Astronomie_1 - Ein Astronomie
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Fragen zur Wiederholung – Antworten Ein Student 28. Februar 2013 Zusammenfassung Das hier ist ein Versuch die Fragen zur Wiederholung zu beantworten, oder auf erklärende Seiten im Internet zu verweisen. 1 1.1 Was sind Äquator- und Horizontkoordinaten? Einführung Es ist sinnvoll die Position von Himmelsobjekten in Kugelkoordinaten anzugeben. Da die Entfernung zu den Objekten nicht wichtig ist um Beobachtungen zu machen, stellt man sich eine Himmelsspähre mit unendlichen Radius vor. Für die Kugelkoordinaten werden also nur noch 2 Winkelangaben benötigt. Diese Winkel brauchen natürlich einen Bezugspunkt. Um auf der Erde einen Punkt zu bestimmen, können wir seinen Längengrad (Winkelabstand von Greenwich) und seinen Breitengrad (Winkelabstand vom Äquator) benutzen. Es gibt verschiedene Koordinatensysteme, die, zum Beispiel, die Rotation der Erde berücksichtigen, oder die geographische Breite des Beobachters. Heutzutage ist es für Computer kein Problem mehr Koordinaten umzurechnen. Teleskope können aber nach verschiedenen Koordinatensystemen ausgerichtet sein. 1.2 rotierendes Äquatorialsystem Das rotierende Äquatorialsystem berücksichtigt die Drehung der Erde. Die Winkel α und δ bleiben dadurch gleich. Es ist aber schwierig ein Objekt zu finden, da die Sterne natürlich wandern (eher die Erde). Um die Winkel anzugeben, braucht man 2 Bezugspunkte. Zum einen vergrößert man die Äquatorebene ins Unendliche und gibt die Entfernung zu dieser Ebene als Deklination δ an. Diese ist das Äquivalent zur geographischen Breite φ. In Richtung Nordpol wird sie positiv von 0◦ bis 90◦ gemessen. In Richtung Südpol negativ. Als 2. Bezugspunkt diehnt der Frühlingspunkt. Er ist der Schnittpunkt des Himmelsäquators mit der Ekliptik(Ebene der Planeten). Es gibt natürlich 2 dieser Schnittpunkte. Der Frühlingspunkt liegt ungefähr dort, wo die Sonne am 20./21. März steht. Um den Winkel zwischen Frühlingspunkt und Stern in der Ebene des Himmelsäquators anzugeben, schlägt man einen Stundenkreis durch den Stern. Dieser steht senkrecht auf der Äquatorebene. Dieser Winkel wird Rektaszension α genannt. Er wird im Zeitmaß 0h bis 24h angegeben und entgegen der täglichen Bewegung der Himmelsspähre gemessen, also in Richtung der Erddrehung. Ein Stern mit Rektaszension α = 6h befindet sich also 90◦ östlich des Frühlingspunktes. 1 Abbildung 1: Himmelskoordinaten (C) Redshift 2 1.3 ruhendes Äquatorialsystem Beim ruhenden Äquatorialsystem dreht sich das Koordinatensystem nicht mit. Die Deklination δ wird weiterhin benutzt. Da der Frühlingspunkt nun auch keine feste Position mehr ist, kann er kein Bezugspunkt mehr darstellen. Deswegen wird ein irdischer“Bezugspunkt gewählt: ” Dem Schnittpunkt des Himmelsäquators mit dem Meridian. Der Meridian ist ein imaginärer Großkreis, der durch den nördlichen und südlichen Himmelspol und durch den Zenit und Nadir des Beobachters geht. Nördlicher und südlicher Himmelspol sind die Durchstoßpunkte der Erdachse mit der Himmelsspähre. Der Winkel zwischen Meridian und Stundenkreis heißt Stundenwinkel t(östliche Richtung). Aufgrund der Erdrotation verändert sich der Stundenwinkel und nimmt alle Werte zwischen 0◦ und 360◦ an(besser 0h bis 24h ). 1.4 Horizontkoordinaten Für einen Beobachter ist es mit schwierig ein Objekt anhand seiner Äquatorialkoordinaten zu finden, da diese sich auf die Äquatorebene beziehen. Es wäre also besser Koordinaten zu haben, die sich auf den Beobachtungspunkt beziehen. Dies sind die Horizontkoordinaten. Die beiden Winkelangaben heißen Azimut und Elevation. Der oder das Azimut wird vom Südpunkt des Horizonts in westlicher Richtung gemessen. Die Elevation ist die Höhe über dem Horizont. Die Pole dieses Systems sind der Zenit und der Nadir. 