FFF ооо =+ FFF ооо =+ FFF ооо =+

BMS Physik
Theorie
Statik
Statik
Die Statik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das sich mit dem
Gleichgewicht von Kräften an Körpern befasst. Damit ein
ruhender oder mit konstanter Geschwindigkeit bewegter Körper
weiterhin ruht (bzw. die Geschwindigkeit konstant bleibt),
müssen die Summen aller Kräfte und Momente, die auf diesen
Körper wirken, null sein. Das ist die Gleichgewichtsbedingung
der Statik. Die Ermittlung der Kräfte und Momente ist die
Grundlage für die Auslegung und Dimensionierung von
Bauwerken und Bauteilen. (Quelle wikipedia)
1.1 Addition von Kräften mit gleicher Wirkungslinie und gleichem Angriffspunkt
r
r
Wirken zwei Kräfte F1 und F2 mit gleicher Wirkungslinie auf
einen Körper, so findet man die Summe als einfache Addition der
beiden Kräfte.
Vektorgleichung:
r r
r
F1 + F2 = FSumme
F1
F2
Summe
F2
F1
r
Dieselbe Vektorgleichung gilt auch, wenn die Kräfte F1 und
r
F2 entgegengesetzt wirken. Für die grafische Lösung werden
die Vektoren so platziert, dass der Beginn des zweiten am Ende
des ersten Vektors anschliesst.
Nur die Beträge müssen subtrahiert werden:
F1
Summe
F2
F1 − F2 = FSumme
Minus gemäss Skizze!
Hinweis:
Wenn die beiden Kräfte nicht im selben Punkt
angreifen, finden wir eine andere Situation, dann muss
mit Drehmomenten (Kapitel 2) gerechnet werden.
€
1.2 Addition von Kräften mit gleichem Angriffspunkt
r
r
Wirken zwei Kräfte F1 und F2 mit verschiedener Richtung auf
r
einen Körper, so findet man die resultierende Kraft Fr wie in den
Zeichnungen dargestellt entweder durch das
Kräfteparallelogramm
Vektorgleichung:
Beträge:
r r
r
F1 + F2 = FSumme
F1 + F2 > FSumme
r
Schreibweise: mit F1 ist F1 gemeint.
Wie die Seitenlängen im Dreieck!
€
Einfachere und übliche Darstellung mit dem Kräftedreieck.
Vektorgleichung wie oben:
r r
r
F1 + F2 = FSumme
Achtung! Der Winkel zwischen F1 und F2 muss
nicht 90° betragen.
02.08.13, dk
1
Statik
Theorie
BMS Physik
Beispiel: Greifen zwei Kräfte von 3N und 4N in einem Punkt an, so
kann die Summe je nach Richtung der Einzelkräfte
alle Werte zwischen 1N und 7N annehmen!
Bei 90° ist die Summe genau 5N.
Lösungsmethoden für schiefwinklige Dreiecke:
Vektoren (meist im rechtwinkliges Koordinatensystem)
oder Trigonometrie
•
•
•
a
b
c
=
=
= 2r
sin(α ) sin(β) sin(γ )
Cosinussatz: c 2 = a 2 + b 2 − 2a⋅ b⋅ cos(γ )
Sinussatz:
Umkreisradius r
Die Seitenlängen sind dann aber Kräfte!
P
1.3 Summe von Kräften: Beispiele
An einer Umlenkrolle zieht ein Seil mit 1.0 kN.
Wie gross ist die Belastung der Rolle?
45°
Wir lassen die Rolle weg und zeichnen die beiden Seilkräfte in einem Punkt P.
P
Weil die beiden Seilkräfte betragsmässig gleich gross sind, können
wir ohne Vektorrechnung sagen, dass der Winkel von 135° durch die
Summe halbiert wird. Also können wir ein gleichschenkliges
Dreieck berechnen.
67.5°
F1
Summe
=
sin(67.5°) sin(45°)
F1
Summe =
⋅ sin(45°) ≈ 0.765 kN
sin(67.5°)
Sinussatz:
45°
Variante Vektorrechnung mit dem Grafikrechner:
(1.0 kN, ∠180°)+ (1.0 kN, ∠ − 45°) = (−0.293/ − .707) kN = (0.765 kN, ∠ −112.5°)
Die Rolle wird mit 0.765 kN belastet, also mit ca. 77% der Seilkraft.
Im Punkt P gilt, dass die Summe aller Kräfte gleich null ist.
Die dritte Kraft ist die Gegenkraft zur Summe der beiden Seilkräfte:
F3 = (0.293/ 0.707 ) kN = (0.765 kN, ∠ + 67.5°)
Werden mehrere Kräfte addiert, geschieht das
grafisch einfach durch aneinander reihen der
Vektorpfeile.
F1
Vektoren werden am einfachsten mit
kartesischen Koordinaten notiert und dann
komponentenweise addiert:
r
r
r
F1 = (4;3)N , F2 = (2;0 )N , F3 = (0;− 3)N
r
Summe: FSumme = (6;0 )N
Variante: (6.0 N, ∠0°)
2
F2
F3
Summe
Die Reihenfolge der
zeichnerischen Addition spielt
keine Rolle.
BMS Physik
Theorie
Statik
In der Statik gilt:
Die Summe aller Kräfte, die in einem Punkt angreifen ist null!
1.4
Zerlegung einer Kraft in Komponenten
Gegeben ist ein Kraftvektor, der in Komponenten zu zerlegen
ist. Die Richtungen sind in der Regel durch das physikalische
Problem bestimmt.
Am Sessellift
Gegeben ist die Gewichtskraft FG, gesucht sind die beiden
Seilkräfte von denen vorerst nur die Richtungen bekannt sind.
Die Zerlegung in zwei Richtungen ist eindeutig.
Tipps: Richtungen können verlängert werden.
Richtungen können parallel verschoben werden
(durch die Spitze der geg. Kraft)
F2
Beispiel: FG = 2.5 kN
F1
FG
F3
F4
parallel verschieben
und verlängern
r
Zerlegung:
Alle Kräfte in A:
FG wird durch F3 und F4 ersetzt
Die Seilkräfte F1 und F2 halten den
Sessel mit dem Gewicht FG.
r
r
r
F3 + F4 = FG
r
r
r
r r
r
F1 + F2 + FG = 0
Zusammenhang: F3 = − F1 und F4 = − F2
Zeichnerische Lösung: F1 ≈ 7.0 kN und F2 ≈ 5.5 kN, also deutlich grösser als die Gewichtskraft FG!
Winkel ungenau, gemäss Zeichnung!
Betragsmässig sind die beiden Vorgehen „Zerlegung“ und
„Summe aller Kräfte“ genau gleich!
Rechnerische Lösung Sessellift
Zuerst müssen die Winkel im Dreieckbestimmt werden:
(siehe Skizze) 45°, 120°, 15°
Lösung mit dem Sinussatz:
FG
F1
F2
=
=
sin(15°) sin(120°) sin(45°)
Aufgelöst nach den Beträgen von F1 und F2:
F1 = 8.37 kN, F2 = 6.83 kN
02.08.13, dk
15°
F2
120°
F1
FG
45°
3
Statik
2.
Theorie
BMS Physik
Drehmomente
2.1 Hebel und rechte Winkel
Starre (feste) Körper, die an einer festen Achse drehbar gelagert sind können als Hebel betrachtet werden.
Die Abstände zwischen Angriffspunkt der Kraft und Drehpunkt heissen Hebelarme.
Einseitiger Hebel
Zweiseitiger Hebel
F2 ⋅ r2 = F1 ⋅ r1
F2 ⋅ r2 = F1 ⋅ r1
Die Längen der Hebelarme werden immer bis zum Drehpunkt gemessen.
Definition: Das Produkt „Kraft mal Hebel“ heisst Drehmoment M zur Drehachse.
