Offene Systeme
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Offene Systeme - Aufgaben Offene Systeme Fallende Kugel 3 Eine Bleikugel (Durchmesser 10 cm, Dichte 11.34 kg/dm ) fällt aus grosser Höhe in Luft (Dichte 1.2 3 kg/m ). 1. Welche Geschwindigkeit wird die Kugel erreichen? 2. Wie gross ist die Beschleunigung der Kugel, wenn sie die Hälfte der Endgeschwindigkeit erreicht hat? 3 3. Welchen Durchmesser müsste eine Holzkugel (Dichte 0.756 kg/dm ) aufweisen, damit sie die gleiche Endgeschwindigkeit wie die Bleikugel erreichen könnte? Hinweis: Eine Kugel hat einen Widerstandsbeiwert von 0.4. Sprung aus Flugzeug Bei einem Fallschirmspringer (Masse 70 kg), der schon längere Zeit mit ungeöffnetem Schirm gefallen 3 ist, wird bei einer Luftdichte von 1 kg/m eine konstante Fallgeschwindigkeit von 216 km/h gemessen. 1. Wie gross ist die wirksame Querschnittfläche (Widerstandsbeiwert mal Querschnitt) bei diesem Springer? 2. Wie tief muss der Springer etwa gefallen sein, bis er die Endgeschwindigkeit erreicht hat? 3. Wie lang dürfte diese Flugphase etwa dauern? Hinweis: Erste Hinweise auf diese Fragen liefert das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Mit einem SDModell, das in wenigen Minuten erstellt werden kann, lassen sich die zwei letzten Fragen recht genau beantworten. Gleitflug 23. Juli 1983 ging einer Boeing 767-200 der Air Canada (Flug 143 von Montreal nach Edmonton) während des Fluges auf halbem Weg in einer Höhe von 40.000 Fuss der Treibstoff aus. Anfangs hoffte man noch bis Winnipeg gleiten zu können, was sich dann als nicht machbar erwies. Den Piloten gelang eine sichere Notlandung im Gleitflug auf dem Gimli Industrial Park Airport. Die Ursache für den Treibstoffmangel war eine falsche Umrechnung der Treibstoffmenge von Liter in Pfund. Alle 69 Passagiere und Besatzungsmitglieder haben diesen Notfall unverletzt überlebt. Die 132 Tonnen schwere Boeing 767 verlor in den ersten 2.5 Minuten (150 s) auf 10 Meilen (18.52 km) Horizontaldistanz bereits 5.000 ft (1524 m) Höhe, was eine Gleitzahl von annähernd 1:12 (0.0822) ergibt. 1. Mit welcher Kraft hat die umgebende Luft während der ersten Phase des gleichförmigen Gleitfluges auf das Flugzeug eingewirkt? 2. Wie gross sind bei diesem Gleitflug der Luftwiderstand und der dynamische Auftrieb gewesen? 3. Welche Leistung ist in dieser Phase vom Flugzeug dissipiert worden? 4. Woher hat das Flugzeug diese Energie bezogen? Steigflug Ein Flugzeug (Masse 12 t) steigt mit einer Geschwindigkeit von 324 km/h und einer Rate von 10 m/s auf. 1. Ist beim gleichförmigen Steigflug die Auftriebskraft grösser, kleiner oder gleich der Gewichtskraft? 2. Wie gross ist der dynamische Auftrieb unter den gegebenen Bedingungen? 3. Die Schubkraft beträgt 25% der Gewichtskraft. Wie gross ist der Luftwiderstand? 1 Offene Systeme - Aufgaben 3 4. Die Luft hat bei gegebener Temperatur und gegebenem Druck eine Dichte von 1.1 kg/m . Wie gross muss die Tragfläche bei einem Auftriebsbeiwert von 1.1 sein? 5. Wie gross ist der Widerstandsbeiwert? Bei dieser Aufgabe wird angenommen, dass die Anströmung parallel zur Achse des Flugzeuges erfolgt, dass Schubkraft und Luftwiderstand kollinear sind. Energieumsatz bei Rohrleitung In einer bestimmten Stelle einer Wasserleitung (Durchmesser 70 mm) beträgt der Druck 2.5 bar bei einer mittleren Strömungsgeschwindigkeit von 1.5 m/s. Zwei Meter tiefer fliesst das Wasser in einer grösseren Leitung (Durchmesser 250 mm) bei einem Druck von 2.2 bar wieder zurück. Wie viel Energie setzt das Wasser zwischen den zwei Querschnittflächen pro Sekunde um? Lösungshinweis: Das Wasser führt drei Energieströme (Gravitationsenergie, Bewegungsenergie und Druckenergie). Die Differenz des totalen Energiestromes zwischen Vor- und Rücklauf ergibt die gesuchte Prozessleistung. Jet d´Eau Der Jet d'Eau (franz.