1.5 Präzession, Kulmination, zirkumpolar, Opposition und Konjunktion 1. Präzession Aufgrund der Äquatorwulst erfährt die Erde ein Drehmoment (eine Wulst ist näher an der Sonne). Die Drehachse versucht diesem Drehmoment senkrecht auszuweichen. Im Bild zeigt das Drehmoment vom Nordpol nach linksoben. Die Achse weicht senkrecht dazu aus, in diesem Fall auf uns zu. Die Rotationsachse der Erde verändert sich also. Allerdings dauert ein voller Umlauf ≈ 25780 Jahre. Aufgrund der Präzession kippt“die ” Äquatorebene, wodurch sich der Frühlingspunkt veschiebt. Vor etwa 2000 befand er sich im Sternbild Widder, heute im Sternbild Fische (30◦ Verschiebung). 2. Kulmination Die Kulmination beschreibt den höchsten und tiefsten Stand eines Sterns. Es wird zwischen der oberen und unteren Kulmination unterschieden. Hat ein Objekt eine konstante Deklination, befinden sich die Deklinationen auf dem Meridian. Die Elevation zum Zeitpunkt der oberen Kulmination lässt sich folgenendermaßen berechnen: hOK = δ + 90◦ − φ bzw. hOK = −δ + 90◦ + φ (Südhalbkugel) (1) Für die untere Kulmination gilt: hU K = δ − 90◦ + φ bzw. hU K = −δ − 90◦ + φ (Südhalbkugel) (2) 3. zirkumplolar Gilt hU K > 0 für ∀t ist der Stern zirkumpolar. Also: δ − 90◦ + φ > 0 → δ > 90◦ − φ 3 (3) 4. Opposition und Konjunktion Bei der Opposition befinden sich 2 Himmelsobjekte direkt gegenüber auf der Himmelsspähre(Sonnensystem). Der Winkelabstand beträgt also nahe 180◦ . Dies ist aber meißt nur im Bezug zur Sonne interessant. Steht ein Objekt in Opposition zur Sonne können wir es die ganze Nacht beobachten(z.B. Vollmond). Die Konjunktion ist die scheinbare Begegnung zweier Mitglieder des Sonnensystems. Da sich die Planeten nahe der Ekliptik bewegen, haben sie bei der Begegnung die gleiche Rektaszension oder den gleichen Stundenwinkel. 2 Himmelskörper des Sonnensystems Dem Sonnensystem werden alle Objekte zugeschrieben, die durch die Anziehungskraft der Sonne zusammengehalten werden. Dazu zählen nicht nur die Planeten und ihre natürlichen Satelliten, sondern auch Zwergplaneten, Kometen, Asteroiden und Meteoroiden, und die Gesamtheit der Gas- und Staubteilchen. 2.1 Sonne Wichtige Daten der Sonne: Masse Abstand (1AE) Scheinbare Helligkeit Absolute Helligkeit Durchmesser Mittlere Dichte Chemischer Aufbau Neigung der Rotationsachse Leuchtkraft Effektive Oberflächen Temperatur Spektralklasse Alter 2 · 1030 kg 149, 6 · 106 km = 1, 496 · 1011 m −26m 74 +4M 83 1392700 km 1408 cmg 3 92,1% Wasserstoff, 7,8% Helium 7.25◦ 3.846 · 1026 W 5778 K G2V 4.57 · 109 a Die Sonne ist ein ziemlich normaler Hauptreihenstern. Er besteht aus einem Kern in dem die Fusion abläuft (über 10 Millionen◦ C). Der Energietransport wird durch thermische Strahlung ermöglicht, was aber sehr lange dauert. Nach der Strahlungszone kommt die Konvexionszone. Hier wird Wärme durch Konvexion transportiert(Granulation). Danach kommt die Photospähre, wo die Fraunhoferlinien entstehen. Dann folgt die Chromospähre und die sehr heiße Corona (10 Millionen◦ C. Bei der Sonne ist es die pp-Fusion. Ist der Wasserstoff im Kern verbraucht, kollabiert ein Stern aufgrund des fehlenden Strahlungsdrucks. Dadurch steigt der Druck im Kern, wodurch andere Fusionsprozesse ablaufen können(CNS). Der Stern verlässt die Hauptreihe und endet je nach Masse als weißer Zwerg, Neutronenstern oder als schwarzes Loch. Unsere Sonne wird erst ein roter Riese, wirft“dann ihre Photosphäre ab (planetarischer ” Nebel) und endet schließlich als weißer Zwerg. Außerdem verlieren Sterne durch Sonnenwind nicht unerheblich an Masse. 4 Abbildung 2: Präzession der Erde. (C) greier-greiner.at 5 2.2 Planeten Merkur, Venus, Erde und Mars zählen zu den terrestrischen Planeten. Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun sind jovianische Planeten. 2.2.1 Merkur Merkur ist der sonnennähste und mit einem Durchmesser von ≈ 4880 km der kleinste Planet des Sonnensystems. Seine durchschnittliche Entfernung zur Sonne beträgt 58 Millionen Kilometer, also etwas mehr als ein Drittel AE. Er ist wegen seiner Nähe zur Sonne nur schwer zu beobachten, da er nur einen Winkelabstand von 20◦ östlich und westlich von der Sonne erreicht. Seine Masse beträgt 3.3 · 1023 kg. Seine mittlere Dichte 5, 427 cmg 3 2.2.2 Venus Venus ist der nächste Planet mit einem Sonnenabstand von 0.7 AE oder 108,16 Millionen Kilometer. Ihr Durchmesser beträgt 12103 km, ihre Masse 4, 869 · 1024 kg und ihre mittlere Dichte 5, 243 cmg 3 2.2.3 Erde Wichtige Daten der Erde: Masse Radius Mittlere Dichte Fluchtgeschwindigkeit Neigung der Rotationsachse Druck Präzessionsdauer 2.2.4 5, 974 · 1024 kg ≈ 6355 km 5, 515 cmg 3 11, 186 km s 23, 44◦ 1,14 bar ≈ 26000 a Mars Mars ist der 4. Planet mit einem Abstand von 1,524 AE (227,99 Mio km). Sein Durchmesser beträgt nur ≈ 6800 km. Seine Masse beträgt 6, 419 · 1023 kg. Seine mittlere Dichte ist mit 3, 933 cmg 3 sehr gering. Die Rotationsperiode des Mars ist mit 24 h 37 min und 22 s nicht viel länger als die der Erde. 2.2.5 Jupiter Wichtige Daten des Jupiters: Durchmesser Masse Mittlere Dichte Neigung der Rotationsachse scheinbare Helligkeit 6 ≈ 140000 km 1, 889 · 1027 kg 1, 326 cmg 3 3, 13◦ −2, 94m 2.2.6 Saturn Wichtige Daten des Saturns: Durchmesser Masse Mittlere Dichte Neigung der Rotationsachse scheinbare Helligkeit 2.2.7 ≈ 108000 − 120000 km 5, 685 · 1026 kg 0, 687 cmg 3 26, 73◦ −0, 2m Uranus Wichtige Daten des Uranus: Durchmesser Masse Mittlere Dichte Neigung der Rotationsachse scheinbare Helligkeit 2.2.8 ≈ 50000 km 8, 683 · 1025 kg 1, 27 cmg 3 97, 77◦ +5, 6m Neptun Wichtige Daten des Neptun: Durchmesser Masse Mittlere Dichte Neigung der Rotationsachse scheinbare Helligkeit 2.3 2.3.1 ≈ 49000 km 1, 0243 · 1026 kg 1,638 cmg 3 28, 32◦ +7, 8m unbekanntere Objekte des Sonnensystems Asteroiden Asteroiden zählen zur Klasse der Kleinkörper. Sie sind größer als Meteoroiden, aber kleiner als Zwergplaneten. Die Übergänge sind aber fließend. Im Vergleich zu Kometen gasen sie aber nicht aus, wenn sie in Sonnennähe kommen. Haben Asteroiden einen Durchmesser von mehr als 100 Kilometer können sie aufgrund ihrer Schwerkraft eine Kugelform annehmen, wodurch sie dann als Zwergplaneten gelten. Die Gesamtmasse der Asteroiden beträgt nur zwischen 0,01 und 0,1 Erdmassen. Man vermutet deswegen, dass es sich um Überreste der Entstehungsphase des Sonnensystems handelt. Die starke Graviation des Jupiters verhinderte wohl die Bildung eines weiteren größeren Planeten. Die Planetesimale kollidierten immer wieder miteinander und zerbrachen. Asteroiden haben stark elliptische Bahnen. Sie werden durch ihre Entfernungen zur Sonne und den Planeten katalogisiert: 7 2.3.2 Erdnahe Asteroiden Als erdnahe Asteroiden werden solche bezeichnet, deren Bahnen innerhalb der Marsumlaufbahn verlaufen. 1. Amor-Typ kreuzen die Erdbahn nicht 2. Apollo-Typ haben eine Bahnhalbachse von mehr als 1 AE und können die Erdbahn kreuzen 3. Aten-Typ haben eine Bahnhalbachse von weniger als 1 AE. Ihr Aphel liegt aber immer außerhalb der Erdbahn 4. Apohele-Typ haben ihren Aphel innerhalb der Erdumlaufbahn (Untergruppe des AtenTyp) 2.3.3 Asteroidengürtel Der Asteroidengürtel ist die größte Ansammlung von Asteroiden und Zwerplaneten im Sonnensystem. In ihm befinden sich 90% der Asteroiden. Er befindet sich zwischen Mars und Jupiter. Der Abstand zur Sonne beträgt also ungefähr 2 bis 3,4 AE. Der Gürtel teilt sich in den inneren (2-2,5 AE), mittleren (2,5-2,8 AE) und äußeren Hauptgürtel ein (2,8-3,4 AE). 