• M = F ⋅r
• Die SI-Einheit des Drehmoments ist:
N⋅⋅m
• Jedes Drehmoment hat eine Drehrichtung.
Vorzeichen festlegen: wie die Winkeldefinition in der Mathematik
Ein positives Drehmoment M (>0) erzeugt eine „Linksdrehung“
Ein negatives Drehmoment M (<0) erzeugt eine „Rechtsdrehung“ (im Uhrzeigersinn)
+
2. Grundgesetz der Statik: Summe aller Drehmomente = null.
Ein Körper, der sich um eine feste Achse drehen kann,
ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe der linksdrehenden Drehmomente
und die Summe der rechtsdrehenden Drehmomente gleich sind.
Beispiel Fahrrad (ohne Beschleunigung)
Drehmoment Pedal: M1 =
Drehmoment grosses Zahnrad: M2 =
Drehmomente beziehen sich immer auf eine Achse!
F2
Der Pedalarm bewirkt ein Drehmoment im Uhrzeigersinn und
die Kette ein entgegengesetztes Drehmoment.
Kraft auf die Kette: F2 =
Drehmoment Zahnrad hinten: M3 =
F4
Drehmoment Hinterrad: M4 =
Kraft am Hinterrad: F4 =
Kette
Das Pedal mit dem grossen Kettenblatt ist ein Winkelhebel und wird wie
ein zweiarmiger Hebel berechnet: Die beiden Hebel stehen hier im
rechten Winkel zueinander.
Zusammenfassung
An jeder Achse heben sich die Drehmomente auf.
Zwischen den Achsen wirkt dieselbe Kraft. Die Drehmomente der zwei
Achsen sind nicht gleich.
9 cm
18 cm
Kraft auf das Pedal
Jedes Getriebe und jeder Kettenantrieb ist ein Momentenwandler, weil feste Kräfte von einer Achse auf
die andere übertragen werden und dabei verschiedene Radien (oder Hebellängen) im Spiel sind.
4
BMS Physik
Theorie
Statik
2.2 Drehmoment: Verallgemeinerung
Kräfte, welche nicht rechtwinklig zum Hebel stehen, erzeugen ebenfalls
Drehmomente.
Die Kraft F wirkt unter dem Winkel α auf einen Hebel r.
Wir wählen das Koordinatensystem so, dass die x-Achse mit dem Hebelarm
zusammenfällt.
Die Komponenten Fx bewirkt eine Belastung der Drehachse,
die Komponente Fy bewirkt ein Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn.
Zerlegung:
r
Fx
α
Fy
F
Fy = F ⋅ sin(α )
Ein Drehmoment berechnet sich als Produkt:
Einheit
Winkel α: zwischen Hebelarm r und Kraft F
Vorzeichen und Drehrichtung:
Uhrzeiger (-) oder Gegenuhrzeiger (+)
r
Drehachse
F
Variante
Jede Kraft kann in der Richtung ihrer Wirkungslinie verschoben werden.
Nun verschieben wir so, dass der neue Hebel rechtwinklig zur Kraft steht.
Der wirksame Hebelarm r’ berechnet sich im rechtwinkligen Dreieck als:
r′ = r⋅ sin(α ) Wieder gilt für das Drehmoment: M = F⋅ r⋅ sin(α )
Beispiel Fahrrad
Beim Radfahren kann die Kraft leider nicht immer rechtwinklig
zum Pedal wirken. Wie gross sind die Gegenkraft an der Kette und
mit welcher Kraft wird die Drehachse (Tretlager) belastet?
Radien und Kräfte: Pedal 17 cm, Kettenblatt 8 cm,
Kraft aufs Pedal 50 kg
Drehmoment rechts: 0.17 m⋅ 50 kg⋅ g⋅ sin(65°) ≈ 75.6 Nm
Drehmoment links: 75.6 Nm = 0.08 m⋅ FKette ⋅ sin(90°)
nach der Kettenkraft auflösen: FKette ≈ 945 N
Das runde Kettenblatt hat die wunderbare Eigenschaft, dass der
Winkel zur Kette optimal 90° beträgt.
Hinweis: Zwischen Pedalarm und dem vertikalen Radius ist eine
starre Verbindung. Darum kommt dieser Winkel in der
Rechnung nicht vor!
α
α
r
r’
.
F
r
65°
Drehachse,
Tretlager
Belastung der Drehachse
Für die Belastung des Tretlagers benötigen wir die erste Eigenschaft der Statik:
r
r
r
Die Summe aller angreifenden Kräfte ist null. FKette + FPedal + FTretlager = 0
Wir lösen nach der Kraft im Tretlager auf: :
r
r
r
FTretlager = − FKette + FPedal = −((945 N,∠180°) + (490.5 N,∠ − 90°) ) = (945 N,490.5 N)
(
)
Das Tretlager wird mit über 100 kg belastet!
Gegenkraft
Tretlager
Die dritte Kraft am Lager ist also
r
F3 = (945N; 490.5 N) = (1065N, ∠27°)
Kette
Pedal
02.08.13, dk
5
Statik
2.3
Theorie
BMS Physik
Musterlösung Vordach
Ein Dach wiegt 80 kg bei einer Tiefe von 120 cm.
Das schräge Seil ist bei 90 cm Entfernung von der Wand
am Dach befestigt.
a) Wie stark wird das Seil belastet?
b) Mit welcher Kraft wird die Wand bei A belastet?
25°
A
Lösung
Wir beginnen mit Drehmomenten und erstellen eine Skizze mit
allen Kräften, Drehachse bei A. Wir können annehmen, dass die
gesamte Masse in der Dachmitte konzentriert ist und berechnen das
Drehmoment der Gewichtskraft:
M G = 0.60 m⋅ 80 kg⋅ g ≈ 471 Nm
Das Seil erzeugt ein Drehmoment im Gegenuhrzeigersinn:
M Seil = FSeil ⋅ 0.90 m ⋅ sin(25°)
Seilkraft
A
Gewichtskraft
Im Gleichgewicht müssen die beiden Drehmomente gleich gross
sein. 0.60 m ⋅ 80 kg ⋅ g = FSeil ⋅ 0.90 m ⋅ sin(25°)
Wir lösen nach der Seilkraft auf: 471 Nm ≈ FSeil ⋅ 0.90 m ⋅ sin(25°) ,
Resultat FSeil = 1’238 N
b) Nun kennen wir die Gewichts- und die Seilkraft.
Die dritte Kraft wirkt bei A an der Wand.
Für die grafische Addition verlängern wir die
Wirkungslinie von FG. Der Schnittpunkt P mit dem
Seil muss auf der Wirkungslinie von FA liegen. Mit
den Punkten A und P ist die Wirkungslinie für FA
gegeben (siehe Skizze).
Die rechnerische Lösung folgt aus der
Vektoraddition:
r
r
r
FA = − FG + FSeil =
(
r
r
r
F A + FG + FSeil = 0
)
− [(0;− 785)N + (1238N,∠155°)] ≈ (1122; 262) N
r
Polarform: FA ≈ (1152 N, ∠13.1°)
in
Damit ist die Berechnung abgeschlossen.
Aufgabe: Berechnen Sie den Winkel 13.1° mit Hilfe
der Trigonometrie und den gegebenen Abmessungen.
Kontrolle
In der Statik kann die Drehachse frei gewählt werden. Andernfalls
würde die Wahl der Drehachse festlegen, ob das System im
Gleichgewicht ist oder nicht.
Wir wählen eine neue Drehachse D im Schnittpunkt Seil - Vordach.
Der Schwerpunkt ist nun 30 cm von D entfernt.
13.1°
MG = 0.30 m⋅ 80 kg⋅ g ≈ 235 Nm
MWand = 0.90 m⋅ 1152 N⋅ sin(13.1°) ≈ 235 Nm
Die Drehmomente heben sich auf!