= Wasserstrahl) ist ein bis zu 140 Meter hoher Springbrunnen und das Wahrzeichen der Stadt Genf. Ursprünglich war die Fontäne nur wenige Meter hoch und diente als Überdruckventil für die 1885 erbaute Druckwasserleitung der Genfer Juweliere, die damit ihre Maschinen betrieben. Durch die Fontäne wurden unerwünschte Druckspitzen bei Arbeitsunterbrechungen aufgefangen. 1891 beschloss die Stadt Genf, den Wasserdruck zu erhöhen und die Fontäne zu beleuchten. Mit zwei Pumpaggregaten werden seitdem 500 Liter Wasser pro Sekunde ausgestossen. 1. Mit welcher Geschwindigkeit strömt das Wasser durch die Düse des Springbrunnens (der Luftwiderstand ist zu vernachlässigen)? 2. Welchen Durchmesser weist die Düse auf? 3. Wie viel Wasser enthält der Wasserstrahl (Minimalwert abschätzen)? 4. Welche minimale Leistung müssen die beiden Pumpaggregate gemeinsam an das Wasser abgeben? Staurohr Ein Pilot bekommt über seinen Fahrtmesser die indicated air speed (IAS) angezeigt. Diese wird mit Hilfe eines Staurohres bestimmt. 1. Wie wird diese "Geschwindigkeit" ermittelt? 2. Welche Annahmen müssen zutreffen, damit die Formel, mit der die angezeigte Geschwindigkeit gegen Luft berechnet wird, auch korrekt ist? 3. Wieso liefert die indicated air speed wichtige Hinweise auf die Flugeigenschaften. Venturirohr Das Venturirohr kommt bei langsameren Flugzeugen zum Einsatz, um die Geschwindigkeit des Flugzeuges gegen die umgebende Luft zu bestimmen. Der Unterdruck im Venturirohr kann betragsmässig bis zu dreimal grösser als der Überdruck bei einem Staurohr gemacht werden (bei gleicher Anströmgeschwindigkeit). 1. Wie gross ist der Überdruck bei einem Staurohr, wenn sich das Flugzeug mit einer 3 Geschwindigkeit von 180 km/h gegen die Luft (Dichte 1.2, kg/m ) bewegt? 2. Um welchen Prozentsatz muss sich der Querschnitt bei einem Venturirohr verengen, damit der Unterdruck gleich gross wie der Überdruck bei einem Staurohr ist? 2 Offene Systeme - Aufgaben Wanne mit Abfluss Im Boden einer grossen, flachen Wanne ist ein vertikales, drei Meter langes Abflussrohr mit einem Durchmesser von 5 cm angebracht, das sich zuunterst auf 3 cm verjüngt. Die Wanne ist im Moment ein Meter hoch mit Wasser gefüllt. Der Luftdruck beträgt 920 mbar. 1. Wie stark ist der abfliessende Volumenstrom, wenn jeglich Rohrreibung vernachlässigt werden kann? 2. Wie gross ist der Absolutdruck im fliessenden Wasser zwei Meter oberhalb der Ausflussöffnung, d.h ein Meter unterhalb des Wannenbodens? Lösungshinweis: • • Die Energiebilanz (Ausflussgesetz von Torricelli) und die Kontinuitätsgleichung für das Volumen liefern die gesuchte Stromstärke. Indem man das Gesetz von Bernoulli auf einen dritten Punkt (im Rohr zwei Meter oberhalb der Ausflussöffnung) anwendet, erhält man den gesuchten Druck. Wasseruhr Das Bedürfnis, die Zeit auch bei bedecktem Himmel oder nachts zu erfahren, war die eigentliche Triebkraft zur Erfindung künstlicher Uhren. Wasseruhren sind uns aus dem Jahr 3000 v.Chr. (Ägypten) sowie 600 v.Chr. (Babylon) bekannt. Die Wasseruhr, von den Griechen "Klepsydra" (Wasserdieb) genannt, gab es nicht nur als Auslaufuhr, sondern auch als Einlaufuhr. Die älteste uns erhaltene Wasseruhr stammt aus dem 15. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung. Die Uhr bestand aus einem konischen Gefäß mit Marken an der Innenseite und einer Öffnungen dicht über dem Boden. Die Auslaufuhr wurde mit Wasser gefüllt; die Markierungen erlaubten am Absinken des Wasserspiegels die seit dem Einfüllen verstrichene Zeit festzustellen. Eine Auslaufwasseruhr des ägyptischen Königs Amenophis III. aus der Zeit um 1400 v.Chr hat die Form eines stumpfen Kegels, wobei der obere Durchmesser des Gefäßes doppelt so groß war wie der untere. Diese Form soll bewirken, dass der Wasserspiegel gleichmässig absinkt. Die im Inneren an der Gefäßwand angebrachten Stundenmarken haben daher gleichen Abstand. Ein gleichmäßiges Absinken des Wasserspiegels konnte mit dieser Uhr nur unvollkommen erreicht werden, die Uhr geht am Ende ihrer Laufzeit