2.3.4 andere Asteroiden • Die auf den Bahnen der Planeten Mars, Jupiter und Neptun laufenden Asteroiden werden als Trojaner bezeichnet. • Die Asteroiden zwischen Jupiter und Neptun werden Zentauren genannt. • Beim Rest handelt es sich um die Objekte des Kuipergürtels. Diese werden Transneptune genannt und sind teilweise größer als die Asteroiden im Gürtel. • Sedna ist das weit entfernteste Objekt des Sonnensystems (bis zu 1011,862 AE). 2.3.5 Kometen Kleiner Himmelskörper, dessen Kern nur wenige Kilometer groß ist, in Sonnennähe aber ein Koma (bis zu 2,7 Millionen km) und einen bis zu 100 Millionen km langen Schweif aufweißen kann. 2.3.6 Meteoroiden Sehr kleine (Mikrometeoroiden) bis zu ein paar Metern große Objekte, die um die Sonne kreisen. Meteoroiden können aus dem Asteoroidengürtel kommen, durch Sonnenwind aus Kometen herausgelöst worden sein, oder auch Bruchsücke von Asteroiden, Zwergplaneten oder auch Planeten bestehen. 8 2.4 charakteristische Entfernungen im Sonnensystem 1 AE 1 Lichtjahr 1 parsec Objekte Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto Sedna Proxima Centauri Äquatordurchmesser 3 149,6·1011 m 9,46·1015 m 3,09·1016 m Entfernungen 0,39 AE 0,72 AE 1 AE oder 8 Lichtminuten 1,52 AE Äquatordurchmesser der Sonne: 1392700 km 5,2 AE 9,53 AE 19,2 AE 30,1 AE 39,5 AE oder 5,5 Lichtstunden 544,1 AE oder 75,4 Lichtstunden 268000 AE oder 4,22 Lichtjahre des Jupiters: 142984 km Keplersche Gesetze Die Keplerschen Gesetze kann man aus den gundlegenden Formeln der Physik herleiten. Kepler fand sie aber durch Beobachtungen und langwieriger Auswertung vieler astronomischer Daten. 3.1 1. Kepler-Gesetz – Ellipsensatz Die Planeten, und nicht nur sie, bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Das Gesetz lässt sich aus Newtons Gravitationsgesetz herleiten 3.2 2. Kepler-Gesetz – Flächensatz Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl“überstreicht in gleichen Zeiten gleich ” große Flächen. Dieses Gesetz ist eine direkte Folgerung aus der Drehimpulserhaltung. Die überstrichene Fläche ist für ein infinitesimales t (mit L = rmv): L 1 dt F (t, t + dt) = |⃗r(t) × ⃗r˙ (t)dt| = 2 2m (4) Da die Ableitung des Drehimpulses gleich 0 ist (nachrechnen!), ist die Fläche in einem ZeitinL tervall von t0 bis t gleich 21 m (t − t0 ) und deswegen für gleiche Intervalle gleich. 9 3.3 3. Kepler-Gesetz – Umlaufzeiten und große Bahnhalbachsen Dieses Gesetz“besagt, dass sich die Quadarate der Umlaufzeiten zweier Objekte, die sich um ” das gleiche Zentrum drehen, verhalten wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen. FG = FZ → G · Mit ω = 2π T mM v2 mM → G · 2 = mω 2 r = m 2 r r r (5) folgt also: 4π 2 T2 4π 2 M = r → = =C (6) r2 T2 r3 GM Wenn man also die Umlaufzeit, oder die Entfernung eines Objekts zur Sonne weiß, kann man das jeweils andere, durch Vergleich mit der Erde, berechnen. G· 4 Newtons Gravitationsgesetz Man kennt die Näherung des Gesetzen auf der Erdoberfläche: FG = −mg (g Erdbeschleunigung (7) Unter Berücksichtigung dessen, dass sich die Gravitationskraft mit dem Quadrat der Entfernung verändert, kann man das Gesetz so schreiben: m1 m2 FG (r) = G 2 (8) r Wenn man die Richtung dieser Kraft, bevorzugt in Kugelkoordinaten, berücksichtigt, kommt man auf folgende Gleichung: FG (⃗r) = G m1 m2 |⃗r| m1 m2 = G 3 |⃗r| 2 ⃗r ⃗r ⃗r (9) Bei |⃗⃗rr| handelt es sich um einen Einheitsvektor. Er gibt also nur die Richtung der Kraft an und hat keinerlei Einfluss auf ihre Größe! 