€
Zusammenfassung
Für Körper im statischen Gleichgewicht kann die Drehachse frei gewählt werden.
Durch Gleichsetzen der Drehmomente bestimmen wir eine Kraft.
Im zweiten Schritt wird mit dieser Kraft die Belastung der Drehachse bestimmt.
6
D
BMS Physik
2.4
Theorie
Statik
Der Schwerpunkt (nach wikipedia)
Der Punkt eines Körpers, in dem die gesamte Masse vereinigt gedacht werden kann.
Bei Unterstützung im Schwerpunk bleibt der Körper im Gleichgewicht.
Andere Bezeichnung: Massenmittelpunkt.
Beispiel
Ein dünner, homogener Stab von 100 cm wiegt 1.00 kg.
Er wird 20 cm vom linken Ende gelagert.
Wie gross ist das Drehmoment des Stabes?
zwei Teile
Wir betrachten die zwei Teile links und rechts vom Drehpunkt.
Drehmoment links: 0.10 m⋅ 0.2 kg⋅ g ≈ 0.2 Nm
Drehmoment rechts: 0.40 m⋅ 0.8 kg⋅ g ≈ 3.2 Nm
Die Summe dreht rechts: 3.0 Nm
S
ein Teil
Das geht einfacher, wenn wir uns die gesamte Masse in der
Stabmitte konzentriert denken:
Drehmoment rechts: 0.30 m⋅ 1.0 kg⋅ g ≈ 3.0 Nm
Wir erhalten also dasselbe Resultat. Der Überhang links ist durch den reduzierten Abstand zwischen
Drehpunkt und Gewichtskraft von 30 cm bereits berücksichtigt.
Folgerung
Zur Berechnung der Gewichtskraft, des Drehmomentes oder der
potentiellen Energie dürfen wir den Körper durch einen
Massenpunkt im Schwerpunkt ersetzen.
2.5 Auflagerkräfte
Die Auflager A und B tragen einen 3.0 m langen Balken von
100 kg. Die Last von 1000 kg liegt näher bei B.
Wie gross sind die Kräfte in A und B?
0.2 m
1.4 m
0.5 m
Idee: Weil sich nichts dreht, dürfen wir einen beliebigen
Drehpunkt wählen. Die Drehmomente müssen sich einfach
aufheben.
A
Wir wählen den Punkt A, weil die Kraft FA hier kein
Drehmoment bewirkt. Die Hebellänge ist null!
B
FG
Last
Der Balken kann als Punktmasse in halber Länge angenommen werden.
M1 = 100 kg⋅ g⋅ (1.5 − 0.2) m = 1275 Nm
Drehmoment 1, Balken:
M 2 = 1000 kg⋅ g⋅ 1.4 m = 13.7 kNm
Drehmoment 2, Last:
M1 und M2 drehen im Uhrzeigersinn, Summe 15.0 kNm, die Auflagerkraft FB wirkt entgegen.
M 3 = FB ⋅ (3.0 − 0.7 ) m = M1 + M 2 = 15.0 kNm
Gleichgewicht der Drehmomente:
auflösen nach FB:
FB =
15.0 kNm
= 6′525 N
(3.0 − 0.2 − 0.5) m
Wenn wir annehmen, dass das System nun in B drehen könnte, kann die Kraft FA analog berechnet
werden. Einfacher wird es, wenn wir die Grundbedingung der Statik anwenden:
r
r
r
r
Die Summe aller Kräfte ist gleich null! FA + FB + FG1 + FG 2 = 0
r
FA = (m + M ) ⋅ g − FB = 4′266N
02.08.13, dk
7
Statik
3.
Theorie
BMS Physik
Der Flaschenzug
Wenn sich B um 1 m senkt, wird A nur um die Hälfte
angehoben. Daraus folgt mit dem Energieerhaltungssatz, dass
im Gleichgewicht Körper B nur halb so schwer ist wie A.
Kräfte an
der losen
Rolle
Die Erklärung ist auch mit der losen Rolle links möglich. Die
Seile links und rechts von der Rolle tragen je die halbe Last
von A.
Die feste Rolle rechts bewirkt nur eine Umlenkung der
Kraftrichtung.
Zusammenfassung Flaschenzug
Die festen Rollen lenken die Kräfte nur um. Entscheidend ist
die Anzahl der losen Rollen: jede lose Rolle bewirkt eine
Halbierung der Kraft.
Im Beispiel links hat es zwei lose Rollen,
die sich mit der Last mitbewegen, also
wird die Zugkraft geviertelt.
Falls die Massen der losen Rollen auch berücksichtigt werden, müssen sie zur Last
addiert werden.
Beispiel:
Gewicht der Rollen 0.4 N, Last total 3.0 N,
Zugkraft FZ = 0.75 N
Eine Aufgabe aus
www.leifiphysik.de
Die Abbildung rechts zeigt einen
Eisenbahnkran für schwerste
Lasten.
Sein Haupthubwerk (A) hat eine
Tragfähigkeit von 150 t.
a) Das Hubwerk ist "zwölfsträngig".
Berechne die nötige Zugkraft zum
Heben der Last von 150 t.
b) Für das Seil mit Durchmesser 32mm wird eine "Bruchlast" von 87 t angegeben. Wieso kann trotzdem
eine Last von 150 t an den Kran gehängt werden?
c) Der Kran darf nur dann mit 150 t belastet werden, wenn der Ausleger steil steht. (Die "Ausladung" des
Krans darf nur 8m betragen.) Wird der Ausleger geneigt, sinkt die Tragfähigkeit; bei einer Ausladung
von 16m beträgt sie nur noch 45 t. Welchen Grund hat diese Abnahme der Tragfähigkeit?
8
BMS Physik
5.
Theorie
Statik
Zusammenfassung Statik
Im Wesentlichen gibt es in der Statik drei Arten von Aufgaben:
A
Kräfte addieren
Falls mehrere Kräfte in einem Punkt angreifen, dann muss die
Vektorsumme aller Kräfte null sein.
Beispiel: Seil mit Umlenkrolle.
Die Kräfte F1 und F2 werden zeichnerisch in einen Punkt
verschoben.
Die Beträge von F1 und F2 sind gleich, die Achse wird mit
r
r r
r r
F1 + F2 belastet. Das Achslager muss also mit F3 = − F1 + F2
(
entgegen wirken.
r
r
)
r
Dann gilt: F1 + F2 + F3 = 0
B
Kräfte zerlegen
Eine gegebene Kraft wird durch zwei andere Kräfte gehalten, von denen nur die Richtung bekannt ist.
Vorgehen:
- Kräftedreieck zeichnen, Richtungen
verlängern und parallel verschieben.
- Winkel im Dreieck ermitteln.
β
α
- Berechnung im Kräfte-Dreieck mit dem
Sinussatz.
β
Beispiel: Last an zwei Seilen.
Die Richtung 2 wird verlängert, die
Richtung 1 parallel verschoben.
r
r
r
α
Vektorgleichung: F1 + F2 = FLast
Sinussatz: Die Winkel müssen korrekt
eingetragen werden.
r
r
r
F1
F2
FLast
=
=
sin(90° − β ) sin(90° − α ) sin(β + α )
C
Drehmomente
Wenn die Kräfte nicht an einem Punkt angreifen, entstehen Drehmomente.
Vorgehen:
- eine (beliebige) Drehachse D festlegen.
- Winkel und Hebellängen bestimmen.
- Drehmomente (links- bzw. rechtsdrehend)
gleich setzen.
- Die Kraft bei der Drehachse D mit Vektoraddition berechnen.
Beispiel:
Ein homogener Balken liegt auf und wird einseitig angehoben.
Kräfte und Winkel einzeichnen.
