfassen und beschreiben.
Da die bei der Van-der-Waals-Bindung auftretenden Kräfte sehr gering sind, müßten
alle anderen Bindungstypen gleich oder fast null sein, damit die Van-der-WaalsBindung zum Tragen kommt. Da ausschließlich (zeitlich) fluktuierende Dipole eines
im zeitlichen Mittel jedoch symmetrischen Atoms die Kräfte zwischen den Atomen
bewirken, ist die Van-der-Waals-Bindung praktisch isotrop. Dies kommt z. B. bei
Edelgasen zum Tragen, die in der Nähe des absoluten Nullpunktes in der dichtesten
Kugelpackung kristallisieren (alle anderen Bindungstypen sind bei diesen Elementen
nicht vorhanden).
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Kapitel 1
1.2.2 Wasserstoffbrückenbindung
Die Wasserstoffbrückenbindung erfolgt über die Wechselwirkung permanenter
Dipole. So bildet das H-Atom im Rahmen einer kovalenten Bindung einen Dipol mit
dem Restmolekül.
Beispiel:
Wassermolekül
Beim Wasser z. B. ist das O 2− - Atom der negative Ladungsschwerpunkt, während die
H + - Atome gemeinsam den positiven Ladungsschwerpunkt bilden. Diese Dipole
lagern sich über elektrostatische Wirkung wegen ihrer endlichen Ausdehnung in
gerichteter Form an den jeweiligen Bindungspartner an, wodurch die
Wasserstoffbrückenbindung stark anisotrop ist. Die Wasserstoffbrückenbindung wirkt
entscheidend bei allen organischen Verbindungen, wie z. B. Kunststoffen, da diese
viele polare OH-Gruppen besitzen.
Durch diesen Umstand und die Hantelgeometrie des H 2 O - Moleküls ergeben sich die
verschiedenen Kristallstrukturen bei der Eisbildung.
Abb. 1.1-5:
Dipolkräfte zwischen
polaren Molekülen
a) zeigt die Richtung der
Wechselwirkungen zwischen
H 2 O - Molekülen
b) zeigt die Richtung der
Wechselwirkungen zwischen
HF-Molekülen
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2.
Kapitel 1
Die Struktur von Kristallen
Im folgenden Kapitel sollen kristalline Stoffe betrachtet werden. Bildet sich aus einer
oder mehreren Atomsorten ein kristalliner Stoff, also ein regelmäßig geordneter Fest körper, so läßt sich dessen Struktur mit dem Kristallgitter beschreiben. Das
Kristallgitter ist ein mathematisches Modell, in das chemische Grundlagen eingehen.
Das Streben von Stoffen nach einer idealen Kristallstruktur wird durch äußere
Einflüsse gestört, so daß Defekte im realen Kristall auftreten. Bei realen Kristallen
treten immer Störungen auf, die auf den Einfluß von Temperatur und Schwerkraft
sowie auf Verunreinigungen zurückzuführen sind.
Eine weitere Störung ist die Oberfläche, da hier die ideale Struktur abrupt aufhört,
wodurch es zu Veränderungen der Gitterstruktur kommt. Für kubische Gitter sowie
auch für zusammengesetzte kubische Gitter gilt für alle ihrer richtungsabhängigen
Eigenschaften:
→
→ →
a = M⋅ b
⇒
→
→
a = m⋅ b
m 0 0 
→ 

Hierbei geht der Tensor M =  0 m 0  in ein Skalar über, d. h. kubisch


 0 0 m
kristallisierende Stoffe zeigen isotropes Verhalten.
1. Kristallgitter = Gitter (mathematisch) + Basis (chemische Formel pro Gitterplatz)
2. Als "reines" Material bezeichnet man Stoffe von weniger als 0,1 ppb (engl.: part per
billion = 1:10 9 ).
2.1
Ideale Kristalle
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, einen Kristall zu beschreiben:
a) mit Hilfe der Elementarzelle;
b) mit Hilfe der Einheitszelle.
Definition Elementarzelle:
Unter einer Elementarzelle versteht man die kleinste Struktur, durch die bei
regelmäßiger Fortsetzung ein Kristall aufgebaut werden kann, d. h., daß diese Struktur
nur einen Gitterplatz benötigt, das kleinste Volumen und die kleinste Oberfläche
besitzt.
Definition Einheitszelle:
Eine Einheitszelle besteht aus mehr als einem Gitterplatz pro Zelle. Ihre Struktur gibt
die Werkstoffeigenschaften des Stoffes wieder.
-8-
Abb. 1.2-1:
Kapitel 1
Darstellung von Einheits- und Elementarzelle für kfz-, krz- und hex-Gitter,
wobei die durchgezogenen Linien die Elementar-, die gestrichelten Linien die
Einheitszellen darstellen
Alle Elemente ohne richtungsabhängige Bindungsanteile sind bestrebt, in einer Struktur
größter Packungsdichte zu kristallisieren. Die Packungsdichte D ist gegeben durch
D=
Volumen der Atome pro Einheitszelle
Volumen der Einheitszelle
Die größte Packungsdichte ist 74 %. Sie tritt auf beim kubisch-flächenzentrierten (kfz) Gitter
[engl.: face-centered cubic (fcc)] , sowie beim hexagonalen (hex) Gitter [engl.: hexagonal
closed package (hcp)]. Bedingt durch geringe Bindungseinflüsse unterscheiden sich die
beiden Strukturen nur in der Stapelfolge, so daß das kfz-Gitter richtungsunabhängig bleibt,
während das hex-Gitter eine Richtungsabhängigkeit besitzt.
Abb. 1.2-2:
Dichteste Kugelpackung mit
74 % Packungsdichte für
a) das hexagonale Gitter mit
der Stapelfolge AB AB ...
b) das kubisch flächenzentrierte
Gitter mit der Stapelfolge
ABC ABC...
Kapitel 1
-9-
Zwei Drittel aller Metalle kristallisieren mit höchster Packungsdichte.
Beispiel:
kfz-Gitter
hex-Gitter
Aluminium
Kupfer
Nickel
Gold
Magnesium
Zink
Kobalt
Durch Temperatureinwirkung sind zum Teil Übergänge zu einem anderen Gitter möglich
(siehe Abb. 1.2-3).
Beispiel:
Fe:
< 911°C
krz (α-Eisen)
911°C < t < 1400°C kfz (γ-Eisen)
> 1400°C
krz (δ-Eisen)
Abb. 1.2-3:
Darstellung der
Kristallisationsart
bei Fe in Abhängigkeit von der Temperatur
Ist die Bindung bei Metallen geringfügig durch einen kovalenten Einfluß richtungsabhängig,
so ist die stapelmäßig günstigste Anordnung nicht mehr gegeben. Hieraus ergibt sich der
Übergang zum kubisch raumzentrierten (krz) Gitter [engl.: body-centered cubic (bcc)] mit
einer Packungsdichte von 68 %. Diese Kristallstruktur ergibt sich für das restliche Drittel aller
Metalle.
Beispiel:
krz-Gitter
Lithium
Molybden
Niob
Kalium
Natrium
Anisotropes Verhalten liegt grundsätzlich bei hex-Gittern vor, da die Hauptachsen des
Tensors nie mit den Achsen des Kristalls übereinstimmen können.
Elemente, die kovalent gebunden sind, zeigen eine starke Richtungsabhängigkeit. Daraus
ergeben sich niedrigere Packungsdichten und kompliziertere Anordnungen. Zu erwähnen sind
die kovalent gebundenen Elemente der IV. Hauptgruppe (Kohlenstoff, Silizium, Germanium),
die im Diamantgitter kristallisieren. Silizium kristallisiert ausschließlich im Diamantgitter,
wohingegen Kohlenstoff z. B. auch als Graphit (hex) oder amorph vorkommen kann. Das
Diamantgitter entspricht zwei kfz-Untergittern, die um ein Viertel entlang der
Raumdiagonalen verschoben sind.
- 10 -
Kapitel 1
Für Kristalle mit einer mehratomigen Basis ergeben sich entsprechende Strukturen. Bei einer
stark ionischen Bindung ergibt sich eine einfache dicht gestapelte Kristallstruktur. Diese tritt
hauptsächlich bei Elementen der I. und VII. Hauptgruppe auf.
Abb. 1.2-4:
Diamantstruktur (bei Atomen
gleicher Art) bzw. Zinkblendestruktur (ZnS) (bei zweierlei
Atomarten).
Zwei kubisch flächenzentrierte
Untergitter, die um ein Viertel
der Raumdiagonalen gegeneinander verschoben sind.
Beispiele dafür:
Diamantstruktur-Typ: Si, Ge
ZnS-Typ: GaAs, InSb
Am Beispiel NaCl bedeutet dies: Da keine Richtungsabhängigkeit besteht, bilden die großen
Cl − -Ionen die dichteste Kugelpackung (kfz). Die kleinen Na + -Ionen werden in die noch
freien Lücken eingebettet und bilden ebenfalls ein kfz-Untergitter. Dieses ist um (1/2, 0, 0)
verschoben.
Abb. 1.2-5:
Kristallstruktur von NaCl.
Die Atome sind zur Verdeutlichung verkleinert.
Treten nennenswerte Anteile kovalenter Bindung auf, so ist auch bei Ionenkristallen eine
losere Packungsdichte festzustellen. Dieses gilt besonders bei Elementen der III. und V.
Hauptgruppe, die den Elementen der IV. Hauptgruppe des Periodensystems sehr nahe
kommen (z. B. für GaAs oder InP). GaAs besitzt praktisch das gleiche Gitter wie Silizium.
Ein wesentlicher Unterschied ist jedoch, daß die Untergitter mit verschiedenen Ionensorten
besetzt sind (Ga 3+ , As 3− ). Beim Übergang zu komplexeren Verbindungen ergeben sich
Kristallgitter, die zum Teil Hybride der bislang besprochenen Gitter darstellen können.
Beispiel:
Perowskitgitter. In dieser Struktur sind krz- und kfz-Gitter als Folge
unterschiedlicher Ionendurchmesser vereint.
Ein Kristallgitter dieser Art bildet z.B. CaTiO3 und SrTiO3 .
Kapitel 1
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Abb. 1.2-6:
Perowskitgitter ( CaTiO 3 ).
Die Atome sind zur
Verdeutlichung in verkleinerter
Form
dargestellt.
2.1.1 Harte Werkstoffe
Harte, kristalline Werkstoffe , die sich aus nur einer Atomsorte zusammensetzen (z.B.
Diamant), weisen immer eine Diamantgitterstruktur auf . Weist der Stoff mehr als ein
Element auf, so spricht man von einem Zinkblendegitter (z.B. GaAs).
Zu den Elementen, die zur Bildung harter, bzw. superharter Werkstoffe verwendet
werden, gehören B , C , N und Si (z.B. Si3N4).
2.2
Reale Kristalle
Der reale Kristall unterscheidet sich vom idealen Kristall, da er in seinen Ausmaßen
begrenzt ist und Kristalldefekte besitzt. Als Kristalldefekte sind folgende Störungen
möglich:
0-dim. Fehler:
Punktdefekte
- substitutionelle Defekte
- interstitielle Defekte
1-dim. Fehler:
Liniendefekte (Versetzungen)
- Stufenversetzung
- Schraubenversetzung
2-dim. Fehler:
Flächendefekte
- Stapelfehler
- Korngrenzen
- Oberfläche
3-dim. Fehler:
Raumdefekte
- Einschlüsse
- Blasen
- (Lunker)
Kapitel 1
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Wesentlich für die Mikroelektronik sind die Linien- und Punktdefekte, die eine Dotierung erst ermöglichen und die elektrischen Eigenschaften entscheidend beeinflussen.
Zu den Flächendefekten zählen u. a. auch Ober- und Grenzflächen (engl.: Interface).
Raumdefekte, wie z. B. Lunkerbildung, finden in der Mikroelektronik keine
Anwendung. Die Anwendung von gewünschten Fehlern wird als "defect engineering"
bezeichnet.
2.2.1 Punktdefekte
Punktdefekte sind die wichtigste Defektart, da es durch sie erst möglich ist, Halbleiter
in ihren Eigenschaften zu beeinflussen.
Abb. 1.2-7:
Mögliche Punktdefekte im Elementkristall (z. B. Si)
Man kann die Punktdefekte unterscheiden in:
- Einbau von Fremdatomen auf Gitterplätzen (substitutioneller Einbau)
- Einbau von Fremdatomen auf Zwischengitterplätzen (interstitieller Einbau)
- Einbau von Eigenatomen auf Zwischengitterplätzen
- Gitterleerstellen
Die Möglichkeit der Dotierung ist dann gegeben, wenn sich Fremdatome mit ungefähr
dem gleichen Durchmesser einlagern.
Bsp.: Ga und Si kristallisieren in dem gleichen Gitter und besitzen ungefähr die
gleichen Durchmesser. Entsprechen sich in etwa die Durchmesser, so kommt es zu
keinen größeren Gitterstörungen (Verzerrungen) (siehe Bild A).
Die Zahl der Leerstellen ist temperaturabhängig, d. h. je mehr die Temperatur
zunimmt, desto eher kann ein Atom an die Oberfläche springen. Dies führt zu einer
Leerstellenbildung mit Volumenvergrößerung (siehe Bild B). Die Zunahme der
Leerstellen mit der Erwärmung ist proportional zu exp
−W B
kT
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Kapitel 1
Die Situation für Ionenkristalle ist komplizierter, da die unterschiedlichen Ionensorten
auch im Nahfeld auf möglichst niedriges elektrisches Potential geordnet werden, d. h.,
daß z. B. oft eine Kationenleerstelle durch eine Anionenleerstelle in unmittelbarer
Nähe kompensiert wird (Komplexbildung; einfachster Fall: Schottky-Paar-Defekt).
Dieser Defekt wird bei der Dotierung als Fehlstellenproduzent genutzt.
Abb. 1.2-8: Punktdefekte im Ionenkristall
Ein zusätzliches Atom bzw. Ion auf einem Zwischengitterplatz bezeichnet man als
Frenkeldefekt.
2.2.2 Liniendefekte
Unter Liniendefekten versteht man im wesentlichen Versetzungen.
Man unterscheidet zwei Fälle:
- die Stufenversetzung
- die Schraubenversetzung
- 14 -
Abb. 1.2-9:
Kapitel 1
Gestörter Kristallbereich
a) Stufenversetzung
b) Wanderung der Versetzung unter dem Einfluß einer Kraft (Pfeile)
Durch Wärmeeinwirkung kann eine Versetzung ausgeheilt werden, da sie in Richtung des
gedehnten Bereiches wachsen kann. Dieses bedeutet, daß man eine Versetzung in ihrer Lage
beeinflussen kann.
Eine Stufenversetzung entsteht durch eine Gitterebene, die zusätzlich bis zur Versetzungslinie
eingebaut wird.
Eine Schraubenversetzung entsteht durch Verdrehung des Kristalls in der Form, daß man
ähnlich einer Wendeltreppe bei einem Umlauf entlang der Versetzungslinie um eine
Gitterebene höher kommt.
Abb. 1.2-10: a) Stufenversetzung
b) Schraubenversetzung
- 15 -
Kapitel 1
Ein qualitatives Maß für den relativen Anteil an Stufen- bzw. Schraubenversetzung stellt der
Burgers-Vektor dar.
Ist dieser Vektor senkrecht zur Versetzungslinie, so liegt reine Stufenversetzung vor.
Ist er jedoch parallel zur Versetzungslinie, so liegt reine Schraubenversetzung vor.
Gemischte Versetzungen ergeben eine schiefwinklige Beziehung zwischen Burgers-Vektor
und Versetzungslinie.
Abb. 1.2-11:
Burgers-Vektor
Versetzungen werden z. B. über hochaufgelöste Elektronenmikroskopie oder
Tunnelmikroskopie abgebildet.
Problematisch ist jedoch, daß das Tunnelmikroskop selbst Versetzungen hervorrufen kann, die vorher nicht
vorhanden waren.
Vorgehensweise, um Defekte eindeutig identifizieren und lokalisieren zu können:
-
Umlauf starten in dem Bereich, von dem man annimmt, daß dort der Fehler vorliegt.
-
Kommt man bei dem Umlauf nicht genau an dem Ausgangspunkt an, so ist dieses ein
Zeichen dafür, daß der gesuchte Fehler in dem umschlossenen Bereich liegt.
-
Um den Ort des Fehlers genauer lokalisieren zu können, muß man die Masche immer
enger ziehen und wie oben gezeigt verfahren.
- 16 -
Kapitel 1
a)
b)
Abb. 1.2-12: Anwendung des Burgers-Vektors
a) geschlossener Umlauf bei einem idealen Kristall
b) geschlossener Umlauf um eine Störung; um den Umlauf zu schließen, ist ein
→
Vektor ae einzufügen, der dem Burgers-Vektor entspricht
Liniendefekte wirken sich meist störend auf das Verhalten von Werkstoffen in der
Mikroelektronik aus.
An Versetzungen können sich Ladungskonzentrationen bilden :
Abb. 1.2-13 :
Bildung von
Ladungskonzentrationen
- 17 -
Kapitel 1
2.2.3 Flächendefekte
Von den Flächendefekten besitzen im Bereich der Mikroelektronik nur die
Korngrenzen eine Bedeutung, und zwar beim Einsatz polykristalliner Werkstoffe wie
z. B. polykristallinem Silizium.
Beschreibbar sind die Korngrenzen als eine Vielzahl regelmäßig angeordneter
Versetzungen (vgl. Abb. 1.2-13).
Abb. 1.2-13:
Kippkorngrenze
Kippkorngrenzen sind aus Stufenversetzungen aufgebaut. Neben den
Kippkorngrenzen gibt es auch Drehkorngrenzen, die aus Schraubenversetzungen
aufgebaut sind.
2.3
Die Kristalloberfläche
Die Eigenschaften eines Werkstoffes werden wesentlich durch seine Oberfläche, d. h.
Grenzschicht zu Luft oder Vakuum, und durch seine Grenzschicht zu anderen
Werkstoffen bestimmt.
Der Abbruch der Periodizität an der Oberfläche führt zu speziellen elektronischen
Eigenschaften.
Der Einsatz von Grenzschichten ermöglicht heute die Realisierung
- schnellster elektronischer und optoelektronischer Bauelemente (≈ 300 GHz)
(zur Verarbeitung großer Informationsdichten),
- zweidimensionaler oder auch eindimensionaler Quantentröge bzw. -drähte (gezielte,
gerichtete Leitungen).
Alle Grenzschichten, insbesondere aber die Oberfläche, sind Flächendefekte.
- 18 -
Kapitel 1
Durch den Abbruch des periodischen Aufbaus entstehen "Fehler", die ihrerseits zusätzliche
elektronische Niveaus verursachen können und die dann das Bauelement entscheidend
beeinflussen (z. B. kann ein im Volumen isolierender Kristall eine ausgeprägte elektrische
Leitfähigkeit an der Oberfläche besitzen).
Die durch den Abbruch des Gitters entstehenden freien Bindungen (Valenzen), auch "dangling bonds" genannt, versucht der Kristall dadurch zu kompensieren, daß die ursprüngliche
Struktur aufgegeben wird und es zur Bildung einer speziellen Oberflächengitterstruktur
kommt. Diese wird beschrieben in zweidimensionalen Einheiten, sogenannten Oberflächenmaschen (entsprechend Einheitszellen im Dreidimensionalen).
Abb. 1.2-14:
GaAs-Gitter
Ein GaAs-Gitter besteht aus zwei kfz-Untergittern, die um ein Viertel der Raumdiagonalen
gegeneinander verschoben sind. Das vorliegende Gitter ist ein Zinkblendegitter.
Abb. 1.2-14 zeigt einen Kristall mit einer nicht rekonstruierten Oberfläche, d. h. die letzte
Atomlage ist so geordnet wie im Volumen. Nun existieren hier viele nicht abgesättigte
Bindungen.
Es bestehen folgende Möglichkeiten zur Beseitigung dieser "dangling bonds":
-
Umstrukturierung des eigenen Kristallgitters (Rekonstruktion in den oberen Monolagen);
dieses tritt im Vakuum auf.
-
Ausgleich durch adsorbierte Fremdatome, z. B. aus der Luft (engl.: adatoms); dieses tritt
an der Luft auf.
Abb. 1.2-15a: Rekonstruktion der reinen Oberfläche
- 19 -
Kapitel 1
Abb. 1.2-15b: 2x2-Masche
a) Die Galliumatome drücken sich in die Oberfläche ein, d. h., daß sie
sich nicht mehr in der obersten Schicht befinden. Dies führt zu einer
Umstrukturierung des Kristalls.
b) Die Umstrukturierung des Kristalls kann man in dieser Abbildung, die
die Projektion auf die Oberfläche darstellt, erkennen.
Durch die Rekonstruktion entsteht eine Masche als neue Einheit, aus der die Oberfläche
aufgebaut wird.
Wie lange dauert die vollständige Besetzung der Oberfläche?
Bei z. B. 10
ist.
−7
mbar benötigt man eine Sekunde, bis die Oberfläche mit einer neuen Lage vollständig bedeckt
Abb. 1.2-16: Ausgleich der "dangling bonds" durch Adatome
T1 , T2 : Anwachsen auf Gitterplatz
H 3 : Anwachsen auf Zwischengitterplatz
Schaut man von oben auf die Ebene (1 1 1), so befinden sich die größeren
Atome oben und die kleineren unten.
- 20 -
Kapitel 1
Adatome können auf ein oben angeordnetes Atom, zwischen Atome oder in ein Loch
(Oberflächenpunktdefekt) gesetzt werden.
Die Möglichkeiten T2 und H 3 sind bezüglich einer strukturell glatten Oberfläche besonders
geeignet. Als Folge der Möglichkeiten, die in Abb. 1-2.16 dargelegt sind, entsteht z. B. eine
7x7-Masche auf Silizium (Abb. 1.2-17).
Abb. 1.2-17:
7x7-Masche auf Silizium
Diese zweidimensionale Einheitszelle besteht aus 7 x 7, d. h. 49 Gitterplätzen.
Dies stellt die kleinste Einheit dar, die notwendig ist, um den Kristall vernünftig zu beschreiben. Hier treten auch
schiefe Winkel auf. Daher benötigt man eine große Anzahl an Atomen, bis sich der Kristallaufbau wiederholt.
Je nachdem, welche äußeren Einflüsse (Luft/Temperatur) vorliegen, ergeben sich verschiedene
Maschensysteme.
Als Dimer-Bindung bezeichnet man die kovalente Bindung ungesättigter Elektronen zwischen zwei
Oberflächenatomen.
Abb. 1.2-18:
Abbildung von 7x7-Maschen
auf Silizium mit dem Rastertunnelmikroskop.
Die atomaren Stufen haben
jeweils eine Höhe von ca.
2-3 nm.
- 21 -
Kapitel 1
- 22 -
Kapitel 1
Abb. 1.2-19:
3 × 3 -Masche
3.
Flüssigkristalle
Flüssigkristalle sind Stoffe, die den Zustand zwischen flüssiger und fester Phase
umfassen. Sie haben eine mehr oder minder ausgeprägte Ausrichtung ihrer Moleküle
zu einer Vorzugsachse, dem sogenannten Direktor. Die Stärke dieser Ausrichtung
ähnelt je nach Phase mehr dem kristallinen oder dem flüssigen Zustand. In aller Regel
bilden die Flüssigkristalle Texturen aus.
Abb. 1.3-1: Der Aggregatzustand eines Flüssigkristalls kann nur in einem kleinen
Temperaturbereich auftreten.
Die Eigenschaften der Flüssigkristalle beruhen auf Wechselwirkungen von:
Dipol - Dipol,
Dipol - Quadrupol,
Quadrupol - Quadrupol.
Die gleichen Wechselwirkungen existieren z. T. auch bei Flüssigkeiten (z. B. Wasser),
sind dort aber zu schwach, um eine ausgeprägte Ausrichtung zu erzielen.
- 23 -
Kapitel 1
Man unterscheidet drei Zustände:
- die nematische Phase,
- die smektische Phase,
- die cholesterische Phase.
Bei Stoffen der nematischen Phase richten sich die Moleküle parallel zum Direktor aus.
In der smektischen Phase stehen die Moleküle senkrecht zum Direktor.
In der cholesterischen Phase richten sich die Moleküle auch parallel zum Direktor aus, jedoch
sind hier die Direktoren von einer Moleküllage zur anderen leicht gegeneinander verdreht.
Abb. 1.3-2: Struktur eines Flüssigkristalls mit (von links nach rechts) smektischer,
nematischer und cholesterischer Phase
Durch Anlegen eines elektrischen Feldes ist es nun möglich, die Ausrichtung der Moleküle zu
verändern, wodurch sich auch der optische Brechungsindex ändert. Diese Eigenschaft ist
Grundlage der LCD-Anzeigen.
Abb. 1.3-3: Die elektrische Funktion einer nematischen Flüssigkristallanzeige beruht auf
der Streuung des Lichts durch ungeordnete Moleküle.
- 24 -
4.
Kapitel 1
Amorphe Werkstoffe
Amorphe Stoffe verfügen über keinerlei Fernordnung, d. h. regelmäßigen Aufbau. Im
Nahbereich (ungefähr 7 - 10 Atome) kann jedoch eine Ordnung, z. B. durch
Dipolwechselwirkung wie beim Wasser, vorliegen. Amorphe Werkstoffe sind meist
flüssig, manche aber auch fest.
Zu den amorphen Festkörpern gehören insbesondere Gläser. Glas ist nicht kristallin.
Es kann auch als "unterkühlt erstarrte Flüssigkeit" definiert werden.
Jeder Stoff wird sich irgendwann ordnen, wenn genügend Zeit vergangen ist und die richtige
Temperatur vorliegt. Werden amorphe Stoffe nicht schnell genug abgekühlt, so können kristalline
Bereiche entstehen.
Abb. 1.4-1:
Amorphe Werkstoffe
a) kristallines SiO 2
b) SiO 2 -Glas (amorph)
c) Natriumsilicatglas (amorph)
- 25 -
5.
Nano- und nanokristalline Strukturen
5.1
Nanokristalline Materialien
Kapitel 1
Nanokristalline (oder neuerdings nach Konvention nanostrukturierte) Materialien sind
Festkörper, in denen eine große Anzahl (ungefähr 50 %) von Kristallbaufehlern
eingebracht wird. Sie unterscheiden sich somit von Stoffen kristalliner oder glasartiger
Struktur.
Aufgrund dessen weisen sie in den Bereichen der atomaren Struktur und der
Thermodynamik sowie in den chemischen, elektrischen, magnetischen, mechanischen
und optischen Gebieten andere Eigenschaften auf. Ursache dafür ist, daß die interatomaren Abstände und / oder Bindungswinkel um größere Beträge verändert werden.
Bekanntlich charakterisieren gerade diese Größen das Verhalten fester Stoffe. Der
physikalische Grund liegt in der relativ kurzen Reichweite interatomarer Wechselwirkungskräfte. Eine gezielte Reduktion der interatomaren Wechselwirkung führt also
dazu, daß Stoffe mit typischem Festkörperverhalten (starke Wechselwirkung zwischen
den Atomen) sowie auch Stoffe, die Einzelatomverhalten (schwache Wechselwirkung,
da die Atome weit auseinander liegen) aufweisen, hergestellt werden können.
Abb. 1.5-1a:
Nanokristalline Struktur
offene Kreise: Atome in den
Grenzflächen
geschlossene Kreise: Atome im
Kern der Kristalle
Resümee: Nanokristalline Materialien sind gekennzeichnet durch Abbrüche der
Kristallperiodizität. Es entsteht eine Oberfläche aus Kristallkörnern, die durch
Grenzschichten voneinander getrennt sind. Die Oberflächeneigenschaften können z.B.
zum Steuern der Leitfähigkeit genutzt werden.
Abb. 1.5-1b:
Nanokristalline Struktur
- 26 -
Kapitel 1
Die Herstellung nanoförmiger Lamellen, die einen Stromfluß richtungsabhängig machen, ist
ebenfalls möglich:
Abb. 1.5-1c :
5.2
Nanoschalen
Als wesentliches Beispiel für Nanoschalen sind Fullerene aufzuführen. Fullerene sind
eine geschlossene Klasse von reinen Kohlenstoffmolekülen. Wichtigster Vertreter der
Fullerene ist das Molekül C60, welches auch als Fußballmolekül oder Buckyball
bezeichnet wird. Das aus 60 Kohlenstoffatomen bestehende Molekül in Fußballform
ist strenggenommen die reinste Form des Elementes Kohlenstoff. Es besitzt nämlich
im Gegensatz zu den beiden bisher bekannten Formen des reinen Kohlenstoffs, dem
Graphit und dem Diamant, keine Ränder. Das Fehlen der Randstörungen ist Grund für
eine enorm hohe kinetische Stabilität des C60-Moleküls.
Abb. 1.5-2 Buckyball - C60-Molekül
Elektrisch gesehen ist das C60-Molekül im Gegensatz zum Diamant (Isolator) und
dem Graphit (Leiter) ein halbleitendes Material. Es könnte somit in der Mikroelektronik Anwendung finden. Denkbar wäre ein Einsatz in der Photovoltaik, da das
Molekül sich durch Licht sehr leicht anregen läßt und Energie an andere Moleküle
weitergeben kann.
- 27 -
Kapitel 1
Weiterhin ist das C60-Molekül modifizierbar. Es ist möglich, Trennatome oder
Moleküle im Inneren einzuschließen, anstelle von C-Atomen einzubauen oder außen
anzudocken.
den
Ein Fullerenkristall selbst besteht aus einem kfz-Gitter, d.h., daß an den Ecken und
Seitenmitten des Kubus C60-Moleküle sitzen. Diese üben eine schwache Wirkung
zueinander aus, worauf die geringe Härte des Kristalls zurückzuführen ist.
Herstellung: Zwischen zwei Graphitelektroden wird in einer Heliumatmosphäre ein
Lichtbogen gezündet. Das Graphit verdampft und scheidet sich als fullerenhaltiger
Ruß ab.
5.3
Nanopartikel bzw. Nanolöcher
Abb. 1.5-3: Nanopartikel
Ziel ist das Einsperren von Elektronen in Nanolöchern, wobei sogenannte Lichtkäfige
entstehen.
Mögliche Anwendungsgebiete: Durch Einfangen von Lichtquanten sollen
Leuchtdioden, evtl. Laserdioden beliebiger Frequenz, realisiert werden.
6.
Quasikristalle
6.1
Begriff der verbotenen Symmetrien
Um eine Fläche oder einen Raum mit Zellen auszufüllen, müssen sich ganz bestimmte
Bindungswinkel zwischen den einzelnen Atomen ausbilden. Es ist offensichtlich, daß
kristalline Strukturen aus regulären Polygonen (Vielecken) bestehen können, die
bezüglich eines freigewählten Gitterplatzes rotationssymmetrisch sind (zweidimensionale Betrachtung).
Im Allgemeinen gilt, daß ein n-eckiges reguläres Polygon den Raum ausfüllen kann,
wenn 2n / (n-2) zu einem geradzahligen Ergebnis führt. Der jeweilige Bindungswinkel
ergibt sich dann zu π (n-2) / n.
- 28 -
Kapitel 1
Abb. 1.6-1: Bindungswinkel verschiedener regulärer Vielecke
Wie aus der Abbildung bzw. der Tabelle ersichtlich, können drei-, vier- und
sechseckige reguläre Vielecke den gesamten Raum ausfüllen, wohingegen dies mit
einer fünfzähligen Symmetrie nicht möglich ist.
6.2
Das Penrose-Muster
Quasikristalle besitzen eine sich wiederholende Struktur, die nicht durch die
periodische Ordnung der klassischen Kristallsysteme beschrieben werden kann. Es ist
trotzdem möglich, ihre physikalischen Eigenschaften zu beschreiben und Modelle
bzw. Muster ihrer Anordnungen anzufertigen. Sie sind im Gegensatz zu den bisher
bekannten Strukturen nicht in ihre Elementarzellen zerlegbar, da sich ihr Muster aus
mehreren Zellen zusammensetzt. Ein typisches Beispiel hierfür ist das PenroseMuster.
Theoretisch könnten Quasikristalle zwischen periodisch geordneten Kristallen und
ungeordnetem Material angesiedelt werden.
- 29 -
Kapitel 1
Abb. 1.6-1: Penrose-Muster
Bei näherer Betrachtung des Penrose-Musters fallen Zehnecke auf, die alle gleiche
Orientierung (ihre Seiten sind parallel zueinander) besitzen. Weiterhin existiert im Muster
eine Art fünfzählige Symmetrie, so daß es um 72° gedreht werden kann, ohne daß es
verändert wird.
Resümee: Quasikristalle besitzen eine fünfzählige Symmetrie, die durch ein Penrose-Muster
beschrieben werden kann. Sie entstehen, wenn geschmolzene Metallegierungen so schnell
abgekühlt werden, daß die einzelnen Atome keine Zeit haben, ein Kristallgitter aufzubauen.
- 30 -
Kapitel 2
Kapitel II
BÄNDERSCHEMA
In einem Festkörper (Kristall) befindet sich das Elektron in einem komplizierten
elektrostatischen System mit periodischem Untergrund.
Charakteristika des Kristallgitters sind :
- periodisches Gitterpotential
- begrenzter Bereich, "Käfig" (Bauelementgrenze)
Im Vakuum ist das Elektron als Partikel oder Welle beschreibbar. Im Festkörper darf
diese Betrachtung nicht mehr erfolgen. Da das Kristallgitter in der Größenordnung des
Elektrons liegt, ist das Teilchenbild nicht mehr voll gültig.
- Wegen der Periodizität im Subnanometerbereich (nm=10-9 m) folgt:
Das Elektron darf nicht mehr als Partikel beschrieben werden, sondern es ist
auch der Wellencharakter zu berücksichtigen.
Werden diese drei Punkte berücksichtigt, muß ein Formalismus ähnlich dem VakuumFormalismus als Ergebnis folgen.
Vorgriff auf das Ergebnis :
Der alte Formalismus kann beibehalten werden unter der Definition einer neuen,
effektiven Elektronenmasse.
⇒ effektive Masse des Elektrons im Werkstoff : me*
Der Vorteil dabei ist, daß die alten Gleichungen erhalten bleiben. Die Eigenschaften
der effektiven Masse sind :
- Energieabhängigkeit innerhalb von Leitungs- und Valenzband.
- Sprunghafte Massenänderungen (in Energie) möglich.
Beispiel : Laufzeitbauelemente
Durch die Massenänderung ist eine sprunghafte Beschleunigungsänderung möglich :
*
→
me ⋅ a = e ⋅ E
- worst case : Masse kann sogar negativ werden.
Erklärbar ist dies dadurch, daß die effektive Masse nur eine fiktive Masse darstellt.
- Im allgemeinen gilt :
In vielen Fällen ist me* < me0 ,d.h. die effektive Masse ist kleiner als die für
Vakuumbedingungen (Beispiel : Si : 0,16 me0).
Theoretisch einsichtiger :
Das Elektron ist im Kristallgitter langsamer. In der Realität jedoch reagiert das
Elektron im Vakuum langsamer auf ein Feld als im Festkörper. Dies ist ein Grund
dafür, daß die Röhren durch Transistoren abgelöst wurden
(fGrenz,Röhre : 100 GHz, Transistor : weitaus höhere Frequenzen problemlos möglich).
Zur Herleitung der das Elektron im Festkörper beschreibenden Gleichungen dient
Kapitel II.
Kapitel 2
- 31 -
1.
Freies Elektron
Das Elektron hat eine duale Natur, es besitzt Teilchen- und Wellencharakter. Man
kann die Teilcheneigenschaften im Wellenbild durch die Wellengruppe darstellen,
welche die Superposition einer Vielzahl benachbarter Wellen ist. Die in der
klassischen Physik präzise Angabe von Größen wird durch Wahrscheinlichkeitsannahmen der Quantenphysik ersetzt.
Aus der Heisenbergschen Unschärferelation
→
→
∆ p⋅ ∆ r > h ⋅
1
≡ h mit
h = 4,15 ⋅ 10-15 eVs
2π
(Plancksches Wirkungsquantum)
→
p Impuls
r Ort
wurde eine zweite Relation abgeleitet :
∆W ⋅ ∆t > h
mit
W : Energie
t : Zeit
Versucht man eine der jeweiligen Größen der Heisenbergschen Unschärferelation zu
bestimmen, so wird automatisch die andere Größe unscharf. Das Elektron ist nicht
mehr mit einer Welle zu beschreiben, sondern mit einem Wellenpaket :
Im Wellenbild wird das Elektron durch eine Funktion beschrieben, die seine Zustände
(Energie, Impuls) und die Wahrscheinlichkeit, daß diese angenommen werden, erfaßt.
Diese Funktion Ψ(x,y,z,t) ist die Lösung der Schrödingergleichung. Ψ(x,y,z,t) ist also
eine Wellenfunktion, die das Elektron beschreibt, wobei Ψ eine komplexe Größe ist.
Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron am Ort ( x 0 , y 0 , z 0 ) zur Zeit t 0 zu finden, wird
durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion beschrieben .
Aufenthaltswahrscheinlichkeit :
Ψ ⋅ Ψ∗ = Ψ = Ψ( x 0 , y 0 , z 0 , t 0 )
2
2
(2.1-1a)
2
0≤ Ψ ≤1
Vergleich zwischen klassischer und quantenmechanischer Betrachtung (zunächst
keine Zeitabhängigkeit und nur eindimensional) :
Für ein freies Elektron im Raum (d.h. es ist kein äußeres Potential vorhanden) gilt:
−
wobei
d 2 Ψ( x) 2 ⋅ m
= 2 ⋅ W ⋅ Ψ( x)
dx 2
h
h=
h
2π
Schrödingergleichung
h: Plancksches Wirkungsquantum
m: Masse des Elektrons
W: Energie
(2.1-1b)
(2.1-2)
Kapitel 2
- 32 -
Lösung durch Eigenwert :
Ψk ( x) = A ⋅ e jkx
mit der Nebenbedingung W =
Dies entspricht klassisch :
1
W=
⋅ p2
2⋅m
/
W=
h2
⋅k2
2⋅m
(2.1-3)
p: Impuls
\
1
⋅ m⋅ v2
2
( m ⋅ v) 2 = p 2
→
k = Wellenvektor [3 dim .] mit p = m ⋅ v = h ⋅ k → v =
(eindimensionale Bezeichnung : Wellenzahl k)
k hat die Bedeutung eines Impulses !
p
m
Zeitabhängigkeit :
Ψ( x, t ) = Ψk ( x) ⋅ e − jωt
Ψ( x, t ) = A ⋅ e j( kx−ωt )
ω(k ) = 2 ⋅ π ⋅ f =
Wk
denn : W = h ⋅ ω = h ⋅ f
h
(2.1-4)
(2.1-5)
(2.1-6)
Da ein Wellencharakter besteht , kann man die De-Broglie-Wellenlänge λ einführen :
λ=
2⋅π
k
(2.1-7)
Bei freien Elektronen ist k kontinuierlich .
Es sind zwei Geschwindigkeiten definiert :
Phasengeschwindigkeit :
Die Phasengeschwindigkeit ergibt sich als
Vph =
Weg λ 2 ⋅ π
2⋅π ω
ω
= =
⋅f =
⋅
=
k
k 2⋅π k
Zeit T
(2.1-8)
T: Periodendauer
Diese Geschwindigkeit gibt die Geschwindigkeit des einzelnen Wellenzuges an. Die
Phasegeschwindigkeit kann größer werden als c .
Gruppengeschwindigkeit des Elektrons :
Kapitel 2
- 33 -
v=
dω
dk
dabei:
dω
≤c
dk
(2.1-9)
Die Beschreibung eines Teilchens erfolgt durch die Gruppengeschwindigkeit. Ihr
Maximalwert ist die Lichtgeschwindigkeit c, da hier ein reales Teilchen vorliegt.
Aus W =
h2 2
⋅ k läßt sich eine Dispersionsbeziehung herleiten (Abb. 2.1-1) :
2m
freies Elektron
Abb. 2.1-1:
Elektron auf vorgegebenem
Potential
Dispersionsbeziehung. Es besteht ein parabolischer Zusammenhang,
da W∼ k 2
Es wird das Ziel sein, diesen Zusammenhang für einen Festkörper geeignet zu
modifizieren.
Herleitung der Gleichungen für Festkörper:
1. Begrenzung durch Potentialtopf.
2. Verhalten bei periodischem Untergrund.
2.
Elektron im Potentialtopf
Wir nehmen an, daß das Elektron in einem Metallblock festgehalten wird
(Potentialtopftheorie).
Die prinzipiellen Eigenschaften eines Elektrons im Potentialtopf lassen sich durch ein
eindimensionales Modell beschreiben .
Kapitel 2
- 34 -
Abb. 2.2-1:
Definition des
Potentialtopfes
Man setzt die Vakuumenergie gleich null. Daraus ergibt sich, daß die Energie im Topf
negativ ist. Am Rand muß die Aufenthaltswahrscheinlichkeit null sein, da sie sich
nicht sprunghaft ändert. Außen ist sie gleich null. Sofern WElektron < Wpot ist, existiert
Ψ nur für 0 ≤ x ≤ L ( nur ohne Berücksichtigung des Tunneleffektes). Die
Gesamtenergie des Elektrons ist WElektron = Wpot + Wkin. .
Wegen der Randbedingung Ψ(0) = Ψ(L) = 0 ergeben sich nur noch diskrete Werte
für den Wellenvektor k :
Alle Lösungen für ψ müssen sich periodisch in den Potentialtopf einpassen.
Daraus läßt sich folgern :
Es sind nur noch diskrete Werte für die Wellenlänge und damit für k erlaubt !
k = ± n ⋅ ( π / L)
mit n=1,2, ......
(2.2-1)
Der wesentliche Unterschied zu den freien Elektronen besteht darin, daß die
k-Werte in ihrer Wahl begrenzt sind .
Man spricht hier von einer Quantelung bzw. Diskretisierung von Energieniveaus.
Abb. 2.2-2: Ψ-Funktion (schematisch) im Potentialtopf
- 35 -
Kapitel 2
Abb.2.2-3:
Diskrete
Energieniveaus
Für jedes n erhält man eine Ψ - Funktion, zu der ein jeweils diskretes Energieniveau gehört.
Während die k-Werte äquidistant zueinander sind, steigen die W-Werte quadratisch an, da
W ∼ k 2 ist.
Die Bedeutung der Beziehung (2.2-1) für die unterschiedlich breiten Potentialtöpfe ist wie
folgt :
Gebundenes
Elektron
L klein (atomare Dimension; ≈ nm , z.B. Elektron in einer dünnen
Epitaxieschicht)
→ große "Abstände" der k-Werte, d.h. auch große Unterschiede der
zugehörigen Energien
Verkleinert man den Potentialtopf soweit, daß der Radius des Elektrons ≥ L
ist, so besitzt das Elektron nur noch die Möglichkeit, sich parallel zur
Topfwand zu bewegen (siehe Abb. 2.2-4).
Moderne Bauelemente nutzen diese Effekte aus und haben Strukturen in der
Größenordnung 5 - 20 nm.
Quasi-freies
(metallisches)
Elektron
L groß (makroskopisch, z.B. Elektron im Metallblock; ≈ cm)
→ sehr kleine "Abstände" der k-Werte, d.h. quasi kontinuierliche kbzw. W(k)-Werte .
Abb.2.2-4 :
Durch Einschnürung der Potentialtöpfe wird die Beweglichkeit der Elektronen um Größenordnungen höher, da sie sich nur noch zweidimensional bewegen können. Der Ladungsschwerpunkt verschiebt sich in Richtung höherer Energieniveaus, wodurch Elektronen unter
Emission von Licht in das Leitungsband diffundieren können .
- 36 -
Kapitel 2
Wir betrachten nun das Diffundieren und Rekombinieren von Ladungsträgern .
Abb. 2.2-5 : Rekombination von Ladungsträgern
WL − WV =
h⋅c
λ
∆W : Farbe des emittierten Lichtes
In Abb. 2.2-5 ist das Rekombinieren von Elektronen dargestellt. Während des
Rekombinationsvorganges emittieren die Elektronen Licht, dessen Wellenlänge von
dem Elektron zu überbrückenden Bandabstand ∆W abhängt. Im Potentialtopf selbst
befinden sich die Ladungsträger auf ganz bestimmten, also diskreten Energieniveaus,
die durch den Wellenvektor k definiert sind. Eine Rekombination der Elektronen ist
nur auf solche Energieniveaus möglich.
3.
Elektron in einem periodischen Potential
Das Elektron wird nun nicht mehr im Potentialtopf, sondern im Atomverband
betrachtet. Es existiert ein Feld von positiven Ionenrümpfen, die aus der Ionisation der
Metallatome entstehen. Die Valenzelektronen dieser Atome sind beim Ionisieren in
das Leitungsband übergegangen und befinden sich nun im Feld der positiven Ionen.
Zwischen den Elektronen und Ionen bestehen bedingt durch ihre unterschiedlichen
Ladungen Anziehungskräfte. Diese sind abhängig von dem Abstand zwischen den
Elektronen und den benachbarten Ionen. Dies führt zu einer Modulation der
potentiellen Energie der Elektronen mit dem periodischen Feld des Gitters.
- 37 -
Kapitel 2
Abb. 2.3-1 zeigt die potentielle Energie U(x) und die möglichen Energiezustände von
Elektronen im periodischen Ionengitter.
Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron am Ort x zu finden, mit
dem Gitter moduliert.
2
Ψ = Ψ ⋅ Ψ∗
Abb. 2.3-2:
Potentielle Energie der Leitungselektronen
2
und Wahrscheinlichkeitsfunktion Ψ
2
Ψ = sin 2 : Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron am Gitterplatz anzutreffen, ist
minimal.
Ψ = cos : Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron am Gitterplatz anzutreffen, ist
maximal.
2
2
Wie man in Abb. 2.3-2 sehen kann, entstehen Potentialberge, die durch b ⋅ W0
definiert sind, wobei W0 = e ⋅ U 0 ist.
Kapitel 2
- 38 -
Abb.: 2.3-3:
Modell zur Berechnung von Ψ im periodischen Potential nach KronigPenney
Der in Abbildung (a) dargestellte Verlauf ist zwar realistisch, jedoch schwer zu berechnen.
Daher nähert man den Verlauf einer Kastenfunktion an (b).
Da auch diese Situation nur schwer rechenbar wird, haben Kronig und Penney eine Annäherung dadurch eingeführt, daß
b → 0 und W0 → ∞
so tendieren, daß
b ⋅ W0 = const.
bleibt.
Daraus ergibt sich die δ-Funktion für W(x) an allen Stellen
n ⋅ (a+b) bzw. an allen Stellen n ⋅ a , da b gegen 0 strebt.
Die Lösung Ψ muß sowohl Eigenschaften des Potentialtopfes (für ein begrenztes Gitter vgl.
Kap.2), als auch die Periodizität der Potentialwälle besitzen. Dies wird erfaßt durch:
Ψ( x) = u k ( x) ⋅ e jkx
(Blochwelle)
u k ( x) spiegelt die Periodizität der Ionenanordnung
[mit u k ( x) = u k ( x + (a + b)) ] wieder
k
a+b
muß gequantelt sein (wegen Potentialtopf)
Abstand der nächsten Nachbaratome
(2.3-1)
Kapitel 2
- 39 -
Diese Lösung ist für −
π
π
≤k≤
ausreichend definiert,
a+b
a+b
da sich danach die Lösung periodisch wiederholt.
Im Normalfall (d.h. nicht atomare Dimension) ist k dabei quasikontinuierlich.
Abb. 2.3-4: W(k)-Verlauf für b→0, a = Wandabstand (= Atomabstand oder
Gitterkonstante)
Am Beispiel makroskopischer Körper ergibt sich:
Ψ verhält sich wie eine ebene Welle, die mit der Gitterperiodizität moduliert ist.
Problem:
k=
π
⋅n
a+b
n = 1, 2, . . . .
(2.3-2)
a + b ≈ Gitterkonstante d in bestimmten Kristallrichtungen
Für diese Werte verschwindet die Lösung von Ψ (d.h. Ψ = 0). Folge hiervon ist, daß dann
kein Elektron mit diesem k-Wert existiert und somit in der W(k)-Kurve eine Unterbrechung
eintritt.
Kapitel 2
- 40 -
Experimentell wird dies bewiesen durch die Röntgenbeugung (Braggsche Beziehung):
n ⋅ λ = 2 ⋅ d ⋅ sinΘ
k = 2π
(2) in (1) eingesetzt:
1
2π
→λ=
λ
k
(1)
(2.3-3)
(2)
(2.3-4)
2π
= 2 ⋅ d ⋅ sinΘ
k
n⋅π
k=
d ⋅ sinΘ
n⋅
(2.3-5)
d: Gitterkonstante; Θ : Reflexionswinkel
Die Beziehungen 2.3-2 und 2.3-5 sind identisch, wenn sin Θ = 1, d.h. Θ = 90° ist.
Für diesen Fall kann sich die Welle nicht ungehindert durch den Kristall fortsetzen. Die Welle
wird vollständig reflektiert. Es existiert keine Lösung für Ψ im Kristall.
Ohne Herleitung ist festzustellen, daß an der Unterbrechung gelten muß:
dW
=0
dk k = π⋅n
a+ b
Abb. 2.3-5: Änderung des in Abb. 2.3-2 skizzierten W(k)-Verlaufs durch das
Verschwinden von Ψ an den Stellen k i =
π
⋅n
a+b
- 41 -
Aufgrund
Kapitel 2
dW
= 0 an der Unterbrechung entstehen sogenannte verbotene Zonen, die
dk
sogenannte erlaubte Bereiche voneinander trennen. Dies sind quasikontinuierliche
Energiebänder.
Ein verbotenes Band im Energiebereich entspricht einer Zahl im k-Bereich.
Abb. 2.3-6:
W(k)--Werte im periodischen Gitter
Definition der erlaubten und verbotenen Bereiche innerhalb der [-π /a,π/a]
Zone
k ist Wellenvektor entlang einer Kristallrichtung.
Die prinzipielle Änderung des W(k)-Verlaufs ist an den verbotenen k-Werten unterschiedlich,
je nachdem ob iogene oder kovalente Bindungen vorliegen. Begründet wird dieses wie folgt:
Bei einer Ionenbindung wird ein schmales Rumpfpotential angesetzt (kurze Reichweite). Bei
dieser Bindung liegen "schmale" verbotene Bereiche vor (vgl. Abb. 2.3-5).
Bei einer kovalenten Bindung bilden sich breite Rumpfpotentiale aus (weite und gerichtete
Ankoppelung). Hier entstehen breite verbotene Zonen (vgl. Abb. 2.3-6).
- 42 -
Abb. 2.3-7:
Schmale verbotene
Bänder bei Ionenbindung
Abb. 2.3-8:
Breite verbotene
Zonen bei kovalenter
Bindung
Kapitel 2
- 43 -
Kapitel 2
Bei Metallen kann dieser verbotene Abstand praktisch verschwinden, da er durch die
Überlappung von Bändern kompensiert wird.
Abb. 2.3-9: Überlappung von Bändern (typisch bei zweiwertigen Metallen).
W2 / und W1 / gehören zu verschiedenen Brillouin-Zonen (siehe unten).
(vgl. hierzu Kapitel V "Metalle")
Den kleinsten k-Werte-Bereich, für den die W(k)-Dispersion ausreichend definiert ist,
bezeichnet man als 1. Brillouin-Zone. Im Eindimensionalen ist diese definiert durch:
−
π
π
≤k≤
d
d
mit d = a+b; d =Gitterkonstante
Brillouin-Zonen höherer (n-ter Ordnung) sind entsprechend definiert durch:
−
n⋅π
n⋅π
≤k≤
d
d
Diese für Eindimensionalität formulierte Definition kann entsprechend auf mehrere
Dimensionen erweitert werden.
Abb. 2.3-10:
Brillouin-Zonen im
Zweidimensionalen
- 44 -
4.
Kapitel 2
W(k)- und W(x)-Verläufe am Beispiel verschiedener
Materialien
Abb. 2.4-1:
a) Isolator bzw. Halbleiter
bei T = 0
b) Metall
Im realen Kristall sind die W(k)-Verläufe der einzelnen Bänder sehr viel
komplizierter, als sie hier behandelt werden. Die W(k)-Verläufe unterscheiden sich
auch in der Kristallrichtung. Dieses darzustellen, erfordert dreidimensionale
Diagramme.
Abb.2.4-2:
Schematisch vereinfachte
Darstellung des W(k)-Verlaufes
über der (k x , k y )-Ebene
Abb. 2.4-3: a) W(k)-Verlauf für Silizium in [1 1 1]-Richtung
b) W(k)-Verlauf innerhalb der ( k x , k y )-Ebene, bezogen auf die [1 1 1]-
Richtung
- 45 -
Kapitel 2
Besonders wichtig sind zwei prinzipielle Erscheinungsformen bei Halbleitern (bzw.
Isolatoren):
Das Minimum des Leitungsbandes hat
denselben k-Wert wie das Maximum des
Valenzbandes (direkter Übergang).
Das Minimum des Leitungsbandes befindet sich
an einem anderen k-Wert als das Maximum des
Valenzbandes (indirekter Übergang).
Abb. 2.4-4: W(k)-Verlauf für direkte und indirekte Halbleiter
Abb. a) stellt das Bändermodell eines direkten Halbleiters dar. Ein direkter Rekombinationsprozeß liegt dann vor, wenn ein Elektron des Leitungsbandes direkt in das
Valenzband übergeht und der Kristallimpuls erhalten bleibt. Diese Bedingung bedeutet, daß
beim direkten Rekombinationsprozeß die Elektronen aus einem Energieniveau des
Leitungsbandes bei einem bestimmten Wellenzahlvektor k in ein Energieniveau des
Valenzbandes bei dem gleichen Wellenzahlvektor k übergehen. Bei der Rekombination
müssen Impuls- und Energieerhaltungssatz erfüllt sein. Da bei direkter Rekombination der
Impuls erhalten bleibt, kann der Energieaustausch "strahlend" (d. h. unter Lichtabgabe) durch
Emission von Photonen geschehen. Ein Vertreter der direkten Halbleiter ist z. B. GaAs.
Abb. b) stellt das Bändermodell eines indirekten Halbleiters dar. Bei einem indirekten
Rekombinationsvorgang gehen ebenfalls Elektronen aus dem Leitungsband in das
Valenzband über. Bei diesem Übergang tritt neben der Energieänderung auch noch eine
Impulsänderung auf. Da auch hier wieder der Impuls und Energieerhaltungssatz gelten muß,
ist der Energieaustausch mit Photonen nur bedingt möglich. Bei der indirekten
Rekombination geschieht der Energieaustausch "nichtstrahlend" unter der Beteiligung von
Phononen. Vertreter der indirekten Halbleiter sind z. B. Silizium und Germanium.
Die oben beschriebenen Bändermodelle für direkte und indirekte Halbleiter sind nochmals in
Abb. 2.4-5 aufgetragen. Dabei gelten a) und b) für indirekte Halbleiter und c) für direkte
Halbleiter.
Die verschiedenen Kurven im Valenzband berücksichtigen die Anpassung in
unterschiedlichen k-Bereichen über eine W~k 2 -Charakteristik.
- 46 -
Kapitel 2
Abb. 2.4-5: W(k)-Verlauf für Leitungs- und Valenzband für Ge, Si und GaAs
Vergleich zum W(x)-Verlauf
x: Ortskoordinate im Kristall
Abb. 2.4-6: W(k)- und W(x)-Verlauf im Kristall
Der W(x)-Verlauf kann auch ohne W(k)-Betrachtung hergeleitet werden, indem man die
Wechselwirkung benachbarter Atome aus dem Atomkernschema heraus betrachtet.
- 47 -
Kapitel 2
Abb. 2.4-7:
Aufspaltung von
Energieniveaus
Die Einzelniveaus spalten sich auf, da die Elektronen nicht mehr nur das Feld des ihnen
zugeordneten Kerns erfahren, sondern auch die Felder der Nachbaratome. Dieses führt zu
einer Aufspaltung in sechs Niveaus bei sechs Nachbarn.
Die Änderung der mittleren "Energie" der Niveaus ist bedingt durch die Überlappung der
Elektronenhüllen der einzelnen Atome.
Im Festkörper tritt eine Wechselwirkung mit einer Vielzahl von Atomen ein, so daß praktisch
unendlich viele W(k)-Aufspaltungen vorliegen. Dies ergibt dann ein quasikontinuierliches
Band.
- 48 -
Abb. 2.4-8: W(x) für Festkörper
Kapitel 2
Kapitel 2
- 49 -
5.
Bändermodell (Oberfläche)
Abb. 2.5-1:
Potentialverlauf im Oberflächenbereich (die Oberfläche ist durch x = 0
gekennzeichnet)
An der Oberfläche müssen in jedem Fall sowohl der Potentialtopf als auch die
Gitterperiodizität berücksichtigt werden.
Voraussetzung:
WSurface > WElektron > e ⋅ U 0
mit e ⋅ U 0 = Potentialhöhe im Gitter
WSurface << ∞
Die genannten Bedingungen gelten innerhalb des Festkörpers.
Für x ≤ 0 gilt:
e ⋅ U = W = const.
Mit diesen Randbedingungen liefert die Schrödingergleichung für x ≤ 0 eine von Null
verschiedene Lösung.
Ψη ( x) = c ⋅ e ηx
mit
η=
1
⋅ 2 m( WSurface − WElektron )
h
(2.5-1)
Je größer η, d. h. je größer die Differenz WSurface − WElektron wird, desto schneller fällt Ψ
ab.
- 50 -
Kapitel 2
Abb. 2.5-2:
Ψ(x)-Verlauf
Dieses bedeutet aber auch, daß die x-Werte, bei denen noch eine nennenswerte
Wahrscheinlichkeit existiert, das Elektron wiederzufinden, um so kleiner werden (unendlich
hoher Wall → Ψ = 0 für x < 0, d. h. es befinden sich keine Elektronen außerhalb).
Das Elektron kann bei ausreichender Energie in einen Energieberg hinein- bzw.
hindurchtunneln, d. h. es kann den Festkörper verlassen.
Betrachtung der Randbedingungen:
Die Ψη ( x) -Funktion muß glatt in die entsprechende Ψk -Funktion innerhalb des Volumens
übergehen.
Dies ist für reale k-Werte immer möglich, da es immer zwei Blochfunktionen einer Energie
W(k) gibt, mit +k und -k (Grund: W ~ k 2 ). Durch eine Linearkombination dieser Funktion
läßt sich dann eine Anpassung der beiden Funktionen durchführen.
Daraus folgt, daß die erlaubten Niveaus innerhalb eines Bandes nicht von der Oberfläche
beeinflußt werden.
Anders hingegen ist es in der verbotenen Zone. In dieser existieren keine realen k-Werte. Eine
Beschreibung durch komplexe k-Zahlen ist hingegen möglich. Auch hier besteht die
Möglichkeit einer Anpassung der Wellenfunktion innerhalb und außerhalb des Volumens.
Diese Anpassung ist jedoch nur für einen bestimmten k-Wert möglich, wodurch im
verbotenen Band ein zusätzlicher Zustand geschaffen wird. Zusammenfassend kann man
festhalten, daß als Folge der Begrenzung des Gitters zwischen den erlaubten Energieniveaus
(d. h. in der verbotenen Zone) ein zusätzlicher Zustand (Tamm-Zustand =
Oberflächenzustand) an der Oberfläche entsteht, die Zustände in den Bändern aber
unverändert bleiben. Der Tamm-Zustand ist ausschließlich bedingt durch den Abbruch der
Periodizität.
Diese Berechnung wurde von Schockley mit realistischen Potentialverläufen verbessert
(Abb. 2.5-3).
Abb. 2.5-3a: Potentialverläufe nach Schockley
Kapitel 2
- 51 -
Abb. 2.5-3b: Bildliche Verdeutlichung
Die oben dargestellten Sachverhalte sind der Grund dafür, daß Nichtleiter an der
Oberfläche leitend werden können. Ebenfalls kann das Entstehen von Kriechströmen
an der Oberfläche damit erklärt werden.
6.
Relevante Größen für Elektronenbewegungen im Band
Als relevante Parameter der Elektronenbewegung gelten:
- Bandverlauf
- Geschwindigkeit
- "Beschleunigung" durch E-Feld
- Masse eines Elektrons
Eindimensionale Betrachtung:
Bandverlauf:
W(k)
Gruppengeschwindigkeit:
v=
1 dW
dω
W
; ω= ; v = ⋅
dk
h
h dk
Kraft eines elektrischen Feldes auf ein Elektron der Geschwindigkeit v:
x: Ortskoordinate
→
dW
= −q ⋅ E
dx
dW dt
1 dW
⋅
= −q ⋅ E = ⋅
dt dx
v dt
Kraft =
q = -e
dW
dx
bzw.
(2.6-1)
Kapitel 2
- 52 -
dW dk
dk
dW( k )
= −q ⋅ ν ⋅ E =
⋅
= h ⋅ ν⋅
dk dt
dt
dt
(2.6-2)
q
dk
= − ⋅E
dt
h
(2.6-3)
Die Änderung des Impulses k ist proportional zu der Feldstärke und da k ~V ist, wird das
Elektron beschleunigt.
k~E
k ~V
Vergleiche zu freiem Elektron:
dv
∼E
dt
dp
∼E ;
dt
jetzt:
dk
∼E
dt
Die Masse des Elektrons im Freien beträgt m 0 und ist nicht relativistisch.
Beschleunigung a (von engl. acceleration):
dv 1 d dW 1 d dk dW 1  d 2 W  dk
a=
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅
= ⋅
⋅
dt h dt dk h dt dk dk h  dk 2  dt
1 d 2W  q 
a= ⋅
⋅ − ⋅ E 
h dk 2  h 
1