5 5.1 Refraktoren und Reflektoren Galilei- und Kepler-Refraktor Besteht aus einem konvexen Objektiv und einer konkaven Linse. Das Licht wird vom Objektiv zur obtischen Achse hin gebrochen. Der äußerste Strahlengang berüht die Achse nicht. Das Licht wird vorher durch die konkave Linse gestreut, wordurch es wieder parallel wird. Beim Kepler-Refraktor wird statt einer konkaven Linse eine weitere konvexe benutzt. Das Licht wird erst nach Kreuzung der optischen Achse durch sie Sammellinse wieder zu parallelen Strahlen gebrochen. Refraktoren haben aber viele Nachteile und werden deswegen heutzutage nicht mehr zur Sternbeobachtung benutzt. Die Linsen können nicht beliebig groß gemacht werden. Außerdem wird Licht mit verschiedenen Wellenlängen verschieden stark gebrochen, wodurch es zu chromatischer Abberation kommt. Dem kann man mit einer konkaven Linse aus Flintglas entgegensteuern, was aber sehr aufwendig ist. 10 Abbildung 3: Galilei- und Kepler-Refraktoren (Wikipedia.org) 11 Abbildung 4: ein Cassegrain-Teleskop (Wikipedia.org) 5.2 Cassegrain-Reflektor Das Cassegrain-Teleskop ist ein Spiegelteleskop. Das Licht fällt auf den konkaven parabolischen Hauptspiegel. Licht verschiedener Wellenlängen wird gleich gespiegelt, was ein grßer Vorteil gegenüber Refraktoren ist. Ein konvexer hyperbolischer Fangspiegel überführt das Licht wieder in parallele Strahlen, die aus dem Fernrohr herausgeleitet werden (in die gleiche Richtung, wie sie eingefallen sind). Die Bilder stehen zwar Kopf, aber das stört reichlich wenig. 6 Auflösungsvermögen optischer Instrumente Das Auflösungsvermögen eines Teleskops oder des Auges ist der kleinste Winkelabstand, unterdem zwei punktförmige Objekte noch aufeglöst sind, also nicht als ein verschwommener Punkt wahrgenommen werden. Beim Auge ist dies etwa eine Bogenminute. Bei Teleskopen kommt es auf den Öffnungsdurchmesser und die Wellenlänge des beobachteten Lichts an. Sie errechnet sich mit: λ α = 1, 22 (10) D Das Auflösen zweier Lichtpunkte wird durch thermische Turbulenzen der Atmospähre (seeing) erschwert(2-5 Bogensekunden). Man benutzt adaptive Optik um trotzdem ein scharfes Bild zu erreichen. Dabei wird ein Teil des einfallenden Lichts ausgewertet, um einen deformierbaren Spiegel in die Position zu bringen, in der die gestörten Lichtfronten durch den Spiegel korrigiert werden. 12 Abbildung 5: Planck-Funktion in doppellogarithmischer Darstellung (Wikipedia.org 13 7 Planck-Funktion Die Planck-Funktion beschreibt die spektrale Verteilung der Intensität der Strahlung eines Schwarzkörpers. h: plancksches Wirkungsquantum, k: Boltzmann-Konstante. 2hν 3 hν (e kT − 1)dν c2 2hc2 hc B(λ, T )dλ = 5 (e kλT − 1)dλ λ B(ν, T )dν = Man sieht an dem dν und dλ, dass sich die Formeln nicht einfach in einander Umrechnen lassen. Es gilt wegen c = ν · λ der folgende Zusammenhang: dν d d c c = ν= =− 2 dλ dλ dλ λ λ (11) Das Minus hat seinen Sinn. Es wird später beim Stefan-Boltzmann darauf eingegangen. Ein Schwarzkörper ist ein idealisierter Körper, der alle Strahlung jeder Wellenlänge absorbiert. Er reflektiert also keinerlei Strahlung und strahlt nur aufgrund seiner Temperatur thermische Strahlung ab. Diese hat für verschiedene Temperaturen unterschiedliche Verläufe. Ihre Maxima werden durch das Wiensche Verschiebungsgesetz beschrieben. Die Wiensche Nähreung beschreibt den kurwelligen Bereich mit den Maxima, die Rayleigh-Jeans-Näherung beschreibt den Bereich höherer Wellenlängen als λmax . 