Drehmomentengleichung: FG ⋅ 0.5⋅ l⋅ sin(α ) = F2 ⋅ l⋅ sin(ϕ)
Hinweis: Die Drehachse ist in der Regel nicht kräftefrei.
r
r
D
F2
ϕ
α
FG
r
Es gilt: FG + F2 + FD = 0
Aufgaben mit Auflagern werden ebenfalls mit Drehmomenten gelöst.
Es ist am Einfachsten, wenn die Drehachse in einem Auflagerpunkt gewählt wird.
02.08.13, dk
9
Dynamik
Theorie
BMS Physik
Dynamik
Im Gegensatz zur rein geometrischen Beschreibung der Kinematik
beschäftigen wir uns jetzt mit den physikalischen Ursachen für
Bewegungen, der sogenannten Dynamik. Die Fragestellung lautet
etwa: Wie gross ist die Beschleunigung auf der schiefen Ebene?
Wie verändert sie sich durch den Einfluss der Reibung?
Die neue physikalische Grösse ist die Kraft, daher auch die Bezeichnung „Dynamik“, siehe Kasten.
dynamis = Kraft
[griechisch: δυναµισ]
Auf den Begriffen der Kraft
und der Masse basiert die
gesamte klassische (oder
Newtonsche) Mechanik.
1.1 Wirkung von Kräften
Crashtest “Offroader” und VW Golf
Federung Motorroller
Die Verformung eines Körpers wird auf das Wirken einer Kraft
zurückgeführt.
• Crashtest: die Wagen wirken aufeinander ein.
• Elastische Feder: Abfedern von Unebenheiten.
• Trägheitsgesetz und Gewichtskraft bewirken die Kraft, um das
Fahrzeug und das Federelement zu bewegen.
Kräfte bewirken Verformungen
und / oder Beschleunigungen.
Weiter sind Kräfte Ursachen für beschleunigte Bewegungen. Ein
Wagen wird bei einem Unfall brutal abgebremst.
r
Kräfte werden in der Physik mit F (Force) bezeichnet. Die Kraft
ist, wie die Geschwindigkeit und Beschleunigung, eine vektorielle
Grösse; sie hat also sowohl einen Betrag (Länge des Vektors) wie
auch eine Richtung.
r
r
F
F
Die Kräfte 1 und 2 entsprechen betragsmässig den beiden
Gewichten links und rechts, die Rollen bewirken lediglich eine
r
r
r
Richtungsumlenkung. Die Summe F1 + F2 = F wirkt nach oben
r
und ersetzt die beiden Einzelkräfte. F ist die Diagonale im
r
F
Kräfteparallelogramm. Zur Kompensation muss die Kraft 3
(Federwaage) entgegengesetzt nach unten wirken.
r
r
r r
F3 = − F = −( F1 + F2 ) .
Kräfte müssen immer als
Vektoren addiert werden!
10
02.08.2013, dk
BMS Physik
1.2
Theorie
Dynamik
Das Grundgesetz der Mechanik
Die folgende Abbildung zeigt den Zusammenhang zwischen einer
Kraft und der Veränderung der Bewegung: eine nach rechts
wirkende Kraft ist die Ursache dafür, dass sich die Wagen
beschleunigt bewegen. Beim hinteren Wagen (mit grösserer
Masse) ist eine grössere Kraft notwendig, um ihn gleich stark zu
beschleunigen wie den leichteren Wagen.
Folgende Alltagsbeobachtungen bestätigen den Sachverhalt:
• 2 Personen schieben ein Auto rascher an als nur eine Person,
r
d.h. sie erteilen ihm eine grössere Beschleunigung a .
⇒ Eine grössere Kraft bewirkt an der gleichen Masse eine
grössere Beschleunigung.
• 2 Personen schieben ein leichtes Auto (PW) rascher an als ein
schweres (LKW).
⇒ Bei gleicher Kraft ist die Beschleunigung grösser, je geringer
die zu bewegende Masse ist.
• Um einen LKW gleich stark wie einen PW zu beschleunigen
sind mehr Personen notwendig.
⇒ Eine grössere Masse erfordert für die gleiche
Beschleunigung eine grössere Kraft.
Einheiten: Masse [m ] = kg ,
Beschleunigung [a] = m/s 2
Kraft
[F ] = [m ]⋅ [a] = kg⋅ m/s
Sir Isaac Newton
1643 – 1727
Diese Inhalte lassen auf die
Grundgleichung der Dynamik
schliessen:
Das zweite Newtonsche
Gesetz:
Abkürzung der Krafteinheit
Newton:
oder für die Beschleunigung:
2
Beispiel Fahrrad
Auf horizontaler Fahrbahn bewegt sich ein Fahrrad ohne Antrieb
€ km/h. Wie weit rollt das Rad (Gesamtmasse 90 kg),
mit v0 = 18
wenn der Fahrwiderstand 10 N beträgt?
Wir skizzieren alle Kräfte.
r
r
Vertikal gilt: FN + FG = 0
Horizontal existiert nur der Fahrwiderstand, also ist
r
r
FW = Fres = 10 N
Für den ruhenden Beobachter am Strassenrand gibt es keine
Trägheitskraft in der Geschwindigkeitsrichtung.
Der „Schwung“ ist keine Kraft!
Es braucht jedoch immer Kräfte, um eine bewegtes Fahrzeug
abzubremsen oder zu beschleunigen.
Hier ist es der Fahrwiderstand.
FN
FWiderstand
FG
11
Dynamik
Theorie
Berechnung mit Beträgen: Fres = 10N = m⋅ a
10N
m
≈ 0.111 2 verzögert
s
90kg
∆v
€ ∆t = ∆v = 5m/s = 45 s
aus a =
folgt
a 0.111m/s 2
∆t
Die Strecke ∆s = v ⋅ ∆t = 2.5m/s⋅ 45s = 112.5 m
BMS Physik
Fahrrad:
a=
€
Inhalt des Grundgesetzes:
€
• Die resultierende
Kraft ist proportional zur Beschleunigung und
€zur Masse des Körpers.
• Die Beschleunigung und die resultierende Kraft haben immer
dieselbe Richtung.
In der Praxis rechnen wir oft mit den Beträgen, dann können für
die Berechnung der resultierenden Kraft auch Minuszeichen vorkommen.
Falls die resultierende Kraft null ist, ändert sich die Geschwindigkeit nicht. Das heisst aber nicht, dass die Geschwindigkeit null sein
muss!
Oft ist die Beschleunigung vorgegeben und somit ist die
resultierende Kraft bekannt, damit können dann die restlichen
Kräfte ermittelt werden.
Die resultierende Kraft ist
die Summe aller am Körper
angreifenden Kräfte.
Die Pluszeichen gelten nur,
für die Vektoraddition
und
Seilkraft
Windkraft
Beispiel Segelschiff: mehrere Kräfte
a)
Das Schiff ist angebunden, der Wind füllt das Segel. Die
Windkraft und die Seilkraft sind entgegengesetzt und gleich
gross. Die resultierende Kraft ist null, Beschleunigung und
Geschwindigkeit sind null.
b)
Nun wird die Verbindung gelöst. Der Bootsrumpf teilt das
Wasser, dieser Fahrwiderstand ist am Anfang relativ klein,
sicher aber kleiner als die Windkraft. Darum fährt das Schiff
beschleunigt vor dem Wind. Die resultierende Kraft und die
Beschleunigung zeigen nach rechts.