erheblich nach. Um eine ideale Wasseruhr zu bauen, muss man den Radius des Wasserbehälters mit der Höhe so erweitern, dass die Höhenänderungsrate oder Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels konstant bleibt. Bezeichnet man die gegebene Absinkgeschwindigkeit mit c, so gilt die Kontinuitätsgleichung für das Gebiet zwischen Wasserspiegel (aktueller Radius r) und Ausflussloch (Radisu r0) 3 Offene Systeme - Aufgaben Die Geschwindigkeit v berechnet sich nach dem Ausflussgesetz von Torricelli Löst man nun die Kontinuitätsgleichung nach der Höhe auf, erhält man Baut man eine Wasseruhr nach dieser Formel, geht sie im letzten Bereich etwas vor. Der Grund dafür liegt bei der Formulierung des Ausflussgesetzes, denn die Formel von Torricelli vernachlässigt die Geschwindigkeit des Wasserspiegels. Um diesen Fehler zu beheben, ziehen wir die vollständige Energiebilanz nach dem Gesetz von Bernoulli bei Wasserspiegel: Ausfluss: Setzt man die beiden Bernoulli-Terme gleich und löst nach v auf, erhält man eine gegenüber Torricelli erweiterte Formel für den Ausfluss Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung und nach h aufgelöst ergibt Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante Torricelli. tiefer als bei der Lösung mit der vereinfachten Formel von [bearbeiten] Aufgabenstellung Eine Wasseruhr soll 24 Stunden laufen, bis sie leer ist. Die Ausflussöffnung, die sich auf der Symmetrieachse des Gefässes befindet, hat einen Durchmesser von 5 mm (Radius 2.5 mm). Anfänglich liegt der Wasserspiegel 864 mm über der Abflussöffnung. 1. Welchen Durchmesser weist der Wasserspiegel zu Beginn der Zeitmessung auf? 2. Wie gross ist der Durchmesser bei einem Füllstand von 432 mm (12 Uhr)? 3. Wie viel Wasser muss für einen vollen Tag eingefüllt werden? Impulstransport im Rohr In einem sich Rohr, das sich von 35 mm auf 25 mm verjüngt, strömt eine Flüssigkeit (Dichte 0.85 kg/Liter) mit einer Volumenstromstärke von 2 Liter/s in x-Richtung. Bei der ersten Querschnittsfläche herrsche ein Absolutdruck von 15 kPa. 1. 2. 3. 4. Wie gross sind die Strömungsgeschwindigkeiten bei den beiden Querschnittsflächen? Wie gross ist der Druck bei der zweiten Fläche? Wie viel x-Impuls wird gesamthaft durch die beiden Querschnittsflächen transportiert? Wo geht der fehlende Impuls durch? 4 Offene Systeme - Aufgaben Lösungshinweis: Der Druck bei der zweiten Fläche berechnet sich aus der Energiebilanz (Bernoulli). Der Impuls wird leitungsartig und konvektiv durch den offenen Querschnitt transportiert. Kraft auf Rohr Aus einem um 180° gebogenen Rohrstück (Durchmesser am Anfang des Rohrstückes 10 cm) ergiesst sich ein 5 cm dicker Wasserstrahl mit einer Austrittsgeschwindigkeit von 10 m/s ins Freie. 1. Wie gross ist der Überdruck bei der Eintrittsstelle zu diesem Rohrstück? 2. Mit welcher Kraft muss das Rohr fesgehalten werden? Lösungshinweis: Die Energiebilanz (Bernoulli) liefert zusammen mit der Volumenbilanz (Kontinuitätsgleichung) den Überdruck bei der Eintrittsfläche. Die Kraft ergibt sich aus der Impulsbilanz. Abfüllwaage Aus einer grossen, flachen Wanne, die ein Meter hoch mit Wasser gefüllt ist, ergiesst sich durch ein Loch im Boden ein Wasserstrahl in ein Becherglas (Innendurchmesser 10 cm, Masse 2 kg), das auf einer Waage steht. Der Strahl hat einen Durchmesser von 2 cm (direkt beim Ausfluss gemessen) und der Wasserspiegel des Becherglases liege im Moment vierzig Zentimeter unterhalb des Wannenbodens. 