7.1 Wiensche Näherung und Wiensches Verschiebungsgesetz Bei der Wienschen Näherung gilt: die −1 unwesentlich klein wird: hν kT ≫ 1. Deswegen wird die e-Funktion sehr groß, wodurch 2hν 3 − hν e kT c2 hc 2hc2 B(λ, T ) = 5 e− kλT λ B(ν, T ) = Das Näherung des Wiensche Verschiebungsgesetz ergibt sich nun aus der Ableitung und Nullsetzung der Wienschen Näherung: ( ) hc 2hc2 − hc 2hc2 hc λ6 − kλT −5 · 6 (e kλT ) + 5 | · e λ λ kλ2 T 2hc2 hc hc − hc e kλT = −5 · (e− kλT ) + kλT hc hc = e− kλT ( − 5) = 0 kλT Wir erhalten also aus der Näherung das Ergebnis ist: 4, 9651142317.... hc = 5 ergibt sich dann: Aus kλT hc kλT = 5. Die genauere numerische Lösung hc = 5 → λmax T ≈ 2, 9 · 10−3 mK kλT 14 Abbildung 6: Näherungen der Planck-Funktion (Wikipedia.org) Das gleiche kann man natürlich auch mit Frequenzen machen. Dabei ergibt sich aber wiederum nicht der Zusammenhang c = νλ! Das liegt daran, dass die Planck-Funktion gar nicht die Leistung bei einer bestimmen Wellenlänge oder Frequenz angibt, sondern in einem bestimmten Intervall an dieser Stelle. Ein Wellenlängenintervall lässt sich aber nicht einfach in ein Frequenzintervall umrechnen. Siehe dazu: http://magrathea.ulm.ccc.de/ juergen/physik/planckwien.pdf! In Abbildung 5 sieht man die Planck-Funktion in Abhängikeit von der Wellenlänge. Die Achsen sind doppellogarithmisch aufgetragen. Man sieht verschiedene Graphen für die verschiedenen Temperaturen. Wichtig ist, dass sich die Graphen nie schneiden! 5777K ist die effektive Temperatur der Sonne. In der Abbildung 6 sind die beiden Näherungen mit der Planckfunktion dargestellt. Da diese Abbildung in Abhängigkeit der Frequenz ist, ist sie quasi gespiegelt. In der Mitte liegt die Planck-Funktion. Bei kleinen Frequenzen, also langen Wellenlängen sehen wir die Rayleigh-Jeans Näherung, die den quasi linearen Abfall der Planck-Funktion annähert. Bei hohen Frequenzen und kleinen Wellenlängen wird auch vor allem das Maximum durch die Wiensche Näherung beschrieben. 15 7.2 Das Stefan-Boltzmann Gesetz Das Stefan-Boltzmann Gesetz berechnet die gesamte Strahlungsleistung, die ein schwarzer Körper der Fläche A mit einer bestimmten TEmperatur T abstrahlt; P = σ · A · T4 (12) Nimmt man an, dass die Sonne ein Schwarzkörper ist, kann man mit A=Oberfläche der Sonne ihre effektive Temperatur ausrechnen(P ist die Leuchtkraft): √ P T = 4 =≈ 5777K (13) 2 σ · 4πRSonne Die Herleitung folgt ebenfalls aus der Planck-Funktion. Vorher müssen wir uns aber noch darauf einigen, dass wir nicht mehr die Abstrahlung in eine bestimmte Richtung, sondern über einen Halbraum untersuchen. Der Halbraum der Kugel (Sonne) ist eine Ebene, und zwar die, die man über eine halbe Sonne legen würde. Uns interessiert also der Raumwinkel, in den wir abstrahlen. Wir müssen ebenfalls berücksichtigen, dass wir uns nur für die Strahlung interessieren, die in unsere Richtung abgestrahlt wird. Am Rand der Sonne ist dies natürlich weniger, als in der Mitte der Sonne. Dies wird durch das Lambertsche Gesetz beschrieben: Haben wir eine Fläche, von der Strahlung abgegeben wird, dann haben wir die maximale Strahlung geradeaus“. Unter einem bestimmen Winkel θ haben wir weniger Strahlung. Ins” gesamt ergibt sich der Zusammenhang: I(θ) = A cos(θ). Unter dem Winkel θ = 0 (geradeaus) haben wir also die maximale Strahlung. Unter dem Winkel θ = π2 gibt es keine Strahlung. Unser Halbraum besteht also aus einem Öffnungswinkel von 2π unter π ∫2π ∫2 dA = A cos(θ)sin(θ)dθdϕ = πA 0 (14) 0 sin(θ) ist ein Raumwinkelelement. Vergleiche hierzu ein Volumenelement der Kugel ohne r2 und dr, oder direkt eine Oberflächenelement ohne r. Die Planck-Funktion sieht unter Berücksichtigung welchen Raum dA man ausstrahlen möchte, so aus: 2hν 3 hν B(ν, T ) dνdA = 2 (e kT − 1) dνdA (15) c Daraus ergibt sich endlich: ∫ P = ∫∞ dPν = 0 2πhν 3 A dν hν −1 c2 e kT 16 (16) Wenn wir nun mit ν = c λ substituieren löst sich auch das Rätsel mit dem Minus auf: c ∫∞ P = − A 2πhc2 dλ hc 5 λ e kλT − 1 − 2πhc2 A dλ hc 5 λ e kλT − 1 c 0 ∫0 = ∞ ∫∞ = 0 2πhc2 A dλ hc λ5 e kλT − 1 Wir erhalten also endlich eine verständliche Umrechnung der beiden Versionen mit λ und mit ν. Auch das Minus hatte seinen Sinn, denn bei der Substitution mussten wir auch die