a = −q ⋅ E ⋅  h 2 2
2
 d W / dk 
also:
a=
(2.6-4)
−1
Elektron im Gitter
(2.6-5)
Elektron im freien Raum
(2.6-6)
1
⋅e⋅E
m∗
a = −q ⋅ E ⋅
1
m
Kapitel 2
- 53 -
Vergleich liefert:
 d 2W 
m = h ⋅ 2 
 dk 
∗
−1
2
(2.6-7)
m∗ : effektive Masse des Elektrons
im jeweiligen Band
m∗ ~ ( Krümmung des Bandes)
−1
m∗ : im Festkörper
m = m 0 im Freien
Der Unterschied m 0 zu m* ist nichts anderes als der Einfluß des Kristallgitters auf das sich
bewegende Elektron.
m* ist verschieden im Leitungs- und Valenzband. Je stärker das Band gekrümmt ist, desto
leichter wird das Elektron. Das Vorzeichen der Masse ändert sich dann, wenn sich die
Krümmung des Bandes im Vorzeichen ändert.
Abb. 2.6-1:
Elektronen können bei Bandverläufen, die Haupt- und Nebenminima besitzen, unter
Einwirkung eines elektrischen Feldes in eine "Mulde" mit geringerer Krümmung
fallen, wobei sich ihre Masse (sie werden schwerer) verändert.
Beispiel: GaAs
m* = m(k)
Abb. 2.6-2:
Kapitel 2
- 54 -
m∗0 ⇒ E = 0
m∗ ⇒ E ≠ 0
m∗ > m∗0
b : Beweglichkeit
b( m∗ ) < b( m∗0 )
v=b⋅E
Die Beweglichkeit der Elektronen nimmt mit steigendem elektrischen Feld (bedingt durch die
größer werdende Masse) ab.
Daraus folgt, daß sich die Schaltgeschwindigkeiten von HL-Bauelementen (z.B. FETs) bei zu
hohem elektrischen Feld verringern.
Abb. 2.6-3:
Hinweis: Krümmung einer Kurve y = f(x):
k=
(d
2
y / dx 2 )
  dy  
1 +  dx  


2
Abb. 2.6-4:
Relationen W(k),
v(k) und m*(k) für
freies Elektron (gestrichelt) und Festkörperelektron
3
2
- 55 -
Kapitel 2
Die bislang durchgeführten Betrachtungen gelten für Elektronen und damit für Fermionen
(halbzahliger Spin: 1/2, 3/2, . . .). Dies bedeutet, daß alle W(k)-Werte nach der Fermi-Statistik
besetzt werden.
Ein wesentlicher Unterschied zu den Supraleitern besteht darin, daß dort die Ladungsträger
keine Fermi-Teilchen, sondern Bosonen (ganzzahliger Spin: 0,1, . . .) sind.
Bosonen sind z. B. Elektron-Elektron-Paare (Cooper-Paare).
Die einzelnen Materialien unterscheiden sich in ihren Bändermodellen:
a.) Isolator
b.) Halbleiter
c.) quasi Metall
Wg >> kT
Wg > kT
Wg < kT
d.) Metall bei überlappenden Bändern
e.) Metall bei halbvollem Band
Abb. 2.6-5: Materialeinteilung in Abhängigkeit des Bandabstandes
Kapitel 3
- 56 -
Kapitel III
HALBLEITER
1.
Einleitung
Der Unterschied zwischen Isolatoren und Halbleitern ist fließend. So sind "typische"
[
]
Dielektrika, wie z.B. BaTiO 3 Wg ≈ 3,4eV , sehr wohl als Halbleiter zu beschreiben
und auch zu nutzen. Umgekehrt sind "typische" Halbleiter, wie z.B. ZnO
[W
g
]
≈ 3,2eV , auch als Dielektrika zu nutzen. Des weiteren lassen sich Halbleiter
anhand ihrer Bandübergänge in direkte und indirekte Halbleiter unterteilen .
Abb. 3.1-1 : W(k)-Verlauf bei direkten und indirekten Halbleitern
2.
Besetzungsstatistik und Ladungsträgerkonzentration
Ausgangspunkt für die Betrachtung der Ladungsträgerdichte ist :
Effektive Masse:
m∗
m∗e =effektive Elektronenmasse
m∗p =effektive Löchermasse
Die effektive Elektronenmasse ist eine Funktion der Bandkrümmung.
m e = f(Bandkrümmung)
m e0 = konstant
m e0 = Ruhemasse des Elektrons
m∗e < m e 0
folgt : Die Beschleunigung eines Elektrons im Festkörper ist in der Regel größer als
im Vakuum
- 57 -
Kapitel 3
Energie:
p2
h2 ⋅ k 2
=
(3.2-1)
2 m∗
2 m∗
W≡kinetische Energie
(potentielle Energie wird zunächst ignoriert)
W (k ) =
Verfügbarkeit von Ladungsträgern:
n=Elektronenkonzentration
b=Beweglichkeit der Ladungsträger
p=Löcherkonzentration
Abb.3.2-1:
σ = q n ⋅ n ⋅ bn + q p ⋅ p ⋅ bp
Frage:
σ = elektrische Leitfähigkeit
Wie groß ist die Dichte der Elektronen im Leitungsband ?
Wie groß ist die Dichte der Löcher im Valenzband ?
Zunächst Betrachtung für Eigenleitung.
(n = p wegen Paargeneration von Elektronen und Löchern)
Elektronendichte im Leitungsband:
Es gilt :
n=
WLo
∫S
WLu
L
( W) ⋅ f ( W ) dW
S L ( W) : Zustandsdichte der Elektronen bei (W,dW)
f(W)
Vereinfachung :
: Besetzungswahrscheinlichkeit der Elektronen für den Zustand
(W,dW)
Da f(W) sehr schnell gegen null geht, erfolgt der Übergang
WLo → ∞ und WLu ≡ WL
∞
n = ∫ S L ( W) ⋅ f ( W) dW
(3.2-3)
WL
Löcherdichte im Valenzband :
Die Wahrscheinlichkeit ein Loch anzutreffen, ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit, kein
Elektron vorzufinden.
WV
Es gilt:
p = ∫ S V ( W) ⋅ [1 − f ( W) ] dW
−∞
S V ( W) : Zustandsdichte der Löcher im Valenzband
[1-f(W)]: Wahrscheinlichkeit für Löcher im Valenzband
(3.2-3)
Kapitel 3
- 58 -
Vereinfachung :
Da f(W) sehr schnell gegen eins und somit [1-f(W)] gegen null geht,
erfolgt auch hier der Übergang
WLu → −∞ und WLo ≡ WV
f(W) : Fermi-Funktion
f(W) ist gleichbedeutend mit einer Aussage über die Wahrscheinlichkeit, daß ein Elektron im
Energieintervall (W,dW) wiederzufinden ist.
Die Fermi-Funktion bestimmt die Besetzungswahrscheinlichkeit von Fermi-Teilchen als
Funktion der Energie. Fermi-Teilchen sind diejenigen Teilchen, die einen Spin von 1/2
besitzen. Auch Elektronen sind Fermi-Teilchen .
Im Falle stark verdünnter Konzentrationen geht die Fermi-Statistik in die Boltzmann-Statistik
über.
f ( W) =
1
1+ e
WF : Fermi-Energie
W − WF
kT
(3.2-4)
Die Fermi-Energie ist diejenige Energie, bei der die Besetzungswahrscheinlichkeit 1/2
beträgt.Die Fermi-Funktion ist temperaturabhängig.
[1 − f ( W)] = 1 −
[1 − f ( W)] =
e
[1 − f ( W)] =
T>0
0, W >> WF
1
(
)
f W =  , W = WF
2
1, W << WF
f ( WF ) = 1 / 2 für alle T
−
1
1+ e
( W− WF )
kT
W − WF
kT
1
+e
=
e
W − WF
kT
1+ e
W − WF
kT
( W− WF ) −( W− WF )
kT
1
1+ e
(3.2-5)
WF − W
kT
T=0
0, W > WF
1
(
)
f W =  , W = WF
2
1, W < WF
bei null Kelvin ist die Fermi-Funktion
eine Stufenfunktion.
Abb.3.2-2 : Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 und T > 0
Kapitel 3
- 59 -
Abb. 3.2-3 : Fermi-Funktion eines intrinsischen Halbleiters
Beispiel:
Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Elektronen im Leitungsband ist durch die Temperatur
steuerbar. Bei T = 0 Kelvin ist die Wahrscheinlichkeit, Elektronen im Leitungsband anzutreffen, gleich null.
Die Betrachtung hat sich bis jetzt auf die Besetzungswahrscheinlichkeiten beschränkt. Im
folgenden soll nun darauf eingegangen werden, wie die Zustandsdichte S L ( W) der Elektronen
zu berechnen ist.
An den Bandkanten (bei WL ) liegt praktisch ein rein parabolischer W(k)-Verlauf vor. Deswegen kann die Betrachtung für ein "Elektron im Potentialtopf" durchgeführt werden, und
zwar dreidimensional.
1 h2 k 2
2 m∗e
bisher:
W( k ) =
jetzt:
Da die Dichte auf das Volumen bezogen wird, erfolgt die
dreidimensionale Herleitung:
k 2y
k2 
1 2  k 2x
W = h  ∗ + ∗ + ∗z 
2  me
me
me 
x
Kubisches System:
y
z
m∗e = m∗e = m∗e = m∗e
x
y
z
Aus der Potentialtopfbetrachtung folgen gequantelte k-Werte.
k x = ±n x ⋅
2π
2π
2π
; k y = ±n y ⋅ ; k z = ±n z ⋅
Lx
Ly
Lz
Lx,Ly,Lz sind die äußeren Abmessungen des Topfes.
(3.2-6)
Kapitel 3
- 60 -
Die Zahl der Zustände, für die k im Element ( dk x ⋅ dk y ⋅ dk z ) liegt, ist demnach gleich:
Ly
Lx ⋅ Ly ⋅ Lz
Lx
L
dk x ⋅
dk y ⋅ z dk z =
dk x ⋅ dk y ⋅ dk z
2π
2π
2π
8π 3
Eine zusätzliche Berücksichtigung des Spins liefert (da pro k-Wert 2 Spineinstellungen):
Lx ⋅ Ly ⋅ Lz
Volumen
dk x ⋅ dk y ⋅ dk z =
dk x ⋅ dk y ⋅ dk z
3
4π
4π 3
Die Dichte der Zustände im Element dk x ⋅ dk y ⋅ dk z ergibt sich zu :
S L ( k) =
Zahl der Zustä nde
Volumen
S L ( k ) dk =
(
1
dk x ⋅ dk y ⋅ dk z
4π 3
)
(3.2-7)
Diese Aussage subsummiert, daß der Begriff "Dichte" überhaupt zulässig ist. Dies gilt im
wesentlichen nur für solche Systeme, bei denen L x , L y und L z makroskopischer Natur sind,
d.h. eine enge Quantelung der k-Werte vorliegt. In diesen Fällen können die Elektronen sich
in allen drei Raumrichtungen frei bewegen.
Mit:
4πk 2 dk = dk x ⋅ dk y ⋅ dk z
folgt:
k2
S L ( k ) dk = 2 dk
π
(3.2-8)
Gesucht war aber eigentlich S L ( W) . Wir erweitern die gefundene Gleichung mit dW/dW:
S( W) dW =
k 2 dk
dW
π 2 dW
dk/dW und k müssen noch durch W ausgedrückt werden:
k2
π2
= 8me∗
k =2
π
h
dk π
=
dW h
Aus W(k)-Relation
W (k )
h2
W (k ) =
2me∗W
(3.2-9)
2
2
h
k
∗ ∗
2
(2π ) 2me
2me∗
2me∗W
S (W )dW = 8me∗
Wπ
h2 h
2me∗
2me∗W
8πm ∗
S (W )dW = 3 e 2me∗W dW
h
dW
Jetzt wieder zurück zur tatsächlichen Situation:
Elektron im Leitungsband.
Das Band entsprach dem Potentialtopf, also hat W die Rolle von ( W − WL ) übernommen:
Kapitel 3
- 61 -
Zustandsdichte für Elektronen im Leitungsband :
8π m∗e
S L ( W) =
2 m∗e ( W − WL )
h3
(3.2-10)
Dies gilt nur für den Fall, daß sich die Elektronen in allen drei Raumrichtungen frei bewegen
können.
Die Herleitung erfolgt entsprechend für Löcher.
Zustandsdichte für Löcher im Valenzband:
8π m∗p
S V ( W) =
2 m∗p ( WV − W)
h3
(3.2-11)
Berechnung der Ladungsträgerkonzentrationen n, p
∞
n = ∫ S L ( W) f ( W) dW =
WL
3 ∞
1
4π
∗ 2
2
(
)
(
)
2
m
W
−
W
f ( W) dW
∫
e
L
h3
W
L
WV
p = ∫ S V ( W) [1 − f ( W) ] dW =
−∞
3
1
4π
∗ 2
2
( 2me ) ∫ ( WV − W) [1 − f ( W)] dW
h3
−∞
WV
Diese Gleichungen sind dann zu beachten, wenn eine hohe Ladungsträgerdichte vorliegt (d.h.,
daß gegebenfalls ein Elektron einen Platz nicht besetzen kann, weil er schon besetzt ist (ab
1020 cm-3 aufwärts).
Für niedrige Besetzungsdichten (die meistens vorliegen) wird folgende Vereinfachung
durchgeführt :
f ( W ) ≈ exp −
W − WF
kT
(Da Pauli-Prinzip nicht bedeutsam wegen der niedrigen Besetzungsdichte)
W − WF >> kT
Hinweis:
Wg ≈ 1eV
kT 300 K ≈
1
eV
40
Dann geht die Fermi-Verteilung in die Maxwell-Boltzmann-Verteilung über. (Die MaxwellBoltzmann-Verteilung berücksichtigt nicht, ob ein Teilchen einen Spin besitzt oder nicht.)
f ( W) ~ e
−
W − WF
kT
[1− f ( W)] ~ e
W − WF
kT
Setzt man diese Formeln in die entsprechenden Integrale ein, so erhält man als Lösungen:
Kapitel 3
- 62 -
Elektronenkonzentration im Leitungsband:
3
n = NL ⋅e
WL − WF
−
kT
 2π m∗e kT  2