1. Was zeigt die Waage bei einem Füllstand von 20 cm an? 2. Der Boden des Becherglases weise ein Loch auf, das genau so gross ist, dass der Wasserspiegel im Becherglas weder steigt noch fällt. Mit welcher Kraft muss nun das Becherglas festgehalten werden? Lösungshinweis: Ausflussgeschwindigkeit kann mit Hilfe der Energiebilanz (Torricelli) berechnet werden. Kräfte sind Teil der Impulsbilanz. Güterwagen beladen Ein Güterwagen (Masse 15 t) wird in zwölf Sekunden mit 24 Tonnen Schüttgut beladen. Das Schüttgut, das aus einem Silo senkrecht nach unten fällt, trifft mit einer mittleren Geschwindigkeit von 10 m/s auf der Ladefläche des Güterwagens auf. Die an den Rädern wirkende Reibkraft macht 4% der Normalkraft aus. Wie stark muss am Wagen gezogen werden, damit dieser mit einer Geschwindigkeit von einem Meter pro Sekunde unter dem Silo durchfährt? Geben Sie den Verlauf der Kraft für die ganzen zwölf Sekunden an. Lösungshinweis: Impulsbilanz für die vertikale und horizontale Richtung aufstellen. Rakete im Gravitationsfeld Eine Rakete (momentane Masse 25 Tonnen) bewegt sich mit 5 km/s radial von der Erde weg. Die Gravitationsfeldstärke beträgt am Ort der Rakete 9 N/kg. Die Gase strömen mit einer Massenstromstärke von 200 kg/s und einer Geschwindigkeit von 3700 m/s zum Triebwerk hinaus. 1. 2. 3. 4. Formulieren Sie die Impuls- und die Massenbilanz bezüglich des Systems Rakete. Berechnen Sie die momentane Impulsänderungsrate der Rakete. Wie gross ist die Beschleunigung der Rakete? Wieso ist die Beschleunigung positiv, obwohl der Impulsinhalt abnimmt? 5 Offene Systeme - Aufgaben Lösungshinweis: Die Rakete tauscht mit dem Gravitationsfeld und über das ausströmende Gas Impuls aus. Die Stärke des konvektiven Impulsstromes ist gleich Geschwindigkeit des Gases bezüglich des Beobachters mal Massenstromstärke. Mantelstromtriebwerk 3 Ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 900 km/h durch die Luft (Dichte 0.85 kg/m ). Der Eintrittsdurchmesser des Zweistrom-Strahltriebwerkes (Turbofan) beträgt 2 m und für das Massenverhältnis der Mantel- zur Düsenströmung ist gleich 4:1. Die Austrittsgeschwindigkeit der Mantelströmung liegt 25% höher als die Anströmgeschwindigkeit, die Austrittsgeschwindigkeit der heissen Gase an der Düse ist doppelt so gross wie die Anströmgeschwindigkeit. Wie gross ist die Schubkraft des Triebwerkes? Lösungshinweis: Die resultierende Druckkraft auf das Triebwerk ist nicht zu berücksichtigen. Hubschrauber auf Waage Ein Modell-Hubschrauber (Masse 500 g), der sich in einem luftdichten Glaskasten befindet, hebt vom Boden ab, fliegt hoch, bleibt einen Moment in der Luft schweben und landet dann wieder. Der Glaskasten steht auf einer Waage mit elektronischer Anzeige. Die Waage ist so skaliert, dass sie das Gewicht des Glaskastens nicht anzeigt (wie die Waage in der Mensa, die nur das Gewicht des Salates ohne Teller misst)? 1. Was zeigt die Waage in den verschiedenen Flugphasen an? Argumentieren Sie mit mehr, gleich oder weniger als das Gewicht des Hubschraubers. 2. Untenstehend das hypothetische Höhen-ZeitDiagramm des Hubschrauberfluges (weil in bodennähe ein Hubschrauber infolge des Abwindes Probleme mit der Stabilität hat, ist ein dermassen ruhiges Abheben kaum möglich). Was zeigt die Waage zu den Zeitpunkten 0.1 s, 0.5 s, 1 s, 1.5 s und 1.9 s an? 6 Offene Systeme - Aufgaben Lösungen Offene Systeme Fallende Kugel Der statische Auftrieb wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist. 1. Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, falls der Impuls der Kugel nicht mehr zunimmt, falls der gravitativ zufliessende Impuls vollständig an die Luft abgeleitet wird. Dann halten die Gewichtskraft und der Strömungswiderstand die Kugel im Gleichgewicht . Ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke sowie den Luftwiderstand durch die entsprechenden Einflussgrössen, gewinnt man eine Formel für die Endgeschwindigkeit: = 175.8 m/s. 2. Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die 2 Beschleunigung beträgt 7.36 m/s . 3. Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden. Sprung aus Flugzeug Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, falls der Impuls des Springers nicht mehr zunimmt, falls der gravitativ zufliessende Impuls vollständig an die Luft abgeleitet wird. Dann halten die Gewichtskraft und der Strömungswiderstand den Springer im Gleichgewicht . • • 2 Die Auflösung der Gleichgewichtsbedingung liefert = 0.38 m . Das nebenstehend abgebildete Systemdiagramm (flowchart) zeigt die Modellstruktur. Wie bei allen Fragestellungen der Translationsmechanik bildet die Impulsbilanz das Rückgrat des 7 Offene Systeme - Aufgaben • • Modells. Der Quotient aus Impuls und (träger) Masse liefert die Geschwindigkeit, die zur Falltiefe autintegriert werden kann. Aus dem untenstehenden Diagramm kann man entnehmen, dass der Springer schon nach zehn Sekunden über 90% seiner Endgeschwindigkeit erreicht hat. Nach etwa zwanzig Sekunden und einer Fallstrecke von gut 900 m hat der Springer die Endgeschwindigkeit von 60 m/s praktisch erreicht. In dieser Zeit würde ein Körper in Vakuum eine Geschwindigkeit von 196 m/s (706 km/h) bei einer Fallstrecke von 1962 m erreichen. Weil die Dichte der Luft nach unten zunimmt, wird ein frei fallender Mensch nach einer gewissen Zeit langsamer. Falls sich der Fallschirm nicht öffnet, bietet eine neuseeländische Norfolk-Pinie gute Überlebenschancen, falls man schön in die nach unten dicker werdenden Äste fällt. Einen Sprung ins Wasser überlebt man bis etwa 120 km/h, falls man schwimmen kann. Gleitflug Im antriebslosen Zustand wirken nur das Gravitationsfeld und die umgebende Luft auf das Flugzeug ein. Die Kraft der Luft lässt sich bezüglich der Anströmung in einen dynamischen Auftrieb und einen Luftwiderstand zerlegen. 1. Die Kraft der Luft ist gleich der Gewichtskraft, also 1295 kN. 2. Auftrieb und Luftwiderstand stehen im Verhältnis der Gleitzahl zueinander. Folglich ist der Auftrieb gleich Gewichtskraft mal Cosinus des Gleitwinkels (4.69°), also gleich 1291 kN und der Luftwiderstand ist gleich Gewichtskraft mal Sinus des Gleitwinkels, also gleich 106 kN. 3. Die dissipierte Leistung ist gleich Luftwiderstand mal Geschwindigkeit. Da die Geschwindigkeit 124 m/s (446 km/h) betrug, ist eine Leistung von 13.13 MW dissipiert worden. 4. Die dissipierte Energie entstammt dem Gravitationsfeld. Deshalb kann die zugehörige Leistung auch mit Hilfe der Gewichtskraft (1295 kN) und der Sinkgeschwindigkeit (10.16 m/s) berechnet werden. Die Leistung der Gewichtskraft P(FG) = 10.16 m/s * 1295 kN = 13.16 MW und die Leistung des Luftwiderstandes P(FW) = 124 m/s * 106 kN sind beim Gleitflug betragsmässig gleich gross. 8 Offene Systeme - Aufgaben Steigflug Das Flugzeug kann nur mit dem Gravitationsfeld und der umgebenden Luft Impuls austauschen. Die Impulsstromstärke bezüglich der gesamten Flugzeugoberfläche kann in einen statischen sowie einen dynamischen Auftrieb, einen Luftwiderstand und eine Schubkraft zerlegt werden. Den statischen Auftrieb berücksichtigt man meistens nicht (mit einer Waage misst man immer die Differenz von Gewichtskraft und statischem Auftrieb in Luft). 1. Gewichtskraft, Luftwiderstand, dynamischer Auftrieb und Schub halten hier das Flugzeug im Gleichgewicht. Folglich muss der dynamische Auftrieb gleich der normal zur Anströmung stehenden Komponente der Gewichtskraft, also kleiner als die Gewichtskraft, sein. 2. Der Auftrieb ist gleich = 117 kN. 3. In Flugrichtung wirken die Tangentialkomponente des Gewichts, der Luftwiderstand und die Schubkraft. Folglich ist der Luftwiderstand gleich kN. = 16.35 2 4. Aus der Formel für den dynamischen Auftrieb folgt = 23.9 m . 5. Auftriebsbeiwert und Widerstandsbeiwert stehen im gleichen Verhältnis wie Auftriebskraft zu Widerstandskraft, falls sich die Beiwerte - wie hier angenommen - auf die gleiche wirksame Fläche beziehen. Also ist der Widerstandsbeiwert gleich 0.154. Energieumsatz bei Rohrleitung Der von einer Flüssigkeit transportierte Energiestrom setzt sich aus drei Teilen (ohne innere Energie) zusammen: Folglich ist die vom Wasser umgesetzte Prozessleistung gleich = 293 W Jet d´Eau Die Ausströmgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Gesetzes von Bernoulli oder der speziellen Formulierung von Torricelli gerechnet werden, falls die Wirkung der Luft vernachlässigt wird. Dann enspricht die Ausströmgeschwindigkeit der Geschwindigkeit eines Körpers im freien Fall aus 140 m Höhe. 1. = 53 m/s (190 km/h) 2 2. Der Querschnitt der Düse ist gleich = 94.5 cm , was einem Durchmesser von 110 mm entspricht. 3. Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes benötigt der das Wasser 10.6 Sekunden, um die Geschwindigkeit von 53 m/s auf -53 m/s zu verändern. Folglich befinden sich mindestens 5.25 t Wasser im Strahl. Weil das Wasser im Mittel langsamer absinkt als aufsteigt, dürfte der wahre Wert etwa bei 7 bis 8 Tonnen liegen. 9 Offene Systeme - Aufgaben 4. Die Pumpleistung entspricht mindestens der Stromstärke des vom Strahl beim Austritt mitgeführten kinetischer Energie wahre Wert liegt bei etwa 1000 kW. . Der Der Wasserstrahls muss, weil die Geschwindigkeit mit zunehmender Höhe kleiner wird, gemäss der Kontinuitätsgleichung nach oben dicker werden. Vernachlässigt man wieder den Einfluss der umgebenden Luft, gilt wobei die Formel für die Geschwindigkeit vom Gesetz von Bernoulli geliefert wird . Würde diese Formel exakt zutreffen, müsste sich der Strahl beliebig ausweiten. Weil die Energiebilanz nach Bernoulli die Quergeschwindigkeiten nicht berücksichtigt, darf man diese Betrachtung aber nicht auf die Spitze treiben. Staurohr Der Druck an der Spitze und auf der Seite des Staurohres wird auf einen Messwandler geführt, der direkt und skaliert die Druckdifferenz zwischen diesen beiden Punkten ermittelt. Vergleicht man den Druck in diesem beiden Punkte mit Hilfe des Gesetzes von Bernoulli kürzen sich die beiden Terme für die Gravitationsenergie und der Term für die kinetische Energie der anströmenden Luft im Staupunkt (Punkt 1) fällt weg. Aus den verbleibenden drei Summanden folgt für die Geschwindigkeit der vorbeiströmenden Luft 10 Offene Systeme - Aufgaben Damit dieser Zusammenhang gilt, • • • • müssen die beiden Punkte auf dem gleichen Stromfaden oder in einer Potenzialströmung liegen darf zwischen den beiden Punkten keine Reibung auftreten müssen beide Punkte auf gleicher Höhe liegen darf die Luft nicht komprimiert werden Die Flugzeugbauer haben dafür zu sorgen, dass die Strömung um das Staurohr möglichst wenig gestört wird, so dass die Reibung und der Einfluss der Wirbel vernachlässigt werden kann. Der Höhenunterschied fällt bei Luft kaum je ins Gewicht und ist bei horizontaler Ausrichtung des Rohres kein Thema. Einzig die Änderung der Dichte zwischen den zwei Punkten könnte ein Problem sein. Um diesen Einfluss abzuschätzen, kann man den Luftdruck mit dem Staudruck vergleichen. Nimmt man eine Geschwindigkeit von 720 km/h und eine Dichte von einem Kilogramm pro Kubikmeter an, beträgt der Staudruck 0.2 bar, was doch einem beachtlichen Teil des Absolutdruckes entspricht. Das Staurohr misst die Dichte der kinetischen Energie der anströmenden Luft als Druckdifferenz. Und genau dieser Term erscheint in der Formel für den dynamischen Auftrieb und den Luftwiderstand. Deshalb steht die mit dem Staurohr gemessene Druckdifferenz unabhängig von der wahren Dichte der Luft in direktem Zusammenhang mit dem dynamischen Verhalten des Flugzeuges. Venturirohr 1. Der Staurdruck beträgt = 1500 Pa. 2. Die Anströmgeschwindigkeit ist gleich der Stärke des Volumenstromes dividiert durch den Querschnitt bei der Eintrittsöffnung . Löst man diese Gleichung nach der Druckdifferenz auf , sieht man sofort, dass beim Venturirohr mit einer Querschnittverengung von 30% (Faktor ) ein Unterdruck erzielt wird, der dem Überdruck bei einem Staurohr unter sonst gleichen Bedingungen entspricht. Eine stärke Verengung ergibt einen entsprechend grösseren Unterdruck. Wanne mit Abfluss Das Gesetz von Bernoulli erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines inkompessiblen Fluids die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes) gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei Punkte Wasseroberfläche (1), Ausfluss (2) und zwei Meter über dem Ausfluss (3) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen und nach der gesuchten Grösse auflösen. Für die drei Punkte gilt (h = 4 m, h3 = 2 m) Wasseroberfläche: Ausfluss: im Rohr: 1. Setzt man die Terme in den Punkten 1 und 2 gleich, gewinnt man das Ausflussgesetz von Torricelliund unter Beizug der Kontinuitätsgleichung die Stärke des Volumenstromes = 6.26 l/s 11 Offene Systeme - Aufgaben 2. Der Druck im Punkt 3 folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme von 2 und 3 sowie unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung für das Volumen. = 1.065 bar In der letzten Umformung ist nochmals der Bernoulli-Term von Punkt 1 verwendet worden. Im zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab. Wasseruhr Der Wasserspiegel dieser Uhr sinkt in der Stunde um 36 mm, in der Minute um 0.6 mm und in der -12 Sekunde um einen Hundertstel Millimeter ab. Die Systemkonstante beträgt demnach k = 5 10 m. = 3.224 m. 1. Der obere Durchmesser der Wasseruhr beträgt 2. Auf halber Höhe hat der Behälter nur noch einen Durchmesser von 2.711 m. 3. Weil die Systemkonstante so klein ist, genügt die mit Torricelli hergeleitete Formel bei weitem Impulstransport im Rohr 1. Die Strömungsgeschwindigkeiten sind durch die Kontinuitätsgleichung gegeben: . Also ist v1 = 2.08 m/s und v2 = 4.075 m/s. 2. Die Energiebilanz, das Gesetz von Bernoulli, liefert für den Druck im zweiten Querschnitt: = 9.78 kPa. 3. Die Flüssigkeit transportiert den Impuls leitungsartig und konvektiv. Zählt man beide Stromstärken zusammen, erhält man für die beiden Querschnittsflächen unterschiedliche Impulsstromstärken: = 17.97 N und 11.73 N. 4. Die Differenz der beiden Impulsstromstärken von 6.24 N muss im konisch zulauffenden Teil von der Flüssigkeit an die Rohrwand abgegeben werden. Kraft auf Rohr Bei dieser Problemstellung sollte man sowohl beim Aufstellen der Energiebilanz als auch der Impulsbilanz mit dem Überdruck pe rechnen. 1. Die Energiebilanz, das Gesetz von Bernoulli, liefert Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung den Druck beim Eintritt 12 Offene Systeme - Aufgaben = 46.9 kPa 2. Die Impulsbilanz verlangt, dass sich die Festhaltekraft, die Überdruckkraft beim Eintritt und die beiden konvektiven Impulsströme zu Null addieren, weil der Impulsinhalt des Rohrstückes keine Änderung erfährt: = 368.2N + 49.1N + 196.3N = 613.6 N Der Massenstrom hat eine Stärke von 19.63 kg/s. Abfüllwaage ohne Loch im Becherglas Die Impulsbilanz bezüglich des Systems Becherglas lautet (positive Richtung nach unten) Die Stärke des konvektiven Impulsstromes Ip ist gleich Die Geschwindigkeiten beim Ausfluss v1 und beim Auftreffen auf die Wasseroberfläche v2 ergeben sich aus der Energiebilanz (Torricelli) also gilt für den konvektiven Impulsstrom = 7.29 N Bei einer Gewichtskraft von total 35 N hat die Normalkraft einen momentanen Wert von = 42.3 N mit Loch im Becherglas Die Stärke des zweiten konvektiven Impulsstromes im Boden des Becherglases ist gleich = -2.8 N Damit ist die Festhaltekraft (oder Normalkraft) gleich = 39.5 N Güterwagen beladen Impulsbilanz in vertikale Richtung: 13 Offene Systeme - Aufgaben Die Normalkraft steigt kontinuierlich von 167.2 kN auf 402.6 kN an. Impulsbilanz in horizontale Richtung: Die Beschleungigung des Wagens und die Horizontalgeschwindigkeit des auftreffenden Schüttgutes sind gleich Null ist. Deshalb gilt oder umgeformt (die Änderungsrate ist gleich der Stromstärke der zufliessenden Masse) Die Zugkraft F steigt kontinuierlich von 8.69 kN auf 18.1 kN an. Rakete im Gravitationsfeld Die eindimensionale Impulsbilanz für offene Systeme, welche die Summe über alle leitungsartigen und konvektiven Impulsströme zusammen mit der gravitativen Impulsquelle gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes setzt, kann etwas konkreter formuliert werden, indem man • • • • die Stärken der leitungsartigen