Grenzen angleichen, wodurch diese sich umgedreht haben. Das Minus verschwindet also, da wir die Integrationsgrenzen ein weiteres mal vertauschen, aber nun quasi manuell“. ” hν Wir substituieren nun x = kT und erhalten das Integral: 2πk 4 T 4 p= 2 3 A ch ∫∞ 0 x3 dx ex − 1 (17) Der Bruch davor erklärt sich dadurch, dass wir zwar 3 νs im Intergral haben, aber nur ein h und weder k noch T . Trotzdem sinnvoll, da wir ex erhalten haben. ∫ ∞ x3war die πSubstitution 4 Das Integral löst sich so: 0 ex −1 dx = 15 zu: 2π 5 k 4 AT = σAT 4 15c2 h3 (18) Wir erhalten das Stefan-Boltzmann Gesetz. Das Umrechnen des Bruches liefert tatsächlich die Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5, 67 · 10−8 mW 2 K4 8 8.1 Strahlungsgrößen und ihre Umrechnung verschiedene Größen Der Fluss F beschreibt die Menge an Energie, zum Beispiel die Anzahl der Photonen, die pro Fläche gemessen werden. Die Einheit ist mW2 . Ein Beispiel ist die Solarkonstante. Das ist die Energie, die von der Leuchtkraft der Sonne auf der Erde noch ankommt: S= LSonne W = 1, 367 · 103 2 2 4πRAbstand m (19) Da die Solarkonstante direkt messbar können wir so die Leuchtkraft der Sonne bestimmen: 2 = 3, 84 · 1026 W L = S · 4πRSonne (20) Die bolometrische Helligkeit ist das Integral über das gesamte elektromagnetische Spektrum eines Objektes. 17 8.2 scheinbare und absolute Helligkeit Wir beginnen mit der Größe, die wir direkt beobachten und bestimmen können. Die scheinbare Helligkeit beschreibt die Helligkeit, die wir am Sternenhimmel beobachten. Da das Auge das Licht logarithmisch auswertet, wurde diese Konvention auch von der Astronomie übernommen. Man muss ebenfalls aufpassen, dass eine kleine scheinbare Helligkeit eine hellere Quelle beschreibt. Die scheinbare Helligkeit der Sonne ist −26, 73mag. Mit dem bloßen Auge kann man noch Sterne der Helligkeit 6 mag erkennen. Teleskope erkennen heutzutage Objekte der scheinbaren Helligkeit 22. Im Hubble Ultra Deep Field sind noch Galaxien mit 29 mag erkennbar. Die scheinbare Helligkeit eines Objektes bestimmt man am Einfachsten mit dem Vergleich der Flussdichten oder Intensitäten zweier Objekte: ( ) ( ) F1 I1 m1 − m2 = −2, 5 · log = −2, 5 · log (21) F2 I2 Aus der scheinbaren Helligkeit kann man die absolute Helligkeit herleiten. Die Absolute Helligkeit ist ein Äquivalent zur Leuchtkraft. Sie wird benutzt um die Helligkeit von Objekten zu vergleichen. Die absolute Helligkeit ist die Helligkeit, die das Objekt hätte, wenn es sich in 10 pc Entfernung befinden würde. Das Objekt hat die gleiche Leuchtkraft. Es kommt aber aufgrund der Unterschiedlichen Entfernungen mehr oder meistens weniger davon an. Der Fluss nimmt mit dem Abstand zum Quadrat ab: ( ) F1 m − M = −2.5 · log F2 2 2 L = 4πR1 · F1 = 4πR2 · F2 R12 · F1 = R22 · F2 F2 · R22 F1 = R12 Der eine Abstand ist 10 pc, der andere die Entfernung zum Stern: ( ) ( ) F2 · R22 (10 pc)2 m − M = −2.5 · log = −2.5 · log F2 · R12 R12 ( ) ( ) 10 pc R1 = −5 · log = −5 · (log(10 pc) − log(R1 )) = 5 · log − 5 = Aλ R1 pc R1 wird in parsec gemessen. Aλ ist die Extionktion. Sie berücksichtigt die Abschwächung des Lichts durch Staub oder druch die Erdatmosspähre. 9 Absorption, Emmision und Ionisation In Abbildung 7 sieht man die Durchlässigkeit der Atmospähre für elektromagnetische Strahlung verschiedener Wellenlängen. Visuelles, infrarotes und Radiostrahlung werden gut durchgelassen. Beobachtungen von Licht anderer Wellenlänge muss oberhalb der Atmosphähre geschehen. Bei der Absorption wird ein Photon mit passender Energie, also Wellenlänge, von einem Elektron verschluckt. Dieses begiebt sich dadurch auf ein höheres Energieniveau. Beim Zurückspringen, 18 Abbildung 7: Durchlässigkeit der Atmosphäre (Wikipedia.org) das fast sofort