Vorstudienlehrgang Wien - Österreichischer Austauschdienst

II- 1 -
Achtung !
Diese unvidierte Mitschrift enthält zahlreiche Fehler
Sie eignet sich daher nicht zum Selbstlernen sondern
lediglich zum Gebrauch in den Lehrveranstaltungen
des Vorstudienlehrganges
Die nächste Korrektur von bekannt gewordenen
Fehlern erfolgt erst am Ende dieses Semesters
Selbstlerner werden auf die Bücher des
österreichischen Schulbuchmarktes verwiesen.
Grundsätzlich ist jedes Schulbuch für die gesamte
gymnasiale Oberstufe verwendbar. Es wird darauf
aufmerksam gemacht, dass in der Regel mehrere
Bände zu lernen sind.
II- 2 -
1 Wichtige Begriffe und Gesetze
1.1
Volumen
Beispiel 1:
Quader:
Volumen = Länge x Breite x Höhe
V = l.b.h
Beispiel 2:
Zylinder
Volumen = Grundfläche (Kreis) x Höhe
V = r2.h
Beispiel 3:
Kugel
Volumen = proportional zu r3
V = 4r / 3
3
Einheiten des Volumens:
1Kubikmeter = 1m3 = 1000Liter = 1000L
3
1Liter = 1000cm = 1000mL (Milliliter)
1.2
1L = 0,001m 3 = 10-3 m 3
3
-3
( 1cm =1mL)
1mL = 0,001L = 10 L
Dichte
Zwei Körper können dasselbe Volumen haben, aber verschieden "schwer" sein. Ein Kubikmeter Eisen ist
"schwerer" als ein Kubikmeter Holz, Eisen hat die größere Dichte:
Die Dichte  eines Stoffes ist die Masse von 1 m3 dieses Stoffes
 = m/V
Einheit der Dichte:
oder
m = .V
(1.1)
1kg/m3 = 1g/L
Beispiel:
2
Ein Quader aus Kunststoff mit der Grundfläche A = 24cm und der Höhe h = 5cm hat die Masse m = 36g Bestimmen Sie die
Dichte des Kunststoffs:
2
3
3
V= 24cm .5cm = 120cm = 120 x 0,001L = 0,12L  = m/V = 36g / 0,12L = 30g/L = 30kg/m
Die Dichte des Wassers beträgt  = 1000kg/m = 1kg/L
3
Aufgaben:
(1.1)Ein Würfel mit der Seitenlänge l = 30cm hat die Masse m = 5400kg. Bestimmen Sie die Dichte!
3
(1.2)Ein Quader mit Länge = Breite = 20cm und Höhe = 70cm hat die Dichte =3000kg/m . Bestimmen Sie die Masse!
3
(1.3)Eine Kugel aus Kunststoff hat den Radius r = 2cm und die Dichte = 700kg/m . Bestimmen Sie die Masse!
(1.4)Ein Zylinder mit Radius r = 4cm und der Höhe h = 10cm hat die Masse m = 628g. Bestimmen Sie seine Dichte!
1.3
Druck:
1.3.1 Definition
Wir stellen den abgebildeten Quader auf einen sehr weichen Boden (zum
Beispiel Marmelade): Wenn wir ihn auf der kleinen Fläche aufstellen (links) so
sinkt er tiefer ein als wenn man ihn auf die größere Fläche stellt. Die Schwerkraft ist aber beide Male gleich.
Links drückt die gesamte Schwerkraft auf eine kleine Fläche des weichen Bodens, rechts auf eine große Fläche.
Man sagt: "Der Druck ist links größer".
Der Druck ist Kraft, die normal auf eine Flächeneinheit wirkt
p = FN / A
Einheit des Drucks:
(1.2)
1Pa = 1Pascal = 1N/m2
Alte Einheiten:
1 Atmosphäre = 1Atm = Normalluftdruck = 101 325 Pa
1Bar = 100 000 Pa  1atm
1 Technische Atmosphäre = 1 at = 98100 Pa  1atm
Beispiel:
2
3
Ein Quader (Grundfläche = 300cm , Höhe = 5cm, Dichte =4000kg/m ) liegt
o
a)auf einer horizontalen Ebene b)auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel = 20 . Bestimmen Sie jeweils den Druck,
den der Quader auf die Ebene ausübt!
3
3
3
-6
3
Lösung: m = .V = 4000kg/m x 1500cm = 4000kg/m x 1500.10 m = 6kg, Schwerkraft G= 60N
a)FN = G = 0,06N
-4 2
2
Druck p = F N/A = 60N / (300.10 m ) = 60N / 0,03m = 2000Pa
b)FN =.G.cos 0,0564N
Druck p = F N/A =5,64N / (300.10 m ) = 5,64N / 0,03m  1880Pa
-4
2
2
II- 3 -
1.4
Statischer Druck in Flüssigkeiten und Gasen
"Statisch" bedeutet, dass die Flüssigkeit oder das Gas ruht. Wenn es sich bewegt, spricht man von "dynamischem"
Druck.
Wichtiger Unterschied:
Flüssigkeiten sind (fast) inkompressibel, man kann sie nicht komprimieren (zusammendrücken)
Gase sind kompressibel, man kann sie komprimieren (zusammendrücken) und expandieren (ausdehnen)
Trotzdem haben Gase und Flüssigkeiten vieles gemeinsam:
1.4.1 Schwereloses System:
In einer Flasche sei eine Flüssigkeit oder ein Gas. Wir üben durch einen Kolben
einen Druck aus. Wenn es keine andere Kraft gibt (z.B.: Schwerkraft, oder
magnetische Kraft auf eine magnetisch Flüssigkeit), so stellt man folgendes fest.
Wenn man z.B. ein Stück Papier (gestrichelte Linie) in die Flüssigkeit legt, so
verformt es sich nicht. Das bedeutet, dass der Druck von der einen Seite überall
gleich dem Druck von der anderen Seite ist. Es ist auch gleichgültig, welche
Richtung das Papier hat und wie groß es ist. Wenn man den Druck am Rand misst,
bekommt man überall denselben Wert, unabhängig von der Form des Gefäßes und
der Richtung der Gefäßwand.
Gleichverteilung:
Im schwerelosen System ist der Druck p einer Flüssigkeit oder eines Gases überall gleich
Im Inneren wirkt der Druck p in alle Richtungen gleich, je zwei Drucke in entgegengesetzte Richtung heben
sich auf
Am Rand wirkt p normal zur Wand
1.4.2 Einfluss der Schwerkraft:
Bei Flüssigkeiten:
Je tiefer man in eine Flüssigkeit taucht, umso größer wird der Druck. Wir
denken uns in einem See eine Flüssigkeitssäule (Zylinder) mit der Tiefe h.
Welchen Druck erzeugt diese Säule in der Tiefe h?
p = Schwerkraft / Grundfläche = mg/A = Vg / A =
=.A.h/A = gh
Dieser Druck hängt nur von der Tiefe ab und ist dort wieder überall gleich, wie man durch Einbringen eines
Stückchens Papier beweisen kann.
In der Tiefe h einer Flüssigkeit wirkt der Druck ph = gh.
(1.3)
Im Inneren der Flüssigkeit wirkt ph in alle Richtungen gleichmäßig, je zwei entgegengesetzte Drucke heben
sich auf
Am Rand wirkt ph normal zur Wand
Der Druck ph heißt hydrostatischer Druck.
Beispiel:
Ein Taucher taucht in einem See 20m tief. Wie groß ist der Druck auf seinen Kopf ,
a)wenn über dem See keine Luft wäre, b)zusammen mit dem Luftdruck? c)Welche Richtung hat der
Druck?
Lösung:
a)Der hydrostatische Druck in h = 20m Tiefe ist p h = gh = 1000.10.20 = 200 000Pa
b)Zusammen mit dem Luftdruck po  100 000 Pa gilt: p ges = po + ph = 300 000Pa
c)Der Druck wirkt überall normal zur Wand des Kopfes des Tauchers.
Im unteren Teil des Kopfes ist der Druck ein bisschen Größer, da dort auch die Tiefe h größer ist
Bei Gasen:
Gase sind kompressibel. In einer Säule aus Gas ist die Dichte nicht gleich, weil die
höheren Schichten des Gases die unteren Schichten zusammen drücken. Die
Abbildung zeigt vier gleiche Säulen nebeneinander. Rechts davon sind dieselben
Säulen übereinander abgebildet. Die unterste Säule ist am meisten komprimiert, hier ist
nicht nur der Druck am größten, sondern auch die Dichte.
Am einfachsten ist eine Gassäule, die  hoch ist, wie bei der Atmosphäre der Erde.
II- 4 -
Bei konstanter Temperatur gilt
Bei gleichen Höhenunterschieden sinkt der Druck um denselben Prozentsatz
oder
Der Druck sinkt exponentiell mit steigender Höhe
p  p o .e o .g .h /
po
(1.4)
p
Dabei ist
po der Luftdruck am Boden bei gegebener Temperatur
o die Dichte am Boden bei gegebener Temperatur
Wir werden diese Formel etwas später beweisen.
po
Höhe h
Bei Gassäulen mit kleiner Höhe nehmen wir den Druck als ungefähr
konstant an
1.4.3 Anwendungen der Druckgleichverteilung:
Kommunizierende Gefäße:
In Gefäßen (z.B. in Rohren) die miteinander verbunden sind, steht die Flüssigkeit überall und
unabhängig von der Form der Gefäße gleich hoch. Wenn dies nicht so wäre, würden sich die
Drucke in manchen Punkten im Inneren der Flüssigkeit nicht aufheben und die Flüssigkeit würde
sich bewegen
Hochsteigen von Flüssigkeiten in evakuierten Rohren:
Ganz Links:
o
Wenn man ein Glas mit Wasser füllt und darauf ein Stück Papier legt, so kann man es um 180 drehen ohne
dass das Wasser ausfließt. Der Grund ist, dass der Luftdruck unter dem Glas auf das Papier von unten nach
ober wirkt. Solange dieser Luftdruck kleiner ist als der hydrostatische Druck des Wassers, fließt das Wasser
nicht aus. Erst, wenn es mehrere Meter hoch ist, fließt es aus.
Links:
In ein Wasserbecken taucht ein evakuiertes, vertikales Rohr
mit der Öffnung nach unten. Das Wasser steigt im Rohr so
hoch, bis der Luftdruck gleich dem Druck des Wassers im
Rohr ist
ph = g.h  h = ph/(.g)  100000/(1000.9,81)10,1[m]
Wegen der Reibung steigt das Wasser noch weniger hoch
Rechts:
Eine Pumpe erzeugt im oberen Teil eines Rohres ein Vakuum.
Wenn das Rohr höher als 10m ist, kann das Wasser nicht bis
zur Pumpe steigen. Die Pumpe wirkt nicht. Für
Höhenunterschiede über 10m muss man mehrere Pumpen
verwenden
Druckmessgerät (Manometer)
Zu messender Druck
p
Vakuum
h
Die einfachsten Manometer für Gasdrucke oder
Flüssigkeitsdrucke bestehen aus einem U-Rohr, das mit
Flüssigkeit gefüllt ist. Auf einer der beiden Seiten ist es geschlossen und evakuiert.
Auf der anderen Seite ist es offen. Dort wirkt der Druck p, den man messen möchte.
Die Flüssigkeit im Rohr kann in drei Teile eingeteilt werden.
Die beide unteren symmetrischen Hälften des U-Rohres. Sie sind gleich schwer,
ihre Drucke p' und -p' heben sich am Boden des Rohres auf
Die Flüssigkeitssäule mit der Höhe h. Ihr Druck muss gleich dem Druck p sein
p = pSäule = gh
Kraftverstärker (Hydraulische Presse)
Die hydraulische Presse besteht aus einem
Flüssigkeitssystem mit zwei Kolben, einem dünnen mit dem
Querschnitt A1 und einem breiten mit Querschnitt A2. (Auf
diesem soll z.B. ein Automobil gehoben werden) Drückt man
auf A1 mit der Kraft F1 so entsteht in der Flüssigkeit überall
derselbe Druck p. Es gilt:
p = F1/A1 = F2/A2
(1.5)
kleine Kraft /kleine Fläche = große Kraft /große Fläche
F1
F2
A1
p
V1
V2
A2
p
II- 5 -
Man kann also mit einer kleinen Kraft F1 am dünnen Kolben eine große Kraft F2 am breiten Kolben erzeugen.
V1 und V2 sind sogenannte Ventile (englisch: valve): Ventile sind Öffnungen, durch welche Flüssigkeiten oder Gase nur unter
bestimmten Bedingungen oder nur in bestimmte Richtungen fließen können. Wenn man Kolben 1 hinunter drückt, sperrt V 1 und V2
öffnet. Der Kolben 2 steigt und rechts von V 2 ist mehr Flüssigkeit. Wenn man Kolben 1 wieder zurückzieht, sperrt V 2. Damit
verhindert man, dass Kolben 2 wieder zurück sinkt. V1 öffnet gleichzeitig, sodass aus dem linken Reservegefäß neue Flüssigkeit
nachfließen kann. Jetzt kann man den Vorgang wiederholen.
Auf diesem Prinzip beruhen zum Beispiel:

Hebebühnen für Automobile,

Bremsen bei Kraftfahrzeugen (der Fuß drückt auf den kleinen Kolben, seine Kraft wird durch einen breiteren Kolben
verstärkt)

Hydraulische Kraftverstärker bei Baggern, Caterpillar und Kränen.
1.4.4 Der Auftrieb in Flüssigkeiten und Gasen:
Beim Quader:
Je tiefer man in einem Gas oder einer Flüssigkeit geht, desto größer wir der Druck p h. An
der Unterseite des abgebildeten Quaders wirkt der Druck nach oben, an der Oberseite wirkt
der Druck nach unten. Die Drucke von rechts und von links heben sich auf. Die vertikalen
Drucke wirken zusammen zu einer Kraft, die den Körper nach oben beschleunigt. Diese
Kraft heißt Auftrieb A.
Beim beliebig geformten Körper:
Ein beliebig geformter Körper dreht sich solange, bis sich die Seitenkräfte aufheben. Die vertikalen Kräfte können
sich aber niemals aufheben, da unten immer der stärkere Druck wirkt. Es gilt daher:
Auf jeden Körper wirkt in einem Gas oder einer Flüssigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft ein Auftrieb A nach
oben
Bestimmung des Auftriebs:
Zusätzlich zum Auftrieb wirkt noch die Schwerkraft g auf den Körper. Wenn
A>G
Der Körper steigt in der Flüssigkeit (zB.: Holz)
A<G
Der Körper sinkt in der Flüssigkeit
A=G
Der Körper schwebt in der Flüssigkeit
Die Abbildung zeigt drei gleich geformte Körper aus verschiedenen Stoffen, sie haben alle denselben Auftrieb A, weil dieser durch
die Drucke erzeugt wird, die von außen auf den Körper wirken. Was im Inneren des Körpers ist, ist für diese Drucke egal
Der linke Körper ist aus Holz. Er
steigt auf
Der mittlere Körper ist
aus Eisen. Er sinkt.
Diesen Körper denken wir
uns aus der Flüssigkeit
selbst. Er schwebt.
G<A
G>A
G=A
Ergebnis:
Der Auftrieb eines Körpers in einer Flüssigkeit ist gleich der Schwerkraft (Gewicht), die er hätte, wenn er aus
Flüssigkeit wäre
Man formuliert diesen Satz etwas anders: Ein Körper, der ich in einer Flüssigkeit befindet, "verdrängt" die
Flüssigkeit von seinem Platz. Man sagt:
Der Auftrieb eines Körpers ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die er verdrängt
(Prinzip von Archimedes)
Als Formel lautet dieses Gesetz:
A = Flüssigkeit.V.g
(1.6)
Wenn ein Körper vollständig in eine Flüssigkeit eintaucht, gilt:
Steigen
Flüssigkeit>Körper
Sinken
Flüssigkeit<Körper
Schweben
Flüssigkeit=Körper
II- 6 -
Schwimmen:
Beim Schwimmen gilt wieder Auftrieb=Schwerkraft
Allerdings ist nur ein Teil V* des Körpervolumens in der Flüssigkeit, der
andere ist Teil über ihr. Die Bedingung für das Schwimmen ist: A =
Flüssigkeit.V*.g = G = mg oder:

Flüssigkeit.V* = mKörper
(1.7)
V*
V
Aerometer
Dies sind besonders geformte Schwimmkörper. An ihrer Eintauchtiefe kann man die Dichte der Flüssigkeit, in
welcher sie schwimmen, messen.
Aufgaben:
3
(1.5) Ein bestimmter Alkohol hat die Dichte = 700kg/m .
a) Wie groß ist der Druck am Boden einer Flasche in welcher der Alkohol 30cm hoch steht. (ohne Luftdruck)
b) Wie hoch würde der Alkohol in einer evakuierten Röhre steigen?
(1.6) Das flüssige Metall Quecksilber (chemisches Zeichen Hg) steigt in einer evakuierten Röhre 760mm hoch. Berechnen Sie
seine Dichte!
(1.7) Auf der geschlossenen Seite eines Manometers steigt die Flüssigkeitssäule (=2000g/L) 20cm hoch. Wie groß ist
der Druck auf der anderen Seite?
3
(1.8) Ein Quader besteht aus einem Kunststoff mit der Dichte = 800kg/m . Wieviel Prozent seiner Höhe sind über
dem Wasser?
(1.9) Ein Quader hat die Höhe h = 20cm. Wenn er schwimmt, sind davon 19cm unter Wasser. Bestimmen Sie seine
Dichte!
(1.10) Ein Fass (m=10kg) von der Form eines oben offenen Zylinders schwimmt im Wasser. Wie "schwer" darf der
Mensch im Fass sein, damit das ganze System noch schwimmt und nicht sinkt?
3
(1.11) Eine Person (m= 100kg) liegt auf einem Brett von der Form eines Quaders (l=2m, b=0,91m, h=20cm, =800kg/m ), das im
Wasser schwimmt. Wie viel cm seiner Höhe sind unter Wasser?
3
(1.12) Ein Vollzylinder (Dichte  = 800, Volumen V = 24cm ) schwimmt mit vertikaler Längsachse so in einer Flüssigkeit, dass ein
Viertel seiner Höhe über dem Flüssigkeitsspiegel liegt. Die Flüssigkeit selbst befindet sich in einem quaderförmigen Gefäß mit der
2
Grundfläche A gefäß= 100cm .
a) Bestimmen Sie die Dichte der Flüssigkeit! b) Um wie viel cm sinkt die Flüssigkeit im Gefäß, wenn man den Zylinder
heraus nimmt?
(1.13) Der Luftdruck am Boden betrage 100 000 Pa. Die Dichte der Luft am Boden betrage  1,3g/L. Berechnen sie den Luftdruck
in 3000m Höhe!
Kontrollfragen:
(1.20) Was versteht man unter der Dichte eines Stoffes? Nennen Sie zwei Einheiten für die Dichte und den Umrechn ungsfaktor!
(1.21) Zeichnen Sie eine Skizze der hydraulischen Presse. Mit welchem Prinzip arbeitet sie. Was kann man damit verstärken?
(1.22) Was versteht man unter dem Auftrieb eines Körpers?
(1.23) Wie lautet das Archimedische Prinzip?
(1.24) Welche Größe misst man mit einem Aerometer?
(1.25) Skizzieren sie die ein U-Rohr-Manometer? Welche Größe wird damit gemessen?
(1.26) Jemand möchte Grundwasser aus 20m Tiefe an die Erdoberfläche pumpen. Genügt dazu eine starke Pumpe?
(1.27) Ein Körper sinkt in einer Flüssigkeit. Was können Sie über die Dichte von Körper und Flüssigkeit sagen?
(1.28) Ein Körper schwimmt auf einer Flüssigkeit.
a) Was können Sie über den Auftrieb des Körpers sagen?
b) Kann man über die Dichte von Körper und Flüssigkeit eine vergleichende Aussage machen?
(1.29) Welche Aussage ist richtig?
a) Der atmosphärische Luftdruck sinkt mit steigender Höhe alle 10 Meter um denselben Betrag.
b) Der atmosphärische Luftdruck steigt mit der Höhe alle 10 Meter um denselben Betrag.
c) Der atmosphärische Luftdruck sinkt mit steigende Höhe alle 10 Meter um denselben Prozentsatz.
d) Der atmosphärische Luftdruck ist umgekehrt proportional zur Höhe.
e) Der atmosphärische Luftdruck sinkt mit steigende exponentiell.
II- 7 -
2 Temperatur
Es ist nicht leicht, eine genaue Definition von Temperatur zu geben: Es gibt Zustände, die der Mensch als "heiß"
bezeichnet und andere, die man "kalt" nennt. Wie kann man aber verschiedene Temperaturen mit Zahlen
vergleichen?
Man fragt: "Was ändert sich, wenn sich die Temperatur ändert?"

Ausdehnung: Die meisten Körper dehnen sich aus, wenn man sie erwärmt

Änderung des "Aggregatzustandes": Viele Stoffe verdampfen oberhalb einer bestimmten Temperatur,
andere erstarren unterhalb einer bestimmten Temperatur.

Energiezufuhr: Um einen Körper zu erwärmen, braucht man Energie.
Die älteste Methode, um die Temperatur vergleichbar zu machen, arbeitet mit der Ausdehnung
Experiment:
Wir erwärmen vier Körper gleichzeitig:
Einen Metallstab
Eine Flüssigkeit in einem
Rohr mit Reservoir
Einen Glasstab
l
x
l
t1
t2
t3
Ein Volumen mit Gas in einem Zylinder.
Sein Kolben übt immer denselben Druck
aus.
t1
l '
t2
l '
t3
V
x
t1
V
t2
t3
t1
t2
t3
Wir beginnen mit einer Temperatur t1 für alle vier Körper und erwärmen sie gleichzeitig bis sie alle dieselbe neue Temperatur
haben. Diese Temperatur nennen wir t2. Nun beobachten wir: Der Eisenstab hat sich um l ausgedehnt, der Glasstab um l', die
Flüssigkeit um x und das Gasvolumen um V.
Nun erwärmen wir wieder und zwar solange bis sich der Metallstab nochmals um l ausgedehnt hat. Diese Temperatur nennen
wir t3. Wir beobachten, daß sich auch der Glasstab nochmals um dieselbe Länge l' ausgedehnt hat. Ebenso hat sich die
Flüssigkeit ungefähr um x und das Gasvolumen ziemlich genau um V ausgedehnt
Die Ausdehnung zwischen t3 und t2 ist also bei allen Körpern gleich der Ausdehnung zwischen t2 und t1 . Es ist daher vernünftig
zu sagen, daß auch die Temperaturintervalle t = t3-t2 = t2-t1 gleich sein sollen.
Wenn man will, kann man daher festsetzen:
Die Änderung der Temperatur t ist proportional zur Ausdehnung von langen Körpern
t = const. l
Nun muss man noch zwei Temperaturen willkürlich wählen, um eine Maßeinheit zu bekommen: Seit 1975 gilt fast
auf der ganzen Welt die "Celsius-Skala":
o
Die Temperatur, bei der das Wasser gefriert, wird mit t 1= 0 C festgesetzt.
o
Die Temperatur, bei der Wasser (bei Normalluftdruck) siedet heißt t 2= 100 C
Gefrierpunkt des Wassers
Siedepunkt (Kochpunkt)
Beispiel:
Ein Metallstab hat am Gefrierpunkt des Wassers die Länge l 1= 2m und am Siedepunkt des Wassers die Länge l2= 2.4m. Wie groß
ist die Temperatur t, wenn er die Länge l= 2,17m hat
Lösung:
o
t / l = const  t1 / l1 = t2 / l2  (t-0) / (2,17-2) = (100-0)/ (2,4 -2)  t/ 0,17 = 100 /0,4  t = 100 . 0,17/ 0,4 = 42.5 [ C]
Ergebnis:
Auch wenn man nicht weiß, was Temperatur ist, kann man sie messen. Man braucht nur zwei
Temperaturpunkte willkürlich festzusetzen und zu erklären, dass die Temperaturänderung t proportional
zur Längenänderung l ist.
Diese Art der Temperaturmessung ist nicht die einzig mögliche. Man könnte zum Beispiel auch sagen, dass die
Temperaturänderung proportional zum Prozentsatz der Längenänderung sein soll. Die obige Art ist aber die einfachste und
erfolgreichste Art, Temperatur zu messen, wie wir gleich sehen werden.
II- 8 -
Aufgaben:
3
3
(2.1)Ein Gas hat am Gefrierpunkt des Wassers das Volumen V1 = 2m und am Siedepunkt des Wassers das Volumen V 2=2,74m .
3
o
Wie groß ist die Temperatur, wenn das Gas 2,5m hat [67,57 C]
o
o
(2.2)Ein Stab aus Metall ist am Gefrierpunkt des Wassers 2,95m lang, bei 20 C ist er 3m lang. Wie lang ist er bei 4 C? [2,96m]
(2.3)Karl Heißkopf ist König eines kleinen Landes und möchte eine eigene Temperaturskala festsetzen. Er nennt die Einheit
o
o
seiner Temperatur "1 Karl" und sagt: "Wenn meine Krone 20cm hoch ist, sollen wir 0 Karl haben, wenn sie 22cm hoch ist, sollen
o
o
o
wir 100 Karl haben und wenn sie 25 cm hoch ist, sollen wir 300 Karl haben.
a)Kann man auf diese Art eine Temperaturskala festsetzen?
Kontrollfragen:
(2.4)Welche Größe ist bei der Temperaturmessung zur Längenänderung proportional?
(2.5)Wie viele Punkte einer Temperaturskala muss man willkürlich festsetzen?
(2.6)Wir erwärmen zwei lange Körper von t1 auf t2:Körper A wird um 10mm länger, Körper B wird um 3mm länger. Nun erwärmen
wir die beiden Körper weiter auf t3. A wird um 15mm länger. Um wieviel mm verlängert sich B?
o
o
(2.7)Wie nennt man die Temperatur t = 0 C? Wie heißt die Temperatur t =100 C?
3 Wärmeenergie
3.1
Spezifische Wärmekapazität:
3.1.1 Definition:
Wenn man einen Körper erwärmt, muss man ihm Energie zuführen. Wenn er sich abkühlt, verliert er diese Energie
wieder und geht zum Beispiel auf andere Körper über. Diese Energie heißt Wärmeenergie Q. oder
Wärmemenge


Wenn man die doppelte Masse erwärmt, braucht man auch die doppelte Energie
Wenn man dieselbe Masse um die doppelte Temperaturdifferenz erwärmt, braucht man ebenfalls die doppelte
Energie (der Heizstrom muss doppelt so lang fließen oder man muss den Körper doppelt so lange reiben usw.)
Die Wärmeenergie, die man einem Körper zuführen muss, um ihn um t zu erwärmen ist proportional zu
seiner Masse m und zu t
Q = c.m.t
(2.2)
Die Konstante c hängt vom Material des Körpers ab und heißt spezifische Wärmekapazität oder auch nur
spezifische Wärme des Körpers
Wenn man m=1kg eines Stoffes um t=1 C erwärmt, erhält man:
Q = c
Daher kann man auch sagen:
o
Die spezifische Wärme c eines Stoffes ist die Energie, die nötig ist, um 1kg dieses Stoffes um t=1ozu
erwärmen
Die Zahl c ist - Gott sei Dank - fast unabhängig von der Temperatur, das heißt: es ist bei vielen Körpern fast
gleichgültig, ob man den Körper von 13o auf 14oC oder von 53oC auf 54oC erwärmt. Es gibt aber wichtige
Ausnahmen.
3.1.2 Wärme eines Gefäßes:
Flüssigkeit oder Gas müssen in einem Gefäß erwärmt werden. Auch dafür ist Energie QGefäß nötig. Man schreibt
QGefäß = CGefäß.t
(2.3)
o
Die Konstante CGefäß ist die Energie für die Erwärmung des ganzen Gefäßes (nicht 1kg) um t = 1 C
Kalorimetergefäß: Für Wärme-Experimente benutzt man ein Gefäß mit doppelter Wand. Zwischen den beiden
Wänden herrscht Vakuum. Damit die Wärme nicht nach außen fließen kann. Die Innenseite ist auch noch
verspiegelt, damit die Wärmestrahlen in das innere zurück reflektiert werden.
II- 9 -
3.1.3 Mechanisches Wärmeäquivalent (spezifische Wärme von Wasser):
Die abgebildete Vorrichtung
dient zur Messung von
cWasser.
Die Masse m=10kg ist
über ein System von
Rollen mit einem
Schaufelrad verbunden.
Wenn sie sinkt, dreht sich
das Rad und erwärmt das
Wasser im Gefäß:
1kg Wasser
2kg Wasser
h= -51,86m
h= -93,72m
Am Anfang wird m
10kg
beschleunigt. Sehr bald ist
aber die Reibung in der
Flüssigkeit so groß, dass m gleichförmig
h= -51,86m
sinkt.
Nun beginnt man die Messung der Temperatur und der
Höhe der Masse:
Links:
Im Gefäß ist 1kg Wasser. Für jedes
Grad Erwärmung muss die Masse m =
10kg um h = -51,86m sinken
Rechts
Im Gefäß sind 2kg Wasser. Für jedes
Grad Erwärmung muss die Masse m =
10kg um h = -93,72m sinken
Mechanische Energie verwandelt
sich in Wärmeenergie Q