mit N L = 2
h2


(3.2-12)
Löcherkonzentration im Valenzband:
3
p = NV ⋅e
WF − WV
−
kT
 2π m∗p kT  2
mit 2

h2


(3.2-13)
Die Gleichungen (3.2-12) und (3.2-13) sind allgemein gültig!!
Für die Eigenleitungsdichte gilt:
n = p = ni
n ⋅ p = n 2i
Massenwirkungsgesetz
 W − WF + WF − WV 

n 2i = n ⋅ p = N L ⋅ N V ⋅ exp − L
kT


 W − WV 

n 2i = N L ⋅ N V ⋅ exp − L

kT 
(3.2-14)
 W 
n i ~ exp − G 
 kT 
(3.2-15)
WL − WV = WG
Die Eigenleitungsträgerkonzentration ist unabhängig von der Lage des Fermi-Niveaus.
wegen n = p folgt :
Für WF ergibt sich bei der Eigenleitung :
−
WL − WF
kT
−
WF − WV
= N V e kT
W − WF
W − WV
= ln( N V ) − F
ln( N L ) − L
kT
kT
 N  −WF + WV + WL − WF −2WF + WL + WV
=
ln L  =
kT
kT
NV 
NL e
WF =
N 
1
1
(
WV + WL ) − kT ln L 
2
2
NV 
(3.2-16)
Kapitel 3
- 63 -
Einsetzen der Werte für N L und N V liefert:
3
 m∗  2
1
1
WF = ( WV + WL ) − kT ln ∗e 
2
2
 mp 
(3.2-17)
Für m∗e = m∗p liegt WF für alle Temperaturen in der Mitte des verbotenen Bandes.
Für m∗e ≠ m∗p ergibt sich ein geringer linearer Anstieg bzw. Abfall mit der Temperatur.
Zusammenfassung der bis jetzt erbrachten Ergebnisse:
m∗e , m∗p = f ( W( k ) )
damit verbunden auch die Beweglichkeit der Ladungsträger
b~
1
m∗e
Λ
b~τ
b~τ
τ = mittlere Lebensdauer von Ladungsträgern
z.B. für Elektronen:
bn =
e ⋅ τe
m∗e
χ : Leitfähigkeit
χ = q n ⋅ n ⋅ bn + q p ⋅ p ⋅ bp
(
χ = e n ⋅ bn + p ⋅ bp
)
q n = e− , q p = e
Ziel ist das Modifizieren der Leitfähigkeit von Halbleiterbauelementen.
Beweglichkeitsänderungen von Ladungträgern sind begrenzt und lösen nicht das Problem der
Steuerung der Leitfähigkeit.
→
→
→
⇒ Steuerung von κ durch Änderung von n( r ) und p( r ) , wobei r = ( x, y, z)
Hiervon bedeuten üblicherweise (x,y) die Oberfläche des Halbleiters und z die Tiefe .
Möglichkeiten, n und p zu variieren:
- Dotieren:
z.B. B (Bor) in Si
⇒ p-Dotierung
P (Phosphor) in Si
⇒ n-Dotierung
- Bandverbiegung, d.h. Veränderung des W(z)-Verlaufes durch äußere
Potentiale
- Änderung des Halbleitersystems, d.h. Erzeugung von Schichtsystemen
- Änderung der Dimensionalität des Leitungsmechanismuses, z.B. Übergang zu
zweidimensionalem Elektronengas
3.
Störstellen- bzw. extrinsischer Halbleiter
Kapitel 3
- 64 -
3.1 Bändermodell
Abb. 3.3-1: W(x)-Verlauf
N D bzw. N A übernehmen eine ähnliche Rolle wie die Zustandsdichte im Band. Hier gilt es
jedoch für ein festes Energieintervall.
D → D+ + e−
A → A − + p+
Neutralitätsbedingung:
n + N −A = p + N +D
[
]
[
N L f ( WL ) + N A f ( WA ) = N V 1 − f ( WV ) + N D 1 − f ( WD )
f ( WA ) :
]
Wahrscheinlichkeit, ein Elektron bei WA zu finden, also e − + A → A −
[1 − f ( W )] :
D
Wahrscheinlichkeit, ein Loch bei WD zu finden, also D → D + + e −
Bis auf WF in der Fermi-Funktion sind alle Größen bekannt. Dieses WF ist nur noch
über komplizierte numerische Verfahren bestimmbar und ist eine Funktion der
Temperatur.
- 65 -
Beispiel:
Kapitel 3
n-Halbleiter:
Abb. 3.3-2: Abhängigkeit des Ferminiveaus von der Temperatur
Abb. 3.3-3 : Lage des Fermi-Niveaus im extrinsischen Halbleiter (Ge in Abhängigkeit
von der Temperatur und Dotierung)
3.2
Majoritäts- und Minoritätsträgerkonzentration
Bei Eigenleitung gilt: n = N L N V e
2
i
−
WL − WV
kT
(vgl. 3.2-14)
Jetzt werden niedrigere Temperaturen betrachtet, so daß keine Eigenleitung mehr
vorliegt.
Kapitel 3
- 66 -
Dann ergeben sich in entsprechender Weise für den Bereich der Störstellenreserve :
n2 = N L N D e
n~e
−
−
p = NV NA e
−
(3.3-1)
WL − WD
2 kT
2
p~e
WL − WD
kT
−
WA − WV
kT
WA − WV
2 kT
(3.3-2)
Abb. 3.3-4 : Temperaturverlauf der Ladungsträgerkonzentration n im n-Halbleiter
Wie verläuft die Minoritätsträgerkonzentration p im Bereich der Störstellener schöpfung ?
−
WG
2 kT
Es gilt immer :
n ⋅ p = n ; ni ~ e
Störstellenerschöpfung :
n = ND
2
W
n 2i
 − 2WkT 
−