passiert, wird ein Photon wieder emmitiert. Diesmal aber in eine beliebige Richtung des Raumes. In der Sonne passiert dies in der Photosphäre. Dadurch entstehen die bekannte Fraunhofer-Linien, schmale dunkle Streifen im sonst kontinuierlichen Sonnenspektrum. Die Photonen, die aus der Sonne austreten möchten, wechselwirken mit den Elektronen der Elemente in der Photosphäre. Die Photonen, die vorher die Erde ereicht hätten werden jetzt gestreut, und nur noch ein Bruchteil kommt bei uns an. Deswegen detektieren wir bei den, für die Elemente charakteristischen, Wellenlängen keine Photonen. Diese charakteristischen Energien haben mit den Energieniveaus der Elektronenschalen zu tun. Ein Außenelektron kann, je nach Energie verschieden viele Schalen hochspringen, entsprechend kann ein Atom verschiedene Wellenlängen absorbieren. Die Anzahl der Möglichkeiten erhöht sich weiter, wenn ein Atom ionisiert ist. Das heißt, dass ein Elektron sich vollständig aus dem Atomverbund gelöst hat. Wenn das Atom so stark ionisiert ist, dass die neuen Außenelektronen auf einer tieferen Schale als vorher sitzen, gibt es nun mehr Möglichkeiten der Absorption. In Abblidung 8 wird das extraterrestrische Sonnenspektrum, also das oberhalb der Atmospähre, mit dem eines Schwarzkörpers bei 5900 K verglichen. Ein idealer schwarzer Körper mit der gesamten Strahlungsleistung wie die Sonne hätte eine Temperatur von 5777 K. Dies ist die sogenannte Effektivtemperatur der Sonne. 10 Farbindex Beim Farbindex wird die scheinbare Helligkeit eines Sterns bei kurzwelliger und langwelliger Strahlung verglichen. Häufig benutzte Wellenlängen sind 365 nm (U), 440 nm (B) und 550 nm (V). Dies ist das sogenannte UVB-System. Die Erweiterung des Systems durch die Wellenlängen 720 nm (R) und 900 nm (I) nennt man UBVRI-System. Daraus ergeben sich die 4 wichtigsten Farbindizes: U-B, B-V, V-R und R-I. Die häufigste ist B-V. Dieser geht von +2,06 19 Abbildung 8: Sonnenspektrum und Schwarzkörperstrahler (Wikipedia.org) (tiefrot) bis -0,23 (blau). Rot bedeutet kühl, blau heiß. Die Formel für den Farbindex lautet: C = mkurzwellig − mlangweillig (22) Dies erinnert ( )sehr stark an die Formel zum Vergleich zweier scheinbarer Helligkeiten: m1 −m2 = −2, 5 log II21 Ein Äquivalent zur Intensität ist die Spektrale spezifische Ausstrahlung, die mit der Planck-Funktion bestimmt wird. Sie ist natürlich nur eine Näherung, da das Spektrum eines Sterns nicht genau mit dem eines Schwarzkörpers übereinstimmt. Daraus ergibt sich: ( ) B(λ1 , T ) C = mkurzwellig − mlangweillig = −2, 5 log (23) B(λ2 , T ) Der Farbindex B-V vergleicht also die scheinbaren Helligkeit im blauen und gelben, also visuellen Bereich. In diesem verlaufen auch die Maxima der verschiedenen Graphen. Ein kühler Stern hat sein Maxima im infraroten Bereich, oder noch weiter weg. Das heißt, dass die PlanckFunktion im visuellen Bereich steigt. Der Stern hat also einen positiven Farbindex. Ein sehr heißer Stern hat sein Maxima auf der anderen Seite und hat so einen negativen Farbindex. Dafür bräuchte er aber eine Temperatur von über 10000 K. Da der Bereich zu größeren Wellenlängen hin, hinter dem Maxima quasi linear abfällt, hat der Farbindex bei T → ∞ einen 20 negativen Grenzwert. Er berechnet sich folgendermaßen: 2hc2 1 C= λ51 hc −1 λ kT −2, 5 log 2hc2 e 1 1 −1 λ52 λ hc e 2 kT = −2, 5 log ( hc λ52 · (e λ2 kT − 1) hc ) λ51 · (e λ1 kT − 1) ) ( hc ( ( )) hc hc 5 λ2 kT λ − · e 5 λ2 kT 2 λ2 kT λ2 · (e − 1) l’Hôpital ) lim −2, 5 log = lim −2, 5 log ( hc hc T →∞ T →∞ hc 5 5 λ1 kT λ kT λ1 · (e − 1) λ1 − λ1 kT · e 1 )) ( 4) ( ( 4 λ2 λ2 hc ·(λ2 −λ1 ) kT = −2, 5 = lim −2, 5 · e ≈ −0, 9691 T →∞ λ41 λ41 11 Extinktion und Rötung Unter Extinktion versteht man die Lichtschwchung 21