QWasser
+ QGefäß + Wpot = 0
10kg h=-93,72m
cWasser .+ CGefäß + 10.10.(-51,86)=0
2cWasser .+ CGefäß + 10.10.(-93,72)=0
(II)
_________________________________
cWasser
Man bekommt:
(I)
+
(-4186)
=0 (II - I)
cWasser = 4186 J/kg 0C
Für die Erwärmung von 1kg Wasser um t=1oC braucht man 4186J
(Mechanisches Wärmeäquivalent)
Die Energiemenge 4186J = 4,186kJ heißt auch 1Kilokalorie. Diese Einheit wird in der Ernährungslehre verwendet
1kcal = 4186J = 1Kilokalorie
1cal = 4,186J= 1Kalorie
3.1.4 Andere spezifische Wärmen:
Mischversuch:
o
o
In einem Kalorimetergefäß (C Gefäß= 500J/ C) befinden sich 2kg Wasser mit der Temperatur t 1 = 10 C. Wir tauchen
o
ein Stück Kunststoff (m2=0,8kg) mit der Temperatur t2 = 60 C ins Wasser. Nun wird der Kunststoff so lange kälter
und das Wasser mit dem Gefäß wärmer, bis alle dieselbe Temperatur t = 20 oC haben (=Gleichgewicht,
Wärmeausgleich). Wie groß ist cKunststoff ?
Wir benutzen den Satz von der Erhaltung der Gesamtenergie:
Wges = 0
QWasser + QGefäß + QKunststoff = 0
cWasser.m1(t-t1) + CGefäß.(t-t1) + cKunststoff.m2.(t-t2) = 0
4186.2.10 + 500.10 + cKunststoff.0,8.(-40) = 0  cKunststoff = 2772,5J/kgo C
Wenn man die spezifische Wärme einer Flüssigkeit kennt, kann man damit auch die Gefäßwärme bestimmen
(siehe Aufgabe (3.2)!)
Aufgaben
o
o
o
(3.1)In einem Kalorimetergefäß (CGefäß=200J/ C) befinden sich 5kg Wasser bei 20 C. Wir mischen es mit 2kg eines 90 C heißen
O
Öls. Nach dem Wärmeaustausch ergibt sich eine gemeinsame Temperatur t = 40 C. Bestimmen Sie die spezifische Wärme des
o
Öls [4226J/kg C]
o
o
(3.2)In einem Kalorimetergefäß befinden sich 4kg Wasser bei 20 C. Wir mischen es mit 4kg Wasser mit 60 C. Nach dem
o
o
Temperaturausgleich beträgt die gemeinsame Temperatur t =39 C.[1762,5J/ C]. Bestimmen Sie die Gefäßwärme!
II- 10 -
gefäß
o
o
(3.3)In einem Kalorimetergefäß (C
= 200J/ C)befinden sich 0,5kg Wasser bei 10 C. welche Temperatur ergibt sich nach dem
o
o
o
Wärmeaustausch, wenn wir 1,5kg eines 50 C heißen Öls mit cÖl= 2000J/kg C zugeben? [32,67 C]
(3.4)Die spezifische Wärme einer Flüssigkeit soll durch Reibung (Schaufelrad) bestimmt werden:
o
Wenn die Masse m = 15kg um 12m gleichförmig sinkt, dann werden 0,2kg dieser Flüssigkeit im Gefäß um 3 C erwärmt. Wenn die
o
o
Masse 15kg um 20m sinkt, so werden 0,4kg der Flüssigkeit um 3 C erwärmt [2000J/kg C]
4 Einfache Gesetze für ideale Gase:
Ein Gas heißt ideal, wenn es folgende Eigenschaften hat:
Seine Teilchen sind klein und ihr Abstand ist sehr groß
Die Kräfte zwischen den Molekülen sind zu vernachlässigen
Für ideale Gase gelten besonders einfache Gesetze
Beispiele: Helium (He), Neon (Ne), Sauerstoff (O2), Stickstoff (N2), Wasserstoff (H2)
Zustand eines Gases:
Es gibt vier wichtige Zustandsänderungen:
Isotherm:
Die Temperatur hält man konstant. Man ändert nur Druck und
Volumen
Isobar:
Den Druck hält man konstant. Man ändert nur Temperatur und
Volumen
Isochor:
Das Volumen hält man konstant. Man ändert nur Temperatur und
Druck
Adiabatisch: Man ändert alle drei Größen in einem isolierten Gefäß, so dass
keine Wärme aus dem Gas hinaus oder in das Gas hinein fließen kann.
Der physikalische Zustand eines
Gases ist durch drei Größen bestimmt
Druck p
Temperatur t
Volumen V
4.1
Isotherme Zustandsänderung
Man ändert das Volumen in einem Gaszylinder, in dem man den Kolben sehr langsam hinein drückt oder heraus zieht. Dabei
kann sich die Temperatur mit der Umgebung ausgleichen:
Bei der Kompression wird das Gas heiß. Wenn man aber langsam komprimiert, kann die
Wärme in die Umgebung abfließen, so dass t konstant bleibt.
Bei der Expansion wird das Gas kalt, wenn man aber langsam expandiert, kann die Wärme aus
der Umgebung zufließen, so dass t konstant bleibt.
Als Umgebung nimmt man am besten eine große Menge Flüssigkeit. Sie kann viel Wärme vom
Gas aufnehmen oder viel Wärme ans Gas abgeben. Man nennt so etwas eine Wärmespeicher
oder Wärmereservoir.
Die Messung ergibt: Wenn man das Volumen halbiert, verdoppelt sich der Druck und so weiter.
Also:
Druck und Volumen sind umgekehrt proportional
p
p= const/V
oder
p.V = const
p1.V1 = p2.V2
(4.1)
(Gesetz von Boyle-Mariotte)
Die Konstante hängt von der Temperatur ab
o
Im p-V-Diagramm gilt die unterste Kurve für t1 =-100 C und
p.V =200 000
Die nächste höhere Kurve gilt für dieselbe Menge
0
desselben Gases bei: t= +71 C und p.V = 400 000
o
t2=-+71 C
o
t1=-100 C
200 000
Mehrere Kurven in einem Diagramm, die dasselbe Gesetz
beschreiben, nennt man Kurvenschar. Jede Kurve der
Schar gilt für eine bestimmte Temperatur t. die Zahl t heißt
Parameter (=Kennzahl) der Kurve
o
t4=-+711 C
o
t§=-+219 C
100 000
1
2
3
4
5
6
7
V
Alle Zustände auf derselben Kurve gelten für dieselbe
Temperatur, daher nennt man diese Kurven Isothermen.
Je höher die Isotherme, desto höher die Temperatur
Bemerkung:
Wenn die Zustandsänderung vollkommen isotherm sein soll, müsste sie unendlich langsam sein und das Wärmereservoir müsste
 groß sein .andernfalls wird sich die Umgebung erwärmen oder abkühlen. Je größer das Wärmereservoir in der Umgebung
desto besser kann man die Temperatur konstant halten.
II- 11 -
Aufgaben:
(4.1)Setzen Sie im obigen Diagramm die beiden Kurven fort. Wie groß ist die Konstante p.V für die beiden Kurven?
(4.2)Ein bestimmtes Gas hat jetzt bei Normalluftdruck das Volumen V = 5L und wird isotherm auf die Hälfte seines Volumens
komprimiert.
a)Wie muss man die Kompression durchführen? b)Von wo und wohin fließt dabei die Wärme Q? Wie groß ist der Druck
nachher? [200 000Pa]
(4.3)Ein bestimmtes Gas hat jetzt bei Normalluftdruck das Volumen V = 6L und wird isotherm auf das Vierfache seines Volumens
expandiert.
a)Wie muss man die Expansion durchführen? b)Von wo und wohin fließt dabei die Wärme Q?
Wie groß ist der Druck nachher? [25 000Pa]
(4.4)Die Abbildung rechts zeigt ein p-V-Diagramm, vier Zustände A,B,C und E sind besonders
A
eingezeichnet:
a)Welche Kurve zeigt keine isotherme Zustandsänderung [t1]
b)Welche der drei Temperaturen ist die größte [t1]
c)Welche Zustände haben dasselbe Volumen [A,B,C]
d)Welche Zustände haben denselben Druck? [C,E]
B
e)Welche Zustände haben dieselbe Temperatur? [B,E]
E
t1
f)Wie heißen mehrere Kurven in einem Diagramm [Kurvenschar]
C t3
t2
e)Wie nennt man die drei Temperaturen in Bezug auf die drei Kurven [Parameter (Kennzahlen)]
V
4.2
Die isobare
Zustandsänderung
Man beginnt mit einer bestimmten Menge eines
bestimmten Gases bei einer bestimmten
o
Temperatur, zum Beispiel bei 0 C und misst
das Volumen Vo. Nun ändert man das
Volumen, indem man die Temperatur erhöht.
Den Druck kann man ganz einfach dadurch
konstant halten, dass der Kolben über dem
Gasvolumen immer dasselbe Gewicht hat.
Man misst nun verschiedene Volumina bei
verschiedenen Temperaturen und zeichnet sie
in eine V-t-Diagramm ein. Man erhält eine
Gerade. Wenn man diese nach links verlängert,
so schneidet sie die t-Achse im Punkt t = o
273,15 C.
V
t
Vo
o
-273,15 C
t1
V2
t2
t
V
t
Wenn man nun eine andere Menge des Gases
verwendet, bekommt man ebenfalls eine
andere Gerade, aber auch
diese schneidet die t-Achse im Punkt t = o
273,15 C.
o
-273,15 C
o
0C
Wenn man nun einen anderen Kolben
verwendet, also mit einem anderen (aber
konstanten) Druck arbeitet, erhält man wieder
o
eine Gerade, welche die t-Achse im Punkt t = -273,15 C.
Dasselbe bekommt man, wenn man ein anderes Gas verwendet.
Für jedes Gas gilt also für eine bestimmte Menge und bei gleichbleibendem Druck
Steigung der Geraden = V / t = Vt / (t +273,15) = const
oder
V1/(t1+273,15) = V2/(t2+273,15)
(4.2)
(Gesetz von Gay-Lussac)
4.3
o
0C
V1
Die absolute Temperatur:
Viele Gesetze werden einfacher, wenn man eine neue Temperaturskala wählt:
o
-273,15 C
entspricht 0K (Kelvin) dieser Punkt heißt: absoluter Nullpunkt
Vo
V1
t1
V2
t2
t
II- 12 -
o
0C
entspricht +273,15K
Die neue Temperatur bezeichnet man als absolute Temperatur. Sie hat das Symbol T und die Einheit 1K (Kelvin)
Es gilt dann:
T = t +273,15
aber
 = t
(4.3)
Für die isobare Zustandsänderung einer bestimmten
Gasmenge ergibt sich nun eine einfache
Geradenschar:
Die Geraden heißen Isothermen.
V
Druck p3
V T beim
p1<p2<p3
Jede Gerade gilt für einen bestimmten konstanten
Druck.
Je großer Dieser Druck ist, desto tiefer liegt die
Gerade
p1=const
VT beim
Druck p3
p2=const
Jede Gerade geht durch den Ursprung:
p3=const
Bei konstantem Druck ist das Volumen eines
Gases zur absoluten Temperatur
proportional
VT beim
Druck p3
T
Die Steigung ist: VT / T =const, oder:
V1/T1 = V2/T2
(4.4)
Aufgaben:
o
(4.5)Gegeben ist eine bestimmte Menge Gas bei 10 C.
o
a)Auf welche Temperatur muss man es bei konstantem Druck erwärmen, um das doppelte Volumen zu bekommen [491 C]
b)Wie kann man den Druck einfach konstant halten?
o
(4.6) Gegeben ist eine bestimmte Menge Gas bei 10 C.
a)Auf welche Temperatur muss man es bei konstantem Druck abkühlen, um das halbe
o
Volumen zu bekommen [-131,5 C]
A
o
o
(4.7)Wir erwärmen eine bestimmte Menge Gas von 20 C auf 80 C. Um wieviel Prozent erhöht
sich das Volumen [14%]
o
o
B
C
(4.8)Wir kühlen eine bestimmte Gasmenge von 100 C auf 0 C ab. Um wieviel Prozent sinkt
sich das Volumen [27%]
(4.9)Das Diagramm zeigt isobare Zustandsänderungen derselben Gasmenge desselben
E
Gases.
a)Wie heißen mehrere Geraden in einem Diagramm, die dasselbe Gesetz beschreiben?
b)Welche Größe ist der Parameter der verschiedenen Geraden?
c)Welche Zustände A,B,C,D oder E haben dasselbe Volumen? d)Welche Zustände haben denselben Druck?
e)Welche Zustände haben den kleinsten Druck? f)Welche Zustände haben dieselbe Temperatur?
4.4
D
Änderung aller drei Zustandsgrößen:
Wir verwenden eine bestimmte Menge eines bestimmten Gases. Der Anfangszustand sei (p1,V1T1). Wir ändern den Zustand
zuerst isotherm, so dass wir zu einem "Zwischenzustand" (p z,Vz,T z) kommen. Danach ändern wir den Zustand isobar, bis wir den
Endzustand (p3,V3,T3) erreichen.
Anfangszustand (1)
Zwischenzustand (Z)
Isotherme Zustandsänderung bei der Temperatur
T1=const
p1.V1 = pz.V z
wir dividieren durch T 1=Tz
Endzustand(2)
Isobare Zustandsänderung beim Druck p z=const
Vz/T z = V2/T2
wir multiplizieren mit p z=p2
pz.Vz/Tz = p2V2/T2
p1V1/T1 = pz.Vz/Tz
Die rechte Seite der linken Gleichung ist gleich der linken Seite der rechten Gleichung, daher ist:
II- 13 -
p1V1 / T1 = p2V2 / T2
oder
pV /T = const
(4.5)
Die Konstante hängt sicher von der Masse des Gases ab. W enn man die doppelte Masse des Gases bei derselben Temperatur
und beim selben Druck verwendet, ist sicher die Masse doppelt so groß. Daher ist die Konstante selbst wieder proportional zu r
Masse. Man schreibt:
const=Rspez.m
pV/T = m.Rspez
(4.6)
Rspez heißt spezifische Gaskonstante und hängt nur noch von der Art des Gases ab
Beispiele:
Gas
Rspez
Wasserstoff (H2)
Sauerstoff (O2)
Stickstoff (N2)
Helium (He)
5 Stoffmenge:
5.1
Satz von Avogadro:
Es gibt Gase, die chemisch miteinander so reagieren, dass wieder ein Gas entsteht. Dabei beobachtet man etwas
Besonderes
Beispiel 1:
Wir lassen das Volumen V Chlorgas mit genau demselben Volumen Wasserstoffgas
reagieren. Es erfolgt zunächst eine heftige Erwärmung. Wenn man das entstehende
neue Gas (Chlorwasserstoff) wieder auf die ursprüngliche Temperatur abkühlt und
dabei den Druck konstant hält, so bekommt man genau zwei Volumina V des
neuen Stoffes. Also:
Beispiel 1:
1Volumen Chlorgas +
1Volumen
Wasserstoffgas
Beispiel 2:
1Volumen Fluor +
1Volumen
Wasserstoffgas
Beispiel 3:
1Volumen Sauerstoff + 1 Volumen Stickstoff
Es gibt aber auch Gase, bei denen es ein wenig komplizierter ist:
Beispiel 4:
1Volumen Sauerstoff + 2Volumina Wasserstoff
Beispiel 5:
1Volumen Stickstoff + 3Volumina Wasserstoff

2Volumina Chlorwasserstoff (Gas)