p=
~ e
~ e kT

ND 
2
i
G
G
(3.3-3)
Daraus kann man den ebenfalls in obiger Zeichnung dargestellten Verlauf der
Minoritätsträgerkonzentration herleiten.
Die Fermi-Energie ist innerhalb des Werkstoffes im thermodynamischen
Gleichgewicht konstant, da andernfalls die Ladungsträger so lange fließen würden, bis
überall das gleiche Nivea f(W) = 1/2 existieren würde.
Diese Aussage gilt auch an der Oberfläche !
- 67 -
Kapitel 3
Die Folge hiervon ist, daß durch Abbruch des Gitters entstandene (Tamm-) Zustände
oder auch durch Absorption und Rekombination gebildete Oberflächenzustände sich
auf die Form der Bandstruktur an der Oberfläche auswirken.
Vereinfacht kann man festhalten :
Durch Zustände oder durch angelegte Potentiale wird nicht die Fermi-Energie,
sondern das Band verbogen.
4.
Bandverbiegung
4.1
Bandverbiegung als Folge des elektrischen Feldes
Die nachfolgend dargestellte Zeichnung verdeutlicht das Entstehen der
Bandverbiegung als Folge eines angelegten elektrischen Feldes :
Abb.3.4-1 : MetallHalbleiter-Übergang
→
→
∫ Dd A = ∫ D⋅ A = D⋅ A = Q
A
→
A
→
D⊥d A
U
U0 − US
Q
= εr ε0 E = εr ε 0 S = ε0
A
zS
z0
US
z
U0 − US
⇒
= S − ε0
U 0 − U S εr z 0
z0
≈ e ⋅ nb ⋅ z S
n b = Dichte der freien Ladungsträger im Volumen
für intrinsische Halbleiter gilt: n b = n i
(3.4-1)
Kapitel 3
- 68 -
- Beispiel Kondensator:
mit Metallplatten
mit Metallplatten und Isolator
z
z
Abb.3.4-2: Zum Vergleich: Kondensator
- Beispiele für andere Übergänge
Halbleiter - Halbleiter
PN-Übergang
Abb. 3.4-3:
Metall - Halbleiter
FET
Kapitel 3
- 69 -
Abb. 3.4-4: Bandverlauf im Bereich der Oberfläche
⇒
zS ~
ε rε 0 US
nbe
zS ~ ( n b )
−
1
2
(3.4-2)
D. h., je hochohmiger das Material ist, um so größer wird der Bereich der Bandverbiegung.
Die Form der Verbiegung ergibt sich durch die Poisson-Gleichung; Voraussetzung dafür ist
jedoch, daß sich keine freien Ladungsträger in der Raumladungszone befinden.
d2U
e
N
2 = −
ε 0ε r D
dz
⇒
U( z) = U S + E 0 z −
U( z) ~ z 2
N D = Donatorendichte
eN 2
z
2ε r ε 0
(3.4-4)
→
; E( z) ~ z
linearer Abfall des
Feldes im Halbleiter
Abb. 3.4-5: Feldverteilung in der Raumladungszone
(3.4-3)
Kapitel 3
- 70 -
Die Raumladungszone (0 < z < z S ) entsteht durch die Differenz der Konzentration an freien
und festen Ladungsträgern. Die Ladung der ortsfesten Akzeptoren und Donatoren wird
normalerweise jeweils durch ein Loch oder Elektron kompensiert. Dieses ist in der
Übergangszone nicht mehr der Fall, weshalb eine Raumladungszone entsteht. In dieser
Übergangszone befinden sich nur noch sehr wenig bewegliche Ladungsträger (im
Leitungsband: Elektronen), und man kann von einer Verarmungszone sprechen. Diese
Verarmung drückt sich bei einem n-Halbleiter dadurch aus, daß im Bändermodell das
Leitungsband geringfügig nach oben gebogen wird.
Hinweis auf die Grundlagen der Theoretischen Elektrotechnik:
r
d 2U
dE
≈ ρ ( z ) ; ∇ 2 U ≈ ∇E ≈ ρ
2 ≈
dz
dz
ρ ( z) = const .,
0 ≤ z ≤ zs
E ( z ) = bx − a
U ( z) = − ∫ E ( z ) dz
b
U ( z ) = − x 2 + ax ± c
2
Abb. 3.4-6: Raumladung, Feld, Potential
4.1.1 Metall-Isolator-Halbleiter-Struktur
Abb. 3.4-7: Bandverbiegung und Ladungsträgerbewegung an der Oberfläche
4.1.1.1 Beispiel Feldeffekttransistor
Kapitel 3
- 71 -
Abb. 3.4-8: Feldeffekttransistor
Das Vakuum zwischen Metall und Halbleiter wird durch ein Dielektrikum, z. B. SiO 2 ,
ersetzt.
Dies geschieht im wesentlichen aus konstruktiven Gründen. Man kann dann leicht einen
Abstand im µm-Bereich einstellen. Diese Vorgehensweise findet bei den
Feldeffekttransistoren Anwendung .
Im folgenden soll der Einfluß verschiedener Gatespannungen auf die Bandverbiegung an dem
Metall (Gate)-Halbleiter-Kontakt (mit zwischenliegender SiO 2 -Schicht) behandelt werden.
Die Betrachtung erfolgt für einen n-Halbleiter. Das Fermi-Niveau des Metalls und das des nHalb-leiters sollen auf gleicher Höhe liegen. Weiter soll a priori keine Bandverbiegung der
Oberfläche vorliegen.
U Gate = 0:
Es findet keine Bandverbiegung statt ⇔ Flachband
∞
U=0
n = ∫ S L ( W) f ( W) dW
WL
U Gate < 0:
Es findet eine Bandaufwölbung statt. In dieser Randzone befinden sich keine
beweglichen Elektronen mehr, sondern nur noch die ionisierten ortsfesten
Atomrümpfe. Gleichzeitig befindet sich das Valenzband noch so weit von
WF entfernt, daß praktisch keine Löcher vorhanden sind. Dies bedeutet,
daß an der Oberfläche eine Verarmung an beweglichen Ladungsträgern vorliegt. Diese Randzone wird somit als Verarmungszone bezeichnet.
∞
U < 0 an der Oberfläche:
n=
∫S
WLS
U Gate > 0:
L
( W) f ( W) d W
Es findet eine Bandabwölbung statt. Es gelangen mehr Elektronen vom Metall in den Halbleiter. Es bildet sich eine negative Halbleiter-Randschicht aus.
Diese Randschicht wird als Anreicherungsrandschicht bezeichnet, da sie mit
beweglichen Ladungsträgern angereichert wird.
- 72 -
Kapitel 3
Realisierung eines kapazitiven Schalters durch Rauf- und Runterschieben der Band verbiegung.
Abb. 3.4-9: Bandverbiegung bei verschiedenen Gatespannungen
(ohne Oberflächenzustände zu berücksichtigen; Idealfall)
Als nächstes wird der Fall U Gate << 0 bei "Verarmung" betrachtet:
Die Oberfläche wird hier dennoch leitend, da nun das Valenzband weiter hochgebogen wird
und sich der Fermi-Energie nähert. Dadurch tritt eine höhere Löcherkonzentration auf. Daraus
ergibt sich, daß die Leitfähigkeit von Löchern getragen wird, d. h., daß im ursprünglichen nHalbleiter eine positive, p-leitende Schicht entsteht. Diese Schicht bezeichnet man als
Inversionsschicht.
Aus dieser idealisierten Struktur wird folgendes Bauteil realisiert:
MOS-FET
Abb. 3.4-10: Schema eines Feldeffekttransistors
- 73 -
Kapitel 3
Durch die Bauart ergeben sich folgende Nachteile:
1)
Oxidschicht notwendig:
-
2)
relativ hohe Steuerspannung
Kosten
Begrenzte Frequenz:
-
hohe Gate-Kapazität begrenzt die Frequenz
Der Abstand zwischen Source und Drain definiert die minimal
notwendigeLaufzeit der Ladungsträger und damit die Frequenz.
Abb. 3.4-11:
Je kleiner der Abstand d ist, desto höhere Frequenzen sind zu erreichen. Hieraus ergibt sich
die Forderung, daß d zu minimieren ist.
Richtwerte: d = 0,5 µm
⇒
f max = 30 GHz
für GaAs
d = 0,2 µm
⇒
f max = 100 GHz
Problem:
Der Abstand zwischen Source und Drain ist aber nicht beliebig klein zu
machen, da der Strom "herangeführt" werden muß.
Beispiel für einen Gate-Anschluß:
Es werden T-Gates oder Mushroom-Gates verwendet.
-
Die Oxidschicht kann nicht beliebig klein gemacht werden, denn für
lim z E → 0
liegt ein Schottky-Kontakt vor.
- 74 -
Kapitel 3
4.1.1.2 Technologie
Abb. 3.4-12:
Oberflächenrauhigkeit
von Substraten
Für eine Welligkeit ∆z > 0,5 µm kann man die optische Lithographie mit einer Auf lösung von 0,5 µm (Schärfentiefe) nicht mehr verwenden. Als Ausweg kann die
Elektronenstrahlbelichtung angewendet werden.
Photolack: PMMA (Plexiglas)
Abb. 3.4-13:
Schematisch laterale
Strukturierung mit
Elektronenstrahlbelichtung
5.
Oberflächenbauelement (Metall-Halbleiter-Kontakt)
Bislang wurde folgende Struktur untersucht:
Metall
Isolator
← −−−−− →
∆z → 0
Halbleiter (ohne Oberflächenzustände)
Im folgenden sollen die noch offenen Fragen behandelt werden:
1.
Was passiert bei ∆z → 0 ?
Welche Analogien ergeben sich hier zum direkten Metall-Halbleiter-Kontakt?
2.
Was passiert an der Oberfläche bei Existenz von Oberflächenzuständen (ohne
Vorhandensein der obigen Kondensator- bzw. Feldeffektanordnung)?
3.
Wie beeinflussen ∆z → 0 und die Existenz von Oberflächenzuständen das
Verhalten der obigen Anordnung?
Kapitel 3
- 75 -
5.1 Grundlagen
Zunächst betrachten wir den spezifischen Widerstand für das Volumen und die
Oberfläche:
Gegeben sei folgender Quader:
An der Oberfläche besteht eine Leitfähigkeit,
der man eine Oberflächenleitfähigkeit zuordnen
kann und somit auch einen spezifischen Oberflächenwiderstand.
Abb. 3.5-1:
Skizze zur Verdeutlichung des Oberflächenwiderstandes und der
Oberflächenleitfähigkeit
R⋅A
l
;
[ ρ∗ ] = Ωm
d
l
;
[ρ ] = Ω
Volumen:
ρ∗ =
Oberfläche:
ρ∗Ω = R Ω
∗
Ω
(3.5-1)
;
[κ ] = Ω
Ω
−1
(3.5-2)
R Ω : Widerstand, der an der Oberfläche gemessen wird (Oberflächenanteil)
ρ∗Ω : kann Vorzeichen wechseln, da es als "Differenzwert" zum Volumenverhalten definiert ist
Die Fermi-Niveaus werden auf das gleiche Maß gebracht.
(a)
(b)
(c)
Abb. 3.5-2: a) Metall und Halbleiter ohne Kontakt
b) Metall und Halbleiter miteinander verbunden
c) Metall und Halbleiter miteinander verbunden, jedoch mit
kürzerem Abstand
Unterschiedliche Austrittsarbeiten für Metall und Halbleiter führen ebenfalls zur
Ausbildung einer Potentialstufe. Werden beide Materialien an den "Rückseiten"
leitend miteinander verbunden, fließen so lange Ladungsträger, bis sich die Fermienergien beider Materialien ausgeglichen haben.
- 76 -
Kapitel 3
5.2 Oberflächenzustände
Eine Bandverbiegung kann auch die Folge von Oberflächenzuständen sein. Im
folgenden sollen Oberflächenzustände bei einer MIS- oder MOS-Struktur betrachtet
werden.
Unter Oberflächenzuständen versteht man besetzbare Energieniveaus in der
verbotenen Zone. Diese Zustände können wie Akzeptoren oder Donatoren wirken,
d.h., sie können Elektronen einfangen oder abgeben. Oberflächenzustände entstehen
durch den Gitter-abbruch an der Oberfläche (Tamm-Zustand), durch
Verunreinigungen oder durch Gitterbaufehler.
Zunächst sollen Oberflächenzustände bei einer Energie Wt eingeführt werden.
χ = Elektronenaffinität
Abb. 3.5-3: Bandverbiegung durch Oberflächenzustände
a), c): Band unmittelbar nach Einbringen der Zustände (fiktiv);
b), d): Band, nachdem Elektronen in die bzw. aus den Störstellen geflossen
sind
Die Einführung von Oberflächenzuständen bewirkt je nach relativer Lage zum Fermi-Niveau
eine Generation von positiv bzw. negativ geladenen "Oberflächenplätzen", so daß eine
Oberflächen-raumladung entsteht, die ihrerseits eine Bandverbiegung hervorruft.
Oberflächenzustände sind in der Regel unerwünscht!
Diese Bandverbiegung kann eine Änderung des Leitfähigkeitstyps auf der Oberfläche
hervorrufen.
Kapitel 3
- 77 -
W
1
2
1
2
z=0
z
Abb. 3.5-4: Bandverbiegung als Folge von Oberflächenzuständen
[ ] definiert schematisch die energetische Lage der Oberflächenzustände
Da die Oberflächenzustände mit der Bandverbiegung wandern, folgt:
[1] Es befnden sich keine Elektronen in den Oberflächenzuständen, da die
Zustände oberhalb des Ferminiveaus liegen.
[2] Es sind alle Oberflächenzustände mit Elektronen besetzt, da sie sich
komplett unterhalb der Fermienergie befinden.
Oberflächenzustände können nur mit Elektronen besetzt sein, wenn sie sich unterhalb der
Fermienergie befinden.
Problem:
Die Oberflächenzustände werden beim Überschreiten des Ferminiveaus umgeladen. Findet dieser Vorgang beim Schalten statt, verlangsamt sich der
Schaltprozeß.
Störende Oberflächenzustände entstehen beim Abbruch des Gitters, wenn Verbindungen mit
fremden Atomen, Molekülen aus der Luft stattfinden. Ionisierende Strahlung (z. B. Röntgenstrahlung) führt ebenfalls zu unerwünschten Oberflächenzuständen.
Kapitel 3
- 78 -
Abb. 3.5-5: Beeinflussung des Metall-Halbleiter-Kontaktes durch Oberflächenzustände
a) Metall- und Halbleiter getrennt, Halbleiter mit Oberflächenzuständen
(Bandverbiegung)
b) Metall und Halbleiter verbunden (Potential als Differenz der Fermi-Energien)
c) Metall und Halbleiter verbunden, jedoch kurzer Abstand
Die Bandverbiegung kann so weit gehen, daß an der Oberfläche der Leitfähigkeitstyp
wechselt, d.h., daß bei einem n-Halbleiter an der Oberfläche p-Leitung auftritt. Dieses
bezeichnet man als Inversion.
a)
b)
W(x)
W(x)
Leitungsband
Valenzband
Valenzband
x
W <W
L
x
V
Abb. 3.5-6: Bandmodell für Metalle (T = 0)
a)
Einwertige Metalle, d. h., der Valenzzustand ist nur mit einem Elektron besetzt (ungerade Zahl).
Das Valenzband ist halbvoll und ist gleichzeitig auch das Leitungsband.
b) Der Übergang von dem Valenz- in das Leitungsband erfolgt ohne Energiegewinnung (nicht
temperatur-abhängig). Es tritt sowohl als Elektronen- als auch als Löcherleitung auf. Dieses ist nur
bei zweiwertigen Metallen möglich.
Die obigen Betrachtungen für die Bandverläufe können analog übernommen werden
für den Fall, daß der Abstand Metall-Halbleiter gegen Null geht.
Der so entstandene Kontakt kann dann entweder ohmsche oder gleichrichtende
Eigenschaften haben. Im ersten Fall liegt ein ohmscher Kontakt mit einer linearen U-IKennlinie und im zweiten ein Schottky-Kontakt mit einer nichtlinearen U-I-Kennlinie
vor.
- 79 -
Kapitel 3
5.3 Austrittsarbeiten
Erinnerung: Die Austrittsarbeit ist diejenige Arbeit, die ein Elektron verrichten muß,
um vom Ferminiveau ins Vakuum zu gelangen.
φ = WVakuum − WF
n-Halbleiter:
Ist die Austrittsarbeit des n-Halbleiters geringer als die des Metalls, so können
mehr Elektronen von dem Halbleiter in das Metall gelangen als von dem Metall in
den Halbleiter. Die Elektronen fließen so lange aus der HL-Oberfläche hinaus, bis
die Fermi-Niveaus auf gleicher Höhe sind. Dieses hat eine negative Vorspan-nung
des Metalls gegenüber dem Halbleiter zur Folge. Die Halbleiterrandzone ist somit
an Elektronen verarmt. In diesem Gebiet dominieren die ortsfesten Donatorrümpfe.
Somit hat sich an der Randzone eine Verarmungsschicht ausgebildet. Bildet sich eine
Verarmungszone aus, so liegt ein Schottky-Kontakt vor (vgl. Abb.3.5-7).
Ist die Austrittsarbeit des Halbleiters größer als die des Metalls, so können mehr
Elektronen aus dem Metall in den Halbleiter gelangen als umgekehrt. Dies führt zu
einer positiven Vorspannung des Metalls gegenüber dem Halbleiter. Die Randzone
des n-Halbleiters wird also mit Elektronen angereichert, und es bildet sich eine
Anreicherungsschicht aus. Die Ausbildung der Anreicherungsschicht bedeutet, daß
sich ein ohmscher Kontakt gebildet hat (vgl. Abb. 3.5-9).
p-Halbleiter:
Ist die Austrittsarbeit des Halbleiters geringer als die des Metalls, so bildet sich in der
Randzone des p-Halbleiters eine Anreicherungsschicht aus. Somit liegt ein ohm-scher
Kontakt vor (vgl. Abb.3.5-9).
Ist die Austrittsarbeit des Halbleiters größer als die des Metalls, dann bildet sich eine
Verarmungszone aus, und es liegt ein Schottky-Kontakt vor (vgl. Abb. 3.5-8).
Abb. 3.5-7:
Metall-Halbleiter-Kontakt (n-HL) mit Metallaustrittsarbeit > HLAustrittsarbeit (Schottky-Kontakt)
Kapitel 3
- 80 -
p-Halbleiter
Metall
W
W
W
L
φ 2
W
W
W -W
φ 2
W
W
φ 1
F
A
V
B
Abb. 3.5-8: Metall-Halbleiter-Kontakt (p-HL) mit Metallaustrittsarbeit < HLAustrittsarbeit (Schottky-Kontakt)
Abb. 3.5-9:
L
W
φ 1
Metall-Halbleiter-Kontakt als ohmscher Kontakt
a) n-HL: Metallaustrittsarbeit < HL-Austrittsarbeit
b) p-HL: Metallaustrittsarbeit > HL-Austrittsarbeit
F
V
- 81 -
Kapitel 3
Abb. 3.5-10: Metall-Halbleiter-Kontakt (n-HL) als Schottky-Kontakt mit Vorspannung
a) U = 0
b) U < 0
c) U > 0
Der in Abb. 4.5-10 dargestellte Kontakt kann genauso als Oberflächenbauelement gesteuert
werden wie eine MIS- bzw. MOS-Struktur (ähnlich FET).
- 82 -
6.
Volumenbauelement (Halbleiter-Halbleiter-Kontakt)
6.1
Grundlagen
Kapitel 3
Der pn-Übergang
Abb. 3.6-1:
pn-Übergang
An einem pn-Übergang stoßen n- und p-leitendes Material aufeinander. Aufgrund der
unterschiedlichen Elektronen- und Löcherkonzentration liegt ein Konzentrationsunterschied vor, der einen Diffusionsstrom der freien Ladungsträger zur Folge hat. Die
Löcher diffundieren ins n-Gebiet und die Elektronen in das p-Gebiet. Die einzelnen
Randzonen sind an beweglichen Ladungsträgern verarmt. Dort befinden sich
hauptsächlich nur noch die ortsfesten Donator- und Akzeptorrümpfe. Als Folge des
Diffusionsstromes entstehen Raumladungen.
Abb. 3.6-2:
Verlauf der LöcherKonzentration an einem
pn-Übergang
Der Abfall der Minoritätsträgerkonzentration im n-Gebiet erfolgt ohne angelegte
Spannung gemäß
p( x) = p p ⋅ e
−
x
Lp
, wobei Lp: Diffusionslänge der Minoritätsträger im n-Gebiet
Dieser Abfall wird näherungsweise durch das Kastenprofil der Raumladungen erfaßt.
Es entsteht eine Raumladungszone, die praktisch frei von beweglichen Ladungsträgern
ist (Verarmungszone).
Kapitel 3
- 83 -
a)
p
n
+
D
N
N
ND
NA
A
+
ND + eN A + p+
d)
E(x)
b)
ND
NA
n
p
ND
NA
n
x
p
e)
x
Φ(x)
c)
ρ(x)
x
+
x
-
Abb. 3.6-3:
a) pn-Übergang allgemein
b) Dotierungs- und Ladungsträgerkonzentration
c) Raumladungsdichte
d) elektrische Feldstärke
e) Potential
Kapitel 3
- 84 -
6.2 Bändermodell
Raumladungszone RLZ
a)
+
n
Halbleiter
N -N
+ ++
+ ++
D
Donatordicht N
x
D
p
A
- - - -
p
Akzeptordichte N
A
ε
x
u
U
D
x
b)
-
qU
-
W
W
-
Photon
D
W
L
F
W
_W
hν >
+
g
g
+
W
V
+
RLZ
Ln
Lp
W
q(U - U) - W
L
D
F n
qU
W
+ +++
W
V
c)
Metall
n - Halbleiter
B
qφ
Abb. 3.6-4:
Bändermodelle des
pn-Überganges und
des Schottky-Kontaktes
-
-
W
W
L
hν
+
F
W
hν
g
+
RLZ
+
W
V
F p
Kapitel 3
- 85 -
p-Halbleiter
x
2
x
n-Halbleiter
1
W
L
U
O
Abb. 3.6-5:
Bandmodell eines
pn-Überganges
+
W
W
W
Elektronen
W
W
W
L
D
-
F
F
A
V
Löcher
W
V
x 1 und x 2 bilden die Raumladungszone. Die Ausdehnung der Raumladungszone ist
unterschied-lich. Sie ist von der Dotierung abhängig. Ist das n-Gebiet höher dotiert als das pGebiet, so ist die Ausdehnung der p-seitigen RLZ größer als die der n-seitigen. Man kann also
sagen, daß sich die p- und die n-seitigen Ausdehnungen der Raumladungszonen umgekehrt
wie ihre Dotierungen verhalten.
- 86 -
Abb. 3.6-6: Bandmodell eines pn-Übergangs im Gleichgewichtszustand (B),
in Sperrichtung vorgespannt (A) und in Flußrichtung vorgespannt (C)
Kapitel 3
Kapitel 3
- 87 -
6.3
Diodenkennlinie
10
-2
Flußrichtung
I in A
10
-3
10
-4
__
eU
I = I ( e kT - 1 )
O
10
-5
Sperrichtung
10
-6
10
-7
10
- 3
10
- 2
- 1
10
U in V
1
10
Abb. 3.6-7: Diodenkennlinie für den Fluß- und Sperrbereich
6.4 Beschreiben des pn-Überganges als Schichtgrenze
Die Abhängigkeit der Raumladungszonenbreite von der Dotierung und dem Spannungs- bzw.
Feldverlauf innerhalb der Raumladungszone ist bereits in den Grundlagen behandelt worden.
Im folgenden wollen wir das Aneinanderfügen eines p-leitenden und eines n-leitenden
Halbleiters betrachten.
Kapitel 3
- 88 -
Beispiele:
1)
pn-Übergang:
W W
W
W
L
L
W
F
W
F
W
W
V
V
n - HL
p - HL
Abb. 3.6-8: p-HL und n-HL vor dem Zusammenbringen (beide Halbleiter sind gleich
stark dotiert)
Da die Fermi-Energien von p- und n-Halbleitern voneinander verschieden sind, finden beim
Zusammenbringen der Grenzflächen Ausgleichsvorgänge statt.
W
p - HL
n - HL
W
W
L
F
W
V
x
Abb. 3.6-9: p-HL und n-HL bilden einen pn-Übergang im Gleichgewichtszustand
2) Transistor:
Kapitel 3
- 89 -
W
L
W
F
W
W
W
F
p - HL
V
F
p - HL
n - HL
W
W
L
W
W
F
V
p
n
p
x
Abb. 3.6-10: p-n-p-Halbleiter vor und nach dem Zusammenbringen
pn-Übergänge von Halbleitern mit unterschiedlichen Bandabständen
Bisher sind wir davon ausgegangen, daß die Bandabstände der Halbleiter gleich groß sind.
Nun betrachten wir pn-Übergänge von Halbleitern, die unterschiedliche Bandabstände
besitzen.
(Genaueres bei Mischhalbleitern)
n - HL
p - HL
W
L 1
W
W
L 2
W
W
G 1
W
F 1
F 2
G 2 1
W
V 2
W
V 1
Abb. 3.6-11: p-HL und n-HL mit unterschiedlichen Bandabständen vor dem
Zusammenbringen
Kapitel 3
- 90 -
a) p-Halbleiter und n-Halbleiter besitzen gleiche Elektronenaffinität
Erinnerung:
Die Elektronenaffinität ist diejenige Arbeit, die ein Elektron
verrichten muß, um vom Leitungsband ins Vakuum zu gelangen.
χ = WVakuum − WL
W
χ
W >W
G 1
G 2
e
W
~
V a k
χ
Mit WL kontinuierlich:
Spike-Barriere im
Valenzband
e
W
G 1
W
L
W
W
F
G 2
W
V
Spike-Barriere
n - Gebiet
p - Gebiet
Abb. 3.6-12: p-HL und n-HL mit unterschiedlichen Bandabständen und
gleichen Elektronenaffinitäten nach dem Zusammenbringen
b) p-Halbleiter und n-Halbleiter besitzen unterschiedliche Elektronenaffinität
W
W <W
χ > χ
G 1
G 2
e 1
χ
e 2
e 1
W
~
V a k
χ
e 2
W
W
G 1
L
W
p - Gebiet
W
F
G 2
W
V
n - Gebiet
p-HL und n-HL mit unterschiedlichen Bandabständen und
unterschiedlichen Elektronenaffinitäten nach dem Zusammen
bringen
Die entstandene Barriere wird Spike-Barriere genannt. Sie stellt eine "Grenze" für den
Stromfluß dar und ist aufgrund ihrer Symmetrie als ohmsch anzusehen. Die Barriere
ist nur Nanometer dick. Elektronen sind in der Lage durch die Barriere zu tunneln.
Abb. 3.6-13:
-
Mit WV kontinuierlich:
Spike-Barriere im
Leitungsband
Kapitel 3
- 91 -
diskrete Niveaus
quasi kontinuierlich
Abb. 3.6-14: Spike-Barriere
Erinnerung:
Potentialtopfmodell mit diskreten Energieniveaus
W ~ k2
k=±
2π
n
L
Ist L sehr klein, folgt eine große Diskretisierung in bestimmte Energieniveaus.
Die Breite des Topfes liegt in der Größenordnung des Platzbedarfes eines Elektrons.
Folge: 2-dimensionale Bewegung des Elektrons (keine Bewegung in x-Richtung).
Dieser Zustand wird mit zweidimensionalem Elektronengas bezeichnet.
Womit kann eine Bauelementkonzipierung erfolgen?
Wahl des Grundelementes:
• unipolar
Schottky-Diode, Feldeffekttransistor
• bipolar
pn-Übergang, Bipolartransistor
Wahl des Halbleitertyps bezüglich W(k)-Verlauf:
• direkt
GaAs, InP, ZnSe
• indirekt
Si, Ge
Wahl des Bandabstandes:
• Wg ≤ 1 eV Si, Ge
• Wg > 1 eV GaAs, InP, ZnS, Diamant (5,4 eV)
Wahl der Elektronenaffinität bei pn-Übergängen
• Wgp < Wgn und χep < χen : Spike-Barriere
• Wgp > Wgn und χep > χen : Zusatzbarriere
Wahl der Dotierung
n+, n, i, p, p+ (zum Teil nicht immer möglich)
- 92 -
7.
Mischhalbleiter (ternäre Halbleiter)
7.1
Grundlagen
Kapitel 3
Moderne Bauelemente nutzen sowohl Oberflächen bzw. Grenzschichteigenschaften
(FET, Schottky-Kontakt) als auch Volumeneigenschaften (pn-Übergang) zur
Erzielung besonderer Leistungsfähigkeit.
Im folgenden seien zwei Beispiele genannt:
1.
Optoelektronik:
Laserdiode
2.
Mikrowellenelektronik:
zweidimensionales Elektronengas (2 DEG)
und daraus folgend 2-DEG-FET-Strukturen
Bei der Modellierung solcher Bauelemente nutzt man aus, daß sich folgende Größen
(weitgehend) unabhängig voneinander einstellen lassen:
• Bandabstand (Brechungsindex: großer Bandabstand = kleiner Brechungsindex)
• Dotierung (Art und Dichte)
• Austrittsarbeit
Diese Maßnahmen sind möglich durch die Verwendung sogenannter ternärer Halbleiter.
Ternäre Halbleiter sind Stoffe, in denen einer der beiden Komponenten teilweise durch ein
Element der gleichen Gruppe ersetzt wird.
Im folgenden beschränken wir uns auf die Betrachtung von III-V-Halbleitern.
Bsp.: Ausgangsmaterial: GaAs
ein ternäres Material hierzu: Ga x Al 1− x As
x: Mischungsparameter 0 ≤ x ≤ 1
x = 0: AlAs
x = 1: GaAs
Mit dem Mischungsparameter ändert sich die chemische Zusammensetzung linear. Der
Bandabstand ändert sich allerdings nur monoton und besteht aus Kurventeilen, die zu
unterschiedlichen Übergängen gehören (direkter oder indirekter Bandübergang).
Problem: Bei ternären Halbleitern ändert sich die Gitterkonstante mit dem Mischparameter
→ Gitterfehler an Grenzen von Schichtstrukturen, Verspannung von Schichten.
Abhilfe: quaternäre Halbleiter, III-V-Halbleiter, bei denen sowohl die Kationen als auch die
Anionen aus gemischten Spezies bestehen, z. B. Al x Ga 1− x As y P1− y , mit x =
Mischparameter für Kationen und y = Mischparameter für Anionen.
Kapitel 3
- 93 -
Γ
0,8
0,6
0,4
3,4
indirekt
X
1,8
Γ
direkt
3,2
n
1,6
direkt
0,2
0
0 0,2
InAs
0,4
direkt
0,6 0,8 1,0
x
GaAs
3,0
1 -x
1,4
0
GaAs
3
T=300 K
GaAs P
eV
eV
x
2,5
W=
2,251
g
g
Bandabstand W
2,0
Brechungsindex n
(λ = 0,9 µm)
g
Bandabstand W
1,0
2,0
300 K
eV
300 K
1,2
3,6
2,2
Energie
Bandabstand W
g
eV
1,4
0,2
0,4
0,6
0,8
2,9
1,0
AlAs
X = 1,0
0,85
0,65
2 0,4
X
0
Γ
hν
1
W = 1,977
X = 0,45
X
g
Γ
0
1,5
W=
direkt
1,424
indirekt
g
0
0,2
GaAs
3,0
indirekt
0,4
0,6
0,8
Valenzband
Γ
x
k
1,0
GaP
Abb. 3.7-1: Abhängigkeit des Bandabstandes von der Zusammensetzung
Erläuterungen zu Abb. 3.7-1:
Für GaInAs kann man den dargestellten Verlauf als nahezu linear bezeichnen. Die Verläufe
für GaAlAs und GaAsP weisen einen Knick auf. Dieses kann man dadurch erklären, daß der
Übergang von direkt nach indirekt wechselt.
Der direkte Bandübergang zeichnet sich dadurch aus, daß er unter Lichtaussendung abläuft.
Bei dem indirekten Übergang ist dieses nicht möglich. Dieser Übergang geschieht unter
Phononenbeteiligung.
Ist der Mischungsparameter x = 0, so liegt GaAs vor, und der Übergang erfolgt direkt. Für
x = 1 liegt GaP vor, das sich durch indirekten Übergang auszeichnet. Welcher Übergang beim
jeweiligen Mischungsparameter stattfindet, kann in der obigen Abbildung abgelesen werden.
Kapitel 3
- 94 -
Das absolute Minimum des Leitungsbandes entscheidet über die Art des Überganges. Im
Falle
x = 0 liegt das linke Minimum unter dem rechten, im Falle von x = 1 liegt das rechte unter
dem linken. Der Übergang von einem direkten zu einem indirekten Übergang liegt an der
Stelle, an
der beide Minima gleich hoch sind.
Zusatzbetrachtung:
Bringt man zwei Halbleiter unterschiedlicher Austrittsarbeiten, aber gleichen Bandabstandes
in eine Halbleiter-Isolator-Halbleiter-Anordnung, so tritt ein Potentialverlauf gemäß folgender
Skizze ein (qualitativ):
W(z)
Halbleiter
Isolator
Halbleiter
W
L
W
i
W
W
F
V
W
Bandverbiegung
i
z
ohne Kontakt
mit Kontakt nach Einstellen des thermodynamischen Gleichgewichts
Abb. 3.7-2: Halbleiter-Isolator-Halbleiter-Anordnung
Bringt man beide Halbleiter in direkten Kontakt zueinander (d. h. läßt man die Dicke des
Isolators gegen null gehen), so ergibt sich eine Situation analog zum Feldeffekt und zum
Schottky-Kontakt (einziger Unterschied: beidseitig).
Kapitel 3
- 95 -
W >W
χ < χ
W
χ
G 1
G 2
e 1
e 2
e 1
~
W
V a k
W
χ
G 1
e 2
W
G 2
n - Gebiet
p - Gebiet
Abb. 3.7-3: pn-Übergang mit Barriere
Wird der pn-Übergang in Durchlaßrichtung vorgespannt, fließt ein Löcherstrom. Der
Elektronenstrom bzw. Leckstrom ist sehr klein und vernachlässigbar, da die Barriere
den Stromfluß behindert.
Vereinfachte Darstellung:
+
W
---
G 1
W
-
L
W
G 2
+
W
V
Abb. 3.7-4: pn-Übergang mit Barriere in Durchlaßrichtung vorgespannt
Die Fälle
χ e1 = χ e 2
χ e1 ≠ χ e 2
WG1 > WG2
WG1 < WG2
wurden schon in Kapitel 6 (Halbleiter-Halbleiter-Kontakt) gebracht.
7.2 Heteroübergänge
Im folgenden sollen Heteroübergänge betrachtet werden (siehe Abb. 3.7-5).
Bild 3.7-5a zeigt zwei n-dotierte Halbleiter mit unterschiedlichen Bandabständen
und Austrittsarbeiten. Nach dem Zusammenbringen der Halbleiter (Bild 3.7-5b)
bildet sich eine Spike-Barriere, ähnlich wie beim pn-Übergang, aus. Es ist festzustellen, daß sich je nach relativer Lage des Bandabstandes und des Fermi-Niveaus
(d. h., ob Übergang von größerem zu kleinerem Bandabstand erfolgt oder
umgekehrt) zwei verschiedene Typen von Verläufen ergeben.
Kapitel 3
- 96 -
Funktionsweise eines Doppelhetero-Struktur-Lasers:
a)
b)
W
W
v a k
v a k
q U = ∆W
D
χ
W
1
1
W
W
W
-
-
L 1
∆W
F
χ
2
L
χ
2
χ
2
1
++ -W
W
W
W
L
∆W
L 2
F
L
F
W
g 1
W
∆W ∆W +∆W~ ∆W
W
∆W
N
"isotyp"
n
Ort x
"Confirementschichten"
aktive
Schicht
n
N
d)
φ=
∆W+ ∆W
L
hν
∆W
GaAlAs
L
W
W
GaAs
GaAlAs
~ ∆W
W
W
L
g
L
F
V
+
∆W
hν
V
V
V
V 1
c)
W
W
g
V
V
V 2
∆W- ∆W
F
L
+
n
"anisotyp"
W
p
koharente
Strahlung
hν
~ ∆W
+ + +
V
N
g
n
N: n-Halbleiter mit größerem Bandabstand
n: n-Halbleiter mit kleinerem Bandabstand
Brechzahl
V
Strahlungsdichte
L
n
n
A
+ + +
p
"elektrisches
Confinement"
d
Hinweis: Bandsprung auf beiden
Bändern (∆ W ; ∆ W )
qU
la s
2
n =n
1
3
1
"optisches
Confinement"
Γ
D
Ort x
Abb. 3.7-5 a, b, c, d: Energiebänderdiagramme von Heteroübergängen im thermischen
Gleichgewicht
Kapitel 3
- 97 -
AlAs
Ga Al As
x
1 -x
GaAs
Ga Al As
x
1 -x
AlAs
electrical
confinement
optical confinement
Eigenschaften von Spike-Barrieren (für n-Halbleiter)
Elektronen können die Spike-Barrieren entweder thermisch überwinden oder diese
durchtunneln. Als Folge kann man feststellen, daß sich experimentell ein quasiohmsches
Verhalten ergibt und die Gleichrichtung fehlt.
In Bild 3.7-5c wird zusätzlich der Dotierungstyp verändert. Hier ist der Übergang von einem
n-Gebiet mit einem kleineren Bandabstand zu einem p-Gebiet mit einem höheren
Bandabstand dargestellt.
Einen pn-Übergang, bei dem man gleichzeitig den Bandabstand und die Dotierung ändert,
nennt man pn-Heteroübergang.
In Bild 3.7-5d wird zu dem in c) betrachteten nP-Übergang noch ein N-Gebiet vorgeschaltet
(Großbuchstaben kennzeichnen hier das Material mit dem höheren Bandabstand). Der hier
dargestellte Verlauf gilt für eine angelegte Spannung in Flußrichtung. Dieses hat zur Folge,
daß die ursprüngliche Barriere wegfällt.
Die hier dargestellte Doppelheterostruktur wird bei Laserdioden verwendet. Die Elektronen
werden durch ein Feld von - nach + beschleunigt und die Löcher entsprechend von + nach -.
Die Elektronen werden an der Rückseite der GaAs-Schicht reflektiert, da sie die
Potentialschwelle nicht überwinden können. Die Löcher können die GaAs-Mittelschicht in
Gegenrichtung ebenfalls nicht verlassen, da sie die Potentialschwelle auch nicht überwin-den
können. Die elektrische Struktur stellt eine Begrenzung für die Ladungsträger dar. Dieses
bezeichnet man als Ladungsträger-Confinement.
In dieser Struktur werden durch Injektion von Ladungsträgern in ein Confinement hohe
Ladungsträgerdichten erzielt. Durch paarweise Rekombination wird Licht erzeugt.
Wir hatten festgehalten, daß bei großem Bandabstand der Brechungsindex klein und bei
kleinem Bandabstand groß ist. Daraus folgt, daß in der hier vorliegenden Struktur der Band
abstand der GaAs-Schicht kleiner als der der umgebenden GaAlAs-Schichten ist. Somit ist
der Brechungs-index der Mittelschicht größer als der der anderen. Die Medien am Rand sind
also optisch dünner, und es tritt Totalreflektion bei dem Übergang von GaAs zu GaAlAs auf.
Kapitel 3
- 98 -
Den mittleren Bereich bezeichnet man als optisches Confinement (nur abhängig vom
Bandabstand). Das Licht bleibt also in der Struktur erhalten.
Bei dem Doppelheterostruktur-Laser, der in der optischen Nachrichtentechnik Anwendung findet, liegen Schicht
-dicken von 100 - 200 nm vor. Man kann also damit Laser realisieren, die nur geringe elektrische Leistung
benötigen. Die "Lichtdichten" sind besonders groß, wenn die Schicht sehr klein ist.
Abb. 3.7-6: Darstellung in
dreidimensionaler Form
GaAlAs
GaAlAs
GaAs
N
8.
Schaltverhalten
8.1
Grundlagen
p
n
Die Ein- und Ausschaltvorgänge sollen bei einer FET-Struktur betrachtet werden.
S
Abb. 3.8-1:
Prinzipdarstellung
einer FET-Struktur
G
D
Kanal
Kanallänge
Die Kanallänge bestimmt das Frequenzverhalten. Ist der Kanal kurz, so handelt es sich
um ein schnelles Bauelement.
Im HF-Bereich gilt näherungsweise:
30 GHz
60 GHz
~
~
Schaltzeit ~ Kanallänge
0,5 µm
0,2 µm
Die Kanallänge ist eine rein geometrische Größe. Das Schaltverhalten wird jedoch
neben der reinen Geometrie auch durch den Werkstoffparameter Beweglichkeit der
freien Ladungsträger beeinflußt.
Kapitel 3
- 99 -
8.2 Beweglichkeit
8.2.1 Grundlagen
Zunächst betrachten wir einige grundlegende Herleitungen:
→
→
→
S = Sn + Sp
Stromdichte:
S n : Elektronenstrom
Sp :
Löcherstrom
→
→
→
→
(3.8-1)
S n = n ⋅ q n ⋅ b n ⋅ E ; q n = −e
mit
Sp = p ⋅ q p ⋅ b p ⋅ E ; q p = e
(3.8-2)
b: Beweglichkeit
Die Elektronenbeweglichkeit b n ist eigentlich negativ. Der Einfachheit halber wird im
weiteren gesetzt:
bn = bn
⇒
(
)
(
S = e n bn + p bp E
wobei gilt :
bn =
)
κ = e n bn + p bp =
e
τ ;
m∗e e
bp =
e
τ
m∗p p
1
ρ
(3.8-3)
(3.8-4)
κ: Leitfähigkeit
τ : Relaxations- bzw. Rekombinationszeit der Majoritäts- bzw.
Minoritätsträger
Die Beweglichkeit b wird von allen Größen beeinflußt, die τ verändern, d. h. durch Stöße an
Diskontinuitäten. Folgende Größen beeinflussen b:
• Phononen: b Ph
• Störstellen, z. B. Dotieratome ( N ST ): b St
3
b Ph ~ T
−
3
2
T2
; b St ~
N St
Kapitel 3
- 100 -
Die Gesamtheit der Beweglichkeit ist:
1
1
1
=
+
b bSt bPh
also:
(3.8-5)
3
3
1
−
= a 1 N St T 2 + a 2 T 2
b
(3.8-6)
10
Abb. 3.8-2:
Temperaturabhängigkeit
der Beweglichkeit
b in m2 / Vs
T
-3/2
3.0
reines Material
1.0
0.3 30
40 50 60 80 100
Temperatur T in K
0.12
Abb. 3.8-3:
Abhängigkeit der
Beweglichkeit von
Verunreinigungen
b in m2/Vs
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
10 22
10
23
10 24
10
25
10
26
NSt in m
-1
Um eine hohe Leitfähigkeit zu erhalten, wünscht man sich eine hohe Ladungsdichte und eine
hohe Beweglichkeit. Diese Prozesse sind jedoch gegenläufig. Normalerweise führt eine hohe
Konzentration von Dotieratomen zu einer niedrigen Beweglichkeit!
Bei einer räumlichen Trennung von freien Ladungsträgern und den Störstellen (Dotieratome)
entfällt der erste Term in Gleichung (4.8-6), und es ergibt sich eine hohe Beweglichkeit.
Kapitel 3
- 101 -
Verknüpfung der Beweglichkeit mit der Diffusionskonstanten D:
Einstein-Beziehung
Die folgenden Betrachtungen gelten nur für Elektronen. Sie sind analog für Löcher
durchzuführen.
Im thermodynamischen Gleichgewicht muß gelten, daß bei inhomogenen Halbleitern
Feldströme und Diffusionsströme sich gegenseitig aufheben. Also:
J E : Feldstromdichte ;
J N : Diffusionsstromdichte
J E = J N ; J E = κ E ; J N = −e D
n e bn E = − e D
dn
dx
(3.8-7)
dn
dx
b E
dn
=− n n
dx
D
(3.8-8)
Integration von Gl. (3.8-8) muß liefern:
n = C⋅e
−
eEx
kT
Grund: Durch das E-Feld wird über die Strecke x eine Energie e E x zugeführt:
⇒
dn
eE
=−
n
dx
kT
(3.8-9)
Aus Gl. (3.8-8) und Gl. (3.8-9) folgt:
eE b n E
=
kT
D
Also:
Dn =
kT
b Diffusionskonstante für Elektronen
e n
(3.8-10)
Elektronenbeweglichkeit b n :
bn =
e
τ
m∗e e
(3.8-11)
Die Elektronenbeweglichkeit kann beeinflußt werden durch Veränderung von τ e und durch
Veränderung von m∗e .
Kapitel 3
- 102 -
8.2.2 Beeinflussung der Beweglichkeit
8.2.2.1 Änderung der Relaxationszeit τ e
τ e läßt sich maximieren durch eine räumliche Trennung von Dotieratomen und freien
Ladungsträgern. Dies soll am Beispiel des HEMFET (high electron-mobility field
effect transistor) näher betrachtet werden (s. Abb. 3.8-4a).
Gate
Source
z=0
Oberfläche
Abb. 3.8-4a:
Schottkyverarmung
ohmsch
Schematischer Aufbau
eines HEMFET
ohmscher Kontakt
x
Schottky
kontakt
n
Drain
n -Kontaktdiffusion
+
+
2-DEG-Anreicherungskanal
Heteroverarmungsschicht
Schottkyverarmungsschicht
+
+
+
+
++
W
+ +
+++
+
+
+
+
---- - --+
W - - - -W
--N =Ge
----- 2-D Elektronengas
L
Oberfläche
W
Anreicherungsschicht
Heteroverarmungsschicht
semiisolierendes Substrat
F
G
D
-
W
GaAs Substrat
semiisolierend
Kanal
x
V
+
N Ga Al As:Ge
x = 0,65 - 0,8
x
1 - x
n
GaAs
GateKontakt(Al)
Abb. 3.8-4b: Energiebandstruktur eines HEMFET
Durch die Heterostruktur werden zunächst im GaAlAs sehr viele Elektronen von den
Donatoren ins Leitungsband freigesetzt. Von dort überwinden sie die Spike-Barriere entweder
thermisch oder durch Tunneln. Sie gelangen dann in die sehr niedrig dotierte n-GaAs-Schicht,
in der sie sich dann in einem dünnen Potentialtopf befinden. Die Dicke des Potentialtopfes ist
kleiner als die Elektronenwellenlänge (deswegen: 2DEG-Bauelemente).
Kapitel 3
- 103 -
Hier kann man davon ausgehen, daß praktisch keine Störstellen vorhanden sind und die
Beweg-lichkeit somit hoch ist. Wegen der geringen räumlichen Ausdehnung des
Potentialtopfes kommt es zu einer diskreten Quantelung der Elektronenzustände. Dieses hat
ebenfalls eine höhere Be-weglichkeit zur Folge.
Grund: Wir haben anfangs folgende Formel hergeleitet: (vgl. 2.2-1)
2π
k=n
L
Damals hatten wir einen endlichen Potentialtopf mit einer Dicke von L>mm betrachtet. Die k-Werte ordneten
sich quasikontinuierlich an. Bei der jetzigen Betrachtung liegt die Dicke in der Größenordnung von L=nm. Nun
existieren nur noch wenige Werte, die von den Elektronen besetzt werden können.
Im normalen Halbleiter bestimmt die Zahl der Stöße mit den Störstellen und Phononen die
Be-weglichkeit. Mit abnehmendem Abstand der Elektroden bzw. mit abnehmender
Schichtdicke nimmt die Zahl der Stöße relativ ab, so daß die Beweglichkeit zunimmt und
somit auch die effektive Geschwindigkeit der Ladungsträger. Sie erreicht ein Maximum für
eine Dicke, die gerade klein genug ist, damit kein Stoß mehr eintritt. Dieses bezeichnet man
als ballistischen Transport. Dieser nimmt danach wieder ab, da dann die Störungen der
Grenzschicht (durch fehlangepaßte Gitter) entscheidend werden.
b)
a)
ballistisch
2,1
eV
300K
15kV/cm
GaAs
InP
Energie
Geschwindigkeit v
D
cm/s
4,0
2,0
Stöße überwiegen
Si
0
0 0,1
0,5
1,0
Abstand
1,5
µm
2,0
1,9
1,7
1,5
0
10
20
30
Abstand
40
50 nm 60
Abb. 3.8-5: Mikrostruktureffekte und Abhängigkeit Wg von der Schichtdicke
Dieser ballistische Effekt tritt bei GaAs bereits bei Abständen von 0,2 µm auf, während bei
Silizium dieses erst für << 0,1 µm der Fall ist. Eine Schichtbegrenzung stellt immer eine
Störung dar. Daher dürfen Schichtdicken auch nicht zu dünn werden, da dann die
Grenzschicht wie eine eigene Schicht wirkt.
Durch die beschriebenen Methoden (Trennung von Ladungsträgern und Störstellen, dünne
Schichten, 2DEG) können heute Beweglichkeiten in GaAs (und auch in InP) in der Größen
ordnung 10 6 cm 2 / Vs erzielt werden. Der normale Wert für Elektronenbeweglichkeit in
intrinsischem GaAs bei T=300 K liegt in der Größenordnung von 8000cm² / Vs und kann bei
dotiertem bis 5000 cm² / Vs zurückgehen. Als Folge daraus lassen sich Bauelemente mit
Schaltzeiten von wenigen Pikosekunden herstellen.
Weitere Verbesserungen von Bauelementen, mit dem Ziel eine höhere Beweglichkeit zu
erhalten, lassen sich durch Übergitter erreichen.
Kapitel 3
- 104 -
b)
a)
GaAlAs
GaAs
GaAlAs
GaAlAs
GaAs GaAlAs GaAs GaAlAs GaAs
n
i
n
i
i
GaAs
GaAs
++
V
- - -
++
++
W effektiv
Potentialwall
- - -
Elektron
+ +
+ +
- - -
+
+
Donatorstrom
G
1,72eV
W
1,42eV
L
G
W
W
W effektiv
Leitungsminibänder
Valenzminibändet
Ort x
Abb. 3.8-6: Energiebandstrukturen von Übergittern
8.2.2.2 Veränderung der effektiven Massen me
∗
Problem:
Bei hohen Feldstärken fällt die anfangs hohe Beweglichkeit der Elektronen in GaAs
wieder ab. Dies gilt auch für andere Materialien, hier jedoch speziell.
cm/s
4
GaAs
GaAs
ballistisch
Elektronengeschwindigkeit
in Abhängigkeit
des elektrischen
Feldes
Geschwindigkeit vD
Abb. 3.8-7:
T=300 K
3
Ga0.47In0.53As
InP
GaAs
2
1
Ge
Si
0
0
5
10
15 kV/cm 20
elektrisches Feld E
Grund für die Abnahme der Beweglichkeit:
Die experimentell bestimmte Beweglichkeit und die damit verbundene
Elektronengeschwindig-keit ist ein Integralwert aus den Elektronen, die sich im
Hauptminimum des Leitungsbandes (k=0) und im Nebenminimum (k≠0) befinden.
W
F
Kapitel 3
- 105 -
W(k)
LB
Hauptminimum
Nebenminimum
VB
k
Abb. 3.8-8: W(k)-Verlauf
9.
Als Folge des Feldes kann sich der k-Wert ändern.
Dieses führt dazu, daß immer mehr Elektronen ins
Nebenminimum gelangen und sich so andere
effektive Massen ergeben.
Bei niedrigen Feldstärken befinden sich die meisten Elektronen im Hauptminimum. Bei hohen
Feldstärken haben alle Elektronen einen Impuls
durch das Feld bekommen, so daß sie sich im
Nebenminimum befinden.
Da die Krümmung des Bandes an den beiden
Minima unterschiedlich ist, resultieren demzufolge
unterschiedliche effektive Massen me*.
Probleme bei der praktischen Realisierung von
Heterostrukturen
Bsp.:
Ga x Al 1− x As
x: Mischungsparameter
Das wesentliche Problem ist, daß bei diesen ternären Halbleitern die Gitteranpas-sung
nicht mehr gewährleistet ist. Dieses soll an einigen Beispielen verdeutlicht werden.
Beispiel 1:
GaAs:
Gitterkonstante
0,565 nm
AlAs:
Gitterkonstante
0,566 nm
d. h.: Dieses System ist sehr günstig, da die Al-Anteile verändert werden können, ohne
die Gitterstruktur stark zu beeinflussen (Gitterkonstanten unterscheiden sich nur in 3.
Stelle hinter dem Komma). Dennoch kann selbst diese geringe Unterschei-dung der
Gitterkonstanten schon zu Problemen führen.
Beispiel 2:
GaAs:
Gitterkonstante
0,565 nm
GaP:
Gitterkonstante
0,545 nm
d. h.: Diese Anpassung ist nicht so gut ausgelegt. Hier liegt eine Fehlanpassung vor.
Fehlanpassungen führen zu Gitterfehlern innerhalb der Grenzschicht und dann auch in den
Epitaxieschichten selber. Dieses hat negative Auswirkungen auf die Leitfähigkeit bzw. die
Beweglichkeiten und auch auf das optoelektrische Verhalten, da niedrige Anteile an
strahlender Rekombination eintreten können. Solange eine Fehlanpassung vorliegt, bilden
sich Gitterfehler aus, die von Verspannungen und Versetzungen bis zu einer geringfügigen
Amorphisierung reichen können. Diese Fehler kann man vermeiden.
Abhilfe 1: (nur teilweise)
Verwendung von Übergittern zur "Abschottung" von Kristalldefekten aus Substrat und zur
stufenweisen Verbesserung der Schichtanpassung mit zunehmender Zahl an Schichten.
Bei der Verwendung von Übergittern wachsen bei schichtweisem Aufwachsen die
Gitterkonstanten immer passender aufeinander. Daher ergibt sich ein angepaßtes Gitter.
Kapitel 3
- 106 -
10 nm Ga0.4Al0.6As
3,4 nm GaAs
GaAlAs
b)
c)
WL
abrupt
GaAs
graduiert
W
a)
Übergitter
Anpassungsschicht
a1
d)
graduiert
GaAlAs
Substrat
GaAl1-xAsx
x=0 1
GaAs
a2
Abb. 3.9-1: Übergitter
Abhilfe 2:
Einsatz quaternärer Materialien, da hierdurch der Bandabstand bei gleichzeitiger Fixierung
der Gitterkonstanten verändert werden kann.
Kapitel 3
- 107 -
Ga x In 1− x As y P1−y
Beispiel:
(GaIn / AsP) = III-V-HL
Durch Mischen kann jede beliebige Kombination von Bandabstand und Gitterkonstante
eingestellt werden.
Halbleiter
Elemente:
Si
Ge
Verbindungen
IV-IV:
α-SiC
III-V: AlP
GaP
InP
AlAs
AlSb
GaAs
InAs
GaSb
InSb
II-VI: CdS
Wg
λg
Beweglichkeit
cm2V-1s-1
eV
µm
bn 2)
indirekt
indirekt
1,11
0,67
1,11
1,85
indirekt
2,8 bis
3,2
0,44 bis
0,39
indirekt
indirekt
direkt
indirekt
indirekt
direkt
direkt
direkt
direkt
direkt
2,45
2,26
1,34
2,16
1,62
1,43
0,36
0,73
0,18
2,42
0,51
0,55
0,92
0,57
0,75
0,87
3,44
1,70
6,88
0,51
Bandübergang
Brechzahl
bp 2)
1350
3900
480 3,45
1900 4,0
0,543
0,565
100
2,63 2,63
a: 0,308
80
150
4500
280
200
8000
22600
2000
105
350
direkt
3,66
0,34
140
β-ZnS
CdTe
direkt
1,5
0,83
1000
IV-VI: PbS
direkt
0,41
3,02
610
1) Die Datenangaben beziehen sich auf verschiedene Literaturquellen
2) b (b ) Beweglichkeit der Elektronen (Löcher)
n p
120
150
≈100
330
400
200
800
1700
15
3,2
3,36
3,4
3,1
3,4
3,6
3,5
3,9
3,9
2,5
5 2,4
80 2,8
620 3,7
Tab. 3.9-1: Halbleitermaterialien mit den wichtigsten Eigenschaften
Erläuterungen zu obiger Tabelle (3.9-1):
indirekte Übergänge: nichtstrahlende Übergänge
direkter Übergang:
strahlender Übergang
E g : Bandabstand
λ g : zum Bandabstand gehörende Wellenlänge
a, c stehen für hexagonale Gitter
Kristallgitterkonstante
nm
c: 1,511
0,545
0,545
0,587
0,566
0,614
0,565
0,606
0,609
0,648
a: 0,414
c: 0,671
0,542
0,648
0,593
- 108 -
Kapitel 3
10. Herstellung von dünnen Schichten
10.1 Grundlagen
Zur Erzielung der oben besprochenen Eigenschaften müssen die zu erzeugenden
Schichten
- extrem dünn (bis hin zu wenigen Monolagen),
- extrem scharfkantig (Grenzschicht sollte nur eine Monolage bei abrupten
Übergängen betragen),
- extrem fehlerfrei und vor allem einkristallin sein.
Probleme bei quaternären Systemen:
1) Präzises Einstellen der Mischparameter,
2) Präzise Dotierung (1-10 ppm),
3) Präzise Lokalisierung,
4) a) Möglichst schnelle Entwicklungsphase,
b) Möglichst billige Massenproduktion.
Dies ist mit der normalen Halbleitertechnologie nicht mehr zu erreichen. Hierzu gibt
es drei neue Methoden zur Schichtherstellung.
10.2 Methoden zur Schichtherstellung:
- Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy: MBE)
(Epitaxie = Schichtwachstum unter der Einhaltung der Gitterstruktur des Substrats)
Es sind folgende Voraussetzungen zu erfüllen:
- Gallium muß verdampfbar sein.
- In der Apparatur dürfen sich keine Gasmoleküle mehr befinden,es muß also
Ultrahochvakuum (UHV) herrschen
Zur UHV:
Das geforderte Vakuum wird mittels Ionenpumpen (Elektronen ionisieren Atome,
die in geeignetem Material absorbiert werden (z.B. Titan als Gettermaterial)) oder
Turbopumpen erzeugt.
In Schiffchen werden die Einzelelemente meist über Elektronenstrahlen verdampft und
schlagen sich dann auf dem ca. 50 cm entfernten Substrat nieder. Durch
Heizleistungen der einzelnen Elektronen wird die Stöchiometrie (chemische
Zusammen-setzung) gesteuert.
Kapitel 3
- 109 Substrat
Heizplatte
Kristallisationszone
des Substrates
Mischzone der
Einzelteilchen
Generationszone des
Molekularstrahles
individueller
Shutter
Dotierungsmaterial B
Dotierungsmaterial A
Emissionszelle
Abb. 3.10-1: Verdeutlichung der MBE
Vorteil:
extrem gute Steuerbarkeit
- Metallorganische Gasphaseneopitaxie (metal organic vapor phase epitaxy:
MOVPE)
Zur schnellen Produktion wird ein halboffenes System gefordert. Es dürfen keine
Vakuumbedingungen mehr bestehen, d.h. es muß ein Schutzgas eingesetzt werden.
Metallorganische Verbindungen werden in einem Trägergas (z. B. H 2 ) über die
Substratoberfläche geleitet und zersetzen sich, wobei sich die organischen Anteile
verflüchtigen und der Metallanteil sich abscheidet.
Den Gastransport für Elemente der III-Hauptgruppe übernehmen Trimethylverbindungen, wie z.B. Trimethylgallium ((TMG) Ga(CH3)3 ).
Ga( CH 3 ) 3 + AsH 3 → GaAs + 3 CH 4
Der Gastransport für V-Hauptgruppe geschieht über H3-Verbindungen (z.B. Arsin
(AsH3)und Phosphin (PH3))
Vorteil:
Nachteil:
hohe Reinheit der Schichten und gute Schichtgrenzen
hohes Produktionsrisiko, da diese Verbindungen extrem giftig
sind
- MOMBE (metal organic molecular beam epitaxy)
Die Vorteile der beiden oben genannten Verfahren werden in diesem Verfahren
vereinigt.Hier werden die metallorganischen Verbindungen innerhalb einer MBE als
Materialquellen genutzt.
_______
MOVPE
Glasrohr bzw. Quarzrohr
Schutzoxid
Schutzgas:
hochreiner
Wasserstoff
(H )
Substrate
2
Graphitboot
Kapitel 3
- 110 -
10.3 Maßnahmen zur Bauelementherstellung
Die senkrecht zur Oberfläche möglichen Maßnahmen sind:
• Dotieren
Z.B. Einschießen von Ionen einer bestimmten Sorte, wie B+-Ionen in Silizium zur
p-Dotierung
• Ätzen, also einen Materialabtrag vornehmen (z.B. durch zur Oberfläche
streifenden Einschuß von Ionen, die dann Substratatome herausschlagen).
• Schichten aufwachsen
→ Einfache Aufdampfschichten durch z.B. Metallisierung oder Oxide.
→ Epitaxieschichten mit gewünschten Bandabständen und Dotierungen.
x
B
Dotieren durch
Ionenimplantation
+
-
O
2
Si
Ge
Ge
y
p-dotiert
z
Abtragen bzw.
Auftragen
z: Vertikalstrukturierung
(x-y)-Ebene:
Lateralstrukturierung
Ausgangssubstrat HL
Es ist eine laterale Strukturierung des Bauelementes nötig.
Metallbahn
P2
P1
hochdotierter Bereich
Beispiel:
Die laterale Strukturierung hat ein Grundschema:
Beispiel einer Lateralstrukturierung: "Ein Prozeßschritt":
1.) Es sei der Prozeßschritt i beendet.
2.) Das Substrat ist mit Lack beschichtet, der strahlungsempfindlich ist. (die
Beschichtung ist sehr gleichmäßig durch Auftrag eines flüssigen Lackes in
Zentrifugen. Die Wahl der Lackdicke kann hier wichtig werden!)
Kapitel 3
- 111 -
3.) Belichtung des Lackes an den Stellen, an denen der Prozeßschritt stattfinden soll.
Blende
HL
belichteter Bereich
4.) "Entwicklung" des Lackes in einem geeigneten Lösungmittel führt zum Ablösen an
der belichteten Stelle (da dort veränderte chemische Struktur des Lackes)
5.) Durchführen der gewünschten Maßnahme, z.B. Aufwachsen einer Metallschicht.
Al
Al
Al
Al-Schicht
6.) Ablösen des übrigen Lackes (mit einem anderen Lösungsmittel)
Al-Schicht
10.4 Belichtungstechniken oder Lithographie Verfahren
Probleme:
- Eine schnelle Entwicklung ist widersprüchlich zur Massenproduktion
- Der Trend geht zu immer kleineren Dimensionen (neue Technologie besitzt
Flankensteilheiten von 0,1 µm (konventionell: 2 µm).
Die Flankensteilheit entscheidet die Wahl der bei der Lithographie verwendeten
Strahlung.
- Licht (→UV,wegen kürzerer Wellenlänge) : λ ≈1 -0,3 µm
- Röntgenstrahlung : λ ≈ 0,01 - 0,001 µm (typisch: 0,01 µm)
- hochenergetische Elektronenstrahlen mit λ ≈ λRöntgen
Kapitel 3
- 112 -
Wahl des Verfahrens:
• Belichtung durch Masken (Blenden) hindurch (vergleichbar Diaprojektion (s/w)).
Hierbei handelt es sich um einen sehr schnellen Prozeß, jedoch ist die Herstellung
der Masken sehr aufwendig, d.h. die Entwicklungszeiten für die Masken ist lang.
• Direktschreiben mit fokussierender Strahlung (z.B. Laser-Scanner oder Elektronenstrahl).Dieses Verfahren ist sehr flexibel, da keine Masken nötig sind. Es
liegt reine Softwaresteuerung vor. Nachteil: Der Schreibprozeß ist extrem langsam.
10.5 Belichtungsverfahren
10.5.1 Belichtung mit Masken
"paralleles Licht"
Maske
Maske
Probe
Welligkeit der Probe
Eine Auflösung von 5000 Linienpaaren/mm gilt als normal.
Ein Problem bei diesem Verfahren ist die Welligkeit der Probe. Durch die Welligkeit
kommt es zu einer geringen Schärfentiefe. Daher muß die Welligkeit kleiner als die
Schärfentiefe sein: Welligkeit < 0,2 µm, damit auch kleinste Strukturen von 0,2 µm
erreicht werden können.
10.5.2 Direktbelichtung mit fokussierender Strahlung
Zeilenweises
belichten (10 ....10 )
-
e
5
6
Strahlschalter
zum Strahlschalter
Linsen
5V
x-y-Adressierung
hohe Schärfentiefe
(Welligkeit kein Problem)
Strahldurchmesser ~ 5 nm
Bei diesem Verfahren ist eine Zeitersparnis durch variablen Fokus möglich:
Bei quadratischen Strukturen kann mit einem größeren Strahldurchmesser und höherer
Intensität geschrieben werden. Dies führt zu einer deutlich höheren
Schreibgeschwindigkeit.
Kapitel 3
- 113 -
Zum Testen von Bauelementen wird ein ähnliches Verfahren angewendet:
CAD
e-beam
Litho
Rechner
e-beam
Tester
U(r,t)
Bauelement
Mit den oben genannten Verfahren liegt die "Design-Redesign-Phase in der Größenordnung
von Tagen.
Vorteil: Reine Softwaresteuerung
Nachteil: Hohe Kosten in der Größenordnung von ca. 20 Mio. DM
Dieses System ist optimal geeignet zur Entwicklung von Bauelementen, jedoch ungeeignet
für die Massenproduktion, da die Belichtungszeit im Bereich von Minuten (Stunden) liegt.
Ausweg: Belichtung mit Röntgenstrahlen
Vorteile: hohe Schärfentiefe, hohe Ortsauflösung.
Probleme: Masken für Röntgenstrahlung.
Die Herstellung der Masken erfolgt mit der Elektronenstrahlbelichtung.
Aufbau einer Röntgenmaske:
Röntgenmaske
hohe Ordnungszahl z (z.B. Au)
Si N (kleine Ordnungszahl,
damit transparent)
3
4
Siliziumnitrit besitzt hohe Festigkeit und Maßhaltigkeit
Die Herstellung der Röntgenstrahlung geschieht entweder mit Röntgenröhren oder
Speicherringen (Synchrotron). Im zweiten Fall findet die Produktion entweder an bestehenden
Speicherringen statt, oder es werden kleine Synchrotrone (Durchmesser: 8m) verwendet.
Mit der Röntgenstrahlbelichtung sind bestenfalls Strukturen bis 0,15 µm realisierbar.
Strukturierung im unteren Nanometerbereich:
Elektronenstrahlbelichtung mit höherer Schreibgeschwindigkeit. Um die Belichtungszeit zu
verkürzen, werden mehrere Elektronenkanonen verwendet.
Kapitel 4
- 114 -
Kapitel IV
Isolatoren
1.
Eigenschaften von Isolatoren
Isolatoren werden aufgrund ihrer Eigenschaften eingesetzt
1. zur Isolation elektrischer Signale (z. B. in Kabeln).
Hier sind ein hoher elektrischer Widerstand und eine niedrige relative Permittivität
(= Dielektrizitätszahl) notwendig.
2. zur Realisierung von Kondensatoren.
Hier werden eine hohe Durchschlagsfestigkeit und eine hohe relative Permittivität
benötigt (Verwendung von Bariumtitanat und Strontiumtitanat).
3. zur Herstellung von Passivierungsschichten.
Hier werden eine niedrige relative Permittivität (aufgrund der Feldveränderung an
der Oberfläche) und eine hohe mechanische Festigkeit gefordert. Die Passivierungsschicht sollte möglichst den gleichen Wärmeausdehnungskoeffizienten besitzen wie
das Bauelement, um ein Abplatzen der Schicht bei Erwärmung zu verhindern.
(Gute thermische Leitfähigkeit ist bei Bauelementen mit einem hohen
Energieumsatz von Bedeutung.) Passivierungsschichten werden als mechanische
Schutzvorrichtung verwendet. Sie nehmen jedoch auch auf die elektrischen
Eigenschaften Einfluß.
4. Als elektromechanische Wandler
Alle Dielektrika zeigen elektromechanische Effekte. Mechanische Änderungen
lassen sich in elektrische Signale umwandeln. Der umgekehrte Prozeß ist ebenfalls
möglich (Sensor-Aktor).Im niederfrequenten Bereich Anwendung z.B. als Waage,
im hochfrequenten Bereich als Ultraschallmikroskop (ca. 2 Ghz) oder als Konvolver
zur Lösung von Faltungsintegralen mit 3-4 GHz. Ein weiteres Anwendungsgebiet
liegt im Bereich der akustischen Sensoren und Aktoren.
In allen drei Fällen ist die genaue Kenntnis dielektrischer Eigenschaften der
Isolatorenwichtig, d. h. das Verhalten der Permittivität als Funktion der übrigen
Systemgrößen (z. B. Feldstärke oder Frequenz).
2.
Dielektrisches Verhalten
Unter dielektrischem Verhalten versteht man die Abhängigkeit der dielektrischen
→
→
Verschiebungsdichte D von der elektrischen Feldstärke E .
Alle Stoffe, in denen eine von Null verschiedene elektrische Feldstärke existiert,
zeigen ein dielektrisches Verhalten.
Kapitel 4
- 115 →
→
Die allgemeine Beziehung D = f D ( E) hängt in ihrer Struktur von den Materialeigenschaften
ab und kann sehr unterschiedlich ausfallen. Man kann folgende prinzipielle Unterschiede
feststellen:
→ →
D( E) -Proportionalität
→
→
→
D = ε E = ε 0ε r E
ε 0 : Permittivität des Vakuums
ε 0 = 8,8542 ⋅ 10 −12 As( Vm) −1
ε r : relative Permittivität
(Materialgröße)
Diese Beziehung gilt nur für homogene isotrope oder kubische hysteresefreie
Werkstoffe.
ε r ist dabei ein reeller Skalar.
- nichtlineare Beziehung
(beispielsweise bei starken Feldern möglich, z. B. D ~ E 2 , wird jedoch nicht in der
Vorlesung behandelt)
- Bei nichtkubischen Kristallen ist ε r richtungsabhängig und wird zum zweistufigen Tensor
(symmetrische Matrix), d. h.
→
↔
→
D = εr ε0 E
Dies gilt wiederum nur für homogene und hysteresefreie Werkstoffe.
→
→
Daraus folgt, daß D nicht mehr notwendig parallel zu E sein muß (der Winkel kann sogar bis
zu 90° betragen). Für diesen Fall ist immer noch eine eindeutige lineare Beziehung gegeben.
- hysteresebehaftete Werkstoffe
→
→
D ≠ f ( E)
Diese Beziehung gilt für alle hysteresebehafteten Dielektrika, gleichgültig, ob das
Material kubisch, homogen oder inhomogen ist.
Eine eindeutige Definition eines ε r ist dann nicht mehr möglich!
Z.B. bei : Ferro-Elektrika und Ferri-Elektrika.
→
Für bestimmte Fälle kann näherungsweise ein ε r ( E) -Verlauf angegeben werden (z. B. bei
Voll- oder Kleinsignalaussteuerung einer Hystereseschleife).
Kapitel 4
- 116 -
Abb. 4.2-1:
Hystereseschleife
eines Ferroelektrikums
→ →
In allen Fällen ist der D( E) -Verlauf bei Hystereschleifen prinzipiell von der
Materialtemperatur abhängig.
3.
Beschreibung hysteresefreier homogener Materialien
3.1
Grundbegriffe
→
↔→
↔ →
D = ε E = ε0 εr E
(4.3-1)
Für kubische - folglich isotrope - Materialien gilt:
↔
εr → εr
[D] = Asm −2
→
→
→ →
D = ε 0ε r E
→
→
DE
→
D = ε 0 E+ P
[E] = Vm −1
(4.3-2)
[P] = Asm −2
[ε 0 ] = As( Vm) −1
→
→
→
Dabei kennzeichnet ε 0 E den Vakuumanteil der Verschiebungsdichte D und P den
materialspezifischen Polarisationsteil.
Veranschaulichen kann man das Ausrichten von Dipolen besonders leicht am Beispiel
eines Plattenkondensators.
In Abb. 3.3-1 fällt auf, daß die Ladungen auf den Kondensatorplatten, bezogen auf die
Plattenfläche, äquivalent zu den Dipolen, bezogen auf das Kondensatorvolumen, sind.
Es gilt allgemein:
Ladungen äquivalent Dipole
← →
Fläche
Volumen
Kapitel 4
- 117 -
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Minuspol (Metall)
E
+ ,
+
+
+
: Dipole
: Ladungen
+
Pluspol (Metall)
Abb. 4.3-1: Verdeutlichung am Beispiel eines Kondensators
Bei der Polarisation eines Werkstoffes werden im ganzen Volumen die positiven und
negativen gebundenen Ladungen (dies können positive oder negative Ionen sein und / oder
positive Kerne und negative Elektronenhüllen) zueinander verschoben. Weiterhin werden,
falls vorhanden, schon existierende Dipole in Feldrichtung ausgerichtet.
Ziel ist es, ein Maß zu finden, das den Polarisationseinfluß des Materials beschreibt.
→
→
D~E
fo lg t
→
→
P~E
→
↔
→
↔→
↔
→
P = ε 0 (ε r − 1 ) E
aus Gleichung 4.3-2 folgt:
(4.3-3)
oder
P = ε0 χ E
mit
χe = εr − 1 =
1 P
ε0 E
(4.3-4)
χ e : elektrische Suszeptibilität
Die elektrische Suszeptibilität ist ein Maß für die Polarisation, die bei einem bestimmten
elektrischen Feld im Material auftritt.
↔
↔
χ e : In allen kubischen Gittertypen ist χ e = χ e ein Skalar, ebenso in amorphen Materialien
und näherungsweise texturfreien Vielkristallen.
Kapitel 4
- 118 -
Für eine einzige Dipolsorte gilt:
→
→
P= Np
N: Zahl der Dipole pro Volumeneinheit
(4.3-5)
→
p : Dipolmoment
→
p entsteht im allgemeinen aus mehreren Ladungen.
→
M
→
pi = ∑q j r
j=1
j = 1, . . . . . , M bei M-Ladungen
(4.3-6)
Beispiel:
M=2
q 1 = 1e
q 2 = 1e
r j = r1 = r2
→
→
→
p = q 1 r1 + q 2 r2
Liegen mehrere Dipole vor, dann gilt allgemein:
→
z
→
P = ∑ N i pi
i = 1, ......, Z
i =1
(4.3-7)
Z : Zahl der Dipolarten
→
P : makroskopisch definierte Polarisation
→
p i : mikroskopisch vorliegende Dipolmomente
→
Bei Orientierungspolarisation wird unter P die feldbedingte Änderung der Lage des bereits
vorhandenen Dipols verstanden.
- 119 -
Kapitel 4
Abb. 4.3-2: Skizze zur Verdeutlichung
Abb. 4.3-3: In Volumen induzierte Dipole
Dipole können innerhalb eines Volumens induziert werden oder sie sind bereits vorhanden, wie es z.B. bei Wasser der Fall ist. Die Wassermoleküle sind nicht einheitlich
ausgerichtet, sondern in alle Richtungen verteilt. Eine Vektoraddition führt zu null. Legt
man jedoch ein Feld an, so richten sich die Dipole aus und man erhält bei der Addition
ein Dipolmoment. Bei GaAs und NaCl werden Dipole insofern induziert, als sich die
negativen Ionen der Anode und die positiven der Kathode versuchen anzunähern.
Abb. 4.3-4:
Ein Atom stellt keinen permanenten Dipol dar, da entweder die Schwerpunkte der posi tiven und negativen Ladungen ineinanderfallen (bei symmetrischer Elektronenhülle)
oder aber die Schwerpunktslage der Elektronenhülle im zeitlichen Mittel mit der Kernposition übereinstimmt (bei nichtsymmetrischer Hülle). Durch Anlegen eines Feldes
kommt es jedoch zu einer Verschiebung, was zu einem "atomaren Dipol" führt.
- 120 -
3.2
Kapitel 4
Frequenzspektrum
Man unterscheidet drei mögliche Polarisationsmechanismen:
1. Elektronenpolarisation:
Polarisation des Atoms (Verschiebung Hülle - Kern),
gilt auch für Ionen
2. Ionenpolarisation:
Polarisation von Ionen zueinander
3. Orientierungspolarisation: Drehung existierender elektrischer Dipole
Bei der Elektronen- und Ionenpolarisation werden Dipole induziert, wohingegen bei der
Orientierungspolarisation Dipole ausgerichtet werden.
Die Elektronenpolarisation tritt bis zu höchsten Frequenzen auf. Die Orientierungs polarisation hingegen tritt nur bei niedrigeren Frequenzen auf (Wassermolekül z.B.
kann nicht beliebigen Frequenzen folgen, da es zu träge ist).
Elektronen- und Ionenpolarisation sind ein Resonanzeffekt, die Orientierungspolarisation hingegen stellt eine Relaxation dar.
Relaxation:
Resonanz:
Sie tritt ein, wenn Dipole auch schon ohne Feld vorhanden waren und beschreibt das Nachhinken des Polarisationsvorganges hinter dem angelegten Feld.
Sie tritt ein, wenn Dipole erst durch ein Feld erzeugt werden müssen. Der
Abstand der Ladungen verändert sich mit dem angelegten elektrischen
Feld.
Abb. 4.3-5: Resonanz und Relaxation
In einem Festkörper tritt die Elektronenpolarisation immer additiv zu den anderen
Polarisationsmechanismen auf.
Im ganz allgemeinen Fall, d.h., daß alle drei Mechanismen gleichzeitig auftreten,
ergibt sich schematisch folgende Situation:
Kapitel 4
- 121 -
Abb. 4.3-6: Prinzipieller Verlauf der drei möglichen Polarisierungsanteile
ε r∞ = 1 = Vakuum
Alle drei Mechanismen sind voneinander unabhängig und addieren sich linear.
Dieses Prinzipbild wird bei unterschiedlichen Dipolen, Ionen und Atomen
komplizierter, da dann auch noch weitere ωOr , ωI und ωe auftreten.
3.3
Dipolmoment und Polarisation
Betrachtung der Dipolmomente:
→
M
→
pi = ∑q j r
(vgl. 4.3-6)
j=1
Im einfachsten Fall gilt:
→
→
p i = q j rj
Dieses Dipolmoment ist mit dem elektrischen Feld verknüpft über die
Polarisierbarkeit.
→
↔
→
p i = α i ⋅ E loc ,i
→
E loc : lokales E-Feld (4.3-8)
↔
α i : Polarisierbarkeit
Für nicht zu starke Felder ist das induzierte Dipolmoment proportional dem lokalen
→
elektrischen Feld E loc am Ort des Dipols (d.h. z.B. des polarisierten Atoms). Dieses Feld
→
→
E loc ist nicht notwendig gleich dem von außen angelegten Feld E .
Kapitel 4
- 122 -
Allgemein gilt:
→
→
p = α ⋅ E loc
(4.3-9)
→
[ p ] = As ⋅ m
→
[ E loc ] = V ⋅ m −1
→
[α] = As ⋅ m 2 ⋅ V −1 = F ⋅ m 2
Die Polarisation ergibt sich bei isotropem Verhalten zu:
→
→
→
P = ε 0 ⋅ (ε r − 1) ⋅ E = ε 0 χ e E
→
→
→
(4.3-10)
→
P = Pe + Pi + Po
→
→
→
= ∑ N i ⋅ α E ,i E loc ,i + ∑ N k ⋅ α I ,k E loc ,k + ∑ N l ⋅ α Or ,l E loc ,l + Grenzflächenpolarisation
→
i
k
l
Pe : Elektronenpolarisation
→
Pi : Ionenpolarisation
→
Po : Orientierungspolarisation
Beispiele für Polarisation:
1. einfachster Fall: Silizium
Es liegt nur eine Atomsorte und damit nur Elektronenpolarisation vor.
→
→
P = Nα E E loc
(4.3-11)
2. nächste Stufe: GaAs
Es liegen zwei Atomsorten und sowohl Elektronen- als auch Ionenpolarisation
vor.
→
→
→
→