Betrag: Fres = Windkraft - Fahrwiderstand
c)
Der Fahrwiderstand nimmt zu, die Windkraft am Segel nimmt
ab, weil die Differenz Wind minus Eigengeschwindigkeit
abnimmt. Dann wird sich eine maximale Geschwindigkeit
einstellen. Die resultierende Kraft ist null! Die
Geschwindigkeit bleibt konstant.
d)
Das Segel wird eingerollt, der Wind findet praktisch keine
Angriffsfläche mehr. Der Fahrwiderstand ist nun die einzige
Kraft, also Fres = Fahrwiderstandskraft! Das Boot bremst ab
und kommt allmählich zum Stillstand. Die Geschwindigkeit
zeigt nach rechts und die Beschleunigung nach links, sie sind
also entgegengesetzt.
Hier spricht man im Alltag von einer verzögerten Bewegung.
Fahrwiderstand
Windkraft
Fahrwiderstand
Aufgabe: Zeichnen Sie die Summe der Kräfte mit roter Farbe
ein.
In welche Richtung zeigen die Geschwindigkeit und die Beschleunigung a?
12
02.08.2013, dk
BMS Physik
1.3
Theorie
Dynamik
Masse und Trägheit
Masse und Gewicht sind zwei grundverschiedene physikalische
Grössen. Jeder Körper hat eine gewisse Fähigkeit, dem
Beschleunigt werden Widerstand zu leisten („Trägheit“); diese
Trägheit ist eine Eigenschaft der Masse. Sie ist mit dem Körper
direkt verbunden und unabhängig vom Ort. So bleibt die Masse
eines Körpers auf verschiedenen Planeten unverändert.
r
r
=
m
⋅
a
res
Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz F
r
folgt für Fres = 0 N sofort a = 0 m/s2 (die Masse ist ja nicht null!)
Als Spezialfall ergibt sich somit das erste Newtonsche Gesetz:
Trägheitsgesetz
€ Ein Körper auf den keine Kraft wirkt, bleibt im Zustand der
Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung auf geradliniger
Bahn. Das gilt auch, wenn sich die Kräfte aufheben.
• Beifahrer ohne Sicherung durch Sicherheitsgurte bei einer
Vollbremsung (z.B. auf dem Rücksitz).
• ausrollendes Fahrrad auf Seite 2.
Beispiel Dachgepäckträger: Wenn das Auto bei einem
Frontalaufprall mit 50 km/h in nur 0.1 s auf null abgebremst wird,
wirkt eine Beschleunigung von ca. 140 m/s2.
Der Koffer auf dem Dach muss mit mindestens
F = 20kg⋅ 140m/s2 = 2′800N festgehalten werden.
Die Haltekraft zeigt gegen die Fahrtrichtung, sonst fliegt der
Koffer gemäss Trägheitsgesetz nach vorne.
€
Achtung! Die Physik betrachtet meistens unbeschleunigte Bezugssysteme. Am Beispiel einer Vollbremsung zeigen wir den
Unterschied zur Alltagssprache.
Alltag: beschleunigtes System
Ich sitze im Fahrzeug und werde abgebremst.
Physikalische Beschreibung
Der Beobachter ist am Strassenrand in einem unbeschleunigten
Bezugssystem.
„Äs“ drückt mich nach vorne. Ich spüre die Trägheit, Es gibt nur die Bremskraft, die gegen die Geschwindigkeit zeigt.
welche mich nach vorn drückt. Doch welcher Körper Zur Kraftübertragung braucht es einen stabilen Sitz und die
ist die Ursache für diese Kraft? Der Grund liegt im
Sicherheitsgurten.
Fahrzeug, das sich verzögert bewegt, also unter mir
Das Fahrzeug braucht Bremsen und gute Reifen.
zurück bleibt.
r
v
„Äs = Trägheitskraft“
Rückhaltekraft
Keine resultierende Kraft, darum bleibe ich relativ
zum Bezugssystem (Auto) in Ruhe.
Rückhaltekraft = Fres = m ⋅ a
Für jede Beschleunigung braucht es eine resultierende Kraft!
Merke: Im unbeschleunigten Bezugssystem (Inertialsystem) gibt es nie Trägheitskräfte!
Andere Formulierung im Inertialsystem:
Für jede Kraft gibt es eine physikalische Ursache durch einen anderen Körper!
Schwung und Trägheit sind keine Kräfte.
13
Dynamik
1.4
Theorie
BMS Physik
Gravitation oder Schwerkraft
Das Gewicht (gleichbedeutend mit Gewichtskraft, oder
Schwerkraft) ist die Kraft, welche durch die Anziehung von
Massen entsteht. Wir kennen die Wirkung der enormen Masse
unserer Erde. Auf anderen Himmelskörpern zeigt derselbe
Kraftmesser beim gleichen Körper deutlich verschiedene Werte
an!
Die Masse bleibt unverändert 1 kg.
• Alltagssprache: Die Schokolade wiegt 100g.
• Physikalische Sprechweise: an 100 g Masse wirkt auf der
Erde eine Gewichtskraft von 0.981 Newton.
• Anschauliches Beispiel: Eine 100g−Schokoladentafel wiegt
auf der Erde ca. 1 N
Für uns gilt auf Meereshöhe, ca. 45° nördliche Breite:
Gewichtskraft
FG = m ⋅ g
Verschiedene Gewichtskräfte für
eine Masse von 1 kg.
mit g = 9.81 m/s2
Beispiel Mond:
m = 80 kg Erde: FG = 80 kg⋅ 9.81 m/s 2 ≈ 785 N
Mond: FG = 80 kg⋅ 1.622 m/s 2 ≈ 130 N siehe die Grafik oben
Folgerung: bei unveränderter Sprungkraft können auf dem Mond
grössere Sprünge erzielt werden!
€ Erde keine exakte Kugel ist und weil ein Teil der
Weil die
€ Gravitation für die Rotation aufgewendet wird, ist die
Fallbeschleunigung von der geografischen Breite abhängig.
Werte für die Fallbeschleunigung:
Nordpol: g = 9.832 m/s2,
Äquator: g = 9.7803 m/s2,
Normwert: g = 9.80665 m/s2
Beispiel Aufzug
A
Der Glaslift im Campus wiegt leer ca. 1 Tonne (m1), das
Gegengewicht m2 1.20 Tonnen. Wie gross wäre die Beschleunigung, wenn sich das System reibungsfrei bewegen könnte?
Die Rolle bewirkt lediglich eine Richtungsumkehr der Kräfte.
Wir zeichnen am höchsten Punkt A alle horizontalen Kräfte ein.
Die resultierende Kraft zeigt nach rechts.
FG1
FG2
Betragsgleichung: Fres = FG 2 − FG1 = (m2 − m1 )⋅ g ≈1.96 kN
Das Seil ist ziemlich unelastisch, also werden beide Massen gleich
stark beschleunigt: Fres = ( m2 + m1 ) ⋅ a aufgelöst nach der
a=
Beschleunigung:
€
Fres
m
≈ 0.89 2
(m2 + m1 )
s
Welche Kraft überträgt das Seil?
Skizzieren Sie die Kräfte an der kleineren Masse!
Betragsgleichung: Fres = m1 ⋅ a = FSeil − FG1
€ nach der Seilkraft:
Aufgelöst
FSeil = FG1 + m1 ⋅ a = m1 ⋅ (a + g) ≈ 10.7 kN
14
m2
m1
Idee 1: Gesamtsystem mit (m1 + m2)
rechnen,
Idee 2: Für die Seilkraft einen Körper
separat betrachten:
a muss bekannt sein.
Kontrolle: Zeigen Sie an der
schwereren Masse, dass die
angreifende Seilkraft entgegengesetzt
gleich gross ist.
02.08.2013, dk
BMS Physik
1.5
Theorie
Dynamik
Tipps zum Lösen
Beispiel Ariane IV
Startmasse:
478.4 t
Nutzlast:
4.6 t
Startschub:
5'440 kN
Summe 483 t
Wie gross ist die Beschleunigung am Start?
Merken Sie sich die folgenden Punkte!
• Lageplan zeichnen: alle Kräfte greifen am Schwerpunkt an.