2 Volumina Fluorwasserstoff

2Volumina Stickoxid


2 Volumina Wasser (Dampf)
2 Volumina Ammoniak
Beispiele 1 bis 3:
Es verbindet sich jeweils 1Volumen des ersten Stoffes mit 1 Volumen des zweiten Stoffes.
Da wir vermuten, dass sich auch ein Molekül des ersten Stoffes mit einem Molekül des zweiten Stoffes verbindet,
müssen wir annehmen, dass in jedem dieser gleichen Volumina gleich viele Moleküle sind
Da wir zwei Volumina bekommen, müssen wir folgern, dass bei der Reaktion auch zwei Moleküle entstehen. Dies
lässt sich am besten dadurch erklären, dass man weiters annimmt, dass das erste Molekül selbst aus zwei
Teilchen (Atomen) besteht und ebenso das zweite Molekül
Chlor
Wasserstoff
Chlorwasserstoff
Beispiel 4 :
Es verbindet sich 1 Volumen Sauerstoff mit 2 Volumina Wasserstoff. Wenn wir annehmen, dass im doppelten
Volumen doppelt so viele Teilchen sind, folgt, dass sich ein Molekül Sauerstoff mit zwei Molekülen Wasserstoff
verbinden.
Sauerstoff
Wasserstoff
Wasser
II- 14 -
Wir bekommen 2 Volumina Wasser. Das bedeutet, dass auch bei der Reaktion der Moleküle 2 Moleküle Wasser
entstehen. Jedes dieser Moleküle besteht aus drei Teilchen: 1 Atom Sauerstoff und zwei Atomen Wasserstoff
Versuchen Sie, Beispiel 5 selbst zu erklären.
Für alle obigen Beispiele bekommt man also eine gute Erklärung, wenn man annimmt, dass
1)Moleküle von chemischen Elementen aus Atomen zusammengesetzt sind und
2)gleiche Volumina unter gleichen Bedingungen die gleiche Anzahl von Molekülen enthalten.
Der erste Satz wurde 1803 vom englischen Philosophen John Dalton formuliert:
Jedes Element besteht aus Atomen oder aus Molekülen, die sich selbst aus mehreren gleichartigen
Atomen zusammensetzen
Verschiedene Elemente verbinden sich chemisch zu neuen Molekülen (chemischen Verbindungen), die aus
den verschiedenen Atomen der Elemente bestehen
Beispiel:
Viele Elemente, vor allem die bekanntesten Gase, bestehen aus Molekülen, die sich selbst aus zwei gleichartigen
Atomen zusammensetzen: Sauerstoff O2, Stickstoff N2, Wasserstoff H2, Chlor Cl2,
Es gibt aber auch Elemente, die nur aus einem Atom bestehen: Helium He, Neon Ne
Chemische Verbindungen bestehen aus verschiedenen Atomen: Wasser H2O, Kohlendioxid CO2, Schwefeltrioxid
SO3
Das zweite Gesetz hat der italienische Physiker Amadeo Avogadro hat kurz darauf 1811 aufgestellt.
Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur befindet sich in gleichen Gasvolumina dieselbe Anzahl von
Molekülen
(Satz von Avogadro)
Bemerkung:
Die beiden Sätze kann man eigentlich nicht beweisen, sondern nur in vielen Beispielen bestätigt finden. Wenn man
sie aber als richtig annimmt, kann man viele Ergebnisse der Chemie und Physik auf einfach Weise erklären. Ohne
diese beiden Sätze wäre die weitere Entwicklung dieser beiden Wissenschaften nicht möglich gewesen.
5.2
Das Mol:
Der Satz von Avogadro sagt nur, dass in 1m 3 Gas unter gleichen Bedingungen gleich viel Teilchen zu finden sind,
egal um welches Gas es sich handelt. Er sagt aber nicht, wieviel Teilchen in einem Kubikmeter enthalten sind. Bei
vielen Problemen ist es auch nicht wichtig, diese Zahl zu kennen.
Wichtig ist aber, dass man immer mit derselben Anzahl von Teilchen arbeitet, egal mit wie vielen Teilchen. Wir
suchen also eine Einheit für Stoffmenge. Zu diesem Zweck messen wir die Masse verschiedener Gase bei
bestimmten Volumina.
o
Man findet, dass bei Normalluftdruck (po= 101325Pa und 0 C) das Volumen
22,4
L
22,4
L
22,4
L
22,4
L
22,4
L
22,4
L
Wasserstoff
(H2)
Sauerstoff(O2)
die Masse
2g
hat
die Masse
32g
hat
Stickstoff (N2)
die Masse
28g
hat
Helium (He)
die Masse
4g
hat
Neon (Ne)
die Masse
20g
hat
Chlor
die Masse
35g
hat usw.
Die Anzahl der Teilchen, die in diesem Volumen 22,4L enthalten ist, kannte man lange Zeit nicht. Man gab aber
dieser Stoffmenge die Bezeichnung 1 Mol. Seit ungefähr 100 Jahren kennt man die Zahl der Moleküle in einem
23
Mol. Es sind 6,022x10 Moleküle. Wir fassen zusammen:
23
1 Mol eines Stoffes sind NA=6,022x10 Moleküle (Atome) dieses Stoffes. NA heißt Avogadro-Zahl.
Die Masse von 1Mol eines Stoffes heißt Molmasse M
Beispiele: Molmasse von Helium M(He)=4g/mol ; Molmasse von Kohlenstoff M(C)=12g/mol
II- 15 -
o
Das Volumen von 1Mol eines Gases beträgt unter Normalbedingungen (0 C und 102 325Pa) V1mol=22,4L.
Beispiel: Gegeben seien 44,8L Neon bei Normalbedingungen. Das sind 2mol und daher 2.N A Teilchen und 40g
Aus der chemischen Gleichung für die Teilchen folgt die Gleichung für die Mole und die Molmassen
Beispiel:
Angenommen, die chemische Gleichung lautet:
Das bedeutet
Teilchen C
Das bedeutet aber auch:
Und:
A + 3B   2C
1 Teilchen A verbindet sich mit 3 Teilchen B und es entstehen 2
1mol A verbindet sich mit 3mol B und es entstehen 2mol C
M(A) + 3M(B) = 2M(C)  M(C)={M(A)+3M(B)}/2
Die Anzahl der Mol in einer gegebenen Menge Stoff heißt Molzahl  und es gilt
 = Masse/Molmasse = m/M
oder bei Normalbedingungen:
Volumen/Molvolumen
Beispiel 1:
Gegeben sind 80g Helium:
Beispiel 2:
Gegeben sind 56g Stickstoff (N2):
Beispiel 3:
Gegeben sind 85g Ammoniak (NH3)
Das sind =80g/(4g/mol) =20mol Helium, also 20.N A Teilchen
Das sind =56g/(28g/mol) = 2mol Stickstoff, also 2.N A Teilchen
chemische Gleichung: N2 + 3H2   2NH3
Molmasse: M(NH3) = {M(N2) + 3M(H2)}/2 ={28+3x2)/2=17g/mol 
Molzahl:  = 85g/(17g/mol) = 5mol.
Aufgaben:
(5.1)Bestimmen Sie die Molmasse von
elementarem Sauerstoff O
Ozon (O3),
Lachgas (N2O)
Salpetersäure (HNO3)
Elementarem Chlor (Cl2)
Wasser (H2H)
elementarem Stickstoff (N)
Ammoniak (NH3)
Salzsäure HCl
Elementarem Wasserstoff (H)
Salmiak (NH4OH)
Hypochloriger Säure HOCl
(5.2)Angenommen 1Volumen V des Gases A reagiert mit genau 4V des Gases B zu genau 1V des Gases C.
Aus wieviel Atomen könnten die Teilchen von A, B und C bestehen?
(5.3)Angenommen 1Volumen V des Gases A reagiert mit genau 4V des Gases B zu genau 2V des Gases C.
Aus wieviel Atomen könnten die Teilchen von A, B und C bestehen?
(5.4)Angenommen 1Volumen V des Gases A reagiert mit genau 5V des Gases B zu genau 2V des Gases C.
Aus wieviel Atomen könnten die Teilchen von A, B und C bestehen?
(5.5)Angenommen 2Volumina V des Gases A reagieren mit genau 6V des Gases B zu genau 2V des Gases C.
Aus wieviel Atomen könnten die Teilchen von A, B und C bestehen?
(5.6)Angenommen 2Volumina V des Gases A reagieren mit genau 3V des Gases B zu genau 2V des Gases C.
Aus wieviel Atomen könnten die Teilchen von A, B und C bestehen?
Kontrollfragen:
(5.7)Unter welchen Bedingungen befinden sich in gleichen Volumina verschiedener Gase dieselbe Anzahl von Teilchen.
(5.8)Gilt der Satz von Avogadro auch für Flüssigkeiten und für Festkörper?
(6.9)Elemente bestehen aus Atomen oder aus ................................ Molekülen
(6.10)Ein Mol ist eine .............. ......................................von Teilchen. Sie heißt .........................................................
(6.11)Welches Volumen hat ein Mol Sauerstoff bei Normalbedingungen? Wie ist es bei Stickstoff?
(6.12)Welches Volumen hat ein Mol Luft bei Normalbedingungen?
(6.13)Sind in einem Mol Chlorgas und in einem Mol Wasserstoffgas dieselbe Anzahl von Teilchen?
(6.14)Hat ein Mol Sauerstoff und ein Mol Stickstoff dieselbe Masse?
5.3
Die allgemeine Gaskonstante
Wir erinnern uns an die Gasgleichung (4.6). Sie verbindet Druck, Volumen, Temperatur und Masse eines Gases.
pV / T = m.Rspez = const
Dabei ist spezifische Gaskonstante Rspez ein Konstante, die für dasselbe Gas immer gleich ist, für verschieden
Gase aber i.A. verschieden. Die gesamte Konstante "const" hängt zudem von der Masse ab..
Wir vergleichen nun verschiedene Gase und arbeiten jeweils mit genau 1 Mol. Man muss daher in (4.6) für m die
Molmasse M einsetzen
pV1Mol/T = M.Rspez= const
o
Da V1Mol bei T=273,15 K und po= 101325Pa für jedes Gas gleich 22,4L ist, ergibt sich auf der rechten Seite
unabhängig von der Art des Gases immer dieselbe Zahl
M.Rspez = 8,314
Man nennt diese Zahl mit dem Symbol R Allgemeine Gaskonstante
o
R = 8,314 [J/mol K]
Weil sie für alle Gase gleich ist.
II- 16 -
Die Gasgleichung bekommt nun auch eine einfachere Form. Für 1Mol gilt:
pV1mol = RT
Für  Mole gilt die Allgemeine Gasgleichung:
pV = .R.T
(5.1)
Man kann die Gleichung auch für Teilchenzahlen formulieren:
Angenommen, man hat n Teilchen im Volumen V gegeben. Da jedes Mol genau NA Teilchen enthält, ist die Molzahl
=n/NA und die allgemeine Gasgleichung lautet: pV/T = nR/NA
-23
Die Zahl k=R/NA =1,4 x 10
heißt Boltzmann-Konstante
-23
k = 1,4 x 10
Damit lautet die allgemeine Gasgleichung
pV = nk
(5.2)
n = Anzahl der Teilchen (Moleküle) im Volumen V.
Aufgaben:
o
(5.7)Welches Volumen haben a)160g Sauerstoff, b) 70g Stickstoff bei 20 C und Normalluftdruck?
o
(5.8+)Welches ungefähre Volumen haben 300g Luft ( 20%Sauerstoff und 80% Stickstoff) bei 20 C und
Normalluftdruck?
(5.9)Wie viele Atome sind bei Normalbedingungen in 1L Helium enthalten?
(5.10)Welche Masse hat bei Normalbedingungen ein Liter Sauerstoff?
(5.11)Welche ungefähre Masse hat 1L Luft?
(5.12)Wieviel Moleküle sind in einem Kubikmikrometer (m 3) eines idealen Gases bei 727oC und 140 000Pa
enthalten?
(5.13)Bestimmen Sie Rspez für Sauerstoff und Stickstoff!
(5.14+)Bestimmen Sie Rspez für Luft!
Kontrollfragen:
(5.30)Wovon ist Rspez abhängig (1Größe) wovon ist diese Konstante unabhängig (4 Größen)
(5.31)Wovon ist R unabhängig (4 Größen)? Gibt es eine Größe, von welcher R abhängig ist?
(5.32)Wie heißt die Größe
a)"x = Volumen / Molvolumen" ?
b)"x=Teilchenzahl/Avogadrozahl"
c)x=allgemeine Gaskonstante/Avogadrozahl"
d)"x=Molmasse mal spezifische Gaskonstante"
e)"x=Molmasse/Avogadrozahl"
f)"x=Dichte/Teilchenzahl"
g)"x=Teilchenzahl/Volumen"
h)"x=Avogadrozahl/Teilchendichte"
6 Gaskinetik:
6.1
Vorbereitung und Wiederholung
6.1.1 Impuls und Kraftstoß
Beim Stoß eines Gasteilchens gegen andere Teilchen ändert sich sein Impuls: I = m.v
Wenn diese Impulsänderung die Zeit t dauert, schreiben wir: t = m.v/t = m.a = F und wir haben
Kraft = Impulsänderung / Stoßzeit
F = I /.t
(6.1)
Umgekehrt schreibt man gerne:
I = F.t
Das Produkt F.t wird auch oft "Kraftstoß" genannt:
Kraftstoß = Impulsänderung
6.1.2 Teilchendichte:
Die Teilchendichte N ist die Anzahl der Teilchen pro Kubikmeter
N = gesamte Teilchenzahl / Volumen = n/V
II- 17 -
6.1.3 Teilchenfluss:
In einem Rohr sollen sich alle Teilchen mit derselben
Geschwindigkeit v (zum Beispiel v=4m/s) nach rechts bewegen.
Wieviel Teilchen strömen im Zeitintervall t durch den
Rohrquerschnitt A.
Lösung:
3
Wir denken uns v Würfeln mit dem Volumen 1m (In der
Abbildung sind das 4 Würfeln). Jeder Würfel enthält N Teilchen.
In 1Sekunde fließen daher durch den linken Würfelquerschnitt
2
1m genau v Würfel mit je N Teilchen (In der Abbildung 4 Würfel
). Das sind v.N Teilchen
Im Zeitintervall t fließen v.N.t Teilchen durch diesen
Quadratmeter
Durch den Querschnitt A fließen dann A.V.N.t Teilchen:
Ergebnis:
N
N
N
N
1m
2
A
v
Die Anzahl der Teilchen mit der Teilchendichte N und der Geschwindigkeit v, die im Zeitintervall t durch
den Querschnitt A normal zur Geschwindigkeit v gehen, ist
n = A.v.N. t
(6.2)
Querschnitt nicht normal zur Geschwindigkeit:
Hier muss statt der Geschwindigkeit die v Komponente vn normal zum Querschnitt verwendet werden:
vn = v.cos ( = Winkel zwischen v und vn)

n = A.vn.N. t
v

vn
Teilchen mit verschiedenen Geschwindigkeiten:
Man muss die Teilchen in Klassen einteilen:
Klasse 1 mit Geschwindigkeit v1 und Teilchendichte
N1
Klasse 2 mit Geschwindigkeit v2 und Teilchendichte
N2 und so weiter:
Die Gesamtzahl der Teilchen, die durch einen
Querschnitt A gehen ist die Summe der Teilchen aus
den einzelnen Klassen, die durch A gehen
Beispiel:
In einem Raum gibt es zwei Arten von Teilchen
Teilchenart 1: v1 = (82) und Teilchendichte N1 =
50/m3
Teilchenart 2: v2 = (51) und Teilchendichte N2 =
40/m3
Wieviel Teilchen gehen in einer Minute durch einen
Querschnitt A = 0,3m2 normal zur x-Achse?
Lösung:
n = A.vn1.N1.t +A.vn2.N2.t = 0,3.8.50.60 + 0,3.5.40.60 = 10 800 [Teilchen]
6.1.4 Mittleres Quadrat:
Beispiel:
Häufigkeit
Alter
n1= 6
n2= 3
n3= 10
n4= 12
n5= 9
Summe
N =40
x1 =20
x2 =21
x3 =23
x4 =24
x5 =30
Quadrat
des Alters
2
x1 =400
2
x2 =441
2
x3 =529
2
x4 =576
2
x5 =900
Mittelwert des Alters = mittleres Alter:
Quadrat des Mittelwerts des Alters:
x={6.20+3.21+10.23+12.24+9.30}/40=24,275
x =24,275 =589,275625
2
2
Mittelwert des Quadrats des Alters = mittleres Quadrat des Alters:
Allgemein gilt:
Mittelwert von x = mittlere Größe x:
Mittelwert des Quadrats von x =mittleres Quadrat von x
Man benützt auch oft folgende Beziehungen:
x  ={6.400+3.441+10.529+12.576+9.900}/40=600,625
2
x = {n1.x1+n2.x2+n3.x3+....}/N =  = (nixi)/N
2
2
2
2
2
x  = {n1.x1 +n2.x2 +n3.x3 +....}/N =  = (nixi )/N
II- 18 -
x.N = {n1.x1+n2.x2+n3.x3+....}
2
2
2
2
x .N =.{n1.x1 +n2.x2 +n3.x3 +....}
(6.3a)
(6.3b)
6.1.5 Pythagoras im Raum
Ein Vektor im dreidimensionalen Raum hat drei Komponenten.
Zum Beispiel die Geschwindigkeit:
v= (vxvyvz)
Der Betrag dieses Vektors wird analog zum zweidimensionalen Vektor berechnet:
v = v = (vx2 + vy2 + vz2 )
(ohne Beweis)
v
vx
(6.4)
vz
vy
Aufgaben:
(6.1)Ein Gummiball (m=30g) stößt elastisch gegen die Wand. Die Stoßzeit beträgt ½ Sekunde
a)Wie groß ist der Impuls, den die Wand bekommt? b)Wie groß ist die Kraft auf die Wand?
3
(6.2)Die Dichte von Regentropfen beträgt N = 100/m . Ihre Geschwindigkeit beträgt v=1,5m/s und v schließt mit einer
2
o
Fensterfläche A = 2m den Winkel =30 ein. Wie viele Tropfen stoßen pro Sekunde gegen das Fenster?
2
(6.3)In einem Rohr mit Querschnitt A = 1/2 m gibt es zwei Arten von Staubteilchen. Die Teilchen A haben die Geschwindigkeit
3
vA=20m/s und die Teilchendichte N A= 3000/m . . Die Teilchen B haben die Geschwindigkeit vA=10m/s und die Teilchendichte
3
NA= 7000/m . Alle Teilchen fliegen in Richtung der Achse des Rohrs. Wie viele Teilchen fliegen pro Sekunde durch den
Rohrquerschnitt?
(6.4)In einem Raum fliegen alle Teilchen mit derselben Geschwindigkeit v= 10m/s normal gegen eine Wand mit der Fläche A. die
3
Dichte der Teilchen beträgt N= 2000/m , ihre Masse beträgt 5mg
a)Wie viele Teilchen fliegen in einer Minute gegen die Wand?
b)Wie viele Teilchen fliegen in der Zeit t gegen die Wand?
c)Welchen Impuls bekommt die Wand in einer Minute?
d)Welche kraft wirkt auf die Wand?
welcher Druck wirkt auf die Wand?
(6.5)In einem Raum gibt es fünf Arten von Teilchen
Teilchenart
Geschwindigkei Masse
Teilchendichte
In diesem Raum steht eine Wand mit der Fläche F normal
t
zur x Achse:
3
A
2mg
NA = 2000/m
a)Welche Teilchen werden niemals an diese Wand
vA=(20040)
3
stoßen?
B
2mg
NB = 5000/m
vB= (10040)
3
b)Wie viele Teilchen von jeder Sorte stoßen in der Zeit t
C
2mg
NC= 1000/m
vC=(8060)
3
an diese Wand
D
2mg
ND= 3000/m
vD=(1000)
3
E
2mg
NE= 4000/m
vE=(0100)
c)Wie groß ist der Impuls, jedes Teilchen im Zeitintervall t an die Wand überträgt?
d)Wie groß ist der Druck gegen diese Wand?
(6.6)Führen Sie die Aufgabe (6.5) für eine Wand durch, die normal zur y-Achse steht!
(6.7)
Häufigkeit ni
5
6
3
10
6
Temperatur xi
o
20
o
18
o
25
o
28
o
30
xi
2
Bestimmen Sie:
a)die mittlere Temperatur x
2
b)Das Quadrsat der mittleren Temperatur x
c)Das mittlere Quadrat der Temperatur ?
.
6.1.6 Bestimmung der spezifischen Zusammenhang zwischen Druck und
Teilchenbewegung
Wir denken uns den abgebildeten Würfel mit dem Volumen V = 1m 3 mit einem Gas gefüllt, das aus vielen Teilchen
besteht. Die Teilchendichte soll N sein und jedes Teilchen soll dieselbe Masse m
haben. Es gibt aber viele verschiedene Geschwindigkeiten, da sich die Teilchen
z-Richtung
ungeordnet bewegen. Trotzdem werden wir herausfinden, wieviel Teilchen im
Zeitintervall t gegen die Querschnitte A, B und C stoßen und welchen Druck sie
B
dort ausüben:
y-Richtung
C
x-Richtung
A
Zu diesem Zweck teilen wir die Teilchen in
Gruppen ein:
Zuerst ein Beispiel:
In der rechten Abbildung sieht man 10
Teilchen. Ihre Geschwindigkeiten vA, vB,
........vJ sind alle verschieden. Trotzdem haben
alle Teilchen in der linken Spalte etwas
gemeinsam:
vA
vB
vF
vG
vC
vH
vD
vI
vE
vJ
vx1
vx2
II- 19 -
Die x-Komponente ihrer Geschwindigkeit ist dieselbe, wir nennen sie v x1 und sagen: "Diese Teilchen gehören in
die Gruppe 1, ihre Teilchendichte soll Nx1 heißen"
Auch die Teilchen der rechten Spalte haben dieselbe x-Komponente ihrer Geschwindigkeit, wir nennen sie vx2 und
sagen: "Diese Teilchen gehören in die Gruppe 2, ihre Teilchendichte soll Nx2 heißen"
So wie in diesem Beispiel können wir nun alle Teilchen des Gases in Gruppen einteilen:
Zwei Teilchen gehören in dieselbe Gruppe, wenn ihre Geschwindigkeit dieselbe x-Komponente hat. Die Anzahl der
verschiedenen Gruppen soll k heißen.
Wir beginnen mit der ersten Gruppe:
Die Anzahl der Teilchen aus der ersten Gruppe, die im Zeitintervall t gegen den Querschnitt A stößt, ist
A.vx1.Nx1.t
Von jedem solchen Teilchen bekommt die "Wand" A beim elastischen Stoß den Impuls
2mvx1
Daher bekommt die Wand A in der Zeit t von den Teilchen der Gruppe 1 den Impuls
2
I1 = 2.A.m.t.vx1 .Nx1
Genauso berechnet man den Impuls, den die Wand von den Teilchen der anderen Gruppen bekommt
2
I2 = 2.A.m.t.vx2 .Nx2
..................................
..................................
..................................
Ik = 2.A.m.t.vxk2.Nxk
Der Gesamte Impuls, den die Wand in t erhält, ist daher
I = 2Am.t.{vx12.Nx1 + vx22.Nx2 + ..................vxk2.Nxk}
Die Summe der Teilchendichten ist: Nx1 + Nx2 + ..........+Nxk = N/2 , weil nur die Hälfte aller N Teilchen nach rechts
in Richtung A geht. (Die andere Hälfte bewegt sich im Mittel nach links). Man kann daher die riesige Summe in der
geschwungenen Klammer gemäß Formel (6.4) vereinfachen
I = 2Amt.vx2.N/2 = Amt.vx2.N
Die Kraft F = I/tist dann:
F= AmNvx2
Der Druck auf die Wand A ist also:
2
pA = mNvx 
Analog ergibt sich der Druck auf die Wand B und C:
pB= mNvy2 und pC= mNvz2
Wenn das Gas als Ganzes ruht, wenn also zum Beispiel kein Wind weht, dann ist der Druck in alle Richtungen
gleich (Gleichverteilung des Drucks):
pA = pB = pC = p
oder
p={pA+pB+pC} / 3
p = Nm {vx2 + vy2 + vz2 } / 3
In der höheren Physik kann man beweisen, daß der "Pythagoras im Raum" (siehe 6.1.5) auch für die Mittelwerte
dieser Geschwindigkeiten und ihre Komponenten gilt:
vx2 + vy2 + vz2 = v2
Damit haben wir den Druck des Gases berechnet
p = N.m.v2 / 3
(6.5)
Der Druck eines ruhenden Gases ist gleich dem Produkt aus Teilchenmasse m, Teilchendichte N und mittlerem
2
Quadrat der Teilchengeschwindigkeiten v 
6.1.7 Was ist Temperatur? (II):
Man kann die Formel (6.5) noch anders schreiben:
p
2
2N m. v
2N
.