P = Nα E ,Ga E loc.Ga + α E ,As E loc ,As  + Nα I E loc
→
(
)
(4.3-12)
→
P = N α E ,Ga + α E ,As + α I E loc
mit :
NGa = NAs = N
Eloc,Ga = Eloc,As = Eloc
und der Vereinfachung
- 123 -
3.4
Kapitel 4
Polarisierbarkeiten
Im folgenden soll die Polarisierbarkeit statisch und dynamisch (Frequenzverhalten)
betrachtet werden.
3.4.1 Elektronische Polarisierbarkeit αE
3.4.1.1 Statische Betrachtung αEstatisch
Abb. 4.3-7: Modell eines kugelsymmetrischen Atoms ohne und mit angelegtem Feld
In Abbildung (a) liegt der Schwerpunkt der Elektronenladung bei der durch x = 0
gekennzeichneten Position des positiven Kerns. Die Elektronen werden als Ladung
-Z⋅e mit Schwerpunkt bei x = 0 ohne Feld behandelt. Unter Ansatz einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung ergibt sich bei angelegtem Feld eine Trennung
der Ladungsschwerpunkte um den Abstand, d. h. es tritt ein Dipolmoment auf.
p=Z⋅e⋅x
(4.3-13)
Es existieren zwei Kräfte im Gleichgewicht:
→
Einerseits tritt die Feldkraft FF auf:
→
→
FF = Z ⋅ e ⋅ E loc
(4.3-14)
und andererseits die Coulombkraft:
→
→
FCoul.
→
Z2e2 x e x
1
=
⋅
4π ⋅ ε 0
R3
(4.3-15)
e x : Einheitsvektor in x-Richtung
Die Elektronenladung ist beschreibbar durch die Dichte
ρ= −
Z⋅e
4
⋅ π ⋅ R3
3
mit R : Radius der Hülle.
(4.3-16)
Kapitel 4
- 124 →
→
FF und FCoul. müssen sich im Gleichgewicht befinden. Gleichsetzen der beiden Ausdrücke
liefert:
4π ⋅ ε 0 ⋅ R 3
x=
E loc
Z⋅e
(4.3-17)
Mit Gleichung (4.3-13) folgt:
p = Z ⋅ e ⋅ x = 4π ⋅ ε 0 ⋅ R 3 ⋅ E loc
(4.3-18)
Durch Substitution ergibt sich:
p = α E ⋅ E loc
stat
Definition :
Statische elektronische Polarisierbarkeit
α E = 4π ⋅ ε 0 ⋅ R 3
(4.3-19)
stat
wobei R = "Effektiver" Atomradius
Durch (4.3-18) gibt der statische Wert der Elektronenpolarisation direkt den Radius der
Elektronenhülle wieder.
χe =
Aus
1 P
⋅ = (ε r − 1)
ε0 E
stat
mit P = N ⋅p bzw.
P = N ⋅ α E ⋅ E loc
stat
(nur eine Teilchensorte)
folgt dann :
χe =
E loc
N
αE
E
ε0
(4.3-20)
stat
Für Eloc = E (d. h. bei Gasen und verdünnten Flüssigkeiten) gilt:
χe =
stat
N
α
ε0 E
stat
N: Teilchendichte
χ e = 4π ⋅ N ⋅ R 3
stat
(4.3-21)
Experimentelle Bestimmung des Atomradius:
Bestimmung von E = Eloc, also gasförmiger Zustand, z. B. bei Normalbedingung :
(bei Normaldruck: 22,4 Liter entsprechen 1 mol, d. h. in 22,4 Litern sind 6 ⋅ 1023 Teilchen)
somit ist
6 ⋅ 10 23 l 6 ⋅ 10 20
1
N=
⋅ =
⋅ −3
22,4 l
22,4 cm
Kapitel 4
- 125 -
Abb. 4.3-8: Messung der Kapazität mit Meßbrückenschaltung
Entsprechend ergibt sich für die Kapazitätsmessung:
C=
also ist:
χe
stat
ε0 ⋅ εr
ε
⋅ A bzw. C = 0 (χ e + 1)A
d
d
C d 
=  ⋅ −1
 A ε0 
Es ergibt sich eine exzellente Übereinstimmung mit anderen Meßverfahren
3.4.1.2 Dynamische Betrachtung (frequenzabhängig) αE(ω)
Periodische Felder bewirken eine erzwungene Schwingung der Ladungsschwerpunkte
(positiv: Kern; negativ: Hülle) des Atoms. Die beteiligten Kräfte sind die
- Feldkraft (ortsunabhängig),
- Rückstellkraft (über die Coulombkraft; ortsabhängig),
- z. T. auch eine Dämpfung (geschwindigkeitsabhängig).
Letzteres gilt insbesondere für die Elektronen der äußeren Niveaus. Für die inneren
Niveaus ist die Dämpfung sehr gering (vgl. Übung "Röntgenstrahlen").
Gesamtkraft, die auf ein Teilchen wirkt, liefert:
Der Kern bleibt
in erster
Näherung ortsfest.
Abb. 4.3.-9:
Modell des gedämpften harmonischen Oszillators für gebundene
Elektronen im Kern
Kapitel 4
- 126 -
Bewegungsgleichung:
••
•
Z e ⋅ m e ⋅ x = −C F ⋅ x + Z ⋅ e ⋅ E loc − Z ⋅ m e ⋅ γ ⋅ x
••
•
Z e ⋅ m e ⋅ x+ Z ⋅ m e ⋅ γ ⋅ x+ C F ⋅ x = Z ⋅ e ⋅ E loc
Dabei entspricht:
Ze :
Ordnungszahl
CF ⋅ x einer ortsabhängigen Rückstellkraft
me :
Elektronenmasse
Z ⋅ e ⋅ Eloc einer ortsunabhängigen Feldkraft
CF :
"Federkonstante"
Z ⋅ m e ⋅ γ ⋅ x einer geschwindigkeitsabhängigen
Eloc :
Feld am Ort des Atoms
Kraft, deren Summe die Gesamtkraft Z e ⋅ m e ⋅ x
ist
γ:
Dämpfungskonstante für
ein Elektron
•
••
••
•
x+ γ ⋅ x +
CF
e
⋅x =
⋅ E (t)
Z ⋅ me
m e loc
(4.3-22)
Differentialgleichung einer gedämpften erzwungenen Schwingung
Jetzt folgt zunächst die formale Einführung der Frequenz ω0 als Abkürzung:
ω0 2 =
CF
Z ⋅ me
mit
CF =
1 z2e2
⋅
4 πε 0 R 3
(4.3-23)
Diese übernimmt jedoch später die physikalische Bedeutung einer Resonanzfrequenz. Durch
(4.3-23) ergibt sich:
••
•
x+ γ ⋅ x + ω0 2 ⋅ x =
e
⋅ E (t)
m e loc
(4.3-24)
Mit den vereinfachenden Ansätzen
p=Z⋅e⋅x
P=N⋅p=N⋅Z⋅e⋅x
folgt hieraus durch Multiplizieren mit (N ⋅ Z ⋅ e):
••
•
P + γ ⋅ P + ω0 2 ⋅ P =
Zusammen mit
(4.3-25)
P = N ⋅ αE (t) ⋅ Eloc(t) und den Ergebnissen aus der Übung folgt:
αE =
Mit Eloc = E gilt:
N ⋅ Z ⋅ e2
⋅ E loc ( t )
me
Z ⋅ e2
1
⋅ 2
2
m e ωo − ω + j ⋅ γ ⋅ ω
(4.3-26)
Kapitel 4
- 127 -
χe = ε r −1 =
mit A =
A
(4.3-27)
ω0 − ω + j ⋅γ ⋅ω
2
2
Z ⋅ e2 ⋅ N
me ⋅ ε 0
ω ist die variable Kreisfrequenz des angelegten bzw. des lokal vorliegenden Feldes, dagegen
ist ω0 fest und atomsortenabhängig.
Definitionen in Gleichung (4.3-27):
χe = εr − 1
ε r = ε r ` − jε r ``
→ χ e` = ε r ` − 1
χ e = χ e ` − jχ e `` → χ e `` = ε r ``
Erweitert man Gleichung (4.3-27) konjugiert komplex, dann erhält man:
(ω0 2 − ω2 − j ⋅ γ ⋅ ω)
χe =
⋅A
(ω0 2 − ω2 ) 2 + γ 2 ⋅ ω2
Realteil:
′
′
χe = εr −1 = A
Imaginärteil:
χ e `` = ε r `` = A
(ω 0
2
ω02 − ω 2
− ω 2 )2 + γ 2 ⋅ω 2
(4.3-28)
γ ⋅ω
(ω 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ⋅ ω 2
(4.3-29)
2
Kramers-Kronig-Relation:
2
Durch Ellimination von A folgt :
χ ′e ω 0 − ω 2
=
χ ′′e
γω
χ ′′e =
γω
⋅ χ ′e
ω0 − ω2
2
(4.3-30)
Hinweis: Der Imaginärteil wird aus technischen Gründen "negativ" definiert. Da γ und ω immer "positiv" sind,
ist χe'' ≥ 0.
Kapitel 4
- 128 -
Abb. 4.3-10: Kurvenverläufe von χe'(ω) und χe''(ω)
εr'(ω) und εr''(ω)
Phasenverschiebung zwischen P und E:
P = χ e⋅ ε 0 ⋅ E
E = Eloc
E loc = Êloc ⋅ ejωt
P = P ⋅ ej(ωt+ϕ)
Bereich I:
Phasenverschiebung ϕ gering (0 < ϕ < π/2)
P und E in Phase
Bereich II:
Phasenverschiebung groß (π/2<ϕ<π)
(vgl. 4.3-10)
(4.3-31)
P und E sind für ω > ω0 gegenphasig, denn ab ω0 können die Dipole dem
Feld nicht mehr folgen. Für ω = ω0 sind P und E um π/2 verschoben.
Kapitel 4
- 129 -
Experimenteller Nachweis der Elektronenpolarisation
Der optische Brechungsindex n ist mit der Permittivität verknüpft durch:
mit µr' = 1 folgt:
oder
n2 = εr' ⋅ µr'
n2 = ε r '
µr: magnetische Permeabilität (4.3-32)
n = εr`
(4.3-33)
Wasserkühlung
Prisma
lichtdurchlässiges
Fenster
x
Abb. 4.3-11:
Versuchsaufbau
(Woodscher
Versuch)
lichtdurchlässiges
Fenster
weisses
Licht
Natriumdampf
z
Sichtschirm
Heizung
Natrium besitzt im Gelben eine Resonanzlinie der Elektronenpolarisation.
Durch das Anheizen des Natriums bildet sich Natriumdampf in dem Gefäß aus. Es stellt sich
ein Konzentrationsgefälle ein, da die Natriumkonzentration am Boden des Gefäßes (wegen
des Heizvorganges im Gegensatz zum Abkühlen am Deckel ) geringer als im oberen Bereich
ist. Die sich einstellende Natriumkonzentration entspricht qualitativ folgenden Bildern:
Abb. 4.3-12: Zur Verdeutlichung des Konzentrationsgefälles
Das Konzentrationsgefälle wirkt sich wie ein Prisma aus. Somit könnte man den Versuchsaufbau mit Hilfe zweier hintereinander aufgestellter Prismen durchführen. Durch das Glasprisma
wird das Licht linear in seine Spektralfarben aufgeweitet. Durch das Natrium, welches bei
Frequenzen, die dem gelben Licht entsprechen, ein Resonanzverhalten aufweist, wird das
Spektrum gemäß Abbildung 4.3-12 auseinandergezogen. Blaues Licht, d.h. hohe Frequenzen,
werden nur geringfügig abgelenkt, rotes Licht (kleine Frequenzen) hingegen wird stärker
abgelenkt. Das Auftreten zweier gelber Bereiche, bedingt durch die Resonanz in diesem
Bereich, läßt sich auch an den auf Seite 66 dargestellten Kurvenverläufen ablesen.
- 130 -
Kapitel 4
Abb. 4.3-13: Brechungsindex in Abhängigkeit von der Spektralfarbe des Lichts
dargestellt durch die unterschiedlich starke Ablenkung des Lichtstrahls
auf dem Bildschirm
3.4.2 Ionenpolarisation und ionische Polarisierbarkeit
Die Ionenpolarisation verhält sich ähnlich wie die Elektronenpolarisation. Sie ist in
gleicher Weise wie eine erzwungene Schwingung zu behandeln. Ein wesentlicher
Unterschied ist jedoch, daß jetzt positive und negative Ionen zueinander bewegt
werden.
Abb. 4.3-14: Harmonischer Oszillator als Modell für die ionische Polarisierbarkeit
Die quantitative Behandlung erfolgt analog zur Betrachtung der Elektronenpolarisation. Folgende Annahmen werden gemacht:
- Die Felder an Orten der Ionen sind gleich (d. h. die lokalen Felder sind gleich).
Eloc1 = Eloc2 = Eloc
Kapitel 4
- 131 -
- Die Dämpfungsfaktoren beider Ionen sind gleich:
γ1 = γ2 = γ
- Statt des ursprünglichen x-Wertes ist jetzt die Differenz der Verschiebungsvektoren zu
berücksichtigen.
Bewegungsgleichungen:
••
•
→
→
→
→
→
M 1 x 1 + M 1 γ x 1 + f ( x 1 − x 2 ) = q E loc
••
•
→
→
→
→
(4.3-34)
→
M 2 x 2 + M 2 γ x 2 + f ( x 2 − x 1 ) = −q E loc
 f
 q
q  →
f  → →
( x 1 − x 2 ) = 
E
( x1 − x 2 ) + γ ( x1 − x 2 ) + 
+
+
 M1 M 2 
 M 1 M 2  loc
(4.3-35)
1
1
1
=
+
M M1 M 2
(4.3-36)
••
→
Def.:
••
•
→
→
•
→
Nur eindimensional betrachtet, ergibt sich:
••
••
•
•
( x1 − x 2 ) + γ ( x1 − x 2 ) +
q
f
( x 1 − x 2 ) = E loc
M
M
(4.3-37)
Das induzierte Dipolmoment ist:
p = q ⋅ ( x1 − x 2 ) ,
die Polarisation:
P = N ⋅ p = N ⋅ q ⋅ ( x1 − x 2 )
Erweitert man Gleichung (4.3-37) mit N ⋅ q, so ergibt sich:
••
•
P + γ ⋅ P + ω0 I
mit ω0I 2 =
2
N ⋅ q2
⋅P =
E loc ( t )
M
 1
1 
f