Der Körper wird als Punkt skizziert.
• Welcher andere Körper verursacht die gezeichneten Kräfte?
Kräfte ohne Ursache lassen auf eine Fehlüberlegung schliessen.
„Äs“
Gewicht: Die Erde
Schub: die austretenden Gase
• Wie gross ist die resultierende Kraft?
Summieren Sie alle Kräfte und zeichnen Sie die Summe rot
ein!
• Betragsgleichung der Kräfte:
Schubkraft
Gewicht
Fres = Schub− Gewicht ≈ 700 kN
• Algebraisch nach der gesuchten Grösse auflösen:
a=
€
Fres
≈ 1.45 m/s 2 ⋅
m
Fres = null gilt nur in der Statik!
Beispiel Strassenbahn
€
Eine Strassenbahn verzögert mit 2 m/s2. Wie schräg muss ich
zurück lehnen, damit ich mich ohne Festhalten aufrecht halten
kann?
Wir zeichnen die Gewichtskraft und wissen, dass die resultierende
Kraft gegen die Fahrtrichtung zeigen muss. Zusätzlich muss es eine
Kraft der Unterlage geben, damit die Vektorgleichung
r
r
r
Summe = Fres = FG + FUnterlage erfüllt werden kann.
Fres
FUnterlage
FG
Umstellung nach der Unterlagskraft:
r
r r
r
FUnterlage = ∆F = Fres + − FG
(
α
)
Diese zeigt schräg nach oben und wir erhalten ein Kräfteparallelogramm mit der resultierenden Kraft horizontal entgegen der Bewegungsrichtung, genau so wie die Strassenbahn verzögert.
Die Kraft der Unterlage kann in eine horizontale und in eine
vertikale Komponente zerlegt werden:
FG
r
horizontal:
Reibungskraft = Fres = m ⋅ a
FUnterlage
Nur dank der Reibung kann ich schräg stehen!
Wenn ich auf einem Rollbrett stehe, muss ich mich festhalten!
vertikal:
Normalkraft = Gewichtskraft = m ⋅ g
Winkel:
 m⋅ g 
α = atan
 = 78.5°
 m⋅ a 
Beträge!
Zerlegung:
oder 11.5° Abweichung von der Vertikalen.
€
15
Dynamik
1.6
Theorie
BMS Physik
Die Federkraft
Zwei Schraubenfedern werden nacheinander durch Kräfte
vom Betrag 1N, 2N, 3N usw. gedehnt. Wir messen die
Verlängerungen (= Deformation oder Auslenkung aus
der Ruhelage) und vergleichen Kraft und Verlängerung
miteinander.
Grafische Auswertung:
Jeder Messwert ist mit einem Kreuz eingetragen. Die Messwerte
liegen für beide Federn recht genau auf Geraden durch den
Ursprung. Daraus folgern wir:
Für Federn ist die Kraft proportional zur Verlängerung ∆s
Gesetz von Hooke: ∆F = D ⋅ ∆s
Einheit [D ] = N/m
Robert Hooke, engl. Physiker, 1635 ... 1703
die Grösse „D“ heisst Federkonstante mit der Einheit N/m.
Im Diagramm ist D die Steigung der Geraden.
Grössere Steigung = härtere Feder.
∆s ist die Deformation der Feder (Auslenkung aus der Ruhelage).
Die Federkraft ist der Deformation immer entgegengesetzt
gerichtet und proportional zu ∆s.
F-s Diagramm
4N
≈ 69 N/m ,
5.8 cm
4N
Feder 2: D2 ≈
≈ 114 N/m
3.5 cm
Ablesung Feder 1: D1 ≈
D1
Beispiel mit zwei Federn
Zwei Federn D1 = 100 kN/m, und D2 = 200 kN/m werden untereinander gehängt und mit der Kraft F belastet. Das wird als
Serieschaltung bezeichnet.
Beide Federn „sehen“ dieselbe Gewichtskraft!
Bei einer Belastung mit 10 kN wird die erste Feder mit 10 cm und
die zweite mit 5 cm gedehnt: Das gibt eine Federkonstante von
D2
FG
10 kN
DSerie ≈
≈ 66.6 kN/m
15 cm
DSerie =
FG
D ⋅D
umgeformt: DSerie = 1 2
∆s1 + ∆s 2
D1 + D2
100
90
80
70
D1
60
F (kN)
€
Die Kombination ist weicher als jede einzelne Feder, weil beide
Federn das gesamte Gewicht tragen und beide gedehnt werden.
Wenn wir allgemein mit D1, D2 und F rechnen kann die Formel für
die Federkonstante der Serieschaltung hergeleitet werden:
D2
50
Serie
40
Die Berechnung für parallel belastete Federn ist zu Beginn anders.
Wir rechnen für beide Federn mit derselben Verlängerung ∆s,
damit lassen sich die benötigten Kräfte F1 und F2 berechnen. Dann
folgt die Federkonstante für die Parallelschaltung
Dparallel =
16
F1 + F2 F1 F2
=
+
= D1 + D2
∆s
∆s ∆s
30
20
10
Delta s (m)
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
02.08.2013, dk
BMS Physik
1.7
Theorie
Reibungskräfte
Ohne Reibung hält kein Nagel in der Wand, es gäbe keine Knoten,
wir könnten uns kaum fortbewegen (Glatteis!) usw. Auf die Entstehung der Reibungskräfte gehen wir hier nicht ein. Wer sich für
die Modellvorstellung interessiert, kann auf der folgenden Website
nachlesen: www.leifiphysik.de, Kapitel 9, Reibung
Dynamik
Reibung kann lästig sein –
dazu zählen alle Fahrwiderstände
und
Reibung kann lebensrettend sein –
nämlich dann, wenn die Reifen
greifen beim Bremsen!
Theorie – Gleitreibung
Wenn ein Körper auf einer (rauhen) Unterlage gleitet, wirkt eine
bremsende Kraft, die Gleitreibungskraft FR auf ihn.
Man bestimmt die Gleitreibungskraft, indem man den Körper mit
konstanter Geschwindigkeit über die Unterlage zieht. In diesem
Fall ist der Betrag der Zugkraft gleich dem Betrag der Gleitreibungskraft.
Der Betrag der Gleitreibungskraft FR ist unabhängig von der Geschwindigkeit, wächst aber proportional zur Anpresskraft (meist
Normalkraft genannt) FN. Es gilt:
FR = µ R ⋅ FN
Die Gleitreibungszahl µR ist eine dimensionslose Grösse.
Daten Fundamentum S. 101 oder S. 9
Hinweise:
Bei der Bewegung auf horizontaler Unterlage ist FN gleich der
Gewichtskraft FG. Auf der schiefen Ebene gilt normalerweise:
Normalkraft FN = m ⋅ g ⋅ cos(α ) < FG .
Die Gleitreibungszahl hängt wesentlich von der Art und
Beschaffenheit der reibenden Flächen ab. Durch Schmieren kann
die Gleitreibung deutlich vermindert werden.
Bei nasser Fahrbahn und hohen Geschwindigkeiten kann die
Bremskraft wegen Aquaplaning drastisch reduziert werden!
beschleunigt
v = konstant
ABS-Bremssysteme nutzen die
grössere Haftreibung. Ohne
Blockieren der Räder kann auch bei
einer Vollbremsung gelenkt werden
und der Bremsweg wird meist kürzer!
X
Haften
Körper
ruht
X
setzt sich
gerade in
Bewegung
Theorie - Haften
Wird an einem ruhenden Körper gezogen, so kann es sein, dass er
sich nicht bewegt sondern auf der Unterlage haftet. Die Haftkraft
ist der Zugkraft entgegengerichtet und passt sich ihr in der Größe
an. Erst wenn die Zugkraft die maximale Haftkraft FH überschreitet, setzt sich der Körper in Bewegung. Ähnlich wie beim
Gleiten gilt:
FH ≤ µ H ⋅ FN
Die Haftreibungszahl µH (Haftzahl) ist dimensionslos.