. Wkin
3
2
3
(6.6)
Diesen Druck p vergleichen wir mit (5.2):
II- 20 -
p.V = nkT
Hier war n die Anzahl der Teilchen im Volumen V und k = 1,4x10-23 die "Boltzmann-Konstante"
3
Wenn man V=1m wählt, so muß man statt n die Teilchendichte N setzen:
p= NkT
Ein Vergleich mit (6.6) ergibt:
NkT = 2NWkin/3
oder:
Wkin 
3
k .T
2
(6.7)
Diese Formel sagt sehr viel darüber aus, was Temperatur wirklich ist:
Die absolute Temperatur eines Gases ist proportional zur mittleren kinetischen Energie Wkin der
Gasteilchen.
Die kinetische Energie mv2/2 enthält ein "Quadrat". Sie kann daher nicht negativ sein. Daher kann auch T nicht
negativ sein und somit ist T=0o K die kleinste mögliche Temperatur.
6.1.8 Temperatur von festen und flüssigen Körpern:
Auch bei festen und flüssigen Körpern kann man einen Zusammenhang zwischen Temperatur und
Teilchenbewegung erkennen. Die Beweise sind jedoch viel komplizierter, als bei den Gasen. Zusammenfassend
kann man sagen:
Wärme ist eine Form von ungeordneter Teilchenbewegung
Bei Gasen ist die Teilchenbewegung ziemlich frei und es gibt viele elastische Stöße zwischen den Teilchen
1870 hat J.C.Maxwell berechnet, welche Geschwindigkeiten bei welchen
Temperaturen am meisten vorkommen. die Abbildung zeigt die sogenannte
"Wahrscheinlichkeitsdichte" (diesen Begriff brauchen Sie nicht zu verstehen) der
Geschwindigkeiten für Stickstoff
Es kommen immer alle Geschwindigkeiten von v=0 bis v vor, sie sind aber nicht
gleich wahrscheinlich
oC
Bei -200 C ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit etwas mehr als 200m/s
o
Bei 0 C ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit etwas mehr als 400m/s. Außerdem
liegen 50% aller Geschwindigkeiten zwischen v=0 und v500m/s
o
o
-200 C
Bei Flüssigkeiten gibt es ebenfalls sehr zufällige aussehende Bewegungen
der Teilchen.
0C
200
50%
400
600
Die Bewegung ist nicht so frei wie bei Gasen. Bei manchen Flüssigkeiten und bei bestimmter
Beleuchtung gibt es besondere Lichtspiegelungen und man kann man die Bewegungen sogar im
Mikroskop sehen, obwohl Teilchen natürlich nicht im Mikroskop sichtbar sind. (Brown'sche
Bewegung)
Bei Festkörpern führen die Teilchen ungeordnete Schwingungen um ihre Gitterplätze aus
In Festkörpern sind die Moleküle (oder Atome)
regelmäßig angeordnet. Man sagt: Sie bilden
ein Gitter oder Kristallgitter. Dabei hat jedes
Atom einen bestimmten Platz. Je wärmer der
Körper ist, desto stärker schwingen die
Moleküle. Das Zentrum jeder Schwingung ist
der Gitterplatz des Teilchens. die
Schwingungen verschiedener Teilchen sind
verschieden stark, haben verschiedene
Richtungen und Frequenzen.
Wenn alle Teilchen mit derselben Frequenz
gleichphasig schwingen würden, so wäre dies
keine (ungeordnete )Wärmebewegung,
sondern eine gewöhnliche mechanische Schwingung, die jeder elastische Körper ausführen kann (z.B.: die
Schwingung einer Brücke)
Zusammenfassend kann man für alle Körper (fest, flüssig oder gasförmig) sagen:
Wärme ist ungeordnete Bewegung von Molekülen.
Die mittlere Bewegungsenergie der Teilchen ist proportional zur absoluten Temperatur
Geschwindigkeit v
II- 21 -
W kin= 3kT/2
oder
T=2Wkin / 3k
Wkin = mv2 enthält ein Quadrat und ist daher immer größer als Null. W kin>=0, daher ist auch T>=0
o
o
Der absolute Nullpunkt T=0 K (t = -273 C) ist die tiefste mögliche Temperatur. Hier hat kein Teilchen mehr
eine Bewegungsenergie
6.1.9 Exkurs: Die Exponentialität der barometrischen Höhenformel:
Wir können nun - zumindest teilweise - die Formel (1.4)
p  p o .e o .g .h /
po
beweisen: (Dabei ist po der Luftdruck am Boden bei gegebener Temperatur und o die Dichte am Boden bei
gegebener Temperatur)
Aus Formel (4.6) folgt:
p = (m/V).Rspez .T = Rspez.T, also:
p1
p2
Bei konstanter Temperatur ist die Dichte eines Gases zum Druck proportional
 p.(T/Rspez) = const.p
h
Wir betrachten nun eine Gas-säule mit der Höhe h. Von außen wirkt der Druck p. Wenn

h sehr klein ist, so ist auch die Dichte in der Säule fast konstant und die kleine Säule
p1= gh
p2= gh
erzeugt selbst den Druck
p  -gh
(Das Minuszeichen ist notwendig, weil p sinkt, wenn h steigt. Das heißt p ist positiv wenn h negativ ist.)
ist aber selbst proportional zu p, daher gilt: p  const.g.p.h, also p/p = const.g.h , also
Bei konstantem h ist auch p/p = -konstant  p sinkt exponentiell
p = po.e-Zahl . h
Die genaue "Zahl" im Exponenten kann man nur mit der Differential und Integralrechnung bestimmen.
7 Der erste Wärmehauptsatz
7.1
Die Druckenergie
7.1.1 Bei konstantem Druck
3
2
3
Das Produkt. "p.V" hat die Einheit [Pa].[m ] = [N/m ].[m ] = [Nm] =[Joule], also die
Einheit der Größe "Energie". Wir werden sehen, dass dieses Produkt in vielen
Anwendungen wirklich die Bedeutung einer Energie hat.
Wir komprimieren ein Gas von V1 auf V2, der Druck sei zunächst konstant p1=p2.=pGas.
Dabei muss man gegen die Kraft des Gases arbeiten
FGas = pGas.A
um gegen den Druck des Gases zu arbeiten. Die Änderung der potentiellen Energie
des Systems (=Gas) ist daher:
W Gas = -FSystem.s , also: WGas = -pGas.A.s oder

W Gas = -p.V
(7.1)
Im p-V-Diagramm ist die Energieänderung W als
Fläche eines Rechtecks mit den Seiten p und V sichtbar
II- 22 -
Vorzeichen:
Bei der Kompression wird das Volumen kleiner: V<0  W>0 Das Gas absorbiert
(bekommt) Energie
Der Druck des Gases(nach außen)
wird
positiv gewählt: p>0
Bei der Expansion wird das Volumen größer: V>0  W<0 Das Gas verliert Energie
(Energie wird frei)
7.1.2 Bei nicht konstantem Druck:
Wenn pconst ist, ist das p-V Diagramm eine Kurve (zum Beispiel eine Isotherme). Die
Energieänderung kann also kein Rechteck sein. Wir betrachten
daher zunächst eine sehr kleine (unendlich kleine) Volumsänderung,
die man dV nennt. Während einer so kleinen Volumsänderung ändert
V1
pGas
sich der Druck p kaum und wir schreiben
Wkleine Änderung  p.dV
Wenn dV0 geht, kann man statt des ""sogar ein "=" schreiben.
Diese kleine Änderung der Energie ist nun wieder als (sehr
schmales) Rechteck mit der Basis dV und der Höhe p sichtbar (Abbildung links).
Nun zu einer beliebig großen Volumsänderung V:
Jede solche Volumsänderung kann man in sehr viele, sehr kleine Volumsänderungen
dV einteilen (Genauer: In  viele, unendlich kleine dV). Die Energieänderung besteht
dann aus unendlich vielen sehr schmalen Rechtecken. Ihre Summe ist die Fläche und
der p-V-Kurve zwischen V1und V2. Wir merken uns
V2
A
V
p
Kompression
WGas = Flächenstück unter der pV-Kurve
Bemerkung (für Mathematiker)
V2

W 
pGas
pdV
V
V1
0
V2 V V1
Man schreibt:
und erhält mit Hilfe der Integralrechnung das Ergebnis, wenn die Formel (Funktion) p(V)
bekannt ist.
7.1.3 Äußere Arbeit und Energie des Gases:
Das Gas absorbiert, bei der Kompression Energie. Diese muss von außen "kommen". Die Umgebung des Gases
verliert also diese Energie. Umgekehrt:
Bei der Expansion wird Energie frei. Das Gas gibt also Energie an die
Umgebung ab. Beispielsweise bei einer Dampfmaschine (Abb. rechts)
Man muss immer zwischen WGas und WAußen unterscheiden, es ist
W Gas = - WAußen
W Gas = - pGas.V
und
Waußen = pGas.V
pGas >0
7.1.4 Zusammenfassung:
Bei der Kompression und Expansion eines Gas ändert sich immer auch die mechanische Energie W

W Gas heißt "Druckenergie" ,"Druckarbeit" oder "Mechanische Arbeit". Waußen wird oft "Äußere Arbeit" genannt
W ist im p-V-Diagramm als Fläche unter der Kurve zwischen V1 und V2 sichtbar
Aufgaben:
o
0
(7.1)Zwei Kubikmeter Luft werden bei p= 100 000 Pa = const von 10 C auf 100 C in einem Zylinder mit Kolben erwärmt.
a)Wieviel Mol Gas ist in diesem Volumen enthalten?
b)Wie groß ist die mechanische Arbeit, die das Gas bei der Erwärmung leistet?.
V
II- 23 -
2
o
(7.2)Ein stehender Gaszylinder hat den Querschnitt A = 0,02m und ist bei 27 C bis zur Höhe h= 0,5m mit einem Gas gefüllt. Der
Kolben hat die Masse m = 8kg. Ansonsten wirkt kein weiterer Druck (auch kein Luftdruck). Wir erwärmen das Gas so lange, bis
seine Höhe im Zylinder h2 =0,6m beträgt.
a)Wie groß ist dann die Temperatur?
b)Welche Arbeit wird vom Gas nach außen geleistet?
7.2
Die Innere Energie:
Wenn man ein Gas erwärmt, kann sich sein Volumen ändern oder auch nicht (zum Beispiel in einem fest
verschlossenen Gefäß). Es ändert sich aber sicher die kinetische Energie seiner Moleküle (oder Atome).
Diese Energie, für alle seine Teilchen zusammengerechnet, heißt "Innere Energie" U des Gases.
Unter der Inneren Energie U eines Gases versteht man die kinetische Energie für die Wärmebewegung aller
seiner Moleküle

Am absoluten Nullpunkt ist die Innere Energie eines Gases U = 0, weil dort die Teilchen keine ungeordnete
Bewegung mehr ausführen.

Wenn man ein Gas erwärmt, so ist U>0, wenn man es abkühlt, so ist U<0
7.3
Der Hauptsatz:
Es sei ein Gas (p1,V1, T1) gegeben. Wir ändern nun seinen Zustand, indem wir

ihm durch eine Flamme Wärme Q zuführen und
W

zugleich den Kolben nach innen drücken und dem Gas damit
mechanische Arbeit W zuführen
Dabei steigt die Temperatur und daher auch die Innere Energie U
Es gilt:
U = Q + W
(7.2)
Die Änderung der Inneren Energie setzt sich zusammen
aus der zugeführten Wärme und der zugeführten
mechanischen Energie
U1, T1
U2>U1
T2
Q
(Erster Wärmehauptsatz)
Man muss darauf achten, in welcher Form er in der Literatur geschrieben wird:
U = Q + W Gas
oder
U = Q - p.V
(p>0)
hier bedeutet WGas = -p.V die mechanische Energie, die das Gas (das System) absorbiert oder verliert.
Man findet den Satz auch in folgender Form:
U = Q - WUmgebung
oder
U = Q + p.V
(p>0)
hier ist WUmgebung = p.V die sogenannte "äußere Arbeit", das ist die Energie, welche die Umgebung an das Gas
abgibt oder vom Gas aufnimmt.
W Gas
= -WUmgebung
7.3.1 Spezifische Wärmen der Gase
Bei der Erwärmung von Gasen gibt es einen Unterschied, ob man sie bei konstantem Druck (isobar) oder bei
konstantem Volumen (isochor) erwärmt. Beim letzteren Vorgang braucht man weniger Energie. Es sind daher auch
die spezifischen Wärmekapazitäten verschieden. Man schreibt:


Wärmeenergie für die Erwärmung bei konstantem Druck: Qp=const = cp.m.T
Wärmeenergie für die Erwärmung bei konstantem Druck: QV=const = cv.m.T
Dabei heißt:
cp: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
cp: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
7.3.2 Spezifischen Molwärmen:


o
Die spezifische Molwärme Cp ist die Energie für die Erwärmung eines Mols eines Gases um 1 K bei
konstantem Druck
Die spezifische Molwärme Cv ist die Energie für die Erwärmung eines Mols eines Gases um 1 oK bei
konstantem Volumen.
II- 24 -
Wenn man zum Beispiel  Mol eines Gases um T bei konstantem Druck erwärmt, braucht man die Wärmeenergie:
Q = .Cp.T
Wir werden später sehen, dass die beiden Größen Cp und Cv für viele verschiedene Gase jeweils konstant sind.
7.3.3 Berechnung der inneren Energie:
Wir erwärmen nun  Mol eines Gases bei konstantem Volumen (isochor). Es kann sich nicht ausdehnen und daher
auch keine mechanische Arbeit -p.V nach außen leisten. W = 0. Der erste Wärmehauptsatz lautet:
U = Q
also:
U = .Cv.
(7.3)
Bemerkung:
U ist die Energie, die nur für die Beschleunigung der Moleküle verwendet wird, nicht für die Vergrößerung des Volumens und
die damit verbundene mechanische Arbeit.
Nun erwärmen wir  Mol eines Gases bei konstantem Druck (pGas = p = const > 0) Es ist:

U = .Cv.T
Q = .Cp.T
Der erste Wärmehauptsatz lautet: U = Q + W
daraus folgt:
W Gas = -p.V =(5.1)= -.R.T
.Cv.T = .C p.T - .R.T und weiter:
Cp - Cv = R
(7.4)
(Gleichung von Robert Meyer)
Wir berechnen jetzt U auf eine andere Art:
U ist die Änderung der mittleren kinetischen Energie der Moleküle: Es gilt (6.7): W kin = 3k./2.
Wir verwenden nun genau 1 Mol Gas, das sind NA Moleküle:
U = NA.Wkin = 3k.NA./2, nun ist aber:
k = R/NA oder k.NA= R,
daher gilt: U1mol = 3R.T /2
Ein Vergleich mit (7.3) für = 1Mol zeigt:
Cv = 3R/2
aus /.4) folgt:
Cp = 5R/2
Leider stimmen diese Formeln nur teilweise mit den Experimenten überein, deshalb müssen noch weitere
Überlegungen folgen:
7.3.4 Freiheitsgrade:
Die Zahl 3 in der Formel Cp= 3R/2 folgt aus den "drei Dimensionen des Raumes" (siehe Beweis der Formel (6.5).
Genau Messungen haben ergeben, dass Cp nur bei einigen Gasen gleich 3R/2 ist, bei vielen anderen Gasen, zum
Beispiel Sauerstoff, Stickstoff, Chlor usw. findet man meist
Cp= 5R/2
Bei anderen Gasen: Wasserdampf, Kohlendioxid (CO2), Ozon (O3) findet man meist
Cp= 6R/2
Dieses Rätsel wurde sehr bald wie folgt gelöst:
Ein Einzelatom hat 3 "Freiheiten", sich zu bewegen:
"links-rechts"
"hinauf-hinunter"
"vorwärts-rückwärts"
Zwei nicht gebundene Atome haben demnach 2 mal 3 = 6 Freiheiten und n nicht gebundene Atome haben also 3n
Freiheiten für ihre Geschwindigkeiten. Gebundene Atome haben weniger Freiheiten:
Wenn zwei Atome in einem Molekül aneinander gebunden sind, können sie sich
"relativ zueinander" nicht mehr beliebig frei bewegen
Wenn man zum Beispiel das linke Teilchen festhält, so hat das rechte Teilchen nur
mehr 2 Freiheiten:

"aufwärts oder abwärts", das entspricht einer Rotation um die x-Achse (nach
vorne)