= f
+
M
 M1 M 2 
(Vgl. mit 4.3-25/26 "Elektronenpolarisation")
Ansatz:
^
P = P⋅ exp( j(ωt + ϕ))
Aus Gleichung (4.3-38) ergibt sich:
N ⋅ q2
(−ω + jγω + ω0I ) P =
E loc
M
2
2
(4.3-38)
Kapitel 4
- 132 -
Der Vergleich mit P = N ⋅ αI ⋅ Eloc liefert die ionische Polarisierbarkeit:
q2
1
αI =
⋅ 2
M ω0 I − ω2 + j ⋅ γ I ⋅ ω
(4.3-39)
γI: Ionendämpfung
Das Frequenzverhalten von αI ist entsprechend dem von αE, jedoch wegen der höheren
Masse der Ionen zu kleineren Frequenzen hin verschoben.
ω0I < ω0E
Zum Vergleich mit Elektronenpolarisation:
Z ⋅ e2
1
⋅
αE =
2
m e ω0 E − ω2 + j ⋅ γ E ⋅ ω
Z ⋅ Z ⋅ e2
Z ⋅ me
( Z ⋅ e) 2
bzw.
Z ⋅ me
(= Ladung aller Elektronen)2
(= Masse aller Elektronen)
Z ⋅ me: Gesamtmasse der Elektronen
3.4.3 Orientierungspolarisation
3.4.3.1 Langevin-Theorie und statische Betrachtung
Die Orientierungspolarisation entsteht durch Drehen bereits vorhandener elektrischer
Dipole in Feldrichtung. Sie tritt bei sogenannten polaren Werkstoffen (z. B. Wasser)
auf.
→
Dabei erfahren die Dipole ein Drehmoment TD , gegeben durch
→
→
→
TD = p× E loc
d. h. TD = p ⋅ E loc ⋅ sinϑ
→
→
ϑ = ∠ ( p , E loc )
dW = T(ϑ ) ⋅ dϑ = p ⋅ E loc sin ϑdϑ
ϑ
W = ∫ p ⋅ E loc ⋅ sinϑdϑ
0
Wählt man den Energienullpunkt bei ϑ = 90° folgt :
→
W = − p ⋅ E loc ⋅ cosϑ = − p⋅ E loc
(4.3-40)
Kapitel 4
- 133 -
Man setzt ein Ensemble freibeweglicher Dipole gleicher Art vereinfachend voraus. Bei einer
Temperatur T ≠ 0 K erfahren die Dipole durch die thermische Energie eine Bewegung und
wechselwirken untereinander, so daß ohne Feld eine isotrope Winkelverteilung vorliegt.
Durch Anlegen eines Feldes wird ein Drehmoment ausgeübt, das ordnend wirkt und dadurch
eine Anisotropie bewirkt.
Temperatur und Feld arbeiten praktisch gegeneinander. Dies bedeutet, daß die durch das Feld
erzeugte Ordnung temperaturabhängig ist. Als effektive Polarisation ergibt sich hierbei die
Summe aller Dipolmomente in Richtung der Feldachse oder die mittlere Dipolkomponente in
Feldrichtung. Daraus ergibt sich, daß zur Bestimmung des Anteils der Orientierungspolarisation der statistische Mittelwert des Dipolmomentes in Feldrichtung zu ermitteln ist.
Für die Orientierungspolarisation gilt:
→
→
POr = N p ;
→
p : Statistischer Mittelwert der
Dipolmomente in Feldrichtung
→
(4.3-41)
→
→
POr = N p cosϑ
für Komponenten in Feldrichtug , wenn P parallel
→
zu Eloc und p symmetrisch zur Feldrichtung
Zur Beschreibung des Dipols ist der Winkel ϑ zunächst ausreichend, da für nicht zu große
elektrische Felder der Betrag des Dipolmomentes konstant ist.
Hinweis zur Mittelwertbildung:
∫ " eigentliche" Größe ⋅ Wahrscheinlichkeit dx
⟨Größe⟩ =
Geltungsbereich von x
Der statistische Mittelwert einer Größe a(x) bezogen auf eine Variable x ergibt sich zu :
a ( x) = B∫ a ( x) f ( x)dx
B : Proportionalitätsfaktor
x
Mit der Normierungsbedingung B∫ f ( x)dx = 1 folgt für den statistischen normierten
x
Mittelwert :
a ( x) =
Hinweis:
1.
∫ a( x) ⋅ f ( x)dx
∫ f ( x)dx
∫ f ( x)dx ist eine nicht notwendige normierte
x
Wahrscheinlichkeitsfunktion.
2.
B∫ f ( x)dx = 1 ist gleichbedeutend mit der hundertprozentigen Wahr x
scheinlichkeit für die Existenz der Funktion f(x).
Kapitel 4
- 134 -
Erinnerung:
Um die Dipolkomponente der Orientierungspolarisation in Feldrichtung zu bestimmen, benötigen wir den statistischen Mittelwert der Funktion f(x) = cos(x).
π
Es folgt:
cosϑ =
∫ cosϑ ⋅ n(ϑ)dϑ
0
π
∫ n(ϑ)dϑ
0
n(ϑ) ist die Wahrscheinlichkeit, den Winkel ϑ im Element (ϑ, dϑ) wiederzufinden.
π
Ist n(ϑ) betragsmäßig schwierig zu definieren, kann mit ∫ f (ϑ )dϑ = kons tan t normiert
0
werden.
Abb. 4.3-15: Veranschaulichung des Intervalls (ϑ, dϑ) anhand der Einheitskugel
Herleitung der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Die Wahrscheinlichkeit, den Winkel ϑ zu finden, ist
proportional zur
- Zustandsdichte
- Besetzungswahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit für einen Zustand = Zustandsdichte⋅Besetzungswahrscheinlichkeit
2π sin ϑ dϑ
:
 W(ϑ ) 
:
exp −
 kT 
W(ϑ)
:
Zustandsdichte der Winkel
Boltzmann-Faktor
Zustandsenergie, die dem Dipol für den Winkel ϑ durch das Feld
zugeführt wird.
Kapitel 4
- 135 -
Die Besetzungswahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Boltzmann-Statistik .
 W(ϑ ) 
dϑ
n(ϑ ) = B ⋅ 2π ⋅ sin ϑ ⋅ exp −
 kT 
mit der Gleichung (3.3-40) W(ϑ) = - p Eloc ⋅cos ϑ folgt :
 p ⋅ E loc ⋅ cosϑ 
dϑ
n(ϑ )dϑ = B ⋅ 2π sin ϑ ⋅ exp
kT


mit
a=
p ⋅ E loc
kT
Hinsichtlich der Polarisation kann Eloc als ordnende Größe verstanden werden. Die
Temperatur T hingegen wirkt gegen Eloc.
Der statistische Mittelwert ergibt sich somit zu:
π
cosϑ =
∫ cosϑ ⋅ sin ϑ ⋅ e
a ⋅cos ϑ
dϑ
0
π
∫ sin ϑ ⋅ e
a ⋅cos ϑ
dϑ
0
cosϑ = coth(a ) −
1
= L(a )
a
Langevin-Funktion
Abb. 4.3-16: Darstellung der Langevin-Funktion
→
→
Die Orientierungspolarisation POr = N p läßt sich jetzt ausdrücken durch:
in Feldrichtung:
POr = N ⋅ p ⋅ L(a )
mit
a=
p ⋅ E loc
kT
(4.3-48)
Kapitel 4
- 136 -
Fallunterscheidung:
a > 1: für große Feldstärken; dieser Fall soll hier jedoch nicht betrachtet
werden
a < 1: typische Werte für a sind: a ≈ 10-3 ... 10-2;
mit einer Reihenentwicklung folgt: L(a) ≈ a/3
→
N ⋅ p2 →
POr =
E loc = N ⋅ α Or ,stat ⋅ E loc
3kT
p2
α Or ,stat =
3kT
→
(4.3-49)
(4.3-50)
Die Orientierungspolarisation ist, wie aus der Polarisierbarkeit aOr,stat ersichtlich,
eindeutig temperaturabhängig.
Rückblick: Elektronenpolarisation ist eindeutig temperaturunabhängig. Ionenpolarisation ist in geringem Maße, bedingt durch das Ändern der
Gitterkonstanten, termperaturabhängig.
Die Herleitung ist hier nur prinzipiell erfolgt. In einem realen Festkörper lassen sich die Dipole
nicht in alle Richtungen drehen, und es gibt nur bestimmte Winkeleinstellungen. Der Komplexität wegen kann diese Betrachtung hier nicht erfolgen. Ebenso ist zu erwähnen, daß ein
elektrischer Dipol in einem elektrischen Feld nicht konstant ist, sondern bei hohen Feldstärken
auseinandergezogen werden kann.
3.4.3.2 Dynamisches Verhalten der Orientierungspolarisation
Im dynamischen Bereich können zwei verschiedene Betrachtungen ausgeführt
werden:
- Ein- und Ausschalten des Feldes: Zeitverhalten,
- harmonische Felder: Frequenzverhalten.
3.4.3.2.1 Zeitverhalten bei Ein- und Ausschaltvorgängen
Dieses Verhalten tritt auch bei Stufenfunktionen und digitalen Signalen auf.
Abb. 4.3-16: Einschalten
Kapitel 4
- 137 -
PS = Pstatisch
PS = P(t → ∞)
P∞ = P(t → 0)
Hochfrequenzwert (ω → ∞)
P ∼ Ps - P(t)
mit :
•
P=
1
( P − P)
τ S
POr(t) = P(t) - P∞
POr(t → ∞) = Ps - P∞
mit τ als Relaxationszeit und
1/τ als Proportionalitätsfaktor
und der Randbedingung hierzu:
P(t = 0) = P∞
−
t
folgt : P = P∞ + ( PS − P∞ ) ⋅ (1 − e τ )
(4.3-51)
Ausschalten:
Abb. 4.3-17: Ausschalten
•
P ~ PS − P
P = ( PS − P∞ ) ⋅ e
P( t = 0) = PS − P∞
−
t
τ
(4.3-52)
Kapitel 4
- 138 -
3.4.3.2.2 Frequenzverhalten der Orientierungspolarisation für harmonische
Felder
Folgende Vereinfachungen werden getroffen:
als τ
∧
- eindimensional, ein Frequenzverhalten des E-Feldes gemäß E⋅ e jωt
- E = Eloc, d. h. alle Anteile der Polarisation dürfen addiert werden
- Es existiert nur eine Relaxationszeit für die Orientierungspolarisation
(ein Dipol kann jedoch auch verschiedene Relaxationszeiten besitzen).
- Die Elektronen- und Ionenpolarisation besitzen Zeitkonstanten, die sehr viel kürzer
sind. D.h. die Elektronenpolarisation und die Ionenpolarisation können dem E-Feld
direkt folgen (praktisch ohne Phasenverschiebung).
•
P=
mit
•
1
(
PS − P) + P∞
τ
(
⋅ (ε
P∞ hier variabel und folgt dem E-Feld (4.3-53)
)
− 1) ⋅ E
PS = ε 0 ⋅ ε r − 1 ⋅ E
und
P∞ = ε 0
wird hieraus
S
r∞
(
•
)
(
)
•
P + τ ⋅ P = ε0 ⋅ εr − 1 ⋅ E + τ ⋅ ε0 ⋅ εr − 1 ⋅ E
S
∞
(4.3-54)
Voraussetzung: Das Feld ist niederfrequent genug, daß P harmonisch folgen kann.
Daraus läßt sich ein Lösungsansatz herleiten:
P( t ) = P∞ ( t ) + POr ( t )
P∞ : Elektronen- und Ionenpolarisation
P( t ) = P∞ ( t ) + P⋅ e j(ωt +ϕ)
ϕ : Phasendifferenz zwischen P und E
∧
(4.3-55)
Aus Gleichung (4.3-54) und Gleichung (4.3-55) ergibt sich:
ε 0 ⋅ (ε r − 1) ⋅ E + POr + jωτ ⋅ POr = ε 0 ⋅ (ε r − 1) ⋅ E = PS
POr (1 + jωτ ) = ε 0 ⋅ (ε r − ε r ) ⋅ E
∞
S
∞
S
(4.3-56)
Vergleich mit POr = ε 0 ⋅ χ e ⋅ E :
(ε r − ε r ) ⋅ (1 − jωτ )
(4.3-57)
1 + ω2 ⋅ τ 2
Einführung von ε r (ω) = ε`r (ω) − jε``r (ω) liefert für die Orientierungspolarisation:
χ e ,Or = ε r ,Or − 1 =
∞
S

εr − εr

1 + ω2 τ 2

ω⋅ τ
ε``r (ω) =
ε − ε r 
1 + ω2 τ 2 r
ε``r (ω) = ε`r (ω) − ε r ⋅ ω ⋅ τ
ε`r (ω) = ε r +
∞
S
∞
(
[
∞
S
∞
]
)
}
Debye-Gleichungen
(4.3-58)
Kramers-Kronig-Relation
(4.3-59)
- 139 -
Verlustfaktor : tan δ =
Kapitel 4
ε``r
ε`r
Abb. 4.3-18: Darstellung der Debye-Gleichungen
Die Debye-Gleichungen lassen sich auch als Funktion in der komplexen Ebene darstellen,
dem
Cole-Cole-Diagramm.
Abb. 4.3-19: Darstellung des Cole-Cole-Diagramms
Kapitel 4
- 140 -
4.
Das lokale elektrische Feld Eloc
Einfluß des lokalen elektrischen Feldes Eloc auf das dielektrische
Verhalten
Zunächst wird das lokale elektrische Feld für kubische oder für isotrope Materialien
betrachtet.
Die Berücksichtigung des lokalen elektrischen Feldes erfolgt durch die Erfassung der
Wirkung aller Dipole innerhalb eines Werkstoffes auf ein Atom oder Ion an einem
bestimmten Ort.
Voraussetzung:
Der Werkstoff füllt den Bereich des E-Feldes voll aus.
→ Die angelegte Feldstärke E0 ist gleich der Feldstärke E im
Inneren des Werkstoffes (← in Maxwell-Gleichung).
→
Die makroskopische Größe E ist nicht notwendig gleich der am Ort eines Atoms
→
wirksamen mikroskopischen Größe, der lokalen Feldstärke E loc .
→
Die Berechnung von E loc erfolgt durch Aufspaltung in die Kontinuumrechnung (für
entfernte Bereiche) und für einzelne Dipole (im Nahbereich):
→
→
N −1
→
E loc = E+ ∑ E Dipol
i =1
wäre eine riesige Summe
(4.4-1)
N = alle Dipole (da die Wirkung des Atoms auf sich selbst entfällt: N - 1)
Stattdessen wird folgendes Modell zur Näherung herangezogen:
Man faßt die Wirkung der entferntesten Dipole wie die eines dielektrischen
→
Kontinuums mit der Polarisation P auf, welches am Ort des betrachteten Teilchens A ein
Lorentzfeld
hervorruft.
Abb. 4.4-1: Zusammenhang des lokalen und makroskopischen Feldes und
der Polarisation im Werkstoff
Kapitel 4
- 141 -
Der Radius der Kugel sei groß genug, damit alle außerhalb befindlichen Dipole als nicht mehr
auflösbar betrachtet werden dürfen und damit über ausreichend viele Dipole summiert werden
darf.
N −1
∑E
i =1
→
Dipol ,i
→
→
= E L + ∑ E Dipol ,i
U
(4.4-2)
Summe innerhalb der Kugel über Umgebung
Herleitung des Lorentzfeldes für eine Kugel:
→
→
Abb. 4.4-2: Angelegte elektrische Feldstärke E 0 und Feldstärke E
im Inneren des Werkstoffes
→
E 0 : angelegtes homogenes elektrisches Feld
→
E : tatsächliche Feldstärke; diese ist nur im Inneren eines Rotationsellipsoids
→
homogen; für alle anders geformten Einschlüsse ist E nirgends homogen!
E S : Streufeld des Rotationsellipsoids
→
E d : Depolarisierungsfeld
→
P : Polarisation
→
→
Für das Rotationsellipsoid werden das Streufeld und damit E d und E L homogen innerhalb
des Ellipsoids.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten für Rotationsellipsoide:
1. Alle drei Hauptachsen sind gleich → Kugel
2. Zwei Hauptachsen sind begrenzt und eine unendlich → Draht
3. Zwei Hauptachsen sind unendlich und eine begrenzt → Platte
Für ein Rotationsellipsoid gilt:
→
→
→
E = E0 + Ed
→
mit E d homogen und gegeben durch
(4.4-3)
→
P
Ed = − N
ε0
→
↔
↔
N :Depolarisationstensor
Kapitel 4
- 142 -
Bei Hauptachsenform:
 N a 0 0
N =  0 N b 0


0 0 N c 
↔
Fall 1:
langer Stab
mit
Na + Nb + Nc = 1
Fall 2:
dünne Platte
N a = N b = 1 / 2;
Nc = 0
Fall 3:
Kugel
Na = N b = 0;
Nc = 1
Na = Nb = Nc = 1/ 3
→
P
Ed = −
3ε 0
→
Kugel:
Dies ist das Feld der "herausgeschnittenen" Kugel
(4.4-4)
→
P
EL = +
3ε 0
→
→ Lorentzfeld
(siehe Abb. 4.4-2). Es ist dem Feld aller Dipole
außerhalb der Kugel entgegengesetzt.
Dies wird von allen Dipolen außerhalb der Kugel
(4.4-5)
ausgeübt.
Summation von Dipolen im kubischen Gitter innerhalb der Kugel:
Abb. 4.4-3:
Feldlinien eines
Dipols, wobei z
der Feldrichtung
entspricht
Potential eines Dipols:
→ →
ϕ=
p⋅ r
4π ⋅ ε 0 ⋅ r 3
(4.4-6)
→ → →
→
E Dipol
(4.4-7)
→
3( p⋅ r ) r − r 2 ⋅ p
1
= −∇ϕ =
⋅
4π ⋅ ε 0
r5
→
→
Es existiert nur die Komponente in Feldrichtung, da p und E parallel sind.
Kapitel 4
- 143 -
Somit ist für unser Beispiel aus Abb. 3.4-3 nur die z-Komponente zu betrachten:
E Dipol =
z
1 3⋅ p z ⋅ z2 − p z ⋅ r 2
4π ⋅ ε 0
r5
pz
3 ⋅ z i − ri


 ∑ E Dipol  =
⋅∑
 i
 z 4π ⋅ ε 0 i
ri 5
2
2
(4.4-8)
im kubischen Gitter gilt:
∑x
⇒
∑r
i
= ∑ yi 2 = ∑ zi 2
2
i
2
= ∑ 3z i 2
(4.4-9)
Durch Einsetzen von Gleichung (4.4-9) in Gleichung (4.4-8) ergibt sich:


E Dipol ,i  = 0
 ∑
z
i
, was nur im kubischen Gitter gilt.
Bei kubischen (und auch isotropen) Werkstoffen gilt:
→
→
E loc
P
= E+
3ε 0
→
→
←→
→
P = ε 0 (ε r − 1) E
(4.4-10)
4.1 Betragsmäßige Erfassung der Permittivität für Eloc ≠ E
(1)
10)
→
→
→
→
→
P = χ e ⋅ ε 0 ⋅ E = ε 0 ⋅ (ε r − 1) ⋅ E
(vgl. 4.3-
P = N ⋅ α ⋅ E loc
(2)
Kubisch:
→
P
E loc = E+
3ε 0
→
→
1
E loc = (ε r + 2) E
3
→
→
Aus (1) und (2) folgt:
→
→
1
E loc = (ε r + 2) E
3
→
→
1
P = Nα (ε r + 2) ⋅ E
3
Gleichung (4.3-10) und Gleichung (4.4-11) liefern:
1
N ⋅ α ⋅ ⋅ (ε r + 2) = ε 0 ⋅ (ε r − 1)
3
(4.4-11)
Kapitel 4
- 144 -
εr − 1 N ⋅α
=
εr + 2 3⋅ ε0
1. Clausius-Mosotti-Gleichung
(4.4-12)
Eine alternative Herleitung ist:
→
→
P = N ⋅ α ⋅ E loc
→
→
→
P
χ e ⋅ ε 0 ⋅ E = N ⋅ α ⋅ ( E+
)
3ε 0
→
→
Da E und P parallel zueinander sind, kann man statt mit Vektoren mit Beträgen
weiterrechnen.
χe =
N ⋅α N ⋅α P
+
3⋅ ε0 ε0 ⋅ E
ε0
α : Polarisierbarkeit
χe =
N ⋅α N ⋅α ⋅ χe
+
3⋅ ε0
ε0
N: Dichte der Atome/Dipole
N ⋅α
ε0
χe = εr − 1 =
N ⋅α
1−
3⋅ ε0
2. Clausius-Mosotti-Gleichung (4.4-13)
Für unterschiedliche Teilchensorten und Polarisierbarkeiten gilt:
N ⋅ α = ∑ N i ⋅ α E ,i + ∑ N j ⋅ α I , j + ∑ N k ⋅ α Or ,k
i
j
(4.4-14)
k
Wichtig: Im Festkörper müssen die unterschiedlichen Anteile der Polarisations mechanismen nach der Clausius-Mosotti-Gleichung berücksichtigt werden.
Sie dürfen bis auf einige Sonderfälle also nicht einfach miteinander addiert
werden.
Besonderheit: "Polarisationskatastrophe" für χe (N ⋅ α)
Abb. 4.4-4:
Verlauf der elektrischen Suszeptibilität
in Abhängigkeit von Nα
Dieser Effekt tritt bei Ferroelektrika an der Curie-Temperatur ein, da für diesen Wert
N⋅α = 3⋅ε0 wird (durch N(T)-Abhängigkeit (als Folge der thermischen Ausdehnung)).
Kapitel 4
- 145 -
4.2
Einfluß von Eloc auf das Frequenzverhalten von (εr` , εr``)
Dieser soll am Beispiel der Elektronenpolarisation und für kubische Materialien
betrachtet werden.
Es wurde hergeleitet:
N ⋅ Z ⋅ e2
P
P + γ ⋅ P + ω0 ⋅ P =
⋅ E loc ; E loc = E +
3⋅ ε0
me
••
•
2
 2 N ⋅ Z ⋅ e2 
N ⋅ Z ⋅ e2
⋅ P =
P + γ ⋅ P + ω 0 −
⋅E
3 ⋅ m eε 0 
me

••
•
Beim Übergang von E zu Eloc ergibt sich eine neue Resonanzfrequenz w0' , die kleiner
ist als w0. Außer der Resonanzverschiebung ändert sich am Frequenzverhalten nichts.
A
ω0 ` = ω0 −
3
2
2
(4.4-15)
(ω 0 `2 −ω 2 )
⋅A
(ω 0 `2 −ω 2 ) 2 + γ 2ω 2
(4.4-16)
γ ⋅ω
⋅A
(ω 0 ` −ω 2 ) 2 + γ 2 ⋅ ω 2
(4.4-17)
χ e `= ε r `−1 =
χ e "= ε r "=
mit
N ⋅ Z ⋅ e2
A=
me ⋅ ε 0
2
Die Einführung von Eloc liefert eine Verringerung des Wertes der Resonanzfrequenz.
5.
Materialien mit Orientierungspolarisation (im Vergleich zu
unpolaren Stoffen)
Beispiel :
Polymere

∨
Polare Polymere (mit
Orientierungspolarisation) :