Die Haftreibung ist in der Regel grösser als die Gleitreibung.
µ H ⋅ FN ist die maximal erzielbare Haftreibungskraft.
Ein Rad rollt und wird verformt, das
ergibt den Rollwiderstand.
Die Erfindung des Rades: die Rollreibung
Hinweise:
Gleit- und Rollreibung wirken gegen
die Bewegungsrichtung.
Beim Bremsen wirkt entweder die
Gleit- oder die Haftreibung.
Der Luftwiderstand wirkt zusätzlich.
Bei normaler Fahrt wirkt die
Rollreibung als Widerstand.
Für den Antrieb oder das Bremsen
wird die Haftreibung benötigt, meist
weniger als das mögliche Maximum.
Durch das Abrollen eines Rades kann der Fahrwiderstand um ein
Vielfaches reduziert werden. Die Rollreibung beträgt nur einen
FR = µ R ⋅ FN
Bruchteil der Gleitreibung.
Daten Auto und Eisenbahn siehe nächste Seite.
Beim Abrollen wird der Reifen dauernd verformt, so resultiert die
Rollreibung. Gleichzeitig haftet das Rad rollend auf der Unterlage.
Ein Anteil der Haftreibung dient in der Regel als Antriebskraft.
17
Dynamik
Theorie
BMS Physik
Beispiele Reibung
1. Die bfu (Schweizerische Beratungsstelle für Unfallverhütung)
nennt die folgenden Gleitreibungszahlen:
trockene Strasse µ = 0.80, nasse Strasse µ = 0.60, Eis µ = 0.10
Weil die Haftreibung grösser ist, können ABS Systeme besser
sein.
2. Der Luftwiderstand wächst mit dem Quadrat der
Geschwindigkeit! Luftwiderstand FL:
FL = CW ⋅ A ⋅
ρ
2
⋅ v2
Cw: Luftwiderstandsbeiwert, dimensionslos,
für PW ca. 0.30 – 0.35
Cabrios 0.50 und grösser
A: Stirnfläche in m2, für PW ca. 2.0 m2
ρ: Dichte der Luft, ca. 1.20 kg/m3 bei 20°C
3. Gegenüberstellung Auto und Eisenbahn:
Auto, Fahrrad etc.
Haftreibung µ ≈ 1.0
Gleitreibung µ ≈ 0.80
Rollreibung
µ ≈ 0.013
Fläche PW A ≈ 1.8 − 2.5 m2
Beiwert CW ≈ 0.25 − 0.50
Fahrrad
Eisenbahn
Haftreibung µ ≈ 0.15
Gleitreibung µ ≈ 0.10
Rollreibung
µ ≈ 0.006
Fläche A ≈ 11 − 11.5 m2
Beiwert CW ≈ 1.5 − 2.5
CW ⋅ A ≈ 0.30 − 0.50 m2
€
€
Der Luftwiderstandsbeiwert der Bahn ist hoch, nach
Tagesanzeiger vom 23.6.2010 gibt es die folgenden Anteile:
•
•
•
•
•
Drehgestelle und Räder = 46 Prozent
Oberflächen von Seiten und Dächern = 27 Prozent
Stromabnehmer = 8 Prozent
Front = 4 Prozent
Heck = 5 Prozent
4. Eisenbahn: Lokomotive 80 t, 4 Triebachsen, Wagen 400 t
Welche Reibungszahlen (s. oben) müssen Sie in den folgenden
Situationen einsetzen? Die maximale Antriebskraft beträgt
320 kN.
a) Ausrollen lassen ohne Antriebs- oder Bremskraft. a = ?
b) Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit von 120 km/h.
Antriebskraft = ?
c) Optimale Vollbremsung a = ?
d) Vollbremsung mit blockierten Rädern. a = ?
e) Anfahren mit maximaler Beschleunigung bei v = 60 km/h.
a=?
18
Beispiel Golfklasse bei 90 km/h:
, m = 1300 kg
Luftwiderstand: 225 N
Rollwiderstand: 166 N ca. 42%
Fahrwiderstand: 390 N
Autoantrieb: Auf das Haften
kommt es an! Der Motor bewirkt,
dass die Räder auf die Fahrbahn
eine nach hinten gerichtete Kraft
ausüben (Steinchen werden nach
hinten geschleudert). Aufgrund
des Wechselwirkungsgesetzes
wird das Auto nach vorne
beschleunigt. Die Antriebskraft
kann nie grösser als die
maximale Haftkraft sein.
Eisenbahn
In Schnellzugkombinationen sind
mehrere Achsen angetrieben, beim
ICN 8 von total 20 Achsen. Bisher
hatte nur die Lokomotive angetriebene Achsen.
Für schwere Güterzüge auf Bergstrecken müssen zwei Lokomotiven eingesetzt werden, nur so
kann die nötige Zugkraft
aufgebracht werden.
Für eine Vollbremsung sind alle
Achsen des Zuges gebremst.
02.08.2013, dk
BMS Physik
1.8
Theorie
Dynamik
Die Schiefe Ebene
Auf der schiefen Ebene wird ein Körper
durch die Kraftmesser F1 und FN in
Ruhe gehalten.
Jeder dieser Kräfte wirkt ein Teil der
Gewichtskraft entgegen.
Nach unten wirkt die Hangabtriebskraft
FH. Sie wird hier durch die ziehende
Kraft F1 ausgeglichen.
Senkrecht auf die Unterlage wirkt die
Kraft F2. Ihr wirkt die Kraft der
Unterlage, die Normalkraft FN
entgegen.
Hier ist sie durch die zweite Federwaage ersetzt.
FN
F2
Grundidee
1.
2.
Wir wählen ein Koordinatensystem mit den Achsen parallel
und rechtwinklig zur schiefen
Ebene.
FG
r
r
r
Die Gewichtskraft wird zerlegt: FG = F2 + FH ,
FH = FG ⋅ sin(α ) F2 = FG ⋅ cos(α )
3.
Die rechtwinkligen Kräfte werden untersucht. Sie sind im
Gleichgewicht.
Damit kann die Normalkraft FN bestimmt werden.
4.
Die Kräfte parallel zur Ebene werden skizziert und bestimmt:
Hangabtriebskraft, Reibungskraft, eventuell eine Zugkraft.
5.
Wir bestimmen die resultierende Kraft parallel zur Ebene.
6.
Mit Fres = m ⋅ a kann die Beschleunigung berechnet werden.
r
r
Zeichnen Sie den
Winkel α ein!
Hinweis
Die Normalkraft FN zeigt nach
oben, also von der Eben weg!
Begründung: rechtwinklig zur
Ebene müssen sich die Kräfte
aufheben.
In Büchern ist FN aber oft nach
unten gezeichnet.
Ski fahren
Max (mit Ausrüstung m = 80kg) fährt Ski auf einem Hang
mit 30° Neigung. Die Reibungszahl beträgt µ = 0.05.
Wie gross ist die Beschleunigung?
1. Kräfte skizzieren siehe rechts
r
r
FR
FN
r
2.
Kräfte zerlegen: FG = F2 + FH
FH = m⋅ g⋅ sin(30°) ≈ 392N ,
3.
Die Kräfte rechtwinklig zur Ebene sind im
Gleichgewicht. FN = F2 ≈ 680N Betrag!
Kräfte parallel zur Ebene:
Hangabtriebskraft FH = 392 N,
Reibungskraft nach oben:
F2 = m⋅ g⋅ cos(30°) ≈ 680N
€
€
4.
FH
FR =€µ⋅ FN = 0.05⋅ 680N ≈ 34N
5.