"vorwärts oder rückwärts, das entspricht einer Rotation um die (vertikale ) zAchse
Ein Bewegung nach rechts oder links (y-Richtung) ist nicht möglich Zusammen ergibt
dies f =5 Freiheiten.
Ähnlich zeigt man, dass dreiatomige Moleküle 6 Freiheiten besitzen
Allgemein gilt:
II- 25 -
Wenn die Temperatur nicht zu hoch ist, so haben die spezifischen Molwärmen den Wert:
Cv = fR/2
einatomige Gase: f = 3
Dabei ist f der sogenannte zweiatomige Gase: f = 5
Freiheitsgrad des Gases: dreiatomige Gase: f = 6
und
Cp = (f+2)R/2
Bemerkung:
Durch diese Formeln konnte man herausfinden, aus wieviel Atomen die meisten Gasmoleküle bestehen (Beispiel
O2, O3)
Bei sehr hohen Temperaturen beginnen die Moleküle auch noch gegeneinander zu schwingen, was zu einer
Erhöhung der Freiheitsgrade führt. Dies ist aber für uns zu schwierig
Aufgaben:
(7.3)Ein heißes Gas in einem Zylinder expandiert so, dass sein Kolben (m = 10kg) um 3m steigt. Gleichzeitig absorbiert es 140J
durch die schlecht isolierten Zylinderwände von seiner noch heißeren Umgebung. Erwärmt es sich oder kühlt es ab? Anleitung:
Bestimmen Sie U mit Hilfe des ersten Wärmehauptsatzes!
(7.4)Ein Gas wird bei konstantem Volumen erwärmt und erhält von außen die Wärmeenergie 400J. Bestimmen Sie U, Q und
W!
(7.5)In einem aufrechten Zylinder mit einem sehr schweren Kolben (m = 20kg) befindet sich heißes Gas. Der Kolben ist
"gesperrt", sodass er weder sinken noch steigen kann. Nun stellen wir das Gas in einem Kühlschrank und entriegeln gleichzeitig
den Kolben, sodass er um 40cm sinkt. Gleichzeitig verliert das Gas 7J durch die schlecht isolierten Wände an die kalte
Umgebung. Wird es wärmer oder kälter.
(7.6)Wir komprimieren ein Gas isotherm in einem Wasserbad. Wir brauchen dazu 50J. Was geschieht mit dieser Energie?
Bestimmen Sie U, Q und W
(7.7)Gegeben sind 67,2 Liter Helium bei Normalbedingungen.
o
a)Wieviel Energie braucht man, um es bei konstantem Volumen auf 20 C zu erwärmen?
o
b)Wieviel Energie braucht man, um es bei konstantem Druck auf 20 C zu erwärmen?
c)Welche Arbeit bekommt die Umgebung des Gases in Frage b)?
o
o
(7.8)Wir erwärmen 224Liter eines unbekannten Gases von 20 C auf 30 C bei konstantem Volumen und brauchen dazu die
Wärmeenergie Q= 2078,5 J. Wieviel Atome hat jedes Molekül dieses Gases?
o
o
(7.9)Wir erwärmen 42,84 Liter eines unbekannten Gases von 100 C auf 120 C beim konstanten Druck p = 140 000 Pa und
brauchen dazu die Wärmeenergie Q= 332,56 J. Wieviel Atome hat jedes Molekül dieses Gases?
(7.10+)Beweisen Sie analog zur Gleichung von Robert Meyer die folgende Beziehung: cp - cv = Rspez...!
(7.11+)Wenn man Rspez kennt, kann man auch c p und cv bestimmen. Wie?
Kontrollfragen:
(7.20)Definieren Sie nochmals c p und cv! Beginnen Sie zum Beispiel so: "c p ist die Wärmeenergie, die man braucht, um...............!"
(7.21)Definieren Sie die spezifischen Molwärmen Cpund Cv!
(7.22)Wie lautet der erste Wärmehauptsatz und was bedeuten die drei Größen, die in ihm vorkommen?
(7.23)Was hat W kn mit der Größe U zu tun?
o
(7.24+)Die Energie für die Erwärmung von ein Mol eines Gases um 1 C beträgt 3R/2. Geschieht die Erwärmung bei konstantem
Druck oder konstantem Volumen? Wieviel Atome hat jedes Gasmolekül?
(7.25a)Wieviel "Freiheitsgrade" hat ein Auto, das auf einem großen ebenen Platz fährt? b)Wieviel hat die U-Bahn? c)Ein
Hubschrauber (Helikopter)? Diskutieren Sie, die Antwort ist nicht eindeutig!
Warum braucht man mehr Wärmeenergie, um ein Gas bei konstantem Druck zu erwärmen, als bei konstantem Volumen?
(7.26)Bei welcher Zustandsänderung eines Gases ändert sich die innere Energie nicht?
8 Verwandlung von Wärme in Arbeit
8.1
Adiabatische Zustandsänderung:
8.1.1 Begriff:
"Adiabatisch" bedeutet:
isoliert gegen Wärmeübertragung
keine Wärme hinaus keine Wärme hinein
Q =0
In der Praxis gibt es keine vollkommen adiabatische, sondern nur fast adiabatische Zustandsänderungen.
Diese werden entweder in einem isolierten Gefäß durchgeführt oder sehr schnell, so dass für den Abfluss oder
Zufluss der Wärme Q keine Zeit bleibt.
Der erste Wärmehauptsatz lautet wegen Q=0:
U = W = -pV
Wir betrachten 1 mol eines Gases, dann ist:
p = RT/V und U = Cv.T
also:
Cv.R.V/V = (Cv –Cp).V/V
II- 26 -
oder
T/T = { 1- Cp/Cv }.V/V
Die Größe = Cp/Cv = (f+2)/f heißt Adiabatenindex
V/V
Wir müssen auf einen weiteren Beweis verzichten, aber mit Hilfe der Integralrechnung, die Sie im zweiten
Semester in Mathematik II kennenlernen werden, folgt ganz einfach:
T.V = const
oder
Daraus folgt ( siehe Übungsaufgabe (8.4)):
oder
T1.V1 = T2.V2
(8.1)
p.V = const
p1V1 = p2.V2
(8.2)
Beispiel:
o
Das Luftvolumen einer Fahrradpumpe expandieren wir sehr schnell aus das Dreifache. Die Anfangstemperatur sei 20 C, wie groß
ist die Endtemperatur?
Wir arbeiten mit (8.1), Luft ist ein zweiatomiges Gas, daher ist f=5 und =7/5 = 1,4, = 0,4:
T1.V1 = T2.V2 T2 = T1.V1/ V1 = T1 .{V1/V2}-1 = 293. (1/3)
0,4
o
o
= 293. 0,6444 = 188,8 K (=-84,2 C)
p
8.1.2 Vergleich von Adiabaten und Isothermen:
Eine Isotherme ist eine Kurve, auf welcher jeder Zustand dieselbe
Temperatur hat. Die Abbildung enthält zwei Isothermen (feiner
Strich). Die höhere Isotherme gilt für die höhere Temperatur
Eine Adiabate ist eine Kurve, für welche in jedem Punkt das
Gesetz (8.2) gilt. Wenn p und V adiabatisch geändert werden,
ändert sich auch die Temperatur, wie wir im Beispiel gesehen
haben. Daher muss jede Adiabate von einer Isotherme zur anderen
führen. Es gilt daher:
Adiabaten sind im p-V-Diagramm "steiler" als Isothermen.
Adiabaten und Isothermen haben gemeinsame Schnittpunkte
200 000
100 000
1
2
3
4
5
6
Aufgaben:
(8.1)Gegeben ist ein einatomiges Gas bei Normalbedingungen. Es wird in einem isolierten Gefäß auf ein Zehntel
seines Volumens komprimiert.
a)Um welchen Faktor steigt der Druck? [46,4] b)Wie groß ist danach die Temperatur?
(8.2)Ein zweiatomiges Gas hat die Anfangstemperatur t = 27oC. Es wird auf das Fünffache seines Volumens
blitzschnell expandiert.
a)Um welchen Faktor steigt der Druck? [10] b)Wie groß ist danach die Temperatur?
(8.3)Gegeben ist ein Gas bei 100 000Pa, 6m2 und 20oC.
a)Berechnen Sie die Zustände, die sich bei isothermer Kompression auf die Hälfte und auf ein Drittel seines
Volumens ergeben. Zeichnen Sie diese Isotherme in ein p-V-Diagramm ein!
b)Führen Sie dieselbe Aufgabe für eine adiabatische Kompression durch und zeichnen Sie die Adiabate ein!
(8.4)Leiten Sie Formel (8.2) aus (8.1) ab!
7
8
V
II- 27 -
8.2
Der Kreisprozess von Carnot:
Wir verändern nun den Zustand eines Gases in vier Schritten und zwar so, dass wir am Ende wieder beim
Anfangszustand ankommen.
1. Isotherme Kompression
Im Kalten Wärmespeicher
2. Adiabatische Kompression:
Im isolierten Gaszylinder
V1
3.Isotherme Expansion
Im heißen Wärmespeicher
V2
V2
V3
p
p
3. Adiabatische Expansion:
Im isolierten Gaszylinder
V3
V4
V4
V1
p
p
W3
W2
W1
V2
W4
V
V1
Schritt
1.
Wärmehauptsat Q+W
z
W
W 1>0
Mechanische
Arbeit geht ins
Gas
U
U1=0
Innere Energie
bleicht gleich
Q
Q1<0
Wärme geht an
die Umgebung
V
V3
V
V2
2.
Beispiel U=W
V3
V4
3.
Beispiel Q+W
+300J
W 2>0
Mechanische Arbeit
geht ins Gas
+100J
0
U2>0
Gas wird wärmer
+100J
-300J
Q2=0
Wärmeisoliert
0
Gesamt:
Mechanische Arbeit
W ges =W 1+W 3=300-800 =-500[J]
Innere Energie
Uges= U2+U4 = 100 -100 = 0
Wärmeaustausch
Qges = Q1+Q3 = 800 -300 = +500[J]
V
V4
V1
4.
Beispiel U=W
W 3<0
Mechanische Arbeit
wird bei der Expansion
frei
U3=0
Innere Energie bleibt
gleich
Q3>0
Wärme wird von der
Umgebung absorbiert
-800J
0
+800J
Beispiel
W 4<0
Mechanische Arbeit
wird bei der Expansion
frei
U4<0
Gas wird kälter
-100J
Q4=0
Wärmeisoliert
0
Qheiß = Q3
heiße Umgebung
+800
p
500
Das Gas gibt bei der isothermen Kompression im kalten Wärmespeicher
wenig Wärme Q1 an die Umgebung ab. (kleine Fläche) Es absorbiert aber
viel Wärme Q3 aus der heißen Umgebung bei der isothermen Expansion
Den Rest gibt das Gas als äußere Arbeit ab.
500
Äußere Arbeit
V
kalte Umgebung
Qkalt = Q1
8.3
-300
Die Wärmekraftmaschine:
Der Kreisprozess von Carnot ist der Idealfall einer sogenannten Wärmekraftmaschine. Sie besteht aus einem
System von Zylinder und Kolben, mit dem man den Zustand eines "Arbeitsgases" verändern kann.
Die Wärmekraftmaschine komprimiert das Arbeitsgas in kalter Umgebung und expandiert es in heißer
Umgebung
Sie absorbiert viel Wärme aus dem heißen Reservoir und gibt wenig Wärme an ein kaltes Reservoir ab, der
Unterschied wird als mechanische Arbeit frei.
Die Wärme fließt hier wie in der Natur von heiß zu kalt
Die Wärmekraftmaschine verwandelt Wärmeenergie (billige, ungeordnete Wärmebewegung) in
mechanische Energie (teure, geordnete Bewegung)
-100J
II- 28 -
8.3.1 Wirkungsgrad:
Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine gibt an, wieviel Prozent der absorbierten Wärme in mechanische
Arbeit verwandelt wird
Wirkungsgrad = frei werdende mechanische Arbeit/absorbierte Wärme = {Qheiß-Qkalt}/Qheißt
Ohne Beweis wird folgende Formel angegeben:
= {Theiß - Tkalt}/ Theiß (8.4)
Dabei bedeuten T heiß# und Tkalt' die Temperaturen der isothermen Zustandsänderungen
8.3.2 Beispiele für Wärmekraftmaschinen:
Der Benzinmotor (=Ottomotor), der Dieselmotor, die
Dampfmaschine
Bei allen diesen Maschinen wird ein Arbeitsgas im kalten
Zustand komprimiert und im heißen Zustand expandiert.
diese Maschinen sind aber keine idealen CarnotKreisprozesse, weil die Zustandsänderung des Arbeitsgases
nicht rein isotherm und rein adiabatisch sind, sondern
gemischt
Q heiß
Qheiß
p
Äußere Arbeit
V
Q kalt
Carnot-Prozess
8.4
Qkalt
gemischter
Prozess
Die Kältemaschine:
Wenn man den Kreisprozess von Carnot umkehrt, erhält man eine Kältemaschine
(Kühlschrank, Kältepumpe):
Die Kältepumpe expandiert das Arbeitsgas in kalter Umgebung und komprimiert es in
heißer Umgebung
Sie absorbiert wenig Wärme aus dem kalten Reservoir und gibt viel Wärme an ein heißes
Reservoir ab, der Unterschied muss als mechanische Arbeit zugeführt werden
Die Wärme fließt hier gegen die Natur von der kalt zu heiß
Die Kältepumpe verwandelt mechanische Energie (teure, geordnete Bewegung) in Wärmeenergie (billige,
ungeordnete Wärmebewegung)
Die Kältepumpe kann man auch als Heizung benutzen, jeder Kühlschrank wird an der Rückseite sehr heiß. Diese
Art der Heizung nennt man auch "Wärmepumpe" oder "Kraft-Wärme-Kupplung", sie ist die sparsamste Heizung,
weil sie von allen Heizungen am wenigsten Energie verbraucht.
Ein einfacher Vergleich zweier Heizungen für ein Wohnhaus
zeigt, warum das so ist:
Links:
Einem Ofen werden 100J Energie zugeführt. Zum Beispiel
-100J
-300J
in Form von Kohle oder Erdöl (chemische Energie) oder
elektrischer Energie. Auch wenn der Ofen diese Energie
+100J
+100J
ohne Verluste ( zum Beispiel durch den Rauchfang) in
Wärme verwandelt, so bekommt der Wohnraum nicht mehr
Ofen
Wärmepumpe
als 100J.
Rechts:
+200J
Wenn man einer Kältepumpe 100J zuführt, so kann sie
aus der Umgebung
einem kalten Reservoir (=Außenumgebung) zusätzlich
Wärmeenergie entnehmen (im Beispiel sind das 200J) und
daher gesamt 300J an den zu Wohnraum abführen.
Die Energie, die eine Wärmepumpe einem kalten Reservoir entnimmt, ist proportional zu dessen absoluter
Temperatur. Nur wenn die Temperatur in der Außenwelt T=0oK betrüge, könnte die Wärmepumpe keine Wärme
entnehmen.
II- 29 -
8.5
Zweiter Wärmehauptsatz:
8.5.1 Die "beste" Maschine
Die Kältepumpe zeigt uns, dass man zum Transport der Wärme vom kalten zum heißen Reservoir von außen
Energie braucht. Dies entspricht auch der allgemeinen Erfahrung:
Wärme fließt von selbst immer nur vom heißen zum kalten Körper
(Zweiter Wärmehauptsatz)
Wir gehen zurück zur Wärmekraftmaschine: Sie entnimmt viel Wärme aus einer heißen Umgebung und gibt wenig
Wärme an eine kalte Umgebung ab.
B
B
Die Differenz wird als mechanische Arbeit W frei. Wir haben auch
3
gesehen:
2
4
W=Fläche innerhalb der geschlossenen Kurve im p-VW
W'
Diagramm
Wenn die Wärmekraftmaschine eine ideale Carnot-Maschine ist, das
heißt, wenn sie nur in exakt isothermen und isobaren Schritten
1
A
A
arbeitet und keine Verluste macht, dann ist sie auch umkehrbar in
Carnot-Prozess
gemischter
eine Kältepumpe, die genau den umgekehrten Weg läuft. Man sagt,
Prozess
sie ist reversibel. Daraus folgt ein interessanter Satz (Beweis: siehe
weiter unten):
Es gibt keine Wärmekraftmaschine, die die Wärme besser in Arbeit verwandelt als die ideale Carnot Maschine
Genauer ausgedrückt:
Es gibt keine Wärmekraftmaschine, deren Wirkungsgrad höher ist, als die ideale Carnot-Maschine
Die Abbildung zeigt neben dem Diagramm der Carnot -Maschine eine Maschine, die nicht genau entlang der
isothermen und adiabatischen Kurven arbeitet, sondern in gemischten Zustandsänderungen: Die Fläche ist kleiner:
W'<W
Beweis des Satzes:
Wir nehmen an, es gäbe eine "Wundermaschine", welche besser arbeitet als
die Carnot-Maschine. Die Abbildung zeigt links die Wundermaschine, sie hat
einen Wirkungsgrad von 80%, sie verwandelt also 80% der zugeführten
Wärme in mechanische Arbeit. Lediglich 20% gehen als Verlust in die kalte
Umgebung. Die Carnot-Maschine hat einen Wirkungsgrad von 40%, sie
verliert 60% der Energie an die Umgebung.
Nun kombinieren wir die beiden Maschinen und kehren dabei die CarnotMaschine um, so dass sie zur Kältepumpe wird. Mit der Wundermaschine
erzeugen wir Arbeit. (80Jund führen sie der umgekehrten Carnot-Maschine zu.
Wenn wir ihr mehr Arbeit zuführen, als sie im obigen Beispiel erzeugt, dann
liefert sich auch mehr Wärme ans das heiße Reservoir als sie im obigen
Beispiel nimmt. Man sieht also, dass dem heißen Reservoir mehr Wärme
zufließt als abfließt. Vom kalten Reservoir fließt mehr ab als zufließt. Das
bedeutet, dass die Wärme durch die Kombination beider Maschinen von
selbst vom kalten zum heißen Körper fließt. Dies ist aber nach dem zweiten
Wärmehauptsatz nicht möglich.
+100J
+100J
-80J
40J
-
-20
+100J
200J
-60J
-
-80J
-20J
+120J
8.5.2 Perpetuum mobile:
Viele Jugendliche "erfinden" folgende Maschine: Mit einem Fahrrad treibt man einen Dynamo an. Er erzeugt einen
elektrischen Strom, mit welchem wir einen Elektromotor betreiben, der wiederum das Fahrrad bewegt. So könnte
man doch ein Elektro-Motorrad betreiben, das keinen Strom von einem Kraftwerk oder einer Batterie braucht.
Eine solche Maschine heißt Perpetuum mobile erster Art. Wir wissen, dass eine solche Maschine nur laufen
könnte, wenn es keine Reibung gäbe. keinesfalls könnte sie aber Arbeit leisten. Das wäre nämlich ein Widerspruch
zum Energiesatz. Dieser sagt: "Die Energie entsteht nicht von selbst. Sie bleibt konstant und verwandelt sich
höchstens in verschiedene Formen. Wenn unser Fahrrad auch bei Reibung liefe, so würde es durch die Reibung
von selbst Wärmeenergie erzeugen.
Perpetuum mobile zweiter Art:
Ein Perpetuum mobile zweiter Art ist eine Maschine, bei welcher sich ein Körper abkühlt, wobei sich die frei
werdende Wärme vollständig in mechanische Arbeit verwandelt. Dies ist nicht möglich, denn eine solche
Maschine würde besser arbeiten als eine Carnot-Maschine, die immer mit einem Verlust an das kalte Reservoir
arbeiten muss, weil die Fläche unter der kalten Isotherme niemals gleich Null ist. Der zweite Wärmehauptsatz wird
daher auch oft so formuliert:
Es gibt kein Perpetuum mobile zweiter Art
II- 30 -
9 Wärmetransport:
9.1
Verschiedene Arten:
9.1.1 Konvektion:
Ein warmer Wind transportiert Wärme von einem Ort zum anderen. Dabei wird aber nicht nur Wärme, sondern
auch Masse transportiert.
Aus der Gasgleichung p.V = mRspezT folgt, dass die Dichte m/V = p/Rspez.T umgekehrt
proportional zu T ist. Warme Luft hat daher bei gleichem Druck eine geringere Dichte als
kalte Luft. Wegen des Auftriebs steigt deshalb die warme Luft in der kalten Luft auf und die
kalte Luft sinkt ab (Bild rechts)
Die warme Luft eines Ofens steigt ebenfalls im Rauchfang auf. Außen sinkt die kalte Luft ab,
es kommt zu einer Zirkulation der Luft, die "unten" beim Feuer frischen Sauerstoff
nachliefert.. Je höher der Rauchfang ist, desto größer ist der Druckunterschied zwischen
oben und unten, desto stärker ist der Auftrieb und desto heftiger ist auch die Zirkulation. (Bild
links)
Aus ähnlichen Gründen steigt warmes Wasser im kalten Wasser auf. Kaltes Wasser sinkt ab. Dies dient in
Zentralheizungen zur schnelleren Verteilung der Wärme im ganzen Haus. Vielfach verwendet man auch Pumpen
zur Verstärkung der Konvektion.
Konvektion ist ein Transport von Wärme in Flüssigkeiten und Gasen, wobei Masse transportiert wird.
9.1.2 Wärmeleitung:
Wärmeleitung ist die Übertragung der kinetischen Energie der ungeordneten Teilchenbewegung durch
unelastische Stöße zwischen den Teilchen
Zur Wärmeleitung ist notwendig, dass sich die Körper mit verschiedenen Temperaturen berühren. Wärmeleitung ist
in festen, flüssigen und gasförmigen Körpern möglich, während die Konvektion nur in Flüssigkeiten und Gasen
möglich ist. Die schnellen Teilchen des warmen Körpers stoßen dabei gegen die leichten Teilchen des kalten
Körpers und übertragen Impuls und kinetische Energie auf sie. Dabei werden die schnellen Teilchen langsamer
und die langsamen schneller. Es kommt zum
Temperaturausgleich.
Wir untersuchen die Geschwindigkeit v = Q /
t, mit welcher die Wärme durch eine dünne
Schicht x transportiert wird. Dabei nehmen
wir an, dass links der Schicht eine hohe
Temperatur T1 und rechts eine tiefe
Temperatur T2 herrscht.
Alle Versuche zeigen, dass die
Geschwindigkeit des Wärmetransports für
dünne Schichten proportional zur
Querschnittsfläche A und zur "Steigung" T /
x ist
Q/t
Q/t
A
A
T
T
T