∨
Low loss Polymere (ohne
Orientierungspolarisation):
Polyvinylidenfluorid (PVF)
(Sensormaterial für Schall)
Polyethylen (PE)
Polyvinylidendiffluorid (PVDF)
Polypropylen (PP)
Polymethylmetacrylat (PMMA)
(Plexiglas; Strukturmaterial;
"Photolack" bei Elektrobelichtung)
Polytetrafluorethylen
(PTFE) ← TEFLON
Polyamid (PA)
- 146 -
PVF und PTFE
Abb. 4.5-1:
PVF
(Relative Permittivität in Abhängigkeit von der Frequenz)
Abb. 4.5-2:
PTFE
(Verlauf der relativen Permittivität
in Abhängigkeit von
der Frequenz)
Kapitel 4
Kapitel 4
- 147 -
6.
Dielektrische Verluste
Abb. 4.6-1: Plattenkondensator mit Dielektrikum
Momentane Verlustleistung:
P ∗ ( t ) = u( t ) ⋅ i ( t )
•
•
= d ⋅ E ( t ) ⋅ Q( t ) = d ⋅ E ( t ) ⋅ A ⋅ D( t ) ;
•
= E ( t ) ⋅ D( t ) ⋅ V
(4.6-1)
E sei harmonisch:
∧
E( t ) = E⋅ e jωt ;
∧
D( t ) = D⋅ e j(ωt +ϕ)
•
D( t ) = j ⋅ ω ⋅ D( t ) = j ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ E ( t )
•
∧
D( t ) = j ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ (ε r `− j ⋅ ε r ") ⋅ E⋅ e jωt
(4.6-2)
Abb. 4.6-2:
Komplexe Darstellung
•
von D( t )
•
•
Q( t ) = D( t ) ⋅ A
Kapitel 4
- 148 ∧
tan δ =
ω ⋅ ε 0 ⋅ ε r "⋅ E
∧
ω ⋅ ε 0 ⋅ ε r `⋅ E
⇒
tan δ =
εr "
εr `
(4.6-3)
Hinweis: tan δ ist nur nennenswert ≠ 0 im Bereich der Resonanzfrequenzen (ω0E, ω0I
und ω0OR).
7.
Passivierungsschichten
Eine Passivierungsschicht soll folgende Eigenschaften mitbringen: Sie soll
-
1. ein guter Isolator sein, d.h. sie muß einen hohen spezifischen Widerstand (ca. 1014
Ωcm) und hohe Durchbruchsfeldstärken (ca. 108 V/m) besitzen;
2. ein gutes Dielektrikum sein, d. h. ein kleines εr,stat und ein niedriges εr'' (möglichst
kleine Verluste) besitzen;
3. mechanisch stabil, d.h. bruch- und stoßfest sein; des weiteren soll der Ausdehnungs
koeffizient gleich dem des Substrates sein;
4. chemisch stabil, d. h. korrosionsfest sein (zum Einsatz bei unterschiedlichen Gasen
/Atmosphären);
5. thermisch stabil sein, einen hohen Schmelzpunkt und einen Ausdehnungskoeffizienten haben, der dem des Substrats entspricht.
Eigenschaften der Passivierungsschichten sind Gegenstand der heutigen Forschung.
Beispiel:
Kapitel 4
- 149 -
7.1
Dielektrische Eigenschaften
Depositionsverfahren
Meßfrequenz
Schichtdicke
----RF-TriodenSputtern
"
"
"
Reaktives
Sputtern
Reaktives
Sputtern
RF-Sputtern
RF-Sputtern
---
1 kHz
1 MHz
10 kHz
----300 nm
3,75-4,1
3,7
5,84
4 MHz
10 kHz
4 MHz
1 kHz
300 nm
375 nm
375 nm
---
1 kHz
1 kHz
1 kHz
---
Quelle
Bemerkungen
0,0002
0,0001
---
(4)
(7)
(1)
kristallin
kristallin
---
5,7
5,2
5,15
3,9
0,01
0,01
0,006
0,0003
(1)
(1)
(1)
(3)
---------
---
3,8
0,0001
(4)
---
-------
4,0
4,0
3,8-3,9
0,001
0,002
---
(4)
(5)
(2)
----amorph
r
tan
Tab. 4.7-1: Relative Dielektrizitätszahl εr und Verlustfaktor tan δ von Si02-Schichten
im Vergleich zum kristallinen Si02
Depositionsverfahren
----RF-Trioden-Sputtern
Reaktives Sputtern
Reaktives Sputtern
Ed in V/cm
5*106
4*106
2*108-4*108
6*106-1*107
1,5*106-1*107
Quelle
(2)
(7)
(1)
(3)
(4)
Bemerkungen
kristallin
kristallin
-------
Tab. 4.7-2: Durchbruchsfeldstärke Ed von Si02-Schichten im Vergleich zum
kristallinen
Si02
Kapitel 4
- 150 -
Depositionsverfahren
--RF-Trioden-Sputtern
"
"
"
Reaktives Glimmentladungs-Sputtern
Reaktives Sputtern
Reaktives Sputtern
RF-Sputtern
RF-Sputtern
RF-Sputtern
Ionenstrahl-Sputtern
Meßfrequenz
1kHz
10kHz
4MHz
10kHz
4MHz
---
Schichtdicke
----180 nm
180 nm
300 nm
300 nm
10kHz
2-10kHz
1kHz
1kHz
1kHz
1kHz
-------------
r
tan
9,4
--10,5
0,18
10,1
<0,01
8,3
0,04
8,0
<0,01
6,2-6,8
--6,5
6-7
8,5
6,8
9,0
9,9
----<0,01
0,001
0,0001
0,14
Quelle
Bemerkungen
(8)
(1)
(1)
(1)
(1)
(2)
kristallin
-----------
(10)
(9)
(3)
(4)
(5)
(6)
-------------
Tab. 4.7-3: Relative Dielektrizitätszahl εr und Verlustfaktor tan δ von Si3N4 Schichten
im Vergleich zum kristallinen Si3N4
Depositionsverfahren
--------Reaktives Sputtern
Reaktives Sputtern
Reaktives IonenstrahlSputtern
Temp./°C
25
500
25
500
400
500
---
 cm
1015
1013
1014
2*1013
1015
2*1013
(2-4)1012
Quelle
(2)
(2)
(2)
(2)
(10)
(10)
(6)
Tab. 4.7-4: Spezifischer Widerstand von Si3N4 -Schichten
Bemerkungen
kristallin
kristallin
amorph
amorph
-------
Kapitel 4
- 151 -
Depositionsverfahren
RF-Trioden-Sputtern
RF-Sputtern
Reaktives Sputtern
Reaktives Sputtern
Ed in V/cm
Quelle
2,2⋅108 - 2,8⋅108
106
2⋅105 - 7⋅106
107
(1)
(4)
(9)
(10)
Tab. 4.7-5: Durchschlagfeldstärke Ed bei Si3N4 -Schichten
Durch das Aufbringen von Passivierungsschichten werden die dielektrischen Eigen schaften von Bauteilen stark beeinflußt. So liegt z. B. ohne Passivierungsschicht ein
εr von 1 (Luft) vor. Nach dem Aufbringen kann dann ein εr von 9 vorliegen.
Die Kapazität ändert sich. Somit erhält man ein neues Resonanzverhalten. Dies führt
z. T. zu drastischen Änderungen, die besonders groß werden, wenn die Dimensionen des
Bau - teils klein sind.
7.2
Passivierungsmaterialien im Vergleich
Siliziumoxid (SiO2) besitzt ein deutlich besseres dielektrisches Verhalten als Silizium
nitrit (Si3N4) (siehe Tab. 3.7-1 bis 3.7-5). Bei der Deposition einer
Siliziumnitritschicht auf den Baustein (z. B. auf das Halbleitersubstrat) wird dieser wegen
der relativ niedrigen Prozeßtemperaturen weniger geschädigt (besonders bei GaAs). Die
Haftung von Si3N4 ist besser, da die thermischen Ausdehnungskoeffizienten besser
übereinstimmen.
Ein weiteres Passivierungsmaterial ist Polyamid.
den
Besitzt das Halbleitersubstrat einen anderen Wärmeausdehnungskoeffizienten als die
Passivierungsschicht, so platzt diese weg, da in der Regel das Halbleitersubstrat um
Faktor 100 bis 1000 dicker ist.
Kapitel 4
- 152 -
8.
Elektrischer Durchbruch
Die Kenngröße ist die Durchschlagsfeldstärke, die z. B. von folgenden Größen
abhängig ist:
- Temperatur
- Dimension (vor allem Dicke des Dielektrikums)
Praktische Probleme treten häufig in folgenden Gebieten auf:
- Hochspannungstechnik:
Hier kommt es oft zu Kabeldurchbrüchen
(Bsp.: treeing).
- Mikroelektronik:
ESD (electrostatic defects) Hierbei werden Elektronen
aufgrund hoher Feldstärken so stark beschleunigt, daß
sie in die Passivierungsschicht hineinschießen und diese
zerstören. Als Folge der Miniaturisierung treten sehr
hohe Feldstärken auf; damit verbunden kommt es zu
Durchbrüchen.
Typische Durchbruchfeldstärke:
Bsp.: 1 V auf 0,1 mm
107 bis 108 V/m
Elektrische Durchbrüche treten in der Mikroelektronik besonders häufig bei FETStrukturen und MOS-Transistoren auf.
8.1
Selbstheilender Durchbruch
Abb. 4.8-1
Für ein zu großes U bricht der
Isolator durch.
großer Strom, → lokale Erwärmung der Probe
→ Metall des Gate schmilzt und wirft sich wegen der Oberflächenspannung
der Schmelze zu einem Wall auf
- 153 -
Kapitel 4
Abb. 4.8-2: Darstellung in "dreidimensionaler" Form
Abb. 4.8-3: Seitenansicht
Man unterscheidet Durchbruch bei Dielektrika mit sehr großem und mittlerem
Bandabstand.
8.2
Durchbruch bei Dielektrika mit sehr großem Bandabstand
Diese Art des Durchbruches ist meist irreversibel, d. h. sie ist mit mechanischer Zer störung verbunden. Man unterscheidet wiederum mehrere Durchbruchmechanismen:
1. Thermischer Durchbruch
Durch Ionenströme wird das Material stark erhitzt, so daß es zu einem lokalen
Schmelzen kommt. Dadurch setzt eine hohe Ionenbeweglichkeit ein.
2. Elektrolytischer Durchbruch
An Kristallbaufehlern (Versetzungen) z. B. können die Ionen unter dem Einfluß
eines
Feldes entlanggleiten. Dies führt zu einem Stromfluß entlang der
Fehlerstruktur (gilt
auch bei nichtionischen Dielektrika; so kann z. B.
Kapitel 4
- 154 -
eine Versetzung in einem Si-Thyristor einen vorzeitigen Durchbruch
hervorrufen → versetzungsfreies Material bei
Kraftwerksthyristoren
verwenden).
3. Dipoldurchbruch
Hier werden durch die felderzeugten Dipole Zustände innerhalb des verbotenen
Ban des erzeugt. Über diese findet dann ein Stromfluß statt.
4. Stoßdurchbruch
Hier werden geladene Teilchen (Ionen oder Elektronen) in das Dielektrikum so
eingeschlossen, daß sie Ladungsträger auslösen. Diese lösen dann ebenfalls
wieder
Ladungsträger aus usw. (ähnlich Lawinendurchbruch).
5. Gasentladungsdurchbruch
Bei Vorhandensein kleiner Gasbläschen im Dielektrikum werden die Gasmoleküle
ionisiert und gewinnen im Feld Energie. Diese übertragen sie dann in Stoßbzw. Ätz prozessen auf das umgebende Material. Bei ausreichend hoher Störung
bricht dann
der Werkstoff durch.
8.3
Durchbruch bei Dielektrika, die einen mittleren Bandabstand
(ca. 3-5 eV) haben
Diese Dielektrika können als Halbleiter betrachtet werden. Man unterscheidet
folgende
Möglichkeiten:
1. Zenerdurchbruch (Tunneleffekt)
Elektronen treten ohne zusätzliche
notwendige Energie vom Valenzins Leitungsband.
Abb. 4.8-4: Zenerdurchbruch
2. Lawinendurchbruch
Kapitel 4
- 155 -
Ein Elektron gewinnt im Feld so viel
Energie, daß es ein Elektron-Loch-Paar
produziert, ohne dabei selber vernichtet
zu werden. Danach produzieren wieder
beide Elektronen jeweils ein neues Elektronen-Loch-Paar usw. (also 4 ... → 2n)
Abb. 4.8-5: Lawinendurchbruch
Skizzen zum schiefen Bandverlauf:
9.
Hysteresebehaftete Werkstoffe
Bei diesen Werkstoffen liegen a priori Dipole vor, die in kleinen Bereichen sogenannten "Domänen" - einheitlich orientiert sind. Diese Domänen können durch
Feldeinfluß wachsen, bei hohen Feldern können auch die Dipolrichtungen innerhalb der
Domäne
gedreht werden.
→
→
→
Ferroelektrische Werkstoffe (hier: ferroelektrische Domänen)
Ferrielektrische Werkstoffe
Antiferroelektrische Werkstoffe
- 156 -
Kapitel 4
Weiterhin liegt anisotropes Verhalten vor, woraus folgt, daß unterschiedliche
Hysteresekurven für verschiedene Kristallrichtungen existieren. Dies gilt in diesem Fall auch
für kubische Kristall- systeme.
Ferroelektrika sind eine Untergruppe der Pyroelektrika, deren Domänenstruktur durch ein HFeld beeinflußt werden kann.
Zusammenhang zu S. 83:
"Polarisationskatastrophe"
Kapitel 4
- 157 -
N ⋅α
ε0
χe = εr − 1 =
N ⋅α
1−
3⋅ ε0
(Clausius Mosotti-Gleichung für kubisches
Material)
Ausnahmen: Es sei nur die Orientierungspolarisierbarkeit αOr entscheident, da stark
polares Material vorliegt. Die Teilchendichte N sei keine Funktion der Temperatur.
N = N(T) wird vernachlässigt.
Verweis: S. 74 (3.3.50) :
α Or
folgt:
p2
=
3kT
mit
N ⋅ p2
=C
3k ⋅ ε 0
C
T = C
χe =
C
C
1−
T−
3kT
3
χe =
C
T − TC
(3.9-1)
TC =
N ⋅ p2
C
=
3 6 ⋅ ε0 ⋅ k
Gleichung (3.9-1) beschreibt das Curie Weißsche Gesetz. Es hat Gültigkeit für
Temperaturen oberhalb von Tc.
Erläuterungen bzw. Vergleich zu Kapitel VI:
Ferromagnetismus: Unaufgefüllte innere Elektronenschalen führen zu gleichgerichteten Spin momenten. Im Kristall bilden sich Bereiche, die man Weißsche Bezirke nennt. Anlegen eines
äußeren Feldes führt zum parallelen Ausrichten der Bezirke, wobei eine Temperaturerhöhung
diesem Prozeß entgegenwirkt.
TC ist die Temperatur, ab der die unordnenden gegenüber den ordnenden Prozessen überwiegen. Oberhalb von TC liegt rein paramagnetisches Verhalten vor.
10. Elektromechanisches Verhalten von Dielektrika
1. Elektrostriktion (atomarer Effekt)
ist direkt mit der Elektronenpolarisation verkoppelt, d. h. mit der Verformung der
Atome im E-Feld → tritt also bei allen Werkstoffen auf
Bei diesem Effekt gilt:
- Feld verursacht Längenänderung
}→
E2 ~
∆l
l
- mechan. Druck/Spannung verursachen kein Feld
2. Piezoelektrizität
tritt auf bei Ionenkristallen ohne Symmetriezentrum, d. h. bei Druck/Spannung tritt eine
Trennung der positiven und negativen Ladungsschwerpunkte auf
(Piezoelektrizität ist richtungsabhängig, z. B. können bestimmte Richtungen völlig ohne
Piezoeffekt sein, andere dagegen schon [typ.: GaAs].)
- 158 -
Kapitel 4
Anwendung: interdigitaler Transducer, "akustische Filter"
Abb. 4.10.1
Wenn die Abstände der Metallisierungsfinger mit der akustischen Wellenlänge (zur Frequenz
des Sinusgenerators f) passen, dann kann kohärente Interferenz der mechanischen (∆l / l) Änderung erfolgen und aus einem elektrischen Signal ein akustisches werden und umgekehrt.
Vereinfacht gilt (da Piezoeffekt umkehrbar):
∆l
~E
l
kristalline Eigenschaft
Bisher wurden nur die Volumeneigenschaften der Piezoelektrizität betrachtet:
Abb. 4.10-2 :
Anwedungsgebiet : z.B.
Verzögerungsleitung
Nun soll der Übergang zu akustischen Oberflächenwellen durchgeführt werden.
→
SAW-Devices (Surface-Acoustic-Waves)
- 159 -
Kapitel 4
Abb 4.10-3:
An der Oberfläche : Ausbildung einer Transversal-Welle (Rayleigh-Welle), deren Intensität
exponentiell in z-Richtung abklingt.
Typischerweise ist der Existenzbereich der Welle in die Tiefe nach einer akustischen
Wellenlänge abgeklungen.
Wenn der "vertikale" Effekt wegen zu großer Probendicke vernachlässigt werden kann, findet
die Ausprägung einer reinen Oberflächenwelle statt.
Die Wechselspannung bewirkt ein mechanisches "Auf und Ab" der Oberfäche, also eine
akustische Welle, die sich mit Schallgeschwindigkeit entlang der Oberfläche ausbreitet.
1. Es entstehen soviele individuale Schallquellen, wie Elektroden vorhanden sind.
2. Alle Wellen überlagern konstruktiv, wenn der Abstand gleichgerichteter Schallquellen
genau einer Wellenlänge entspricht !
- 160 -
Kapitel 4
3. Für das in obiger Abbildung eingezeichnete λ ergibt sich eine maximale SAW-Amplitude!
(inklusive einer eindeutigen Sinuswelle; kleine Fremdfrequenzen u.s.w.)
4. Je mehr Elektroden verwendet werden, um so schärfer wird die Frequenzantwort dieser
Anordnung! D.h., die sich ausprägende Frequenz wird immer genauer definiert.
Technische Realisierung:
Beispiel dazu: Lithiumniobat (LiNbO3)
Oberflächengeschwindigkeit: vsaw = 3600 m/s
Ziel: f = 100 MHz → λ = 36 µm
Abstände bzw. Leiterbahnbreite = 9 µm
Anderes Beispiel:
f = 1 GHz → Abstände = 0,9 µm
Da die Abstände 0,9 µm betragen, muß die Technologie zur Herstellung besser als 0,2 µm
sein!
Ein Problem bei hohen Frequenzen stellt der Skin-Effekt dar → Konsequenz: hohes AspektVerhältnis (h>>0,9 µm)
Anwendungen:
Verzögerungsbauelement (interdigital transducer (IDT))
Ein Abstand der interdigitalen Transducer von 1 cm führt zu einer Verzögerungszeit von
tDelay = 2,8 µs
- 161 -
Transversale SAW-Filter:
Cn: Überlappungskoeffizient
Die Transfer-Funktion für diese IDT-Filter lautet:
N −1
H (ω ) = ∑ C n e − jωnTd
n=0
1. Fall: alle Cn = 1
N −1
→ H (ω ) = ∑ e − jωnTd
mit
n=0
Td =
1
f0
(f0 entspricht λ aus geometrischer Definition)
Die Amplitude ist proportional zu
∆f
f0
∆f
Nπ
f0
sin( Nπ
N⋅
N: Anzahl der Elektronenpaare
∆f: Abweichung von f0 (der Zentralfrequenz)
Beispiel: Bandpässe mit 100 dB - Unterdrückung von Fremdfrequenzen:
Filtergüte:
f
≈ 105
f0
Durch geeignete Wahl der Cn - Komponenten lassen sich beliebige Filterfunktionen
realisieren
Kapitel 4
- 162 -
Kapitel 4
→ Matched Filter
Space Charge Coupled SAW Devices
Voraussetzung: Das Piezomaterial ist gleichzeitig Halbleiter. Dann ist mit der Erzeugung von
elektrischen Feldern eine damit korrelierende Erzeugung von Raumladungen und damit von
Ladungsträgerkonzentrationen verbunden, d.h. es entsteht eine Fluktuation von Elektronen
und Löchern (lokale hochfrequente Anreicherung und Verarmung mit freien Ladungsträgern).
Existieren zwei Schallquellen, die aufeinander zulaufen, so interferieren diese aufgrund der
elektroakustischen Kopplung in nichtlinearer Weise.
Dieses kann man (in unterschiedlicher Realisierung) zum Bau eines Convolver-Bauelementes
nutzen.
Convolution: Faltung
Convolver: Bauelement, das ein Faltungsintegral in Echtzeit löst.
- 163 -
Space charge coupled SAW convolver.
Die Ladungsträgerwellen erzeugen bei Interferenz ein akustisches Signal bei 2ω.
(zwei identische IDT zur Signaleingabe)
Die überlappenden Wellen lassen sich beschreiben durch:
x
f ( t − ) exp j(ωt − kx)
v
dabei: v = vSAW (Schallgeschwindigkeit)
x
g( t + ) exp j(ωt + kx)
v
Aufgrund der nichtlinearen Kopplung ergibt sich bei 2ω eine Amplitude von
+
L
2
x
x
t+
L
2v
∫ f (t − v ) ⋅ f (t + v ) dx = v ⋅ ∫ f (τ ) g (2t − τ )dτ
−
L
2
t−
L
2v
L : Abstand der Eingangstransducer
3. Elektromechanische Kopplungsgleichungen
bei Piezoeffekt gilt allgemein folgender Beziehungssatz:
mit
für
SE :
εT:
d :
S :
T:
D:
E:
Elastizitätskonstante für E = konst
Permittivität für T = konst
piezoelektrische Ladungskonstante
relative Dehnung ≡ ∆l / l
(→ strain)
mechanische Spannung
(→ tension)
dielektrische Verschiebungsdichte
E-Feld
S = SE ⋅ T + d ⋅ E
D = d ⋅ T + εT ⋅ E
Wichtiges Piezomaterial:
PZT : Keramik aus Blei (Pb) - Zirkonat (Z) - Titanat (T)
Kapitel 4
Kapitel 5
- 164 -
Kapitel V
Metalle
1.
Grundlagen
Metalle sind solche Stoffe, die bei jeder Temperatur (also auch bei T = 0 K) eine elektrische Leitfähigkeit aufweisen. Metalle können flüssig und fest sein, im festen Zustand kristallin, polykristallin oder amorph. Mikroskopisch bedeutet dies, daß in einem Metall immer eine von Null verschiedene Ladungsträgerkonzentration vorliegt.
Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu realisieren:
Einwertiges Metall (ungerade Zahl an Valenzen):
Da jedes Band erst durch Doppelbesetzung (Spin: ↑ und ↓ ) voll besetzt ist,
folgt bei nur einem Valenzelektron ein
halbvolles Valenzband.
n ≠ f (T)
Es liegt nur Elektronenleitung vor.
Abb. 5.1-1: W(x)-Verlauf bei einwertigen Metallen
Zweiwertiges Metall (gerade Zahl an Valenzen):
Diese Gruppe entspricht prinzipiell einem
Halbleiter oder Isolator. Die Bandlücke
Wg ist jedoch negativ! Im Falle einer
Nichtüberlappung der Bänder wäre bei
T = 0 K das Leitungsband leer und das
Valenzband voll. Tatsache ist jedoch, daß
die Elektronen im Valenzband, die eine
Energie W > WF besit zen, ohne zusätzliche Energiezufuhr (bereits bei T = 0 K)
Abb. 5.1-2: W(x)-Verlauf bei zweiwer- ins Leitungsband gelangen, und zwar so
tigen Metallen
lange, bis das Leitungsband aufgefüllt ist
bzw. bis das Valenzband bis zur Energie
WF leer ist. WF ist dann die Grenze, bis zu der sich Elektronen energetisch befinden können!
Die Folge davon ist, daß es bereits bei T = 0 K eine von Null verschiedene Zahl an freien Ladungsträgern gibt, und zwar sowohl Elektronen als auch Löcher. Dies bedeutet, daß in diesem
Metalltyp sowohl eine Löcher- als auch eine Elektronenleitung vorliegt! Es ist darauf hinzuweisen, daß hier prinzipiell auch eine Änderung der Konzentrationen n und p mit der Temperatur durch thermisch induzierte Elektronen-Lochpaar-Bildung möglich ist. Dieser Effekt
ist jedoch gering. Als Näherung kann man auch hier verwenden: n bzw. p = const.
2. Elektrische Leitfähigkeit von Metallen
Kapitel 5
- 165 -
Zur Vereinfachung werden nur Metalle mit halbvollem Band betrachtet, also nur Elektronen. Man muß sich die Frage stellen, welche Elektronen zur Leitfähigkeit beitragen.
Hierzu sei noch einmal auf das Bändermodell bzw. das Elektron im Potentialtopf hin
gewiesen: (vgl. Gl. 4.2-7)
2
k z2 
1  k x2 k y
W = h ∗ + ∗ + ∗ 
2  me
me
me 
x
y
mit
(
(
p2 = h2 k x2 + k y2 + k z2
→
p2 = h2 k ;
x
y
z
z
p2
1 1
h ∗ k x2 + k y2 + k z2
∗ =
2 ⋅ me 2 me
⇒
m∗e = m∗e = m∗e = m∗e
)
)
mit k i = ± n i
2π
; i = x, y , z
L
→
k =k
(5.2-1)
(5.2-2)
Abb. 5.2-1:
Auf der Oberfläche der Kugel
mit dem Radius k befinden sich
alle Elektronen mit der Energie W,
d. h., im k-Raum liegt auf der
Kugeloberfläche eine konstante
Energie vor.
Betrachtet man die Besetzung des k-Raumes, so stellt man fest, daß das gesamte Volumen innerhalb der Kugel mit dem Radius kF (→ WF: Fermi-Energie) bei T = 0 K voll
besetzt ist. Der Grund dafür ist, daß die Fermi-Statistik für W < WF die volle Besetzung aller Zustände vorsieht.
kF: Wellenvektorbetrag zur Fermi-Energie
WF
Im Energiebereich gilt:
n(W) = ∫ S(W) f (W)dW
W0
- 166 -
Kapitel 5
Abb. 5.2-2:
Skizze zur Verdeutlichung
(5.2-3)
Abb. 5.2-3: Besetzungswahrscheinlichkeit und Elektronenverteilung zu T = 0 und T ≠ 0
Anmerkungen:
Die Aufweitung der Grenze zwischen "besetzt" und "unbesetzt" ist, verglichen mit der Energie WF selbst, nur gering (bei normaler Temperatur).
Somit können nur solche Elektronen zur Leitfähigkeit beitragen, die überhaupt in der Lage
sind, Energien aufzunehmen. Dies sind diejenigen, die sich in der Randschicht der Kugel mit
dem Radius kF (im k-Raum) befinden. Alle anderen sind aufgrund des Pauli-Prinzips nicht in
der Lage, Energie zu absorbieren, da der dann notwendige Zustand durch ein anderes Elektron besetzt ist.
Abb. 5.2-4: Veranschaulichung im n(W)-Diagramm
Das E-Feld wird in x-Richtung angelegt.
vx ist die durch die Energie gegebene Geschwindigkeit, bei WF ist dies die Fermi-Geschwindigkeit (tatsächliche Geschwindigkeit der Elektronen).
Praktisch tragen nur die Elektronen mit WF bzw. vF zur Leitfähigkeit bei ! Das heißt, daß nur
die oberflächennahen Elektronen zur Leitfähigkeit beitragen. Dies wird zur Verdeutlichung
anhand eines Vergleiches zwischen Halbleiter und Metall dargestellt.
- 167 -
Kapitel 5
Elektronen existieren nur in einem
engen Energieintervall. Alle Elektronen tragen zur Leitfähigkeit bei.
Abb. 5.2-5: W(x)-Verlauf eines Halbleiters
Nur die obere Schicht der Elektronen im Leitungs (= Valenz-) band kann zur Leitfähigkeit
beitragen. Der Grund ist, daß nur die oberen
Elektronen durch das E-Feld so viel Energie
gewinnen können, daß sie über das Fermi-Niveau hinaus können. Alle anderen Elektronen
können keinen Zustandswechsel durchführen
(wegen Pauli-Prinzip). Im folgenden wollen
wir die Größen betrachten, zu denen die Leitfähigkeit in einem Metall proportional ist.
Dieses wird nur für Elektronen betrachtet.
Abb. 5.2-6: W(x)-Verlauf bei einem einwertigen Metall
Die Leitfähigkeit von Metallen ist proportional
- zur Konzentration der "wirksamen" Elektronen: n ≠ n (T)
- zur Beschleunigung, die die Elektronen im Feld erfahren
F = m∗e ⋅ a = −e ⋅ E
⇒ a=
−e
e
also >> − ∗
∗ E
me
me
(5.2-4)
a: Beschleunigung
- zur Ladung der Elektronen: - e
- zur Zeitdauer τ , bis zu der die Elektronen frei beschleunigt werden (bevor sie einen Stoß erleiden), also damit auch zur sogenannten freien Weglänge l, für die gilt: l = vF τ mit vF:
Fermi-Geschwindigkeit.
e2
κ = ∗ nτ
me
e2 1
bzw. κ = ∗ n
me v F
Achtung! Es gilt: vF >> vthermisch >> vDrift
Als Formel für die Leitfähigkeit einwertiger Metalle ergibt sich:
(5.2-5)
- 168 -
κ = n ⋅ e ⋅ bn ;
bn = τ
e
m∗e
(vgl.4.8-4)
e: Elementarladung
n: Konzentration der Elektronen im Leitungsband
bn: Beweglichkeit der Elektronen, die sich aus der
Driftgeschwindigkeit berechnet
→
bn =
vD
→
E
Kapitel 5
Kapitel 6
- 169 -
Kapitel VI
MAGNETISMUS
1.
aus-
Einführung
Magnetische Werkstoffeigenschaften basieren auf der Existenz der magnetischen Momente von Atomkernen und -hüllen und auf der Wechselwirkung zwischen den
magnetischen Momenten der Atomhüllen benachbarter Atome. Das magnetische Moment des Kerns ist wesentlich kleiner als das magnetische Moment der Hülle. Daraus
ergibt sich, daß das magnetische Moment des einzelnen Atoms in erster Näherung
schließlich durch das magnetische Moment der Elektronenhülle bestimmt wird. Die
Beschreibung kann also auf Elektronen beschränkt werden. Für ein einzelnes Elektron
gibt es zwei Momente:
Bahnmoment l, welches die Rotation des Elektrons um den Kern beschreibt;
Spinmoment s, welches den Eigendrehimpuls beschreibt.
Diese Momente bilden das Gesamtmoment
→
→
→
j
→
j = s+ l
(6.1-1)
Bei mehreren Elektronen der Hülle (n-Elektronen) treten folgende Momente auf:
### Bahnmoment
n →
→
L = ∑li
(6.1-2)
i =1
→
n →
S = ∑ si
### Spinmoment
i =1
(6.1-3)
Das Gesamtmoment ergibt sich dann zu:
→
→
→
J = S+ L
→
(6.1-4)
l = n − 1, n − 2,...0
s= ±
1
2
n: Hauptquantenzahl
Daraus kann man ersehen, daß
Elektronen Fermiteilchen sind.
Entscheidend für das magnetische Verhalten sind die Elektronen der Hülle.
Bsp.:
VI. O − 

VII Cl 
zeigen das gleiche magnetische Verhalten
Elemente, die in Edelgaskonfiguration vorliegen, sind magnetisch inaktiv, da sich die
Bahnmomente und Spins zu null kompensieren.
Silizium als Atom bildet keine Edelgaskonfiguration, da sich die Spins nicht zu null
kompensieren können.
Liegt Silizium jedoch als Kristall vor, so ist dieses Material diamagnetisch. Die Spins
kompensieren sich innerhalb einer Bindung zu null. Unabhängig davon, durch welche
Bindungstypen sich eine Edelgaskonfiguration ergibt, erhalten die Atome eine ideale
magnetische Struktur und die Momente entfallen.
Man unterscheidet zwei Effekte:
Kapitel 6
- 170 -
1. Effekt:
Atome, die als Individuum keine abgeschlossene Edelgaskonfiguration besitzen, erhalten
diese in der chemischen Bindung. Dies gilt insbesondere für Festkörper.
Bsp.:
Si-Atom ist paramagnetisch
Si-Kristall ist diamagnetisch
2. Effekt: (der nicht immer auftritt)
Bei dichter Packung (Festkörper oder auch Flüssigkeit) tritt außerdem bei bestimmten Systemen eine Kopplung zwischen benachbarten Atomen auf, die eine Parallel- bzw. auch Anti parallelstellung benachbarter magnetischer Momente bewirkt (Austauschintegral, Austausch kopplung).
Dies bedeutet, daß jedem Atom magnetische Momente zugeordnet werden können, die parallel oder antiparallel stehen. Daraus ergibt sich eine magnetische Ordnung.
### Ferromagnet (*)
### Ferrimagnet (*)
### Antiferromagnet
(*) wesentlicher Bestandteil in der Elektrotechnik
Grundbeziehungen
→
→
B = µ⋅ H
→
→
B = µr ⋅ µ0 ⋅ H
→
→
→
B = I + B Vakuum
→
→
(6.1-5)
[H,M] = A/m
(6.1-6)
M = χm ⋅ H
→
= µ 0 ⋅ M+ µ 0 ⋅ H
→
### = Permeabilität
→
→
µ 0 ⋅ H : Vakuumanteil; µ 0 ⋅ M : Materialanteil. Dieser kann sowohl durch H-Feld erzeugt sein,
als auch a priori vorliegen.
→
→
B = µ 0 (1 + χ m ) ⋅ H
µ = µ0µ r
µr = 1+ χ m
###m : Suszeptibilität
###r : relative Permeabilität
(6.1-7)
(6.1-8)
###r ist bei Ferro- und Ferrimagnetika keine eindeutige Größe mehr, sondern von den Randbedingungen abhängig (### Hysterese). Prinzipiell ist ###r ein Tensor zweiter Stufe.
 µ1 ....... µ13 
µ r = :
: 


 µ 31 ....... µ 33 
↔
Im kubischen Gitter kann dieser Tensor aufgrund der Symmetrieeigenschaften
-immer auf Hauptdiagonalform gebracht werden und
- reduziert sich dann wegen ###11=###22=###33 zu einem Skalar, allerdings dann
und
→
↔ →
↔
→
nur dann, wenn eine eindeutige B = µ⋅ H = µ 0 ⋅ µ r ⋅ H - Beziehung vorliegt.
Kapitel 6
- 171 -
Insbesondere gilt dieses nicht bei Vorliegen einer Hysterese, d. h., z. B. kubische
Ferromagnetika zeigen Anisotropie!
Bringt man ein Medium (Atom, Molekül, Flüssigkeit, Festkörper) in ein Magnetfeld, so treten zwei prinzipielle Effekte auf: Alle Atome (Stoffe), die über nicht
abgeschlossene Elektronenschalen verfügen, können durch ein H-Feld so beeinflußt
werden, daß die nicht kompensierten elektronischen Dipolmomente zu einem von
Null verschiedenen atomaren Dipolmoment zur Unterstützung des H-Feldes
ausgerichtet werden: Paramagnetismus.
Alle Atome (Stoffe) mit abgeschlossenen Schalen haben diese Eigenschaft nicht, statt
dessen wird aber durch "Wirbelströme" ein atomares Dipolmoment erzeugt, das dem
H-Feld entgegenwirkt: Diamagnetismus.
Der Paramagnetismus ist vom Betrag her etwa 1000 mal größer als der
Diamagnetismus.Ist ein Atom Atom diamagnetisch, so ist auch der Festkörper
diamagnetisch. Beim Paramagnetismus kann jedoch im Festkörper Diamagnetismus
vorliegen.
2.
Grundlagen
Magnetisches Moment
magnetisches Dipolmoment eines Ringstromes (z. B. Elektron auf einer Kreisbahn):
→
→
→
1
p m = µ0 ⋅ i ⋅ A = µ0 ⋅ ⋅ e ⋅ ω ⋅ r 2 ⋅ n 0
2
magnetischer Drehimpuls:
→
→
(6.2-1)
→
l Dreh = ( r × m e v )
(6.2-2)
Mit (6.2-1) und (6.2-2) erhält man:
→
p m = −µ 0 ⋅
→
m=−
→
e
⋅ l Dreh
2me
→
e
⋅ l Dreh
2me
magn. Dipolmoment
(6.2-3a)
magn. Bahnmoment
(6.2-3b)
Den Faktor e/2me bezeichnet man als gyromagnetisches Verhältnis ###B der
Elektronen→
→
bahn. Somit lassen sich p m und m vereinfacht schreiben:
→
→
p m = −µ 0 ⋅ γ B ⋅ l Dreh
(6.2-4a)
m = − γ B ⋅ l Dreh
(6.2-4b)
→
→
Analog kann die Eigenrotation (Spin) des Elektrons betrachtet werden, so daß sich
ergibt:
→
p m = −µ 0 ⋅
S
→
→
e
⋅ l Dreh
me
→
p m = −µ 0 ⋅ γ S ⋅ l Dreh
S
(6.2-5)
mit
γS =
e
me
(6.2-6)
Kapitel 6
- 172 -
Warum
γS
= 2 gilt, ist zur Zeit ungeklärt.
γB
Bewegung eines magnetischen Dipols im homogenen H-Feld
Das mechanische Drehmoment ist gegeben durch:
→
T=
d →
l
dt Dreh
(6.2-7)
Die magnetische Ursache des Momentes stellt sich wie folgt dar:
→
→
→
T = pm× H
(6.2-8)
Setzt man (6.2-4a) und (6.2-8) in (6.2-7) ein, ergibt sich:
→
→
d →
l Dreh = −µ 0 ⋅ γ B ⋅ l Dreh × H
dt
(6.2-9)
→
Berücksichtigt man bei der Lösung, daß l Dreh = const., so folgt:
1.
2.
→
d →
l Dreh ⊥ l Dreh
dt
→
→
→
d l Dreh
= ωL × l Dreh
dt
(6.2-10)
→
→
→
mit ωL = γ B ⋅ B = µ 0 ⋅ γ B ⋅ H
(6.2-11)
###L ist die sogenannte Larmorwinkelgeschwindigkeit, die ausschließlich Funktion von
 →→
ω L H  .


→
H ist
Wenn Elektronen mit einem von null verschiedenen Bahnmoment ins H-Feld gebracht
werden, erfolgt eine induzierte Elektronenbewegung. Hierbei handelt es sich um eine
→
→
Präzessionsbewegung des l Dreh - Vektors auf einem Kegel um die H - Achse mit der Winkel geschwindigkeit ###L.
Abb. 6.2-1:
Bewegung des Bahndreh→
Impulses l im homogenen
→
Magnetfeld H
Kapitel 6
- 173 →
Das Ergebnis der Präzessionsbewegung im homogenen H -Feld ist ein induzierter magne tischer Dipol.
→
→
→
e
p m = − µ0 2 ⋅ ⋅ γ B ( r ) 2 H
2
(6.2-12)
ind
→
p m ist gegen das H-Feld gerichtet und versucht, dieses abzuschwächen. r ist der mittlere
ind
→
Abstand zur H -Achse bzw. mittlerer Radius.
Der Effekt des induzierten magnetischen Dipols tritt immer auf und ist gleichzeitig mit dem
Begriff des Diamagnetismus verbunden. Er ist betragsmäßig klein und kann durch andere
Magnetisierungseffekte überlagert werden.
Für die Larmorfrequenz ergibt sich (ohne Beweis) aufgrund von γ B =
ωL =2ωL
s
1
γ :
2 s
B
Für den Gesamtdrehimpuls:
→
→
→
j = l Dreh + s
→
j =
(6.2-13)
j( j +1) ⋅ h
(6.2-14)
j: Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses
Als makroskopisches Bild der Magnetisierung ergibt sich:
→
→
M = ∑ mi N
(6.2-15)
i
→
Liegen unterschiedliche p mi vor, ergibt sich:
→
→
M = ∑ N i mi
bzw.
i
→
→
I = ∑Ni pm
i
i
(6.2-16)
wobei Ni = Dichte der Sorte i
Es gibt:
1. vorhandene magnetische Dipole, die durch das H-Feld in ihrer Richtung beeinflußt
werden
2. durch das H-Feld induzierte Dipole
Durch den Bahndrehimpuls der Elektronen ergibt sich das Gesamtbahnmoment:
→
→
L = ∑ l Dreh
i
→
→
l Dreh : l Dreh eines Elektrons
i
i
Durch den Eigendrehimpuls der Elektronen ergibt sich das Gesamtspinmoment:
→
→
S = ∑ si
i
Das Gesamtmoment des Atoms ist:
→
→
→
J = L+ S
→
→
si : s eines Elektrons
Kapitel 6
- 174 -
Das magnetische Gesamtmoment ergibt sich zu:
→
pm
Atom
= µ 0 ⋅ µ B ⋅ g ⋅ J (J +1)
mit g =1+
(6.2-17)
J (J +1)+S(S +1)− L( L +1)
2J (J +1)
µB :Bohr'sches Magnetron
g: Landé-Faktor
3.
Diamagnetismus
Der Diamagnetismus ist gleichbedeutend mit dem Anteil der Summe aller induzierten
Dipole und tritt demzufolge in jedem Werkstoff auf (vgl. in dieser Hinsicht mit Elek tronenpolarisation bei dielektrischen Eigenschaften). Die induzierten Dipole sind mit
der Formel (6.2-12) beschrieben:
→
→
→
e
p m = −µ 0 2 ⋅ ⋅ γ B ( r ) 2 H
2
ind
→
γB =
e
2me
→
p m ist parallel zu H , unabhängig davon, welchen Zustand (z. B. "Rotationsrich ind
tung") ein Elektron hat (siehe Abb. 6.3-1).
→
Bei H handelt es sich, streng genommen, um das lokale Magnetfeld.
Abb. 6.3-1:
Modell eines diamagnetischen Atoms
Kapitel 6
- 175 →
→
Da laut (6.2-15) M = ∑ m i N gilt, müssen alle Elektronen eines Atoms berücksichtigt
i
werden und dann über alle Atome summiert werden. Die einzige für die Berechnung
→
maßgebliche Größe ist r , also der effektive Abstand des Elektrons vom Kern.
Somit ergibt sich für das i-te Elektron eines Atoms:
→
pm
ind i
für ein Atom:
pm
→
→
e
= −µ0 2 ⋅ ⋅ γ B ( ri ) 2 H
2
→
ind Atom
→
→
e
= −µ 0 2 ⋅ ⋅ γ B ∑ ( ri ) 2 H
2
i
für den Werkstoff:
→
I = N ⋅ pm
Da gilt:
resultiert:
(6.3-1)
→
→
N = Atomdichte
ind Atom
(6.3-2)
→
I = µ0χ m H
χ m = −µ 0 ⋅
(6.3-3)
2
e
⋅ N ⋅ ∑ ( ri ) 2
4me
i
→
(6.3-4)
Der Diamagnetismus tritt in reiner Form nur auf, wenn die Summe der vorhandenen
Dipole null wird. Dies ist der Fall bei Edelgaskonfigurationen (z. B. He, Na+, Clusw.). Die Edelgaskonfiguration muß auch für innere Schalen gelten (beispielsweise
sind die 3d-Elektronen bei Eisen nicht vollständig und laut Hundscher Regel in maxi maler Spinmultiplizität).
Beim Diamagnetismus gilt für χm:
a) χm < 0
b) χm ist weitgehend temperaturunabhängig [χm ≠ f(T)]
c) χm ist proportional zum Quadrat des Atomdurchmessers
4.
Paramagnetismus
Bei der folgenden Betrachtung wird der Diamagnetismus vernachlässigt. Dieser tritt
zwar immer auf, ist jedoch sehr klein. Beim Paramagnetismus sind die Dipole ent scheidend, die durch Bahndrehimpulse und Eigendrehimpulse verursacht werden.
Typischerweise sind die Größen im Atom gequantelt, so daß nur bestimmte Einstell winkel der Dipole zum Feld möglich sind [→ Brillouin-Theorie]. Für Paramagneten
kann man die Brillouin-Theorie bei nicht zu großen H-Feldern bzw. bei von null
Kelvin verschiedenen Temperaturen vernachlässigen, d. h. klassisch rechnen und da mit alle Einstellwinkel zulassen [→ Langevin-Theorie].
Beide Theorien kommen bei "normalen" Systemen zum gleichen Ergebnis.
4.1
Langevin-Theorie
→
p m sei ein a priori vorhandener magnetischer Dipol. Der Anteil dieses Dipols an der
magnetischen Polarisation ist:
→
→
I anteilig = N p m
→
p m : statistischer Mittelwert
(6.4-1)
→
bzw. für mehrere Dipole p mi mit Ni (wobei alle Atome erfaßt werden):
→
→
I = ∑Ni pm
i
i
(6.4-2)
Kapitel 6
- 176 →
p m teilt sich folgendermaßen auf (siehe Abb. 6.2-1):
p m =0
x
p m =0
y
p m = p m cosϑ
z
[Jetzt folgt eine zu Kapitel III 4.4.3.1 identische Betrachtung.]
1
cosϑ = coth(a )− = L(a )
a
pm ⋅ H
wobei a =
k⋅T
L(a) wird Langevin-Funktion genannt.
Im Normalfall gilt: a << 1
Die Reihenentwicklung liefert dann: L(a )=
Somit ergibt sich:
→
I H = N pm ⋅
(6.4-3)
(6.4-4)
a
3
a
3
(6.4-5)
→ →
Da I H , folgt nach Einsetzen von (6.4-4):
→
I = N⋅
p m2 →
⋅H ;
3kT
→
M = µ0 ⋅ N ⋅
m2 →
⋅H
3kT
(6.4-6)
Aus der Beziehung I = µ 0 χ m H ergibt sich danach für χm:
N ⋅ pm2
χm =
3µ 0 kT
(6.4-7)
Die Suszeptibilität χm ist immer positiv und des weiteren von der Temperatur abhängig.
Die Temperaturabhängigkeit ist gegeben als:
c
χm =
T
c wird Curie-Konstante genannt.
mit
N ⋅ p m2
c=
3µ 0 k
Kapitel 6
- 177 -
4.2
Brillouin-Theorie des Paramagnetismus
Da die Dipole im Atom gequantelt betrachtet werden, gibt es nur diskrete Werte für
→
→
( p m ,H ) .
Es gilt nach (6.2-17):
→
pm
= µ 0 ⋅ µ B ⋅ g J (J +1)
Atom
(6.4-8)
wobei der Landé-Faktor g Werte im Bereich 1 < g ≤ 2 annehmen kann.
µB ist das Bohr'sche Magneton, das die Elementareinheit des magnetischen Dipolmomentes
darstellt.
µB =
eh
=9,27⋅10 − 20 Acm 2
2me
Für die magnetische Polarisation ergibt sich:
I = N ⋅ µ 0 ⋅ µ B ⋅ g ⋅ I ⋅ B(α)
quantenmechanisch
B(α)
α
B(α) ist definiert als:
B(α)=
mit
(6.4-9)
↔
↔
mechanisch
L(α)
α
2J +1
 2J +1  1
α
coth
α  − coth 
 2J  2J
 2J 
2J
J⋅H
α = µ0µ Bg
kT
(6.4-10)
In den meisten Fällen entfällt der Einfluß der Bahnmomente. Dann wird typischer weise J = 1/2 und außerdem strebt g → 2 .
Damit erhält man
B(α)
J=
1
2
= tanh α
Für kleine α ergibt sich eine entsprechende Reihenentwicklung wie bei der LangevinTheorie für die Suszeptibilität:
χ m = N ⋅ µ0 ⋅ µB2 ⋅ g2
J (J +1)
3kT
bzw. aufgrund der Vereinfachung J =
χ m = N ⋅ µ0 ⋅ µB2
(6.4-11)
1
und g = 2:
2
1
kT
Somit ist χm nur noch von der Temperatur abhängig:
(6.4-12)
Kapitel 6
- 178 -
χ m = f (T)=
c
T
mit
c = N ⋅ µ0 ⋅ µB2
1
k
(6.4-13)
Für "normale" Temperaturen und Feldstärken liefern Brillouin- und Langevin-Theorie
das gleiche Ergebnis.
H
 -Verhältnisse (große H- bzw. kleine T-Werte) ist nur die BrillouinT
Für große 
Theorie zulässig.
Kapitel 6
- 179 -
5.
Geordnete magnetische Systeme
5.1
Gegenüberstellung von Silizium und Eisen
Zum Einstieg werden je ein Atom Silizium und Eisen gegenübergestellt.
Silizium (Si)
(z = 14) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2
Eisen (Fe)
(z = 26) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 4s2
Nach der 1. Hundschen Regel muß der maximale Wert des Gesamtspins vorliegen, der
durch das Pauli-Prinzip zugelassen ist.
Spinrichtung: (3p2) ↑↑
(3d6) ↑↑↑↑↑↓
Die Beiträge der Bahnmomente können weitgehend unberücksichtigt bleiben, da sie
sich ganz oder (siehe bspl) oder zumindest teilweise kompensieren und zusätzlich der
Anteil wegen des Landé-Faktor um einen Faktor 2 kleiner ist
ml = {-1, 1}
ml = {-2, -1, 1, 2}
Beide Einzelatome sind paramagnetisch, da grundsätzlich alle Atome mit nicht ver schwindenden l- und s-Werten paramagnetisch sind.
Nun wird der Übergang zu Festkörpern gemacht:
Bei Si geschieht dies über
Bei Fe geschieht dies über
kovalente Bindung.
metallische Bindung.
Äußerste Schale: 3s2 3p2
4s2
→ Die Einzelatome bilden mit ihren
→ Die 4s2-Elektronen verlieren ihre BinNachbaratomen eine Edelgaskonfiguration. dung zum Atom und verhalten sich im
Festkörper wie quasifreie Elektronen.
Somit sind auch keine Bahnanteile bzw.
Spinanteile gegeben. Die 4s2-Elektronen
liefern keinen Beitrag zum Paramagne tismus.
Es verbleiben die 3d-Elektronen, die zu sammen einen Spinanteil von 4 µB haben.
Der Bahnanteil entfällt wieder, d. h., zu nächst müßte der Fe-Kristall paramagnetisch sein . Tatsächlich ist er unter der
Der Si-Kristall ist diamagnetisch, da alle
(noch zu behandelnden) Curie-TemperaUnterschalen abgesättigt sind.
tur ferromagnetisch und oberhalb von ihr
paramagnetisch.
Kapitel 6
- 180 -
5.2
Ordnungsschema
Ursache für den Magnetismus bei geordneten magnetischen Systemen ist die Aus tauschkoppelung benachbarter magnetischer Momente.
parallele Kopplung