Resultierende Kraft parallel zur Ebene: Betrag! Fres = FH − FR = m ⋅ g ⋅ (sin(α ) − µ ⋅ cos(α ) ) ,
Fres ≈ 358N
6.
2
Beschleunigung a = Fres / m ≈ 4.48 m/s
ohne Reibung wäre a = 4.905 m/s2 also 0.5 ⋅ g
€
€
€
19
Dynamik
2.
Theorie
Aktion und Reaktion
Die rechnerische Anwendung ist selten und gedanklich
anspruchsvoll!
BMS Physik
Wechselwirkungsgesetz
drittes Newtonsches Gesetz
Actio = Reactio
Beispiel Lieferwagen:
Ein Lieferawgen muss mit der unbefestigten Last eine Vollbremsung machen. Natürlich gleitet die Last nach vorne und knallt
in die Kabinenrückwand.
Lieferwagen 1.8 Tonnen, Last 1.0 Tonnen
Reibungszahl zwischen Last und Ladefläche:
µ = 0.30, Verzögerung Lieferwagen: a = 8.0 m/s2
Abstand l
Welche Kräfte wirken auf die Last?
Welche Kräfte wirken auf den Lieferwagen?
Wie gross muss die Reibungszahl Pneu - Strasse mindestens sein?
Normalkraft
Ladung:
Die maximale Bremskraft für die Ladung beträgt wegen der
Reibung
FReibung = 1000 kg⋅ g⋅ 0.30 = 2.94 kN
Die Reibungskraft zeigt gegen die Bewegungsrichtung, also nach
hinten! Skizze aller Kräfte (siehe rechts)
Fres = FRe ibung = m⋅ a = 2.94 kN a = µ⋅ g = 2.94 m/s2
Lieferwagen:
Gewichtskraft FG = 27.5 kN, Normalkraft FN = 27.5 kN
Auf den Lieferwagen wirkt die Gegenkraft oder Reaktion zur
Bremskraft der Ladung von 2.94 kN in der Fahrtrichtung.
Weil die Beschleunigung bekannt ist, kennen wir die resultierende
Kraft. Fres = m⋅ a = 1'800 kg⋅ 8m/s 2 = 14.4 kN
Hier zählt nur die Masse des Lieferwagens, die Wirkung der Last
wird über die Reaktionskraft eingerechnet.
Die Bremskraft wirkt wie die Resultierende nach links und ermöglicht die Verzögerung.
r
r
r
Vektorgleichung horizontal: Fres = FBrems + Reaktion
Betragsgleichung: FBrems = Reaktion+ Fres =17.3kN
Die Bremskraft ist grösser als Fres weil die Ladung auch verzögert
werden muss.
Bremskraft: FBrems = µ ⋅ FN = µ ⋅ (m1 + m 2 ) ⋅ g
17.3kN = µ⋅ 27.5kN
Mindestwert der Reibungszahl:: µ = 0.63
Bemerkung: Weil die Ladung gleitet und weniger stark verzögert
wird als das Fahrzeug ist die benötigte Reibungszahl kleiner als
µ=
8.0 m/s2
= 0.815 (erste Näherung).
g
Zusatzfrage:
Nach welcher Zeit knallt die Last in die Kabinenrückwand?
Daten siehe rechts.
Hier müssen zwei beschleunigte Bewegungen mit derselben
Anfangsgeschwindigkeit verglichen werden.
20
v
a
Ladung
Reibung
Gewicht
Normalkraft
Lieferwagen
Fres
FBrems
Reaktion die
Ladung wirkt auf
den LW
Gewicht
LW
Das Reaktionsprinzip
Kräfte treten immer paarweise
auf.
Sie sind gleich gross, aber
entgegengesetzt gerichtet.
Sie greifen an verschiedenen
Körpern an.
Anfangsgeschwindigkeit
50 km/h, Abstand l = 1.5 m
02.08.2013, dk
BMS Physik
Theorie
Dynamik
Lösungen zu Seite 18
5.
Eisenbahn: Lokomotive 80 t, 4 Triebachsen, Wagen 400 t
Welche Reibungszahlen (0.15, 0.10 oder 0.006) müssen eingesetzt werden?
Wie kann die Antriebskraft von max. 320 kN auf die Schiene übertragen werden?
Die zugehörige Haftreibungszahl lässt sich ermitteln: µ0 = 320 kN / (80 t ⋅ g) ≈ 0.40
Sie ist deutlich grösser als die Haftreibungszahl zwischen Stahl und Stahl, weil Sie mit speziellen
Legierungen und Tricks (Sand streuen) vergrössert werden kann.
a) Ausrollen lassen ohne Antriebs- oder Bremskraft.
a=?
€
Ohne Luftwiderstand wirkt nur die Rollreibungszahl von 0.006:
a=
0.006⋅ 480 t⋅ g
= 0.006⋅ g ≈ 0.059 m/s2
480 t
b) Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit von z.B. 120 km/h. FRollreibung = 0.006⋅ 480 t⋅ g ≈ 28.3 kN
3
€
2
Luftwiderstand: FLW = 0.60 kg/m ⋅ 11.5 m ⋅ 2.0⋅ (33.3 m/s) ≈ 15.3 kN
Die Antriebskraft und die Fahrwiderstand heben sich auf: Fres = FAntrieb − FWiderstand = 0
2
€ Kraft auf die Schiene zu übertragen, braucht es
FAntrieb = (28.3 + 15.3) kN ≈ 43.6 kN . Um diese
die Haftreibung zwischen Schiene und Rad. Hier beträgt die benötigte Reibungszahl
€
€
43.6 kN
µ=
≈ 0.056, also nur einen Bruchteil€des verfügbaren Maximums von 0.15 oder 0.40.
80 t⋅ g
c) Optimale Vollbremsung: Dazu würde ein ABS Bremsystem benötigt!
Hier ist es vorsichtig, nur mit der Haftreibungszahl von 0.15 zu rechnen (ohne Rollreibung):
€
a=
0.15⋅ 480t ⋅ g
= 0.15⋅ g ≈ 1.47 m/s2
480t
Beim Auto werden 8 – 10 m/s2 erreicht!
d) Vollbremsung mit blockierten Rädern. Hier wirkt nur die Gletreibungszahl von 0.10. Der Anteil
Luftwiderstand könnte allenfalls eingerechnet werden, der ändert sich aber mit abnehmender
€
2
Geschwindigkeit andauernd. a = 0.10⋅ g ≈ 0.98 m/s
Als Folge benötigt ein ICE mit 160 km/h eine Bremsstrecke von 1007 m bis zum Stillstand.
Mit Einrechnung des Reaktionsweges von 44 m ergibt das Total 1050 m!
e) Anfahren mit maximaler Beschleunigung. Hier können wir mit der maximalen Antriebskraft von
€
320 kN rechnen, in der Gegenrichtung wirkt die Rollreibung von 0.006. Zu Beginn ist der
Luftwiderstand noch klein, 3.8 kN bei 60 km/h (siehe b).
Beträge! Fres = FAntrieb − FWiderstand = 320 kN − 0.006⋅ 480 t⋅ g − 3.8 kN ≈ 288 kN
a = Fres / 480 t ≈ 0.599 m/s2
Rechnen wir für den Antrieb mit der Haftreibungszahl von nur 0.15, reduziert sich die
€Antriebskraft: Fres = (0.15⋅ 80 t − 32.1 kN )⋅ g ≈ 85.6 kN Achtung: Verschiedene Massen!
€
a = Fres / 480 t ≈ 0.178 m/s2
€
Kräfte am Auto:
€
Luftwiderstand plus
Rollreibung
Die Antriebskraft kann mit der
Haftreibung übertragen werden. Die
Haftreibungszahl begrenzt die
Antriebskraft.
Summe
21