x
x
x
Q / t = A.T/x


 heißt Wärmeleitzahl, große  bedeuten einen
schnellen Wärmetransport, kleine  bedeuten einen
langsamen Wärmetransport
Beispiele:
Stoff
o
J/ ms]
Kupfer
393
Gold
314
Al
221
Eisen
67
Q/t ist proportional zur
Steigung T /x
Beton
2,2
Eis
2,2
hier ist die Steigung T/x
doppelt so groß wie im linken
Bild, daher fließt auch die
Wärme doppelt so schnell
durch die Schicht
Glas
0,8
Holz
0,13
Wasser
0,6
hier ist die Steigung
T/x gleich wie im
linken Bild, daher fließt
auch die Wärme
gleich schnell durch
die Schicht
Luft
0,026
CO2
0,015
II- 31 -
Man sieht:
Gute elektrische Leiter (Kupfer, Gold, Aluminium) sind auch gute Wärmeleiter
Gase leiten die Wärme meist schlechter als Flüssigkeiten, diese wiederum meist schlechter als feste Körper
Wichtig:
Die Wärmeleitzahl  informiert uns darüber, wie schnell die Wärmeenergie <von einem Körper zum anderen
transportiert wird, aber nicht immer darüber, wie schnell die Temperatur übertragen wird.
Die Temperaturübertragung hängt auch davon ab, wieviel Wärmeenergie man braucht um den Körper zu
erwärmen, also von der spezifischen Wärmekapazität c.
Die Temperaturleitzahl
c
ist ein gutes Maß hierfür.
9.1.3 Wärmestrahlung:
Konvektion und Wärmeleitung setzen voraus,
dass kalte und warme Körper miteinander in
Kontakt kommen. Es gibt aber auch Übertragung
von Wärme, bei welcher das nicht der Fall ist, zum
Beispiel von der Sonne auf die Erde. die
Wärmestrahlung können wir hier kurz so erklären:
Wärme ist ungeordnete, sehr schnelle Bewegung
von Atomen oder Molekülen. Diese sind Teilchen,
welche positive und negative elektrische
Ladungen haben und daher elektrische Kräfte
ausüben. Wenn solche Teilchen zum Beispiel
schnell hin und her schwingen, wie in der
Abbildung beim linken Körper, so schwingen auch
ihre elektrischen Kräfte schnell hin und her. Ihre
Wirkung breitet sich wellenförmig aus. Dadurch
werden auch in großer Entfernung die Atome oder
Moleküle eines anderen Körpers zum Schwingen
gebraucht. Er erwärmt sich.
elektromagnetische Wärmestrahlung
warmer Körper
kalter Körper
schnell schwingende Teilchen
Teilchen werden in Schwingung versetzt
Genaueres über die Wärmestrahlung erfahren wir im letzten Teil unserer Physik, wenn wir mehr über
elektromagnetische Wellen wissen.
9.1.4 Wärmeisolation bei Fenstern:
Einfaches Fenster:
Die Temperatur ändert sich in mehreren Schichten:
Ganz außen ist die Temperatur meist konstant. Wenn sie in Richtung Fenster
ansteigen würde, würde sofort Konvektion entstehen und die Temperatur wieder auf
das ursprüngliche kalte Niveau absenken.
In einer Grenzschicht in unmittelbarer Nähe des Glases gibt es wegen der Reibung
mit dem Glas keine Konvektion, daher steigt dort die Temperatur an.
Im Glas steigt sie nochmals an
Es folgt wieder eine Grenzschicht mit Temperaturanstieg.
Ganz innen ist die Temperatur wieder konstant. Wenn dies nicht so wäre, gäbe es
sofort Konvektion.
Warum ist der Temperaturanstieg im Glas kleiner als in den Grenzschichten?
Die Antwort gibt Gleichung (8.5):
Q / t = A.T/x
Durch alle drei Schichten fließt in t gleichviel Wärme, sonst würde mehr Wärme ins
Gals hinein fließen als heraus oder umgekehrt. Die Größe Q/t ist also für jede
Schicht gleich, ebenso die Fläche A. Glas ist aber ein besserer Wärmeleiter als Luft
 Glas > Luft  die Steigung T/xGlas < T/xLuft
Außen
Konvektion
Innen
T2
T1
Konvektion
ruhige Grenzschichten
II- 32 -
9.1.5 Doppelfenster:
Sie bestehen meist aus zwei parallelen Fenstern und einem Füllgas zwischen ihnen.
Dadurch wird die Gesamtschicht dicker und die mittlere Gesamtsteigung T/x der
Temperatur kleiner. Daher wird auch Q/t kleiner. Das bedeutet, dass die Wärme Q
langsamer von innen nach außen fließt.
Theoretisch wäre die Isolation umso besser, je dicker die Füllgasschicht ist. In
Wahrheit ist aber eine Dicke von 1cm am besten, die sich bei dickeren Schichten
auch innen eine Konvektion bildet.
Außen
Innen
Konvektion
T2
T1
Konvektion
9.1.6 Der k-Wert:
Füllgas
ruhige Grenzschichten
Gleichung (8.5) kann man auch leicht verändert schreiben: Q / t = A.T(x)
Die Größe x = k heißt k-Wert eines Fensters oder einer Mauerplatte:
k = {Q/t} / A.T
In Worten: k = Geschwindigkeit des Wärmeflusses pro Flächeneinheit und pro Grad Temperaturdifferenz
(großes kdas Fenster ist ein schlechter Isolator, die Wärme fließt schnell durch das Fenster)
Addition der k-Werte
Durch jede Schicht fließt pro Sekunde gleichviel Wärme  Q/t ist für alle Schichten gleich
und auch für die Gesamtschicht dieselbe Zahl.
T2
Q/T)x/.A = Q/T)x1/.A + Q/T)x2/.A
Wir kürzen links und rechts durch Q/t und durch A und beachten, dass x/=1/k ist
Wir bekommen:
1/k
= 1/k1 + 1/k2
Die reziproken k-Werte von dünnen angrenzenden Schichten addieren sich
T2
T1
x1 x2
Beispiel 1:
2
a)Bestimmen Sie den k-Wert eines 3mm dicken Fensters mit Fensterfläche A =2m . b)Wieviel Wärme fließt pro Sekunde durch
o
das Fenster, wenn die Temperaturdifferenz 25 beträgt
o 2
Lösung: a) k = /d = 0,6/ 0,003 = 20 [W/ m ] b)Q / t = A.T(x)k.A.20.2.25 = 1000 J/s
Beispiel 2:
a)Bestimmen Sie den k-Wert wenn das Fenster aus Beispiel 1 aus zwei parallele Scheiben mit einer 1cm dicken Luftschicht
o
dazwischen besteht. b)Wieviel Wärme fließt pro Sekunde durch das Fenster, wenn die Temperaturdifferenz 25 beträgt?
Lösung:
o 2
a) kLuft = /d = 0,026/ 0,01 = 2,6 [W/ m ] 1 / kges = 1 / kFenster + 1 / kLuft + 1 / kFenster = 1 / 20 + 1 /2,6 + 1 / 20 = 0,484  kges = 2,06
o 2
[W/ m ]
b)Q / t = A.T(x)k.A.2,06.2.25 = 103 J/s

II- 33 -
10 Entropie und Wahrscheinlichkeit
10.1 Reversible Prozesse:
Zustandsänderungen, die in beide Richtungen ablaufen können, heißen reversibel oder umkehrbar.
Beispiel 1: Die meisten chemischen Reaktionen, wie z.B. die folgende Reaktion
A
+
B

C
+
D




Ausgangsstoffe
Produkte
(Zustand 2)
(Zustand 1)
können in beide Richtungen laufen. In welche Richtung diese Reaktion wirklich läuft, hängt von mehreren
Voraussetzungen, etwa der Temperatur ab, vor allem aber davon, wie stark die Ausgangsstoffe und die Produkte
am Beginn der Reaktion konzentriert sind.
Hat man am Anfang eine sehr große Konzentration der Ausgangsstoffe, so geht der Zustand 1 (links) von selbst in
den Zustand 2 (rechts) über. Hat man am Anfang sehr wenig Ausgangsstoffe, aber eine hohe Konzentration von
Produkten, so verläuft die Zustandsänderung (=der Prozess) umgekehrt. Diese chemische Reaktion ist eine
reversibler Prozess:
Beispiel 2: Wir erinnern uns an die Wärmekraftmaschine und die Kältepumpe
Bei der Wärmekraftmaschine fließt viel Wärme Q2 aus dem heißen Reservoir ins Gas. Es fließt wenig Wärme Q2
aus dem Gas ins kalte Reservoir, dafür wird nach außen mechanische Arbeit W frei. Bei der Kältepumpe ist es
umgekehrt. Dieser Prozess ist wieder reversibel
Es gibt aber auch Zustandsänderungen die nicht umkehrbar sind, diese Prozesse heißen irreversibel
Beispiel 3:Wenn Sie einen heißen mit einen kalten Körper berühren, so fließt die Wärme immer vom ……… Körper
zum.............Körper, aber nie umgekehrt.
Der Wärmeaustausch ist ein irreversibler Prozess.
Beispiel 4: Ein schnelles Auto bremst stark ab, dabei wird die kinetische Energie des Autos durch Reibung in
Wärmeenergie verwandelt. Straße und Reifen des Autos werden heiß. Umgekehrt geht es nicht: Es ist nicht
möglich, dass sich Straße und Reifen abkühlen, so dass fas Auto wieder zu fahren beginnt. Der Prozess der
Verwandlung von kinetischer Energie in Reibungswärme ist ein irreversibler Prozess.
10.2 Entropieänderung
10.2.1 Zustandsgröße:
In der Physik gibt es manchmal Größen, bei denen nicht die Größe selbst interessant ist, sondern nur die
Änderung dieser Größe. Wenn diese Änderung nur vom Anfangs- und Endzustand abhängt nennen wir sie
Zustandsgröße. Eine solche Größe war z.B. die potentielle Energie W pot im ersten Abschnitt: Wir haben fast
immer nur Wpot verwendet, selten haben wir geschrieben wpot = W pot 2 – Wpot 1.
10.2.2 Entropie:
Auch die sogenannte Entropie S ist eine solche Zustandsgröße. Die Änderung der Entropie für einen Prozess ist
folgendermaßen definiert:
S 
Q rev
T
Dabei ist Qrev die Wärmeenergie, die bei einem reversiblen Prozess vom System absorbiert wird oder frei wird. T
ist die absolute Temperatur, die das System bei diesem Prozess hat. (Wenn sich T bei diesem Prozess ändert.
muss man den Prozess in viele kleine Einzelprozesse unterteilen, bei denen sich T kaum ändert).
Beispiel 1:Ein Gas expandiert isotherm auf das Doppelte seines Volumens.
Zustand 1 (Gas in der linken Hälfte)
sehr unwahrscheinlich: p0
Zustand 2: Gas im ganzen Volumen
sehr wahrscheinlich: p1
Q muss zugeführt werdenQ>0  S>0
II- 34 -
Unser Gas expandiert von selbst (=spontan) vom Zustand 1 in den Zustand 2., es geht von selbst vom
unwahrscheinlichen in den wahrscheinlichen Zustand
Der Prozess geht von selbst in eine solche Richtung, dass dabei S >0 ist, das heißt, dass dabei die Entropie
größer wird.
Beispiel 2 Temperaturaustausch:
Zustand 1
Zustand 2
alle schnellen (heiße)Teilchen links, alle
langsamen (kalten) Teilchen rechts
schnelle und langsame Teilchen gemischt
(gleiche Temperatur)
sehr unwahrscheinlich
T1 (heiß)
sehr wahrscheinlich
T2 (kalt)
Tm (gemischt)
Höhere Ordnung
Höhere Unordnung
Q geht von den schnellen Teilchen auf die auf die langsamen über.
Es gilt
Sschnelle Teilchen = -Q/T1
Die heißen Teilchen verlieren Q , daher das „Minus“
Slangsame Teilchen = +Q/T2
Die kalten Teilchen absorbieren Q , daher das „Plus“
Sgesamtes System = -Q/T1+Q/T2 =Q.(1/T2 - 1/T1)>0
weil T1 > T2 ist.
Wir erhalten wieder folgendes Ergebnis:
Das System geht von selbst (=spontan) vom Zustand 1 in den Zustand 2.
Das System geht von selbst vom unwahrscheinlichen in den wahrscheinlichen Zustand
Der Prozess geht von selbst in eine solche Richtung, dass dabei S >0 ist, das heißt, dass dabei die Entropie
größer wird.
Beispiel 3: Schmelzen eines festen Körpers
Eis schmilzt zum Beispiel im Wasser bei einer bestimmten Temperatur
Zustand 1.
Die Moleküle im festen Körper sind auf kleinem Raum und auf
Gitterplätzen angeordnet
weniger wahrscheinlich
Zustand 2
Die Moleküle in der Flüssigkeit sind viel freier und
ungeordneter
wahrscheinlicher
Die Temperatur des Wassers T2 ist größer als die Temperatur von Eis. Für das Schmelzen wird Wärmeenergie
verbraucht (siehe unten), diese Wärmeenergie Q geht von Wasser auf Eis über
QWasserQEis > 0 , die Entropie steigt.
II- 35 -
10.3 Reale Gase:
Die meisten Gase sind nicht ideal sondern "real": Sie haben große Teilchen.. Ihr Volumen und die Anziehungskräfte
zwischen ihnen dürfen nicht vernachlässigt werden. Die wichtigsten Unterschiede zu den idealen Gasen sind:

Wenn sich die Teilchen zu nahe kommen, entstehen Bindungen und das Gas kann (teilweise) flüssig werden.

