Musterlösung 5 - D-MATH

D-ITET
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Prof. A.-S. Sznitman
FS 2016
Musterlösung 5
1. X ist binomialverteilt mit Länge n = 2 und Erfolgsparameter p = 1/2 (kurzschreibweise: X ∼ Bin(2,1/2)), d.h.
P [X = 0] = 1/4,
P [X = 1] = 1/2 und P [X = 2] = 1/4.
Y ist Bernoulliverteilt mit Erfolgsparameter p = 1/2 (Y ∼ Bernoulli(1/2), was
das gleiche bedeutet wie Y ∼ Bin(1,1/2)), d.h.
P [Y = 0] = 1/2 und P [Y = 1] = 1/2.
Die Zufallsvariable X + Y gibt an, wie oft in den drei Würfen Kopf oben liegt.
Demnach ist X + Y ∼ Bin(3,1/2).
Die Verteilung von Z := X − Y ist gegeben durch
P [Z = −1] = 1/8,
P [Z = 0] = 3/8,
P [Z = 1] = 3/8 und P [Z = 2] = 1/8.
Dies kann man sich leicht ausrechnen, z.B. ist
P [Z = 1] = P [X = 1, Y = 0] + P [X = 2, Y = 1]
= P [X = 1] · P [Y = 0] + P [X = 2] · P [Y = 1] = 1/4 + 1/8,
oder folgendermassen überlegen: Die Zufallsvariable Z + 1 = X + (1 − Y ) zählt,
wie oft zusammen in den ersten beiden Würfen Kopf und im letzten Wurf Zahl
oben liegt. Folglich ist Z + 1 ∼ Bin(3,1/2), woraus sich obige Werte ergeben.
2. a) X ist binomialverteilt mit Parametern n = 1024 und p = 10−3 , d.h.
1024
P [X = k] =
0.001k 0.9991024−k für k = 0, . . . , 1024.
k
b) Da n = 1024 relativ gross und p = 10−3 relativ klein ist, ist X approximativ
Poisson-verteilt mit Parameter λ = np = 1024 · 0.001 = 1.024, d.h.
λk
P [X = k] ≈ exp(−λ) .
k!
Bitte wenden!
Diese Nährung hat den Vorteil, dass sie sich, besonders für grosses k, leichter
berechnen lässt als der exakte Wert. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
Codewort richtig dekodiert wird, ist somit
P [X ≤ 3] =
3
X
P [X = k] ≈ exp(−λ) 1 + λ +
k=0
λ2 λ3 +
= 0.97950487 . . .
2
6
c) Die Anzahl Y falsch dekodierter Wörter ist (mit der in Aufgabe b) vorgenommenen Nährungen) Bin(10, 1 − 0.9795) verteilt. Also ist die gesuchte
Wahrscheinlichkeit gleich
10
P [Y ≥ 1] = 1 − P [Y = 0] ≈ 1 −
0.02050 0.979510 = 0.187 . . .
0
3. a)
E[M ] =
3
X
kP [M = k] = 0 + 1 · 3 ·
k=0
=
4·3·6
4·3·2
4·6·5
+2·3
+3
10 · 9 · 8
10 · 9 · 8
10 · 9 · 8
1 3
1
6
+ +
= .
2 5 10
5
b)
P [genau zwei aufeinander folgende Personen wählen Typ A] = 2 ·
P [M = 2] = 3 ·
4 3 6
1
· · =
10 9 8
5
3
6 4 3
· · =
10 9 8
10
c)
E[Anzahl Abstürze] = E[Anzahl Abstürze auf A] + E[Anzahl Abstürze auf B]
1
1
= E[Anzahl Personen auf A] + E[Anzahl Personen auf B]
2
3
1
1
= E[Anzahl Personen auf A] + (3 − E[Anzahl Personen auf A])
2
3
1
6
a)
= 1 + E[Anzahl Personen auf A] =
6
5
4. Für beliebige Ereignisse A1 , . . . , An gilt:
1{A1 ∪...∪An } = 1 − 1{A1 ∪...∪An }c = 1 − 1{Ac1 ∩...∩Acn }
n
Y
= 1−
1Aci = 1 − Πni=1 (1 − 1Ai ).
i=1
Siehe nächstes Blatt!
Wir multiplizieren nun das Produkt auf der rechten Seite aus in eine Summe.
Bemerke, dass wir genau einen Summanden gleich 1 haben. Zudem haben wir n
Summanden der Form 1Ai für i = 1, . . . , n. Weiter haben wir Summanden der
Form 1Ai 1Ai0 für alle 1 ≤ i < i0 ≤ n, usw. Unter Berücksichtigung der Vorzeichen
erhalten wir schliesslich
1{A1 ∪...∪An } = 1 − Πni=1 (1 − 1Ai )
n
X
= 1− 1+
(−1)k
=
(−1)k+1
k=1
1Ai1 · . . . · 1Aik
1≤i1 <...<ik ≤n
k=1
n
X
!
X
X
1Ai1 · . . . · 1Aik .
1≤i1 <...<ik ≤n
Nehme Erwartungswert auf beiden Seiten:
E[1{A1 ∪...∪An } ] = P [A1 ∪ . . . ∪ An ]
= 1 − E[Πni=1 (1 − 1Ai )]
n
X
X
=
(−1)k+1
E[1Ai1 · . . . · 1Aik ]
=
k=1
n
X
k=1
1≤i1 <...<ik ≤n
(−1)k+1
X
1≤i1 <...<ik ≤n
P [Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ]
(1)