Angabe - Fakultät für Physik

Übungsaufgaben zur E1 / E1p Mechanik, WS 2016/17
Prof. J. O. Rädler, PD. B. Nickel
Fakultät für Physik, Ludwig-Maximilians-Universität, München
Blatt 5: Himmelsmechanik: Umlaufbahnen, Gravitationspotential und Roche Limit
Ausgabe: Di, 15.11.
Abgabe: Di, 22.11. in der Vorlesung
Aufgabe 1: Geschwindigkeiten und Umlaufzeiten im Gravitationsfeld
Unter der 1. kosmischen Geschwindigkeit versteht man die notwendige Geschwindigkeit um einen
Planeten direkt an der Oberfläche antriebslos zu umkreisen. Die 2. kosmische Geschwindigkeit ist
die Fluchtgeschwindigkeit, die benötigt wird, um dem Gravitationspotential eines Zentralkörpers
nach Abschuss an der Oberfläche ohne weiteren Antrieb zu entkommen. Die Masse des Planeten
Mars beträgt MM = 6.4 1023 kg, der Radius ist RM = 3400 km.
a) Berechnen Sie die 1. kosmische Geschwindigkeit des Planeten Mars und die korrespondierende
Umlaufdauer.
b) Berechnen Sie die 2. kosmische Geschwindigkeit des Planeten Mars.
c) Die Umlaufzeit des Planeten Mars um die Sonne beträgt T = 687 Tage, der Abstand zur Sonne
beträgt rMS = 2.3 1011 m. Wie schwer ist die Sonne?
Aufgabe 2: Geostationäre Bahn eines extrem ausgedehnten Körpers
Der Science-Fiction Schriftsteller R.A. Heinlein beschreibt einen ungewöhnlichen Satelliten, der aus
einem langen, direkt über dem Äquator platzierten Seil besteht. Das massenbehaftete Seil ist entlang
des Radius zum Erdinneren ausgerichtet und erscheint dem Erdbeobachter so, als sei es an einem
festen Punkt über dem Äquator aufgehängt. Das untere Seilende schwebt direkt über der
Erdoberfläche und ist gestreckt, vgl. Abbildung. Die Masse des unzerreißbaren Seils sei
gleichverteilt.
a) Betrachten Sie zunächst die Kräfte, die auf ein
Seilstück m im Abstand r wirken.
*b) Damit das Seil schwebt, müssen sich anziehende und
abstoßende Kräfte kompensieren. Bestimmen Sie die
benötigte Seillänge L durch Integration der Kräfte entlang
des Seils. Die Erde hat die Masse ME = 6 1024 kg und den
Radius RE = 6400 km.
Bitte wenden
Aufgabe 3: Freier Fall innerhalb einer homogenen Kugel
Stellen Sie sich vor, es sei möglich, geradlinig vom Nordpol zum Südpol ein Loch durch die Erde zu
bohren. Vom Nordpol aus lasse man eine Kugel der Masse m = 1 kg in das Loch fallen. Die Erde sei
eine homogene Kugel der Masse ME = 6 1024 kg mit dem Radius RE = 6400 km, der Prozess laufe
reibungsfrei ab.
a) Welche Kraft wirkt auf die Kugel als Funktion des Abstandes r vom Erdmittelpunkt? Tipp:
innerhalb der Erde wirkt effektiv nur die „innere“ Kugel, die Beiträge der äußeren Schale heben sich
auf.
b) Leiten Sie das Gravitationspotential U(r) in Abhängigkeit vom Abstand zum Erdmittelpunkt her
und skizzieren Sie es inner- und außerhalb der Erde. Warum entspricht das Potential im Innern einem
Federpotential (Hooksche Feder) ?
c) Wie groß ist am Erdmittelpunkt die Geschwindigkeit der Kugel bei Startgeschwindigkeit Null?
d) Wie lange braucht die Kugel für eine volle Oszillation, d.h. nach welcher Zeit T erscheint die
Kugel wieder am Ausgangspunkt? Tipp: Sie können hier verwenden, dass die Periodendauer einer
Federschwingung T = 2𝜋√𝑀⁄𝐷 ist, mit der schwingenden Masse M und der Federkonstante D.
e) Vergleichen Sie die Schwingungsdauer aus (d) mit der Dauer des Umlaufs um die Erde für eine
Masse M mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit.
Aufgabe 4: Lagrangepunkte und Gezeitenkräfte im Zweikörpersystem Erde - Mond
Der Mond hat eine Masse von MM= 7 1022 kg und umkreist die Erde in einem mittleren Abstand von
rME=380000 km in 28 Tagen. Die Sonne hat eine Masse MS =2 1030 kg und wird von der Erde in einem
Abstand von rES = 1 AU (Astronomical Unit = 150 106 km) umkreist.
a) Skizzieren Sie den Verlauf der Trajektorie des Mondes um die Sonne qualitativ. Vergleichen Sie
dazu die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne vES sowie des Mondes um die Erde vME mittels
Abschätzung der Größenordnungen.
b) Lagrangepunkte sind äußerst nützliche Positionen für Satelliten, da sich dort die auf die Satelliten
wirkenden Gravitationskräfte kompensieren. Bestimmen Sie den Lagrangepunkt, an dem ein
zwischen Erde und Mond positionierter Satelit keine Beschleunigung erfährt. Vernachlässigen Sie im
Folgenden die Rotation von Erde und Mond.
*c) Die Roche-Grenze droche ist der Abstand (Mond-Planet) unterhalb dessen ein Mond durch die
Gezeitenkräfte seines Planeten auseinander gerissen wird. In dieser und nachfolgender Teilaufgabe
soll das Roche-Limit in der Näherung starrer, homogener Kugeln für Mond (Masse Mm, Radius Rm)
und Planet (Masse Mp, Radius Rp) allgemein bestimmt werden. Betrachten Sie hierfür eine kleine
Probemasse m auf dem Mond (siehe Abbildung). Berechnen Sie die zusätzliche Kraft, die auf die
Probemasse im Vergleich zum Schwerpunkt des Mondes wirkt.
*d) Der Mond bleibt stabil, wenn die zusätzliche Kraft durch die Gravitationskraft des Mondes auf
die Probemasse kompensiert wird. Berechnen Sie einen Ausdruck für die Roche-Grenze in
Abhängigkeit von Rp und den Dichten m und p Tipp: Nutzen Sie, dass der Abstand Erde Mond rME
viel größer ist als der Mondradius Rm,.
(Mit (*) gekennzeichnete Aufgaben müssen von Lehramtsstudierenden und Nebenfachstudenten (6ECTS) nicht
bearbeitet werden)