Bei der Expansion und Kompression eines realen Gases werden die Teilchen gegen oder mit diesen
Anziehungskräften verschoben. Es gibt daher auch eine Änderung einer "inneren" potentiellen Energie, was es
bei idealen Gasen nicht gibt.

Statt p.V = RT lautet die Gasgleichung lautet (p - a/V2).(V-b) = RT. (ohne Beweis). Die Zahlen a und b sind
spezifische Stoffkonstanten. Daher sehen auch die Isothermen anders aus:
Die Isothermen eines idealen Gases
p.V =const
Die Konstante hängt von der Temperatur
und der Molzahl ab. Je höher die
Temperatur, desto größer die Konstante
und desto höher die Kurve
Die theoretischen Isothermen eines realen
Gases
2
(p-aV ).(V-b) =const
Die Konstanten a, b hängen von der Art des
Gases ab
Bei hohen Temperaturen, spielen a und b im
Vergleich zu p und V wenig Rolle, so dass die
Kurve sehr ähnlich den idealen Gasen ist
(oberste Kurve)
Die experimentellen Isothermen eines
realen Gases
Wenn man das Gas komprimiert, tritt in
einem bestimmten Punkt Verflüssigung
ein, so dass der Druck gleichbleibt
(horizontale Geraden)
Isotherme Zustandsänderung:
Wir beobachten ein Gas bei der Temperatur T1=const
und komprimieren es. Dabei steigt der Druck (schwarze
Linie). Ab einem bestimmten Punkt (Volumen VA ) sind die
Teilchen so nahe beisammen, dass das Gas beginnt, sich
zu verflüssigen. Es wird immer genauso viel Gas flüssig,
dass der Druck nicht weiter steigt. Das geht solange, bis
das ganze Gas flüssig ist (Punkt B). Nun kann man das
Volumen fast nicht mehr verkleinern, da Flüssigkeiten fast
inkompressibel sind. Schon bei einer ganz kleinen
Kompression steigt der Druck sehr steil an..
Dasselbe beobachtet man bei Kurven mit anderen
Temperaturen, zum Beispiel T2.
Bei hohen Temperaturen spielen aber a und b im
Vergleich zu V wenig Rolle. Oberhalb einer bestimmten
Temperatur - wir nennen sie Tk - haben die Isothermen
kein Maximum und kein Minimum mehr. Es gibt daher
auch keine Verflüssigung.
p
K
Tk
T2
B
A
T1
VB
VA
Für jedes reale Gas gibt es eine "kritische" Temperatur Tk
Bei jeder Temperatur T<Tk tritt bei Kompression ab einem bestimmten Volumen VA die Verflüssigung ein.
Oberhalb Tk kann man ein reales Gas nicht verflüssigen.
V
II- 36 -
11 Aggregatzustände
11.1 Allgemeines
Ein Körper kann den Aggregatzustand "fest", "flüssig", oder "gasförmig" annehmen. Man bezeichnet diese
Zustände auch als Phasen. (Zum Beispiel: "Unter Normalbedingungen ist Wasser in der flüssigen Phase und Luft
in der Gasphase")
Gasförmig
Kondensieren





Verdampfen
Flüssig
Erstarren





Schmelzen
Fest
Sublimiere
n 



Resublimieren
Gasförmig
11.2 Gesetz von Dalton
Bei den folgenden Überlegungen wird es manchmal vorkommen, dass sich in einem Raum mehrere verschiedene
Gase befinden, zum Beispiel Luft und Wasserdampf. Wir brauchen eine Gesetz über den Druck beider Gase.
Die Abbildung zeigt gleiche Volumina.
links gefüllt mit einem Gas 1 unter dem Druck p1,
in der Mitte mit einem Gas 2 unter dem Druck p2
Was geschieht, wenn das Gas 2 zum Gas 1
dazugeben? Wird dadurch der Druck des Gases 1
größer? Die Antwort ist Nein! Es gilt:
Gas X
Px
Gas Y
py
Gas X + Gas Y
p = px1 + py
Partialdrucke bei mehreren Gasen:
Wir haben bewiesen, dass der Druck eines Gases proportional zur Teilchendichte und zur mittleren kinetischen
Energie ist:
p = 2NWkin /3
(6.5)
und dass Wkin für beliebige Teilchen bei gleicher Temperatur für verschiedene Teilchen gleich ist.
Wkin = 3k.T / 2
(6.7)
Bei zwei Gasen X und Y gilt diese Gleichung für beide Gase
px = 2NxWkin /3 ,
py = 2NyWkin /3 und pges = 2 (Nx + Ny) Wkin / 3 
pges = px
+
py
Befinden sich in einem Volumen verschiedene Gase, so hat jedes Gas der Mischung den Druck, den es hätte,
wenn es alleine in diesem Volumen hätte
und
Der Gesamtdruck eines Gases ist die Summe der Partialdrucke
(Gesetz von Dalton)
Dabei ist der Partialdruck px der Druck, den das Gas X hätte, wenn es alleine im Volumen V wäre
11.3 Verdampfen und Kondensieren
Ein Stoff kann fest, flüssig oder gasförmig sein. Diese drei Zustände nennt man Aggregatzustände oder Phasen.
Verdampfen ist der Übergang eines Stoffes von der flüssigen Phase in die Gasphase. Flüssigkeitsteilchen an der
Oberfläche, die besonders viel kinetische Energie haben, können sich von ihren Nachbarn loslösen. Sie bilden ein
Gas über der Oberfläche der Flüssigkeit. Dieses Gas nennt man Dampf (zum Beispiel: Wasserdampf,
Alkoholdampf, Benzindampf). Der Druck dieses Gases heißt Dampfdruck pD. Je größer der Dampfdruck wird,
desto mehr Teilchen kehren in die Bindungen der Flüssigkeit zurück. Der Dampf kondensiert.
II- 37 -
11.3.1 Sättigungsdruck
Bei jeder Temperatur gibt es einen bestimmten Dampfdruck pS, bei welchem gleich viel Teilchen verdampfen und
kondensieren. Dieser Druck ps heißt Sättigungsdruck. Der Dampf ist in diesem Zustand gesättigt, er ist "voll". Es
gilt daher:
Dampfdruck < Sättigungsdruck  Die Flüssigkeit verdampft
Dampfdruck > Sättigungsdruck  Der Dampf kondensiert. (Übersättigter Dampf)
Dampfdruck = Sättigungsdruck  Flüssigkeit und Dampf sind im Gleichgewicht.
Dabei ist als Dampfdruck nur der Partialdruck des Dampfes zu verstehen, nicht aber Druck anderer Gase, welche
zufällig auch über der Flüssigkeitsoberfläche liegen.
Der Sättigungsdruck ist nicht für jede Temperatur gleich, er steigt mit der Temperatur, wie die folgende Tabelle und
Kurve zeigen
Tabelle: Sättigungsdruck des Wasserdampfs.
0C
10 C
20 C
30 C
100 C
o
150 C
374 C kritische
Temperatur
ps
610Pa
1230
2330Pa
4240
Pa
101325P
a
470
000Pa
21 700 000 Pa
flüssig p>ps
o
o
o
o
o
o
kritischer Punkt
p=ps
Je höher die Temperatur desto größer ist der Sättigungsdruck p S
Gas p<ps
Beispiel:
T
o
In einem Raum herrscht bei 30 C ein Luftdruck po= 100 000Pa und ein Partialdruck für
Wasserdampf pD=3000Pa.
a)Auf dem Tisch steht ein Glas Wasser. Es ist 3000= pD<ps=4240  das Wasser verdampft. (po = 100 000 ist uninteressant!)
o
b)Eine Klimaanlage kühlt die Raumtemperatur auf 10 C ab, ohne an den anderen Drucken etwas zu ändern.
Nun ist 3000= PD > PS = 1230  Wasserdampf in der Luft kondensiert. Auf Wänden und Fensterscheiben bilden sich
Wassertröpfchen. (Man sagt: Wände und Fenster "beschlagen" . Klimaanlagen müssen daher die Luft trocknen, bevor sie gekühlt
wird.
Die Kurve für den Sättigungsdruck endet im kritischen Punkt. Rechts vom kritischen Punkt ist keine
Flüssigkeit möglich
11.3.2 Luftfeuchte:
Luft, in welcher viel Wasserdampf enthalten ist, heißt feucht. Die Größe
 = pD / ps
heißt relative Luftfeuchte. Sie gibt an, zu wieviel Prozent der Wasserdampf in der Luft gesättigt ist.
Im obigen Beispiel a) ist  = 3000 / 4240 = 0,707. Der Dampf ist bereits zu 70.7% gesättigt. Das Wasser aus dem Glas wird bei
dieser hohen relativen Luftfeuchte nur noch sehr langsam verdampfen.
In b) ist  3000 / 1230 = 2,43. Der Dampf ist mit 243% übersättigt und wird daher schnell an den Wänden des Raumes
kondensieren.
11.3.3 Verdampfungswärme:
Wenn ein Gas bei konstanter Temperatur verdampft, so wird:

Das Volumen von VFlüssigkeit auf VDampf vergrößert und dabei gegen den äußeren Druck gearbeitet.

Der Molekülabstand stark vergrößert und dabei gegen die Anziehungskräfte der Moleküle gearbeitet.
Die Wärmeenergie, die für die Verdampfung von 1 mol einer Flüssigkeit nötig ist heißt
molare Verdampfungswärme Joule / mol]
Die Energie für die Verdampfung von  Mol ist dann
QVerdampfung = .

Tabelle: Verdampfungsenergien, gemessen am Siedepunkt (siehe gleich unten):
Stoff
molare Verdampfungswäre J/mol]
spezifischen Verdampfungswärme [J /g ]
Wasser
40 590
2253
Ethylether
2 6700
359
Ethylalkohol
38 900
283
Stickstoff
5600
201
II- 38 -
11.3.4 Sieden:
Sieden ist eine besondere Form des Verdampfens. Wenn eine Flüssigkeit nicht nur an der Oberfläche sondern
auch im Inneren verdampft, so sagt man: Die Flüssigkeit siedet. Es bilden sich Gasblasen im Inneren der
Flüssigkeit. Dies ist nur möglich, wenn der Druck pi im Inneren der Blase
größer als der Aussendruck pa ist. Der größte mögliche Innendruck ist aber
pa =Aussendruck (z.B.: Luftdruck)
der Sättigungsdruck
ps > pi > pa
pi = pS
Eine Flüssigkeit siedet , wenn der Innendruck größer als der Aussendruck
ist. Die kleinste Temperatur, bei welcher eine Flüssigkeit siedet, ergibt sich,
wenn
ps= pa
Innendruck =
=Sättigungsdruck
Der Aussendruck pa kann aber verändert werden. Wenn man die das Sieden
verschiedener Flüssigkeiten vergleichen will, muss man dies bei einem
gemeinsamen Aussendruck tun. Dafür hat man den Normalluftdruck p o= 101
325 Pa gewählt. Man sagt
Der Siedepunkt (Kochpunkt) einer Flüssigkeit ist die Temperatur, bei welcher der Sättigungsdruck gleich
dem Normalluftdruck ist
Tabelle: Siedepunkte einiger wichtiger Stoffe:
Wasser
o
Ethylether Ethylalkohol
o
100 C
34,6 C
o
78,7 C
Stickstoff
o
-195,8 C
Sauersto
ff
o
-183 C
Helium
o
-268,9 C
Wasser siedet bei 100o C; aber nur, wenn der äußere Druck
genau gleich 100 000 Pa beträgt. Wenn wir den äußeren
Luftdruck beispielsweise auf 470 000 Pa erhöhen, so siedet
Wasser "erst" bei 150o C. Dies nützt man beim Druckkochtopf,
um mit Wasser bei T> 100o C kochen zu können.
Umgekehrt kann man Wasser auch schon bei 20o C. Dazu braucht
man nur den Aussendruck auf 2330 Pa zu senken.
Wenn man also die Siedetemperaturen für verschiedene äußere
Drücke wissen will, braucht man nur die Kurven für den
Sättigungsdruck zu beobachten
Luft
CO2
o
o
-193 C
-78,5 C
pS = pa
pK
kritischer Punkt
Flüssigkeit
po=101 325 (Kochpunkt)
Dampf
2330
o
o
20 C
TK
100 C
T
11.4 Schmelzen und Erstarren
11.4.1 Schmelzpunkt
Wenn man die Temperatur eines festen Körpers erhöht, beginnt er zu schmelzen.
Auch für die Schmelztemperaturen gibt es Kurven, die ähnlich wie für die
Siedetemperaturen aussehen. Man nennt sie Schmelzkurve (links). Der Aussendruck
pa spielt aber dabei wenig Rolle, Schmelzkurven sind daher viel steiler. Ab einem
bestimmten Aussendruck bleibt die Schmelztemperatur fast konstant. Wir nennen
diese Temperatur TS Schmelzpunkt.
pa
fest
Flüssig
Die steilen Schmelzkurven müssen sich mit den weniger
steilen Dampfdruckkurven schneiden. Der Schnittpunkt
TS
T
heißt Tripelpunkt. An diesem Punkt gibt es alle drei
Phasen zugleich. Unterhalb des Tripelpunktes kann ein
fester Körper direkt verdampfen, ohne zuerst in die flüssige Phase überzugehen. Dies
nennt man sublimieren. Oberhalb des Tripelpunktes ist bei kleineren Temperaturen
der Übergang zwischen fester und flüssiger Phase (schmelzen und erstarren)
möglich. bei größeren Temperaturen findet der Übergang zwischen flüssiger Phase
und Gasphase statt (verdampfen und kondensieren)
pa
fest
flüssig
Tripelpunkt
Gas
T
II- 39 -
11.4.2 Schmelzpunkterniedrigung durch Druck:
Bei manchen Stoffen (zum Beispiel Wasser) geht die Schmelzkurve oberhalb eines
bestimmten Druckes wieder "zurück" zu niedrigeren Temperaturen. Das bedeutet,
dass die Schmelztemperaturen bei höheren Drucken sinken. Wenn man daher auf
Wasser Druck ausübt, kann man es zum Schmelzen bringen. Eis kann man also in
der Nähe des Tripelpunktes (0oC, 101 325Pa) durch Verstärkung des Drucks zum
Sublimieren bringen. Weit unterhalb des Tripelpunktes ist dies nicht möglich, da hier
die Schmelzkurve ihre Richtung ändert, Hier würde durch größeren Druck mehr
Wasserdampf gefrieren.
pa
fest
flüssig
Tripelpunkt
Gas
T
Inhaltsverzeichnis Teil II:
1.
Wichtige Begriffe und Gesetze:
8.1 Volumen.
8.2 Dichte.
8.3 Druck.
8.4 Statischer Druck in Flüssigkeiten und Gasen
2. Temperatur.
3. Wärmeenergie:
3.1 Spezifische Wärmekapazität.
4. Einfache Gesetze für ideale Gase:
4.1 Isotherme Zustandsänderung.
4.2 Isobare Zustandsänderung.
4.3 Absolute Temperatur.
4.4 Änderung aller drei Zustandsgrößen.
5. Stoffmenge:
8.1 Satz von Avogadro.
8.2 Das Mol.
8.3 Die allgemeine Gaskonstante.
6. Gaskinetik:
6.1 Vorbereitung und Wiederholung.
7. Der erste Wärmehauptsatz:
7.1 Die Druckenergie.
7.2 Die Innere Energie.
7.3 1. Hauptsatz.
8. Verwandlung von Wärme in Arbeit:
8.1 Adiabatische Zustandsänderung.
8.2 Der Kreisprozess von Carnot.
8.3 Die Wärmekraftmaschine.
8.4 Die Kältemaschine
8.5 Zweiter Wärmehauptsatz.
9. Wärmetransport:
9.1 Verschiedene Arten.
10. Entropie und Wahrscheinlichkeit:
10.1Reversible Prozesse.
10.2Entropieänderung.
10.3Reale Gase.
11. Aggregatzustände:
11.1Allgemeines.
11.2Gesetz von Dalton.
11.3Verdampfen und Kondensieren.
11.4Schmelzen und Erstarren.