Ferromagnetismus
parallele Anordnung
gleich großer magnetischer Momente
↑↑↑↑
antiparallele Kopplung


Ferrimagnetismus
Antiferromagnetismus
antiparallele Anordnung
antiparallele Anordnung
verschieden großer magne- gleich großer magnetischer Momente
tischer Momente
↑¯↑¯ (=↑)
↑↓↑↓ (=0)
Éähnliches magnetisches VerhaltenÊ
5.3
keine Hysterese
Ferromagnetismus
Ferromagnetismus tritt nur in Festkörpern auf. Ursache für den Ferromagnetismus ist
die Austauschkoppelung zwischen benachbarten magnetischen Momenten. Die beim
Ferromagnetismus auftretende parallele Ausrichtung ist nur signifikant für eine
begrenzte Anzahl von Elementen: Fe, Co, Ni. Die magnetische Suszeptibilität χm ist
keine eindeutige Größe mehr, sondern von den Randbedingungen abhängig. Daher treten in Tabellen verschiedene Definitionen auf (z. B. die Anfangssuszeptibilität χmA,
die an Voraussetzungen gebunden ist).
Elektronenhülle
Abb. 6.5-1:
Verdeutlichung der
Überlappung der
Elektronenhüllen
Kern
Kapitel 6
- 181 -
δ
Abb. 6.5-2:
Domänenausbildung
Domänenwand
→
Im folgenden wird die Wirkung des magnetischen Feldes H betrachtet.
→
H =0 : Die ferromagnetischen Werkstoffe verfügen über nicht vollbesetzte Unterschalen,
deren Momente sich im Festkörper deswegen zueinander ausrichten, weil sie sich
aufgrund des geringen Atomabstandes räumlich überlappen (Abb. 6.5-1).
Dies geschieht nicht über den gesamten Festkörper einheitlich, sondern innerhalb von
Domänen (Abb. 6.5-2).
Integriert man über ein größeres Volumen, so erhält man eine resultierende Magne →
tisierung von M =0 .
Typische Domänengrößen liegen in der Größenordnung von 100 - 200 µm.
Abb. 6.5-3: I = f(H)
- 182 -
Kapitel 6
Abb. 6.5-4: B = f(H)
→
H ≠0 : Legt man ein H-Feld an, so können zwei verschiedene Prozesse auftreten:
1. Wandverschiebungen
2. Drehung der magnetischen Momente
Integriert man nun über ein größeres Volumen, so erhält man eine Magnetisierung
→
M ≠0
Beide Prozesse können reversibel und irreversibel erfolgen. Dies ist auch der Grund
für die Hysterese. Ein irreversibler Prozeß liegt z. B. vor, wenn eine Domänenwand
über die Versetzung rutscht und dann festhängt.
Bei Sättigung liegt der Eindomänenzustand vor, d. h., alle Wände sind aufgelöst und die
magnetischen Momente zeigen in eine Richtung.
Man kann folgende Beziehung aufstellen:
→
→
→
B = I + µ0 H ;
mit
→
→
I = µ0 ⋅ M
I : magnetische Polarisation
B : magnetische Induktion
(6.5-1)
- 183 -
Abb. 6.5-5:
Kapitel 6
a) Wandverschiebung
b) Drehung der magnetischen Momente
Die Polarisation der Domänen bezeichnet man als spontane Polarisation Ps. Die spontane
Polarisation ist betragsmäßig einheitlich in allen Domänen und ist außerdem die größtmög liche Polarisation des Werkstoffes.
(Eindomänenzustand nach Schließen der Hystereseschleife)
Die spontane Polarisation Ps liegt auch ohne H-Feld vor.
Der Versuch, das Lorentzfeld für die Kopplung der magnetischen Momente verantwortlich zu
machen, scheitert an der hier notwendigen Größenordnung, da es zu klein ist. Der Ansatz über
Hloc = H + HL ist nicht möglich. Dennoch wird ein ähnlicher Ansatz herangezogen.
Hw ≈ 103 HL
Hloc = H + Hw
(6.5-2)
Hw: Weißsches Feld
Mit diesem Ansatz gelingt die Theorie. Warum dies so ist, konnte bis jetzt noch nicht geklärt
werden.
Man führt ein Feld Hw ein:
~
H w = w⋅ M
~
w : Weißscher Faktor
Bei Ferromagnetismus spielt das Bahnmoment keine Rolle.
Da Hw sehr groß ist, kommt die Brillouin-Theorie zum Tragen. Somit folgt dann:
B(α) → B(α)
J=
1
2
(6.5-3)
Kapitel 6
- 184 →
~
→
H loc = H = w⋅ M
M = N ⋅ µ B tanh α
(6.5−4)
~
1
( H + w⋅ M )
kT
N : Dichte der Spinmomente
M: pauschale Magnetisierung
mit α = µ 0 µ B
Die Saettigungsmagnetisierung M s ergibt sich zu
Ms = N ⋅ µB
Aus (6.5−4) und (6.5−5) fo lg t :
M
= tanh α
Ms
(6.5−5)
(6.5−6)
Das obige Formelpaket kann nicht mehr näherungsweise gelöst werden wegen a >> 1.
Dieses transzendente Gleichungspaket kann jedoch graphisch gelöst werden.
Temperaturabhängigkeit
Die Eigenschaft des Ferromagnetismus gilt nur für Temperaturen von
T < TC
TC: ferromagnetische Curie-Temperatur
Für Temperaturen T > TC liegt Paramagnetismus vor.
Die Temperatur wirkt der Ordnung entgegen. Daraus ergibt sich, daß die Koppelung nur bis
zu einer bestimmten Temperatur aufrechterhalten werden kann.
Abb. 6.5-6: Temperaturabhängigkeit der magn. Suszeptibilität bei Ferromagnetismus
Kapitel 6
- 185 -
Es gilt:
1
Ms
k
χm =
1Ä
T − µ o µ B wM s
k
1
C = µ 0µ B M s
mit
k
1Ä
TC = µ 0µ B wM s
k
C
χm =
Curie-Weiß-Gesetz des Ferromagnetismus
T − T0
µ 0µ B
⇒
(6.5-7)
(6.5-8)
mit C : Curie-Weiß-Konstante
Sättigungsmagnetisierung
Die Sättigungsmagnetisierung MS(T) besitzt folgende Eigenschaften:
- Ihr Maximum liegt bei T = 0.
- Sie ist bis Raumtemperatur weitgehend konstant.
- Sie fällt bei hohen Temperaturen aufgrund von "Unordnungseinflüssen" der
thermischen Bewegung stark ab.
Abb. 6.5-7:
Temperaturabhängigkeit der Sättigungsmagnetisierung und der
Sättigungspolarisation
Kapitel 6
- 186 -
Analog zur Elektrostriktion
Magnetostriktion.
∆l
∆l
≈ E 2 bezeichnet man die Abhängigkeit
≈ H 2 als
l
l
Die wichtigsten Daten der ferromagnetischen Werkstoffe sind in Tabelle 6.5-1 zusammengefaßt.
Ordnungszahll
Anzahl der 3d-Elektronen
Anzahl der 4d-Elektronen
Spinorientierung der 3d-Elektronen nach der
Hundschen Regel
magnetisches Moment pro Atom nach
Hundscher Regel
magnetisches Moment pro Atom berechnet aus
den experimentellen Sättigungswerten bei T= 0K
ferromagnetische Curietemperatur
TC in °C
TC in K
paramagnetische Curietemperatur
T0 in K
Sättigungsmagnetisierung MS0 in 106 A/m
spontane Magnetisierung MS300 in 106 A/m
Sättigungspolarisation IS0 in T
spontane Polarisation I300 in T
Fe
26
6
2
5 1
Co
27
7
2
5
Ni
28
8
2

5

4µB
3µB
2µB
2,2µB
1,7µB
0,6µB
770
1043
1093
1120
1393
1428
358
631
650
1,73
1,71
2,18
2,16
1,44
1,42
1,81
1,78
0,51
0,49
0,64
0,61
Tab. 6.5-1:
Wichtige Kenndaten der ferromagnetischen Werkstoffe Fe, Co, Ni
5.4
Ferrimagnetismus
Der Ferrimagnetismus zeigt ein ähnliches Verhalten wie der Ferromagnetismus und
tritt ebenfalls nur in Festköpern auf.
Für die beiden Spinrichtungen existieren unterschiedliche Beträge für das atomare
magnetische Moment. Durch die antiparallele Ausrichtung ergibt sich in der Summe
die gleiche magnetische Situation wie für den Ferromagnetismus.
Abb. 6.5-8:
Ausrichtung der
Momente
Kapitel 6
- 187 -
Beispiel:
Granate mit Yttrium-Substituierung
3Y2 O 3 ⋅ 5X 2 O
X: 3wertige Metallione
z.B. Fe3+; Al3+
3Y2 O 3 ⋅ 5Fe2 O 3
: YIG
(Yttrium-Iron-Garnet)
3Y2 O 3 ⋅ 5Al2 O 3
: YAG
(Yttrium-Aluminium-Garnet)
Für die magnetische Anfangssuszeptibilität cmA gilt:
103 > cmA >> 0
Die magnetische Suszeptibilität cm der Ferrimagnete ist deutlich kleiner als die der Ferro magnete. Dementsprechend ist auch die Sättigungspolarisation kleiner.
IsFerri < IsFerro
ca. Faktor 2 . . 5 kleiner
Trotz der kleineren Werte besitzen Ferrimagnete folgende Vorteile:
hoher spezifischer Widerstand
geringe Wirbelstromverluste
gutes Frequenzverhalten (Einsatz auch in GHz-Bereich; Ferromagnete meistens bei
50 Hz)
Temperaturabhängigkeit
Hier gilt das gleiche Gesetz wie bei den Ferromagneten, und zwar das Curie-WeißGesetz:
(vgl. 6.5-8)
Es ergibt sich jedoch ein anderes Verhalten oberhalb der Curie-Temperatur.
Hier ist jedoch zu beachten, daß To < 0 ist.
- 188 -
Kapitel 6
Abb. 6.5-9: Temperaturabhängigkeit der magnetischen Suszeptibilität bei Ferrimagnetika
Die ferrimagnetische Curie-Temperatur Tc sagt aus, wann der Übergang von dem Ferri- zum
Paramagnetismus stattfindet.
Die paramagnetische Curie-Temperatur To ist dagegen nur eine Rechengröße. Sie liegt im
Bereich To < 50 K.
Die Sättigungsmagnetisierung verhält sich analog zu der bei Ferromagneten.
Die Sättigungspolarisation wird schon bei niedrigeren Temperaturen 0. Da hier mehrere
Atome überlappen, wird dieser Verbund leichter gestört.
Abb. 6.5-10:
Temperaturabhängigkeit der Sättigungspolarisation für einige
Ferrite
Kapitel 6
- 189 -
5.5
Antiferromagnetismus
Der Antiferromagnetismus tritt ebenfalls nur in Festkörpern auf und wird als Sonderfall des Ferrimagnetismus angesehen, bei dem die antiparallelen magnetischen Mo mente betragsgleich sind. Hierdurch wird das magnetische Verhalten absolut unter schiedlich zu Ferro- und Ferrimagnetismus:
1.
2.
3.
4.
Es existiert keine Hysterese.
Das Verhalten ist linear.
Es existiert keine spontane Magnetisierung.
Das Verhalten für Felder parallel bzw. senkrecht zur Orientierung der
magnetischen Momente ist unterschiedlich.
Die magnetische Suszeptibilität cm ist immer > 0, aber sehr klein und abhängig vom
Winkel des H-Feldes zur Spinorientierung (magnetisches Moment).
Auch hier liegt eine Domänenstruktur vor. Die Domänen ändern sich nach Anlegen
eines H-Feldes mit dem Ziel, einen Eindomänenzustand zu erreichen.
Jedoch zeigen Antiferromagnete keine Hysterese, sondern lineares Verhalten.
Es ist jedoch zu unterscheiden, ob das H-Feld senkrecht oder parallel angreift.
H=0
H
H
parallel zu Spins (A)
H=0
senkrecht zu Spins (B)
Abb. 6.5-11: Ausrichtung der magnetischen Momente bei H = 0 und H - 0
Im Fall A zeigt die Mehrzahl der Spins gegen das Feld. Eine Ausrichtung ist in diesem
Fall sehr viel schwieriger als im Fall B, bei dem schon eine kleine Drehung eine Aus richtung bewirkt.
Kapitel 6
- 190 -
Es ergibt sich:
Abb. 6.5-12:
Magnetische Polarisation
in Abhängigkeit von der
magnetischen Feldstärke
bei Antiferromagnetika
Antiferromagnetismus am Beispiel MnO
MnO weist sowohl kovalente als auch ionogene Bindung auf.
Kovalente Bindung: Elektronenpaar
Pauli-Prinzip
=> Elektronenpaare haben einen antiparallelen Spin
O2- : 1S2 2s2 2p6
Iogene Bindung:
diamagnetisch
Mn2+: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
3d5
abgeschlossene Schalen
5µB:
3d
paramagnetisch
Spinanordnung für die an der
Bindung beteiligten Elektronenpaare
O
Mn
O
Mn
O
resultierendes atomares
magnetisches Moment
Abb. 6.5-13: Verdeutlichung der Überlappung der Elektronenhüllen
Mn
- 191 -
Kapitel 6
Abb. 6.5-14:
Antiferromagnetische
Spinanordnung im kubiSchen MnO-Kristall
r
Die Temperaturabhängigkeit ist je nach Richtung des H -Feldes unterschiedlich.
Im Fall A (Abb. 6.5-11) nimmt χ m mit der Temperatur ab. Im Fall B (Abb. 6.5-11) liegt eine
Temperaturabhängigkeit vor.
Man erhält dann:
Abb. 6.5-15: Temperaturabhängigkeit der magnetischen Suszeptibilität bei
Antiferromagneten
Kapitel 6
- 192 -
6.
Magnetische Domänen
Alle drei Werkstoffe mit magnetischer Ordnung (Ferro-, Ferri-, Antiferromagnetika)
besitzen Bereiche einheitlicher magnetischer Ausrichtung.
Diese Bereiche bezeichnet man als Domänen. Auch noch gebräuchlich ist der veral tete Begriff der Weißschen Bezirke.
Der Begriff Domäne ist völlig unterschiedlich von dem Begriff Körner (dies ist eine
Kristalleigenschaft) und darf keinesfalls verwechselt werden.
Abb. 6.6-1:
Domänenstruktur
6.1
δ
Experimenteller Nachweis von Domänen
a) Bitter-Technik
Abb. 6.6-2:
Kontrastierung von
Blochwänden durch
ferromagnetische
Teilchen
Ist die Richtung der Magnetisierung der Domäne parallel zur Probenoberfläche, dann
tritt an den Blochwänden eine zur Oberfläche senkrechte Magnetisierungskomponente
auf. Diese senkrechte Magnetisierungskomponente kommt durch die Drehung der
Magnetisierungsrichtung innerhalb der Blochwand zustande. Bringt man nun auf die
Oberfläche eine Suspension ferromagnetischer Teilchen, so wirkt auf diese Teilchen
im inhomogenen Feld der Blochwand eine Kraft in Richtung der höchsten Feldstärke,
die genau in der Wandmitte vorliegt. Die ferromagnetischen Teilchen sammeln sich
daher an den Blochwänden an, so daß die Domänenstruktur durch den resultierenden
Kontrast im Lichtmikroskop sichtbar gemacht werden kann (siehe Abb. 6.6-2).
Kapitel 6
- 193 -
b) Faraday-Effekt
-θ
Abb. 6.6-3:
+θ
Verdeutlichung zum Faraday-Effekt:
Reflektion von gedrehtem, polarisiertem Licht an einem
lichtundurchlässigen Substrat
Die Polarisationsrichtung des Lichtes wird am Substrat entsprechend der Magnetisierung
gedreht! Die Drehung kann mit einem Polarisationsfilter bestimmt werden (Drehwinkel).
Da die spontane Magnetisierung, d.h. die Magnetisierung innerhalb der Domänen, betragsmäßig immer gleich ist, ist der Drehwinkel proportional zur Richtung der Magnetisierung.
Bei bekannter Übertragungsfunktion kann durch die Lichtschwächung der Winkel festgestellt
werden.
Analysator
Abb. 6.6-4:
Faraday-Methode bei
transparenten
Substraten
Bild der
Probe
transparente
magnetische Probe
gedrehte
Polarisationsebene
Polarisator
linear
polarisiertes
Licht
einfallendes
natürliches Licht
Dieses Verfahren bietet folgende Vorteile:
für dynamische Messungen (gepulste Laser, Stroboskopie) geeignet
keine Oberflächenverunreinigungen
hohe Ortsauflösung (ca. 1 µm)
- 194 -
6.2
Kapitel 6
Entstehen von Domänen
Ursache für das Entstehen von Domänen ist die Minimierung der Gesamtenergie in nerhalb und außerhalb des Werkstoffes.
Beispiel:
offene Spule
Die magnetische Energie im geschlossenen Magnetkreis ist gegeben durch
u2
r
Wm = µ 0 v M ∫ H dM
(6.6-1)
u1
und die Spulenfeldenergie durch
H2
r r
WSp = µ 0 v M ∫ H dH
(6.6-2)
H1
VM: Volumen des Werkstoffs
Die Form der Spule bestimmt die Entmagnetisierungsenergie (vgl. hierzu die Entelektrisierungsenergie.)
Die Entmagnetisierungsenergie ergibt sich zu:
H2
v r
Went = µ 0 v M ∫ NM dM
(6.6-3)
H1
N: Entmagnetisierungsfaktor
Diese drei Terme zusammen sind zu minimieren. Dies geschieht im wesentlichen
durch Änderung der Magnetisierungsenergie WM.
Die Erzeugung kleinerer Bereiche einheitlicher Magnetisierung im Inneren (d.h. Domänen) führt zu einer kleineren Energie für das Magnetfeld. Demgegenüber wird
durch die Domänen eine Störung der idealen magnetischen Struktur im Grenzbereich
zwischen den Domänen (der sog. Domänenwand) hervorgerufen, die die Magneti sierungsenergie erhöht.
Daraus ergibt sich, daß eine Erhöhung der Magnetisierungsenergie WM und eine
Erniedrigung der Spulenfeldenergie Wsp durch Minimierung der Summe eine stabile
Domänenkonfiguration liefert.
Im Gegensatz zu Wsp und Went ist WM immer anisotrop! Dies ist u. a. der Grund für
die Anisotropie der M(H)- bzw. der B(H)-Kurve bei Ferro- bzw. Ferrimagneten.
Die Magnetisierungsenergie WM setzt sich aus drei prinzipiell anisotropen Anteilen
zusammen.
Diese sind:
Kristallanisotropie WK:
besagt, daß WM unterschiedlich entlang der verschie denen Richtungen im Kristallgitter ist; auch im kubi schen.
Spannungsanisotropie WS: Magnetostriktion (Volumenänderung, z. B. durch
Verspannung)
Diffusionsanisotropie WD: Diffusion von unterschiedlichen chemischen Anteilen
WM = WK + WS + WD
Innerhalb des Werkstoffes ergibt sich die Energie:
(6.6-4)
Kapitel 6
- 195 -
Win = Wsp + WM + Went + WA
(6.6-5)
WA: Austauschenergie
Die Austauschenergie WA ist minimal innerhalb der Domäne, d. h. im geordneten Zustand.
Sie nimmt bei Fehlordnungen zu. Eine dieser Fehlordnungen stellt die Domänenwand dar.
Verringert man Wsp durch Einführung von Domänen, so vergrößert sich die Austausch energie und umgekehrt. Es stellt sich ein Gleichgewicht ein. Daraus ergibt sich, daß WA und
Wsp Anzahl und Größe der Domänen bestimmen.
NNNN
NN SS
SN SN
SS SS
SS NN
NS NS
Abb. 6.6-5: Feld- und Domänenverteilung
In Abb. 6.6-5 kann man sehen, daß bei zunehmender Anzahl an Domänen das Feld außerhalb
kleiner wird und innerhalb zunehmend gestört wird.
Wesentliche Wandtypen:
a)
180°-Wand
Bei einer 180°-Wand sind die Spins antiparallel ausgerichtet.
b)
90°-Wand
Bei einer 90° -Wand stehen die Spins senkrecht zueinander. Die 90°-Wand hat oft die
Funktion einer "Abschlußwand". Sie bildet ein minimales äußeres Streufeld aus.
Abb. 6.6-6:
Verdeutlichung der
90°- und der 180°-Wand;
linkes Ende: 180°-Wand
rechtes Ende: 90°-Wand
Kapitel 6
- 196 -
Abb. 6.6-7: Darstellung der Domänen des Eisens in Bitter-Technik
Quantitative Beschreibung der Wand:
Beim Übergang von einer Domäne zur anderen müssen die Dipole über mehrere Gitter konstanten hinweg in die richtige Richtung gedreht werden. Ein sofortiges Umklappen der
Polarisierungs- bzw. Spinrichtung innerhalb einer Gitterkonstanten ist energetisch nicht
möglich. Der Grund hierfür ist, daß die Austauschkoppelung zu große Winkelunterschiede
verbietet.
Man unterscheidet die Bloch- und die Néelwand.
Bei der Blochwand rotieren die magnetischen Dipole um eine Achse senkrecht zur Wand.
Bei der Néelwand hingegen rotieren die magnetischen Dipole um eine Achse parallel zur
Wand.
Die Achse liegt in der Wand.
Mischformen zwischen Bloch- und Néelwand sind möglich.
Hilfsebene zur
Verdeutlichung der
räumlichen Rotation
δ
Abb. 6.6-8: Darstellung der Blochwand
δ : Wanddicke
Kapitel 6
- 197 -
Hilfsebene entspricht auch der
physikalischen Rotationsebene
δ : Wanddicke
δ
Abb. 6.6-9: Darstellung der Néel-Wand
Die Wanddicke wird bei kubischen Gittern bestimmt durch
δ=
r
µ0G m π 2
(6.6-6)
k 1a
a: Gitterkonstante
k1: (eine) Anisotropiekonstante
G: "Wechselwirkungskonstante", die (weitgehend) der Stärke
der Austauschwechselwirkung entspricht
Natürlich gilt auch: δ = n⋅ a ,
wobei n die Zahl "gestörter" Momentorientierungen ist.
7.
(6.6-7)
Der Magnetisierungsprozeß
Ferro- und Ferrimagneten weisen beim Magnetisierungsprozeß eine Hystereseschleife
auf. Die Hysterese hat keinen stetigen Verlauf, sondern besitzt treppenartige Sprünge.
Diese Barkhausensprünge verlaufen unregelmäßig und sind nicht reproduzierbar.
M
Eindomänenzustände
Abb. 6.7-1:
Hystereseschleife
H
Barkhausensprünge
Kapitel 6
- 198 -
Bei diesem Magnetisierungsprozeß wird durch das zusätzliche äußere Magnetfeld die ener getische Situation im Werkstoff so verändert, daß die zuvor eingestellte Domänenkonfigu ration sich ändert. Es gibt folgende Möglichkeiten der Änderung:
a)
Wandverschiebungsprozesse (für kleine H-Werte)
Die Orientierungen der einzelnen Domänen liegen in Richtung von Vorzugsachsen
("leichte Richtung", "leichte Achse"). Dies ist auch der Grund, warum im kubischen
Gitter 90°- bzw. 180°-Wände vorliegen. Eine Anpassung des Werkstoffes an das
äußere Feld kann am ehesten durch Wandverschiebungen erfolgen, da dann nur die
ohnehin gestörten Wandbereiche in ihrer Richtung verändert werden müssen.
H=0
H=0
H
H
H
H
Eindomänenzustand
(entspricht Sättigungsmagnetisierung)
Abb. 6.7-2: Verdeutlichung der Wandverschiebung
Die Domäne in Feldrichtung wird vergrößert, bis der Eindomänenzustand erreicht
wird. (Der Eindomänenzustand kann in diesem hier gezeigten Beispiel vollständig
über Wandverschiebung erreicht werden, da das Magnetfeld in Vorzugsrichtung
anliegt.)
b)
Drehprozesse (für hohe H-Werte)
Diese treten notwendigerweise dann auf, wenn die Vorzugsrichtungen des Kristalls für
die Magnetisierung nicht parallel zum Feld stehen. Dann müssen alle magnetischen
Momente gedreht werden.
Kapitel 6
- 199 -
H
H
H
Abb. 6.7-3: Erreichen des Eindomänenzustandes mittels Drehprozessen
Die Form der Hysterese wird beeinflußt durch das Überschreiten von Gitterfehlern bei
der Wandverschiebung. Diese Prozesse sind irreversibel. Auch Drehprozesse können
teilweise irreversibel erfolgen. Meist sind diese jedoch reversibel.
8.
Anwendungen
8.1
Transformator-Bleche
Um einen möglichst hohen Wirkungsgrad zu erzielen, müssen die Energieverluste minimiert werden:
Wirbelstromverluste:
Minimierung durch den Einsatz von extrem dünnen Blechen (die elektrisch isoliert
sind), zur Absenkung der Leitfähigkeit Dotierung mit 3-4% Silizium.
Ummagnetisierungsverluste innerhalb des Materials (M(H)-Kurve):
Verwendung von Material mit möglichst schlanker Hysterese (Abweichung der beiden
Äste um wenige %.
Durch geeignetes Walzen Herstellung von Goss-Texturen, so daß die einzelnen
Kristallite im Fe-Vielkristall ungefähr in [111]-Richtung liegen (ca. 6 %
Abweichung).
Verwendung amorpher Bleche, da amorphes Eisen fast hysteresefrei ist.
Ummagnetisierungsverluste des äußeren Magnetfeldes:
Minimierung möglich durch Verringerung der Domänenabmessungen und durch
mechanische Verspannung entlang der Blechoberfläche (durch magnetomechanische
Kopplung). Eine Verspannung kann erreicht werden durch Aufbringen von Forsterit
aus einer flüssigen Lösung auf das Blech.
Kapitel 6
- 200 -
2 µm Forsterit
Blech
Bei der Trocknung versucht sich das Forsterit wie ein Klebstoff zusammenzuziehen.
Dies hat eine verspannung der Oberfläche zur Folge, die eine Verkleinerung der
Domänen bis auf 10-20 µm bewirkt.
Eine mechanische Begrenzung der Domänen ist möglich durch gezieltes Erzeugen von
Defekten (sogar: Löcher) mittels Laserscratching.
Laserscratch
Blech
8.2
Magnetische Datenspeicherung
Als Medium verwendet man z. B. eine Magnetschicht auf einer Platte oder einer Folie
(Mylar).
Magnetschichten sind z. B.: CrO2, Fe, Co:P, Co:Cr.
Diese Schichten können magnetisiert werden und die Magnetisierung bleibt erhalten.
Damit der Magnetisierungszustand erhalten bleibt und nicht leicht verändert werden
kann, legt man diese Schichten hartmagnetisch aus.
Je größer die Koerzitivfeldstärke Hc ist, desto sicherer ist die Platte, da 2 mal Hc
aufgebracht werden muß, um eine Magnetisierungsänderung zu bewirken.
Realiesieren ließe sich dies mit einem Material, das nur im Eindomänenzustand
existiert, oder nur eine Magnetisierungsrichtung zuläßt.
Die Realisierung von Rechteck-Hysterese-Schleifen ist durch die Dünnschichttechnik
möglich, da in dünnen Schichten nur eine Magnetisierungsrichtung möglich ist.
Der Gesamtbedarf für ein Bit ist die Domänenlänge + die Domänenwand (Bloch oder
Neelwand).
Die Breite der Wand ist ausschließlich durch Materialparameter bestimmt (dadurch
konstant).
Der Platzbedarf für die Wände (Breite der Wände) bei der Vertikalmagnetisierung ist
sehr viel geringer als bei der Horizontalmagnetisierung.
Daher ist es das Ziel, Speicher auf vertikaler Basis zu entwickeln.
Ein Problem stellt dabei die Mechanik dar.
Kapitel 6
- 201 -
A
B
Breite ∆x
des Übergangs
x : Lage des
Magnetisierungsübergangs
ü
ü
Substrat
B
A
M
M
M
M
x
y
z
Abb. 6.8-1: Schematische Darstellung der Rechteckaufzeichnung
Diese Aufzeichnung ist prinzipiell digital.
Die Wanddicke bestimmt die maximal mögliche Anzahl von Flußwechseln pro Längen einheit. Benutzt man ein Material, welches zu dicke Wanddicken besitzt, dann ist eine
Aufzeichnung unmöglich.
Abb. 6.8-2: Prinzip der Magnetaufzeichnung
Kapitel 6
- 202 -
Das Magnetfeld aus Abb. 6.8-2 bestimmt ebenfalls die Möglichkeit an räumlichen Fluß wechseln. Ein Flußwechsel muß mindestens einen Abstand zum nächsten besitzen, der der
effektiven Ausbreitung des Kopffeldes entspricht. Dabei gehen folgende Größen ein:
- Breite des Kopfspaltes,
- Abstand Kopf - Medium.
Für moderne Datenspeicher gilt:
Kopfspalt: 0,1 ... 0,5 µm
Abstand:
0,1 ... 0,4 µm
M
a)
H
b)
Abb. 6.8-3:
Unterschiede bei Hystereseschleifen
a) Material ist für Trafobleche geeignet
b) Material (z. B. CrO2) ist für Datenspeicher geeignet
Bauformen für Schreib-Lese-Köpfe:
Schreib-Lese-Köpfe werden in Planartechnik gefertigt. Die Herstellung erfolgt in mikroelek tronischer Technologie. In Abb. 6.8-5 wird der prinzipielle Aufbau eines Lesekopfes gezeigt.
Kapitel 6
- 203 -
horizontale Feldstärke
.
.
Permalloy-Kern
Luftspalt
.
Permalloy-Kern
Abb. 6.8-4:
Verteilung der magnetischen Feldstärke in beiden Richtungen und
der Amplitude nahe an einem Dünnschichtkopf
Abb. 6.8-5:
Magnetischer Dünnfilmkopf mit zugehörigem Flugkörper
Anhang A
Phononen
Mechanische Schwingungen treten ähnlich wie die Schwingungen des Lichtes in gequantelter Form, d.h. diskret,
auf. Übergänge von einem Schwingungszustand zum anderen lassen sich schreiben als:
Wn2 - Wn1 = (n2 - n1) ⋅ h ⋅ f
f:
h:
n1, n2:
charakteristische Frequenz
Plancksches Wirungsquantum
ganzzahlig (in der Regel n2 - n1 = 1)
D.h., der Übergang von Wn2 nach Wn1 erfordert die Absorption (Wn2 > Wn1) bzw. die Emission (Wn2 < Wn1)
einer Energiemenge h ⋅ f.
Wegen der Analogie zum Licht wird diese Energiemenge als Phonon bezeichnet. Vorteil dieser Beschreibung
ist, daß sich die mechanischen Schwingungen in gleicher Form wie die elektrischen beschreiben lassen.
Demzufolge ist auch eine gemeinsame Beschreibung möglich, wenn eine Wechselwirkung zwischen
elektromagnetischen Wellen (z.B. Licht oder Elektronen) mit mechanischen (z.B. dem thernisch angeregten
Schwingen des Kristallgitters erfolgt.
Eine Temperaturerhöhung wirkt sich für den Kristall im wesentlichen darin aus, daß die Zahl der Phononen (mit
jeweils charakteristischer Energie h ⋅ f) zunimmt. Dieses ist letztlich gleichbedeutend mit einer Zunahme an
Schwingungen einzelner Gitterplätze.
Es muß darauf hingewiesen werden, daß sich f ebenfalls verschiebt.
Abb. B-1: Während sich für T = 0 die Blochwelle
(des Elektrons) weitgehend ungestört
ausbreiten kann, tritt bei T ≠ 0 eine
Wechselwirkung mit den Phononen ein.
Dieses führt zu einer Störung der Ausbreitung und wird als "Stoß mit einem
Gitteratom" bezeichnet.
Ψ
2
x
Ähnlich wie die freie Weglänge der freien Ladungsträger (z.B. Elektronen) die elektrische Leitfähigkeit
bestimmt, ist die thermische Leitfähigkeit des Kristallgitters bestimmt durch die freie Weglänge der Phononen (~
1nm...10nm, d.h. sehr kurz).
Diese kurze freie Weglänge ist der Grund für die schlechte Wärmeleitfähigkeit λ von Isolatoren.
Bei Metallen wird die Wärmeleitfähigkeit hauptsächlich von den Leitungselektronen getragen, so daß diese hohe
λ-Werte besitzen.
Weiter gilt:
λ ~ κ, und zwar
λ = (L ⋅ T) ⋅ κ
Wiedemann-Franz-Gesetz
T: absolute Temperatur
L: Lorentzzahl (L = 2,45 ⋅ 10-8 WΩK-2)
Anhang B:
Beschreibung von Bauelementen
Das Verhalten elektrischer Bauelemente oder Systeme wird über folgende Beschreibung
erfaßt:
U (t), I (t)
0
U (t), I (t)
0
1
1
Bauelement
Dies ist ein "rein elektrisches" Bauelement.
Ein allgemeines Bauelement ist im folgenden dargestellt:
X (t)
X (t)
i0
j1
Bauelement
X :Satz von unterschiedlichen physikalischen Größen
i,j
Beispiele für allgemeine Bauelemente:
Xi0
Xj1
mech. Kraft K(t)
Ultraschall X(t)
U0(t), I0(t)
Piezokraftaufnehmer
Ultraschallsensor
LED-Laser
U1(t), I1(t)
U1(t), I1(t)
Lichtwelle
Die allgemeinen physikalischen Zusammenhänge im Inneren der Bauelemente werden erfaßt durch die Größen
- elektrische Feldstärke
- elektrische Polarisation,
- magnetische Feldstärke,
- magnetische Polarisation.
Diese Größen sind über die Maxwellschen Gleichungen miteinander verknüpft.
Für das Vakuum gilt:
→
→
→
→
•
→
rot E = − B
rot H = S + D
div B = 0
div D = ρ
→
Innere Feldeigenschaften
→
Verknüpfung mit der Materie
Zur Beschreibung des Einflusses der Materie reichen diese Gleichungen allerdings nicht aus. Vielmehr müssen
noch weitere Materialgleichungen berücksichtigt werden.
Dabei ist es notwendig, diese Gleichungen nicht nur makroskopisch (also gemittelt über einen Bereich) zu
definieren, sondern auch ein mikroskopisches Verständnis (im atomaren Bereich) herbeizuführen.
Ergänzend zu den Beziehungen für das Vakuum lassen sich die Materialgleichungen im allgemeinen so
beschreiben:
→
→
D = fD ( E )
→
→
S = fs ( E )
→
→
B = fB ( H )
← z.B. Isolatoren
← z. B. Halbleiter
← z. B. magn. Werkstoffe
→
S : Stromdichte