Impulsströme als Kräfte bezeichnet, die konvektiven Impulsströme durch Massenstromstärke mal zugehörige Ausströmgeschwindigkeit ersetzt, die gravitative Impulsquelle als Masse mal Gravitationsfeldstärke schreibt, den Impulsinhalt durch das kapazitive Gesetz der Translationsmechanik (Impulsinhalt gleich Masse mal Geschwindigkeit) ausdrückt: Lösung zu Frage 1 Die Impulsbilanz fasst die leitungsartigen Impulsströme (Kräfte), die konvektiven Impulsströme sowie die Impulsquelle (Gewichtskraft) zur Impulsänderungsrate zusammen Die allgemeine Massenbilanz besagt, dass die Summe über alle Massenstromstärken gleich der Änderungsrate der Masse ist [bearbeiten] Lösung zu Frage 2 Im vorliegenden Beispiel mit der Rakete gibt es keine Oberflächenkräfte und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases ist gleich Geschwindigkeit der Rakete (v) minus Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases (c). Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form an Setzt man für die Gravitationsfeldstärke - 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von 25000 kg * (-9 N/kg) + 1300 m/s * (-200 kg/s) = -485 kN 14 Offene Systeme - Aufgaben Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeldes Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt. [bearbeiten] Lösung zu Frage 3 Setzt man die Massenbilanz in die Impulsbilanz ein, erhält man eine sehr kompakte Formel, die an das Grundgesetz der Mechanik erinnert Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln = 20.6 m/s 2 Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist. [bearbeiten] Lösung zu Frage 4 Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Produkt aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird. Mantelstromtriebwerk Die Impulsbilanz bezüglich des Triebwerkes lautet unter Vernachlässigung der Druckkräfte wobei der durchpumpte Massenstrom die folgende Stärke aufweist = 667.6 kg/s Die Impulsbilanz nimmt aus der Sicht der umgebenden Luft (positive Richtung nach vorn) die folgende Gestalt an Damit erhält man für die Schubkraft = -66.76 kN 15 Offene Systeme - Aufgaben Die Kraft auf das Triebwerk F weist gegen hinten, die zugehörige Reaktionskraft auf das Flugzeug gegen vorne. Weil sich der Impulsinhalt des Triebwerkes nicht ändert, könnte man die Bilanz auch aus der Sicht des Triebwerkes formulieren Beide Teilstrahlen tragen gleich viel zum Schub bei. Hubschrauber auf Waage Der Glaskasten bildet ein geschlossenes System und die Summe über alle leitungsartigen Impulsströme (Oberflächenkräfte) plus die Stärke der Impulsquelle (Gewichtskraft) ist gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes. Vernachlässigt man die Impuls-Speicherfähigkeit der bewegten Luft, kann nur der Hubschrauber seinen Impulsinhalt ändern. Bezogen auf das System Glaskasten lautet die Bilanzgleichung für die Vertikalkomponente des Impulses (z-Achse gegen oben, Gravitationkraft als Impulsabfluss oder Impulssenke) FN ist die Stärke des durch die Waage fliessenden Impulsstromes (bezogen auf das System Glaskasten). Weil die Waage mit leerem Glaskasten auf Null eingestellt worden ist, steht m für die Masse des Hubschraubers. Weil die Waage FN in Gramm anzeigt, muss noch umgerechnet werden 1. Nach dem Start und und kurz vor der Landung zeigt die Waage mehr als 500 g an (Impulsinhalt des Hubschraubers wird grösser). Kurz vor dem Erreichen des höchsten Punktes und in der ersten Phase des Absinkens zeigt die Waage weniger als 500 g an (Hubschrauber gibt Impuls ab). 2. Dem Geschwindigkeits-ZeitDiagramm des Hubschraubers ist zu entnehmen, wann der Impulsinhalt wie zu- oder abnimmt (das v-t-Diagramm ist das Höhen-Zeit-Diagramm im Flüssigkeitsbild). In den ersten 0.2 s und den letzten 0.2 s beträgt die Beschleunigung 1 2 m/s (0.1 g). Folglich zeigt die Waage dann 550 g an. Zwischen den Zeitpunkten 0.8 s und 1.2 s beträgt die 2 Beschleunigung -1 m/s (-0.1 g) und die Waage zeigt 450 g an. 16
